Luận án Tiến sĩ Toán học: Toán tử tích phân và cơ sở sóng nhỏ trên một số không gian hàm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:131

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của luận án "Toán tử tích phân và cơ sở sóng nhỏ trên một số không gian hàm" đề cập đến một số vấn đề của giải tích sóng nhỏ, giải tích điều hòa trên trường thực cũng như trên trường p-adic. Để hiểu rõ hơn về đề tài, mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết luận án!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Toán tử tích phân và cơ sở sóng nhỏ trên một số không gian hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI --------------- Đào Văn Dƣơng TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI Đào Văn Dƣơng TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM Chuyên ngành: Phƣơng trình vi phân và tích phân Mã số : 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. Nguyễn Minh Chƣơng HÀ NỘI – 2013
1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của Giáo sư Nguyễn Minh Chương. Các kết quả viết chung với người hướng dẫn đã được sự nhất trí của người hướng dẫn khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án đều là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác. Tác giả Đào Văn Dương
2 Lời cảm ơn Luận án này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Giáo sư Nguyễn Minh Chương. Thầy hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học và cả những điều thật quý báu trong cuộc sống. Sự động viên, tin tưởng của Thầy là một trong những động lực để tác giả hoàn thành luận án. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luôn nhận được sự động viên, hướng dẫn của các Thầy trong Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là Bộ môn Giải tích. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy. Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả cũng nhận được sự giúp đỡ, góp ý của GS.TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng, PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, TS. Trần Đình Kế, TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo cùng các anh chị em NCS, Cao học trong Xêmina "Toán tử giả vi phân, sóng nhỏ trên
3 các trường thực, p-adic" do Giáo sư Nguyễn Minh Chương chủ trì, Viện Toán học, và Xêmina của Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đã động viên, giúp đỡ tác giả trong nghiên cứu cũng như trong cuộc sống. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng đào tạo Sau đại học cùng toàn thể cán bộ, công nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình thực hiện luận án. Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn cũng như các Thầy ở Viện Toán học đã tham gia giảng dạy cao học, khóa 7, Đại học Quy Nhơn, đã truyền đạt cho tác giả những kiến thức toán học hữu ích. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Xây dựng Miền Trung, nơi tác giả đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt để tác giả yên tâm hoàn thành luận án. Tác giả chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp gần xa, đặc biệt là cha mẹ, vợ và con trai cùng những người thân trong gia đình, đã giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Tác giả Đào Văn Dương
4 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT Ký hiệu Diễn giải N : Tập hợp các số tự nhiên Z : Tập hợp các số nguyên Q : Trường các số hữu tỷ R : Trường các số thực Rn : Không gian véctơ n chiều trên trường R Qp : Trường các số p-adic, với p là số nguyên tố Qnp : Không gian véctơ n chiều trên trường Qp Ip : Tập hợp các phần phân thức của số p-adic Zp : Hình cầu đơn vị trong Qp Z∗p : Tập hợp các phần tử của Zp khác không Ipn : Tích Descartes của n tập Ip Bγ (a), Bγ : Hình cầu tâm a, tâm 0, bán kính pγ Sγ (a), Sγ : Mặt cầu tâm a, tâm 0, bán kính pγ |x|p : Chuẩn của một phần tử x trong Qnp Lq (Rn ), Lq (Qnp ) : Tập các hàm khả tích bậc q trên Rn , trên Qnp Lqloc (Qnp ) : Tập các hàm khả tích địa phương bậc q trên Qnp L1loc (Rn ) : Tập các hàm khả tích địa phương trên Rn B`α,q (Rn ) : Không gian Besov trên Rn BM O(Rn ) : Không gian BMO trên Rn H ` (Rn ) : Không gian Hardy trên Rn
