Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz- Minkowski

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:102

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài nghiên cứu nhằm xây dựng một số công cụ hữu hiệu để có thể nghiên cứu các tính chất hình học của mặt kiểu không gian đối chiều hai; nghiên cứu các khái niệm rốn trên mặt kiểu không gian đối chiều hai, đưa ra một số kết quả phân loại mặt kiểu không gian ν-rốn đối chiều hai và mặt kiểu không gian rốn đối chiều hai. Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết đề tài!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz- Minkowski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG VĂN CƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC CỦA MẶT ĐỐI CHIỀU HAI TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG VĂN CƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC CỦA MẶT ĐỐI CHIỀU HAI TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 62 46 10 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU TS. NGUYỄN DUY BÌNH Nghệ An - 2013
i MỤC LỤC Mục lục i Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 Tổng quan và cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7.1 Tổng quan luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7.2 Cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 1 Kiến thức cơ sở 11 1.1 Không gian Lorentz-Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Các độ cong của mặt trong Rn+1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 a) Độ cong liên kết với một trường vectơ pháp . . . . . . . . . . 16 b) Elip độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Kết luận chương 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2 Xây dựng ánh xạ ν-Gauss nhận giá trị trên HSr , trên LSr và tính chất hình học của mặt ν-rốn 23 2.1 Ánh xạ Gauss nhận giá trị trên HSr và mặt n± r -rốn . . . . . . . . . 25 a) Ánh xạ n± r -Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 b) Mặt n∗r -dẹt đối chiều hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
ii c) Mặt n∗r -rốn đối chiều hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 d) Một số ví dụ mặt ν -rốn trong R41 . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Ánh xạ Gauss nhận giá trị trên LSr và mặt l± r -rốn . . . . . . . . . . 40 a) Ánh xạ l± r -Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 b) Mặt l∗r -rốn đối chiều hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Mặt rốn đối chiều hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kết luận chương 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Chương 3 Tính chất hình học của mặt ν-phẳng trong R41 49 3.1 Mối liên hệ giữa mặt ν -rốn và mặt ν -phẳng . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Tính phẳng của mặt trong không gian 4-chiều . . . . . . . . . . . . 54 a) Tính phẳng của mặt trong R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 b) Tính phẳng của mặt kiểu không gian trong R41 . . . . . . . . 58 3.3 Một số ví dụ về mặt ν -phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Kết luận chương 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Chương 4 Mặt kẻ và mặt tròn xoay kiểu không gian trong R41 68 4.1 Mặt kẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2 Mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 a) Mặt tròn xoay kiểu hypebolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 b) Mặt tròn xoay kiểu eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 c) Mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng . . . . . . . . . . . . . 84 Kết luận chương 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Danh mục các công trình của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án . . 90 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Chỉ mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và luận án không trùng lặp với bất kì tài liệu nào khác. Tác giả
iv LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu và thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình. Sự định hướng của quý Thầy trong nghiên cứu, sự nghiêm khắc của các Thầy trong học tập và sự hướng dẫn tận tình của quý Thầy trong làm việc là những yếu tố cơ bản nhất tác động nên việc hoàn thành luận án. Thêm vào đó là tình yêu thương của hai Thầy dành cho tác giả trong cuộc sống đã cho tác giả có sức mạnh để vượt qua rất nhiều khó khăn trong học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến với hai Thầy. Luận án như là món quà tác giả tặng đến gia đình mình, những người đã dành cho tác giả những gì tốt nhất trong quá trình học tập. Cảm ơn người vợ thân yêu đã nỗ lực hết sức một mình chăm sóc gia đình trong suốt thời gian tác giả