Luận án Tiến sĩ Toán học: Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:72

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu đặc trưng một số lớp vành Artin (CS- nửa đơn, QF- vành) thông qua lớp các môđun trên chúng; nghiên cứu đặc trưng tính Noether của lớp các V- vành và vành đơn, từ đó thu được kết quả mới trên SI- vành. Để hiểu rõ hơn về đề tài, mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết luận án!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả Đinh Đức Tài
ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Đinh Văn Huỳnh (Trường Đại học Ohio, Hoa Kỳ) và PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng (Trường Đại học Vinh). Lời đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Đinh Văn Huỳnh, người Thầy nghiêm khắc và mẫu mực, đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình, chú đáo trong suốt thời gian tác giả thực hiện luận án này. Xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, người đã thường xuyên quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý báu của GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường (Viện Toán học Việt Nam), PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang (ĐHSP Hà Nội), GS.TS. Lê Văn Thuyết (ĐH Huế). Tác giả xin trân trọng cảm ơn. Xin chân thành cảm ơn sự góp ý và giúp đỡ của các nhà khoa học: PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, PGS.TS. Lê Quốc Hán, TS. Chu Trọng Thanh, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan đã dành cho tác giả trong quá trình viết và chỉnh sửa luận án. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới: Khoa Toán và khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh; Ban Giám hiệu trường Đại học Hà Tĩnh; Các thành viên trong nhóm xemina Lý thuyết Vành tại trường ĐH Vinh;
iii Trung tâm Lý thuyết Vành và ứng dụng (CRA) thuộc khoa Toán (Trường Đại học Ohio - Hoa Kỳ) đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả được sang thực tập, nghiên cứu trong khoảng thời gian 6 tháng hết sức quý báu (từ tháng 6 đến tháng 12 năm 2008). Cuối cùng, xin gửi tới gia đình, anh em, bạn bè, lời biết ơn chân thành về sự động viên, chia sẻ trong suốt thời gian qua. Cảm ơn sự hy sinh của vợ và hai con - chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt qua mọi khó khăn hoàn thành luận án. Vinh, tháng 10 năm 2010 Đinh Đức Tài
1 MỤC LỤC Lời cảm ơn ii Mục lục 1 Bảng kí hiệu 3 Mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 12 1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và các mở rộng . . . . . . . . 17 1.3. Vành Artin, vành Noether và các lớp vành liên quan . . . . 19 2 Vành CS - nửa đơn 23 2.1. Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Đặc trưng vành CS - nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 QF-vành 35 3.1. Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2. Đặc trưng QF-vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4 Điều kiện để một số lớp vành trở thành Noether 44 4.1. Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2. Khi nào một V-vành là Noether . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 4.3. Điều kiện để một vành đơn là Noether . . . . . . . . . . . 51 4.4. Khi nào một vành đơn là SI . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5. Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Kết luận của luận án 61 Danh mục các công trình liên quan 62 Tài liệu tham khảo 62
3 BẢNG KÍ HIỆU Z : Vành các số nguyên Q : Trường các số hữu tỷ R : Trường các số thực C : Trường các số phức A ⊆⊕ B : A là hạng tử trực tiếp của B A /− B : A là môđun con cốt yếu của B A∼ = B : A đẳng cấu với B A ⊕ B : Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm) E(M ) : Bao nội xạ của môđun M Soc(M ) : Đế của môđun M End(M ) :Vành các tự đồng cấu của môđun M u-dim(M ) : Chiều Goldie của môđun M Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh của đồng cấu f (tương ứng) M (I) : ⊕i∈I M (tổng trực tiếp của I bản sao của M ) MR (R M ) : M là một R-môđun phải (trái) Mn (S) : Vành các ma trận vuông cấp n với các hệ tử trên S M od-R: Phạm trù các R-môđun phải Rad(M ) : Căn của môđun M J(R) : Căn Jacobson của vành R Z(M ) : Môđun con suy biến của môđun M
