Luận án tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:108

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án "Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng" tập trung nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của một số phương trình đạo hàm riêng tiến hóa xuất hiện trong cơ học chất lỏng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC S× PHM H NËI 2 NGUYN VIT TUN TNH ÊN ÀNH V ÊN ÀNH HÂA ÈI VÎI MËT SÈ PH×ÌNG TRNH TIN HÂA TRONG CÌ HÅC CHT LÄNG LUN N TIN S TON HÅC H NËI - 2019
BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC S× PHM H NËI 2 NGUYN VIT TUN TNH ÊN ÀNH V ÊN ÀNH HÂA ÈI VÎI MËT SÈ PH×ÌNG TRNH TIN HÂA TRONG CÌ HÅC CHT LÄNG Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ h M¢ sè: 9 46 01 02 LUN N TIN S TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC PGS.TS. Cung Th¸ Anh H NËI - 2019
1 LÍI CAM OAN Tæi xin am oan ¥y l æng tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n õa PGS.TS. Cung Th¸ Anh. C¡ k¸t qu£ vi¸t hung vîi ¡ t¡ gi£ kh¡ , ·u ¢ ÷ñ sü nh§t tr½ õa ¡ çng t¡ gi£ khi ÷a v o luªn ¡n. C¡ k¸t qu£ n¶u trong luªn ¡n l ho n to n trung thü v khæng h· tròng l°p vîi b§t ù mët æng tr¼nh n o kh¡ . Nghi¶n ùu sinh Nguy¹n Vi¸t Tu¥n
2 LÍI CM ÌN Luªn ¡n n y ÷ñ thü hi»n t¤i Bë mæn Gi£i t½ h - Khoa To¡n - Tr÷íng ¤i hå S÷ ph¤m H Nëi 2, d÷îi sü h÷îng d¨n õa PGS.TS. Cung Th¸ Anh. T¡ gi£ xin b y tä sü k½nh trång v láng bi¸t ìn s¥u s èi vîi Thy, ng÷íi ¢ giao · t i v tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡ gi£ ho n th nh luªn ¡n n y. T¡ gi£ tr¥n trång gûi líi £m ìn ¸n Ban Gi¡m hi»u, Pháng Sau ¤i hå , Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n, òng to n thº ëi ng gi£ng vi¶n Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i hå S÷ ph¤m H Nëi 2 v· sü quan t¥m gióp ï trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu õa t¡ gi£. T¡ gi£ xin ÷ñ b y tä láng bi¸t ìn ¸n PGS.TS. Trn ¼nh K¸, PGS.TS. Khu§t V«n Ninh, PGS.TS. Nguy¹n N«ng T¥m, TS. Trn V«n B¬ng, TS. o Trång Quy¸t, TS. V M¤nh Tîi ¢ trang bà ki¸n thù v truy·n ho t¡ gi£ nhi·u kinh nghi»m quþ b¡u trong nghi¶n ùu khoa hå . T¡ gi£ xin gûi líi £m ìn h¥n th nh ¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i hå Sao ä, ¡ anh hà çng nghi»p æng t¡ t¤i Khoa Khoa hå ì b£n, Tr÷íng ¤i hå Sao ä ¢ luæn gióp ï v t¤o i·u ki»n thuªn lñi º t¡ gi£ ho n th nh h÷ìng tr¼nh nghi¶n ùu sinh. çng thíi t¡ gi£ xin gûi ¸n ¡ anh hà nghi¶n ùu sinh huy¶n ng nh To¡n Gi£i t½ h õa Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i hå S÷ ph¤m H Nëi 2, ¡ b¤n b± gn xa, líi £m ìn h¥n th nh v· t§t £ nhúng sü gióp ï, ëng vi¶n m t¡ gi£ ¢ nhªn ÷ñ trong suèt thíi gian qua. Líi £m ìn sau òng, xin d nh ho gia ¼nh õa t¡ gi£, nhúng ng÷íi ¢ d nh ho t¡ gi£ t¼nh y¶u th÷ìng trån vµn, tøng ng y hia s´, ëng vi¶n t¡ gi£ v÷ñt qua måi khâ kh«n º ho n th nh luªn ¡n.
