Luận án Tiến sĩ Vật lý: Mở rộng đơn cực Dirac và Yang cho không gian chín chiều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:124

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận ánnày là mở rộng đơn cực Dirac và Yang trong không gian 9 chiều thông qua việc xây dựng tường minh phép biến đổi Hurwitz mở rộng kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro trong không gian 9 chiều làm xuất hiện dạng tường minh của thế đơncực SO(8).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Vật lý: Mở rộng đơn cực Dirac và Yang cho không gian chín chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Sơn MỞ RỘNG ĐƠN CỰC DIRAC VÀ YANG CHO KHÔNG GIAN CHÍN CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Sơn MỞ RỘNG ĐƠN CỰC DIRAC VÀ YANG CHO KHÔNG GIAN CHÍN CHIỀU Chuyên Ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 62 44 01 01 Phản biện 1: GS.TS. Nguyễn Ngọc Giao Phản biện 2: PGS.TS. Hồ Trung Dũng Phản biện 3: TS. Võ Văn Ớn Phản biện độc lập 1: GS.TS. Nguyễn Ngọc Giao Phản biện độc lập 2: GS.TS. Hoàng Ngọc Long NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH. LÊ VĂN HOÀNG TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2015
LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến thầy hướng dẫn PGS. TSKH. Lê Văn Hoàng. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thầy đã hết sức tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, động viên và cả nhắc nhở để tôi có thể hoàn thành luận án này. Tôi xin cảm ơn tất cả thầy, cô trong bộ môn Vật lý lý thuyết, trường Đại học Khoa học tự nhiên TP. HCM đã truyền thụ những kiến thức khoa học trong suốt quá trình tôi tham gia học tập tại bộ môn. Tôi xin cảm ơn Khoa Khoa học cơ bản, trường Đại học Kiến trúc TP. HCM đã tạo thuận lợi về công việc và thời gian để tôi có thời gian tập trung nghiên cứu hoàn thành luận án. Xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong nhóm nghiên cứu của thầy Lê Văn Hoàng, các đồng nghiệp - những người luôn bên tôi, hỗ trợ tôi rất nhiều trong suốt khóa học và trong quá trình làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo sau đại học – Trường Đại học Khoa học tự nhiên TP. HCM đã tận tình hướng dẫn, hỗ trợ mọi thủ tục trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu. Cảm ơn gia đình đã luôn ở bên tôi để động viên giúp tôi vững tin học tập và nghiên cứu. Nguyễn Thành Sơn
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào mà tôi không tham gia. Tác giả Nguyễn Thành Sơn
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT: CERN: Trung tâm nghiên cứu nguyên tử Châu Âu (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) LHC: Máy gia tốc hạt lớn (Large Hadron Collider) RHIC: Máy gia tốc Ion nặng tương đối tính (Relativistic Heavy Ion Collider) MICZ-Kepler: Bài toán chuyển động của electron trong trường Coulomb và trường đơn cực từ được ba nhà khoa học McIntosh, Cisneros và Zwanziger đưa ra như một dạng mở rộng của bài toán Kepler.
