Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:117

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn định hóa được vững của các lớp hệ chuyển mạch tuyến tính, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov toàn phương chung nhằm đưa ra các tiêu chuẩn ổn định mũ và sử dụng chúng để đánh giá tính ổn định vững và ổn định hóa được vững của hệ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9460112.01 Người hướng dẫn khoa học: 1. GS. TSKH. Nguyễn Khoa Sơn 2. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2020
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là những công trình của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS. TSKH Phạm Kỳ Anh. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là mới và chưa từng được công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Hà Nội, tháng 01 năm 2020 Tác giả Lê Văn Ngọc i
LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tâm huyết và tận tình của GS. TSKH Nguyễn Khoa Sơn và GS. TSKH Phạm Kỳ Anh. Đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Giáo sư đã đặt bài toán,dạy dỗ, chỉ bảo tận tình, chu đáo không chỉ trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học mà còn trong cuộc sống suốt quá trình thực hiện luận án. Để hoàn thành các bài báo khoa học, bên cạnh sự giúp đỡ của các GS hướng dẫn và đồng tác giả PGS. TS Đỗ Đức Thuận, tác giả luận án đã nhận được sự hỗ trợ và động viên của GS Trần Vũ Thiệu, PGS. TSKH Vũ Hoàng Linh, ThS Nguyễn Huyền Mười. Nghiên cứu sinh xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin học, tập thể các Thầy Cô giáo trong bộ môn Toán học Tính toán-Toán ứng dụng, Xêmina bộ môn Toán học Tính toán- Toán ứng dụng trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và có những ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận án. Tác giả xin cảm ơn đến Ban Lãnh đạo Học viện, Ban chủ nhiệm Khoa, các Thầy Cô giáo bộ môn Toán và đồng nghiệp trong Khoa Cơ bản 1, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông đã luôn động viên, tạo điều kiện và giúp đỡ trong công tác để nghiên cứu sinh tập trung hoàn thành luận án. Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS. TSKH Vũ Ngọc Phát, GS. TS Đặng Quang Á, GS. TS Cung Thế Anh, PGS. Nguyễn Minh Mẫn, PGS. TS Lê Văn Hiện, PGS. TS Tạ Duy Phượng, PGS. TS Nguyễn Sinh Bảy, TS Nguyễn Trung Hiếu, TS Hà Phi, TS Nguyễn Thị Hoài đã đọc luận án đóng góp nhiều ý kiến để tác giả hoàn thiện luận án tốt hơn. ii
Tác giả chân thành cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp về toán (VIASM) đã tạo điều kiện, giúp đỡ không chỉ bố trí nơi làm việc, hoàn thiện bài báo cùng với Thầy hướng dẫn năm 2018 mà còn hỗ trợ kính phí nghiên cứu khoa học thông qua thưởng công trình cho chính bài báo vào năm 2020. Bên cạnh đó tôi xin cảm ơn các anh, chị, em, nghiên cứu sinh, bạn bè, đồng nghiệp và những người quan tâm tới luận án đã chia sẻ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm nghiên cứu sinh. Đặc biệt, tác giả dành lời cảm ơn sâu sắc tới những người thân của mình: bố, mẹ, vợ, con và những người thân trong gia đình đã luôn sát cánh, chia sẻ và động viên để tôi cố gắng và hoàn thành tốt luận án. iii