3 Mö lö Líi am oan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Líi £m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mö lö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mët sè k½ hi»u dòng trong luªn ¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 M U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Là h sû v§n · v l½ do hån · t i . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Mö ½ h nghi¶n ùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n ùu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n ùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5. K¸t qu£ õa luªn ¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6. C§u tró õa luªn ¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ch÷ìng 1. MËT SÈ KIN THÙC CHUN BÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1. C¡ khæng gian h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.1. Khæng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2. C¡ khæng gian Lp (0, T ; Y ) v C([0, T ]; Y ) . . . . . . . . 16 1.1.3. C¡ khæng gian h m H v V . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.4. C¡ khæng gian h m Hg v Vg . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2. C¡ to¡n tû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1. To¡n tû A, B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 1.2.2. To¡n tû Ag , Bg v Cg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Mët sè k¸t qu£ v· gi£i t½ h ng¨u nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1. Chuyºn ëng Brown trong khæng gian Hilbert . . . . . . 21 1.3.2. T½ h ph¥n ng¨u nhi¶n trong khæng gian Hilbert . . . . . 24 1.3.3. Mët sè k¸t qu£ trong l½ thuy¸t x¡ su§t . . . . . . . . . 25 1.4. Mët sè k¸t qu£ th÷íng dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.1. Mët sè b§t ¯ng thù th÷íng dòng . . . . . . . . . . . . 26 1.4.2. Mët sè bê · v ành l½ quan trång . . . . . . . . . . . . 29 Ch÷ìng 2. ÊN ÀNH HO H NAVIER-STOKES-VOIGT BA CHIU . . 30 2.1. °t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. T½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng . . . . . . 31 2.3. Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4. Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng nhi¹u Ito nh¥n t½nh . . . . . . 40 Ch÷ìng 3. ÊN ÀNH HO H g -NAVIER-STOKES HAI CHIU. . . . . . . . 45 3.1. °t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng 46 3.3. Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4. Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n hi·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5. Ên ành hâa b¬ng ngo¤i lü dao ëng nhanh theo bi¸n thíi gian 64 Ch÷ìng 4. TNH ÊN ÀNH NGHIM CÕA H g -NAVIER-STOKES NGU NHIN HAI CHIU VÎI TR HÚU HN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1. °t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2. Sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m døng õa h» t§t ành . . . . . . . . 83
