Luận văn đề tài : Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

237
lượt xem 57
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a. Hãy xác định một đa thức y = P_n(x) bậc n mà giá trị của nó tại x = a bằng giá trị f(a) và giá trị của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng của hàm số f(x) tại điểm đó. Nghĩa là:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn đề tài : Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………….. LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor
1 Mu c Lu c . . Mo. d` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ’ ¯ˆa 3 1 C´c b`i to´n nˆi suy cˆ’ d iˆ’n ˙ ˙ a a a o o ¯e 6 . 1.1 B`i to´n nˆi suy Lagrange . . . . aao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . 1.1.1 Bai toan nˆi suy Lagrange `´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . .c nˆi suy Lagrange - 1.1.2 Da th´ ou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 B`i to´n nˆi suy Taylor . . . . . . aao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . 1.2.1 Bai toan nˆi suy Taylor . `´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . .c nˆi suy Taylor . . - 1.2.2 Da th´ ou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Bai toan nˆi suy Newton . . . . . `´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . 1.3.1 Bai toan nˆi suy Newton . `´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . .c nˆi suy Newton . - 1.3.2 Da th´ ou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Bai toan nˆi suy Hermite . . . . . `´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . 1.4.1 Bai toan nˆi suy Hermite . `´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . .c nˆi suy Hermite . - 1.4.2 Da th´ ou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Mˆt sˆ u.ng dung cua cˆng th´.c nˆi suy ´ ˙ ’o o o´ u o 13 . . . ´ u.ng dung cua cˆng th´.c nˆi suy Lagrange ˙o ’ 2.1 Mˆt sˆ ´ oo uo . . . . . . . . . . . 13 . . . .c nˆi suy Lagrange . . . . . . . . 2.1.1 Cˆng th´ o o u. . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Mˆt sˆ u.ng dung . . . . . . . . . . . . . . .´ o o´ . . . . . . . . . . . 18 . .ng dung cua c´c cˆng th´.c nˆi suy kh´c .´ ˙ao ’ 2.2 Mˆt sˆ u o o´ uo a . . . . . . . . . . . 28 . . .c nˆi suy Taylor . . . . . . . . . 2.2.1 Cˆng th´ o o u. . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Cˆng th´.c nˆi suy Newton . . . . . . . . . o uo . . . . . . . . . . . 31 . .c nˆi suy Hermite . . . . . . . . 2.2.3 Cˆng th´ o o u. . . . . . . . . . . . 32 2.3 Bai tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . `a . . . . . . . . . . . 35 . ´. 3 U ng dung cˆng th´.c nˆi suy d e’ u.´.c lu.o.ng v` xˆp xı h`m sˆ ˙ ´ ˙a ’ ´ o u o ¯ˆ o aa o 38 . . . .. .. ´ 3.1 U ´ c lu o ng h`m sˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a o . 38 . .. .. ´ 3.1.1 U ´ c lu o ng h`m sˆ theo c´c n´t nˆi suy Lagrange . . . . . . o a o auo . 38 . . .. .. ´ 3.1.2 U ´ c lu o ng h`m sˆ theo c´c n´t nˆi suy Chebyshev . . . . . o a o auo . 41 . . ´ phu.o.ng ph´p kh´c dˆ’ u.´.c lu.o.ng h`m sˆ . . . . . . . . . . ˙o ´ 3.2 Mˆt sˆ oo a a ¯e a o . 47 . . 3.3 Xˆ p xı ham sˆ theo d th´.c nˆi suy . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ’` ´ a o ¯a u o . 50 .
2 3.4 Bai tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 `a . ´ ’ Kˆ t luˆn cua luˆn v˘n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 e a a a . . ’ Tai liˆu tham khao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 `e .