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC 1 BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 3 MỞ ĐẦU 5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14 1.1 Vectơ và ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Bài toán ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Bài toán ổn định vững các hệ chịu nhiễu . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.1 Tính ổn định vững của hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.2 Tính ổn định vững của hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 2. TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ 34 2.1 Bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính . . . . . . . . . 34 2.1.1 Tính ổn định vững của hệ tuyến tính: Phương pháp hàm Lyapunov toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.2 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính: Phương pháp hàm Lyapunov toàn phương . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.3 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính: Cách tiếp cận bằng nguyên lý so sánh nghiệm . . . . . . . . . . 45 1
2.2 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ . . . . . . . 56 2.2.1 Điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 56 2.2.2 Cận dưới bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Chương 3. TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐƯỢC VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN TUẦN HOÀN 74 3.1 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.1.1 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống . . . . . . . . . . . . . 76 3.1.2 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cả hệ thống và các thời điểm chuyển mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.2 Tính ổn định hóa được vững của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 KẾT LUẬN CHUNG 104 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 2
BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R, R+ Tập số thực, số thực không âm tương ứng N Tập số tự nhiên C Tập số phức C+ Tập số phức có phần thực không âm Z Tập số nguyên ı Đơn vị ảo n Cỡ của không gian T Chu kỳ tuần hoàn K Tập số thực hoặc số phức Kn Không gian vectơ n chiều trên trường K rK Bán kính ổn định thực với K = R và phức với K = C Hn Tập các ma trận Hermit cấp n Hn+ Tập các ma trận Hermit xác định dương Rez Phần thực của số phức z N Tập các chỉ số xác định N := {1, 2, . . . , N } Kn × m Tập các ma trận thực hoặc phức cỡ n × m n×m R+ Tập các ma trận thực không âm cỡ n × m I Ma trận đơn vị có chiều tương thích kxk Chuẩn của vectơ x ∈ Rn xy xi > yi (∀i ∈ n), với x = ( x1 , x2 , ..., xn )> ∈ Rn và y = (y1 , y2 , ..., yn )> ∈ Rn AB Các phần tử của ma trận A lớn hơn hẳn các phần tử tương ứng của ma trận B σ Tín hiệu chuyển mạch của hệ chuyển mạch Σ Tập các tín hiệu chuyển mạch det A Định thức của ma trận A λ( A) λ( A) := {λ ∈ C : det(λI − A) = 0}, phổ của ma trận vuông A µ( A) µ( A) := max{Reλ : λ ∈ λ( A)}, hoành độ phổ của ma trận vuông A A> Ma trận chuyển vị của ma trận A A∗ Ma trận phức liên hợp chuyển vị của ma trận A λmax ( A) Giá trị riêng lớn nhất của ma trận A với A là 3
ma trận đối xứng hoặc Hermit λmin ( A) Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận A với A là ma trận đối xứng hoặc Hermit s( A) Giá trị kỳ dị của ma trận A smax ( A), smin ( A) Giá trị kỳ dị lớn nhất, nhỏ nhất của ma trận A ρ( A) ρ( A) := max{|λ| : λ ∈ λ( A)}, bán kính phổ của ma trận A M( A) Ma trận Metzler hóa của ma trận A k Ak Chuẩn của ma trận A A Tập các ma trận A1 , A2 , . . . , A N của hệ chuyển mạch C ([α, β], Kn ) Không gian các hàm liên tục trên đoạn [α, β], nhận giá trị trong Kn với chuẩn k x k = max k x (t)k α≤t≤ β BV ([α, β], K p×q ) Tập các hàm có biến phân giới nội trên đoạn [α, β] trong K p×q NBV ([−h, 0], K p×q ) Tập các hàm thuộc BV ([α, β], K p×q ) và thỏa mãn η (θ ) = η (α) = 0, với θ ≤ α và η (θ ) = η ( β), với θ ≥ β QLF Hàm Lyapunov toàn phương (quadratic Lyapunov functions) CQLF Hàm Lyapunov toàn phương chung (common quadratic Lyapunov functions) FDEs Phương trình vi phân hàm (functional differential equations) 4
MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực được bắt đầu nghiên cứu một cách hệ thống từ những năm cuối thế kỷ XIX bởi nhà toán học Nga A.M. Lyapunov cho đến nay vẫn đang phát triển sôi động trong Toán học và trở thành bộ phận không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Đến những năm 60 của thế kỷ XX cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi các bài toán ổn định hóa các hệ điều khiển. Các bài toán ổn định và điều khiển cho hệ chuyển mạch được các nhà nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng đặc biệt quan tâm từ 30 năm trở lại đây tiêu biểu như, Molchanov và Pyatnitskiy 1989 ( [56]); Shorten và Narendra, 2002 ( [69]); Liberzon, 2003 ( [41]); Gokcek, ¨ 2004 ( [24]); Lin và Antsaklis, 2005 ( [43])...(xem các bài tổng quan về ổn định và điều khiển của hệ chuyển mạch ( [44], [68])). Trong nước, một số tác giả cũng đã quan tâm nghiên cứu về ổn định và điều khiển hệ chuyển mạch như V.N. Phat và cộng sự, 2006 ( [63]); P.K. Anh và P.T. Linh, 2017 ( [5]). Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực, chẳng hạn hệ thống cơ khí, ngành công nghiệp ô tô, điều khiển máy bay, chuyển đổi năng lượng (xem trong các cuốn sách Liberzon 2003 [41], Sun và Ge 2011 [71]). Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm một số hữu hạn các hệ con thời gian liên tục hoặc rời rạc và quy tắc chuyển giữa các hệ con đó. Dưới biểu diễn toán học, một hệ thống chuyển mạch thời gian liên tục được mô tả bằng phương trình vi phân dạng x˙ = f σ ( x ), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , σ ∈ Σ, (1) trong đó K = R hoặc K = C, N := {1, 2, . . . , N } tập chỉ số, Σ là tập hợp các hàm hằng từng khúc (có thể phụ thuộc vào biến thời gian và/hoặc biến trạng 5
thái), σ : [0, +∞) × Kn → N gọi là tín hiệu chuyển mạch hoặc luật chuyển mạch. Trong trường hợp σ là hàm phụ thuộc thời gian thì σ thường được giả thiết liên tục phải. Ứng với hệ chuyển mạch (1) ta có N hệ con dạng x˙ = f k ( x ), k ∈ N, (2) trong đó F := { f k ( x ) : k ∈ N } là một họ hữu hạn các trường vectơ liên tục Lipschitz. Một trong các bài toán quan trọng nhất khi nghiên cứu hệ chuyển mạch là tìm các điều kiện để một hệ chuyển mạch ổn định với bất kỳ luật chuyển mạch nào hoặc có thể ổn định hóa được bởi một luật chuyển mạch thỏa mãn các ràng buộc cho trước. Các kết quả về bài toán này đã được trình bày trong các bài báo tổng quan (xem Shorten [68] và cộng sự, Lin và Antsaklis [44]). Các phương pháp được sử dụng chủ yếu là phương pháp hàm Lyapunov, bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) và đại số Lie. Dưới đây chúng tôi xin dẫn ra một vài kết quả tiêu biểu cho trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính. Xét hệ chuyển mạch tuyến tính với luật chuyển mạch phụ thuộc thời gian trong Kn dạng x˙ (t) = Aσ(t) x (t), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , σ ∈ Σ, (3) trong đó Aσ(t) ∈ A := { Ak ∈ Kn×n , k ∈ N }, t ≥ 0, là tập hữu hạn cho trước các ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó, nghiệm x = 0 của hệ chuyển mạch (3) ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch nếu tất cả các hệ con x˙ (t) = Ak x (t), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , k ∈ N , (4) có hàm Lyapunov toàn phương chung (gọi tắt là CQLF) dạng V ( x ) = x ∗ Px, P là ma trận Hermit xác định dương (xem [41]). Nói cách khác, tồn tại ma trận Hermit xác định dương P thỏa mãn hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính: A∗k P + PAk < 0, k = 1, 2, . . . , N, trong các trường hợp khi tất cả các ma trận Ak của hệ con đều ổn định Hur- witz (tức là tất cả các giá trị riêng của chúng nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng phức) và giao hoán từng đôi một (được đưa ra bởi Narendra và Bal- akrishnan [57]) hoặc chuẩn tắc (xem Zhai và cộng sự [76]) hoặc cùng đưa được về dạng ma trận tam giác trên (tức là tồn tại một ma trận không suy biến T 6
cấp n sao cho tất cả các ma trận T −1 Ak T, k ∈ N đều là ma trận tam giác trên, xem Mori và cộng sự [55]) và các điều kiện đại số dựa trên đại số Lie tạo bởi ma trận hệ con Ak , k ∈ N (xem Agrachev và Liberzon [4]).Tuy nhiên đây chỉ là các điều kiện đủ và một điều kiện cần và đủ để hệ chuyển mạch tuyến tính ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch đã được Monchanov và Pyatnitskiy (xem [56]) đưa ra đó là sự tồn tại hàm Lyapunov V ( x ) chung, trong đó V là hàm lồi chặt và thuần nhất bậc 2 đối với biến x. Bên cạnh hướng nghiên cứu trên về hệ chuyển mạch, khía cạnh ổn định vững các hệ không chuyển mạch và không chắc chắn hoặc chứa tham số nhiễu đã nhận được rất nhiều sự quan tâm trong lý thuyết điều khiển hệ thống những thập kỷ qua. Với hệ ổn định tiệm cận x˙ (t) = A0 x (t), t ≥ 0, người ta đo độ vững cho tính ổn định tiệm cận đó bằng khái niệm bán kính ổn định, được định nghĩa là số δ0 ≥ 0 lớn nhất sao cho hệ nhiễu x˙ (t) = ( A0 + ∆) x (t), t ≥ 0, vẫn ổn định tiệm cận với bất cứ nhiễu ∆ ∈ Kn thỏa mãn k∆k < δ0 . Trong trường hợp K = C, các công thức và thuật toán tính bán kính ổn định phức được Hinrichsen và Pritchard đưa ra năm 1986 (xem [33]). Bài toán tương tự cho bán kính ổn định thực (tức là khi K = R) phức tạp hơn và được nghiên cứu những năm 1995 bởi Qiu và cộng sự [64]. Về mặt hình học, bán kính ổn định là khoảng cách từ hệ gốc ổn định đến tập tất cả các hệ không ổn định. Xuất phát từ quan điểm lý thuyết cũng như thực tiễn, vấn đề mô tả và tính toán bán kính ổn định có tầm quan trọng rất lớn. Do đó, đã thu hút nhiều các nhà toán học quan tâm và nghiên cứu, đáng chú ý đối với các nhiễu tổng quát hơn, ví dụ nhiễu có cấu trúc A0 N A0 + D∆E và đa nhiễu A0 A0 + ∑ Di ∆i Ei cho nhiều hệ động lực tuyến i =1 tính, bao gồm hệ không dừng và hệ có trễ, hệ ẩn, hệ dương cũng như hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều, trong cả thời gian liên tục và rời rạc. Bài toán ổn định vững của các hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu được viết có hệ thống trong cuốn chuyên khảo của Hinrichsen và Pritchard năm 2005 (xem [35]), ngoài những kết quả thú vị về toán học còn có một danh mục tài liệu tham khảo phong phú. Ngoài ra, một số kết quả ổn định vững của hệ không dừng đã được nghiên cứu (xem [16], [30], [37], [45]). Một câu hỏi đặt ra liệu có thể xác định thước đo độ vững (bán kính ổn định) cho hệ chuyển mạch tuyến tính hay không? Hơn nữa, làm thế nào để 7