5 V M O(Rn ) : Không gian VMO trên Rn α,q B`,k (Rn ) : Không gian Besov có trọng trên Rn BM Ok (Rn ) : Không gian BMO có trọng trên Rn α,β Fr,q (Qnp ) : Không gian Triebel-Lizorkin trên Qnp α K`,q (Qnp ) : Không gian Herz trên Qnp Mqλ (Qnp ) : Không gian Morrey trên Qnp α M K`,q (Qnp ) : Không gian Morrey-Herz trên Qnp D(Qnp ) : Tập các hàm hằng địa phương có giá compact trên Qnp D0 (Qnp ) : Tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Qnp ) Ff : Biến đổi Fourier của hàm f trên trường số p-adic χ : Hàm đặc trưng cộng tính trên trường số p-adic Uψ : Toán tử Hardy-Littlewood có trọng Vψ : Toán tử Cesàro có trọng [b, Uψ ] , [b, Vψ ] : Giao hoán tử của toán tử Uψ , Vψ với hàm b MRA : Xấp xỉ đa phân giải (Multiresolution Analysis) BMO : Bounded Mean Oscillation VMO : Vanishing Mean Oscillation
6 Mục lục Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn 2 Bảng ký hiệu 4 MỞ ĐẦU 8 Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ 18 1.1 Không gian Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Tích chập và biến đổi Fourier trên trường thực . . . . . . 20 1.3 Trường số p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Độ đo và tích phân trên trường số p-adic . . . . . . . . . 25 1.5 Biến đổi Fourier và tích chập p-adic . . . . . . . . . . . . 27 1.6 Các định lý nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 2. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN SÓNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM 34 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 2.2 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO và Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Chương 3. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN HARDY-LITTLEWOOD CÓ TRỌNG TRÊN TRƯỜNG P-ADIC 56 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian Triebel- Lizorkin trên trường p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian Morrey- Herz trên trường p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4 Giao hoán tử của toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic . . . . . . . . 78 Chương 4. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VLADIMIROV VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ P-ADIC TRONG Lr (Qnp ) 87 4.1 Toán tử tích phân Vladimirov và sóng nhỏ p-adic . . . . 88 4.2 Cơ sở sóng nhỏ không điều kiện gồm các hàm riêng của toán tử Dα trong không gian Lr (Qnp ) . . . . . . . . . . . 96 4.3 Cơ sở Greedy trong không gian Lr (Qnp ) . . . . . . . . . . 110 Kết luận và kiến nghị 116 Danh mục công trình công bố 118 Tài liệu tham khảo 119
8 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Trong khoảng 20 năm trở lại đây, lý thuyết sóng nhỏ xuất hiện và phát triển rất mạnh. Lý thuyết này đang là một công cụ rất có hiệu lực để giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong Vật lý toán nói riêng và trong Khoa học, Công nghệ nói chung (xem trong các công trình [8], [21], [22], [36], [49], [50], [51], ...). Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lý thuyết toán tử (đặc biệt là lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị Calderón- Zygmund hay lý thuyết toán tử giả vi phân) và lý thuyết các không gian phiếm hàm, từ đó đã tìm được những đặc trưng mới về các không gian phiếm hàm quan trọng như H¨older, Zygmund, Sobolev, Besov, Hardy, BMO ... (xem, chẳng hạn, [21], [36], [49]). Ngược lại, cũng có thể sử dụng lý thuyết toán tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt trong việc nghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình lọc (xem [18], [19], [20]). Ngày nay sự phát triển của lý thuyết sóng nhỏ gắn với lý thuyết các toán tử giả vi phân và lý thuyết các không gian hàm đã làm cho tính khoa học và tính ứng dụng của chúng ngày càng cao. Toán tử tích phân sóng nhỏ là một bộ phận quan trọng trong lý thuyết sóng nhỏ. Sóng nhỏ, toán tử tích phân sóng nhỏ là một trong
