Kỳ thi thử đại học lần 1 môn Toán 12 (năm học 2012-2013): Khối A

Chia sẻ: Codon_11 Codon_11 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

63
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kỳ thi thử đại học lần 1 môn Toán 12 (năm học 2012-2013): Khối A của Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc sẽ giới thiệu tới các bạn đề chính thức. Đề thi gồm có hai phần là phần chung dành cho tất cả các thí sinh, phần riêng thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần chương trình chuẩn hoặc chương trình nâng cao. Đề thi có kèm đáp án. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỳ thi thử đại học lần 1 môn Toán 12 (năm học 2012-2013): Khối A

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 20122013 Môn: Toán 12. Khối A. Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm) Câu I (2,5 điểm) Cho hàm số : y = x3 - 3mx + 2 (1 ) , m lµ tham sè thùc. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) cã tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + y + 7 = 0 góc 1 a ,biết cos a = . 26 3 - 4 cos 2 x - 8sin 4 x 1 Câu II (2,5 điểm) 1) Giải phương trình : = sin 2 x + cos 2 x sin 2 x 3 3 ìï x + 4 y = y + 16 x 2) Giải hệ phương trình: í ( x, y Î R ) . ïî 1 + y = 5 (1 + x ) 2 2 6 - x - 3 x 2 + 4 Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn : L = lim x ® 2 x 2 - 4 Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1D1 cã độ dài cạnh bằng 3 và điểm M thuộc cạnh CC 1 sao cho CM = 2 .Mặt phẳng ( a ) đi qua A, M và song somg với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích hai khối đa diện đó. Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F = 3 x 2 + 7 y + 5 y + 5 z + 7 z + 3 x 2 B. PHẦN RIÊNG (2,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1.Theo chương trình Chuẩn Câu VIa. ( 1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai ®iÓm A ( 2;1) , B ( -1; -3 ) vµ hai ®êng th¼ng d1 : x + y + 3 = 0; d 2 : x - 5 y - 16 = 0. T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm C , D lÇn lît thuéc d1 , d 2 sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Câu VIIa. ( 1,0 điểm) Tính tổng : S = 12 C2012 1 + 2 2 C2012 2 + 32 C2012 3 + L + 2012 2 C2012 2012 2. Theo chương trình Nâng cao x 2 y 2 Câu VIb. ( 1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho e líp ( E ) : + = 1 vµ c¸c ®iÓm A ( -3; 0 ) ; 9 4 I ( -1; 0 ) .T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm B, C thuéc ( E ) sao cho I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC 0 1 2 2012 C2012 C2012 C2012 C 2012 Câu VII B:(1,0 điểm): Tính tổng: T = + + + L + 1 2 3 2013 HẾT Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì! Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 20122013 – LẦN 1 MÔN TOÁN – KHỐI A (Đáp án gồm 5 trang) Câu Nội dung trình bày Điểm I(2,0đ) 1. (1,50 điểm) Khi m = 1 hàm số (1) có dạng y = x 3 - 3x + 2 a) Tập xác định D = ¡ b) Sự biến thiên +) Chiều biến thiên: y ' = 3x 2 - 3 , y ' = 0 Û x = ± 1 . Khi đó xét dấu của y ' : 0,50 x ¥ 1 1 +¥ y + 0 0 + hàm số đồng biến trên khoảng ( -¥; - 1) , (1; + ¥ ) và nghịch biến trên khoảng ( - 1;1) . +) Cực trị: hàm số đạt cực đại tại x = -1, yCD = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0 0,25 æ 3 2ö æ 3 2 ö +) Giới hạn: lim y = lim x ç 1 - 2 + 3 ÷ = -¥; lim y = lim x 3 ç 1 - 2 + 3 ÷ = +¥ 3 x ®-¥ x ®-¥ è x x ø x ®+¥ x ®+¥ è x x ø +) Bảng biến thiên: : x -¥ 1 1 +¥ y' + 0 - 0 + 4 +¥ y 0,25 -¥ 0 c) Đồ thị: y = 0 Û x 3 - 3 x + 2 = 0 Û x = 1, x = - 2 , suy ra đồ thị hàm số cắt trục Ox tại Ox tại các điểm (1; 0 ) , ( - 2; 0 ) y '' = 0 Û 6 x = 0 Û x = 0 Þ đồ thị hàm số nhận điểm ( 0; 2 ) làm điểm uốn. y 4 0,50 1 0 1 x
2. (1,0 điểm) r Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có VTPT n1 = ( k ; -1 ) r 0,25 Đường thẳng d : x + y + 7 = 0 tiếp tuyến có VTPT n2 = (1;1 ) Ta có r r r r n1 × n2 1 k - 1 3 2 0,25 cos a = cos ( n1 , n 2 ) = r r Û = Û 12 k 2 - 26 k + 12 = 0 Û k = Ú k = n1 n 2 26 2 2 k + 1 2 3 YCBT thoả mãn Û ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: é , 3 é 2 3 é 2 2m + 1 é 2m + 1 é 1 êy = 2 ê3x - 3m = 2Ûê x = 2 Û ê 2 ³ 0 ê m ³ - 2 Û m ³ - 1 0,25 ê Ûê ê ê ê ê y, = 2 ê3x 2 - 3m = 2 ê x 2 = 9m + 2 ê 9m + 2 ³ 0 ê m ³ - 2 2 êë 3 êë 3 ê ë 9 ê ë 9 ê ë 9 1 Vậy để đồ thị có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + y + 7 = 0 góc a ,có cos a = . 26 0,25 1 thì m ³ - 2 II(2,5đ) 3 - 4 cos 2 x - 8sin 4 x 1 1.(1,25 điểm). Giải phương trình : = sin 2 x + cos 2 x sin 2 x ì p p x ¹ - + l ìsin 2 x + cos 2 x ¹ 0 ïï 8 2 l Î Z 0,25 §/k í Ûí ( ) îsin 2 x ¹ 0 ïx ¹ l p ïî 2 2 æ 1 - cos 2 x ö ÷ = L = 3 - 4 cos 2 x + cos 4 x 4 ta cã: 8sin x = 8 ç è 2 ø 3 - 4 cos 2 x - ( 3 - 4 cos 2 x + cos 4 x ) 1 Ph¬ng tr×nh Û = sin 2 x + cos 2 x sin 2 x 0,50 - cos 4 x 1 Û = ( do sin 2 x + cos 2 x ¹ 0,sin 2 x ¹ 0 ) sin 2 x + cos 2 x sin 2 x 1 Û - ( cos 2 x - sin 2 x ) = Û cos 2 x ( sin 2 x + cos 2 x ) = 0 sin 2 x p Û cos 2 x = 0 Ú sin 2 x + cos 2 x = 0 ( loai ) Û 2 x = + k p 0,25 2 p p Ûx= +k ( k Î ¢ ) 4 2 p p 0,25 VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm x = +k ( k Î Z ) 4 2 ìï x + 4 y = y 3 + 16 x 3 2.