4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Trong đại số nói chung và lý thuyết vành nói riêng, đặc trưng tính Artin hoặc tính Noether của một lớp vành nào đó luôn là một trong những đề tài rộng và hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu cấu trúc vành. Từ định lý cấu trúc Wedderburn - Artin và các điều kiện tương đương, các lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành và SI- vành đã xuất hiện và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. 1.2. Lớp vành CS-nửa đơn là một lớp vành mở rộng thực sự của lớp vành Artin nửa đơn và đó là lớp vành Artin hai phía. Các kết quả về lớp vành này cho đến những năm 1994 đã được giới thiệu trong [11]. Đặc trưng vành CS- nửa đơn thông qua tính CS (hoặc các điều kiện yếu hơn) trên lớp môđun hữu hạn sinh hoặc đếm được sinh (xem [38], [32]) là một trong những hướng nghiên cứu về lớp vành này được nhiều nhà nghiên cứu cấu trúc vành quan tâm. 1.3. Lớp QF- vành đã được Nakayama định nghĩa năm 1939, cuốn chuyên khảo [54] là một tuyển tập khá đầy đủ các kết quả liên quan đến lớp QF-vành, đồng thời phần nào đó nói lên sự quan tâm của các nhà nghiên cứu đối với lớp vành này. Trong lý thuyết QF- vành, giả thuyết Faith là một trong hai giả thuyết dành được sự quan tâm đặc biệt. Việc nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ dần giả thuyết Faith là một đề tài hấp dẫn. 1.4. Lớp V- vành và lớp SI- vành là hai hướng mở rộng khác của lớp vành Artin nửa đơn. Đặc trưng tính Noether của lớp V- vành đã được
5 các nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ những năm 1976 (xem [17], [11]) và cho đến nay, việc nghiên cứu lớp vành này vẫn là một đề tài thú vị. Khác với lớp V- vành, lớp SI- vành là trường hợp đặc biệt của lớp vành Noether. Trong lý thuyết SI- vành người ta đặc biệt quan tâm đến lớp vành đơn và do đó đặc trưng tính Noether của vành đơn như một cầu nối để thiết lập điều kiện cho một vành đơn là SI. Với các lý do như đã nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận án đó là: 1. Đặc trưng một số lớp vành Artin (CS- nửa đơn, QF- vành) thông qua lớp các môđun trên chúng. 2. Đặc trưng tính Noether của lớp các V- vành và vành đơn, từ đó thu được kết quả mới trên SI- vành. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là lớp các môđun thỏa mãn một số điều kiện hữu hạn nhất định. 4. Phạm vi nghiên cứu Nội dung của luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu trên các lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành, vành đơn và SI-vành. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của luận án là nghiên cứu lý thuyết. Sử dụng các kỹ thuật liên quan đến đế của môđun cũng như các kỹ thuật
6 khác đã được chúng tôi vận dụng trong mỗi chứng minh. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về các lớp vành CS- nửa đơn, V- vành, SI- vành, vành Noether. Đặc biệt, các kết quả trên lớp QF- vành hy vọng phần nào đó sẽ góp phần làm sáng tỏ giả thuyết Faith. Ý nghĩa thực tiễn: Khi nghiên cứu về các lớp vành kể trên, luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho các nhà nghiên cứu, học viên cao học và sinh viên. 7. Tổng quan và cấu trúc của luận án 7.1 Tổng quan luận án: Cùng với nhóm và trường, vành là một trong ba cấu trúc cơ bản nhất của đại số và có ứng dụng rộng rãi. Vì vậy việc nghiên cứu vành không chỉ thuần túy là do sự đam mê toán học mà còn được lôi cuốn bởi sự ứng dụng đa dạng của nó vào các ngành khoa học khác. Lý thuyết vành đã xuất hiện khoảng 120 năm nay và ngày càng phát triển một cách phong phú trong bối cảnh này. Mục đích chính của lý thuyết vành là mô tả cấu trúc của vành. Tuy nhiên, với định nghĩa trừu tượng của nó, chúng ta không thể đưa ra được điều gì nhiều hơn là các tính chất chung chung. Vì vậy, muốn nghiên cứu cấu trúc của vành một cách sâu sắc người ta phải đặt ra các điều kiện cụ thể và tìm cách mô tả chúng trên cơ sở các cấu trúc đã biết. Do sự đề xuất của các "điều kiện cụ thể" này mà đã xuất hiện nhiều lớp vành cơ bản như: vành Artin, vành Noether, vành Goldie, vành Frobenius, vành tựa Frobenius (QF - vành), vành hoàn chỉnh, v.v... Emil Artin là người đầu tiên đặt nền móng cho việc nghiên cứu cấu trúc vành. Năm 1928, ông đã chuyển định lý cấu trúc của Wedderburn đối với đại số hữu hạn chiều trên một trường đã cho với điều kiện các