3 Mo. d` u ’ ¯ˆa ` ` ’ ´ ¯i ´.’ Trong qua trı ´ `nh tı ´nh toan, nhiˆu khi ta cˆn phai xac d .nh gia tri cua mˆt ham ´ e a o` . ’m tuy ´ cho tru.´.c, trong khi d´ d ` u kiˆn chı m´.i cho biˆ t mˆt ´ ´ ’o sˆ f (x) tai mˆt d iˆ o o ¯e `y o ¯o ¯iˆ e e e o . . . . .i rac) cua ham sˆ va cua d ao ham ham sˆ dˆ n cˆ p nao d´ cua no tai ´ ´ ´ ´ ´ ` ¯o ’ ´ . ’` o ` ’ ¯. ` sˆ gia tri (r` . o´.o ` o ¯e a .´.c. .´’ mˆt sˆ d iˆ m x1 , x2, · · · , xk cho tru o o o ¯e V´.i nh˜.ng tru.`.ng ho.p nhu. vˆy, ngu.`.i ta thu.`.ng tı cach xˆy du.ng mˆt ham o u o a o o `m ´ a o` . . . . .n gian ho.n, thu.`.ng la cac d th´.c d ai sˆ , thoa ma n cac d iˆu kiˆn ˜ ´ ¯` ´ ´ ’ ’ sˆ P (x) dang d o o ¯ o ` ´ ¯a u ¯ . o e e . . .ng gia tri x ∈ R ma x khˆng trung v´.i x , x , · · · , x , thı d˜ cho. Ngoai ra, tai nh˜ ¯a ` u ´. ` o ` o12 ` . k ´’ P (x) ≈ f (x) (xˆ p xı theo mˆt d ˆ chı xac nao d´ ). a o ¯o ´nh ´ ` ¯o .. .o.c xˆy du.ng theo cach v`.a mˆ ta trˆn d .o.c goi la ham nˆi suy ´ o ’ e ¯u . . ` ` Ham sˆ P (x) d u . a ` o ¯ ´ u o . . .`.ng d .o.c goi la cac nut nˆi suy va bai toan ’ ’ cua f (x); cac d iˆ m x1 , x2, · · · , xk thu o ´ ¯e ¯u . . ` ´ ´ o `` ´ . .ng ham P (x) nhu. vˆy d .o.c goi la Bai toan nˆi suy. xˆy du a ` a ¯u . . ` ` ´ o . . . . dung ham (d th´.c) nˆi suy P (x), ta dˆ dang tı ´nh d .o.c gia tri tu.o.ng d o i ˜` ´ ’ Su . ` ¯a u o e ¯u . ´. ¯ˆ . .´.c. T`. d´ , ta co thˆ tı ’ ´ ` ’` ´nh xac cua ham sˆ f (x) tai x ∈ R tuy ´ cho tru o chı ´ o `y u ¯o ´ e ´nh gˆn a . ’´e d´ ng gia tri d ao ham va tı phˆn cua no trˆn R. ¯u ´ . ¯. ` ` ´ch a Cac bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n ra d o.i t`. rˆ t s´.m va d´ ng vai tro rˆ t quan trong ’’ ´ ´ ´`´ o o ¯e ¯` u a o ` ¯o `a . . .c tˆ . Do d´ , viˆc nghiˆn c´.u cac bai toan nˆi suy la rˆ t co ´ nghı a. ˜ ´ ´ trong thu e ¯o e eu´`´ o ` a ´y . . . ˙ . cac tru.`.ng phˆ thˆng, ly thuyˆ t vˆ vˆ n d` nay khˆng d .o.c d` cˆp, nhu.ng ’´ ’o e ` a ¯ˆ ` ´ e´ O o o ´ e o ¯u . ¯ˆ a e. .ng u.ng dung so. cˆ p cua no cu ng ”ˆ n hiˆn” khˆng ´t, ch˘ng han trong cac ’ ’ ´˜ ’ ´ nh˜ u ´ a a e oı a ´ . . . .o.ng trı .`.ng ho˘c phu.o.ng trı .c dang ’ phu `nh d o ¯u a `nh m˘t bˆc hai, trong cac d ang th´ aa ´ ¯˘ u . . . . .c va d ac biˆt la viˆc u.ng dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange va khai triˆ n ’ phˆn th´ ` ¯˘ a u e` e´ o uo ` e . . . . . ’ Taylor d e giai mˆt sˆ bai toan kho trong cac d` thi hoc sinh gioi cac cˆ p. .´ ´ ¯ˆ ’ ’´a oo` ´ ´ ´ ¯ˆ e . .ng vˆ n d` co. ban nhˆ t vˆ e `nh thanh mˆt chuyˆn d` chon loc nh˜ ´e a` ´e ’ Vı vˆy, viˆc hı `a ` o e ¯ˆ . . e u a ¯ˆ . . . cac bai toan nˆi suy, du.´.i goc d ˆ toan phˆ thˆng, d ac biˆt la nh˜.ng u.ng dung cua ’ ’ ´`´ o o ´ ¯o ´ oo ¯˘ e` u ´ . . . . . .n n˜.a, chuyˆn .´ ´`a ` ´a ´ ’ no trong qua trı ´ ´ `nh giai mˆt sˆ dang toan kho la rˆ t cˆn thiˆ t. Ho oo. ´ e u e ’ ¯ˆ ` ˜ d` nay cu ng co thˆ lam tai liˆu tham khao cho cac giao viˆn gioi va cac sinh viˆn ’ ’ `´ e ´ e` `e ´ ´ e e . nh˜.ng n˘m d` u cua bˆc d . i hoc. a ¯ˆ ’ a ¯a . u a . ´ tu.o.ng muˆ n thu.c hiˆn luˆn v˘n nay hı thanh tru.´.c khi cuˆ n sach chuyˆn ´ ´ Y’ o e a a ` `nh ` o o´ e . . . .i. Dˆy v`.a la mˆt thuˆn lo.i v`.a la mˆt kho kh˘n cho nˆ lu.c tı kiˆ m khao [2] ra d ` - a u ` o ˜ ´ ’ ¯o a.u`o ´a o . `m e . . .
