Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng quang kích thích của sóng điện từ cao tần trong hệ bán dẫn một chiều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:96

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích bởi sóng điện từ cao tần cho hai cấu trúc dây lượng tử; xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong hệ bán dẫn một chiều, từ đó tính mật độ dòng điện không đổi xuất hiện trong hiệu ứng quang kích thích với hai cơ chế tán xạ khác nhau. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng quang kích thích của sóng điện từ cao tần trong hệ bán dẫn một chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Hoàng Văn Ngọc NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ CAO TẦN TRONG HỆ BÁN DẪN MỘT CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Hà Nội – 2018
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Hoàng Văn Ngọc NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ CAO TẦN TRONG HỆ BÁN DẪN MỘT CHIỀU Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số : 62.44.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. PGS.TS. Nguyễn Vũ Nhân 2. TS. Đinh Quốc Vương Hà Nội - 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nghiên cứu được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Hà Nội, tháng 08 năm 2018 Tác giả luận án Hoàng Văn Ngọc
LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Nguyễn Vũ Nhân, TS Đinh Quốc Vương và GS.TS Nguyễn Quang Báu những người thầy đã hết lòng giúp đỡ, chỉ bảo tận tình tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Bộ môn Vật lý lý thuyết, trong khoa Vật lý và Phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô, đồng nghiệp tại khoa Khoa học cơ bản – Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật – Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi rất nhiều. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED, Mã số 103.01-2015.22) và Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật đã tài trợ cho tôi trong việc nghiên cứu và báo cáo các kết quả tại các Hội nghị khoa học trong nước và quốc tế làm cơ sở để hoàn thành luận án này. Xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân, bạn bè và đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tác giả luận án
MỤC LỤC Mục lục ................................................................................................. 1 Danh mục các bảng ............................................................................... 3 Danh mục các hình vẽ và đồ thị............................................................. 4 Mở đầu................................................................................................. 8 Chương 1 Tổng quan về hiệu ứng quang kích thích ........................ 13 1.1 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích............................ 13 1.1.1 Phương trình động lượng tử cho electron ............................. 14 1.1.2 Biểu thức giải tích mật độ dòng điện.................................... 16 1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử ......... 20 Chương 2 Hiệu ứng quang kích thích trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn ........................................................................... 26 2.1 Phương trình động lượng tử............................................................ 26 2.2 Mật độ dòng điện không đổi........................................................... 29 2.2.1 Trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm ............................... 33 2.2.2 Trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang .......................... 35 2.2.3 Kết quả tính toán và thảo luận.............................................. 37 2.3 Kết luận chương 2 .......................................................................... 46 Chương 3 Hiệu ứng quan kích thích trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn.................................................................................... 48 3.1 Phương trình động lượng tử............................................................ 48 3.2 Mật độ dòng điện không đổi........................................................... 50 1
