Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về mặt f-cực tiểu trong các không gian tích

Chia sẻ: ViSteveballmer ViSteveballmer | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:85

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học "Một số kết quả về mặt f-cực tiểu trong các không gian tích" trình bày các nội dung chính sau: Sơ lược về mặt cực tiểu; Mặt f-cực tiểu; Một số kết quả về mặt f-cực tiểu trong các không gian tích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về mặt f-cực tiểu trong các không gian tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ——————————— NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ——————————— NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU 2. TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021
i LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu và TS. Nguyễn Hà Thanh. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác trước đó. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2021 Tác giả Nguyễn Thị Mỹ Duyên
ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn đầy trách nhiệm của PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu và TS. Nguyễn Hà Thanh. Tác giả xin được bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới các Thầy, người đã đặt bài toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Toán học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, - Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2021 Người thực hiện Nguyễn Thị Mỹ Duyên
iii MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1 SƠ LƯỢC VỀ MẶT CỰC TIỂU 6 1.1 Độ cong trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Mặt cực tiểu. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Một số kết quả quan trọng về mặt cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Dòng độ cong trung bình. Các nghiệm tự đồng dạng . . . . . . . . . . . 17 1.5 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 MẶT f -CỰC TIỂU 21 2.1 Đa tạp với mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Mặt f -cực tiểu. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Một số kết quả quan trọng về mặt f -cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Mối liên hệ giữa mặt f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH 34 3.1 Không gian mật độ với tích Riemann, tích cong, tích Lorentz . . 34 3.2 Một số kết quả về mặt f -cực tiểu trong không gian tích cong R+ ×w Gn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Một số kết quả về mặt f -cực đại trong không gian tích Lorentz Gn × R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Một số kết quả về mặt f -cực tiểu đối chiều cao. Đồ thị tự co rút đối chiều cao trong không gian Ơclit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ 73 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75
iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa BRn Hình cầu tâm O bán kính R trong Rn Gn Không gian Gauss n-chiều K Độ cong Gauss H, H~ Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình Hf , H~f Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình với mật độ n, N Vectơ pháp đơn vị n−1 SR Siêu cầu tâm O bán kính R trong Rn CR Siêu trụ tâm O bán kính R trong Rn+1 L(C) Độ dài Riemann của đường cong C Lf (C) Độ dài của đường cong C theo mật độ e−f ds, dA Phần tử diện tích Riemann dsf , dAf Phần tử diện tích theo mật độ e−f dV Phần tử thể tích Riemann dVf Phần tử thể tích theo mật độ e−f p r(x) r(x) = x21 + · · · + x2n , với x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn Area(M ) Diện tích của M Areaf (M ) f -diện tích của M Vol(M ) Thể tích của M Volf (M ) f -thể tích của M Tp Σ Không gian tiếp xúc của Σ tại p δij Ký hiệu Kronecker df ∆f ; ∇f Laplace của hàm f ; Gradient của hàm f , tức là ∇f = dx i ∇X Y Đạo hàm hiệp biến của trường vectơ Y dọc trường vectơ X α(t) Đường cong α ∂Ω Biên của miền Ω |x| Chuẩn của vectơ x p. i Trang thứ i trong tài liệu trích dẫn Kết thúc chứng minh