đi học. Tác giả gửi lời cảm ơn đến Khoa Toán và Khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, nơi tác giả đã học tập và nghiên cứu trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Tác giả gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Duy Tân và Khoa Khoa học tự nhiên - Trường Đại học Duy Tân, nơi tác giả công tác giảng dạy và cũng là nơi cử tác giả đi làm nghiên cứu sinh. Tác giả gửi lời cảm ơn đến Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Huế, nơi tác giả đã dành nhiều thời gian làm nghiên cứu. Tác giả gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Huỳnh Phán, PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang, GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, TS. Kiều Phương Chi và PGS. TS. Trần Văn Ân đã dành thời gian đọc luận án và cho tác giả những nhận xét quý báu. Tác giả gửi lời cảm ơn đến tất cả các nhà khoa học, thầy cô, người thân, bạn bè vì những góp ý, ủng hộ và động viên về tinh thần cũng như vật chất dành cho tác giả. Nghệ An, tháng 01 năm 2013 Đặng Văn Cường
Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài 1.1 Việc nghiên cứu các tính chất địa phương và toàn cục của mặt là một trong những vấn đề cơ bản của hình học vi phân. Tính chất địa phương của mặt là những tính chất liên quan đến tham số hóa địa phương của mặt, còn tính chất toàn cục là những tính chất thể hiện trên toàn bộ mặt mà không chịu sự chi phối của tham số hóa địa phương. Chúng ta đã biết, trong hình học vi phân cổ điển, một trong những công cụ cơ bản để nghiên cứu các tính chất địa phương của mặt là ánh xạ Gauss. Ánh xạ Gauss đưa đến các khái niệm độ cong bao gồm: độ cong Gauss; độ cong trung bình; độ cong chính,. . . . Với các mặt đối chiều một, mặt trong R3 và siêu mặt trong Rn , ánh xạ Gauss đã chứng tỏ là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất địa phương của chúng. Chẳng hạn, dựa vào tính chất của độ cong chúng ta nhận được kết quả: một mặt chính quy trong R3 là mặt rốn khi và chỉ khi nó là (một phần của) một mặt cầu hoặc (một phần của) một mặt phẳng. Đối với các tính chất toàn cục của mặt, một trong những công cụ để tìm được mối liên hệ giữa tính chất địa phương với tính chất toàn cục là trường Jacobi dọc theo một đường trắc địa. Thông qua công cụ này một số tính chất toàn cục của mặt trong R3 đã được đưa ra trong lý thuyết hình học vi phân cổ điển. Chẳng hạn, một mặt chính quy trong R3 có độ cong Gauss đồng nhất bằng không khi và chỉ khi nó là mặt kẻ khả triển. Việc tìm hiểu các kết quả thể hiện các tính chất hình học của lớp mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski, tương tự như trường hợp của mặt trong R3 , là một trong những vấn đề được chúng tôi quan tâm. 1.2 Hình học của mặt trong R4 đã được quan tâm nghiên cứu trong một số công trình như: [10], [31], [32], [38], [34], [26], [30], [39]. . . . Chúng ta có thể điểm lại một số kết quả 1
2 chính đã đạt được trong lĩnh vực này như sau. Vào năm 1969, Little [26] đã xây dựng các bất biến hình học, chẳng hạn như elip độ cong, để nghiên cứu tính kỳ dị của đa tạp con đối chiều hai trong không gian Ơ-clít. Cũng trong [26] tác giả đã chỉ ra được rằng mặt trong R4 thoả mãn điều kiện mọi trường vectơ pháp là trường trùng pháp khi và chỉ khi nó là một mặt kẻ khả triển. Đến năm 1995, Mochida và một số tác giả khác trong [31] đưa ra một số điều kiện cần và đủ về sự tồn tại trường trùng pháp của mặt trong R4 . Trong bài báo này các tác giả đã khẳng định điều kiện cần và đủ để mặt trong R4 chấp nhận đúng hai trường trùng pháp là lồi ngặt địa phương. Các kết quả này được mở rộng lên mặt đối chiều hai trong Rn+2 bởi Mochida và một số tác giả khác trong [32] vào năm 1999. Hướng nghiên cứu này được tiếp tục bởi Romero-Fuster và Sánchez-Brigas [38] vào năm 2002, để nghiên cứu khái niệm rốn trên mặt. Trong [38] các tác giả đã chỉ ra mối quan hệ tương đương giữa các lớp mặt: ν-rốn, tồn tại hai phương tiệm cận trực giao với nhau tại mọi điểm, nửa rốn và độ cong pháp đồng nhất bằng không. Đến năm 2010, Nue no-Ballesteros và Romero-Fuster [34] xây dựng khái niệm quỹ tích độ cong (curvature locus), nó là một mở rộng của khái niệm elip độ cong cho mặt đối chiều hai trong Rn+2 , để nghiên cứu tính chất của các đa tạp con đối chiều hai. Trong bài báo này các tác giả cũng đã chuyển một số kết quả trong [38] lên đa tạp con đối chiều hai trong Rn+2 . Việc phát triển các kết quả nghiên cứu về mặt trong R4 lên mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski là một trong những vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu. 1.3 Những năm gần đây một số kết quả nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski đã được công bố, chẳng