Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số tính chất định tính của vài lớp phương trình vi phân giá trị khoảng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận án này, tác giả đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm, trình bày phương pháp giải cho các lớp bài toán khác nhau của phương trình tích phân khoảng, phương trình vi phân khoảng có trễ, phương trình vi-tích phân có trễ, phương trình vi -tích phân với đạo hàm phân thứ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số tính chất định tính của vài lớp phương trình vi phân giá trị khoảng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG VĨNH AN MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIÁ TRỊ KHOẢNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh - 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG VĨNH AN MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIÁ TRỊ KHOẢNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã ngành: 62 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Đình Phư PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn Tp. Hồ Chí Minh - 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn và PGS.TS Nguyễn Đình Phư Nội dung của luận án được viết trên cơ sở các bài báo của tác giả. Các kết quả này là mới và chưa được ai khác công bố. Các bài báo đồng tác giả được các đồng tác giả cho phép sử dụng viết luận án này. Tác giả luận án Trương Vĩnh An
Mục lục LỜI CAM ĐOAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1. Giải tích khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1. Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2. Phép tính đạo hàm, tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3. Tích trong trên không gian (KC (R), H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.4. Thứ tự trong không gian mêtric khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2. Giải tích phân thứ khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1. Phép tính đạo hàm Riemann–Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.2. Phép tính đạo hàm Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3. Một vài kết quả quan trọng trong R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chương 2. Phương trình tích phân và vi phân khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1. Phương trình tích phân khoảng Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2. Phương trình vi phân khoảng có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Chương 3. Phương trình vi-tích phân khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1. Phương trình vi-tích phân khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2
3.2. Phương trình vi-tích phân khoảng có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3. Phương trình vi-tích phân khoảng có xung với trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Chương 4. Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1. Phương trình vi phân khoảng phân thứ có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.1.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2. Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2.2. Phương pháp giải nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . 111 Kết luận của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Các hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3