v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ HÌNH TÊN HÌNH TRANG Hình 1.2.1 Mặt cực tiểu Catenoid 12 Hình 1.2.2 Mặt cực tiểu Helicoid 13 Hình 1.2.3 Mặt cực tiểu Scherk 14 Hình 1.4.4 Đường cong Grim Reaper 20 Hình 2.1.1 Mật độ của không gian Gauss tập trung về gốc tọa độ 22 Hình 3.1.2 Mặt trụ là một không gian tích cong 38 Hình 3.1.3 Mặt hyperbolic 1-tầng là một không gian tích cong 38 Hình 3.1.4 Mặt Catenoid là một không gian tích cong 38 Hình 3.1.5 Vectơ kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong R31 42 Hình 3.2.5 Một phần của slice và đồ thị cùng biên 47 Hình 3.2.6 Slice P, đồ thị toàn phần Σ và Gn trong R+ ×w Gn 49 Hình 3.2.7 n + Đồ thị toàn phần Σ và G trong G ×a G n 51 Hình 3.2.8 Slice P và đồ thị toàn phần Σ trong G+ ×a Gn 52 Hình 3.3.9 Đồ thị toàn phần f -cực đại Σ trong Gn × R1 57
1 MỞ ĐẦU Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann (M, g) cùng với một hàm mật độ trơn, dương e−f được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi. Thể tích với mật độ của một miền E và diện tích với mật độ của một siêu mặt Σ lần lượt được xác định bởi các công thức Z Z −f Volf (E) = e dV và Areaf (Σ) = e−f dA, E Σ trong đó dV và dA tương ứng là phần tử thể tích và phần tử diện tích Riemann. Về mặt ký hiệu, người ta thường dùng bộ ba (M, g, e−f dV ) để chỉ đa tạp Riemann (M, g) cùng với với mật độ e−f , đặc biệt khi M là không gian Ơclit Rn với tích vô hướng chính tắc và mật độ e−f thì ta ký hiệu đơn giản là (Rn , e−f ). Trên đa tạp với mật độ (M, g, e−f dV ), M. Gromov (xem [26]) đã mở rộng khái niệm độ cong trung bình H thành khái niệm độ cong trung bình với mật độ của siêu mặt, ký hiệu Hf , được xác định bởi công thức 1 Hf := H + h∇f, Ni, n−1 trong đó N là trường vectơ pháp đơn vị của siêu mặt. Định nghĩa trên đã được kiểm tra thỏa mãn các biến phân thứ nhất và thứ hai của phiếm hàm diện tích với mật độ (xem [40]). Các khái niệm thể tích, chu vi, độ cong, độ cong trung bình, mặt cực tiểu,... với mật độ còn được gọi một cách đơn giản là f -thể tích, f -chu vi, f -độ cong, f -độ cong trung bình, f -mặt cực tiểu,... Đa tạp với mật độ liên quan đến Vật lý khi nghiên cứu các mặt hoặc các vùng trên mặt có sự phân bố mật độ nội tại khác nhau tại các điểm khác nhau, để xác định khối lượng của chúng ta cần tính tích phân theo mật độ. Ngoài ra, đa tạp với mật độ còn liên quan đến lĩnh vực Kinh tế khi mặt phẳng xác suất 1 −r2 /2 Gauss, mặt phẳng R2 với mật độ 2π e , được dùng thường xuyên trong xác suất thống kê. Do đó, việc tìm hiểu Hình học vi phân với mật độ không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn ý nghĩa thực tiễn. Đa tạp với mật độ đã xuất hiện khá lâu trong Toán học dưới tên gọi khác là “ mm-không gian” hoặc “đa tạp với trọng” (weighted manifolds). Sau này, giáo sư Morgan đã gọi tên lớp đa tạp này là “đa tạp với mật độ” (manifolds with density) (xem [40]).
2 Hiện nay, đa tạp với mật độ là một lĩnh vực mới đang được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà Toán học, trong đó phải kể đến giáo sư Morgan và nhóm cộng sự của ông. Họ đã chứng minh được nghiệm của bài toán đẳng chu trong không gian với mật độ nếu tồn tại thì biên của nó phải có f -độ cong trung bình hằng (xem [14]). Một siêu mặt Σ trong (M, g, e−f dV ) (tương ứng trong (M, g)) được gọi là f -cực tiểu hay f -cực đại (cực tiểu hay cực đại ) nếu f -độ cong trung bình (độ cong trung bình) của Σ thỏa mãn Hf (Σ) = 0 (H(Σ) = 0). Nếu Hf (Σ) = λ là một hằng số thì Σ được gọi là một λ-siêu mặt. Vấn đề nghiên cứu lý thuyết, khảo sát các tính chất của mặt f -cực tiểu, mặt có f -độ cong trung bình hằng trong đa tạp với mật độ đã và đang nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học. Các tác giả C. Ivan, H. Neil, H. Stephanie, Ă. Vojislav and Y. Xu đã chỉ ra một số mặt có f -độ cong trung bình hằng trong không gian Gauss, khảo sát một số chính chất hình học của các mặt có f -độ cong trung bình hằng (xem [14]). J. M. Espinar và H. Rosenberg đã khảo sát tính chất hình học của các mặt đầy đủ có f -độ cong trung bình hằng (xem [13]). D. T. Hieu và N. M. Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ f -cực tiểu trong không gian R3 với mật độ log-tuyến tính (xem [31]). Mặt khác, tính chất f -cực tiểu diện tích của các siêu mặt f -cực tiểu cũng đang được quan tâm. Chẳng hạn, D. T. Hieu đã áp dụng phương pháp dạng cỡ với mật độ để chứng minh một số đa tạp con là f -cực tiểu diện tích (xem [29]). Mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss chính là các shrinker, một nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu kỳ dị của dòng độ cong trung bình (xem [12]). Đây cũng là một vấn đề đang được quan tâm nghiên cứu hiện nay: dòng độ cong trung bình, các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình, mối liên hệ giữa chúng với các siêu mặt f -cực tiểu trong các không gian với mật độ (xem [24], [47], [48]). Những năm gần đây, mặt cực tiểu trong các không gian dạng tích được nghiên cứu bởi Harold Rosenberg và các cộng sự của ông (xem [13], [44]). Nó đang là một đề tài thu hút sự quan tâm của nhiều nhà Toán học. Chú ý rằng không gian Gauss cũng là một không gian với mật độ dạng tích Gn = G1 × . . . × G1 . Theo hướng mở rộng các định lý cổ điển của Hình học vi phân lên không gian và đa tạp với mật độ, nhiều kết quả đã được công bố như: định lý Gauss-Bonnet suy rộng (xem [15]), định lý Liouville đối với các hàm điều hòa bị chặn trong không gian với mật độ (xem [36]),... Tuy nhiên, một số định lý cổ điển không còn đúng khi gia thêm mật độ. Chẳng hạn, định lý bốn đỉnh không còn đúng trên mặt phẳng với mật độ cầu (xem [33]). Theo đó, việc mở rộng các kết quả
3 của định lý Bernstein cổ điển, định lý halfspace cổ điển để thu được các định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu halfspace với các mở rộng lên các mặt đối chiều cao, lên các đa tạp tích (tích Riemann, tích cong, tích Lorentz) hay lên các đa tạp với mật độ,... đã và đang là những vấn đề thời sự được nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xem [1], [24], [28], [32], [44], [47], [48]). Xuất phát từ nhu cầu tìm hiểu và giải quyết các vấn đề trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là “Một số kết quả về mặt f -cực tiểu trong các không gian tích”. Ở đây, luận án đề cập đến hai định lý quan trọng, liên quan đến các kết quả chính của luận án, đó là định lý Bernstein và định lý halfspace. Định lý Bernstein cổ điển và các mở rộng Định lý Bernstein cổ điển khẳng định rằng một đồ thị cực tiểu toàn phần trên toàn bộ R2 là một phẳng trong R3 (xem [43]). Kết quả này đã được chứng minh bởi Bernstein vào những năm 1915-1917. Nhiều nhà Toán học đã cố gắng tổng quát định lý Bernstein cho các trường hợp số chiều hoặc đối chiều cao hơn. Năm 1965, De Giorgi đã chứng minh định lý Bernstein đối với các đồ thị cực tiểu toàn phần trên toàn R3 trong R4 (xem [17]). Năm 1966, Almgren tiếp tục chứng minh định lý này trong R5 (xem [2]). Năm 1968, Simons đã mở rộng định lý này lên R8 . Ông ấy đã chứng minh rằng một đồ thị cực tiểu toàn phần n-chiều phải là một siêu phẳng với n ≤ 7 (xem [46]). Năm 1969, Bombieri, De Giorgi, và Giusti đã đưa ra phản ví dụ trong trường hợp mặt với số chiều 8 và cao hơn (xem [5]), điều này chứng tỏ rằng kết quả của định lý Bernstein chỉ đúng với n ≤ 7. Như vậy, việc chứng minh định lý Bernstein đối với các siêu mặt cực tiểu trong Rn xem như đã giải quyết xong. Trong lý thuyết mặt cực tiểu, định lý Bernstein là một trong những định lý cơ bản nhất. Vì vậy, một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có một định lý kiểu Bernstein trong một không gian khác với Rn như đa tạp Riemann, không gian Lorentz-Minkowski, không gian tích cong, đa tạp với mật độ,... Hoàn toàn tương tự, định lý Bernstein cũng được phát biểu cho các siêu mặt cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski Rn+1 1 . Khác với định lý Bernstein n+1 đối với các mặt cực tiểu trong R , đối với mặt cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski Rn+11 , định lý Bernstein đúng với mọi n (xem [8]). Các nhà Toán học đã và đang mở rộng định lý Bernstein để thu được các định lý kiểu Bernstein theo nhiều cách khác nhau. Đối với các đa tạp con cực tiểu trong không gian Ơclit, ta có các kết quả của J. Simons (xem [46]), Ecker-Huisken (xem [24]) cho trường hợp đối chiều 1 và các kết quả của Chern - Osserman (xem