5 4.3. T½nh ên ành m õa h» ng¨u nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . . 86 KT LUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1. KT QU T ×ÑC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2. KIN NGHÀ MËT SÈ VN NGHIN CÙU TIP THEO . 98 DANH MÖC CC CÆNG TRNH CÆNG BÈ ×ÑC SÛ DÖNG TRONG LUN N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 TI LIU THAM KHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6 MËT SÈ K HIU TH×ÍNG DÒNG TRONG LUN N H, V ¡ khæng gian h m dòng º nghi¶n ùu h» Navier-Stokes-Voigt (xin xem hi ti¸t ð tr. 17- 18) H g , Vg ¡ khæng gian h m dòng º nghi¶n ùu h» g -Navier-Stokes (xin xem hi ti¸t ð tr. 18) V ′ , Vg′ khæng gian èi ng¨u õa khæng gian V , Vg (·, ·), | · | t½ h væ h÷îng v hu©n trong khæng gian H ((·, ·)), k · k t½ h væ h÷îng v hu©n trong khæng gian V (·, ·)g , | · |g t½ h væ h÷îng v hu©n trong khæng gian Hg ((·, ·))g , k · kg t½ h væ h÷îng v hu©n trong khæng gian Vg k · kV ′ , k · k∗ hu©n trong khæng gian V ′ , Vg′ h·, ·i, h·, ·ig èi ng¨u giúa V v V ′ , giúa Vg v Vg′ | · |p hu©n trong khæng gian Lp (O), vîi 1 ≤ p ≤ ∞ A, B ¡ to¡n tû dòng º nghi¶n ùu h» Navier- Stokes-Voigt (xin xem hi ti¸t ð tr. 18-19) Ag , Bg , Cg ¡ to¡n tû dòng º nghi¶n ùu h» g -Navier- Stokes (xin xem hi ti¸t ð tr. 19-21) D(A), D(Ag ) mi·n x¡ ành õa to¡n tû A, Ag ⇀ hëi tö y¸u ut h m tr¹ ut (·) x¡ ành bði ut (s) = u(t + s) dist(A, B) nûa kho£ng ¡ h Hausdorff giúa hai tªp A, B (Ω, F , P) khæng gian x¡ su§t h.c.c hu h hn
7 M U 1. Là h sû v§n · v l½ do hån · t i C¡ ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ti¸n hâa lo¤i paraboli xu§t hi»n nhi·u trong ¡ qu¡ tr¼nh õa vªt l½, ì hå v sinh hå , h¯ng h¤n trong ì hå h§t läng, ¡ qu¡ tr¼nh truy·n nhi»t v khu¸ h t¡n, ¡ mæ h¼nh qun thº trong sinh hå , . . . (xem [60℄). Vi» nghi¶n ùu nhúng lîp ph÷ìng tr¼nh n y â þ ngh¾a quan trång trong khoa hå v æng ngh». Ch½nh v¼ vªy nâ ¢ v ang thu hót ÷ñ sü quan t¥m õa nhi·u nh khoa hå tr¶n th¸ giîi. Sau khi nghi¶n ùu t½nh °t óng õa b i to¡n, vi» nghi¶n ùu d¡ng i»u ti»m ªn õa nghi»m khi thíi gian ra væ òng r§t quan trång v¼ nâ ho ph²p ta hiºu v dü o¡n xu th¸ ph¡t triºn õa h» ëng lü trong t÷ìng lai, tø â â nhúng i·u h¿nh th½ h hñp º ¤t ÷ñ k¸t qu£ mong muèn. Mët trong nhúng ¡ h ti¸p ªn hi»u qu£ ho v§n · n y l nghi¶n ùu sü tçn t¤i v t½nh ên ành õa nghi»m døng. V· m°t to¡n hå , nghi»m døng t÷ìng ùng vîi tr¤ng th¡i døng õa qu¡ tr¼nh v l nghi»m õa b i to¡n ellipti t÷ìng ùng. Khi nghi»m døng õa h» khæng ên ành, ng÷íi ta t¼m ¡ h ên ành hâa nâ b¬ng ¡ h dòng ¡ i·u khiºn th½ h hñp â gi¡ b¶n trong mi·n ho° â gi¡ tr¶n bi¶n, ho° dòng nhúng nhi¹u ng¨u nhi¶n phò hñp. Trong nhúng n«m gn ¥y, b i to¡n ên ành v ên ành hâa nghi»m døng ¢ ÷ñ nghi¶n ùu nhi·u ho h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes v mët v i lîp ph÷ìng tr¼nh paraboli phi tuy¸n (xin xem uèn huy¶n kh£o gn ¥y [13℄ v ¡ b i b¡o ti¶u biºu [11, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 33, 53℄ v· h÷îng nghi¶n ùu thíi sü n y). Tuy nhi¶n, ¡ k¸t qu£ t÷ìng ùng èi vîi ¡ lîp ph÷ìng tr¼nh
