Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu nghiệm của một số mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:84

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận án "Dáng điệu nghiệm của một số mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng" nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận và bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng bằng phương pháp của Giải tích hàm và Giải tích ngẫu nhiên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu nghiệm của một số mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN QUỐC TUẤN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ α-MÔ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2023
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN QUỐC TUẤN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ α-MÔ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 Người hướng dẫn khoa học GS. TS Cung Thế Anh Hà Nội, 2023
LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan rằng đây là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự chủ trì của GS.TS Cung Thế Anh. Các kết quả trong công trình là hoàn toàn mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Trần Quốc Tuấn 1
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tác giả trân trọng sự hướng dẫn và giúp đỡ của thầy GS. TS Cung Thế Anh. Thầy đã hướng dẫn tôi làm quen với nghiên cứu khoa học từ lúc ban đầu với nhiều bỡ ngỡ tới lúc hoàn thiện luận án. Tác giả xin gửi lời cảm tạ tới Seminar Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường ĐHSP Hà Nội vì đã mang lại cho tôi môi trường học thuật tràn đầy năng lượng, một không khí khoa học và thân thiện. Tôi cũng xin được biết ơn Ban Giám hiệu Trường THPT Chuyên Biên Hòa (Hà Nam) và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi trong thời gian nghiên cứu. Tác giả cũng xin cảm tạ người thân và bạn bè đã luôn động viên, hỗ trợ để tác giả hoàn thành luận án này. 2
Mục lục LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1. Không gian hàm và toán tử với miền mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Không gian hàm và toán tử với điều kiện biên tuần hoàn . . . . 10 1.2. Các kết quả về Giải tích ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Không gian hàm của các quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3. Tích phân ngẫu nhiên trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3. Các bổ đề thường dùng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1
Chương 2. DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ LERAY-α BA CHIỀU NGẪU NHIÊN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của hệ Leray-α 3D tất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ . . . . . . . . . . . . 21 2.4. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5. Ổn định hóa nghiệm dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.1. Ổn định hóa bằng nhiễu nhân tính Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.2. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 3. DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ N-S-V BA CHIỀU NGẪU NHIÊN CÓ TRỄ VÔ HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. Tính ổn định bình phương trung bình địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3. Tính ổn định mũ của nghiệm dừng trong trường hợp trễ phân phối . 40 3.3.1. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ . . . . . . . 40 3.3.2. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4. Tính ổn định đa thức của nghiệm dừng trong trường hợp trễ tỉ lệ 47 3.4.1. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ đa thức . . . 47 3.4.2. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ đa thức . . . . . . . . . . . . 50 Chương 4. BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU VỚI DỮ LIỆU CÓ NHIỄU NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2
4.2. Hệ Leray-α ba chiều tất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3. Số hạng chứa nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4. Thuật toán đồng hóa dữ liệu liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4.1. Tính đặt đúng của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4.2. Định lí về sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu Nhiều quá trình của thực tế được mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên (SPDEs). Vì giá trị khoa học và thực tế của nó, nên các nhà nghiên cứu đã và đang theo đuổi nhiều hướng nghiên cứu về nó như sau • Nghiên cứu tính đặt đúng; • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm; • Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm; • Nghiên cứu vấn đề giải số nghiệm: đề xuất các thuật toán và chứng minh sự hội tụ, đánh giá sai số. Các vấn đề trên đang là những hướng nghiên cứu rất thời sự của lí thuyết các SPDEs. Hệ Navier-Stokes có vai trò đặc biệt quan trọng. Mặc dù đã được nghiên cứu nhiều, có rất nhiều nỗ lực của nhiều nhà toán học lớn nhưng các kết quả đạt được vẫn còn khá khiêm tốn, đặc biệt là trong trường hợp 3D (trường hợp có ý nghĩa thực tiễn nhất). Nói riêng, tính đặt đúng toàn cục vẫn là vấn đề mở rất lớn trong trường hợp 3D. Ngoài ra, khi hệ số nhớt nhỏ thì việc tính toán số trực tiếp nghiệm của hệ Navier-Stokes 3D là vấn đề không khả thi ngay cả với các thuật toán và máy tính tốt nhất hiện nay. Chính vì những nguyên nhân trên, các nhà toán học đã chỉnh hóa hệ Navier-Stokes để phục vụ cho mục đích tính toán số hoặc để thu được tính đặt đúng toàn cục. Các hệ chỉnh hóa quan trọng và được sử dụng thường xuyên là các α-mô hình chúng bao gồm: hệ Navier-Stokes-α [38], hệ Leray-α [23], hệ Leray-α cải biên [42] và hệ Bardina đơn giản hóa [41], hệ Navier-Stokes-Voigt (N-S-V), hệ chất lưu loại hai [59], . . . .Xem thêm [41] về một số kết quả tiêu biểu đối với lớp mô hình này trong 4