9 những công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong Toán học, Vật lý, Khoa học và Công nghệ như xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, địa chấn, nén dữ liệu, sinh học, y học, thị trường chứng khoán... Đã có nhiều nhà toán học như Yves Meyer, Ingrid C. Daubechies, David L. Donoho, Ronald R. Coifman, Nguyễn Minh Chương, P. R. Massopust, A. Rieder, R. S. Pathak, G. Strang ... (xem [8], [13], [14], [21], [23], [49], [52], [59], [64], [69], ...) tham gia nghiên cứu và công bố nhiều công trình về lĩnh vực lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt là toán tử tích phân sóng nhỏ. Năm 2004, Ram S. Pathak [59] đã nghiên cứu toán tử tích phân sóng nhỏ xác định bởi (Wψ φ)(b, a) = φ(t)ψ t−b R dt a an , trong đó a là một số Rn thực dương và b ∈ R . Nếu φ, ψ ∈ L2 (Rn ) thì bởi đẳng thức Parseval của n ˆ biến đổi Fourier ta có (Wψ φ)(b, a) = (2π)−n eiωb ψ(aω) ˆ R φ(ω)dω. Từ biểu Rn thức này, ta thấy toán tử tích phân sóng nhỏ cũng là một toán tử giả vi ˆ phân với biểu trưng σ(a, ω) = ψ(aω). Với nhận xét tinh tế này, Ram S. Pathak đã sử dụng lý thuyết toán tử giả vi phân để nghiên cứu toán tử tích phân sóng nhỏ trên không gian các phân bố. Ngày nay do nhu cầu của thực tiễn ứng dụng, lý thuyết sóng nhỏ không chỉ phát triển trên trường số thực, phức mà đã được chuyển sang nghiên cứu trên trường số p-adic, hoặc tổng quát hơn trên các trường địa phương, trên các không gian siêu metric. Năm 2002, các tác giả trong [53] đã nghiên cứu các kết quả ban đầu của toán tử tích phân sóng nhỏ trên trường p-adic mà ý tưởng nghiên cứu tương tự như trên trường thực. Toán tử tích phân sóng nhỏ đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước nghiên cứu trên nhiều không gian hàm khác nhau như Lebesgue,
10 Sobolev (kể cả trường hợp có trọng), Triebel-Lizorkin, không gian các hàm suy rộng, ... (xem, chẳng hạn, [14], [59], [60], [61], [64]), trong đó các nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng cấu, dáng điệu tiệm cận, ... cho toán tử tích phân sóng nhỏ. Tính bị chặn của các toán tử tuyến tính, dưới tuyến tính, trong các không gian tuyến tính định chuẩn là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích và có nhiều ứng dụng. Chẳng hạn, từ tính bị chặn của toán tử trong một số trường hợp có thể giải quyết được tính tồn tại, duy nhất, ... nghiệm của phương trình, hay nói theo ngôn ngữ đại số, giải quyết được tính toàn ánh, đơn ánh, ... của toán tử. Thậm chí Charles Fefferman [27] đã đưa ra được một chứng minh mới cho sự hội tụ từng điểm của chuỗi Fourier trong không gian Lq [0, 2π] (q > 1) bằng cách nghiên cứu tính bị chặn của một lớp toán tử cực đại. Đối với toán tử tích phân sóng nhỏ, việc nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng cấu, dáng điệu tiệm cận ứng với tham biến thang bậc a nhỏ, ... trên một số không gian hàm đang là vấn đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Giải tích điều hòa và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trên trường thực cũng như trên trường p-adic ngày càng được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Một trong những toán tử quan trọng trong giải tích điều hòa là toán tử Hardy-Littlewood. Năm 1920, G. H. Hardy [34] đã thiết lập một bất đẳng thức tích phân (ngày nay gọi là bất đẳng thức tích phân Hardy), từ đó đưa ra một chứng minh đơn giản cho định lý về chuỗi kép của Hilbert. Bất đẳng thức Hardy giữ một vai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết các không gian phiếm hàm (xem, chẳng hạn, [5], [24], [48]). Năm 1984, các