Danh sách hình vẽ 2.1 Nghiệm của Ví dụ 2.1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Nghiệm của Ví dụ 2.1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 (S1 )-nghiệm của phương trình (2.29) (λ = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 (S2 )-nghiệm của phương trình (2.29) (λ = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5 (S1 )-nghiệm của phương trình (2.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6 (S2 )-nghiệm của phương trình (2.32) (λ = 1) . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7 (S1 )-nghiệm của (2.32) (λ = −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.8 (S2 )-nghiệm của (2.32) (λ = −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1 (S1)- nghiệm của Ví dụ 3.1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 (S2)- nghiệm của Ví dụ 3.1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 (S1)- nghiệm của Ví dụ 3.1.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 (S2)- nghiệm của Ví dụ 3.1.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5 Biểu diễn của X (t), X (t) với t ∈ [ −21 , 12 ], α = 0.01. . . . . . . . . . . . . . 70 3.6 Biễu diễn của X (t), X (t) với t ∈ [ −21 , 12 ], α = 0.01. . . . . . . . . . . . . . 70 3.7 Biễu diễn của X (t), X (t) với t ∈ [ −21 , 12 ], α = −0.01. . . . . . . . . . . . . 71 3.8 Biễu diễn của X (t), X (t) với t ∈ [ −21 , 12 ], α = −0.01. . . . . . . . . . . . . 71 4.1 Nghiệm w−tăng của Ví dụ 4.1.5 trong Trường hợp 1 . . . . . . . . . . . 94 4.2 Nghiệm w−giảm của Ví dụ 4.1.5 trong Trường hợp 2 . . . . . . . . . . . 95 4.3 Nghiệm w−tăng của Ví dụ (4.40) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4 Nghiệm w−giảm của Ví dụ (4.40 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN Hầu hết các bài toán trong kỹ thuật đều được mô hình hóa bởi các hệ động lực (Dynamical systems) và các dạng phương trình vi phân, phương trình tích phân hoặc phương trình vi- tích phân. Tuy nhiên các mô hình này không phải lúc nào cũng hoàn hảo do sự tác động hoặc bị nhiễu bởi các yếu tố bất định, không đầy đủ và không chắc chắn của các thông số lên hệ thống. Hiện nay, các hướng nghiên cứu về hệ động lực khi được nhúng vào môi trường chứa đựng các yếu tố không chắc chắn đang là vấn đề mới và cần được nghiên cứu phát triển mạnh mẽ cả về phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng. Có ba hướng tiếp cận phổ biến để diễn đạt lý thuyết không chắc chắn bao gồm: (1) Cách tiếp cận đầu tiên được sử dụng rộng rãi nhất là lý thuyết xác suất để xử lý những tham số không chắc chắn của hệ thống như các biến ngẫu nhiên hoặc các trường dữ liệu ngẫu nhiên. Mặc dù đạt được những thành công to lớn nhưng hướng tiếp cận này chỉ cho kết quả đáng tin cậy khi và chỉ khi có đầy đủ dữ liệu thực nghiệm để xác định hàm mật độ phân phối xác suất của các tham số ngẫu nhiên. (2) Gần đây, việc xây dựng và phát triển lý thuyết diễn tả sự không chắc chắn mà không phụ thuộc vào tính đầy đủ của dữ diệu đang được quan tâm. Do đó, hướng tiếp cận thứ hai được đề xuất dựa vào khái niệm của tập mờ bằng việc sử dụng hàm thuộc để mô tả mức độ thuộc của các tham số không chắc chắn. (3) Cách tiếp cận thứ ba, giải tích khoảng, được xem như là trường hợp riêng của giải tích tập nói riêng và giải tích mờ nói chung và cách tiếp cận này có thể được xem là công cụ diễn đạt được chấp nhận rộng rãi nhất trong số những tiếp cận không mang tính xác suất. Trong những năm gần đây giải tích không chắc chắn được diễn đạt dưới khái niệm mờ và khoảng đang trở thành một chủ đề hấp dẫn trong mắt các nhà nghiên cứu bởi vì nó có khả năng mô hình hoá bằng toán học các hệ thống động lực chịu nhiều tác động của môi trường bên ngoài, hệ động lực phức tạp mà không thể biểu diễn được dưới dạng quá trình thực. Lý thuyết không chắc chắn được diễn đạt bằng các tập mờ được đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, xây dựng và hoàn thiện các phép toán cần thiết để giải tích mờ ngày càng trở thành một lý thuyết chặt chẽ về mặt toán học và hiệu quả 5
về mặt ứng dụng thực tiễn. Vào những thập niên 70-80, Zadeh cùng với các cộng sự như Chang [10], Heilpern [19], Dubois và Prade [12] đã có những nghiên cứu đặt nền móng cho các phép toán giải tích mờ như tính khả vi, tính đo được và tính khả tích của các ánh xạ đa trị và các ánh xạ giá trị mờ. Về sau giải tích mờ tiếp tục được nghiên cứu và hoàn thiện bởi các công trình có giá trị của Bede, Stefanini, Chalco và các cộng sự [7]-[9], Diamond và Kloeden [11], Lakshmikantham và Mohapatra [30]. Theo tiến trình phát triển của giải tích mờ, việc nghiên cứu hệ động lực mờ và phương trình vi phân mờ đã được Kaleva [22, 23] khởi đầu dựa trên khái niệm đạo hàm Hukuhara. Kaleva đã thiết lập những khái niệm cơ bản, chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp 1 dưới điều kiện Lipschitz, đặt nền móng cho các nghiên cứu về sau. Trong gần một thập kỷ trở lại đây, lĩnh vực hệ động lực mờ và phương trình vi phân mờ đã phát triển hết sức mạnh mẽ, thu hút được nhiều nhà khoa học trên thế giới. Một số nhóm nghiên cứu tiêu biểu về phương trình vi phân mờ có thể kể đến là các nhóm nghiên cứu của Nieto, Lupulescu, Chalco-Cano, Malinowski, Rodríguez-López, Bede. Trong các công trình [24, 46], Nieto và các cộng sự đã phát triển các kỹ thuật thường sử dụng trong phương trình vi phân thường sang chứng minh các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho một số lớp phương trình vi phân mờ tuyến tính cấp 1 với điều kiện biên dạng tuần hoàn, hoặc phương trình vi phân cấp 1 có trễ. Chalco-Cano [8] xây dựng khái niệm mới về nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 dưới tính khả vi mờ tổng quát. Lupulescu [32] đã sử dụng phương pháp xây dựng dãy xấp xỉ về nghiệm để chứng minh các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục cho phương trình vi phân có trễ. Hơn nữa Lupulescu đã kết hợp nguyên lý suy rộng Zadeh, phương pháp Step và định lý Stacking để đưa ra quy trình tìm nghiệm mờ dạng giải tích và ứng dụng giải một số mô hình thực tế quan trọng. Malinowski [34, 37] đã kết hợp giữa hai khái niệm mờ và ngẫu nhiên để nghiên cứu một số tính chất của nghiệm như sự tồn tại, tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, một số ứng dụng của phương pháp tiếp cận cho các bài toán thực tế cũng được trình bày. Lý thuyết không chắc chắn được diễn đạt dưới khái niệm các biến khoảng trong đường thẳng thực được Moore đưa ra năm 1966 [42], là một sự mở rộng của lý thuyết tập hợp kinh điển, nhằm mục đích giải quyết những bài toán kết cấu trong cơ học chịu ảnh hưởng của sai số đo đạc và nhiễu của môi trường [44]. Trong [42, 44] tác giả đã trình bày các khái niệm cơ bản về các phép toán đại số khoảng và các bài toán ứng dụng liên quan. Bên cạnh đó, mối liên hệ giữa giải tích mờ và giải tích khoảng được trình bày bởi Moore và Lodwick [43], Pedrycz và Gomide 6
[47]. Các tác giả đã chứng minh rằng một tập mờ có thể được biễu diễn bởi các biến và vectơ khoảng thông qua tập mức thể hiện mức độ thuộc của tập mờ. Do đó, trong một thập niên trở lại đây, bằng cách sử dụng các kết quả của giải tích mờ, việc nghiên cứu và xây dựng các phép toán giải tích cho hàm khoảng nhằm ứng dụng cho việc khảo sát các lớp phương trình vi phân khoảng và các bài toán liên quan đến hệ động lực cũng đã thu hút nhiều nhóm nghiên cứu của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Có nhiều phương pháp tiếp cận để nghiên cứu các lớp phương trình vi phân khoảng và chúng liên quan đến quá trình phát triển đạo hàm của hàm khoảng, bao gồm: đạo hàm Hukuhara và đạo hàm Hukuhara tổng quát. Việc nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm của các lớp phương trình vi phân khoảng dựa vào khái niệm khả vi Hukuhara đã thu được nhiều kết quả đáng kể (để biết đầy đủ hơn về các kết quả dạng này, chúng ta có thể tham khảo trong cuốn sách chuyên khảo [30]). Tuy nhiên, khái niệm khả vi Hukuhara được xây dựng dựa trên hiệu Hukuhara [21] giữa hai khoảng có nhược điểm là hiệu này không