3.2.1 Trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm ............................... 51 3.2.2 Trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang .......................... 53 3.2.3 Kết quả tính toán số và thảo luận ......................................... 55 3.3 Kết luận chương 3 .......................................................................... 62 Chương 4 Hiệu ứng quang kích thích trong dây lượng tử hình trụ với hố thề parabol......................................................................................... 63 4.1 Phương trình động lượng tử............................................................ 63 4.2 Mật độ dòng điện không đổi........................................................... 65 4.2.1 Trượng hợp tán xạ điện tử - phonon âm ............................... 66 4.2.2 Trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang .......................... 68 4.2.3 Kết quả tính toán số và thảo luận ......................................... 70 4.3 Kết luận chương 4 .......................................................................... 77 Kết luận............................................................................................... 79 Các công trình liên quan đến luận án đã công bố.................................. 81 Tài liệu tham khảo................................................................................ 82 2
DANH MỤC CÁC BẢNG Stt Bảng Dây Trang Bảng Các tham số của dây lượng tử hình chữ nhật với 1 2.1 hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl. 38 Bảng Các tham số của dây lượng tử hình trụ với hố 2 3.1 thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl. 56 Bảng Các tham số của dây lượng tử hình trụ với hố 3 70 4.1 thế parabol GaAs/GaAsAl. 3
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Stt Hình Nội dung Trang 1 Hình 1.1 Mô hình sự xuất hiện của hiệu ứng quang kích thích 13 khi có mặt sóng điện từ phân cực phẳng 2 Hình 1.2 Mô hình cấu trúc các hệ bán dẫn: (3D) Bán dẫn khối; 20 (2D) Hệ hai chiều; (1D) hệ một chiều; (0D) Hệ không chiều 3 Hình 2.1 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào tần 39 số của trường laser với các giá trị khác nhau của nhiệt độ cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm 4 Hình 2.2 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào tần 40 số của trường sóng điện từ với các giá trị khác nhau của nhiệt độ cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm 5 Hình 2.3 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào 41 kích thước của dây cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm. 6 Hình 2.4 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào 42 biên độ của trường lực laser cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm. 7 Hình 2.5 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào tần 43 4
số của trường laser cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang ứng với các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ 8 Hình 2.6 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào tần 44 số của trường sóng điện từ cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang với các giá trị khác nhau của nhiệt độ. 9 Hình 2.7 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào 45 kích thước của dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang. 10 Hình 2.8 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi vào 46 nhiệt độ của hệ trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang với các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ. 11 Hình 3.1 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 57 dây lượng tử hình trụ thế cao vô hạn vào tần số của sóng điện từ trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm với các giá trị khác nhau của nhiệt độ. 12 Hình 3.2 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 57 dây lượng tử hình trụ thế cao vô hạn vào bán kính của dây trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm với các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ. 5
13 Hình 3.3 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 58 dây lượng tử hình trụ thế cao vô hạn vào tần số của trường laser trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm với các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ. 14 Hình 3.4 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 59 dây lượng tử hình trụ thế cao vô hạn vào tần số của trường sóng điện từ trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang với các giá trị khác nhau của nhiệt độ. 15 Hình 3.5 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 60 dây lượng tử hình trụ thế cao vô hạn vào tần số của trường laser trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang với các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ. 16 Hình 3.6 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 61 dây lượng tử hình trụ thế cao vô hạn vào nhiệt độ của hệ trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang với các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ. 17 Hình 4.1 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 72 dây lượng tử hình trụ thế parabol vào tần số của sóng điện từ trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm với các giá trị khác nhau của tần số trường laser. 18 Hình 4.2 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 72 dây lượng tử hình trụ thế parabol vào tần số của trường laser trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon 6