11 tác giả C. Carton-Lebrun và M. Fosset [87] đã giới thiệu toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng, là tổng quát của toán tử Hardy-Littlewood từ một chiều lên nhiều chiều. Kể từ đó, toán tử Hardy-Littlewood có trọng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, trong đó các nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng để toán tử Hardy-Littlewood có trọng là bị chặn trên các không gian Lebesgue, BMO, Herz, Triebel-Lizorkin...và đánh giá chuẩn của toán tử Hardy-Littlewood có trọng trong các không gian hàm, ... (xem [29], [30], [47], [48], [72], [73], [74], [86]). Trên trường p-adic, trong những năm gần đây toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng, toán tử Hausdorff cũng được nghiên cứu trên một số không gian hàm như Lq , BM O, Hardy, H¨older, Morrey, Herz (trong không gian Herz chỉ mới nghiên cứu cho điều kiện đủ với số chiều n = 1), ... (xem [63], [79], [80], [81], [82], [83]). Đặc biệt, gần đây công trình [35] đã nghiên cứu tính bị chặn của một lớp toán tử tích phân Hardy-Cesàro có trọng trên các không gian Lebesgue, BMO có trọng trên trường p-adic, và từ đó đưa ra một bất đẳng thức Hardy dạng rời rạc trên trường thực. Như chúng ta đã biết, nhiều lý thuyết toán học đã sớm được chuyển sang xây dựng và nghiên cứu trên trường p-adic. Tuy nhiên đối với lý thuyết các hàm suy rộng Schwartz trên trường p-adic, mãi đến năm 1988, V. S. Vladimirov mới xây dựng không gian các hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier, tích chập và lớp toán tử giả vi phân p-adic Dα . Đến năm 1994, các tác giả V. S. Vladimirov, I. V. Volovich và E. I. Zelenov [77] đã đề cập một cách có hệ thống giải tích p-adic và vật lý toán. Như đã nói ở trên, việc nghiên cứu và phát triển một số kết quả từ trường
12 thực sang trường p-adic đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Tuy nhiên đối với giải tích điều hòa p-adic, còn rất nhiều bài toán quan trọng chưa được nghiên cứu. Chẳng hạn, mở rộng nghiên cứu các bất đẳng thức tích phân Hardy, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng, toán tử Hausdorff, trên các không gian hàm trên trường p-adic. Ngày nay nhiều lĩnh vực khác nhau trong Toán học đều có ảnh hưởng, thâm nhập lẫn nhau. Đặc biệt, đối với lý thuyết toán tử vi tích phân kỳ dị (giả vi phân), lý thuyết các không gian hàm và lý thuyết sóng nhỏ, đã có rất nhiều công trình nghiên cứu mối liên quan qua lại giữa chúng (xem [2], [3], [8], [9], [41], [45], [49], [52], ...). Ở đây, chúng tôi chỉ giới thiệu mối quan hệ sâu sắc giữa toán tử Vladimirov Dα với một cơ sở sóng nhỏ p-adic được phát hiện từ một hệ hàm riêng của toán tử này. Cụ thể, năm 2002 nhà toán học người Nga S. V. Kozyrev trong [45] lần đầu tiên đã phát hiện mối liên quan đặc biệt giữa giải tích phổ trên trường p-adic và giải tích sóng nhỏ trên trường thực nhờ phép biến đổi p-adic liên tục nhưng không 1 − 1 từ Qp sang R+ như sau: ρ : Qp → R+ , ρ( ∞ P i P∞ −i−1 i=γ a i p ) = i=γ ai p , ở đó ai = 0, ..., p − 1, γ ∈ Z. Hơn nữa, ánh xạ ρ là một song ánh từ tập Qp /Zp (gồm các số p-adic có dạng P−1 i i=γ xi p ) vào tập các số tự nhiên gồm cả số không. Ngoài ra, S. V. Kozyrev còn xây dựng một phép biến đổi unita ρ∗ : L2 (R+ ) → L2 (Qp ) xác định bởi ρ∗ f (x) = f (ρ(x)). Ánh xạ này, với p = 2, đã chuyển một cơ sở trực chuẩn các sóng nhỏ trong L2 (R+ ) thành một cơ sở trực chuẩn trong L2 (Q2 ) gồm các véctơ riêng của toán tử Vladimirov Dα . Cũng nhờ ánh xạ ρ∗ , S. V. Kozyrev đã định nghĩa được toán tử Vladimirov trên L2 (R+ ), cụ thể là ∂pα f (x) = ρ∗ −1 Dα ρ∗ f (x). Như vậy, nhờ toán tử
13 Vladimirov mà S. V. Kozyrev đã xây dựng được một cơ sở gồm các hàm riêng của toán tử Vladimirov Dα , đặc biệt với p = 2 tồn tại một song ánh chuyển cơ sở này thành một cơ sở sóng nhỏ trên trường thực. Bởi lý do này, S. V. Kozyrev gọi cơ sở gồm các hàm riêng của toán tử Dα vừa tìm được là cơ sở sóng nhỏ p-adic. Rõ ràng, đây là một phát hiện rất quan trọng nói lên mối tương quan giữa hai lĩnh vực toán học khác nhau, đó là giải tích phổ và lý thuyết sóng nhỏ. Từ đó giải tích sóng nhỏ và giải tích phổ p-adic đã dựa vào nhau và cùng phát triển song song. Kể từ khi S. V. Kozyrev đưa ra các sóng nhỏ p-adic, lý thuyết sóng nhỏ và toán tử giả vi phân trên trường p-adic phát triển mạnh và đã được nhiều nhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm như S. Albeverio, J. J. Benedetto, R. L. Benedetto, A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, M. Skopina, S. V. Kozyrev, Nguyễn