hạn như [17], [20], [21], [22], [24], [23],. . . . Chúng ta điểm qua một số kết quả chính cho lĩnh vực này như sau. Bằng cách sử dụng tính chất của độ cong liên kết với một trường vectơ pháp để nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai, vào năm 2004 Izumiya và một số tác giả khác trong [20] đã chỉ ra rằng nếu mặt chứa trong một giả cầu thì nó là mặt ν-rốn, trong đó ν là trường vectơ vị trí của mặt. Với chiều ngược lại của mệnh đề này, các tác giả trong [20] bổ sung thêm giả thiết song song của ν để mặt ν-rốn chứa trong một giả cầu. Trong bài báo này các tác giả cũng đã trình bày lại cách xây dựng khái niệm elip độ cong cho mặt kiểu không gian hai chiều trong không gian Lorentz-Minkowski số chiều lớn hơn 3 và chỉ ra mối liên hệ giữa mặt ν-rốn và mặt nửa rốn, nó là mặt mà elip độ cong suy biến thành một đoạn thẳng. Xuất phát từ tính chất mặt phẳng pháp của một mặt kiểu không gian
3 đối chiều hai là một 2-phẳng kiểu thời gian, dễ dàng chỉ ra được rằng nó có một cơ sở giả trực chuẩn với một vectơ kiểu không gian và một vectơ kiểu thời gian. Bằng cách sử dụng tổng và hiệu của hai vectơ trong cơ sở này của mặt phẳng pháp, vào năm 2007 Izumiya và một số tác giả trong [21], đã xây dựng khái niệm ánh xạ Gauss nón ánh sáng và nghiên cứu khái niệm dẹt trên các mặt kiểu không gian đối chiều hai. Tìm cách xác định một trường vectơ pháp trên mặt kiểu không gian đối chiều hai, xem như ánh xạ Gauss, thuận tiện cho việc nghiên cứu các tính chất hình học của mặt, cũng là một trong những vấn đề chúng tôi quan tâm. 1.4 Nghiên cứu tính phẳng, điều kiện chứa trong mặt phẳng, của một đường cong trong R3 là một bài toán cổ điển của hình học vi phân. Tính phẳng của đường cong phụ thuộc vào độ xoắn của đường cong, đường cong là phẳng khi và chỉ khi độ xoắn của nó bằng không. Điều này tương đương với trường vectơ trùng pháp của đường cong là trường vectơ hằng. Ngoài ra một số tính chất của mặt phẳng mật tiếp của đường cong cũng cho chúng ta một số điều kiện đủ để đường cong phẳng. Tìm kiếm các điều kiện đủ để một mặt kiểu không gian trong R41 chứa trong một siêu phẳng cũng là một trong những vấn đề chúng tôi quan tâm. 1.5 Việc nghiên cứu các lớp mặt đặc biệt trong không gian, chẳng hạn mặt kẻ, mặt tròn xoay, . . . , cũng là một trong những vấn đề được các nhà hình học quan tâm. Khi xây dựng một công cụ nào đó để nghiên cứu các lớp mặt, công cụ đó thực sự có giá trị nếu nó có thể đưa ra một phân loại cho các lớp mặt đặc biệt này. Chúng tôi cũng mong muốn đưa ra các định lí phân loại cho các lớp mặt đặc biệt, chẳng hạn như mặt kẻ cực đại, mặt tròn xoay cực đại hay khảo sát khái niệm rốn trên các lớp mặt này. Bởi các lý do nêu ở trên, tôi chọn đề tài “Một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski” làm đề tài luận án tiến sĩ. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất hình học của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski với các mục đích sau. (1) Xây dựng một số công cụ hữu hiệu để có thể nghiên cứu các tính chất hình học của mặt kiểu không gian đối chiều hai.
4 (2) Nghiên cứu các khái niệm rốn trên mặt kiểu không gian đối chiều hai, đưa ra một số kết quả phân loại mặt kiểu không gian ν-rốn đối chiều hai và mặt kiểu không gian rốn đối chiều hai. (3) Nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng. (4) Nghiên cứu các điều kiện chứa trong siêu phẳng của mặt trong không gian R4 sau đó mở rộng lên mặt kiểu không gian trong R41 . (5) Sử dụng các kết quả đạt được theo hướng nghiên cứu để ứng dụng vào việc khảo sát tính chất hình học của một số lớp mặt kiểu không gian đặc biệt trong không gian Lorentz-Minkowski R41 , đó là mặt kẻ và mặt tròn xoay. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm: mặt kiểu không gian đối chiều hai; các công cụ nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai; các tính chất hình học của mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski. Vậy nên, nếu không được nhắc lại, đối tượng mặt trong luận án được hiểu là mặt kiểu không gian đối chiều hai. 4. Phạm vi nghiên cứu Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất địa phương và toàn cục trên mặt kiểu không gian đối chiều hai, nghiên cứu một số lớp mặt kiểu không gian đối chiều hai đặc biệt trong không gian Lorentz-Minkowski. 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp lý thuyết trong quá trình thực hiện đề tài. Bằng cách sử dụng các công cụ là các độ cong trên mặt, chẳng hạn độ cong liên kết với một trường vectơ pháp; elip độ cong; độ cong Gauss, chúng tôi tìm kiếm các tính chất hình học của mặt đối chiều hai thoả mãn tương ứng các điều kiện của các độ cong này cũng như mối liên hệ giữa các lớp mặt đó.
