Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 13

DI N ĐÀN MATH.VN<br /> <br /> http://www.math.vn<br /> <br /> L I GI I Đ THI TH Đ I H C 2011 Môn thi : Toán Đ s : 13<br /> <br /> Câu I. 1) (1 đi m) ———————————————————————————————— x và đi m A(−1; 1). Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s . Cho hàm s y = 1−x L i gi i: Đ th y x có t p xác đ nh D = R\{1}. Hàm s y = 1−x 1 Đ o hàm y = (−x + 1)2 y > 0, ∀x ∈ D 1 2 Hàm s đ ng bi n trên (−∞; 1); (1; +∞) x lim y = +∞; lim y = −∞ x→1+ x→1− -1 x = 1 là phương trình ti m c n d c y = −1 là phương trình ti m c n ngang B ng bi n thiên Đ th qua g c t a đ O(0; 0)<br /> x→−∞<br /> <br /> lim y = −1,<br /> <br /> x→+∞<br /> <br /> lim y = −1<br /> <br /> -2<br /> <br /> Câu I. 2) (1 đi m) ———————————————————————————————— Tìm m đ đư ng th ng y = mx − m − 1 c t (C) t i hai đi m phân bi t M, N sao cho AM 2 + AN 2 đ t giá tr nh nh t. L i gi i: Cách 1: x Xét phương trình tương giao: = mx − m − 1 ⇔ mx2 − 2mx + m + 1 = 0 (∗) 1−x Đ c t t i 2 đi m thì pt (∗) ph i có 2 nghi m phân bi t khác 1: m − 2m + m + 1 = 0 ⇔m 0 Đ ý th y:Trung đi m c a MN là I và I(1; −1) c đ nh − − → − → → S d ng chèn đi m ta có : AM 2 + AN 2 = 2AI 2 + IM 2 + IN 2 (Do IM + IN = 0 ) Ta có AI c đ nh , IM = IN, nên bi u th c đó min khi và ch khi MN min 4 L i tính MN: NM 2 = (x1 − x2 )2 (1 + m2 ) = (x1 + x2 )2 − 4x1 .x2 (m2 + 1) = −4m − m 2 = 4t + 4 ≥ 8 Do m < 0 nên đ t t = −m và t > 0, MN t V y m = −1 Cách 2: Câu II. 1) (1 đi m) ———————————————————————————————— √ 1 − 2 1 − x 2 + 1 − 2 1 − y2 = m Tìm m đ h phương trình sau có nghi m x 2 + y2 + x − 1 − y2 = 1 L i gi i: Cách 1: Cách 2: Câu II. 2) (1 đi m) ————————————————————————————————<br /> <br /> 1<br /> <br /> Gi i phương trình<br /> <br /> √<br /> <br /> √ L i gi i: √ 3 sin 2x(1 + 2 cos x) + cos 3x = 1 ⇔ 2 3 sin x. cos x(1 + 2 cos x) = cos x − cos 3x + 2 cos2 x + cos x 2 cos x + 2 cos2 √ x √ ⇔ cos x(1 + 2 cos x)(2 3 sin x − 1) = 4 sin2 x. cos x ⇔ (2 cos x + 1)(2 3√ x − 1) = 4 sin2 x sin √ √ √ 3 3 1 1 3 3 sin 2x + cos 2x + ( ) sin x − cos x = ⇔ 3 sin 2x + cos 2x + 3 sin x − cos x = ⇔ 2 2 2 2 2 4 π 3 3 ⇔ cos( ). cos 2x + sin( π ). sin 2x − sin( π ). cos x + cos( π ). sin x = ⇔ cos(2x − π ) + sin(x − π ) = 3 6 6 3 6 3 4 4 3 1 2 π π π π ⇔ cos 2(x − 6 ) + sin(x + 6 ) = ⇔ −2sin (x − 6 ) + sin(x − 6 ) + = 0 4 4  √ √ √ 7π π 1− 3 1− 3 1− 3 π + k2π ⇒ x = + k2π ⇔ x = + arcsin − arcsin  sin(x − 6 ) =  4 6 4 6 4  √ √ √ ⇔ 1+ 3 1+ 3 1+ 3 π 7π  π + k2π ⇒ x = + k2π ⇔ x = + arcsin − arcsin sin(x − 6 ) = 4 6 4 6 4 Câu III. (1 đi m) ———————————————————————————————— √ 3 0 x + ex − e3x Tính tích phân: I = dx. e3x − ln 3 L i gi i: √ 3 x 0 0 e − e3x x dx + dx = I1 + I2 Ta có: I = 3x e3x − ln 3 − ln 3 e 0 x e−3x Tính I1 = dx: Đ t u = x ⇒ du = dx và dv = e−3x dx ⇒ v = 3x −3 − ln 3 e 0 −3x −3x 0 26 e xe dx = −9 ln 3 + + ⇒ I1 = −3 9 − ln 3 3 − ln 3 Tính I2 =<br /> 0<br /> 3<br /> <br /> 3 sin 2x(1 + 2 cos x) + cos 3x = 1. 