luôn tồn tại và do đó dẫn đến đạo hàm không luôn tồn tại [9]. Ngoài ra, độ rộng diễn tả sự không chắc chắn của hàm khoảng thoả mãn sự khả vi Hukuhara tăng dần theo biến thời gian, tức là theo thời gian, tính không chắc chắn của nghiệm ngày càng không thể quan sát, hay nói cách khác quỹ đạo của nghiệm khoảng ngày càng khác khá xa so với nghiệm cổ điển của bài toán. Vì vậy khái niệm khả vi Hukuhara không thích hợp để nghiên cứu các biểu diễn tiệm cận nghiệm hoặc các bài toán giá trị biên có tính tuần hoàn. Để khắc phục nhược điểm này Bede và các cộng sự đã xây dựng khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát dựa trên hiệu Hukuhara tổng quát [54] cho các hàm khoảng. Cách tiếp cận này thể hiện độ rộng không chắc chắn của nghiệm phương trình vi phân khoảng có thể giảm theo biến thời gian hoặc có thể tồn tại các điểm chuyển (switching points) giữa các độ rộng tăng hay giảm của nghiệm. Việc nghiên cứu các lớp hàm khoảng dưới tính khả vi Hukuhara tổng quát đã tạo ra một số hướng nghiên cứu mới cho lý thuyết phương trình vi phân và các hệ động lực trong các không gian giải tích trừu tượng, đó là: sự tồn tại và tính duy nhất của các dạng nghiệm khi xét tính khả vi theo các nghĩa khác nhau, điểm chuyển giữa các dạng nghiệm, các điều kiện đủ để nghiệm khả vi theo các nghĩa khác nhau. Tuy nhiên những kết quả đạt được theo hướng nghiên cứu này còn khá khiêm tốn. Một số kết quả nghiên cứu đạt được gần đây có thể kể đến các kết quả của Chalco-Cano và các cộng sự [9], Malinowski [35], Lupulescu [31, 33]. Được thúc đẩy bởi các lý do nêu trên và dựa vào quá trình phát triển của giải tích khoảng, trong luận án này chúng tôi tiến hành nghiên cứu một số lớp bài toán phương trình tích phân, vi phân và vi- tích phân khoảng dưới khái niệm khả vi 7
Hukuhara tổng quát với mong muốn góp phần vào quá trình xây dựng và hoàn thiện lý thuyết mới này. Nội dung của luận án bao gồm 04 chương. - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. - Chương 2: Phương trình tích phân và vi phân khoảng. - Chương 3: Phương trình vi- tích phân khoảng. - Chương 4: Phương trình vi- tích phân khoảng phân thứ. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân thường và phương trình vi phân khoảng. Giới thiệu các kiến thức về giải tích khoảng như: các phép toán, đạo hàm và tích phân của hàm giá trị khoảng; giới thiệu định nghĩa tích trong của hai hàm giá trị khoảng và một số tính chất quan trọng của tích trong; một số định lý trong lý thuyết phương trình vi phân thường được sử dụng trong các chương tiếp theo được trình bày. Chương 2 trình bày kết quả nghiên cứu hai lớp bài toán khác nhau, bao gồm: phương trình tích phân khoảng Volterra và phương trình vi phân khoảng với trễ dưới khái niệm đạo hàm Hukuhara tổng quát. Chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình tích phân khoảng Volterra bằng hai công cụ khác nhau là sự hội tụ của dãy xấp xỉ về nghiệm của phương trình, và lý thuyết điểm bất động. Hơn nữa, phương pháp giải cho lớp bài toán trên cũng được trình bày. Ngoài ra, bằng cách sử dụng khái niệm tích trong trên không gian các các hàm khoảng (xem mục 1.1.3), chúng tôi xây dựng một số điều kiện tiêu biến cho vế phải của phương trình vi phân khoảng với trễ và chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục cho lớp bài toán trên. Hơn thế nữa, phương pháp giải của bài toán này cũng được trình bày. Kết quả của chương này đã được công bố trong các bài báo [A1], [A2] của luận án. Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm của ba lớp bài toán cho phương trình vi- tích phân khoảng, phương trình vi- tích phân khoảng có trễ và phương trình vi- tích phân khoảng có xung với trễ dưới khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát. Bằng cách sử dụng công cụ hàm tựa Lyapunov ta chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của ba lớp phương trình vi- tích phân khoảng nêu trên. Phương pháp giải cho các lớp phương trình này cũng được trình bày. Kết quả của chương này đã được công bố trong các bài báo [A3], [A4]. 8