MỤC LỤC ................................................................................................. Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan Danh mục các chữ viết tắt Mục lục........................................................................................................................ 1 Mở đầu ....................................................................................................................... 3 Chương 1: Đơn cực từ và phép biến đổi Hurwitz ............................................... 10 1.1. Đơn cực từ .......................................................................................................... 10 1.1.1. Tổng quan về đơn cực từ .......................................................................... 10 1.1.2. Đơn cực từ Dirac ...................................................................................... 16 1.1.3. Đơn cực trong không gian nhiều chiều ..................................................... 18 1.2. Định lý Hurwitz.................................................................................................. 20 1.3. Các phép biến đổi Hurwitz và mối quan hệ với đơn cực ................................... 21 1.3.1. Phép biến đổi Levi-Civita .......................................................................... 22 1.3.2. Phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel ......................................................... 24 1.3.3. Phép biến đổi Davtyan .............................................................................. 26 1.3.4. Phép biến đổi Hurwitz mở rộng ................................................................ 29 Chương 2: Đơn cực SO(8) trong không gian chín chiều ..................................... 30 2.1. Biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz mở rộng............................................ 31 2.2. Mối liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử hydro 9 chiều ... 34 2.3. Thế đơn cực SO(8) trong không gian chín chiều .................................................... 36 Chương 3: Lời giải giải tích chính xác cho bài toán MICZ-Kepler chín chiều. 46 3.1. Bài toán MICZ-Kepler chín chiều ..................................................................... 47 1
3.2. Hàm sóng của bài toán MICZ-Kepler chín chiều .............................................. 50 3.2.1. Thành phần hàm sóng theo nhóm các góc ( ,  ) ...................................... 50 3.2.2. Thành phần hàm sóng theo góc  ............................................................. 55 3.2.3. Thành phần hàm sóng theo bán kính r .................................................... 57 3.3. Năng lượng của bài toán MICZ-Kepler chín chiều ............................................ 59 3.3.1. Biểu thức năng lượng ................................................................................ 59 3.3.2. Bậc suy biến............................................................................................... 60 Kết luận .................................................................................................................... 63 Hướng phát triển ....................................................................................................... 64 Danh mục các công trình công bố ............................................................................. 