4 nh˜.ng ne m´.i cho luˆn v˘n cua tac gia, vı cuˆ n sach trˆn la mˆt tai liˆu rˆ t quı ´ .´ ’´ ’`o´ u ´t o aa e`o`ea ´ . . . chu.a co mˆt tai liˆu toan so. cˆ p nao d` cˆp d e n vˆ n d` ¯o ` ´ ` ¯ˆ a ¯ˆ a ¯ˆ ´´e gia, trong khi d´ hˆu nhu ´ a ´o`e ´ a e. . . nay mˆt cach tron ve n. Do d´ , luˆn v˘n khˆng qua d` cˆp sˆu vˆ ly thuyˆ t ma cˆ ´ ¯ˆ a a ` ´ ´ ´ ` o´ ¯o a a o e. e e `o . . . . g˘ng tı kiˆ m nh˜.ng u.ng dung cua no vao viˆc giai va sang tac cac bai tˆp o. phˆ ’ ´ ´ ’ ´` ’ `´ ´´ `a’ a `m e u´ e o . . . thˆng, d ac biˆt la nh˜.ng u.ng dung thu.`.ng g˘p cua cˆng th´.c nˆi suy Lagrange va ’o o ¯˘ e` u ´ o a uo ` . . . . . ’ khai triˆ n Taylor. e Luˆn v˘n day 56 trang, gˆm cac phˆn Muc luc, Mo. d` u, ba chu.o.ng nˆi dung, ` ` ’ ¯ˆ aa` o ´ a a o . .. . ´ ’ kˆ t luˆn va tai liˆu tham khao: e a `` e . . Chu.o.ng 1: Cac bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n. ’’ ´`´ o o ¯e . Nˆi dung chu.o.ng nay trı `nh bay mˆt cach co. ban nhˆ t vˆ cac bai toan nˆi suy a `´ ` ´ ´e ’ o ` ` o´ o . . . ’’ cˆ d iˆ n, d´ la Bai toan nˆi suy Lagrange, Bai toan nˆi suy Taylor, Bai toan nˆi suy o ¯ e ¯o ` ` ´ o `´o `´o . . . Newton va Bai toan nˆi suy Hermite. `` ´ o. Chu.o.ng 2: Mˆt sˆ u.ng dung cua cˆng th´.c nˆi suy. .´ ’o o o´ uo . . - ˆy la mˆt trong nh˜.ng nˆi dung trong tˆm cua luˆn v˘n. V´.i tˆm quan trong o` ’ Da ` o u o a aa a . . . . . . phˆ thˆng, cˆng th´.c nˆi suy Lagrange va nh˜.ng u.ng dung cua no d .o.c d` cˆp ’ ’ ’ ´ ¯u . ¯ˆ a o oo o uo `u´ e. . . .o.ng nay v´.i nh˜.ng phu.o.ng phap giai toan kha d a ` ’´ thanh mˆt phˆn riˆng trong chu ` o a e `o u ´ ´¯ . dang va mˆt sˆ lu.o.ng bai tˆp d` xuˆ t kha phong phu. Nhiˆu d ˘ng th´.c du.´.i dang e’ .´ e´ ` ¯a `oo . ` a ¯ˆ a ´ ´ u o. . . .c co nguˆn gˆ c t`. cˆng th´.c nˆi suy Lagrange d˜ d u.o.c luˆn v˘n phat ` ´ phˆn th´ ´ a u o o uo uo ¯a ¯ . aa ´ . . .o.c giai b˘ ng hiˆn. Nhiˆu bai toan thi chon hoc sinh gioi quˆ c gia va quˆ c tˆ d˜ d u . ` ``´ ´ ´´ ’ ’a e e o ` o e ¯a ¯ . . . cach ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy nay. Phˆn con lai cua chu.o.ng trı ``.’ .´ ´a o uo ` a `nh bay mˆt sˆ ` oo . . .ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy con lai. Mˆt sˆ bai tˆp danh cho ban d c cu ng . ¯o ˜ .