8 kh¡ trong ì hå h§t läng v ¡ h» ph÷ìng tr¼nh paraboli v¨n án ½t. ¥y ang l v§n · thíi sü, â nhi·u þ ngh¾a v thu hót ÷ñ sü quan t¥m õa nhi·u nh to¡n hå tr¶n th¸ giîi. D÷îi ¥y, hóng ta iºm qua mët sè lîp h» ph÷ìng tr¼nh trong ì hå h§t läng ÷ñ nghi¶n ùu nhi·u trong nhúng n«m gn ¥y. u ti¶n, hóng ta x²t h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes-Voigt (trong mët sè t i li»u án vi¸t l Voight) ba hi·u trong mi·n trìn bà h°n vîi i·u ki»n bi¶n Diri hlet thun nh§t sau ¥y:      ut − α2 ∆ut − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f trong O × R+ ,   trong O × R+ ,  ∇ · u = 0  (1) u(x, t) = 0 tr¶n ∂O × R , +        u(x, 0) = u (x) trong O,  0 trong â u = u(x, t) = (u1 , u2 , u3 ), p = p(x, t) t÷ìng ùng l h m ve tì vªn tè v h m ¡p su§t n t¼m, ν > 0 l h» sè nhît, α l tham sè ° tr÷ng ho ë n hçi õa h§t läng v u0 l vªn tè ban u. H» (1) ÷ñ giîi thi»u bði Oskolkov trong [48℄ nh÷ mët mæ h¼nh mæ t£ huyºn ëng õa ¡ h§t läng lo¤i Kelvin-Voigt, nhît, khæng n²n ÷ñ . H» (1) ng ¢ ÷ñ · xu§t bði Cao, Lunasin v Titi trong [18℄ nh÷ mët ¡ h x§p x¿, khi tham sè α nhä, h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes ba hi·u, v gióp mæ phäng sè trü ti¸p h» ph÷ìng tr¼nh n y. ° bi»t, n¸u α = 0, (1) trð th nh h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes ba hi·u ê iºn, v n¸u ν = 0 ta ÷ñ mæ h¼nh Bardina ìn gi£n hâa, mæ t£ huyºn ëng õa ¡ h§t läng khæng nhît. Trong thü t¸, h» n y thuë lîp α-mæ h¼nh trong ì hå h§t läng, xem [37℄ ho ¡ mæ h¼nh kh¡ trong lîp n y. Trong nhúng n«m gn ¥y, ¡ v§n · to¡n hå li¶n quan ¸n h» Navier- Stokes-Voigt ba hi·u ¢ thu hót ÷ñ sü hó þ õa nhi·u nh to¡n hå . Sü tçn t¤i v d¡ng i»u ti»m ªn õa nghi»m thæng qua sü tçn t¤i tªp hót õa h»
9 Navier-Stokes-Voigt ba hi·u trong mi·n bà h°n ho° khæng bà h°n nh÷ng thäa m¢n b§t ¯ng thù Poin ar² ÷ñ nghi¶n ùu rëng r¢i trong [7, 26, 29, 36, 41, 64, 65℄. Tè ë ph¥n r¢ õa nghi»m theo bi¸n thíi gian õa lîp h» n y khi x²t tr¶n to n bë khæng gian ÷ñ nghi¶n ùu gn ¥y trong [8, 47, 66℄. B i to¡n ên ành hâa d¡ng i»u ti»m ªn nghi»m õa h» Navier-Stokes-Voigt b¬ng ¡ h dòng ngo¤i lü dao ëng nhanh theo bi¸n thíi gian ÷ñ nghi¶n ùu gn ¥y trong [6℄, sû döng ¡ h ti¸p ªn · xu§t trong æng tr¼nh [30℄. Mö ½ h u ti¶n õa hóng tæi trong luªn ¡n n y l nghi¶n ùu t½nh ên ành v b i to¡n ên ành hâa nghi»m døng m¤nh õa h» (1). Ti¸p theo, hóng ta x²t h» ph÷ìng tr¼nh g -Navier-Stokes hai hi·u â d¤ng nh÷ sau: ∂u    − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f trong O × R+ , ∂t     trong O × R+ ,  ∇ · (gu) = 0  (2) u(x, t) = 0 tr¶n ∂O × R , +        u(x, 0) = u (x), trong O,  0 trong â u = u(x, t) = (u1 , u2 ), p = p(x, t) t÷ìng ùng l h m ve tì vªn tè v h m ¡p su§t n t¼m, ν > 0 l h» sè nhît, u0 l vªn tè ban u. Nh÷ ÷ñ gi£i th½ h trong [55, 56℄, h» g -Navier-Stokes hai hi·u xu§t hi»n mët ¡ h tü nhi¶n khi hóng ta nghi¶n ùu h» Navier-Stokes ba hi·u trong mi·n mäng Og = O × (0, g) v ¡ t½nh h§t tèt õa h» g -Navier-Stokes hai hi·u s³ gióp ½ h ho vi» nghi¶n ùu h» Navier-Stokes trong mi·n mäng ba hi·u Og . Trong thªp ni¶n vøa qua, sü tçn t¤i v d¡ng i»u ti»m ªn õa nghi»m thæng qua sü tçn t¤i tªp hót õa h» g -Navier-Stokes hai hi·u ¢ ÷ñ nghi¶n ùu rëng r¢i trong £ hai tr÷íng hñp æ-tæ-næm v khæng æ-tæ-næm (xem [1, 3, 38, 39, 40, 42, 43, 51, 52, 56, 62, 63℄). Tuy nhi¶n, v¨n án nhi·u v§n · mð n ÷ñ nghi¶n ùu li¶n quan ¸n lîp h» (2), h¯ng h¤n: 1) B i to¡n ên ành hâa nghi»m døng m¤nh õa h»;