âm với các giá trị khác nhau của nhiệt độ. 19 Hình 4.3 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 73 dây lượng tử hình trụ thế parabol vào nhiệt độ của hệ trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm với các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ. 20 Hình 4.4 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 74 dây lượng tử hình trụ thế parabol vào bán kính của dây trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm với các giá trị khác nhau của tần số sóng điện từ. 21 Hình 4.5 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 75 dây lượng tử hình trụ thế parabol vào tần số của trường laser trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang với các giá trị khác nhau của nhiệt độ. 22 Hình 4.6 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 76 dây lượng tử hình trụ thế parabol vào bán kính của dây trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang với các giá trị khác nhau của tần số trường laser. 23 Hình 4.7 Sự phụ thuộc của mật độ dòng điện không đổi trong 77 dây lượng tử hình trụ thế parabol vào tần số của trường sóng điện từ trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang với các giá trị khác nhau của tần số trường laser. 7
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cấu trúc của vật liệu thấp chiều là cấu trúc trong đó chuyển động của hạt tải bị giới hạn theo một, hai hoặc ba phương do hiệu ứng giảm kích thước. Tùy thuộc vào số chiều theo đó hạt chuyển động tự do mà cấu trúc được phân chia thành chuẩn hai chiều, chuẩn một chiều hoặc chuẩn không chiều. Khi nghiên cứu hệ bán dẫn cấu trúc thấp chiều các nhà khoa học phát hiện ra nhiều tính chất đặc biệt và hữu dụng của loại vật liệu này [1-4]. Khi một sóng điện từ lan truyền trong vật liệu thì các tính chất điện, từ thông thường của hệ hạt tải bị thay đổi [1-11]. Sự có mặt của trường ngoài làm xuất hiện thêm nhiều hiệu ứng như cộng hưởng tham số phonon âm-phonon quang; âm-điện-từ; hall lượng tử; ….[5-89]. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu tính chất vật lý nói chung và tính chất động của bán dẫn thấp chiều nói riêng được các tác giả quan tâm rất nhiều [5-45, 47, 51-60, 62, 63, 65-68, 74, 75-77, 80-84, 86, 88]. Phổ năng lượng, hàm sóng của hệ thấp chiều (hai chiều, một chiều, không chiều) khác biệt so với phổ năng lượng, hàm sóng của các bán dẫn ba chiều. Nguyên nhân là do điện tử ngoài thế tuần hoàn còn có thế giam cầm [1-4]. Trong hệ thấp chiều, các bài toán đã được các tác giả quan tâm nghiên cứu như: Hấp thụ sóng điện từ (có hoặc không có từ trường), biến đổi và gia tăng tham số bởi laser, trường âm-điện và dòng âm điện, hệ số Hall lượng tử… Một hiệu ứng đã được quan tâm nghiên cứu trong bán dẫn khối và hệ hai chiều là hiệu ứng quang kích thích [9-11], tuy nhiên trong hệ bán dẫn một chiều thì vẫn chưa được nghiên cứu. Dây lượng tử với các dạng thế khác nhau rất được chú ý, đó là lý do chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng quang 8
kích thích của sóng điện từ cao tần trong hệ bán dẫn một chiều” để phần nào giải quyết được các vấn đề còn bỏ ngỏ nói trên. 2. Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích bởi sóng điện từ cao tần cho hai cấu trúc dây lượng tử: dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế vô hạn và dây lượng tử hình hình trụ với hố thế vô hạn và hố thế parabol. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong hệ bán dẫn một chiều, từ đó tính mật độ dòng điện không đổi xuất hiện trong hiệu ứng quang kích thích với hai cơ chế tán xạ khác nhau: tán xạ điện tử – phonon âm và tán xạ điện tử – phonon quang. 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử và các phương pháp trong vật lý thống kê lượng tử để thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử dưới tác dụng của một trường sóng điện từ phân cực phẳng, một trường laser và một trường điện không đổi. Từ đó tính giải tích mật độ dòng điện không đổi xuất hiện trong hiệu ứng quang kích thích. Sử dụng phương pháp tính số và vẽ đồ thị trên cơ sở phần mềm Matlab, Maple. 4. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu chính của luận án là: Trên cơ sở các biểu thức giải tích của hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn, dây lượng tử hình trụ với hố thế parabol và dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn khi đặt trong một trường sóng điện từ phân cực phẳng, một trường laser và một điện trường không đổi, chúng tôi xây dựng toán tử Hamitonian của hệ tương tác electron – phonon, 9