Minh Chương ..., trong đó các nhà toán học chủ yếu tập trung vào nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải p-adic, phương trình lọc p-adic, các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn p-adic, bài toán Cauchy đối với phương trình giả vi phân, phổ của toán tử giả vi phân p-adic và những ứng dụng của chúng trong Khoa học và Công nghệ (xem [1], [2], [3], [4], [7], [12], [40], [41], [42], [45], [46] ...). Việc nghiên cứu, phát triển lý thuyết sóng nhỏ p-adic, đặc biệt là việc biểu diễn các hàm trong những không gian hàm qua các hàm riêng của toán tử giả vi phân p-adic, đang là một trong những chủ đề được quan tâm hiện nay. Với những lý do nói trên, Giáo sư Nguyễn Minh Chương đã gợi ý cho tôi nghiên cứu, phát triển một số lớp toán tử tích phân sóng nhỏ, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và các cơ sở sóng nhỏ p-adic
14 gồm các hàm riêng của toán tử Dα trên một số không gian hàm. II. Mục đích, đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu Luận án này đề cập đến một số vấn đề của giải tích sóng nhỏ, giải tích điều hòa trên trường thực cũng như trên trường p-adic. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề sau đây: (a) Nghiên cứu một số tính chất như tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận ứng với tham biến thang bậc a nhỏ của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian hàm như Besov, BMO, VMO, Hardy, kể cả trường hợp có trọng; (b) Nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng để toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trên trường p-adic. Nghiên cứu các điều kiện đủ để các giao hoán tử của toán tử tích phân Hardy- Littlewood có trọng với toán tử nhân các hàm Lipschitz là bị chặn trên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic; (c) Nghiên cứu cơ sở không điều kiện (unconditional basis), cơ sở Greedy của hệ các hàm sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử tích phân Vladimirov Dα trong không gian Lr (Qnp ) với 1 < r < ∞. Một trong những thuận lợi khi nghiên cứu bài toán (a) là một số tính chất của toán tử tích phân sóng nhỏ đã được nghiên cứu trước đó trên một số không gian hàm như Lebesgue, Sobolev ... Tuy nhiên để giải quyết bài toán (a), chúng tôi cần hiểu cách thiết lập các không gian Besov, BMO và Hardy, các tính chất của lớp hàm trọng ôn hòa, cũng
15 như sử dụng một cách thích hợp các bất đẳng thức tích phân Minkowski, Young, H¨older ... để thu được kết quả. Trên trường thực toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học và đạt được nhiều kết quả. Trên trường p-adic, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng cũng đã được nghiên cứu trên một số không gian hàm. Đây là một trong những thuận lợi khi nghiên cứu bài toán (b). Tuy nhiên việc chuyển sang nghiên cứu bài toán trên trường p-adic gặp phải những khó khăn nhất định. Khó khăn thứ nhất là ở sự khác biệt về cấu trúc số học và hình học giữa hai trường thực và trường p-adic. Điều này làm thay đổi nhiều kết quả và phải đưa ra một chứng minh hoàn toàn khác so với trường số thực. Một số kỹ thuật sử dụng trên trường thực khi chuyển sang nghiên cứu trên trường p-adic sẽ không còn thích hợp. Thứ hai, phép tính tích phân trên trường p-adic căn bản là khác so với phép tính tích phân trên trường thực. Do đó không phải kết quả nào cũng dễ dàng chuyển sang nghiên cứu được trên trường p-adic. Chẳng hạn, bổ đề van der Corput trên trường p-adic chỉ mới được thiết lập gần đây bởi Keith M. Rogers [65]. Tuy nhiên cũng có một số thuận lợi khi nghiên cứu trên trường p-adic, chẳng hạn chuẩn trên trường p-adic thỏa mãn bất đẳng thức tam giác mạnh (tính chất siêu metric). Một trong những thuận lợi khi nghiên cứu bài toán (c) là đã có lược đồ nghiên cứu cụ thể. Tuy nhiên do các hàm sóng nhỏ p-adic có dạng khác so với các hàm sóng nhỏ trên trường thực và không có đạo hàm hiểu theo nghĩa cổ điển, cho nên nhiều kỹ thuật chứng minh phải thay đổi.