10 2) B i to¡n ên ành hâa d¡ng i»u ti»m ªn õa nghi»m khi thíi gian ra væ òng. Chóng tæi s³ nghi¶n ùu nhúng v§n · â trong luªn ¡n n y. Cuèi òng, hóng ta x²t h» ph÷ìng tr¼nh g -Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n sau ¥y:  du = [ν∆u − (u · ∇)u − ∇p + f + F (u(t − ρ(t)))]dt        + G(u(t − ρ(t)))dW (t), x ∈ O, t > 0,       ∇ · (gu) = 0, x ∈ O, t > 0, (3)     u(x, t) = 0,    x ∈ ∂O, t > 0,    u(x, t) = ϕ(x, t), x ∈ O, t ∈ [−τ, 0],  trong â u = u(x, t) = (u1 , u2 ), p = p(x, t) t÷ìng ùng l h m ve tì vªn tè v h m ¡p su§t n t¼m, ν > 0 l h» sè nhît, u0 l vªn tè ban u, f = f (x) l ngo¤i lü khæng phö thuë thíi gian v khæng hùa tr¹, F (·) l ngo¤i lü hùa tr¹, G(u(t − ρ(t)))dW (t) l nhi¹u ng¨u nhi¶n hùa tr¹, W (t) l qu¡ tr¼nh Wiener væ h¤n hi·u, h m ρ : [0, +∞) → [0, τ ] l bà h°n v o ÷ñ , ϕ l vªn tè ban u khi thíi gian t ∈ [−τ, 0], trong â τ l sè d÷ìng è ành. Sü tçn t¤i v t½nh ên ành õa nghi»m døng õa h» Navier-Stokes hai hi·u t§t ành â tr¹ ¢ ÷ñ nhi·u t¡ gi£ nghi¶n ùu trong nhúng n«m gn ¥y, h¯ng h¤n, Caraballo v Han [19℄, Caraballo v Real [24, 25℄, Garrido- Atienza v Mar½n-Rubio [35℄, Mar½n-Rubio, Real v Valero [46℄, Planas [50℄, Tanigu hi [58℄; xem th¶m b i b¡o têng quan gn ¥y õa Caraballo v Han [20℄. Tr÷íng hñp h» Navier-Stokes hai hi·u ng¨u nhi¶n â tr¹ ÷ñ nghi¶n ùu trong [27, 61℄. Sü tçn t¤i v t½nh ên ành õa nghi»m døng õa h» g -Navier-Stokes hai hi·u khæng/ â tr¹ ¢ ÷ñ nghi¶n ùu trong ¡ æng tr¼nh [2, 51℄. Tuy nhi¶n, theo hiºu bi¸t õa hóng tæi, h÷a â k¸t qu£ n o v· t½nh ên ành nghi»m õa h» (3), tr÷íng hñp â £ sè h¤ng ng¨u nhi¶n v sè h¤ng hùa
11 tr¹. Chóng tæi s³ hån v§n · n y l m mët nëi dung nghi¶n ùu õa luªn ¡n. Xu§t ph¡t tø nhúng l½ do tr¶n, hóng tæi lüa hån · t i nghi¶n ùu õa luªn ¡n l T½nh ên ành v ên ành hâa èi vîi mët sè ph÷ìng tr¼nh ti¸n hâa trong ì hå h§t läng . 2. Mö ½ h nghi¶n ùu Luªn ¡n tªp trung nghi¶n ùu t½nh ên ành v ên ành hâa õa mët sè ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ti¸n hâa xu§t hi»n trong ì hå h§t läng. 3. èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n ùu • èi t÷ñng nghi¶n ùu: T½nh ên ành v ên ành hâa õa mët sè ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ti¸n hâa xu§t hi»n trong ì hå h§t läng, ö thº l h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u, h» g -Navier-Stokes hai hi·u, h» g - Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n. • Ph¤m vi nghi¶n ùu õa Luªn ¡n bao gçm ¡ nëi dung sau: ◦ Nëi dung 1: H» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u: 1) Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng m¤nh. 2) Ên ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n ho° b¬ng nhi¹u ng¨u nhi¶n phò hñp. ◦ Nëi dung 2: H» g -Navier-Stokes hai hi·u: 1) Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng m¤nh. 2) Ên ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n v b¬ng i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n hi·u. 3) Ên ành hâa d¡ng i»u ti»m ªn õa nghi»m b¬ng ngo¤i lü dao ëng nhanh theo bi¸n thíi gian.