´ ’´o u ´ uo `. oo`a ` . . . . .o.c gi´.i thiˆu o. phˆn cuˆ i chu.o.ng. e’ ` ´ du . ¯ o a o . ´. Chu.o.ng 3: U ng dung cˆng th´.c nˆi suy dˆ u.´.c lu.o.ng va xˆ p xı ham sˆ . ’ ´ ´ `a ’` o uo ¯e o o . . . .o.ng nay tach riˆng mˆt u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy dˆ u.´.c lu.o.ng ’ ’´o Chu `´ e o´ uo ¯e o . . . . . phˆ thˆng liˆn quan d e n vˆ n d` nay ’o ´ ’` ´ .´ ´ a ¯ˆ ` ´e ´’ va xˆ p xı ham sˆ . Mˆt sˆ dang toan kho o `a o oo. ´ o e ¯ˆ .o.c d` cˆp, trong d´ co nh˜.ng bai trong cac d` thi chon hoc sinh gioi quˆ c d˜ d u . ¯ˆ a ´ ’ ¯a ¯ e. ¯o ´ u ` ´ ¯ˆ e o . . .o.c d ˘ng tai trong cac ky yˆ u hˆi gia va quˆ c tˆ . Mˆt sˆ phˆn cua luˆn v˘n d˜ d u . ¯a ´´ oo` .´a ´o ’ ’ ’e `oe a a ¯a ¯ ´ . . ’ ng han [1]. nghi chuyˆn nganh, ch˘ e ` a . . .o.c hoan thanh nh`. su. hu.´.ng dˆn khoa hoc va nhiˆt tı cua Tiˆ n ˜ ´ e `nh ’ Luˆn v˘n d . a a ¯u ` ` o. o a .` e . . .`.i Thˆy rˆ t nghiˆm kh˘c va tˆn tˆm trong cˆng viˆc, -` ˜ ´ ´ `a a´ sy Trinh Dao Chiˆ n - Ngu o e e a `a a o e . . . .c quı bau cu ng nhu. kinh nghiˆm nghiˆn c´.u khoa hoc ˜ ` ¯. ` ´ truyˆn d at nhiˆu kiˆ n th´ e e e u ´´ e eu . . .i gian nghiˆn c´.u d` tai. Chı ´ ´ ’ o ’` trong suˆ t th` o o e u ¯ˆ ` e ´nh vı vˆy ma tac gia luˆn to long biˆ t `a `´ e . .n chˆn thanh va sˆu s˘c d ˆ i v´.i Thˆy giao hu.´.ng dˆn - Tiˆ n sy Trinh Dao Chiˆ n. e ˜ . -` ´´ ˜ ` ´ ´ o a ` ` a a ¯o o a´ o a e
5 Nhˆn d ˆy, tac gia xin d .o.c bay to long biˆ t o.n chˆn thanh d e n: Ban Giam ´ ´ ’ ` ’` a ¯a ´ ¯u . e a ` ¯ˆ ´ .`.ng Dai hoc Qui ¯` . - . . ` -. . -. . ’ Hiˆu, Phong d ao tao Dai hoc va sau Dai hoc, Khoa toan cua tru o e ` ´ . .n, cung quı thˆy cˆ giao d˜ tham gia giang day va hu.´.ng dˆn khoa hoc cho ˜ ´ ` o ´ ¯a ’ Nho ` a .` o a . .p cao hoc toan khoa 8. UBND tı nh, So. giao duc va d `o tao tı nh Gia Lai, Ban ’ ’´ . ` ¯a . ’ l´ o ´ ´ . .`.ng THPT Ia Grai d˜ cho tac gia co. hˆi hoc tˆp, cung v´.i quı thˆy ´` ’ Giam Hiˆu tru o ´ e ¯a ´ o.a ` o a . . . .`.ng d˜ d ong viˆn, se chia cˆng viˆc va tao moi d ` u kiˆn thuˆn ’ ’ cˆ giao cua nha tru o o´ ` ¯a ¯ˆ e o e `. . ¯iˆ e e a . . . . .i d e tac gia nghiˆn c´.u va hoan thanh luˆn v˘n nay. ’´ ’ lo ¯ˆ eu`` ` aa` . . Trong qua trı hoan thanh luˆn v˘n, tac gia con nhˆn d .o.c su. quan tˆm d ong ’` ´ `nh ` ` aa´ a ¯u . . a ¯ˆ . . . .p cao hoc khoa VII, VIII, viˆn cua cac ban d` ng nghiˆp, cac anh chi em trong cac l´ e ’ ´ . ¯ˆ o e´ ´o ´ . . . .