4 [10]), Fischer-Colbrie (xem [25]), Hildebrandt-Jost-Widman (xem [34]), J. Jost và Y. Xin (xem [37]), M. T. Wang (xem [48]) cho trường hợp đối chiều cao. Mở rộng đối với các đồ thị tự co rút (shrinker) trong không gian Ơclit, ta có các kết quả của Ecker và Huisken (xem [23]), Lu Wang (xem [47]), Cheng và Wei (xem [7]), D. T. Hieu (xem [28]) cho trường hợp đối chiều 1 và các kết quả của H. Zhou (xem [51]) cho trường hợp đối chiều cao. Đối với các đồ thị toàn phần f -cực tiểu trong không gian tích, ta có các kết quả của D. T. Hieu, T. L. Nam trong không gian tích Gn × R (xem [32]) và trong không gian Gauss (xem [28]). Định lý halfspace cổ điển và các mở rộng Một định lý liên quan đến mặt cực tiểu đã và đang thu hút sự quan tâm của các nhà Toán học trong những năm gần đây nữa là định lý halfspace (định lý nửa không gian). Định lý halfspace cổ điển của Hoffman-Meeks (xem [35]) khẳng định rằng hai mặt nhúng proper cực tiểu, đầy đủ trong R3 luôn cắt nhau trừ khi chúng là các mặt phẳng song song. Khi thay một trong hai mặt ở trên bởi một mặt phẳng thì ta được định lý halfspace yếu và cũng được gọi là định lý halfspace. Người ta đã chỉ ra rằng các định lý halfspace này không còn đúng trong trường hợp số chiều cao. Vì vậy, các nhà Toán học đang tập trung mở rộng định lý halfspace theo các cách khác nhau để có thể thu được các định lý kiểu halfspace như: - Mở rộng lên các đa tạp với mật độ; - Mở rộng lên các không gian tích; - Mở rộng lên lớp các mặt f -cực tiểu đối chiều 1 và đối chiều cao,... • Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số kết quả về mặt f -cực tiểu trong các không gian tích với mục đích sau: - Nghiên cứu phát biểu mối quan hệ giữa mặt f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình. - Nghiên cứu phát biểu một số tính chất của mặt f -cực tiểu trong các không gian tích. - Nghiên cứu xây dựng các định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu halfspace cho các mặt f -cực tiểu (f -cực đại) trong các không gian tích. - Nghiên cứu phát biểu một số kết quả về mặt f -cực tiểu đối chiều cao. • Để đạt được mục đích đặt ra, chúng tôi nghiên cứu theo các bước sau:
5 - Chọn một không gian tích (tích Riemann, tích cong, tích Lorentz) cụ thể. - Trên không gian tích đã chọn, xét các mặt f -cực tiểu (đối chiều 1 hoặc đối chiều cao), tiến hành tìm hiểu và phát biểu: một số tính chất, định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu halfspace cho các mặt f -cực tiểu đó. • Về mặt kỹ thuật, luận án sử dụng các phương pháp nghiên cứu chính sau: - Sử dụng các phép tính vi tích phân trong các tính toán. - Phương pháp biến phân để xác định các biến phân diện tích theo mật độ. - Đặc biệt, phương pháp dùng dạng cỡ kết hợp với định lý Stokes để chứng minh các tính chất cực tiểu diện tích được sử dụng hầu khắp chương 3 của luận án. - Sử dụng định lý divergence tổng quát để xây dựng công thức về f -thể tích của m-shrinker và kết quả liên quan đến định lý kiểu Bernstein đối chiều cao trong Gn . Với tên đề tài và mục đích nghiên cứu của luận án, ngoài các phần Danh mục các ký hiệu, Danh mục các hình vẽ, Mở đầu, Kết luận chung và Kiến nghị, Danh mục công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài và Tài liệu tham khảo, phần nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương: Chương 1: “Sơ lược về mặt cực tiểu”. Trong chương này, tổng hợp từ một số tài liệu tham khảo, luận án trình bày sơ lược một số khái niệm, tính chất, ví dụ và kết quả quan trọng liên quan đến mặt cực tiểu. Chương 2: “Mặt f -cực tiểu”. Trong chương này, các mục 2.1, 2.2 và 2.3 được tổng hợp từ một số tài liệu tham khảo để trình bày tổng quan về đa tạp với mật độ và một số khái niệm, tính chất, kết quả quan trọng về mặt f -cực tiểu. Đặc biệt, trong mục 2.4 về dòng độ cong trung bình và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình, tác giả đã thu được một số kết quả chính của luận án. Chương 3: “Một số kết quả về mặt f -cực tiểu trong các không gian tích”. Nhằm giúp người đọc tiện theo dõi, trong chương này luận án dành riêng mục 3.1 để giới thiệu một số khái niệm, tính chất về không gian tích (tích Riemann, tích cong, tích Lorentz) và không gian tích với mật độ, chúng được tổng hợp từ một số tài liệu tham khảo. Sau đó, trong các mục 3.2, 3.3 và 3.4 tác giả trình bày một số kết quả chính mà luận án đạt được về mặt f -cực tiểu (f -cực đại) trong các không gian tích cụ thể. Ngoài ra, để người đọc dễ nắm bắt nội dung và kết quả chính của mỗi chương, luận án đã trình bày nội dung tóm tắt và kết luận tương ứng ở đầu và cuối của chương đó.