5 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 6.1 Luận án góp phần giải quyết các bài toán của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski sau: (1) Đưa ra hai phương pháp để xác định một trường vectơ pháp khả vi trên phân thớ pháp của mặt đối chiều hai, đó là một cặp trường vectơ pháp kiểu không gian và một cặp trường vectơ pháp kiểu ánh sáng. (2) Sử dụng trường vectơ pháp ν (được xác định ở trên) vào việc nghiên cứu khái niệm dẹt trên mặt và đưa ra một số định lí thể hiện được tính chất hình học của mặt ν-dẹt. (3) Đưa ra một số định lí có tính phân loại đối với các mặt chứa trong một giả cầu thoả mãn điều kiện ν-rốn hoặc mặt thoả mãn điều kiện rốn. (4) Đưa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trường vectơ pháp là trường trùng pháp. Xác định quan hệ giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng. (5) Đưa ra các điều kiện đủ để mặt trong R4 và R41 thuộc một siêu phẳng. (6) Đưa ra các định lí thể hiện tính chất hình học của một số mặt kiểu không gian đặc biệt trong R41 bao gồm: mặt kẻ cực đại; mặt tròn xoay (kiểu hypebolic và kiểu eliptic) cực đại; mặt tròn xoay (kiểu hypebolic và kiểu eliptic) rốn. Chỉ ra số lượng trường trùng pháp trên mặt kẻ, mặt tròn xoay (kiểu hypebolic hoặc eliptic). Đưa ra các điều kiện tương ứng với số lượng trường trùng pháp trên mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng. Xác định các trường vectơ pháp ν trên mặt kẻ và mặt tròn xoay để chúng là mặt ν-rốn. 6.2 Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, cho học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này.
6 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan luận án Phần kiến thức cơ sở của luận án được giới thiệu trong chương 1. Đây là khối kiến thức rất căn bản nhưng nó được sử dụng nhiều trong luận án nên không thể bỏ qua. Đóng góp của luận án được trình bày trong các chương 2, 3 và 4. Trong chương 2, chúng tôi đưa ra hai phương pháp để xác định một cặp trường vectơ pháp khả vi trên mặt, một cặp kiểu không gian và một cặp kiểu ánh sáng, đồng thời ứng dụng các trường vectơ pháp này để nghiên cứu tính chất hình học của mặt ν-rốn, mặt rốn. Chương 3 đưa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trường vectơ pháp trên mặt là trường trùng pháp, nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng đồng thời xác định số lượng trường trùng pháp trên mặt ν-rốn. Cũng trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu các điều kiện đủ để một mặt trong không gian 4-chiều, R4 và R41 , chứa trong một siêu phẳng. Trong chương 4, chúng tôi khảo sát một số tính chất hình học của hai lớp mặt đặc biệt trong R41 , đó là mặt kẻ kiểu không gian và mặt tròn xoay kiểu không gian. 7.1.1 Việc nghiên cứu lớp mặt ν-rốn đối chiều hai, trước hết cần kể đến các tác giả Izumiya, Pei, Romero-Fuster,. . . trong các bài báo [18], [17], [20], [21], [22], [23],. . . . Các tác giả đã giả sử trên mặt tồn tại một trường vectơ pháp ν (kiểu không gian, kiểu thời gian hoặc kiểu ánh sáng), xây dựng các độ cong liên kết với trường vectơ pháp ν, sau đó đưa ra một số tính chất hình học của mặt ν-rốn. Tuy nhiên, sự tồn tại các trường vectơ pháp ν như thế nào thì chưa được nhắc đến. Điều này có ý nghĩa về mặt lý thuyết nhưng lại khó khăn khi thực hành tính toán trên các mặt cụ thể. Cho đến thời điểm này, khi cho một mặt dưới dạng tham số hoá, việc xác định một trường vectơ pháp trên mặt đồng thời kiểm soát được thuộc tính (kiểu không gian, kiểu thời gian hoặc kiểu ánh sáng) của nó vẫn đang là vấn đề chưa được nghiên cứu cụ thể. Trong Chương 2 của luận án này chúng tôi đưa ra hai phương pháp để xác định hai cặp trường vectơ pháp trên một mặt được cho dưới dạng tham số, đó là một cặp trường vectơ pháp kiểu không gian và một cặp trường vectơ pháp kiểu ánh sáng. Điều này có ý nghĩa về mặt thực hành, khi cho một mặt tham số chúng ta sẽ xác định được trường vectơ pháp cụ thể trên mặt (kiểu không gian hoặc kiểu ánh sáng) từ đó ta tính được các độ cong liên kết với nó để nghiên cứu các tính chất hình học của mặt. Quá trình này được tổng quan lại như sau: Với mỗi điểm p ∈ M, mặt phẳng pháp Np M của M tại p là một 2-phẳng kiểu thời gian, nó sẽ