`.ng Dai hoc Qui Nho.n. Tac gia xin chˆn thanh cam o.n tˆ t ca nh˜.ng -. . ´ ’ ’ ’ a’u XIX cua tru o ´ a ` . quan tˆm d ˆng viˆn d´ . su a ¯o e ¯o . . -e ` ’ Dˆ hoan thanh luˆn v˘n nay, tac gia d˜ tˆp trung rˆ t cao d o trong hoc tˆp va ´ ’ ¯a a ` aa`´ a ¯ˆ a` . . . . .u khoa hoc, cu ng nhu. rˆ t cˆ n thˆn trong nhˆn chˆ ban. Trong d´ ´t nhiˆu ’ ˜ ´a ´’ ` nghiˆn c´ eu a a a e ¯o ı e . . .i gian cu ng nhu. trı .c hiˆn ’ ˜ e` o ´e ´ han chˆ vˆ th` `nh d o hiˆ u biˆ t nˆn trong qua trı ¯ˆ e ee ´ `nh thu e . . . . .ng thiˆ u sot, tac gia rˆ t mong nhˆn d .o.c su. chı bao cua ’ ´ ´ ’ ’a a ¯u . . ’ ’ ’ khˆng thˆ tranh khoi nh˜ o e´ u e´´ . quı thˆy cˆ va nh˜.ng gop ´ cua ban d . c dˆ luˆn v˘n d .o.c hoan thiˆn ho.n. ’. ´ ` o` u ´y’ a . ¯o ¯e a a ¯u . ` e. Quy Nho.n, thang ... n˘m 2008 ´ a ’ Tac gia ´
6 Chu.o.ng 1 C´c b`i to´n nˆi suy cˆ’ d e’n ˙ ˙ a a a o o ¯iˆ . Trong chu.o.ng nay, luˆn v˘n d` cˆp mˆt sˆ bai toan nˆi suy cˆ d iˆ n se su. dung ’’ o ¯e ˜ ’ . .´ ` a a ¯ˆ a e. oo` ´ o . . o. cac chu.o.ng sau, d´ la: Bai toan nˆi suy Lagrange, Bai toan nˆi suy Taylor, Bai ’´ ¯o ` ` ´ o ´ o ` . . .i giai cho cac bai toan nay la ’ toan nˆi suy Newton va Bai toan nˆi suy Hermite. L` ´ o `` ´ o o ´`´ `` . . .c nˆi suy tu.o.ng u.ng ma ch´.ng minh chi tiˆ t d˜ d u.o.c trı bay trong [2] ´ cac d th´ o ´ ¯a u . ´ `u e ¯a ¯ . `nh ` 1.1 B`i to´n nˆi suy Lagrange a a o . 1.1.1 Bai toa n nˆi suy Lagrange ` ´ o . Cho cac sˆ thu.c xi , ai, v´.i xi = xj , v´.i moi i = j, i, j = 1, 2, · · · , N . Ha y xac ˜´ ´ ´o. o o . .c L(x) co bˆc degL(x) ≤ N − 1 va thoa cac d iˆu kiˆn ` ’ ´ ¯` d. nh d a th´ ¯i ¯ u ´a e e . . L(xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N . Da th´.c nˆi suy Lagrange - 1.1.2 u o . Ky hiˆu ´e . N x − xj L i ( x) = ; i = 1, 2, · · · , N. xi − xj j =1,j =i Khi d´ , d th´.c ¯o ¯a u N L ( x) = ai Li (x) i=1 la d th´.c duy nhˆ t thoa ma n d ` u kiˆn cua bai toan nˆi suy Lagrange va ta goi ˜ ¯iˆ ´ ’ ’`´ ` ¯a u a e e o ` . . . .c nay la d a th´.c nˆi suy Lagrange. d a th´ ` ` ¯ ¯ u uo .