(1,25điểm). Giải hệ phương trình: í ( x, y Î R ) . ïî 1 + y = 5 (1 + x ) 2 2 ìï x 3 + 4 ( y - 4 x ) - y 3 = 0(*) Viết lại hệ phương trình: í 2 2 ïî y - 5 x = 4(**) 0,25 Thay (** ) vào (* ) ta được: x + ( y - 5 x 3 2 2 ) ( y - 4 x ) - y 3 3 2 2 = 0 Û 21x - 5 x y - 4 xy = 0
1 4 ( ) Û x 21x 2 - 5 xy - 4 y 2 = 0 Û x = 0 Ú x = - y Ú x = y 3 7 0,25 · x = 0 thế vào (** ) ta được y = 4 Û y = ±2 2 1 5 y 2 é y = 3 Þ x = -1 · x = - y thế vào (** ) ta được y 2 - = 4 Û y 2 = 9 Û ê 3 9 ë y = -3 Þ x = 1 0,50 2 4 80 y 31 2 · x = - y thế vào (** ) ta được y 2 - =4Û- y = 4 Vô nghiệm 7 49 49 Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: ( x; y ) = ( 0; ±2 ) , (1; -3) , ( - 1;3 ) 0,25 6 - x - 3 x 2 + 4 III(1đ) Tính giới hạn : L = lim x ® 2 x 2 - 4 6 - x - 2 + 2 - 3 x2 + 4 6- x -2 3 2 x + 4 - 2 L = lim 2 = lim 2 - lim 0,25 x ®2 x -4 x®2 x -4 x ® 2 x 2 - 4 6 - x - 22 x 2 + 4 - 2 3 = lim 2 - lim 0,25 x® 2 ( ) ( x - 4 ) 6 - x + 2 x ®2 ( x 2 - 4 ) æç 3 ( x2 + 4) 2 + 2 3 x2 + 4 + 4 ö÷ è ø -1 1 1 1 7 = lim - lim = - - = - x® 2 ( ( x + 2 ) 6 - x + 2 x ® 2 3 ) 2 ( ) x 2 + 4 + 2 3 x 2 + 4 + 4 16 12 48 0,25 7 0,25 Vậy giới hạn đã cho bằng - 48 IV(1đ) Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1D1 cã độ dài cạnh bằng 3 .... Dựng thiết diện của mặt phẳng đi qua A, M và song song với BD . Gọi O = AC Ç BD, O = A1C1 Ç B1 D1 , I = AM Ç OO1 . Trong mặt phẳng ( BDD1 B 1 ) qua I 0,25 kẻ đường thẳng song song với BD cắt BB1 , DD 1 lần lượt tại K , N .Khi đó AKMN là thiết diện cần dựng. Đặt V1 = VA. BCMK + VA. DCMN Þ V2 = VABCD . A B C D - V1 . 1 1 1 1 OI AO 1 1 0,25 Ta có: = = Þ DN = BK = OI = CM = 1 CM AC 2 2 Hình chóp A. BCMK có chiều cao là AB = 3 ,đáy là hình thang BCMK .Suy ra: 1 1 BC . ( BK + CM ) 33 9 VA. BCMK = AB.S BCMK = AB. = = . 3 3 2 6 2 0,25 9 Tương tự VA. DCMN = 2 9 9 0,25 Vậy V1 = + = 9 Þ V2 = 33 - 9 = 18 (đvtt) 2 2 V(1,0đ) …Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F = 3 x 2 + 7 y + 5 y + 5 z + 7 z + 3 x 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có F 2 £ 3 éë 6 x 2 + 12 ( y + z ) ùû £ 18 é x 2 + 2 2 ( y 2 + z 2 ) ù = 18 é x 2 + 2 2 ( 3 - x 2 ) ù 0,25 ëê ûú ëê ú û Xét hàm số f ( x ) = x 2 + 2 2 ( 3 - x 2 ) trên miền xác định - 3 £ x £ 3 4 x f ' ( x ) = 2 x - 2 ( 3 - x ) 2 ( "x Î ( - 3; 3 )) 0,25