mô tả và tính toán được bán kính ổn định đó? Theo chúng tôi, câu hỏi như vậy cho đến nay chưa được giải quyết, mặc dù các khía cạnh phân tích ổn định vững của lớp hệ chuyển mạch đã được nghiên cứu bởi một số nhóm tác giả như Liberzon; Y. Sun; Letel; Bagherzadeh; Zhang và các cộng sự (xem [6], [28], [41], [71], [75], [77]). Luận án này sẽ trả lời một phần cho các câu hỏi trên. Phần đầu Chương 2, chúng tôi đưa ra định nghĩa bán kính ổn định cho hệ chuyển mạch tuyến tính (3) với quy tắc chuyển bất kỳ giả thiết ma trận của các hệ con (4) chịu nhiễu Ak Ak + Dk ∆k Ek , k ∈ N và sẽ thiết lập một số cận trên và cận dưới cho bán kính ổn định. Trong một số trường hợp đặc biệt, các cận này đưa ra công thức bán kính ổn định cho một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính chịu nhiễu không có cấu trúc. Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng hầu hết các công trình đã biết về ổn định vững của hệ chuyển mạch luôn giả thiết ma trận nhiễu ∆k bị ràng buộc. Các kết quả của luận án không yêu cầu giả thiết nói trên, do đó đòi hỏi cách tiếp cận khác biệt. Tiếp theo, Chương 2 của Luận án nghiên cứu bài toán ổn định vững đối với các hệ chuyển mạch tuyến tính được mô tả bởi phương trình vi phân có trễ. Trong đó, tốc độ thay đổi của trạng thái không chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại của hệ thống mà còn phụ thuộc vào trạng thái trong quá khứ. Cho đến nay, hầu hết các công trình trong lĩnh vực này đã tập trung vào phân tích độ ổn định cho các hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ dạng x˙ (t) = A0σ(t) x (t) + A1σ(t) x (t − h(t)), t ≥ 0, σ ∈ Σ, (5) trong đó h(t) là hàm trễ phụ thuộc thời gian với h > 0 cho trước thỏa mãn 0 ≤ h(t) ≤ h, t ≥ 0 (xem [48], [49]). Thông thường, việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ có trễ bằng phương pháp hàm Lyapunov toàn phương chung (CQLF) cổ điển đã được thay bằng các phương pháp hàm Lyapunov- Krasovski (xem, [38, 54, 73]). Để xây dựng hàm Lyapunov-Krasovski chung cho hệ có trễ dạng tổng quát là rất khó. Tuy nhiên, trong trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính dương có trễ, người ta có thể xây dựng được hàm Lyapunov đồng dương tuyến tính chung (common linear co-positive Lya- punov function) (tức là V ( x ) = ξ > x, ξ ∈ Rn , ξ 0) (xem [46, 50, 72]). Ngoài ra, các tính chất phổ của ma trận không âm và kết quả lý thuyết về hệ dương (xem [9, 18, 25]) cũng được sử dụng hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định của các hệ chuyển mạch tuyến tính dương (xem [7, 19, 20, 53]). Phần cuối Chương 2, dựa trên cùng cách tiếp cận trên, chúng tôi đưa ra 8
một số tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quát được mô tả bởi phương trình vi phân hàm (FDEs) tuyến tính x˙ (t) = A0σ(t) x (t) + Lσ(t) xt , t ≥ 0, σ ∈ Σ, (6) trong đó, với mỗi t ≥ 0, xt (θ ) := x (t + θ ), θ ∈ [−h, 0] và Lσ(t) là toán tử tuyến tính bị chặn từ C ([−h, 0], Rn ) vào Rn . Các tiêu chuẩn thu được sẽ bao gồm nhiều kết quả đã biết (liên quan đến sự ổn định tiệm cận của các hệ chuyển mạch trễ rời rạc và trễ phân phối) như là các trường hợp đặc biệt. Áp dụng kết quả này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quát dạng (6) với luật chuyển bất kỳ khi dữ liệu của hệ A0σ , Lσ chịu nhiễu cấu trúc và đưa ra một số ước lượng cho các bán kính ổn định. Song song với hướng nghiên cứu bài toán ổn định vững hệ chuyển mạch với quy tắc chuyển bất kỳ, bài toán ổn định vững đối với các lớp tín hiệu chuyển mạch thỏa mãn các điều kiện hoặc ràng buộc, đặc biệt là các hệ chuyển mạch tuần hoàn cũng được nghiên cứu nhiều. Trong thực tế, hệ chuyển mạch tuần hoàn đóng vai trò quan trọng, chẳng hạn như trong mạch điện, bộ điều khiển, bộ lọc chuyển đổi và hộp số xe đã được đưa ra bởi Bolzern & Colaneri; Tokarzewski (xem [10,74]). Mô hình toán học của hệ chuyển mạch với quy tắc chuyển tuần hoàn được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình vi phân  σ (ti−1 ) x ( t ); ti −1 + ` T ≤ t < ti + ` T; t ≥ t0 ; ` = 0, 1, . . .  