12 ◦ Nëi dung 3: H» g -Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n: 1) Sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t õa nghi»m døng y¸u õa h» t§t ành t÷ìng ùng. 2) T½nh ên ành m theo b¼nh ph÷ìng trung b¼nh v t½nh ên ành m hu h hn õa nghi»m y¸u õa h» ng¨u nhi¶n. 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n ùu • Nghi¶n ùu sü tçn t¤i nghi»m v sü tçn t¤i nghi»m døng: Sû döng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ Galerkin v ph÷ìng ph¡p ompa t [44℄. • Nghi¶n ùu t½nh ên ành õa nghi»m døng v nghi»m tun ho n: Sû döng ¡ ¡nh gi¡ n«ng l÷ñng v b§t ¯ng thù kiºu Gronwall. • Nghi¶n ùu b i to¡n ên ành hâa: Sû döng ¡ ph÷ìng ph¡p õa L½ thuy¸t i·u khiºn to¡n hå [9, 13℄ v Gi£i t½ h ng¨u nhi¶n [21, 22℄. 5. K¸t qu£ õa luªn ¡n Luªn ¡n ¢ ¤t ÷ñ nhúng k¸t qu£ h½nh sau ¥y: • èi vîi h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u trong mi·n bà h°n: Chùng minh ÷ñ t½nh ên ành m õa nghi»m døng m¤nh; hùng minh ÷ñ i·u ki»n ên ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n v b¬ng nhi¹u ng¨u nhi¶n Ito nh¥n t½nh phò hñp. ¥y l nëi dung õa Ch÷ìng 2. • èi vîi h» g -Navier-Stokes hai hi·u trong mi·n bà h°n: Chùng minh ÷ñ sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng m¤nh; hùng minh ÷ñ i·u ki»n ên ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n v b¬ng i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n hi·u; hùng minh ÷ñ i·u ki»n ên ành hâa d¡ng i»u ti»m
13 ªn õa nghi»m b¬ng ngo¤i lü dao ëng nhanh theo bi¸n thíi gian. ¥y l nëi dung õa Ch÷ìng 3. • èi vîi h» g -Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n trong mi·n bà h°n: Chùng minh ÷ñ sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t õa nghi»m døng y¸u õa h» t§t ành; hùng minh ÷ñ t½nh ên ành m b¼nh ph÷ìng trung b¼nh v t½nh ên ành m hu h hn õa nghi»m y¸u õa h» ng¨u nhi¶n. ¥y l nëi dung õa Ch÷ìng 4. C¡ k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn ¡n l mîi, â þ ngh¾a khoa hå , v gâp phn ho n thi»n vi» nghi¶n ùu b i to¡n ên ành v ên ành hâa ¡ ph÷ìng tr¼nh ti¸n hâa trong ì hå h§t läng. Nâi ri¶ng, ¡ k¸t qu£ èi vîi h» g - Navier-Stokes, trong tr÷íng hñp ° bi»t khi g = onst > 0, ¡p döng ÷ñ ho h» Navier-Stokes hai hi·u. M°t kh¡ , hóng ta bi¸t r¬ng, ¡ ph÷ìng tr¼nh trong ì hå h§t läng â nguçn gè tø ¡ b i to¡n thü t¸ khi nghi¶n ùu huyºn ëng õa h§t l÷u, do â ¡ k¸t qu£ ¤t ÷ñ trong luªn ¡n ng gâp phn t«ng kh£ n«ng ùng döng trong thü ti¹n. C¡ k¸t qu£ h½nh õa luªn ¡n ¢ ÷ñ æng bè trong 04 b i b¡o khoa hå tr¶n ¡ t¤p h½ huy¶n ng nh què t¸ v ¢ ÷ñ b¡o ¡o t¤i: • X¶mina õa Bë mæn Gi£i t½ h, Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i hå S÷ ph¤m H Nëi 2; • Hëi th£o khoa hå Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v ùng döng, Khoa Khoa hå ì b£n, Tr÷íng ¤i hå Sao ä, 2016; • Hëi th£o khoa hå To¡n hå trong sü nghi»p êi mîi gi¡o dö , Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i hå S÷ ph¤m H Nëi 2, 2017. 6. C§u tró õa luªn ¡n Ngo i phn mð u, k¸t luªn, danh mö ¡ æng tr¼nh ÷ñ æng bè v danh mö t i li»u tham kh£o, luªn ¡n gçm 4 h÷ìng:
14 • Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thù hu©n bà. Ch÷ìng n y tr¼nh b y ¡ kh¡i ni»m v ¡ ki¸n thù ì sð n thi¸t ÷ñ sû döng trong luªn ¡n. • Ch÷ìng 2. Ên ành hâa h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u. Ch÷ìng n y tr¼nh b y k¸t qu£ v· t½nh ên ành m v ên ành hâa nghi»m døng m¤nh õa h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u. • Ch÷ìng 3. Ên ành hâa h» g-Navier-Stokes hai hi·u. Ch÷ìng n y tr¼nh b y ¡ k¸t qu£ v· sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng m¤nh; k¸t qu£ ên ành hâa nghi»m døng m¤nh v ên ành hâa d¡ng i»u ti»m ªn nghi»m õa h» g -Navier-Stokes hai hi·u. • Ch÷ìng 4. T½nh ên ành nghi»m õa h» g-Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n. Ch÷ìng n y tr¼nh b y k¸t qu£ v· sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t õa nghi»m døng y¸u õa h» t§t ành t÷ìng ùng vîi h» ng¨u nhi¶n; hùng minh i·u ki»n ên ành m theo b¼nh ph÷ìng trung b¼nh v ên ành m hu h hn õa nghi»m y¸u õa h» ng¨u nhi¶n.