7 cắt n-không gian hypebolic tâm v = (0, 0, . . . , 0, −1) bán kính R = 1 (t.ư. nón ánh sáng) theo một hypebol (t.ư. hai tia). Với một số thực r > 0, siêu phẳng {xn+1 = r} cắt hypebol (t.ư. hai tia) theo đúng hai vectơ, ký hiệu là n± ± r (t.ư. lr ). Chúng ta chứng minh được các trường vectơ n± ± r (t.ư. lr ) là các trường vectơ kiểu không gian (t.ư. kiểu ánh sáng) khả vi (Định lí 2.1.3) và vì vậy có thể tính toán các độ cong liên kết với chúng để tiến hành nghiên cứu mặt n∗r -rốn và mặt l∗r -rốn. Không cần giả thiết n∗r là trường vectơ pháp song song (như trong [20]), M là mặt n∗r -dẹt khi và chỉ khi n∗r là trường vectơ hằng, điều này tương đương với M chứa trong một siêu phẳng kiểu thời gian không chứa trục xn+1 (Định lí 2.1.5). Chúng tôi cũng đưa ra một số điều kiện tương đương để các mặt chứa trong một giả cầu hypebolic là mặt n∗r -rốn (Định lí 2.1.12). Vì n∗r không là trường vectơ pháp song song nên nếu M là mặt n∗r -rốn thì nói chung (ngay cả khi M chứa trong một giả cầu) hàm độ cong n∗r -chính không là hàm hằng. Định lí 2.1.14 cho chúng ta các tính chất hình học của mặt chứa trong giả cầu hypebolic thoả mãn điều kiện n∗r -rốn và độ cong n∗r -chính là hàm hằng. Với mặt không giả thiết chứa trong giả cầu, điều kiện n∗r -rốn và n∗r song song tương đương với điều kiện M chứa trong giao của một giả cầu hypebolic với một siêu phẳng {xn+1 = c} (Định lí 2.1.15). Chúng tôi cũng đưa ra một điều kiện tương đương với điều kiện song song của n∗r (Định lí 2.1.16). Để có một phân lớp giữa mặt: ν-rốn; mặt rốn; mặt chứa trong giả cầu và mặt ν-rốn với hàm độ cong hằng, chúng tôi đưa ra các ví dụ trong mục d). Các kết quả nhận được là tương tự khi sử dụng trường vectơ pháp l∗r để nghiên cứu mặt l∗r -rốn. Điều này được thể hiện trong các Định lí 2.2.7, 2.2.8 và 2.2.9. Điều đáng lưu ý ở đây là ánh xạ l± r -Gauss thực sự hữu dụng với lớp mặt chứa trong giả cầu de Sitter, nơi mà sử dụng ánh xạ n∗r -Gauss có phần không thuận lợi trong việc khảo sát khái niệm rốn của mặt. Tổng hợp các kết quả về mặt ν-rốn và kết hợp với sự tồn tại trường mục tiêu gồm các trường vectơ song song trên một liên thông dẹt, chúng tôi nhận được đặc trưng hình học của mặt rốn đối chiều hai trong Định lí 2.3.2. 7.1.2. Trong Chương 3 của luận án chúng tôi đưa ra một điều kiện để kiểm tra một trường vectơ pháp là trường trùng pháp, nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng và phát triển một số kết quả trong [29], [31], [32], [38], [34] về mặt trong R4 lên mặt trong R41 , nghiên cứu các điều kiện đủ để mặt trong R4 chứa trong một siêu phẳng và phát triển lên mặt kiểu không gian trong R41 . Trước hết, sử dụng tích ngoài của 3 vectơ, chúng tôi đưa ra một điều kiện để kiểm tra một trường vectơ pháp có phải là trường trùng pháp hay không (Mệnh đề 3.1.2). Về
8 quan hệ bao hàm giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng, Định lí 3.1.3 chỉ ra rằng trên mặt ν-rốn (không ν-dẹt) luôn tồn tại ít nhất 1 và nhiều nhất 2 trường trùng pháp, tức nó là một mặt ν-phẳng. Hơn thế, chúng tôi cũng cho các ví dụ để chỉ ra sự tồn tại các mặt ν-phẳng nhưng trên nó không tồn tại bất kỳ trường vectơ pháp ν nào để nó là mặt ν-rốn. Điều này có nghĩa lớp mặt ν-rốn chứa trong lớp mặt ν-phẳng, nhưng chiều ngược lại thì không đúng. Ngoài ra, Mệnh đề 3.1.10 còn cho chúng ta một điều kiện cần và đủ để mặt hoàn toàn phẳng. Tiếp theo chúng tôi nghiên cứu một số điều kiện đủ để một mặt trong không gian bốn chiều chứa trong một siêu phẳng. Trước hết, chúng tôi có các ví dụ để chỉ ra rằng việc mở