trường hợp tất định. Sau đây ta tập trung giới thiệu hệ Leray-α ngẫu nhiên và hệ N-S-V ngẫu nhiên. • Hệ phương trình Leray-α tất định đã được đưa ra trong [23]. Một số vấn đề khác liên quan đến hệ Leray-α như tính chính quy, xấp xỉ số, tốc độ hội tụ và dáng điệu tiệm cận của các nghiệm đã được nghiên cứu trong [30, 36, 37]. Độ lệch lớn, sự tồn tại và sự hội tụ nghiệm của hệ Leray-α ngẫu nhiên đã được khảo sát rộng rãi trong [24, 39, 48, 49]. Trong bài báo [11, 12, 22] đã chỉ ra được việc ổn định nghiệm của PDEs bằng nhiễu ngẫu nhiên hoặc bằng các điều khiển phản hồi. Tuy nhiên, kết quả dáng điệu nghiệm của hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên, khi coi nghiệm dừng cũng là nghiệm của hệ ngẫu nhiên và khảo sát sự hội tụ của nghiệm ngẫu nhiên tới nghiệm dừng khi thời gian đủ lớn, khi nghiệm dừng không ổn định thì ổn định hóa nó vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ. • Đồng hóa dữ liệu là một phương pháp luận để nghiên cứu và dự báo xu hướng của các quá trình, chẳng hạn như thời tiết, các mô hình đại dương và khoa học môi trường. Ý tưởng của đồng hóa dữ liệu là kết hợp dữ liệu quan sát với các nguyên tắc động liên quan đến mô hình toán học cơ bản. Phương pháp đồng hóa dữ liệu cổ điển là chèn dữ liệu quan sát trực tiếp vào một mô hình vì mô hình này đang được tích hợp kịp thời, xem [33, 47] và các tham chiếu trong đó. Tuy nhiên, thuật toán này bộc lộ một số khó khăn khi các phép đo được thu thập từ một tập hợp các điểm nút rời rạc, vì không thể tính toán chính xác giá trị của các đạo hàm không gian có trong mô hình. Trong công trình tiên phong [9], các tác giả đã giới thiệu một phương pháp mới cho vấn đề đồng hóa dữ liệu, đó là thuật toán điều khiển phản hồi [10], phương pháp này đã giải quyết được những hạn chế của phương pháp cổ điển. Trong thuật toán mới này, thay vì chèn trực tiếp các phép đo vào mô hình, một tham số di chuyển và các phép đo quan sát được sử dụng để thiết lập một mô hình mới mà nghiệm gần đúng của nó hội tụ tới nghiệm chưa biết của mô hình ban đầu. Cách tiếp cận như vậy đã được phát triển sau đó để đồng hóa dữ 5
liệu cho nhiều phương trình quan trọng, xem [4, 7, 8, 37, 43]. Một thuật toán đồng hóa dữ liệu tương tự cho dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên đã được giới thiệu trong [13], trong đó xét bài toán đối với hệ Navier-Stokes hai chiều. Gần đây, đồng hóa dữ liệu cho hệ Leray-α 3D đã được nghiên cứu trong [1, 37], trong cả hai trường hợp dữ liệu rời rạc và dữ liệu liên tục. Có thể nhận thấy rằng trong hai công trình này, dữ liệu quan sát không có sai số đo lường. Tuy nhiên, hiện nay vẫn chưa có kết luận cho bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α 3D có nhiễu ngẫu nhiên. • Oskolkov đưa ra hệ phương trình N-S-V trong [57] như một mô hình chuyển động của một số chất lỏng nhớt đàn hồi tuyến tính. Hệ phương trình này cũng được đề xuất bởi Cao, Lunasin và Titi (trong [26]) như là một hệ chỉnh hóa của phương trình Navier-Stokes 3D với các giá trị nhỏ α, để phục vụ cho việc mô phỏng số trực tiếp. Trong những năm qua, sự tồn tại và dáng điệu của nghiệm, sự tồn tại tập hút của phương trình N-S-V 3D đã được nghiên cứu (xem [4, 21, 44]). Hệ phương trình N-S-V với trễ hữu hạn, vô hạn hoặc có nhớ đã được nghiên cứu gần đây trong [2, 17, 40, 54, 61]. Trong [3], tác giả C.T. Anh và cộng sự đã chỉ ra sự tồn tại và sự ổn định của nghiệm dừng đối với trường hợp ngẫu nhiên nhưng không có trễ. Tuy nhiên, theo những gì chúng tôi biết, trường hợp trễ vô hạn chưa được nghiên cứu đối với hệ N-S-V 3D ngẫu nhiên. Căn cứ những phân tích trên, chúng tôi chọn vấn đề "Dáng điệu nghiệm của một số α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng" làm đề tài của luận án. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu dáng điệu nghiệm và bài toán đồng hóa dữ liệu của một số α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng. 6