từ đó thiết lập phương trình động lượng tử cho toán tử số electron trung bình khi giả thiết số phonon không thay đổi theo thời gian, giải phương trình động lượng tử ta tính biểu thức mật độ dòng điện không đổi xuất hiện trong hiệu ứng quang kích thích. Kết quả giải tích thu được thực hiện tính số, vẽ đồ thị và thảo luận đối với các mô hình dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật cụ thể. Kết quả tính số được so sánh và bàn luận. Quá trình trên được thực hiện lần lượt với dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn, dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn và dây lượng tử hình trụ với hố thế parabol với hai loại tương tác là tương tác electron - phonon quang, electron - phonon âm. Luận án sử dụng giả thiết tương tác electron - phonon được coi là trội, bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại và chỉ xét đến số hạng bậc hai của hệ số tương tác electron - phonon, bỏ qua các số hạng bậc cao hơn hai. Ngoài ra, luận án chỉ xét đến các quá trình phát xạ/ hấp thụ một photon, bỏ qua các quá trình của hai photon trở lên. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án Kết quả của luận án khẳng định tính hiệu quả và sự đúng đắn của phương pháp phương trình động lượng tử cho việc nghiên cứu và hoàn thiện lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích trong hệ một chiều. Sự xuất hiện của dòng điện không đổi trong hiệu ứng quang kích thích và sự phụ thuộc của nó vào các tham số đặc trưng cho cấu trúc dây lượng tử, tần số sóng điện từ và tần số của trường laser có thể được sử dụng làm thước đo, làm tiêu chuẩn hoàn thiện công nghệ ứng dụng trong các thiết bị điện tử siêu nhỏ, thông minh và đa năng hiện nay. 6. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình liên quan đến 10
luận án đã công bố, các tài liệu tham khảo và phụ lục, phần nội dung của luận án gồm 4 chương, 13 mục, với 3 bảng biểu, 2 hình vẽ, 21 đồ thị, tổng cộng 96 trang. Nội dung của các chương như sau: Chương 1 trình bày lý thuyết về hiệu ứng quang kích thích trong bán dẫn khối và tổng quan về hệ một chiều. Cụ thể trong chương này trình bày hiệu ứng quang kích thích, phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối, biểu thức mật độ dòng điện một chiều của hiệu ứng quang kích thích trong bán dẫn khối; các hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong các dây lượng tử. Đây được xem là những kiến thức cơ sở cho các nghiên cứu được trình bày trong các chương sau. Chương 2 nghiên cứu lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn dưới tác dụng của một trường sóng điện từ phân cực phẳng, một trường laser và một điện trường không đổi. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon và phương trình động lượng tử cho electron được thiết lập. Từ đó thu được biểu thức của mật độ dòng điện không đổi của hiệu ứng quan kích thích trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn khi xét cơ chế tán xạ điện tử-phonon quang và điện tử-phonon âm. Các kết quả được áp dụng tính số, vẽ đồ thị và bàn luận cho dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl. Chương 3 và chương 4 lần lượt trình bày các kết quả của hiệu ứng quang kích thích như chương 2 nhưng đối với dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn và dây lượng tử hình trụ với hố thế parabol. 7. Các kết quả nghiên cứu chính thu được trong luận án: Các kết quả nghiên cứu của luận án được công bố trong 06 công trình dưới dạng các bài báo, báo cáo khoa học đăng trên các tạp chí và kỷ yếu hội nghị khoa học quốc tế và trong nước. Các công trình này gồm: 03 bài trong 11
tạp chí chuyên ngành quốc tế (02 bài đăng trong tạp chí International Journal of Physical and Mathematical Sciences - World Academy of Science, Engineering and Technology (ISI/SCOPUS), 01 bài trong Piers proceedings, Guangzhou, China); 02 bài đăng tại các tạp chí VNU Journal of Science, Mathematics – Physics của Đại học Quốc gia Hà Nội, ); 01 bài đăng trên tạp chí của Đại học Thủ đô Hà Nội. 12