rộng các điều kiện đủ để đường cong trong R3 chứa trong một siêu phẳng lên mặt trong trong không gian 4-chiều chứa trong một siêu phẳng nói chung là không đúng (Ví dụ 3.2.1, 3.2.2). Từ tính chất của các mặt phẳng tiếp xúc, Mệnh đề 3.2.5 cho chúng ta hai điều kiện đủ để một mặt là mặt ν-dẹt. Mở rộng lên tính chất của các siêu phẳng ν-pháp trên mặt, Mệnh đề 3.2.6 cho các điều kiện để để mặt là mặt ν-phẳng. Tuy vậy, các điều kiện này chưa đủ để suy ra mặt chứa trong siêu phẳng. Bằng cách bổ sung các điều kiện mạnh hơn, chúng tôi nhận được bốn điều kiện đủ để một mặt trong R4 chứa trong một siêu phẳng (Mệnh đề 3.2.7). Ý tưởng của việc đưa ra các điều kiện này xuất phát từ việc mở rộng các kết quả về điều kiện phẳng của đường cong trong R3 . Mặc dù các kết quả của các Mệnh đề 3.2.5, 3.2.6 và 3.2.7 được phát biểu cho mặt trong R4 nhưng nó vẫn đúng đối với mặt kiểu không gian trong R41 . Khi trường vectơ pháp là trường vectơ kiểu không gian hoặc kiểu thời gian thì các kết quả tính chất của mặt trong trong R4 và mặt kiểu không gian trong R41 nói chung là trùng nhau. Sự khác biệt về tính chất của mặt kiểu không gian trong R41 với mặt trong R4 thể hiện khi trường vectơ pháp của mặt là trường kiểu ánh sáng. Các Mệnh đề 3.2.13 và 3.2.15 đưa ra các điều kiện chứa trong siêu phẳng của mặt kiểu không gian nhưng nó chỉ đúng khi trường vectơ pháp là trường vectơ kiểu ánh sáng. Chúng tôi cũng đưa ra các ví dụ để chỉ ra các kết quả này không đúng đối với mặt trong R4 cũng như đối với mặt kiểu không gian mà trường vectơ pháp không là trường kiểu ánh sáng. Phần cuối của Chương 3 chúng tôi đưa ra các ví dụ minh hoạ cho các kết quả đạt được, các phản ví dụ cho các kết quả cũng như khẳng định tính tối ưu của các giả thiết được đưa ra trong các mệnh đề và các định lí. 7.1.3. Việc khảo sát các tính chất hình học cũng như tìm kiếm các kết quả có tính phân
9 loại các lớp mặt cụ thể, chẳng hạn mặt kẻ hay mặt tròn xoay, là một trong các vấn đề được các nhà hình học thực sự quan tâm. Như một ứng dụng của Chương 2 và Chương 3, trong Chương 4 chúng tôi tập trung khảo sát một số tính chất hình học của mặt kẻ và mặt tròn xoay kiểu không gian trong R41 . Tương ứng với các điều kiện cụ thể, Mệnh đề 4.1.3 xác định số lượng phương trùng pháp tại mỗi điểm trên mặt kẻ. Mệnh đề 4.1.5 chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để một mặt kẻ cực đại là nó cực đại trong một siêu phẳng kiểu không gian, lớp mặt kẻ kiểu không gian ν-rốn và rốn là trùng nhau. Với mặt tròn xoay trong R41 , chúng tôi xét hai loại mặt, đó là xoay một đường cong trong không gian ba chiều quanh một mặt phẳng (mặt tròn xoay kiểu hypebolic và kiểu eliptic) và xoay một đường cong phẳng đồng thời quanh hai mặt phẳng với tốc độ quay khác nhau (mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng). Định lí 4.2.4 và Định lí 4.2.10, bằng cách ứng dụng ánh xạ l± r -Gauss, cho chúng ta xác định được phương trình tham số của mặt tròn xoay (kiểu hypebolic và kiểu eliptic) thoả mãn điều kiện rốn. Tiếp tục ứng dụng ánh xạ l± r -Gauss, chúng ta xác định được phương trình tham số hóa của mặt tròn xoay (kiểu hypebolic và kiểu eliptic) là mặt cực đại (Định lí 4.2.6, Định lí 4.2.12). Mệnh đề 4.2.8 và Mệnh đề 4.2.14 khẳng định trên mặt tròn xoay kiểu hypebolic và kiểu eliptic (không chứa trong siêu phẳng) tồn tại đúng hai trường trùng pháp và tồn tại duy nhất một trường vectơ pháp ν để mặt ν-rốn. Định lí 4.2.16 chỉ ra rằng tính chất hằng của độ cong Gauss đối mặt tròn xoay kiểu hypebolic và eliptic trong R41 là trùng nhau và chỉ phụ thuộc vào hàm bán kính quay. Khi đó, công thức xác định bán kính quay chỉ phụ thuộc vào dấu của độ cong Gauss. Với mặt tròn xoay có kinh tuyến phẳng, chúng tôi đưa ra được các điều kiện của tham số hoá đường kinh tuyến tương ứng với việc xác định số lượng trường trùng pháp trên mặt. Chúng tôi cũng cho các ví dụ chỉ ra sự tồn tại của các lớp mặt tương ứng với các điều kiện được đưa ra. 7.2. Cấu trúc luận án Nội dung của luận án được chia làm 4 chương. Ngoài ra luận án còn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án, Tài liệu tham khảo và Chỉ mục. Chương 1 là chương kiến thức cơ sở bao gồm 2 mục. Mục 1.1 trình bày khối các kiến thức cơ bản về không gian Lorentz-Minkowski. Mục 1.2 giới thiệu một số công cụ nghiên cứu mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski mà luận án sử dụng, nó được