7 1.2 B`i to´n nˆi suy Taylor a a o . 1.2.1 Bai toa n nˆi suy Taylor ` ´ o . Cho cac sˆ thu.c x0 , ai, v´.i i = 0, 1, · · · , N − 1. Ha y xac d. nh d a th´.c T (x) co ˜ ´ ¯i ¯ ´ ´o. o u ´ ˜ ´ ¯` `’ bˆc degT (x) ≤ N − 1 va thoa ma n cac d iˆu kiˆn a e e . . T i (x0) = ai , ∀i = 0, 1, · · · , N − 1. Da th´.c nˆi suy Taylor - 1.2.2 u o . Da th´.c - u N −1 ai ( x − x0 ) i T ( x) = i! i=0 la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d ` u kiˆn cua bai toan nˆi suy Taylor va goi d th´.c ˜ ¯iˆ ´ ’ e’`´o `¯ u a e ` . ¯a u . . .c nˆi suy Taylor. nay la d a th´ o ` `¯ u. 1.3 Bai toan nˆi suy Newton ` ´ o . 1.3.1 Bai toa n nˆi suy Newton ` ´ o . Cho cac sˆ thu.c xi , ai, v´.i i = 1, 2, · · · , N . Ha y xac d. nh d a th´.c N (x) co bˆc ˜ ´ ¯i ¯ ´ ´o. o u ´a . ˜ ´ ¯` `’ degN (x) ≤ N − 1 va thoa ma n cac d iˆu kiˆn e e . i −1 N (xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N. Da th´.c nˆi suy Newton - 1.3.2 u o . Ky hiˆu ´e . x t t1 ti−2 Ri (x1, x2 , · · · , xi , x) = ··· dti−1 ...dt2.dt1.dt; i = 1, 2, · · · , N. x1 x2 x3 xi khi d´ , d a th´.c ¯o ¯ u N aiRi−1 (x1, x2 , ..., xi−1, x) N ( x) = i=1 = a1 + a2 R(x1 , x) + a3 R2 (x1, x2, x) + · · · + aN RN −1 (x1, · · · , xN −1, x) la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d ` u kiˆn cua bai toan nˆi suy Newton va ta goi d ˜ ¯iˆ ´ ’ e’`´ `¯ u a e o ` . ¯a . . th´.c nay la d a th´.c nˆi suy Newton u ` `¯ uo .
8 Nhˆn xe t 1.1. V´.i xi = x0 , v´.i moi i = 1, 2, · · · , N , thı a´ o o ` . . Ri (x0 , x1, · · · , xi−1, x) = Ri x0, · · · , x0, x ` i lˆn a x t t1 ti−2 = ··· dti−1 ...dt2.dt1.dt x0 x0 x0 x0 ( x − x0 ) i ; v´.i i = 1, 2, · · · , N = o i! Khi d´ ¯o N aiRi x0, · · · , x0, x = N ( x) = i=1 ` i lˆn a = a0 + a1 R(x0 , x) + a2 R2 (x0, x0 , x) + · · · + aN −1 RN −1 x0, · · · , x0, x ` lˆn a N −1 2 N −1 ( x − x0 ) ( x − x0 ) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 + · · · + aN −1 2 (N − 1)! N −1 ( x − x0 ) i = ai ≡ T ( x) . i! i=0 Vˆy, v´.i xi = x0, ; ∀i = 1, 2, · · · , N , thı d a th´.c nˆi suy Newton chı la d a th´.c a o `¯ uo ´nh ` ¯ u . . nˆi suy Taylor. o . 1.4 Bai toan nˆi suy Hermite ` ´ o . 1.4.1 Bai toa n nˆi suy Hermite ` ´ o . Cho cac sˆ thu.c xi , aki , i = 1, 2, · · · , n; k = 0, 1, · · · , pi − 1 va xi = xj , v´.i ´ ´o. ` o moi i = j , trong d´ p1 + p2 + · · · + pn = N . Ha y xac d. nh d a th´.c H(x) co bˆc ˜ ´ ¯i ¯o ¯ u ´a . . ˜ ´ ¯` `’ degH (x) ≤ N − 1 va thoa ma n cac d iˆu kiˆn e e . H (k) (xi ) = aki , ∀i = 1, 2, · · · , n; ∀k = 0, 1, · · · , pi − 1 Da th´.c nˆi suy Hermite - 1.4.2 u o . Ky hiˆu ´e . n ( x − x j ) pj ; W ( x) = j =1