7 đại số này không chứa iđêan lũy linh khác không, sang vành thuần túy. Để đạt được kết quả này, Artin đã rất sáng tạo bằng cách thay thế điều kiện hữu hạn chiều bởi điều kiện tối tiểu đối với iđêan một phía. Qua đó cũng đồng thời giải phóng được sự phụ thuộc của vành vào một trường đã cho. Đây là một trong những định lý cấu trúc hoàn chỉnh trong đại số nói chung và trong lý thuyết vành nói riêng. Có thể nói, định lý này đã mở đầu cho sự phát triển của lý thuyết vành một cách có hệ thống. Để ghi nhận công lao của Artin, người ta gọi kết quả này là định lý cấu trúc Wedderburn - Artin và gọi vành thỏa mãn điều kiện tối tiểu cho các iđêan một phía là vành Artin (phía đó). Khi vành Artin không chứa iđêan lũy linh khác không thì được gọi là vành Artin nửa đơn. Định lý Wedderburn - Artin phát biểu rằng: Một vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi R là tổng trực tiếp hữu hạn một số vành các ma trận cấp hữu hạn trên các thể. Như vậy, theo định lý này, vành Artin nửa đơn đã được mô tả một cách triệt để qua một số hữu hạn các thể và hữu hạn các số nguyên dương (đó là hạng các ma trận). Nói rõ hơn, với hữu hạn các số nguyên dương ni và hữu hạn các thể Si , i = 1, 2...k, đặt Mni (Si ) là vành các ma trận cấp ni trên thể Si và lập tổng trực tiếp vành: (1) R = Mn1 (S1 ) ⊕ Mn2 (S2 ) ⊕ ... ⊕ Mnk (Sk ) thì R là vành Artin nửa đơn. Ngược lai, nếu S là vành Artin nửa đơn, Artin đã chứng minh được rằng S đẳng cấu với vành R có dạng (1). Định lý Wedderburn - Artin cho ta biết thêm rằng, điều kiện (1) tương đương với một trong những điều kiện sau đây: (2) R là tổng trực tiếp của các iđêan phải tối tiểu; (3) R là tổng trực tiếp của các iđêan trái tối tiểu; (4) Mọi R-môđun phải là nội xạ; (5) Mọi R-môđun trái là nội xạ; (6) Mọi R-môđun trái là xạ ảnh; (7) Mọi R-môđun phải là xạ ảnh.
8 Như vậy, cấu trúc của vành Artin nửa đơn đã được đặc trưng bởi những điều kiện bên trong thông qua các iđêan và điều kiện bên ngoài thông qua các môđun. Điều này dẫn đến hai hướng nghiên cứu chính trong lý thuyết vành. Hướng thứ nhất: Nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều kiện nội tại (các iđêan một phía). Hướng thứ hai: Đặc trưng vành bằng các điều kiện bên ngoài (các môđun trên chúng). Gọi J là tổng các iđêan lũy linh của vành Artin R bất kỳ, khi đó vành thương R/J là một vành Artin nửa đơn. Từ đồng cấu tự nhiên R → R/J, người ta tìm được nhiều tính chất của R, đặc biệt là cấu trúc bên trong của R đã được suy ra từ cấu trúc của R/J. Thí dụ, trong R/J mọi iđêan là hạng tử trực tiếp, vậy trong R iđêan nào là hạng tử trực tiếp? Đây là ý tưởng chủ yếu của hướng nghiên cứu thứ nhất. Những kết quả chính về hướng nghiên cứu này của vành Artin cho đến cuối những năm 1980 gồm: Định lý cấu trúc nhóm cộng đối với vành Artin của Fuchs- Szele [20], định lý tách đối với vành Artin của Szasz [61], định lý cấu trúc vành Artin với căn Jacobson của Kertesz-Widiger [49], định lý tách đối với MHR vành của Đinh Văn Huỳnh [41], định lý phân tích tổng quát đối với vành Artin hai phía của Đinh Văn Huỳnh [42] và nhiều kết quả khác đối với vành compắc tuyến tính, một dạng tổng quát hóa vành Artin của Leptin (1955-1957). Các kết quả này chúng ta có thể tìm thấy trong các tài liệu [2] và [48]. Một lớp con rất quan trọng và có nhiều tính chất đẹp đẽ của lớp vành Artin đó là lớp vành tựa Frobenius (gọi tắt là QF vành). Lớp vành này đã được Nakayama định nghĩa năm 1939 dựa trên đế và lũy đẳng nguyên thủy của vành Artin (xem [47]). Đối ngẫu với vành Artin là vành Noether, tức là vành thỏa mãn điều kiện tối đại cho các iđêan một phía, điều này tương đương với sự hữu hạn sinh của mỗi iđêan phía đó.