10 chia thành 2 mục nhỏ bao gồm: Mục a) trình bày các kiến thức về các độ cong liên kết với một trường vectơ pháp cũng như các khái niệm mặt tương ứng với một số trường hợp đặc biệt của các độ cong này; Mục b) giới thiệu khái niệm elip độ cong của mặt trong không gian Lorentz-Minkowski. Chương 2 trình bày các nội dung nghiên cứu các khái niệm rốn (ν-rốn) trên mặt đối chiều hai, bao gồm 3 mục. Mục 2.1 trình bày cách xây dựng ánh xạ n± r -Gauss và ứng dụng của nó để đưa ra một số tính chất hình học của mặt ν-rốn; Mục 2.2 trình bày cách xây dựng ánh xạ l± r -Gauss và ứng dụng của nó vào việc nghiên cứu mặt ν-rốn; Mục 2.3 trình bày phân loại mặt rốn. Nội dung trong chương chủ yếu nghiên cứu tính chất địa phương trên mặt, riêng các tính chất n± ± r -dẹt và lr -dẹt thể hiện tính chất toàn cục trên mặt. Chương 3 nghiên cứu tính chất hình học của mặt ν-phẳng và điều kiện chứa trong siêu phẳng của mặt trong không gian 4-chiều, bao gồm 3 mục. Mục 3.1. đưa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trường vectơ pháp là trường trường trùng pháp và xác định mối quan hệ giữa mặt ν-rốn, mặt ν-phẳng và mặt rốn. Mục 3.2 trình bày nghiên cứu các điều kiện đủ để mặt trong không gian 4-chiều chứa trong siêu phẳng, bao gồm hai mục nhỏ. Mục a) nghiên cứu các điều kiện đủ để mặt trong R4 chứa trong siêu phẳng và Mục b) mở rộng các kết quả vừa đạt được trong R4 lên mặt kiểu không gian trong R41 . Mục 3.3 trình bày một số ví dụ về mặt ν-phẳng và một số phản ví dụ cho các phát biểu trong chương này. Các kết quả trong mục 3.1 thể hiện các tính chất địa phương trên mặt, riêng các kết quả trong mục 3.2 thể hiện được tính chất toàn cục trên mặt. Chương 4 trình bày một số tính chất của mặt kẻ và mặt tròn xoay trong R41 , bao gồm 2 mục. Mục 4.1 trình bày một số tính chất hình học của mặt kẻ kiểu không gian trong R41 . Mục 4.2 trình bày một số tính chất hình học của mặt tròn xoay trong R41 , bao gồm: Mục a) trình bày các kết quả nghiên cứu về mặt tròn xoay kiểu hypebolic, Mục b) trình bày các kết quả nghiên cứu về mặt tròn xoay kiểu eliptic và Mục c) trình bày một số tính chất của mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng trong R41 .
Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tôi tổng quan khối kiến thức về không gian Lorentz- Minkowski Rn+1 1 , giới thiệu một số độ cong trên mặt đối chiều hai và một số lớp mặt đối chiều hai trong Rn+1 1 . Đây là khối kiến thức hết sức căn bản của hình học vi phân, nhưng vì được sử dụng nhiều trong luận án nên không thể không nhắc đến. 1.1 Không gian Lorentz-Minkowski Trong mục này, chúng tôi chỉ giới thiệu các kết quả được sử dụng trong các chương sau của luận án mà không đi vào các chứng minh chi tiết. Cho Rn+1 là không gian vectơ thực và ξ = {e1 , e2 , . . . , en+1 } là cơ sở chính tắc của Rn+1 . Định nghĩa 1.1.1. Không gian Lorentz-Minkowski (n + 1)-chiều, ký hiệu Rn+1 1 , là không gian vectơ Rn+1 được trang bị dạng song tuyến tính đối xứng và không suy biến, xác định bởi n X g(x, y) := hx, yi = xi y i − xn+1 y n+1 , i=1 1 2 n+1 trong đó x = (x , x , . . . , x ) , y = (y , y , . . . , y n+1 ) . 1 2 Dễ dàng kiểm tra được rằng, h, i là một tích (giả) vô hướng trên Rn+1 1 với chỉ số (n, 1). Vì h, i không xác định dương nên hx, xi có thể bằng không hoặc âm. Từ đó các vectơ trên Rn+1 1 được phân thành ba loại khác nhau. 11