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu dáng điệu nghiệm và bài toán đồng hóa dữ liệu của một số α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng. • Phạm vi nghiên cứu: Nội dung 1: Tìm hiểu dáng điệu nghiệm của hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên. Nội dung 2: Tìm hiểu dáng điệu nghiệm của hệ N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vô hạn. Nội dung 3: Tìm hiểu bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α 3D với dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên. 4. Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: Phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp compact và các công cụ của Giải tích ngẫu nhiên (xem [52, 60]). • Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu của hệ có nhiễu ngẫu nhiên và dáng điệu nghiệm của hệ ngẫu nhiên: Kết hợp các ý tưởng và kĩ thuật của Giải tích ngẫu nhiên và Lí thuyết điều khiển toán học (xem [13, 52]). 5. Kết quả của luận án Các kết quả nhận được trong luận án bao gồm: • Đối với hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên: Chứng minh được tính đặt đúng. Thiết lập được điều kiện đủ cho tính ổn định của nghiệm dừng. Sử dụng nhiễu nhân tính Itô hoặc điều khiển phản hồi ổn định hóa được nghiệm dừng. • Đối với hệ N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vô hạn: Thiết lập được điều kiện đủ cho tính ổn định của nghiệm dừng. Chỉ ra được sự hội tụ của nghiệm yếu tới nghiệm dừng dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên có trễ vô hạn. 7
• Đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α 3D với dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên: Thiết lập được phương trình đồng hóa dựa trên các dữ liệu quan sát được có nhiễu ngẫu nhiên. Khẳng định được tính đặt đúng của bài toán này và ước lượng được sai số tiệm cận của hiệu giữa nghiệm của hệ đồng hóa và nghiệm của hệ gốc ban đầu. Những kết quả thu được trong luận án là mới, có ý nghĩa khoa học và đóng góp hoàn thiện nghiên cứu về dáng điệu nghiệm và bài toán đồng hóa dữ liệu. Các kết quả chính đã được công bố trong 02 bài báo đăng trên các tạp chí quốc tế uy tín và 01 bài báo gửi đăng và được trình bày tại Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 6. Bố cục của luận án Luận án ngoài các phần Mở đầu, Kết luận, Kiến nghị, Danh mục các công trình công bố và Danh mục tài liệu tham khảo thì luận án có 4 chương chính như sau: • Chương 1. Kiến thức cơ sở. • Chương 2. Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên. • Chương 3. Dáng điệu nghiệm của N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vô hạn. • Chương 4. Đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α 3D với dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên. 8
Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong phần này, sẽ đề cập đến các định nghĩa và kết quả liên quan đến không gian hàm, Giải tích ngẫu nhiên và Bổ đề thường dùng. 1.1. Các không gian hàm 1.1.1. Không gian hàm và toán tử với miền mở Cho là một miền bị chặn trong 3 có biên ∂ trơn. Đặt ∞ = u ∈ (C0 ( ))3 sao cho ∇ · u = 0 , V = bao đóng trong (H0 ( ))3 , 1 H = bao đóng trong (L 2 ( ))3 . Xét phép chiếu Leray P : (L 2 ( ))3 → H. Gọi A : V → V là toán tử Stokes. Ta biết rằng Au = −P∆u và D(A) = (H 2 ( ))3 ∩ V. Theo [58], toán tử A có các giá trị riêng 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . , λ j → +∞ khi j → +∞; các vectơ riêng tương ứng {ψi }, i = 1, 2, . . . lập thành cơ sở trực giao của H. Đặc biệt, 2 u ≥ λ1 |u|2 , u ∈ V. (1.1) Tiếp theo, ta định nghĩa B(m, n) = P((m · ∇)n), m, n ∈ V. Ta có. Bổ đề 1.1 ([60]). Toán tử B thỏa mãn các bất đẳng thức sau: B(m, n), q ≤ C1 |m|1/4 m 3/4 n |q|1/4 q 3/4 , ∀m, n, q ∈ V ; 9
−1/4 B(m, n), q ≤ C1 λ 1 m n q , ∀m, n, q ∈ V. (1.2) Hơn nữa, B(m, n), q = − B(m, q), n , ∀m, n, q ∈ V, và đặc biệt 〈B(m, n), n〉 = 0, m, n ∈ V. 1.1.2. Không gian hàm và toán tử với điều kiện biên tuần hoàn Cho L > 0, gọi hình hộp = [0, L]3 . Gọi C per là tập hợp gồm các đa thức ∞ lượng giác tuần hoàn với chu kì L. Gọi là không gian hàm ∞ = m ∈ (C per )3 : ∇ · m = 0, md x = 0 . Đặt: H = bao đóng của trong [L 2 ( )]3 , V = bao đóng của trong [H 1 ( )]3 , tương ứng với tích vô hướng là 3 (m, n) := mi ni d x, i=1 3 ((m, n)) := ∇mi · ∇ni d x, i=1 và các chuẩn liên kết lần lượt là |n|2 := (n, n) và n 2 := ((n, n)). Cho ϕ ∈ L 1 , khi đó giá trị trung bình là 1 〈ϕ〉 = ϕ(x) d x, L3 và với mọi tập con Z ⊂ L 1 , ta định nghĩa Z = {ϕ ∈ L 1 : 〈ϕ〉 = 0}. ˙ Gọi P : [ ˙ 2 ( )]3 → H là phép chiếu trực giao Leray và toán tử Stokes L A với miền D(A) = [H 2 ( )]3 ∩ V được định nghĩa Am = −P∆m = −∆m. ˙ 10
Chuẩn trong D(A) là m D(A) = |Am|, ∀m ∈ D(A). Khi đó tồn tại các vectơ riêng {ψ j }∞ ⊂ H, là cơ sở trực chuẩn của H sao cho Aψ j = λ j ψ j và j=1 4π2 = λ1 ≤ λ2 ≤ · · · , λ j → +∞ khi j → +∞. L2 Bất đẳng thức Poincaré (xem [27, 60]) m 2 V ≤ λ−1 |m|2 , 1 ∀m ∈ H, |m|2 ≤ λ−1 m 2 , 1 ∀m ∈ V, (1.3) Cho b(·, ·, ·) : V × V × V → được xác định như sau 3 ∂ nj b(m, n, q) = mi q j d x, ∀m, n, q ∈ V. i, j=1 ∂ xi Như đã biết, tồn tại toán tử song tuyến tính B(·, ·) : V × V → V là toán tử song tuyến tính sao cho 〈B(m, n), q〉V ,V = b(m, n, q), ∀m, n, q ∈ V. Bổ đề 1.2 ([27, 60]). Ta có 〈B(m, n), q〉 = −〈B(m, q), n〉 và 〈B(m, n), n〉 = 0, ∀m, n, q ∈ V. Hơn nữa |〈B(m, n), q〉| ≤ C L |m|1/4 m 3/4 n |q|1/4 q 3/4 , ∀m, n, q ∈ V, và 1/2 |〈B(m, n), q〉| ≤ C L m n |An|1/2 |q|, ∀m ∈ V, n ∈ D(A), q ∈ H. (1.4) 1.2. Các kết quả về Giải tích ngẫu nhiên 1.2.1. Một số khái niệm cơ bản Các khái niệm sau được tham khảo trong ([31]). "Xét không gian Banach khả ly X . Gọi (X ) là σ-đại số Borel trên X ." 11