1 + 2 cos x + cos 2x<br /> <br /> 1 − e2x 1 · 2x dx e2x e − ln 3 − ln 3 1 0 −1 1 −2 Đ t u = 2x − 1 ⇒ du = 2x dx; Nên I2 = u 3 du = 6 e e 8 2 80 V y I = −9 ln 3 + 9 Câu IV. (1 đi m) ———————————————————————————————— Cho hình lăng tr đ u ABC.A B C có t t c các c nh đ u b ng a .G i M là trung đi m c a c nh BB . Tính th tích kh i t di n B ACM và bán kính m t c u ngo i ti p lăng tr ABC.A B C . L i gi i: G i hình v<br /> 0<br /> 3<br /> <br /> 1 − e2x dx = e8x<br /> <br /> Câu V. (1 đi m) ———————————————————————————————— √ √ √ √ Cho các s th c dương a, b, c th a mãn a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ≤ 3 2 . 1 1 1 Ch ng minh r ng √ a +√ c +√ ≥1. b+1 8 +1 8 +1 8 L i gi i: √ √ √ √ 3 2 ≥ a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ≥ 2(a + b + c)2 ⇒ a + b + c ≤ 3 Đ t (2x)3 = 8a , (2y)3 = 8b , (2z)3 = 8c ⇒ (2x)3 .(2y)3 .(2z)3 = 8a+b+c ≤ 83 ⇒ xyz ≤ 1 4x2 + 2 Ta có (2x)3 + 1 = (2x + 1)(4x2 − 2x + 1) ≤ 4<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 + (2x)3 1 1 1 + 2 + 2 VT ≥ 2 2x + 1 2y + 1 2z + 1 1 1 1 L i đ t m = 2 , n = 2 , p = 2 ⇒ mnp ≥ 1 x y z n p m + + ≥ 1 ⇔ 2mnp + 2(mn + np + pm) ≥ 8 Ta s ch ng minh m+2 n+2 p+2 Th t v y b t đ ng th c cu i đúng do AM-GM và s d ng mnp ≥ 1 Câu VIa. 1) (1 đi m) ———————————————————————————————— √ Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC v i đư ng cao AH có phương trình x = 3 3 , phương trình √ √ √ hai đư ng phân giác trong góc ABC và ACB l n lư t là x − 3y = 0 và x + 3y − 6 3 = 0 . Bán kính đư ng tròn n i ti p tam giác ABC b ng 3. Vi t phương trình các c nh c a tam giác ABC bi t đ nh A có hoành đ dương. L i gi i: Cách 1: Cách 2: Câu VIa. 2) (1 đi m) ———————————————————————————————— Trong không gian v i h t a đ Oxyz. Cho A(1; 0; 0), B(−1; −2; 0),C(−1; 1; −3) , m t ph ng (P) : 2x + y − x−2 y−3 z−4 2 = 0 và đư ng th ng ∆ : = = . Vi t phương trình m t c u (S) đi qua A có tâm I thu c m t 1 −1 −1 ph ng (P) sao cho IB vuông góc v i đư ng th ng ∆ và m t c u (S) c t (ABC) theo m t đư ng tròn có bán kính nh nh t. L i gi i: Cách 1: Cách 2: Câu VIIa. (1 đi m) ———————————————————————————————— Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i hai đi u ki n: |z| = |z + 4 − 3i| và bi u th c A = |z + 1 − i| + |z − 2 + 3i| có giá tr nh nh t. L i gi i: Cách 1: Cách 2: Câu VIb. 1) (1 đi m) ———————————————————————————————— Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hai đư ng tròn (C1 ) : (x − 1)2 + y2 = 2 và √ 2 1 2 3 (C2 ) : x + = 2. G i A là giao đi m có hoành đ dương c a (C1 ) và (C2 ); ∆ là đư ng + y− 2 2 th ng đi qua A c t hai đư ng tròn (C1 ) và (C2 ) l n lư t t i M, N sao cho M n m ngoài (C2 ) và N n m ngoài (C1 ). Các ti p tuy n c a (C1 ) và (C2 ) t i M, N c t nhau t i P . Vi t phương trình đư ng th ng ∆ khi bán kính đư ng tròn ngo i ti p tam giác MNP l n nh t. L i gi i: Cách 1: Cách 2: Câu VIb. 2) (1 đi m) ———————————————————————————————— x−1 y−2 z−4 x y−3 z−2 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đư ng th ng d1 : = = , d2 : = = 1 1 1 1 −1 2 và đi m A(0; 1; 3) . Ch ng minh A, d1 , d2 cùng n m trong m t m t ph ng. Tìm t a đ các đ nh B,C c a tam giác ABC bi t đư ng cao t B n m trên d1 và đư ng phân giác trong góc C n m trên d2 . L i gi i: 3<br /> <br /> 1 = ⇒√ 1 + 8a<br /> <br /> 1<br /> <br /> ≥<br /> <br /> 1 2x2 + 1<br /> <br /> Cách 1: Cách 2: Câu VIIb. (1 đi m) ———————————————————————————————— 2z1 − i Cho các s ph c z1 , z2 th a mãn các đi u ki n = 1 và |z2 − 1 + i| = |z2 − 2 + 2i|. 2 + iz1 √ 3 2−2 . Ch ng minh |z1 − z2 | ≥ 2 L i gi i: Cách 1: Cách 2:<br /> <br /> 4<br /> <br />