12 Định nghĩa 1.1.2. Một vectơ x ∈ Rn+1 1 được gọi là 1. kiểu không gian (spacelike) nếu hx, xi > 0 hoặc x = 0, 2. kiểu thời gian (timelike) nếu hx, xi < 0, 3. kiểu ánh sáng (lightlike) nếu hx, xi = 0 và x 6= 0. Với x, y ∈ Rn+1 1 , nếu hx, yi = 0 thì ta nói x và y (giả) trực giao với nhau. Chuẩn của một vectơ x ∈ Rn+1 1 , ký hiệu kxk, là p kxk = |hx, xi|. Cho một vectơ khác không n ∈ Rn+1 1 và c ∈ R ta xác định siêu phẳng với vectơ pháp n là HP n (c) = x ∈ Rn+1 1 | hx, ni = c . Siêu phẳng HP n (c) được gọi là kiểu không gian, kiểu ánh sáng hoặc kiểu thời gian nếu vectơ n tương ứng là vectơ kiểu thời gian, kiểu ánh sáng hoặc kiểu không gian. Dễ dàng chỉ ra được rằng, HP n (c) là siêu phẳng kiểu không gian nếu và chỉ nếu mọi vectơ x ∈ HP n (c) là vectơ kiểu không gian; HP n (c) là siêu phẳng kiểu ánh sáng nếu và chỉ nếu nó chứa một vectơ kiểu ánh sáng nào đó và không chứa vectơ kiểu thời gian nào; HP n (c) là siêu phẳng kiểu thời gian nếu và chỉ nếu nó chứa ít nhất một vectơ kiểu thời gian. Trường hợp c = 0, siêu phẳng HP n (c) được ký hiệu đơn giản HP n . Ta có ba loại giả cầu trên Rn+1 1 được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.1.3. Với một vectơ a = (a1 , . . . , an+1 ) ∈ Rn+1 1 và một hằng số dương R, ta có: 1. Giả cầu hypebolic tâm a và bán kính R, ký hiệu H n (a, R), là H n (a, R) = x ∈ Rn+1 1 | hx − a, x − ai = −R . Khi a = 0 và R = 1 ta có giả cầu hypebolic, ký hiệu H n . 2. Giả cầu de Sitter tâm a và bán kính R, ký hiệu S1n (a, R), là S1n (a, R) = x ∈ Rn+1 1 | hx − a, x − ai = R . Khi a = 0 và R = 1 ta có giả cầu de Sitter, ký hiệu S1n .
13 3. Giả cầu nón ánh sáng với đỉnh a, ký hiệu LC(a), là LC(a) = x ∈ Rn+1 1 | hx − a, x − ai = 0 . Trường hợp a = 0 ta có nón ánh sáng LC = x ∈ Rn+1 1 | hx, xi = 0 , và các ký hiệu LC ∗ = x = x1 , . . . , xn+1 ∈ LC | xn+1 6= 0 , LC+∗ = x = x1 , . . . , xn+1 ∈ LC | xn+1 > 0 . Từ định nghĩa trên ta có các khái niệm: n-không gian hypebolic tâm a và bán kính R được ký hiệu và xác định như sau: H+n (a, R) = x ∈ Rn+1 | hx − a, x − ai = −R, xn+1 − an+1 > 0 ; 1 n-không gian nón ánh sáng với đỉnh a được ký hiệu và xác định LC+ (a) = x ∈ Rn+1 | hx − a, x − ai = 0, xn+1 − an+1 > 0 . 1 n-cầu nón ánh sáng đơn vị, ký hiệu S+n , là S+n = x = x1 , . . . , xn+1 ∈ Rn+1 | hx, xi = 0, xn+1 = 1 . 1 Với x = (x1 , x2 , . . . , xn+1 ) là một vectơ kiểu ánh sáng, ta có xn+1 6= 0, đặt 1 xn x x= , . . . , n+1 , 1 , xn+1 e x x ∈ S+n . khi đó e Định nghĩa 1.1.4. Cho W là một không gian vectơ con của Rn+1 1 , khi đó: 1. W được gọi là kiểu không gian nếu g|W xác định dương, điều này có nghĩa W là một không gian với tích vô hướng cảm sinh là không gian Ơ-clít. 2. W được gọi là kiểu thời gian nếu g|W không suy biến với chỉ số 1.
14 3. W được gọi là kiểu ánh sáng nếu g|W suy biến. Tương tự như trong [20] và [22], khái niệm mặt kiểu không gian đối chiều hai M ở trong luận án này được hiểu là đa tạp (n − 1)-chiều được nhúng chính quy vào Rn+1 1 thoả mãn: tại mỗi điểm p ∈ M không gian tiếp xúc Tp M là kiểu không gian. Về mặt địa phương M được xác định thông qua phép nhúng X : U → Rn+1 1 , trong đó U ⊂ Rn−1 là một tập mở. Chúng ta luôn giả thiết mặt đã cho là liên thông và đồng nhất M = X(U ), một cách địa phương, với U thông qua X. Với (u1 , u2 , . . . , un−1 ) ∈ U ta ký hiệu X(u1 , u2 , . . . , un−1 ) = X1 (u1 , u2 , . . . , un−1 ), . . . , Xn+1 (u1 , u2 , . . . , un−1 ) = p ∈ M và ∂X Xui = . ∂ui Hoàn toàn tương tự, chúng ta cũng có các khái niệm mặt kiểu thời gian đối chiều hai, mặt kiểu ánh sáng đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski. Vì nội dung luận án chỉ nghiên cứu các tính chất hình học của các mặt kiểu không gian nên từ đây về sau thuật ngữ mặt đối chiều hai luôn được hiểu là mặt kiểu không gian đối chiều hai. Cho x1 , x2 , . . . , xn ∈ Rn+1 1 , ta định nghĩa tích ngoài của n vectơ này như sau