é x = 0 ( f ' ( x ) = 0 trên - 3; 3 Û ê ) ë x = ±1 0,25 ( ) f ± 3 = 3, f ( 0 ) = 2 6, f ( ±1) = 5 Þ max f ( x ) = 5 Þ F 2 £ 18.5 = 90 Þ F £ 3 10 dấu bằng khi x = y = z = 1 é - 3 ; 3 ù ë û Vậy max F = 3 10 Û x = y = z = 1 0,25 6a(1,0đ) T Tim to¹ ®é c¸c ®iÓm C , D lÇn lît thuéc d1 , d 2 sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Do tø giác ABCD lµ h×nh b×nh hµnh nªn ta cã uuur uuur ì xD - x C = 3 0,25 CD = BA = ( 3; 4 ) Þ í (* ) î yD - yC = 4 ìC Î d 1 ì xC + y C + 3 = 0 MÆt kh¸c : í Þí (** ) 0,25 î D Î d 2 î xD - 5 y D - 16 = 0 ì x = 3 ì x D = 6 uuur uuur Tõ (*) vµ (**) ta gi¶i ®îc í C ; í ta cã BA = ( 3; 4 ) , BC = ( 4; -3 ) cho nªn hai î yC = -6 î y D = -2 uuur uuur 0,25 vÐc t¬ BA, BC kh«ng cïng ph¬ng ,tøc lµ 4 ®iÓm A, B, C , D kh«ng th¼ng hµng ,hay tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. .§¸p sè C ( 3; -6 ) , D ( 6; - 2 ) 0,25 7a(1,0đ) Tính tổng : S = 12 C2012 1 + 2 2 C2012 2 + 32 C2012 3 + L + 2012 2 C2012 2012 k k 2 C2012 k = k éë( k - 1) + 1ùû C2012 k = k ( k - 1) C2012 k + kC2012 "k = 1, 2,..., 2012 0,25 2012! 2012! k k 2 C2012 = k ( k - 1) +k k -2 = 2012(2011C2010 k -1 + C2011 )"k = 1, 2.., 2012 k !( 2012 - k ) ! k !( 2012 - k ) ! 0,25 Từ đó S = 2012 éë 2011 ( C2010 0 1 + C2010 + L + C2010 2010 ) + ( C2011 0 1 + C2011 + L + C2011 2011 ) ùû 2010 2011 0,25 ( ) = 2012 é 2011 (1 + 1) + (1 + 1) ù = 2012 2011.22010 + 2 2011 = 2012.2013.2 2010 ë û 2010 Đáp số : S = 2012.2013.2 0,25 6b(1,0đ) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm B, C thuéc ( E ) sao cho I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Ta cã IA = 2 Þ §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã pt: ( x + 1) + y 2 = 4 2 0,25 ì( x + 1) 2 + y 2 = 4 ï 0,25 To¹ ®é c¸c ®iÓm B, C cÇn t×m lµ nghiÖm cña hÖ pt: í x 2 y 2 ï + = 1 î 9 4 ì( x + 1) 2 + y 2 = 4 ìï( x + 1) 2 + y 2 = 4 ï í 2 Ûí 3 îï5 x + 18 x + 9 = 0 ï x = -3 Ú x = - 0,25 î 5 · x = -3 Þ y = 0 Þ B º A Ú C º A (lo¹i) 3 4 6 æ 3 4 6 ö æ 3 4 6 ö · x = - Þ y = ± Þ B çç - ; ± ÷ , C ç - ; m ÷ 0,25 5 5 è 5 5 ÷ø çè 5 5 ÷ø
7b(1,0đ) 0 C2012 1 C2012 2 C2012 2012 C 2012 Tính tổng : T = + + +L + 1 2 3 2013 2012! C 2012 k !( 2012 - k ) ! k 1 2013! 1 k +1 = = × = × C 2013 0,50 k +1 k + 1 2013 ( k + 1) ! éë 2013 - ( k + 1) ùû ! 2013 "k = 0,1, 2,3,..., 2012 1 1 é 2013 22013 - 1 ÞT = 2013 ( C2013 + C2013 + L + C2013 ) = 2013 ë(1 + 1 ) - C2013 û = 2013 1 2 2013 0 ù 0,25 22013 - 1 Đáp số T = 0,25 2013 Lưu ý khi chấm bài: Đáp án chỉ trình bày một cách nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Hết