9 Hướng nghiên cứu thứ hai bắt đầu với những kết quả cơ bản của Matlis, Papp, Kushan về đặc trưng vành Artin và Noether qua các điều kiện nội xạ cụ thể của môđun trên chúng (xem [15], [47], [50]). Faith - Walker đã đặc trưng QF vành bằng sự liên quan của tính nội xạ và xạ ảnh: Vành R là QF khi và chỉ khi mọi R- môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ. Các điều kiện này thực sự yếu hơn các điều kiện (4), (5), (6) và (7) đã nêu trên. Ngoài ra, nhiều tác giả khác cũng đã tiếp cận nghiên cứu các khía cạnh khác nhau của QF vành. Các tác giả này bao gồm: Utumi, Osofsky, Harada, Oshiro, Armendariz, Đinh Văn Huỳnh, John Clark, N. V. Dung, Wisbauer, Nicholson, Yousif, .... Đặc biệt, các nghiên cứu của Đinh Văn Huỳnh trong những năm 1992-1995 đã làm cho người ta chú ý trở lại việc nghiên cứu QF vành. Đó là các kết quả nghiên cứu sử dụng các kỹ thuật mới như: đế bậc 2, điều kiện ACC đối với iđêan cốt yếu một phía, thay tính nội xạ bởi điều kiện yếu hơn. Trong lý thuyết QF vành có nhiều giả thuyết liên quan, tuy nhiên trong phạm vi nghiên cứu của mình, chúng tôi dành sự quan tâm đặc biệt cho giả thuyết Faith (Faith’s Conjecture):" Vành nửa nguyên sơ và nội xạ một phía là QF " (xem [43]). Chúng ta có thể tham khảo thêm các kết quả đã đạt được xung quanh giả thiết Faith trong các tài liệu [19], [54], ... Những nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là sự tiếp tục và phát triển hướng nghiên cứu thứ hai. 7.2. Cấu trúc luận án: Nội dung của luận án được trình bày trong 4 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa. Đồng thời ở đây chúng tôi cũng liệt kê một số kết quả đã biết để tiện sử dụng cho các chứng minh sau này. Như chúng ta đã biết, điều kiện CS là một điều kiện nhẹ hơn tính nội xạ. Vì vậy, khi thay điều kiện "nội xạ" trong (4) bởi điều kiện "CS"
10 chúng ta được một lớp vành rộng hơn lớp vành Artin nửa đơn. Lớp vành này được gọi là lớp vành CS-nửa đơn và cấu trúc của chúng đã được mô tả trong các công trình của Dung - Smith [12], Vanaja [64]. Nội dung của chương 2 giới thiệu các kết quả nghiên cứu đã đạt được về mô tả cấu trúc của lớp vành này. Trong Định lý 2.2.3, chúng tôi đã thiết lập một đặc trưng mới cho vành CS-nửa đơn thông qua các môđun hữu hạn sinh trên chúng. Trong chương 3, chúng tôi tập trung nghiên cứu đặc trưng của lớp QF vành. Một đặc trưng mới của lớp vành này thông qua tính chất CS của lớp vành nửa hoàn chỉnh, vành hoàn chỉnh và vành nguyên sơ đã được chúng tôi đưa ra trong Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.2, Hệ quả 3.2.4 và Hệ quả 3.2.5. Như đã nói ở trên, giả thuyết Faith nói rằng vành nửa nguyên sơ nội xạ một phía là QF, chúng tôi hy vọng những kết quả của chương này có thể giúp làm rõ một khía cạnh nào đấy trong việc chứng minh hoặc phản chứng minh giả thuyết này. Nội dung chính của chương 4 là các kết quả đặc trưng tính Noether của lớp V-vành và lớp các vành đơn. Để giải quyết câu hỏi mở của P. F. Smith (1991), Đinh Văn Huỳnh và S. Tariq Rizvi trong [37] đã đưa ra điều kiện (℘) của môđun. Trong chương này, chúng tôi giảm nhẹ điều kiện (℘) thành (℘0 ) để đặc trưng tính Noether của V- vành (Định lý 4.2.4). Ngoài ra chúng tôi đặc trưng tính Noether của vành đơn thông qua tính chất CS của các môđun xiclic suy biến trong phạm trù σ[M ] (Định lý 4.3.3). Từ kết quả của Định lý 4.3.3, chúng ta có điều kiện để vành đơn là Noether (Hệ quả 4.3.4), hoặc mạnh hơn là SI (Định lý 4.4.2, Hệ quả 4.4.3). Các điều kiện này tương tự như trong các kết quả của Đinh Văn Huỳnh, S. K. Jain và S. R. López-Permouth [35] nhưng được thiết lập một cách tổng quát hơn nhiều thông qua phạm trù σ(M ). Có thể nói rằng, ý tưởng của luận án này được xuất phát từ các điều kiện tương đương của định lý Wedderburn - Artin. Các lớp vành mà
11 chúng tôi đề cập tới trong chương 2, 3 và 4 đều được khởi nguồn từ lớp vành Artin nửa đơn do vậy chúng liên hệ với nhau. Các kết quả đã đạt được của mỗi lớp vành đều là sự đặc trưng các điều kiện hữu hạn khác nhau thông qua các tính chất khác nhau của một số lớp môđun trên chúng.
12 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn được hiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita phải hoặc trái. 1.1 Các khái niệm cơ bản Trước hết, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại. Các khái niệm và tính chất này đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau, chúng tôi chủ yếu tham khảo trong các tài liệu [1], [11], [15], [16], [47], [50] và [51]. Một môđun con NR của MR được gọi là cốt yếu hay môđun con lớn (essential or large) trong MR , kí hiệu N /− M , nếu NR ∩ K 6= 0 với mọi môđun con K 6= 0 của M. Môđun con NR của MR được gọi là môđun con bé (small or superfluous) trong MR , kí hiệu N M , nếu với mọi môđun K ⊆ M sao cho K + N = M thì K = M . Môđun con K được gọi là đóng trong M nếu K không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M. Như chúng ta đã biết, có thể nghiên cứu các tính chất của vành R thông qua tính chất của các môđun trên chính nó. Một trong những công cụ hữu hiệu cho việc trao đổi các thông tin này đó là các linh hóa tử (annihilator ). Với mỗi X ⊆ M , M là một R-môđun. Linh hóa tử phải của X trong
13 R là tập hợp: rR (X) = {r ∈ R |xr = 0; ∀x ∈ X } . Với mỗi A ⊆ R, linh hóa tử phải của A trong M là tập hợp: rM (A) = {m ∈ M |am = 0; ∀a ∈ A} . Đinh nghĩa hoàn toàn tương tự cho linh hóa tử trái. Chúng ta cũng luôn kí hiệu lM (x) = {m ∈ M |mx = 0} , rM (x) = {m ∈ M |xm = 0} để chỉ linh hóa tử trái và phải của phần tử x trong M . Cho M là R-môđun phải. Một phần tử m ∈ M được gọi là phần tử suy biến phải của M nếu iđêan phải rR (m) /− RR . Tập hợp các phần tử suy biến của M được gọi là môđun con suy biến của M và kí hiệu là Z(MR ). Như vậy chúng ta có Z(MR ) = {m ∈ M |mI = 0, với I là iđêan phải cốt yếu của R } hay nói cách khác Z(MR ) = {m ∈ M |rR (m) /− RR }. Chúng ta kí hiệu Zr (R) và Zl (R) lần lượt là các iđêan phải, trái suy biến của R. Môđun M được gọi là môđun suy biến nếu Z(M ) = M . Nếu Z(M ) = 0, ta gọi M là môđun không suy biến. Chúng ta lưu ý rằng, môđun M - suy biến nếu và chỉ nếu M ∼ = A/B, trong đó B là một môđun con cốt yếu của A (xem [23]). Môđun M được gọi là có độ dài hợp