9 n W ( x) (x − xj )pj ; i = 1, 2, · · · , n W i ( x) = = pi ( x − xi ) j =1,j =i Goi d oan khai triˆ n Taylor d e n cˆ p th´. pi − 1 − k , v´.i k = 0, 1, · · · , l; l = ’ ´a ´ . ¯. e ¯ˆ u o 1 ´ ’` 0, 1, · · · , pi − 1, tai x = xi cua ham sˆ o (i = 1, 2, · · · , n) la ` . W i ( x) (pi −1−k ) (l) pi − 1− k ( x − xi ) l 1 1 T = . W i ( x) W i ( x) l! l=0 (x=xi ) (x=xi ) khi d´ , d a th´.c ¯o ¯ u (pi −1−k ) pi − 1 n ( x − xi ) k 1 H ( x) = aki W i ( x) T . k! W i ( x) i=1 k =0 (x=xi ) la d a th´.c duy nhˆ t thoa ma n d ` u kiˆn cua bai toan nˆi suy Hermite va ta goi d ˜ ¯iˆ ´ ’ e’`´ `¯ u a e o ` . ¯a . . th´.c nay la d a th´.c nˆi suy Hermite. u ` `¯ uo . Nhˆn xe t 1.2. a´ . V´.i n = 1, thı i = 1 va p1 = N . Khi d´ , ta co o ` ` ¯o ´ W ( x) = ( x − x1 ) N ; W ( x) W 1 ( x) = = 1. ( x − x1 ) N ’ Do d´ , d oan khai triˆ n ¯o ¯ . e (N −1−k ) 1 (N −1−k ) T =T 1 = 1. W 1 ( x) (x=x1 ) (x=x1 ) Khi d´ , ta co ¯o ´ N −1 ( x − x1 ) k H ( x) = ak1 ≡ T ( x) . k! k =0 Vˆy, v´.i n = 1, thı d a th´.c nˆi suy Hermite chı la d th´.c nˆi suy Taylor. a o `¯ uo ´nh ` ¯a u o . . . Nhˆn xe t 1.3. a´ . V´.i k = 0, thı pi = 1, v´.i moi i = 1, 2, · · · , n. Khi d´ o ` o ¯o . p1 + p2 + · · · + pn = N,
10 hay n = N . Do d´ , ta co ¯o ´ N W ( x) = (x − xj ); j =1 N W i ( x) = (x − xj ), i = 1, 2, · · · , N. j =1,j =i ’ khi d´ , d oan khai triˆ n Taylor ¯o ¯ . e 0 1 1 1 T = = , i = 1, 2, · · · , N. N W i ( x) W i ( xi ) ( xi − xj ) (x=xi ) j =1,j =i Vˆy, ta co a ´ . N N x − xj H ( x) = a0i ≡ L ( x) . xi − xj i=1 j =1,j =i Vˆy, v´.i k = 0, thı d a th´.c nˆi suy Hermite chı la d th´.c nˆi suy Lagrange. a o `¯ uo ´nh ` ¯a u o . . . .`.ng ho.p tˆ ng quat, viˆc biˆ u diˆn d a th´.c Hermite kha ph´.c tap. Du.´.i ’ ’ ˜¯ Trong tru o .o ´ e e e u ´u. o . .