6 Chương 1 SƠ LƯỢC VỀ MẶT CỰC TIỂU Trong chương này, tổng hợp từ các tài liệu [11], [12], [16], [18], [27], [38], [42], [49], [50], luận án trình bày sơ lược về mặt cực tiểu bao gồm: một số khái niệm cơ bản như độ cong trung bình và vectơ độ cong trung bình của siêu mặt trong Rn , vectơ độ cong trung bình của một đa tạp con k -chiều trong một đa tạp Riemann n-chiều; các ví dụ và kết quả quan trọng về mặt cực tiểu; và cuối cùng là khái niệm dòng độ cong trung bình, các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình (co rút hoặc tịnh tiến). 1.1 Độ cong trung bình Trong mục này, chúng ta sẽ có một số khái niệm cơ bản gồm: độ cong trung bình và vectơ độ cong trung bình của siêu mặt trong Rn ; vectơ độ cong trung bình của mặt và độ cong trung bình của siêu mặt như là các đa tạp con. 1.1.1 Độ cong trung bình của siêu mặt trong Rn Trong Rn , một siêu mặt tham số trơn Σ là một ánh xạ khả vi r : U −→ Rn từ miền mở U của Rn−1 vào không gian n-chiều Rn . Nó được gọi là chính qui ∂r ∂r nếu các vectơ (u), . . . , (u) là độc lập tuyến tính với mọi u ∈ U. Không ∂x1 ∂xn−1 gian tiếp xúc của Σ tại p = r(u), ký hiệu Tp Σ, là không gian vectơ được sinh bởi ∂r ∂r n − 1 vectơ (u), . . . , (u). Khi đó, mỗi v ∈ Tp Σ được gọi là vectơ tiếp xúc ∂x1 ∂xn−1 ∂r ∂r của Σ tại điểm p. Vectơ pháp đơn vị N(u) của Tp Σ sao cho (u), . . . , (u), ∂x1 ∂xn−1 N(u) là một cơ sở định hướng dương của không gian Rn được gọi là vectơ pháp đơn vị của Σ tại điểm p. Một trường vectơ dọc theo siêu mặt tham số r : U −→ Rn là một ánh xạ X : U −→ T Rn sao cho X(u) ∈ Tr(u) Rn với mọi u ∈ U. Đặc biệt, nếu X(u) là một vectơ tiếp xúc của siêu mặt tại r(u) với mọi u ∈ U thì X được gọi là trường vectơ tiếp xúc. Đạo hàm của trường vectơ X theo hướng v , ký hiệu ∇v X , được xác định bởi ∇v X = (X ◦ u)0 (0), trong đó v ∈ Tr(u0 ) Σ, u : [−1, 1] −→ U là một đường cong trong miền tham số Pn−1 ∂r U sao cho u(0) = u0 và (r ◦ u)0 (0) = v. Ta có, nếu v = i=1 vi thì ∇v X = ∂xi
7 Pn−1 ∂X i=1 vi (u0 ). Đặc biệt, đối với trường vectơ pháp đơn vị N, ta có bổ đề sau: ∂xi Bổ đề 1.1.1.1 ([16], Lemma 3.1.8). Đạo hàm của trường vectơ pháp đơn vị N của một siêu mặt Σ theo hướng vectơ tiếp xúc v tại p = r(u) là một vectơ tiếp xúc của siêu mặt đó tại p. Nghĩa là, ta có ∇v N ∈ Tp Σ với mọi v ∈ Tp Σ. Khi đó, ánh xạ tuyến tính Sp : Tp Σ −→ Tp Σ, v 7−→ −∇v N được gọi là toán tử hình dạng hay ánh xạ Weingarten của Σ tại p. Hàm song tuyến tính IIp trên Tp Σ được xác định bởi đẳng thức IIp (v, w) = hSp v, wi, ∀v, w ∈ Tp Σ được gọi là dạng cơ bản thứ hai của Σ. Bổ đề sau khẳng định rằng dạng cơ bản thứ hai có tính chất đối xứng hay Sp là một ánh xạ tuyến tính tự liên hợp. Bổ đề 1.1.1.2 ([16], Theorem 3.1.11). Ta có IIp (∂i r(u), ∂j r(u)) = h∂ij r(u), N(u)i, ∀u ∈ U, i, j = 1, . . . , n − 1. Do đó, dạng cơ bản thứ hai có tính chất đối xứng, nghĩa là hSp v, wi = hv, Sp wi, ∀v, w ∈ Tp Σ, hay nói cách khác Sp là một ánh xạ tuyến tính tự liên hợp. Vì vậy, Sp có đầy đủ các giá trị riêng κ1 (p), . . . , κn−1 (p) và được gọi là các độ cong chính của Σ tại p. Từ đó, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.1.3. Cho Σ là một siêu mặt trong Rn và điểm p ∈ Σ. Khi đó 1. Độ cong trung bình H(p) của siêu mặt Σ tại điểm p ∈ Σ được xác định bởi 1 H(p) = tr Sp . n−1 Do đó, ta có n−1 1 X H(p) = κi (p), n−1 i=1 với κi (p) là các độ cong chính của Σ tại p. ~ := HN được gọi là vectơ độ cong trung bình của Σ. 2. Vectơ H 3. Định thức của Sp được gọi là độ cong Gauss của Σ tại p, ký hiệu bởi K(p).