Chương 4 trình bày các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hai lớp phương trình vi phân khoảng, bao gồm: phương trình vi phân khoảng phân thứ với trễ và phương trình vi- tích phân khoảng phân thứ bằng việc xây dựng, phát triển và tổng quát hóa các khái niệm của giải tích phân thứ dạng khoảng trong mục 1.2 và sử dụng lý thuyết điểm bất động trong không gian được sắp xếp thứ tự (xem mục 1.1.4 và mục 1.3). Bên cạnh đó, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu đầu vào và bậc đạo hàm của phương trình cũng được nghiên cứu. Phương pháp giải của bài toán này cũng được trình bày. Các kết quả trong chương này được công bố trong các bài báo [A5]. Các kết quả chính của luận án đã được tác giả cùng các giáo sư hướng dẫn và các đồng nghiệp đăng trên các tạp chí khoa học chuyên ngành có uy tín trong lĩnh vực phương trình vi phân ([A1]-[A5]) cũng như tham gia báo cáo tại các hội nghị trong nước ([A6]-[A8]). 9
CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN ÁN C Dα X Đạo hàm Caputo bậc phân thứ α ∈ (0, 1) của hàm khoảng X a+ D m, D − m + Đạo hàm Dini trên và dưới của hàm thực m DH X Đạo hàm Hukuhara của hàm khoảng X g DH X Đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh của hàm khoảng X DgH X Đạo hàm Hukuhara tổng quát của hàm khoảng X RL D α X Đạo hàm Riemann-Liouville bậc phân thứ (không nguyên) a+ α ∈ (0, 1) của hàm khoảng X d± dt m (·) Đạo hàm một bên của hàm một biến thực theo t w( A) Độ rộng của khoảng A Γ(α) Hàm Gamma Hiệu Hukuhara gH Hiệu Hukuhara tổng quát H [ A, B] Khoảng cách Hausdorff giữa 2 khoảng A, B [ A, A] Khoảng đóng (gọi tắt là khoảng) trong R L([ a, b], KC (R)) Không gian các hàm khoảng khả tích Lebesgue trên [ a, b] C ([ a, b], KC (R)) Không gian các hàm khoảng liên tục trên [ a, b] AC ([ a, b], KC (R)) Không gian các hàm khoảng liên tục tuyệt đối trên [ a, b] C1 ([ a, b], KC (R)) Không gian các hàm khoảng khả vi liên tục trên [ a, b] C ([ a − σ, b], KC (R)) Không gian các hàm khoảng liên tục trên [ a − σ, b] N Tập các số tự nhiên , Thứ tự bé hơn và lớn hơn giữa hai khoảng ( A, B)+ Tích trong của hai khoảng A, B =αa+ X, Xα Tích phân Riemann–Liouville bậc phân thứ α của hàm khoảng X P, Q Toán tử từ không gian các hàm khoảng vào không gian các hàm khoảng. 10
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân thường và phương trình vi phân khoảng. Các nội dung được sắp xếp như sau: Phần 1.1 giới thiệu các kiến thức về giải tích khoảng như: các phép toán, đạo hàm và tích phân của hàm khoảng; Phần 1.2 giới thiệu định nghĩa tích trong của hai hàm khoảng và một số tính chất quan trọng của tích trong; Phần 1.3 chúng tôi nhắc lại một số định lý trong lý thuyết phương trình vi phân thường. Các chứng minh của định lý, tính chất, . . . , trong luận án này được tìm thấy trong các sách chuyên khảo như: Moore [42], Neumaier [45], Lakshmikantham và các đồng tác giả [28, 30], Rudin [51] và một số bài báo như: Markov [40], Lupulescu [31, 33], Stefanini và Bede [54], . . . . 1.1. Giải tích khoảng 1.1.1. Các phép toán Cho KC (R) là họ tất cả các khoảng khác rỗng, compắc trong R. Cho A, B ∈ KC (R), trong đó A = [ A, A], A ≤ A, B = [ B, B], B ≤ B và λ ∈ R. Phép cộng hai khoảng và phép nhân số thực với một khoảng được định nghĩa như sau: A + B = [ A + B, A + B] và   [λA, λA], nếu λ > 0,   λA = 0, nếu λ = 0,    [λA, λA], nếu λ < 0. Tính chất 1.1.1. (Markov [40]) Cho A, B, C ∈ KC (R). Ta có (i) ( A + B) + C = A + ( B + C ), (ii) A + 0 = 0 + A, 0 ∈ KC (R) là phần tử không của KC (R), 11