15 Ch÷ìng 1 MËT SÈ KIN THÙC CHUN BÀ Trong h÷ìng n y, hóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ li¶n quan ¸n ¡ khæng gian h m, ¡ to¡n tû, Gi£i t½ h ng¨u nhi¶n, ¡ ¡nh gi¡ n thi¸t º xû l½ sè h¤ng phi tuy¸n trong ph÷ìng tr¼nh v mët sè k¸t qu£ th÷íng dòng ( ¡ b§t ¯ng thù , ¡ bê · ompa t) ÷ñ sû döng trong hùng minh ¡ k¸t qu£ h½nh õa luªn ¡n ð ¡ h÷ìng sau. 1.1. C¡ khæng gian h m Trong mö n y, ta nh l¤i mët sè k¸t qu£ v· ¡ khæng gian h m s³ ÷ñ sû döng trong luªn ¡n. Chóng ta x²t O l mi·n bà h°n trong Rn (n = 2, 3) vîi bi¶n trìn ∂O. 1.1.1. Khæng gian Sobolev Cho 1 ≤ p ≤ ∞ v m l mët sè nguy¶n khæng ¥m. Ta k½ hi»u Lp (O) l khæng gian ¡ h m kh£ t½ h bª p vîi ë o Lebesgue dx = dx1 . . . dxn . Khi â Lp (O), 1 ≤ p ≤ ∞, l khæng gian Bana h vîi hu©n Z 1/p p kukLp = |u| dx , 1 ≤ p < ∞, O v kukL∞ = esssupO |u(x)|. N¸u p = 2, th¼ L2 (O) l khæng gian Hilbert vîi t½ h væ h÷îng Z (u, v) = u.vdx, O v hu©n k · kL2 x¡ ành nh÷ sau: kuk2L2 (O) = (u, u).
16 ành ngh¾a 1.1. Khæng gian Sobolev W m,p (O) ÷ñ x¡ ành nh÷ sau W m,p (O) = {u ∈ Lp (O) : Dγ u ∈ Lp (O) vîi måi 0 ≤ |γ| ≤ m}, vîi hu©n  1/p kDγ ukpLp  X kukW m,p =  . |γ|≤m ành l½ 1.1. ([54, ành l½ 5.4, tr. 114℄) Khæng gian Sobolev W m,p (O) l khæng gian Bana h. N¸u p = 2 ta â H m (O) = W m,2 (O) l khæng gian Hilbert vîi t½ h væ h÷îng X ((u, v))H m = (Dγ u, Dγ v). |γ|≤m Ta ành ngh¾a H0m (O) l bao âng õa khæng gian C0∞ (O) trong H m (O). 1.1.2. C¡ khæng gian Lp (0, T ; Y ) v C([0, T ]; Y ) Cho Y l khæng gian Bana h thü vîi hu©n || · ||. ành ngh¾a 1.2. Khæng gian Lp (0, T ; Y ), 1 ≤ p ≤ ∞, gçm t§t £ ¡ h m o ÷ñ φ : [0, T ] → Y vîi hu©n Z T 1/p i)kφkLp (0,T ;Y ) := p kφ(s)k ds < ∞ vîi 1 ≤ p < ∞, 0 ii)kφkL∞ (0,T ;Y ) := esssup0≤t≤T ||φ(t)|| < ∞. Khi â Lp (0, T ; Y ) l mët khæng gian Bana h, v nâ l ph£n x¤ n¸u 1 < p < ∞. Khæng gian li¶n hñp õa Lp (0, T ; Y ) l Lq (0, T ; Y ′ ) vîi 1/p + 1/q = 1. ành ngh¾a 1.3. Khæng gian C([0, T ]; Y ) gçm t§t £ ¡ h m li¶n tö φ : [0, T ] → Y vîi hu©n kφkC([0,T ];Y ) := max ||φ(t)|| < ∞. 0≤t≤T