thành hữu hạn (finite composi- tion length) hay độ dài hữu hạn, nếu tồn tại một số nguyên dương n và chuỗi các môđun con 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ... ⊂ Mn = M sao cho mọi môđun thương Mi /Mi−1 là môđun đơn, i = 1, 2, ..., n. Trong trường hợp này ta nói độ dài hợp thành của M là n. Trong luận án này, để đơn giản thay vì độ dài hợp thành ta gọi độ dài của M . Nếu không tồn tại chuỗi môđun con nói trên thì ta nói độ dài của M là vô hạn. Nếu M = R thì ta có độ dài trái hay độ dài phải tùy theo cách quan sát R là môđun trái hay phải trên vành R. Phần tử x của vành R được gọi là lũy linh (nilpotent) nếu tồn tại
14 một số tự nhiên n > 0 (chỉ số nilpotent) sao cho xn = 0. Tập con A của vành R được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên n > 0 sao cho với mọi dãy x1 , x2 , ..., xn ∈ A ta có x1 .x2 ....xn = 0. Tập con A của vành R được gọi là iđêan lũy linh nếu mọi phần tử của nó là phần tử lũy linh. Iđêan một phía A của vành R được gọi là T-lũy linh (T-nilpotent) trái (phải) nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho với mọi dãy a1 , a2 , ..., an ∈ A ta có a1 .a2 ...an = 0 (t.ư an ....a1 = 0). Như vậy T-lũy linh là iđêan lũy linh nhưng điều ngược lại không hoàn toàn đúng. Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x. Giả sử I là một iđêan của vành R và g + I là một phần tử lũy đẳng của R/I. Ta nói rằng phần tử lũy đẳng này có thể nâng tới e modulo I hay lũy đẳng nâng modulo I nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho g + I = e + I. Đặc biệt, nếu I là iđêan lũy linh, nghĩa là mọi phần tử của I là lũy linh (xn = 0, ∀n ∈ I ), thì mọi phần tử lũy đẳng của R/I đều là lũy đẳng nâng. Cặp các phần tử lũy đẳng e1 , e2 của vành R được gọi là trực giao (orthogonal) nếu e1 .e2 = e2 .e1 = 0. Một phần tử lũy đẳng e ∈ R được gọi là lũy đẳng nguyên thủy (primitive idempotent) nếu e 6= 0 và với mọi cặp các lũy đẳng trực giao e1 , e2 thỏa mãn e = e1 + e2 thì e1 = 0 hoặc e2 = 0. Một iđêan phải (trái) của vành R được gọi là iđêan nguyên thủy nếu nó có dạng eR (t.ư, Re) với mọi lũy đẳng nguyên thủy e ∈ R (xem 7.4 [1]). Vành R được gọi là vành nguyên tố (prime ring) nếu R thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau: (a) Mọi iđêan phải (trái) khác không I là iđêan trung thành, nghĩa là r(I) = 0 (t.ư l(I) = 0); (b) Với mỗi cặp các iđêan I1 , I2 6= 0 ta có I1 .I2 6= 0; (c) Với mọi x, y ∈ R thỏa mãn xRy = 0 ta có x = 0 hoặc y = 0. Iđêan P của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/P là vành
15 nguyên tố. Hay nói cách khác, P nguyên tố nếu và chỉ nếu với mỗi x, y ∈ R thỏa mãn xRy ⊆ P thì x ∈ P hoặc y ∈ P . Giao của tất cả các iđêan nguyên tố của vành R được gọi là căn nguyên tố (prime radical /lower nil radical) của vành R, kí hiệu N (R). Vành R được gọi là nửa nguyên tố (semiprime) nếu N (R) = 0. Môđun NR được gọi là sinh bởi MR (MR - sinh) nếu tồn tại toàn (Λ) cấu f : MR → NR , với tập chỉ số Λ nào đó. Nếu tập chỉ số Λ hữu hạn thì ta nói rằng NR là hữu hạn sinh bởi MR (hữu hạn MR - sinh). Môđun NR được gọi là hữu hạn R- sinh nếu tồn tại hữu hạn phần tử x1 , x2 , ..., xk sao cho NR = x1 R +x2 R +...