65 Tài liệu tham khảo ..................................................................................................... 66 Phụ lục: Các tính toán tường minh............................................................................ 76 A1. Phép biến đổi ngược ........................................................................................... 76 A2. Tính đạo hàm các góc theo us , vs ....................................................................... 78 A3. Tính toán dẫn đến biểu thức (2.10) ................................................................... 81 A4. Tính toán dẫn đến biểu thức (2.14) ................................................................... 83 A5. Hệ toán tử Lˆij trong hệ tọa độ cầu .................................................................... 109 A6. Giải phương trình siêu bội dạng (3.18) ............................................................ 112 A7. Hệ số Clebsch-Gordan ..................................................................................... 116 2
Mở đầu 1. Trường điện từ được mô tả thông qua hệ các phương trình Maxwell. Bằng phép biến đổi đối ngẫu, điện trường biến thiên có thể sinh ra từ trường và ngược lại. Tuy nhiên, nguồn sinh ra hai trường này không tuân theo quy luật tương tự nhau. Điện trường có nguồn là điện tích còn từ trường không có nguồn phát tường minh (thông lượng từ đi qua mặt kín bất kỳ luôn bằng không). Điều này làm mất đi tính đối ngẫu của điện-từ. Dirac là người đầu tiên giải quyết vấn đề này về mặt lý thuyết. Năm 1931, Dirac đã đưa “từ tích” vào công trình của mình và kết luận sự lượng tử hóa của từ tích liên quan chặt chẽ với sự lượng tử của điện tích thông qua phương trình lượng tử hóa Dirac [25]. Tương tự như trường tĩnh điện, từ trường do từ tích gây ra có tính chất: (i) thông lượng từ xuyên qua mặt kín là khác không và (ii) trường có đối xứng cầu O(3). Dựa trên tính chất cơ bản của đơn cực từ Dirac, năm 1978, Yang đã mở rộng đơn cực Dirac cho không gian 5 chiều qua mô hình tương tác giữa trường gauge SU(2) với hạt có isospin [95]. Tính chất cơ bản của trường đơn cực Yang là: (i) thông lượng trường qua một mặt kín trong không gian 5 chiều chứa đơn cực là khác không và (ii) trường có đối xứng cầu O(5). Chúng ta sẽ gọi một đơn cực là mở rộng của đơn cực Dirac và đơn cực Yang nếu như nó có các tính chất tương tự như trên. Với kết quả của Yang, mở rộng đơn cực từ cho không gian nhiều chiều là một nhu cầu tự nhiên và đã được tiến hành trong một số công trình [59, 93]. 3
Một điều đặc biệt mà nhiều công trình đã nghiên cứu đó là đơn cực Dirac, Yang và mở rộng của nó có liên hệ mật thiết với phân thớ không gian Hopf [102-103] trong lý thuyết Tô-pô và sự tồn tại của các bộ số trong đại số học [101]. Năm 1935, Hopf khẳng định chỉ tồn tại 4 trường hợp phân thớ không gian là (0th ) : S 1  S 1 , (1st ) : S 3   S 2 , (2nd ) : S 7  1  S 4 và (3rd ) : S 15   S 8 . Sau đó, năm 1980, đơn cực 3 7 S S S Dirac-U(1), Yang-SU(2) đã được xây dựng từ phân thớ Hopf thứ nhất [85, 54] và phân thớ Hopf thứ hai [55]. Đơn cực trong không gian 9 chiều cũng được đề xuất [28, 11] ứng trường hợp cuối cùng của phân thớ Hopf. Một hướng tiếp cận khác, trong đại số học, năm 1898, Hurwitz đã chứng minh và khẳng định chỉ tồn tại bốn bộ số trong đại số chia chuẩn hóa là số thực, số phức, số siêu phức bội 4 (quarternion) và số siêu phức bội 8 (octonion) [101] tương ứng với bốn trường hợp trong định lý Hurwitz. Các trường hợp này lần đầu tiên được cụ thể hóa