x˙ (t) = A (7)  x (t0 ) = x0 ; i ∈ m. Hệ (7) có thể được biểu diễn dưới dạng hệ chuyển mạch (3) với tín hiệu chuyển mạch σ là hàm liên tục phải, tuần hoàn chu kỳ T, hằng từng khúc từ tập [t0 , +∞) vào tập chỉ số N và xác định bởi σ(t) = σ (ti−1 ) với t ∈ [ti−1 + ` T, ti + ` T ); i ∈ m; ` = 0, 1, . . . , trong đó Aσ(ti−1 ) ∈ A := { Ak ∈ Rn×n , k ∈ N }, t0 < t1 < . . . < tm := t0 + T. Chúng tôi xin dẫn ra một số công trình nghiên cứu về hướng này (xem [5, 13–15, 24, 68]), trong đó phân tích tính ổn định và ổn định hóa được của các hệ chuyển mạch tuyến tính thời gian liên tục hoặc thời gian rời rạc tuần hoàn. Đến năm 2009, Liberzon và Trenn (xem [42]) nghiên cứu và đưa ra kết quả về hệ chuyển mạch suy biến dạng Eσ(t) x˙ (t) = Aσ(t) x (t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, (8) 9
trong đó, Eσ(t) là tập hữu hạn các ma trận suy biến. Trong Chương 3, luận án đã đưa ra khái niệm bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính (7) với quy tắc chuyển tuần hoàn và thiết lập một số ước lượng bán kính ổn định dưới tác động của nhiễu lên cả hệ thống và các thời điểm chuyển mạch. 2. Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn định hóa được vững của các lớp hệ chuyển mạch tuyến tính, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov toàn phương chung nhằm đưa ra các tiêu chuẩn ổn định mũ và sử dụng chúng để đánh giá tính ổn định vững và ổn định hóa được vững của hệ. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu tính ổn định của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính thời gian liên tục với luật chuyển phụ thuộc thời gian chịu nhiễu cấu trúc affine sau đây: • Hệ chuyển mạch tuyến tính x˙ (t) = Aσ(t) x (t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, Aσ(t) ∈ A := { Ak ∈ Kn×n , k ∈ N }, t ≥ 0. • Hệ chuyển mạch tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc eσ(t) x (t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, x˙ (t) = A eσ(t) ∈Ae := { Ak + Dk ∆k Ek , ∆k ∈ Klk ×qk , k ∈ N }, t ≥ 0. A • Hệ chuyển mạch có trễ tổng quát được mô tả bởi phương trình vi phân hàm tuyến tính Z 0 x˙ (t) = A0σ(t) x (t) + d[ησ(t) (θ )] x (t + θ ), t ≥ 0, σ ∈ Σ. −h • Hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quát chịu nhiễu cấu trúc Z 0 e0 x (t) + x˙ (t) = A d[ηeσ(t) (θ )] x (t + θ ), t ≥ 0, σ ∈ Σ, σ(t) −h 10
trong đó e0 ∈ Ae := A e : = A 0 + D 0 ∆ k E 0 , ∆ k ∈ Rr k × q k , k ∈ N , 0 A σ(t) k k k k e := ηek := ηk + D1 δk (·) E1 , δk ∈ NBV ([−h, 0], Rsk × pk ), k ∈ N . ηeσ(t) (·) ∈ Γ k k • Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn  σ (ti−1 ) x ( t ); ti −1 + ` T ≤ t < ti + ` T; t ≥ t0 ,  x˙ (t) = A  x (t0 ) = x0 ; i ∈ m; ` = 0, 1, . . . , Aσ(ti−1 ) ∈ A := { Ak ∈ Rn×n , k ∈ N }; t0 < t1 < . . . < tm := t0 + T. • Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống  σ (ti−1 ) + Dσ (ti−1 ) ∆σ (ti−1 ) Eσ (ti−1 ) ) x ( t ); ti −1 + ` T ≤ t < ti + ` T,  x˙ (t) = ( A  x (t0 ) = x0 ; t ≥ t0 ; i ∈ m; ` = 0, 1, . . . . • Hệ chuyển mạch với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống và thời điểm chuyển mạch   x˙ (t) = ( Aσ(ti−1 ) + Dσ(ti−1 ) ∆σ(ti−1 ) Eσ(ti−1 ) ) x (t); t ≥ t0 ,   ti−1 + δti−1 + ` T ≤ t < ti + δti + ` T; i ∈ m; ` = 0, 1, . . . ,   x ( t0 ) = x0 .  4. Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng các phương pháp của lý thuyết ổn định phương trình vi phân (lý thuyết hàm Lyapunov, nguyên lý so sánh nghiệm, lý thuyết Floquet), các phương pháp giải tích, giải tích hàm và đại số tuyến tính (lý thuyết Perron -Frobenius, Định lý Hahn-Banach, biểu diễn Riesz, ...). 5. Kết quả của luận án Luận án nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn định hóa được vững cho hệ chuyển mạch tuyến tính và đã thu được các kết quả chính sau: 11
• Đưa ra khái niệm bán kính ổn định cấu trúc của hệ chuyển mạch tuyến tính với tín hiệu chuyển bất kỳ. Đánh giá bán kính ổn định của hệ dựa trên hàm Lyapunov toàn phương chung. • Chứng minh một số điều kiện đủ về ổn định mũ cho hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quát với tín hiệu chuyển bất kỳ được mô tả bởi phương trình vi phân hàm và sử dụng điều kiện thu được để đánh giá độ ổn định vững của hệ khi các ma trận chịu nhiễu cấu trúc affine. • Đưa ra khái niệm bán kính ổn định cấu trúc, đánh giá các cận của bán kính ổn định và ổn định hóa được vững cho hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn. Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại: - Xêmina bộ môn Toán học tính toán và Toán ứng dụng, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. - Các hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 13 (Ba Vì, Hà Nội, 23- 25/4/2015), lần thứ 14 (Ba Vì, Hà Nội, 21-23/4/2016), lần thứ 15 (Ba Vì, Hà Nội, 20-22/4/2017) và lần thứ 17 (Ba Vì, Hà Nội, 18-20/4/2019). - The second Vietnam International Applied Mathematics Conference, HCM City, 12-2017. - Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 9, Nha Trang, 8-2018. - European Control Conference, Saint Petersburg, Russia, May 12-15, 2020. Các kết quả chính của luận án đã được đăng trên các tạp chí Applied Math- ematics and Computation (xem [CT1]), IET Control Theory & Applications (xem [CT2]), tiền ấn phẩm (xem [CT3]). 6. Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, danh mục các công trình công bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về không gian định chuẩn, chuẩn toán tử tuyến tính và một số kết quả bổ trợ khác; lý thuyết ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tổng quát, hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ chuyển mạch tổng quát cũng như hệ chuyển mạch tuyến tính; bài toán ổn định vững các hệ 12
chịu nhiễu đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ phương trình vi phân có trễ. Chương 2. Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển mạch bất kỳ. Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov chúng tôi thiết lập các điều kiện đủ ổn định mũ. Tiếp theo, chúng tôi sử dụng điều kiện ổn định mũ thu được đánh giá độ ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính và hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ thông qua khái niệm bán kính ổn định có cấu trúc. Chương 3. Tính ổn định và ổn định hóa được vững của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn. Chúng tôi đưa ra định nghĩa bán kính ổn định của hệ chuyển mạch chịu nhiễu cấu trúc hệ thống hoặc nhiễu cả hệ thống và các thời điểm chuyển mạch. Từ đó, chúng tôi đưa ra đánh giá cận trên/dưới cho các bán kính ổn định. Tiếp theo chúng tôi đưa ra khái niệm, các định lý về ổn định hóa được nhanh và ổn định hóa được chậm của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống. 13