16 Trong luận án này, chúng tôi chủ yếu sử dụng một số tính chất hình học đặc thù trên trường p-adic mà trên trường thực không có, một số tính chất của hàm đặc trưng cộng tính trên trường p-adic. Đặc biệt, sử dụng một số kiến thức về giải tích điều hòa trên trường p-adic như lý thuyết hàm cực đại, biểu diễn Calderón-Zygmund. III. Những đóng góp mới của Luận án Những đóng góp chính của Luận án, về mặt kết quả là: 1. Thiết lập được tính bị chặn của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO, VMO và Hardy H 1 , cũng như các không gian Besov và BMO có trọng. Từ đó, thu được dáng điệu tiệm cận của toán tử tích phân sóng nhỏ ứng với tham biến thang bậc a nhỏ. 2. Đưa ra các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng để các toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng là bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trên trường p-adic. Đặc biệt, tính được chuẩn của các toán tử này trong các không gian đó. Ngoài ra, luận án cũng đưa ra các điều kiện đủ để các giao hoán tử của toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng với toán tử nhân hàm Lipschitz là bị chặn trên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic. 3. Chứng minh hệ các sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử tích phân Vladimirov Dα tạo thành một cơ sở không điều kiện trong không gian Lr (Qnp ) với 1 < r < ∞. Từ đó, đưa ra một đặc trưng cho không gian Lr (Qnp ) theo các hệ số Fourier sóng nhỏ p-adic.
17 Ngoài ra, luận án cũng chỉ ra rằng các sóng nhỏ p-adic sau khi được chuẩn hóa lập thành một cơ sở Greedy trong không gian Lr (Qnp ). IV. Bố cục của Luận án Luận án, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, gồm 4 chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian Lebesgue, trường số p-adic, lý thuyết tích phân và biến đổi Fourier. Đây là những kiến thức cần thiết cho việc trình bày các chương sau. Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận ứng với tham biến thang bậc a nhỏ của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO và Hardy H 1 cũng như trên các không gian Besov và BMO có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa. Chương 3 dành cho việc nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng để các toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng là bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey- Herz trên trường p-adic; đưa ra các điều kiện đủ để các giao hoán tử của toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng với toán tử nhân hàm Lipschitz là bị chặn trên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic. Chương 4 dành cho việc nghiên cứu cơ sở không điều kiện, cơ sở Greedy của hệ cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử tích phân Vladimirov Dα trong không gian Lr (Qnp ) với 1 < r < ∞.
18 Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả sẽ được sử dụng trong toàn bộ luận án. Bởi vì luận án nghiên cứu một số kết quả đồng thời trên trường số thực và trên trường số p-adic, cho nên một số kiến thức cơ sở như không gian Lebesgue, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức H¨older... sẽ được trình bày trên không gian đo được tổng quát và sẽ được sử dụng cho cả hai trường hợp trên trường số thực và trên trường số p-adic. Phần còn lại, chúng tôi trình bày sơ lược về trường số p-adic, lý thuyết tích phân và biến đổi Fourier, toán tử giả vi phân trên trường số p-adic. Trong chương 1, chúng tôi có tham khảo các tài liệu [28], [31], [42], [56], [71], [77]. 1.1 Không gian Lebesgue Giả sử (X, M, µ) là một không gian đo với µ là một độ đo σ-hữu hạn trên σ-đại số M trong không gian X. Cho 0 < q < ∞. Ta ký hiệu