bằng các phép biến đổi thiết lập mối liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa 2 h chiều và bài toán nguyên tử hydro 2h1  1 chiều  h  1, 2,3, 4  tương ứng với các phép biến đổi Levi-Civita [104]  h  1 , Kustaanheimo-Stiefel [40]  h  2  , Davtyan [24]  h  3 và Hurwitz mở rộng [47]  h  4  . Một điều rất thú vị là các phép đổi Kustaanheimo-Stiefel, Davtyan làm xuất hiện đơn cực Dirac và Yang trong bài toán nguyên tử hydro 3 và 5 chiều. Theo logic như trên, trong trường hợp h  4 ứng với phép biến đổi Hurwitz mở rộng, nếu chúng ta xây dựng tường minh phép biến đổi Hurwitz mở rộng kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều thì chúng ta có thể kỳ vọng tìm thấy thế đơn cực là dạng mở rộng của đơn cực Dirac và Yang trong không gian 9 chiều. Năm 2009, chúng tôi đã xây dựng phép biến đổi Hurwitz mở rộng với 7 biến số góc được đưa ra. Sử dụng phép biến đổi này chúng tôi đã kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều. Chúng tôi cũng hình dung được một bộ thế đơn cực ẩn trong bài toán. Tiếp theo chúng tôi sẽ xác định rõ bộ thế đơn cực và tính chất của chúng, kỳ vọng nó là thế đơn cực mở rộng của Dirac và Yang trong không gian 9 chiều. 4
Như vậy, việc mở rộng đơn cực Dirac sẽ có 3 phương pháp tiếp cận chính: thứ nhất là mở rộng trực tiếp dựa trên các tính chất cơ bản đơn cực Dirac, thứ hai là sử dụng phân thớ Hopf và cuối cùng là sử dụng phép biến đổi Hurwitz. Nội dung nghiên cứu của chúng tôi là sẽ sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng để xây dựng bộ thế đơn cực từ trong không gian 9 chiều. Tính chất của bộ thế sẽ được nghiên cứu để khẳng định nó là đơn cực mở rộng của Dirac và Yang trong không gian 9 chiều. 2. Bài toán MICZ-Kepler 3 chiều được Zwanziger, McIntosh và Cisneros xây dựng từ những năm 60 [56, 99] bằng cách mở rộng bài toán Kepler khi thêm vào hệ này trường đơn cực từ Dirac. Đây là một bài toán quan trọng được khảo sát nhiều bằng các phương pháp khác nhau trong vài thập niên qua và đến bây giờ vẫn còn được quan tâm [13-14, 17-18, 38-39, 69, 73]. Hàm sóng, năng lượng của bài toán được giải bằng các phương pháp khác nhau [13, 17-18, 39]. Sự có mặt của đơn cực Dirac trong bài toán MICZ-Kepler không ảnh hưởng đến các đối xứng không gian SO(3) và đối xứng động lực SO(4,2) của bài toán Kepler. Bài toán cũng có đối xứng ẩn SO(4) là vector Runge-Lenz giống bài toán Kepler 3 chiều thông thường. Cùng với việc mở rộng đơn cực trong không gian nhiều chiều, bài toán MICZ- Kepler cũng được mở rộng khảo sát trong không gian nhiều chiều [12, 60, 63, 93]. 5
Tuy nhiên, bài toán MICZ-Kepler trong các không gian không gian 3 chiều, 5 chiều có một vị trí rất đặc biệt, do nó lần lượt tương đương với bài toán dao động tử điều hòa 4 chiều [29, 46, 64], 8 chiều [24, 66]. Nếu bộ thế đơn cực trong không gian 9 chiều được xây dựng thành công bằng phép biến đổi Hurwitz mở rộng thì bài toán MICZ-Kepler trong không gian 9 chiều sẽ tương đương với bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều. Theo định lý Hurwitz và phân thớ Hopf, bài toán MICZ-Kepler 9 chiều sẽ là trường hợp cuối cùng trong hệ thống các bài toán MICZ-Kepler. Bài toán MICZ- Kepler 9 chiều sẽ mô tả chuyển động của hạt mang điện trong trường Coulomb với sự có mặt của trường đơn cực trong không gian 9 chiều. Khảo sát bài toán là khảo sát sự tác động của trường đơn cực lên nguyên tử hydro 9 chiều. Việc khảo sát bài toán MICZ-Kepler 9 chiều sẽ làm cho việc nghiên cứu đơn cực trong không gian 9 chiều được trọn vẹn hơn. 3. Mục tiêu của luận án này là mở rộng đơn cực Dirac và Yang trong không gian 9 chiều thông qua việc xây dựng tường minh phép biến đổi Hurwitz mở rộng kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro trong không gian 9 chiều làm xuất hiện dạng tường minh của thế đơn cực SO(8). Đồng thời chỉ ra đây chính là dạng mở rộng của thế đơn cực Dirac và Yang. Thế đơn cực tìm được sẽ được đưa vào bài toán Kepler trong không gian 9 chiều gọi là bài toán MICZ-Kepler 9 chiều. Hàm sóng và năng lượng cũng như bậc suy biến của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều sẽ được nghiên cứu tiếp theo làm rõ hơn tác động của trường đơn cực đối với bài toán. Mục tiêu trên được thực hiện thông qua các nội dung nghiên cứu sau: - Tìm hiểu tổng quan về đơn cực từ Dirac và mở rộng của nó trong không gian nhiều chiều và quá trình tìm kiếm đơn cực từ. - Tìm hiểu một định lý rất quan trọng trong đại số học là định lý Hurwitz. Sử dụng các phép biến đổi thuộc định lý này kết nối bài toán dao động tử điều 6
hòa và bài toán nguyên tử hydro làm xuất hiện đơn cực trong không gian 3 chiều và 5 chiều. - Xây dựng tường minh phép biến đổi trong trường hợp cuối cùng của định lý Hurwitz gọi là phép biến đổi Hurwitz mở rộng. Sử dụng phép biến đổi kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều làm xuất hiện thế đơn cực SO(8) là dạng mở rộng của đơn cực Dirac và Yang. - Đưa thế đơn cực SO(8) vào bài toán nguyên tử hydro 9 chiều ta có bài toán MICZ-Kepler 9 chiều. Từ đó ta tìm hàm sóng và năng lượng của bài toán. Kết quả này cho chúng ta hiểu rõ hơn tác động của trường đơn cực lên bài toán. 4. Cấu trúc luận án: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm ba chương: Chương 1: Đơn cực từ và các phép biến đổi Hurwitz Chương này gồm ba phần. Phần đầu tiên giới thiệu tổng quan về đơn cực từ Dirac và mở rộng của nó trong không gian nhiều chiều cũng như quá trình tìm kiếm đơn cực từ của giới khoa học. Phần hai giới thiệu định lý Hurwitz, một định lý rất quan trọng trong đại số học quy định về sự tồn tại của bốn bộ số trong đại số chia chuẩn hóa: số thực, số phức, số siêu phức bội 4 và số siêu phức bội 8. Dựa trên định lý này, chúng tôi sẽ tổng hợp các phép biến đổi sử dụng để thiết lập mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử hydro và dao động tử điều hòa. Xây dựng một bức tranh hoàn chỉnh về mối liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa và bài toán hydro nhiều chiều làm xuất hiện đơn cực Dirac và đơn cực Yang. Từ đây chúng tôi chỉ ra con đường xây dựng tổng quát hóa của các đơn cực nêu trên và trong không gian 9 chiều. Lý giải tại sao các không gian 3 chiều, 5 chiều và 9 chiều đặc biệt hơn các không gian có số chiều khác. 7
Chương 2: Đơn cực SO(8) trong không gian chín chiều Trong chương này, chúng tôi xây dựng phép biến đổi Hurwitz mở rộng trong trường hợp cuối cùng với số chiều lớn nhất 16  9 với việc đưa ra 7 biến số phụ. Từ đó, phép biến đổi ngược của phép biến đổi Hurwitz mở rộng cũng được xây dựng. Trên cơ sở phép biến đổi vừa xây dựng, chúng tôi đi tìm mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử hydro 9 chiều và dao động tử điều hòa 16 chiều và chứng minh bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều tương đương với bài toán hydro 9 chiều với sự có mặt của trường có dạng đơn cực. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng đơn cực vừa tìm ra có mô hình tương tác thông qua 28 vi tử của nhóm SO(8). Cuối cùng, chúng tôi xem xét tính chất của trường đơn cực vừa tìm ra để khẳng định nó là mở rộng của đơn cực Dirac và Yang. Chương 3: Lời giải giải tích chính xác cho bài toán MICZ-Kepler chín chiều Trường đơn cực SO(8) được đưa vào bài toán nguyên tử hydro 9 chiều gọi là bài toán MICZ-Kepler 9 chiều. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các tính chất đối xứng của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều. Sau đó chúng tôi sử dụng phương pháp giải tích để tìm hàm sóng, năng lượng cũng như bậc suy biến của bài toán trong tọa độ cầu 9 chiều. Phần kết luận nêu lại các kết quả của luận án và hướng phát triển của đề tài. Phần tài liệu tham khảo gồm 106 công trình khoa học cũng như các sách liên quan đến đề tài luận án. Trong luận án có nhiều phần tính toán và biến đổi phức tạp sẽ được trình bày ở phần phụ lục để logic của vấn đề được liền mạch và người đọc có thể theo dõi một cách dễ dàng. 8
4. Trong quá trình thực hiện luận án, những kết quả nghiên cứu đã được công bố 03 bài báo trên tạp chí quốc tế (SCI) và 02 bài báo trên tạp chí khoa học chuyên ngành của Việt Nam. Các kết quả trong quá trình nghiên cứu cũng được báo cáo tại Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 37 (năm 2012) và 38 (năm 2013). Ngoài ra, nghiên cứu sinh cũng tham gia một đề tài khoa học và công nghệ cấp bộ với nội dung liên quan đến luận án. 9
Chương 1 Đơn cực từ và phép biến đổi Hurwitz 1.1. Đơn cực từ 1.1.1. Tổng quan về đơn cực từ Kiến thức thông thường về điện từ học cho chúng ta biết một nam châm bao giờ cũng có một cực bắc và một cực nam, điện tích sinh ra điện trường còn từ trường là do điện tích chuyển động sinh ra. Tuy nhiên nếu xét trên phương diện đối ngẫu điện từ thì tại sao lại không tồn tại các hạt từ tích là nguồn của từ trường tương ứng với điện tích là nguồn của điện trường và tại sao lại chỉ tồn tại những hạt điện tích hoặc dương hoặc âm mà không tồn tại những hạt từ tích hoặc bắc hoặc nam? Câu hỏi này đã được đưa ra từ rất lâu bởi Petrus Peregrinus Maricourt vào năm 1269 trong công trình “The Epistola de Magnete” [106]. Vì vậy, có thể xem Maricourt là người đầu tiên đưa ra ý tưởng về đơn cực từ. Hình 1.1: Mô phỏng hai cực của nam châm bị tách ra thành hai đơn cực từ Trải qua sự phát triển của điện từ học cổ điển, Maxwell đã thống nhất và mô tả trường điện từ bằng hệ phương trình nổi tiếng: E  e  0 , B  0, B  1 E  (1.1)  E   ,   B  0  J e  , dt   0 t  10
trong đó, E , B là cường độ điện trường và cảm ứng từ, đây là hai đại lượng đặc trưng cho điện trường và từ trường.  ,  là hằng số điện môi và độ từ thẩm phụ thuộc vào môi trường.  0 , 0 là hằng số điện và hằng số từ. e , J e là mật độ điện tích và mật độ dòng điện tích. Các phương trình trên thể hiện nguồn gốc và tính chất của trường điện từ. Hai phương trình bên trái cho chúng ta biết rằng điện trường tĩnh (có đường sức hở) do điện tích gây ra, còn điện trường xoáy (có đường sức kín) do sự biến thiên của từ trường gây ra. Hai phương trình bên phải cho ta biết từ trường luôn xoáy (có đường sức là đường cong kín), từ trường được sinh ra do các điện tích chuyển động (dòng điện dẫn) và do sự biến thiên của điện trường (dòng điện dịch). Dựa trên ý nghĩa vật lý cũng như hình thức các phương trình trên ta thấy mặc dù điện trường và từ trường thống nhất với nhau trong trường điện từ và có vai trò