(iii) A + B = B + A, (iv) λ(µA) = (λµ) A, với mọi λ, µ ∈ R, (v) 1A = A, (vi) λ( A + B) = λA + λB, với mọi λ ∈ R, (vii) (λ + µ) A = λA + µA, với mọi λ, µ ∈ R, và λµ ≥ 0. Định nghĩa 1.1.1. (Markov [40]) Cho A, B ∈ KC (R). Khoảng cách Hausdorff H giữa A và B được định nghĩa như sau: H [ A, B] = max{| A − B|, | A − B|}. (1.1) Độ lớn của A: H [ A, 0] = k Ak = max{| A|, | A|} và độ rộng của A: w( A) = A − A. Tính chất 1.1.2. (Markov [40]) Cho A, B, C, D ∈ KC (R) và λ ∈ R. Ta có (i) H [ A + C, B + C ] = H [ A, B] và H [ A, B] = H [ B, A], (ii) H [ A + B, C + D ] ≤ H [ A, C ] + H [ B, D ], (iii) H [λA, λB] = |λ| H [ A, B]. Định lý 1.1.3. (KC (R), H ) là không gian mêtric đầy đủ. Định nghĩa 1.1.2. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B ∈ KC (R). Nếu tồn tại một khoảng C ∈ KC (R) sao cho A = B + C thì C được gọi là hiệu Hukuhara của A và B. Ta kí hiệu C = A B. Tính chất 1.1.4. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B, C, D ∈ KC (R). Ta có (i) nếu A B, A C tồn tại thì H [ A B, A C ] = H [ B, C ]; (ii) nếu A B, C D tồn tại thì H [ A B, C D ] = H [ A + D, B + C ]; (iii) nếu A B, A ( B + C ) tồn tại thì ( A B) C tồn tại và ( A B) C = A ( B + C ); (iv) nếu A B, A C, C B tồn tại thì ( A B) ( A C ) tồn tại và ( A B) ( A C ) = C B. Định nghĩa 1.1.3. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B ∈ KC (R). Hiệu Hukuhara tổng quát của A và B, kí hiệu A gH B, được định nghĩa như sau: ( ( a) [ A − B, A − B], nếu w( A) ≥ w( B) A gH B = (1.2) (b) [ A − B, A − B], nếu w( A) < w( B). 12
Tính chất 1.1.5. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B ∈ KC (R), trong đó A = [ A, A] và B = [ B, B]. Ta có, (i ) hiệu Hukuhara tổng quát luôn tồn tại và duy nhất. Hơn nữa, [ A, A] gH [ B, B] = [C, C ] với C = min A − B, A − B , C = max A − B, A − B ; (ii ) A gH A = 0; (iii) nếu A gH B tồn tại theo nghĩa (1.2)-(a) thì B gH A tồn tại theo nghĩa (1.2)- (b) và ngược lại; (iv) ( A + B) gH B = A; (v) 0 gH ( A gH B) = (− B) gH (− A); (vi) A gH B = B gH A = C khi và chỉ khi C = 0 và A = B. Tính chất 1.1.6. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B ∈ KC (R). Ta có, H [ A, B] = H [ A gH B, 0]. Định nghĩa 1.1.4. (Markov [40]) Cho ánh xạ X : [ a, b] → KC (R) t 7→ X (t) = [ X (t), X (t)]. Nếu X (t) và X (t) là hai hàm thực xác định trên [ a, b] thỏa X (t) ≤ X (t), ∀t ∈ [ a, b] thì X (t) được gọi là hàm khoảng. Nhận xét 1.1.1. (i) Giới hạn và tính liên tục của hàm X : [ a, b] → KC (R) được hiểu theo mêtric H. (ii) lim X (t) tồn tại khi và chỉ khi lim X (t) và lim X (t) tồn tại, với mọi t0 ∈ [ a, b]. t → t0 t → t0 t → t0 (iii) lim X (t) = [ lim X (t), lim X (t)] và hàm X (t) liên tục tại t0 ∈ [ a, b] khi và chỉ t → t0 t → t0 t → t0 khi X (t), X (t) liên tục tại t0 ∈ [ a, b]. Tính chất 1.1.7. (Stefanini và Bede [54]) Cho X : [ a, b] → KC (R) và t0 ∈ [ a, b]. Ta có, (i) lim X (t) = L ⇔ lim ( X (t) gH L) = 0. t → t0 t → t0 (ii) lim X (t) = X (t0 ) ⇔ lim ( X (t) gH X (t0 )) = 0. t → t0 t → t0 Kí hiệu C ([ a, b], KC (R)) là không gian các hàm khoảng liên tục từ [ a, b] vào KC (R). Cho ánh xạ H0 : C ([ a, b], KC (R)) × C ([ a, b], KC (R)) → [0, ∞) được xác định bởi: H0 [ X, Y ] = sup H [ X (t), Y (t)], X, Y ∈ C ([ a, b], KC (R)). t∈[ a,b] Ta có (C ([ a, b], KC (R)), H0 ) là không gian metric đầy đủ. 13