Định nghĩa 1.1. "Xét không gian xác suất (Ω, , ). Đặt = {A : A ⊂ Ω, ∃M ⊂ , (M ) = 0 và A ⊂ M } , là tập hợp các tập có xác suất 0. Không gian xác suất (Ω, , ) được gọi là đủ nếu ⊂ . Họ { t } t≥0 gọi là một họ các σ-trường không giảm của , nếu i ⊂ j, với 0 ≤ i ≤ j. Nếu t = ∩i>t i , ∀t ∈ [0, +∞) thì t được gọi là liên tục phải." Trong luận án này, (Ω, , ) luôn được giả thiết là không gian xác suất đủ và t là liên tục phải. Định nghĩa 1.2. ([31]) [Phần tử ngẫu nhiên] "Một phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong X là một ánh xạ u : Ω → X đo được Borel, tức là u−1 (A) ∈ , với mọi A ∈ (X ).” Định nghĩa 1.3. ([31]) [Quá trình ngẫu nhiên] i) "Với mỗi t ∈ [0, T ], ánh xạ u(t) : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong X . Khi đó, họ u = {u(t), t ∈ [0, T ]} được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong X ." ii) "Nếu ∀t ∈ [0, T ], phần tử ngẫu nhiên u(t) là t -đo được, thì u được gọi là tương thích." iii) "Quá trình ngẫu nhiên u được gọi là đo được theo tiến trình nếu với mọi t ∈ [0, T ], ánh xạ [0, t] × Ω → X , (s, ω) → u(s, ω) là ([0, t]) × t -đo được, nghĩa là, ∀B ∈ (X ), {(s, ω) ∈ [0, t] × Ω|u(s, ω) ∈ B} ∈ ([0, t]) × t .” 12
1.2.2. Không gian hàm của các quá trình ngẫu nhiên Các định nghĩa về không gian hàm được tham khảo trong ([31]). Định nghĩa 1.4. ([31]) p i) "Kí hiệu L p (Ω, t, , L 2 (0, T ; X )) (hoặc ta sẽ dùng kí hiệu L t (0, T ; X ) trong ngữ cảnh (Ω, t, ) được xác định) là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên × ([0, T ])-đo được, u : Ω × [0, T ] → X tương thích với bộ lọc ( t ) t∈[0,T ] và thỏa mãn T p/2 p 2 u L p (Ω, ,L 2 (0,T ;X )) := u(t) Xdt < ∞.” t, 0 ii) "Kí hiệu L ∞ (Ω, t, , L ∞ (0, T ; X )) là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên × ([0, T ])−đo được u : Ω × [0, T ] → X tương thích với bộ lọc { t } t∈[0,T ] và bị chặn với (ω, t) hầu khắp nơi." iii) "Kí hiệu L p (Ω, t, , C([0, T ]; X )) là không gian tất cả các quá trình {u(t); 0 ≤ t ≤ T } nhận giá trị trong X , liên tục, t -đo được liên tục và thỏa mãn p p u L p (Ω, ,C([0,T ];X )) := sup u(t) X < ∞.” t, t∈[0,T ] 1.2.3. Tích phân ngẫu nhiên trong không gian Hilbert Kiến thức sau được tham khảo trong [31]. "Xét không gian xác suất (Ω, , ) và không gian Hilbert khả ly K với tích vô hướng 〈·, ·〉. Xét một toán tử tuyến tính Q : K → K đối xứng xác định dương và Tr(Q) < ∞. Khi đó tồn tại một cơ sở trực chuẩn đầy đủ {ei }+∞ của K và dãy các số thực không âm bị chặn µi : i=1 Qei = µi ei , i = 1, 2, . . . Ta có thể coi toán tử Q như là một ma trận đường chéo ∞ × ∞ với các phần tử trên đường chéo chính là µ1 , µ2 , ..., µn , ..." Định nghĩa 1.5. ([31]) "Quá trình Wiener với toán tử phương sai Q là một quá trình ngẫu nhiên W = {W (t), t ∈ [0, +∞)} nhận giá trị trong K thỏa mãn: 13