như nhau nhưng ở đây ta thấy có sự bất cân xứng giữa điện và từ. Để giải quyết vấn đề này, Pierre Curie là người đã đưa ra giả thuyết về sự tồn tại của đơn cực từ trong tự nhiên thông qua công trình [105] vào năm 1894. Với giả thuyết này, điện và từ sẽ có tính đối ngẫu và hệ phương trình Maxwell được điều chỉnh lại cho thấy sự đối xứng giữa điện và từ: E  e  0 , B  0  m , B  E  (1.2)  E    0 J m ,   B  0  J e   0 . dt  t  Ở hệ phương trình này, m , J m là mật độ từ tích và mật độ dòng từ tích. Giả thuyết của Pierre Curie chỉ dừng lại ở mức ý tưởng cho đến năm 1931, trong khi khảo sát tính chất thừa số pha của hàm sóng, Dirac chứng minh rằng cần thiết phải có nguồn sinh ra từ trường tồn tại độc lập, để thông lượng từ gửi qua một mặt kín là khác không. Ngoài ra, nguồn của từ trường gọi là từ tích hoặc đơn cực từ, cũng bị lượng tử hóa đồng thời với điện tích. Các đơn cực từ có từ tích luôn bằng 11
c một số nguyên lần từ tích nguyên tố g = ng 0 , ở đây g 0 = là từ tích nguyên tố và 2e n là số nguyên, bằng hằng số Planck chia 2 và c là vận tốc ánh sáng. Công trình của Dirac là một công trình rất quan trọng thúc đẩy các nhà vật lý nghiên cứu đơn cực từ trong cả lý thuyết lẫn thực nghiệm. Hiện nay, về mặt lý thuyết, nhiều loại đơn cực từ đã được nghiên cứu. Tên của đơn cực được gọi theo tên các tác giả nghiên cứu, trong đó phải kể đến những đơn cực sau:  Đơn cực từ Dirac: Được Paul Dirac tìm ra năm 1931 trong công trình [25]. Công trình này đã giải thích được sự lượng tử hóa điện tích và từ tích. Với khái niệm từ tích của Dirac, hệ phương trình mô tả trường điện từ của Maxwell đã thể hiện được tính đối ngẫu giữa điện và từ. Thế đơn cực Dirac có kì dị dây Dirac.  Đơn cực Wu-Yang: là lời giải đầu tiên của phương trình Yang-Mills [96] được Tai Tsun Wu và Chen Ning Yang tìm ra năm 1969. Thế đơn cực Wu- Yang có kỳ dị tại vị trí đặt đơn cực và độ lớn của nó tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ vị trí đang xét đến đơn cực. Sau đó, vào năm 1984, Akihiro Itô đã mở rộng đơn cực này cho nhóm đối xứng O (n  1) theo mô hình  [35].  Đơn cực ‘t Hooft-Polyakov: Đơn cực tương tự như đơn cực Dirac nhưng khác biệt là không có kỳ dị dây Dirac, được Alexander Polyakov [82] và Gerard ‘t Hooft [91] tìm ra độc lập nhau vào năm 1974. Xét ở xa vị trí đặt đơn cực, đơn cực ‘t Hooft-Polyakov chuyển thành dạng của đơn cực Dirac.  Đơn cực BPS: Đơn cực được Eugène Bogomol’nyi, Manoj Prasad và Charles Sommerfield độc lập nghiên cứu công bố vào các năm 1975, 1976 [16, 83]. Hạt mang cả điện tích và từ tích, gọi là lưỡng tích (charged-dyon). Đơn cực BPS có những đóng góp quan trọng trong việc phát triển lý thuyết siêu hấp dẫn và lý thuyết dây. 12
 Đơn cực Yang: dựa trên các tính chất của đơn cực Dirac, Chen Ning Yang đã mở rộng đơn cực từ Dirac cho không gian 5 chiều vào năm 1978. Thế đơn cực Yang có nhóm đối xứng SU(2). Bộ thế đơn cực Yang có cùng dạng và tính chất với đơn cực Dirac. Đây là dạng thế đơn cực mở rộng trực tiếp của đơn cực Dirac trong không gian 5 chiều.  