8 Khi chúng ta cần tính toán các giá trị riêng và độ cong trung bình của một siêu mặt tại một điểm, chúng ta làm việc với một biểu diễn dạng ma trận của ánh xạ Weingarten. Sau đây, chúng ta xây dựng công thức xác định độ cong trung bình của một siêu mặt trong hệ tọa độ địa phương. Cho siêu mặt tham số r : U −→ Rn . Gọi {∂i r} là cơ sở của không gian tiếp xúc của siêu mặt tại điểm p = r(u). Xét các biểu diễn dạng ma trận đối với cơ sở {∂i r} của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai gij := h∂i r, ∂j ri , bij :=II(∂i r, ∂j r) = S(∂i r), ∂j r . Ký hiệu g = (gij ), b = (bij ). Gọi (Sij ) là ma trận của ánh xạ tuyến tính Sp đối với cơ sở {∂i r}. Nghĩa là, ta có n−1 X S(∂i r) = Ski ∂k r. k=1 Khi đó * n−1 + X n−1 X n−1 X bij = bji = Ski ∂k r, ∂j r = Ski gkj = gjk Ski . k=1 k=1 k=1 Suy ra b = gS hay S = g −1 b. Từ đó, chúng ta được n−1 1 X ij H= g bij , n−1 i,j=1 trong đó g −1 = (g ij ) là ma trận nghịch đảo của g. Chúng ta sẽ thường xuyên làm việc với các siêu mặt dạng đồ thị Σu của một hàm trơn u : U ⊆ Rn−1 −→ R, nó là siêu mặt được tham số hóa bởi r(x) = x, u(x) . Khi đó, trường vectơ pháp đơn vị của Σu được tính bởi 1 N= p (−∇u, 1). 1 + |∇u|2 ! ∂ ∇u Suy ra Sii = (−∇∂i r N)i = p , với mọi i = 1, . . . , n − 1. Do đó, độ ∂xi 1 + |∇u|2 cong trung bình của đồ thị Σu được cho bởi đẳng thức ! 1 ∇u H= div . n−1 p 1 + |∇u|2
9 1.1.2 Độ cong trung bình của đa tạp con Một đa tạp tôpô n-chiều M là một không gian tôpô Hausdorff với cơ sở đếm được sao cho mỗi điểm p ∈ M thuộc một tập mở U ⊂ M đồng phôi với một tập mở V ⊂ Rn , tức là tồn tại đồng phôi ϕ : U ⊂ M −→ V ⊂ Rn , với U, V lần lượt là các tập mở trong M và Rn . Mỗi cặp (U, ϕ) được gọi là một bản đồ. Tập hợp các bản đồ {(Ui , ϕi )} phủ M, tức là ∪Ui = M, được gọi là một atlas của M. Giả sử trong Rn đã cố định một hệ tọa độ Descartes (x1 , . . . , xn ). Khi đó, ∀p ∈ U ⊂ M, tọa độ Descartes (x1 (p), . . . , xn (p)) của điểm ϕ(p) ∈ V ⊂ Rn gọi là tọa độ địa phương của p ∈ U. Người ta gọi ϕ là đồng phôi tọa độ, và hệ hàm xi = xi (p), i = 1, . . . , n xác định trên U là một hệ tọa độ địa phương. Do ϕ = (x1 , . . . , xn ) nên chúng ta cũng có thể gọi ϕ là một hệ tọa độ địa phương. Giả sử Uij = Ui ∩ Uj 6= ∅. Khi đó, trên Uij có hai hệ tọa độ địa phương ϕi và ϕj . Các hàm ϕij := ϕj ◦ ϕ−1 −1 i và ϕji := ϕi ◦ ϕj được gọi là các hàm đổi tọa độ. Nếu các hàm đổi tọa độ ϕij và ϕji là các hàm khả vi cấp r với mọi Ui , Uj thì atlas {(Ui , ϕi )} được gọi là một C r -atlas và M được gọi là đa tạp khả vi trơn n-chiều lớp C r hay C r -đa tạp. Khi đó, một đa tạp trơn M cùng với một metric Riemann g cho trước, tức là một dạng song tuyến tính g : Tp M × Tp M −→ R thỏa mãn tính chất đối xứng và xác định dương, được gọi là một đa tạp Riemann, thường ký hiệu