Chương 1 TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH TRONG BÁN DẪN KHỐI VÀ HỆ MỘT CHIỀU Trong chương này chúng tôi trình bày phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối và dẫn ra biểu thức mật độ dòng điện không đổi xuất hiện trong hiệu ứng quang kích thích trong bán dẫn khối. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử tương ứng với các cấu trúc khác nhau cũng được giới thiệu trong chương này. 1.1. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích trong bán dẫn khối Hiệu ứng quang kích thích liên quan đến việc khi lan truyền trong vật liệu, sóng điện từ mang theo cả năng lượng và xung lượng, kéo theo sự sinh ra của các electron, do đó có sự sắp xếp lại mật độ hạt điện, dẫn đến xuất hiện một dòng điện không đổi [9]. 0x  E 0 j0z 0z  Phương truyền sóng H sóng 0y Hình 1.1: Mô hình sự xuất hiện của hiệu ứng quang kích thích khi có mặt các trường ngoài. Theo định nghĩa của hiệu ứng này ta có thể thấy rằng mật độ dòng điện không đổi phụ thuộc vào xung lượng của photon, quá trình tương tác điện tử - phonon. Những hiệu ứng quang kích thích đầu tiên đã được xem xét một cách hiện tượng luận, được nghiên cứu trong bán dẫn khối và hệ hai chiều [9-11]. 13
1.1.1. Phương trình động lượng tử cho electron trong bán dẫn khối khi đặt trong một trường sóng điện từ phân cực phẳng, một trường laser và một trường điện không đổi Trong mục này, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi đặt trong một trường sóng điện từ phân cực phẳng:   E(t)  E  e it  e it      (  , n là tần số của sóng điện từ và vector đơn vị dọc theo H(t)  n, E(t)   phương truyền sóng), trong một điện trường không đổi E 0 và trong một   trường laser: F(t)  Fsin t được xem như một trường cao tần phân cực tuyến tính;  là tần số của trường laser. Để đơn giản, ở Hamiltonian của hệ ta chỉ xét điện tử đặt trong trường  1 dA(t)  laser tương ứng với thế véc tơ:  Fsin t (chọn hệ đơn vị với   1 ; c dt c là vận tốc ánh sáng trong chân không):  e    H    p  (p  A(t))a p a p    q bq bq   C(q)a pq a p  (b q  b  q ) , (1.1)  c    p q q,p    với p và q lần lượt là véc tơ sóng của electron và phonon; a p (a p ) là toán tử   sinh (huỷ) điện tử với vectơ xung lượng p , bq (bq ) là toán tử sinh ( huỷ)  phonon với vectơ sóng q ; C q là hằng số tương tác điện tử - phonon và e là  điện tích của điện tử;  p là năng lượng của electron ứng với véc tơ sóng p . Giữa các toán tử sinh, hủy điện tử (hạt fermion) tồn tại các hệ thức phản giao hoán sau: 14
a ,a   a a  a a   i  k  i k  k i i,k , (1.2) a ,a   a ,a   0.  i  k i k Giữa các toán tử sinh, hủy phonon (hạt boson) tồn tại các hệ thức sau:  bi ,bk   bi bk  bk bi  i,k , (1.3)  bi ,bk    b i ,b k   0. Sử dụng phương trình chuyển động của toán tử thống kê hay ma trận trận mật độ ta được phương trình động lượng tử cho điện tử như sau: if p (t) i a p a p    a p a p ,H  (1.4) t t Thay Hamiltonian ở (1.1) vào (1.4) rồi tính các giao hoán tử cuối cùng ta được:  f (p,t)  2         2 C q  Nq  Js2  [f  p  q,t  -f  p,t  ](p q -p -q -s)  t  q s  (1.5)     f  p  q,t  -f  p,t   (p q  p  q  s), trong đó Js(x) là hàm Bessel của đối số thực bậc s, Nq là hàm phân bố phonon. Bổ xung thêm sự có mặt của một trường sóng điện từ phân cực phẳng, một điện trường không đổi, phương trình động lượng tử cho hàm phân  bố hạt tải f  p, t  trong một hệ như thế là:   f (p, t)     f  p, t   (eE 0  eE  t   c  p,h(t)  ,  ) t p  2       2 C  q  N q  J s2  [f  p  q, t  -f  p, t  ]( p q - p -q -s)  (1.6)  q s      f  p  q, t  -f  p, t   ( p q   p  q  s). Giả thiết năng lượng phonon là nhỏ và hàm phân bố phonon là đối 15
xứng, ta có   f (p,t)     f  p, t   (eE 0  eE  t   c  p,h(t)  ,  ) t p (1.7)  2       2 C  q  N q  J s2  [f  p  q,t  -f  p, t  ]( p q - p -s),  q s    eH  H(t) e 2 F2 q 2 p2 trong đó c  là tần số cyclotron; h(t)  ; 2  ;    p ; mc H 2m 2 2 2m  p là xung lượng chính tắc của hạt tải, m là khối lượng hiệu dụng của điện tử. 1.1.2. Biểu thức giải tích mật độ dòng điện trong hiệu ứng quang kích thích e  Nhân cả hai vế của phương trình (1.7) với p     p  rồi lấy tổng m  theo p ta được các số hạng: Xét các số hạng của vế trái của (1.7):    e  f  p, t  p m p t      p   iR    eit  iR     eit . (1.8) Ta phân tích hàm phân bố hạt tải được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính các phần đối xứng và phản đối xứng:      f  p, t   f 0 ( P )  f1 (p, t)  f 0 ( P )  f10 (p)  f1 (p)e it  f1* (p)eit . (1.9) Xét trường hợp bán dẫn suy biến hoàn toàn ta có: f 0 ( p )     F   p  , (1.10) với 16