Đơn cực trong không gian chín chiều: Được đề xuất đầu tiên bởi Grossmann năm 1984, là lời giải cho phương trình Yang-Mills trong trường hợp cuối cùng của phân thớ Hopf [28]. Năm 2003, khi nghiên cứu hiệu ứng Hall lượng tử trong không gian cầu 8 chiều, nhóm nghiên cứu của Zhang đã dẫn ra đơn cực trong không gian chín chiều với đại số SO(8) [11]. Tuy nhiên, các công trình trên chưa đưa ra dạng tường minh của bộ thế đơn cực. Với giả thiết về sự tồn tại của đơn cực từ trong lý thuyết, rất nhiều vấn đề trong vật lý hiện đại được giải thích một cách hợp lý. Từ tích được cho là nguồn sinh ra từ trường, xuất hiện trong nhiều lý thuyết vật lý quan trọng như: lý thuyết thống nhất lớn [98], lý thuyết hấp dẫn lượng tử [33], lý thuyết siêu đối xứng [97], lý thuyết siêu dây [42, 98] và cả trong vũ trụ học [27]. Dạng thức động lực của trường đơn cực từ còn được sử dụng trong vật lý hệ ngưng tụ [31, 58]. Đây cũng là lĩnh vực mở ra nhiều triển vọng về khả năng tìm thấy đơn cực từ trong tự nhiên. Về mặt thực nghiệm, việc tìm kiếm và nghiên cứu những bằng chứng thật sự về sự tồn tại của đơn cực từ đã trở thành một vấn đề thời sự. Từ sau công trình của Dirac xuất bản năm 1931 cho đến nay, việc tìm kiếm đơn cực từ đã trở nên rất sôi động. Giới khoa học tìm kiếm các bằng chứng trong tự nhiên cho sự tồn tại của đơn cực từ cũng như xây dựng các phòng thí nghiệm hiện đại để tìm kiếm trực tiếp đơn cực từ ở tất cả các vùng năng lượng mới [26, 53]. Hiện tại, các máy gia tốc hiện đại nhất tại các trung tâm nghiên cứu lớn trên thế giới (như CERN, RHIC) [19, 22, 77, 78, 92] đang thực hiện nhiều thí nghiệm để tìm kiếm đơn cực từ. CERN bố trí hẳn một khu vực riêng thuộc LHC nhằm phát hiện đơn cực từ thông qua các va chạm của các hạt được gia tốc đến năng lượng lớn, cỡ 8 TeV (trong tương lai có thể đạt mức 13
14 TeV) [19]. Bên cạnh đó, nhiều nhóm nghiên cứu khác tìm kiếm đơn cực từ thông qua phân tích các bức xạ vũ trụ [9, 21]. Hình 1.2: Thí nghiệm LHCb với máy dò MOEDAL tại máy gia tốc CERN LHC [92] Hình 1.3: Mặt cắt máy dò đơn cực tại RHIC [22] Từ năm 2009, nhiều thí nghiệm với độ chính xác cao nhằm tìm kiếm đơn cực từ đã được tiến hành và cho kết quả khả quan. Nhiều công trình liên quan đến việc quan sát được chuẩn đơn cực từ (magnetic monopole quasiparticle) trong tinh thể băng spin đã được công bố trên các tạp chí uy tín bậc nhất của thế giới như Nature, Science [31, 57, 58]. Công trình thực nghiệm do Morris và các cộng sự đăng trên tạp chí Science năm 2009 cho biết tinh thể một chiều dyprosyum titanate được làm lạnh đến nhiệt độ trong khoảng từ 0,6 đến 2 Kelvin, quan sát bằng tán xạ nơtron hành xử 14
như một chuẩn đơn cực từ [58]. Năm 2010 nhóm nghiên cứu Hans-Benjamin Braun đã công bố ảnh chụp các dây Dirac trong băng spin trên tạp chí Nature Physics [57]. Năm 2011, cũng trên tạp chí Nature Physics, nhóm của Giblin thực hiện thí nghiệm cùng đối tượng với nhóm của Morris nhưng ở nhiệt độ thấp hơn (0,35 Kelvin) cũng cho kết quả tương tự [31]. Gần đây nhất vào tháng 01 năm 2014, nhóm nghiên cứu của David Hall tại Massachusetts đã công bố quan sát được đơn cực từ Dirac trong hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein bằng cả thực nghiệm và mô phỏng [86]. Công trình là một bước đột phá lớn trong việc tìm kiếm đơn cực từ. Tuy nhiên, nhóm tác giả vẫn chưa đo được khối lượng của “hạt từ tích” tìm thấy và chưa thể kết luận hạt được quan sát là đơn cực từ thực thụ. Mặc dù các công trình nghiên cứu trên vẫn chưa tìm thấy đơn cực từ thực thụ, tuy nhiên nó sẽ tạo một niềm tin rất lớn trong việc tìm kiếm đơn cực từ trong tương lai. Hình 1.4: Sự tạo ra và tách các cặp đơn cực và các dây Dirac [57]. Bên trái là hình ảnh thực chụp được. Bên phải là bản đồ từ tích (màu xanh là từ tích nam và màu đỏ là từ tích bắc). Hình 1.5: Mô phỏng đơn cực từ Dirac trong công trình [86]. 15