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và kết quả đã biết về lý thuyết ổn định của các hệ động lực nói chung, các bài toán về ổn định vững của hệ tuyến tính và một số kết quả bổ trợ sử dụng trong luận án (xem [1, 2, 17, 24, 35, 41, 71]). 1.1 Vectơ và ma trận Cho các số nguyên dương l, q và tập hợp tất cả các ma trận cỡ l × q với các phần tử trong K (K = C hoặc K = R) được kí hiệu bởi Kl ×q . Đối với hai ma trận thực cỡ l × q là A = ( aij ) và B = (bij ) bất đẳng thức A ≥ B có nghĩa là aij ≥ bij với i ∈ l := {1, 2, . . . , l }, j ∈ q := {1, 2, . . . , q}. Đặc biệt nếu aij > bij với i ∈ l, j ∈ q thì ta viết A B thay cho A ≥ B. Ma trận A = ( aij ) ∈ Rl ×q được gọi là ma trận không âm nếu aij ≥ 0 với mọi i ∈ l, j ∈ q (tương tự chúng ta cũng phát biểu cho các vectơ). Ma trận A = ( aij ) được gọi là đối xứng nếu A = A> = ( a ji ), ma trận chuyển vị của A và gọi là Hermit nếu A = A∗ = ( a¯ ji ), ma trận phức liên hợp chuyển vị của A. Với x = ( x1 , x2 , ..., xm )> ∈ Rm và P = ( pij ) ∈ Rl ×q ta định nghĩa giá trị tuyệt đối của vectơ và ma trận như sau | x | = (| x1 |, | x2 |, ..., | xm |)> và | P| = (| pij |). Cho trước hai ma trận C và D (với kích thước phù hợp) chúng ta kiểm tra được |C + D | ≤ |C | + | D | và |CD | ≤ |C || D |. Định nghĩa 1.1 (xem [17]). Cho X là không gian vectơ trên trường K. Ánh xạ k · k : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i) k x k ≥ 0, ∀ x ∈ X, k x k = 0 ⇔ x = 0; ii) kλx k = |λ|k x k, ∀ x ∈ X, ∀λ ∈ K; 14
iii) k x + yk ≤ k x k + kyk, ∀ x, y ∈ X. Giá trị k x k được gọi là chuẩn của vectơ x. Không gian vectơ X cùng với chuẩn k · k được gọi là một không gian định chuẩn và kí hiệu ( X, k · k). Một không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach. Chẳng hạn như Kn là một không gian Banach với một trong các chuẩn sau n 1p ∑ | xi | p kxk p = và k x k∞ = max | xi | , i =1 1≤ i ≤ n trong đó x = ( x1 , x2 , ..., xn )> ∈ Kn và 1 ≤ p < ∞. Một chuẩn k · k trên Kn được gọi là đơn điệu nếu | x | ≤ |y| thì k x k ≤ kyk với x, y ∈ Kn . Từ định nghĩa trên chúng ta thấy rằng k · k là một chuẩn đơn điệu nếu và chỉ nếu k x k = k| x |k với mọi x ∈ Rn . Chú ý chuẩn k · k p trên Kn với 1 ≤ p ≤ ∞ là đơn điệu. Trên không gian Kn mọi chuẩn vectơ là tương đương, có nghĩa là, nếu k · k1 và k · k2 là các chuẩn xác định trên cùng một không gian vectơ Kn khi đó tồn tại các số dương α và β sao cho αk x k1 ≤ k x k2 ≤ βk x k1 với mọi x ∈ Kn (xem [36]). Sau đây chúng ta đưa ra một số khái niệm về ma trận. Cho ma trận A ∈ Kn×n ta định nghĩa và kí hiệu hoành độ phổ, bán kính phổ của A lần lượt là µ( A) := max{Reλ : λ ∈ λ( A)}, ρ( A) := max{|λ| : λ ∈ λ( A)}, trong đó λ( A) := {z ∈ C : det(zI − A) = 0} là phổ của ma trận A (tập hợp tất cả các giá trị riêng của A). Nếu ma trận A ∈ Kn×n là ma trận đối xứng (A = A> ) hoặc Hermit (A = A∗ ) thì các giá trị riêng của A đều là số thực. Định nghĩa 1.2. Một ma trận thực cấp n được gọi là ma trận Metzler nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều không âm. Điều đó có nghĩa là ma trận A := aij ∈ Rn×n , i, j ∈ n được gọi là ma trận Metzler nếu aij ≥ 0 với mọi i, j ∈ n, i 6= j. Hơn nữa chúng ta đưa ra khái niệm ma trận Metzler hóa kí hiệu M( A) được định nghĩa là  | a | nếu i 6= j ij M( A) = ( aˆ ij ) trong đó aˆ ij = (1.1)  aii nếu ngược lại. 15