Nhận xét 1.1.2. Nếu X : [ a, b] → KC (R) là một hàm khoảng có độ rộng tăng hoặc giảm thì hàm khoảng Y (t) = X (t) gH X ( a) luôn có độ rộng tăng trên [ a, b]. Cho γ ∈ [0, 1). Kí hiệu Cγ ([ a, b], KC (R)) là không gian của những hàm X : ( a, b] → KC (R) sao cho hàm (· − a)γ X (·) ∈ C ([ a, b], KC (R)). Ta nhận thấy không gian Cγ ([ a, b], KC (R)) đầy đủ với mêtric HCγ ( X, Y ) = X gH Y C được định nghĩa γ γ k X kCγ = sup t H [ X (t), 0]. a≤t≤b Hàm khoảng X : [ a, b] → KC (R) được gọi là liên tục tuyệt đối nếu cho bất kỳ ε > 0, tồn tại số thực δ > 0 sao cho với mọi {(sk , tk ); k = 1, 2, ..., n} của những n khoảng mở rời rạc trong [ a, b] với ∑ (tk − sk ) < δ thì giá trị của X (tk ) thoả mãn k =1 n ∑ H [ X (tk ), X (sk )] < ε. Ta kí hiệu AC ([ a, b], KC (R)) là không gian của những hàm k =1 khoảng liên tục tuyệt đối trên [ a, b]. Hệ quả 1.1.1. ([20]) Hàm khoảng X : [ a, b] → KC (R) liên tục tuyệt đối nếu và chỉ nếu X và X liên tục tuyệt đối. 1.1.2. Phép tính đạo hàm, tích phân Định nghĩa 1.1.5. (Lakshmikantham và các đồng tác giả [28], trang 14) Cho X : ( a, b) → KC (R) và t ∈ ( a, b). Ta nói X có đạo hàm Hukuhara tại t, nếu tồn tại D H X (t) ∈ KC (R) sao cho với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t + h) X (t), X (t) X (t − h) tồn tại và X (t + h) X (t) X (t) X (t − h) lim = lim = D H X ( t ). h →0+ h h →0+ h Định nghĩa 1.1.6. (Stefanini và Bede [54]) Cho X : ( a, b) → KC (R) và t ∈ ( a, b). g Ta nói rằng X có đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh tại t, nếu tồn tại D H X (t) ∈ KC (R) sao cho (i) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t + h) X (t), X (t) X (t − h) tồn tại và X (t + h) X (t) X (t) X (t − h) g lim = lim = D H X (t) h →0 + h h →0 + h hoặc (ii) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t) X (t + h), X (t − h) X (t) tồn tại và X (t) X (t + h) X (t − h) X (t) g lim = lim = D H X (t) h →0 + −h h →0 + −h hoặc 14
(iii) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t + h) X (t), X (t − h) X (t) tồn tại và X (t + h) X (t) X (t − h) X (t) g lim = lim = D H X (t) h →0+ h h →0+ −h hoặc (iv) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X (t) X (t + h), X (t) X (t − h) tồn tại và X (t) X (t + h) X (t) X (t − h) g lim = lim = D H X ( t ). h →0+ −h h →0+ h Định nghĩa 1.1.7. (Stefanini và Bede [54]) Cho X : ( a, b) → KC (R) khả vi tổng quát mạnh tại t ∈ ( a, b). Ta nói X khả vi tổng quát mạnh loại (i) tại t ∈ ( a, b) nếu g d d D H X (t) = X ( t ), X ( t ) dt dt và X khả vi tổng quát mạnh loại (ii) tại t ∈ ( a, b) nếu g d d D H X (t) = X ( t ), X ( t ) , dt dt trong đó X (t) = [ X (t), X (t)] với t ∈ ( a, b). Định nghĩa 1.1.8. (Stefanini và Bede [54]) Cho X : ( a, b) → KC (R) và t ∈ ( a, b). Ta nói X có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại t nếu tồn tại DgH X (t) ∈ KC (R) sao cho X (t + h) gH X (t) DgH X (t) = lim . (1.3) h →0 h Tương tự, đạo hàm Hukuhara tổng quát trái tại t là − 1 DgH X (t) = lim X (t + h) gH X (t) h →0− h và đạo hàm Hukuhara tổng quát phải tại t là + 1 DgH X (t) = lim X (t + h) gH X (t) . h →0+ h Nhận xét 1.1.3. (i) Đạo hàm Hukuhara tổng quát của X tại t tồn tại khi và chỉ khi đạo hàm Hukuhara tổng quát trái và đạo hàm Hukuhara tổng quát phải tại t tồn tại và bằng nhau. (ii) Hàm X có đạo hàm Hukuhara tổng quát trên [ a, b] nếu X có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại mọi điểm t ∈ ( a, b), đạo hàm Hukuhara tổng quát trái tại b và đạo hàm Hukuhara tổng quát phải tại a. 15
Định lý 1.1.8. (Stefanini và Bede [54]) Cho X : [ a, b] → KC (R). Nếu X (t) và X (t) có đạo hàm tại t ∈ [ a, b] thì hàm X (t) có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại t ∈ [ a, b] và d d d d DgH X (t) = min X (t), X (t) , max X ( t ), X ( t ) . dt dt dt dt Định nghĩa 1.1.9. (Stefanini và Bede [54]) Cho X : [ a, b] → KC (R). Ta nói hàm X có đạo hàm loại 1 tại t, nếu d d DgH X (t) = X ( t ), X ( t ) dt dt và X có đạo hàm loại 2 tại t, nếu d d DgH X (t) = X ( t ), X ( t ) . dt dt Để thuận tiện, ta ký hiệu đạo hàm Hukuhara loại 1 là (i )− khả vi, loại 2 là (ii )− khả vi. Định nghĩa 1.1.10. Cho X : [ a, b] → KC (R), trong đó X (t) = [ X (t), X (t)], t ∈ [ a, b]. Ta nói rằng hàm X là w-tăng (hoặc w-giảm) trên [ a, b] nếu hàm thực t 7→ w( X (t)) không giảm (hoặc không tăng) trên [ a, b], viết ngắn gọn là X w-tăng (hoặc X w- giảm). Nếu hàm X w-tăng hoặc w-giảm trên [ a, b] thì ta nói hàm X w-đơn điệu trên [ a, b]. Tính chất 1.1.9. (Stefanini và Bede [54], Lupulescu [33]) Cho X : [ a, b] → KC (R), trong đó X (t) = [ X (t), X (t)] với t ∈ [ a, b]. Nếu X w-đơn điệu và có đạo hàm d d Hukuhara tổng quát trên [ a, b] thì X (t) và X (t) tồn tại với mọi t ∈ [ a, b]. Hơn dt dt nữa, ta có: d d (i) DgH X (t) = X (t), X (t) nếu hàm X w-tăng, dt dt d d (ii) DgH X (t) = X (t), X (t) nếu hàm X w-giảm. dt dt d± d± Nhận xét 1.1.4. Cho X : [ a, b] → KC (R) và các đạo hàm một phía X ( τ ), X (τ ) dt dt tồn tại hữu hạn với τ ∈ ( a, b). Nếu X w-tăng trên [ a, τ ] và w-giảm trên [τ, b] thì h d− d− i h d+ d+ i − + DgH X (τ ) = X ( τ ), X (τ ) và DgH X (τ ) = X ( τ ), X (τ ) . dt dt dt dt Nếu X w-giảm trên [ a, τ ] và w-tăng trên [τ, b] thì h d− d− i h d+ d+ i − + DgH X (τ ) = X ( τ ), X (τ ) và DgH X (τ ) = X ( τ ), X (τ ) . dt dt dt dt 16
− + Đạo hàm Hukuhara tổng quát tại τ tồn tại khi và chỉ khi DgH X (τ ) = DgH X (τ ), tức là d− d+ d− d+ X (τ ) = X (τ ) và X (τ ) = X ( τ ). dt dt dt dt Ví dụ 1.1.10. Cho hàm khoảng X : [0, 1] → KC (R) được xác định bởi: X (t) = [−t2 − 1, t2 − 2t]. 1 1 Ta có w( X (t)) = 2t2 − 2t + 1. Ta thấy X w-giảm trên [0, ] và w-tăng trên [ , 1]. Vì 2 2 X (t) = −t2 − 1 và X (t) = t2 − 2t có đạo hàm trên [0, 1]. Theo Định lí 1.1.8 và Nhận xét 1.1.4, ta được 1    [2t − 2, −2t] nếu t ∈ [0, )    2 1  DgH X (t) = −1 nếu t =   2  [−2t, 2t − 2] nếu t ∈ ( 1 , 1].    2 Ví dụ 1.1.11. Cho Y : [0, 2] → KC (R), Y (t) = [2t − 3, |t2 − 1|]. Ta thấy Y w- d− giảm trên [0, 1], w-tăng trên [1, 2] và Y và Y có đạo hàm trên [0, 2]\{1}, Y (1) = dt d+ d− d+ − + Y (1) = 2, Y (1) = −2, Y (1) = 2. Ta suy ra DgH Y (1) = [−2, 2], DgH Y (1) = dt dt dt {2}, Y có đạo hàm Hukuhara tổng quát trên [0, 2]\{1} và ( [−2t, 2] nếu t ∈ [0, 1) DgH Y (t) = [2, 2t] nếu t ∈ (1, 2]. Tính chất 1.1.12. (Stefanini và Bede [54], Lupulescu [33]) Cho X, Y : [ a, b] → KC (R) w-đơn điệu và có đạo hàm Hukuhara tổng quát trên [ a, b]. Khi đó, (i) với C ∈ KC (R) và λ ∈ R, hàm khoảng X + C, X gH C và λX có đạo hàm Hukuhara tổng quát trên [ a, b] và DgH ( X + C ) = DgH X, DgH ( X gH C ) = DgH X, DgH (λX ) = λDgH X, (ii) nếu X và Y cùng w-tăng hoặc cùng w-giảm thì DgH ( X + Y ) = DgH X + DgH Y, DgH ( X gH Y ) = DgH X gH DgH Y, 17
(iii) nếu X w-tăng và Y w-giảm hoặc ngược lại thì DgH ( X + Y ) = DgH X gH (−1) DgH Y, DgH ( X gH Y ) = DgH X + (−1) DgH Y. Cho X : [ a, b] → KC (R), trong đó X (t) = [ X (t), X (t)] với t ∈ [ a, b]. Tích phân của hàm khoảng X trên [ a, b] được định nghĩa như sau (xem Markov [40]): Zb Zb Zb X (s)ds = X (s)ds, X (s)ds . a a a Tính chất 1.1.13. (Stefanini và Bede [54]) Cho X ∈ C ([ a, b], KC (R)). Khi đó, Rt (i) hàm F (t) = X (s)ds có đạo hàm Hukuhara tổng quát và DgH F (t) = X (t), a Rb (ii) hàm G (t) = X (s)ds có đạo hàm Hukuhara tổng quát và DgH G (t) = t (−1) X (t). Tính chất 1.1.14. ( Markov [40]) Cho X, Y ∈ C ([ a, b], KC (R)). Khi đó, Rt2 Rt2 Rt2 (i) ( X + Y )(t)dt = X (t)dt + Y (t)dt, a ≤ t1 ≤ t2 ≤ b, t1 t1 t1 Rt2 Rt Rt2 (ii) X (t)dt = X (t)dt + X (t)dt, a ≤ t1 ≤ t ≤ t2 ≤ b. t1 t1 t Tính chất 1.1.15. (Stefanini và Bede [54]) Cho X, Y khả tích trên [ a, b]. Nếu w( X (t)) ≥ w(Y (t)) (hoặc w( X (t)) ≤ w(Y (t)), với t ∈ [ a, b], thì X gH Y khả tích trên [ a, b] và Zb Zb Zb ( X gH Y )(t)dt = X (t)dt gH Y (t)dt. (1.4) a a a Tính chất 1.1.16. ( Markov [40]) Cho X, Y ∈ C ([ a, b], KC (R)). Khi đó, h Zb Zb i Zb H X (t)dt, Y (t)dt ≤ H [ X (t), Y (t)]dt. (1.5) a a a Tính chất 1.1.17. (Stefanini và Bede [54]) Nếu X ∈ C ([ a, b], KC (R)), X w-đơn điệu và đạo hàm DgH X khả tích trên [ a, b] thì Zt DgH X (s)ds = X (t) gH X ( a), t ∈ [ a, b]. (1.6) a 18