bởi cặp (M, g). Đa tạp khả vi M được gọi là đa tạp định hướng được nếu tồn tại một atlas {(Ui , ϕi )} sao cho với mỗi cặp lân cận tọa độ Ui , Uj với Ui ∩Uj 6= ∅, ma trận Jacobi của phép đổi tọa độ ϕj ◦ ϕ−1 i có định thức dương. Một atlas thỏa mãn điều kiện như trên được gọi là một hướng của M. Khi đó, M cùng với một hướng của nó được gọi là đa tạp được định hướng hay đa tạp định hướng. Ngược lại, nếu không tồn tại một atlas thỏa mãn điều kiện như trên thì đa tạp M được gọi là không định hướng được. Hai atlas thỏa mãn điều kiện như trên được gọi là xác định cùng một hướng nếu hợp của chúng cùng thỏa mãn điều kiện như trên. Ta có một số khái niệm liên quan đến đa tạp con như sau: Định nghĩa 1.1.2.1. Một đa tạp M là đa tạp con của đa tạp M ¯ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) M là không gian tôpô con của M¯; ¯ là ánh xạ trơn và tại mỗi điểm p ∈ M, ánh xạ (ii) Ánh xạ nhúng j : M ,→ M đạo hàm dj là 1 − 1. Định nghĩa 1.1.2.2. Cho M ¯ là một đa tạp Riemann n-chiều và M là một đa ¯ là một nhúng tạp Riemann k -chiều. Giả sử n = k + m, m > 0. Gọi j : M −→ M
10 đẳng cự (isometric immersion), tức là j là ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp khả vi với đạo hàm dj luôn đơn ánh tại mọi điểm và j đẳng cự theo nghĩa metric Riemann cảm sinh tự nhiên trên M từ không gian bên ngoài M ¯ trùng với metric Riemann gốc trên M. Khi đó, M (hay j(M )) được gọi là một đa tạp con nhúng (immersion submanifold) của M ¯ hay M là một đa tạp con Riemann k -chiều của M¯ . Số m được gọi là đối chiều của M trên M ¯ . Nếu m = 1 thì đa tạp con M được gọi là siêu mặt trong M ¯. Cho Σ là một đa tạp con k -chiều định hướng có biên hoặc không có biên trong đa tạp Riemann n-chiều (M, g) với liên thông Levi-Civita ∇. Với mỗi trường vectơ X trên Σ, ký hiệu X T và X N lần lượt là thành phần tiếp xúc và thành phần pháp của nó. Định nghĩa sau đây cho ta khái niệm vectơ độ cong trung bình của mặt và độ cong trung bình của siêu mặt như là các đa tạp con. Định nghĩa 1.1.2.3. 1. Dạng cơ bản thứ hai trên Σ là một dạng song tuyến tính đối xứng A, được xác định bởi đẳng thức A(X, Y ) = (∇X Y )N . ~ của Σ tại p được xác định bởi đẳng thức 2. Vectơ độ của trung bình H k ~ = 1 X H A(ei , ei ), k i=1 trong đó {ei } là một cơ sở trực chuẩn của Tp Σ. Nếu Σ là một siêu mặt có ~ vectơ pháp đơn vị N sao cho e1 , . . . , en−1 , N định hướng dương thì H := H.N được gọi là độ cong trung bình của Σ tại p. 3. Cho X là một trường vectơ trên mặt Σ, khi đó divergence của X tại p ∈ Σ, ký hiệu là divΣ X, được xác định bởi k X divΣ X = gp (∇ei X, ei ). i=1 Nhận xét 1.1.2.4. Nếu Σ là một siêu mặt thì ta có n−1 X n−1 X (n − 1)H = g A(ei , ei ), N = − g (∇ei N, ei ) = − divΣ N, i=1 i=1 trong đó N là vectơ pháp đơn vị của Σ tại p.