+xk R. Môđun thương của MR cũng được gọi là môđun M - xiclic. Môđun M - xiclic không đẳng cấu với M được gọi là môđun M - xiclic thực sự (proper M-xiclic). Môđun NR được gọi là Λ- sinh, Λ là tập chỉ số bất kỳ, nếu tồn tại một toàn cấu f : R(Λ) → NR . Kí hiệu σ[M ] là phạm trù con đầy đủ của Mod-R, trong đó vật là tập tất cả các R-môđun con của các môđun MR - sinh. Người ta chứng minh được rằng σ[M ] là phạm trù con đầy đủ của phạm trù Mod-R. Đế phải của MR , kí hiệu Soc(MR ), là tổng các môđun con đơn của MR , là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của M . Nếu MR không chứa một môđun con đơn nào thì Soc(MR ) = 0. Căn của MR , kí hiệu Rad(MR ), là giao của tất cả các môđun con tối đại của MR , là tổng của tất cả các môđun con bé của MR . Nếu MR không chứa môđun con tối đại nào thì ta định nghĩa Rad(MR ) = M . Đặc biệt, chúng ta đã biết Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R). Do đó không sợ nhầm lẫn, ta luôn kí hiệu J(R) để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng là Radical của RR . Nếu MR là môđun hữu hạn sinh thì Rad(MR ) MR . Cho R-môđun MR , ta định nghĩa chuỗi đế phải (socle series or Loewy series) Socα (MR ) của MR là chuỗi các môđun con của MR : Soc1 (MR ) ⊆ ...... ⊆ Socα (MR ) ⊆ ..... thỏa mãn các điều kiện sau:
16 ∗ Soc1 (MR ) = Soc(MR ) là đế thứ nhất của MR ; ∗ Socα (MR ) là đế thứ α của MR như là một môđun con của MR chứa Socα−1 (MR ) sao cho Soc α (M R )/Socα−1 (MR ) = Soc M/Socα−1 (MR ) ; ∗ Nếu α là một chỉ số tới hạn thì ta đặt Socα (MR ) = ∪ Socβ (MR ). β
17 1.2 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và các mở rộng Như chúng ta đã biết, trong Lý thuyết Vành và môđun khái niệm nội xạ và xạ ảnh là hai trong những khái niệm có thể xem là cơ bản nhất. Đề tài nghiên cứu của chúng tôi chủ yếu liên quan đến các tính chất liên tục, do đó trong mục này phần lớn được dành để trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến tính chất nội xạ và một số hướng mở rộng khác của nó. 1.2.1 Định nghĩa. R-môđun N được gọi là M -nội xạ nếu với mọi môđun con X của M , mọi đồng cấu ϕ : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu ψ : M → N . Môđun N được gọi là tựa nội xạ nếu N là N - nội xạ. Môđun N được gọi là môđun nội xạ nếu N là A-nội xạ với mọi A trong Mod-R. Như vậy, môđun N là nội xạ nếu và chỉ nếu N là RR -nội xạ. Chúng ta có các điều kiện tương đương sau: Môđun N là nội xạ khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau: a) Với mọi môđun A và với mọi môđun con X của A, mọi đồng cấu f : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu từ A → N ; b)(Tiêu chuẩn Baer) Mọi đồng cấu từ iđêan phải I của R tới N đều có thể mở rộng được thành đồng cấu từ R tới N ; c) Với mọi R-môđun M , mọi đơn cấu f : N → M đều chẻ ra. Nghĩa là, Im f là hạng tử trực tiếp của M ; d) R-môđun N không có mở rộng cốt yếu thực sự. 1.2.2 Định nghĩa. Hai R-môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N -nội xạ và ngược lại. 1.2.3 Định nghĩa. Nếu N là một môđun con cốt yếu của môđun nội