• W (0) = 0; • W là quá trình liên tục, tức là các quỹ đạo của W là liên tục -hầu chắc chắn; • W là quá trình có gia số độc lập; • W (i) − W ( j), i ≥ j, là biến ngẫu nhiên Gauss trên không gian K với trung bình 0 và phương sai (i − j)Q." Ta có thể gọi quá trình này là quá trình Q-Wiener. Tiếp theo, ta giới thiệu một định lí quan trọng về biểu diễn của quá trình Wiener. Định lí 1.1. [31] Cho không gian Hilbert khả ly K có một cơ sở trực chuẩn đầy đủ là {ei }+∞ . Một quá trình Wiener nhận giá trị trong K được biểu diễn dưới i=1 dạng +∞ W (t) = µi Wi (t)ei , (1.5) i=1 ở đây W (t), ei  , µi > 0, µi  Wi (t) := µn = 0,  0, là các chuyển động Brown độc lập chuẩn vô hướng, tức là, Wn (t) ∼ (0, t), Wi (t) = 0, Wi (t)2 = t và (Wi (t)Wi (s)) = min{s, t}. Chuỗi vô hạn (1.5) hội +∞ tụ trong L 2 (Ω) nếu Tr(Q) = i=1 µi < ∞. Từ biểu diễn này ta cũng có W (t) là quá trình Wiener trong không gian K0 := Q1/2 K và 1 lim W (t) = 0, -hầu chắc chắn. t→+∞ t Tiếp theo, ta mô tả tích phân T Φ(t, ω) dW (t), 0 với W (t) là Q-Wiener trên không gian K với bộ lọc tương thích t := σ(W (s) : s ≤ t) là σ−đại số sinh bởi W (s), 0 ≤ s ≤ t và Φ(t, ω) là lớp hàm được xác định như sau: 14
• Đặt K0 := Q1/2 K, với Q1/2 là một toán tử được xác định bởi Q1/2 ei = µi ei . Khi đó, K0 là một không gian Hilbert với tích vô hướng (u, v)0 = (Q−1/2 u, Q−1/2 v), ∀u, v ∈ K0 . Đặt · 0 là kí hiệu chuẩn trong K0 . Một Φ ∈ (K0 , H) được gọi là Hilbert- Schmidt nếu +∞ Φei0 2 H < ∞, i=1 với mọi cơ sở trực chuẩn {ei0 } của K0 . Theo [31], "kí hiệu L 2 (K0 , H) là tất cả các toán tử tuyến tính Hilbert-Schmidt từ K0 vào H, và L 2 (K0 , H) là không gian Hilbert khả ly với tích vô hướng +∞ (Φ, Ψ) L 2 (K0 ;H) = (Φei0 , Ψei0 )H , Φ, Ψ ∈ L 2 (K0 , H).” i=1 Hơn nữa, K0 có cơ sở { µi ei } là trực chuẩn đầy đủ. Khi đó, chuẩn trong L 2 (K0 , H) là +∞ ∗ Φ 2 L 2 (K0 ;H) = Tr ΦQ1/2 ΦQ1/2 = µi Φei 2 H. i=1 • Bây giờ, ta xét Φ : [0, T ] × Ω → L 2 (K0 , H) có các tính chất sau: i) Φ là đo được và tương thích với bộ lọc t; ii) Φ là khả tích cấp hai theo nghĩa sau T Φ 2 T ;H := Φ(s, ·) 2 L 2 (K0 ,H) ds (1.6) 0 T ∗ = Tr Φ(s, ·)Q1/2 Φ(s, ·)Q1/2 ds < ∞. 0 Theo như kết quả trong Định lí 1.1, W (t) có biểu diễn +∞ W (t) = µi Wi (t)ei i=1 với {Wi } là các quá trình Wiener tiêu chuẩn, vô hướng và độc lập. Khi đó T +∞ T Φ(t, ω)dW (t) := µi Φ(t, ω)ei dWi (t). 0 i=1 0 15
1.2.4. Công thức Itô Định lí 1.2 ([31]). "Cho H là một không gian Hilbert khả ly, b : H → H và Φ : H → L 2 (K0 , H) là khả tích cấp hai theo nghĩa (1.6); W (t) là quá trình Wiener nhận giá trị trong K. Xét phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên du = b(u)d t + Φ(u)dW (t), u(0) = u0 , có nghiệm u. Giả sử rằng F : [0, +∞) × H → là ánh xạ trơn. Khi đó, công thức Itô dạng tích phân như sau t F (t, u(t)) =F (0, u(0)) + Fu (s, u(s))(Φ(u(s)))dW (s) 0 t + F t (s, u(s)) + Fu (s, u(s))(b(u(s))) 0 1 + Tr Fuu (s, u(s))(Φ(u(s))Q1/2 )(Φ(u(s))Q1/2 )∗ ds, 2 ∗ ở đây Fu và Fuu là đạo hàm Fréchet, F t là đạo hàm riêng theo biến t và là kí hiệu toán tử liên hợp." 1.3. Các bổ đề thường dùng Bổ đề 1.3 ( Bất đẳng thức Markov). ([15], trang 80) |X | p {|X | > } ≤ p , 0 < p < ∞, > 0. Bổ đề 1.4 (Bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy). ([31]) "Cho p > 0, t ∈ [0, T ], Φ ∈ L 2 (K 0 , H). Khi đó,   2p  p s t     sup  Φ(τ)dW (τ)  ≤ cp  Φ(s) 2 ds ,    L 2 (K0 ;H)  s∈[0,t]   0 H 0 trong đó c p > 0." ∞ Bổ đề 1.5 (Bổ đề Borel-Cantelli). ([56, Bổ đề 2.4]) Nếu {Ak } ⊂ và i=1 (Ak ) < +∞, thì (lim sup Ak ) = 0. k→+∞ 16