17 Khi â C([0, T ]; Y ) l mët khæng gian Bana h. ành ngh¾a 1.4. L2loc (R; Y ) l khæng gian ¡ h m φ(s), s ∈ R vîi gi¡ trà trong Y , m b¼nh ph÷ìng kh£ t½ h àa ph÷ìng (theo ngh¾a Bo hner), tù l , Z t2 kφ(s)k2 ds < ∞, vîi måi kho£ng ompa t [t1 , t2 ] ⊂ R. t1 1.1.3. C¡ khæng gian h m H v V Gi£ sû O l mi·n bà h°n trong R3 vîi bi¶n trìn ∂O. Sau ¥y, hóng ta giîi thi»u ¡ khæng gian h m H v V dòng º nghi¶n ùu h» Navier-Stokes-Voigt. K½ hi»u 3 Z X (u, v) := uj vj dx, u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ (L2 (O))3 , O j=1 v 3 Z X ((u, v)) := ∇uj · ∇vj dx, u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ (H01 (O))3 , O j=1 v hu©n t÷ìng ùng |u|2 := (u, u), kuk2 := ((u, u)). °t V = u ∈ (C0∞ (O))3 : ∇ · u = 0 . K½ hi»u H l bao âng õa V trong (L2 (O))3 , v V l bao âng õa V trong (H01 (O))3 . D¹ th§y V ⊂ H ≡ H ′ ⊂ V ′ , trong â ¡ ph²p nhóng l trò mªt v li¶n tö . Ta dòng k½ hi»u k · kV ′ ho hu©n trong V ′ , v h·, ·i ho °p èi ng¨u giúa V v V ′ . C¡ khæng gian tr¶n ·u l khæng gian Hilbert. Ta ÷a ra mët hu©n Hilbert mîi trong V nh÷ sau kuk2α : = |u|2 + α2 kuk2 , α > 0, hu©n n y t÷ìng ÷ìng vîi hu©n k · k th÷íng dòng trong V bði v¼ λ1 2 kuk2α ≤ kuk2 ≤ α−2 kuk2α , 1 + α λ1
18 trong â λ1 > 0 l gi¡ trà ri¶ng u ti¶n õa to¡n tû Stokes trong O (tù l to¡n tû A ÷ñ ành ngh¾a trong Mö 1.2.1 d÷îi ¥y). 1.1.4. C¡ khæng gian h m Hg v Vg º nghi¶n ùu h» g -Navier-Stokes hai hi·u, hóng ta x²t O l mi·n bà h°n trong R2 vîi bi¶n trìn ∂O. K½ hi»u L2 (O, g) = (L2 (O))2 v H10 (O, g) = (H01 (O))2 , vîi t½ h væ h÷îng ln l÷ñt l 2 Z X (u, v)g := uj vj g dx, u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ L2 (O, g), O j=1 v 2 Z X ((u, v))g := ∇uj · ∇vj gdx, u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ H10 (O, g), O j=1 v hu©n t÷ìng ùng |u|2g = (u, u)g , ||u||2g = ((u, u))g . Tø gi£ thi¸t õa h m g ÷ñ x²t trong luªn ¡n (xin xem hi ti¸t ð Mö 3.1, Ch÷ìng 3) d¹ th§y hu©n | · |g v k · kg t÷ìng ÷ìng vîi hu©n thæng th÷íng trong (L2 (O))2 v trong (H01 (O))2 . °t Vg = u ∈ (C0∞ (O))2 : ∇ · (gu) = 0 . K½ hi»u Hg l bao âng õa Vg trong L2 (O, g), v Vg l bao âng õa Vg trong H10 (O, g). D¹ th§y Vg ⊂ Hg ≡ Hg′ ⊂ Vg′ , trong â ¡ ph²p nhóng l trò mªt v li¶n tö . Ta dòng k½ hi»u k · k∗ ho hu©n trong Vg′ , v h·, ·ig h¿ èi ng¨u giúa Vg v Vg′ . C¡ khæng gian tr¶n ·u l khæng gian Hilbert. 1.2. C¡ to¡n tû 1.2.1. To¡n tû A, B Ta ành ngh¾a ¡ to¡n tû li¶n quan ¸n h» Navier-Stokes-Voigt nh÷ sau.