11 Trong mục 1.2 sau đây, luận án sử dụng tài liệu [50] để trình bày sơ lược về mặt cực tiểu và một số ví dụ về mặt cực tiểu . 1.2 Mặt cực tiểu. Một số ví dụ 1.2.1 Mặt cực tiểu Việc nghiên cứu mặt cực tiểu trong R3 trở nên thú vị từ thời Lagrange. Cho đến nay, vấn đề này vẫn đang thu hút nhiều nhà Toán học. Nó được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.2.1.1. Mặt Σ được gọi là mặt cực tiểu nếu độ cong trung bình của nó triệt tiêu tại mọi điểm, nghĩa là H ≡ 0. Trong Rn , xét đồ thị cực tiểu Σ được xác định bởi xn = f (x1 , · · · , xn−1 ), có tham số hóa r(x1 , . . . , xn−1 ) = (x1 , . . . , xn−1 , f (x1 , . . . , xn−1 )). ∂f ∂r . Metric cảm sinh trên Σ là ds2 = i,j gij dxi dxj , P Ký hiệu fi = và ∂i r = ∂xi ∂xi p = δij + fi fj . Đặt ω = 1 + i fi2 . Ta có ma trận nghịch đảo (g ij ) P trong đó gij của (gij ) được xác định bởi 1 g ij = δij − fi fj . ω2 Vectơ pháp đơn vị của M là 1 N= (f1 , · · · , fn−1 , −1). ω Ta có ∂ ∂f ∇∂i r ∂j r = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0, ) = (0, · · · , 0, fij ) ∂xi ∂xj và 1 bij = A(∂i r, ∂j r) = h∇∂i r ∂j r, Ni = − fij . ω g ij fij = 0. Vì vậy, chúng ta thu được P Từ điều kiện H = 0 ta suy ra rằng i,j phương trình siêu mặt cực tiểu X (1 + fi2 )fjj − fi fj fij = 0. i Phương trình trên tương đương với ∂ 1 ∂f = 0, ∂xj ω ∂xj
12 hay div N = 0. Các phương trình này được gọi là phương trình Lagrange. Đặc biệt, khi n = 3, ta thu được phương trình (1 + fy2 )fxx − 2fx fy fxy + (1 + fx2 )fyy = 0, (1.2.1) trong đó ta đã ký hiệu x = x1 , y = x2 . Tiếp theo, chúng ta có một số ví dụ về mặt cực tiểu cổ điển. 1.2.2 Một số ví dụ Phương trình mặt cực tiểu (phương trình Lagrange) (1 + fy2 )fxx − 2fx fy fxy + (1 + fx2 )fyy = 0 là một phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính. Việc giải nó khá khó. Ngoài các nghiệm là các hàm tuyến tính ra thì nó còn có những nghiệm nào? Vào năm 1776, J. L. Meunier đã là người đầu tiên tìm ra được hai nghiệm không tuyến tính của phương trình trên. Đồ thị của chúng là các mặt Catenoid và Helicoid. Mặt Cateniod được xác dịnh bởi phương trình p z = f (x, y) = cosh−1 x2 + y 2 . Lấy một đường xích |y| = cosh z trong mặt phẳng tọa độ Oyz, quay nó quanh Hình 1.2.1: Mặt cực tiểu Catenoid trục Oz sẽ cho ta mặt Catenoid. Chúng ta có thể chọn một tham số hóa của
13 Catenoid để tính là X(u, v) = (cos u cosh v, sin u cosh v, v); u ∈ [0, 2π), v ∈ R. Dễ dàng kiểm tra được Catenoid là một mặt cực tiểu có độ cong Gauss là 1 K=− . (x2 + y 2 )2 Hơn nữa, năm 1860, O. Bonnet đã khẳng định như sau: Mệnh đề 1.2.2.1 (O. Bonnet 1860). Mỗi mặt cực tiểu tròn xoay bất kỳ trong R3 đều là một mặt Catenoid hoặc một mặt phẳng. Mặt Helicoid được xác định bởi phương trình x z = f (x, y) = tan−1 . y Mặt thu được bằng cách lấy một đường thẳng trên trục Oz sau đó xoắn kiểu đinh ốc đường thẳng này quanh trục Oz. Chúng ta có thể chọn một tham số hóa của Helicoid để tính là X(u, v) = (u sin v, u cos v, v); u, v ∈ R. Dễ dàng kiểm tra được Helicoid cũng là một mặt cực tiểu với độ cong Gauss là 1 K=− , (1 + x2 + y 2 )2 Hơn nữa, năm 1842, Catalan đã cho chúng ta kết quả sau: Mệnh đề 1.2.2.2 (E. Catalan, 1842). Mỗi mặt kẻ cực tiểu trong R3 phải là một mặt Helicoid hoặc một mặt phẳng. Hình 1.2.2: Mặt cực tiểu Helicoid Tiếp theo, chúng ta xét một loại mặt cực tiểu khác. Xét một nghiệm đặc biệt của phương trình Lagrange (1.2.1) có dạng f (x, y) = g(x) + h(y). Tính toán trực tiếp, chúng ta thu được 1 cos ax f (x, y) = log . a cos ay