`.ng ho.p riˆng d .n gian khac cua d th´.c nˆi suy Hermite, khi ’ ’ ¯a u o d ˆy la mˆt vai tru o ¯a ` o ` e ¯o ´ . . . .a d ao ham bˆc nhˆ t. e ¯` ´ ’u hˆ d iˆu kiˆn chı ch´ ¯ . ` .e e a a . . Nhˆn xe t 1.4. a´ . Nˆ u pi = 2, v´.i moi i = 1, 2, · · · , n, thı khi d´ k = 0 ho˘c k = 1. ´ e o ` ¯o a . . .i k = 0, ta co + V´ o ´ (pi −1−k ) (1) 1 ( x − xi ) l 1 1 1 (l) T =T = W i ( x) W i ( x) W i ( x) l! (x=xi ) l=0 (x=xi ) (x=xi ) 1 W ( xi ) − i2 = ( x − xi ) W i ( xi ) W i ( xi ) 1 W ( xi ) (x − xi ) , v´.i i = 1, 2, · · · , n. 1− i = o W i ( xi ) W i ( xi ) + V´.i k = 1, ta co o ´ (pi −1−k ) (0) 0 ( x − xi ) l 1 1 1 (l) T =T = W i ( x) W i ( x) W i ( x) l! (x=xi ) l=0 (x=xi ) (x=xi ) 1 W ( xi ) 1 − i2 = ( x − xi ) = . W i ( xi ) W i ( xi ) W i ( xi )
11 Khi d´ , ta co ¯o ´ (pi −1−k ) n 1 ( x − xi ) k 1 H ( x) = aki W i ( x) T k! W i ( x) i=1 k =0 (x=xi ) (1) (0) n 1 1 = a0i Wi (x)T +a1i(x − xi)Wi (x)T W i ( x) W i ( x) i=1 (x=xi ) (x=xi ) n 1 W ( xi ) 1 1− i = Wi (x) a0i (x − xi ) +a1i(x − xi) W i ( xi ) W i ( xi ) W i ( xi ) i=1 n W i ( x) W ( xi ) a0i 1 − i = (x − xi) +a1i(x − xi ) W i ( xi ) W i ( xi ) i=1 n W i ( x) W ( xi ) a0i − a0i i = − a1i (x − xi ) . W i ( xi ) W i ( xi ) i=1 Ngoai ra, trong phˆn bai toan nˆi suy Lagrange, ta d˜ biˆ t r˘ ng ´` ` ` a`´ o ¯a e a . n x − xj L i ( x) = ; i = 1, 2, · · · , n xi − xj j =1,j =i  va ` 1, khi i = j L i ( xj ) = 0, khi i = j. Do d´ ¯o Li (xi ) ≡ 1, ∀i = 1, n. Vˆy a . n ( x − xj ) 2 W i ( x) = L2 (x); i = 1, n. = i 2 Wi (xi ) j =1,j =i (xi − xj ) Dao ham theo x hai vˆ cua d ˘ng th´.c trˆn, ta d u.o.c -. ` ’ ´ e ’ ¯a u e ¯. W i ( x) = 2Li (x)Li (x) = 2Li (xi ). W i ( xi ) Do d´ , d a th´.c nˆi suy Hermite trong tru.`.ng ho.p nay co dang ¯o ¯ uo o `´. . . n L2 (x) a0i − 2a0i Li (xi ) − a1i (x − xi ) . H ( x) = i i=1 Du.´.i d ay la mˆt vai minh hoa cho viˆc vˆn dung cac cˆng th´.c nˆi suy (do tac o ¯ˆ ` o ` ea ´o uo ´ . . .. . . ’´ gia sang tac) ´
12 Bai toa n 1.1. Cho d a th´.c P (x) bˆc 4, thoa ma n cac d iˆu kiˆn sau: ˜ ´ ¯` ’ ` ´ ¯ u a e e . . P (−1) = 3a + 1 (a > 0) ; P (0) = 0; P (3) (−2) = −48; P (1) = 4(3 + a); P (4)(2008) = 24. Ch´.ng minh r˘ ng: ` u a Q(x) = P (x) + P (x) + P (x) + P (3)(x) + P (4)(x) > 0. ∀x ∈ R. Giai. Ap dung cˆng th´.c nˆi suy Taylor (v´.i N = 3), ta tı d .o.c ’´ o uo o `m ¯u . . . P (x) = x4 + 2ax2 + a (a > 0) Suy ra: P (x) = 4x3 + 4ax ; P (x) = 12x2 + 4a ; P (3)(x) = 24x ; P (4)(x) = 24 . Do d´ : ¯o Q(x) = (x2 + 2x)2 + 2a(x + 1)2 + 3a + 8(x2 + 3x + 3) > 0, ∀x ∈ R Bai toa n 1.2. Cho d a th´.c P (x) bˆc n, thoa ma n: ˜ ’ ` ´ ¯ u a . P (2007) < 0; −P (2007) ≤ 0, P (2007) ≤ 0, · · · , (−1)n P (n) ≤ 0; P (2008) > 0, P (2008) ≥ 0, P (2008) ≥ 0, · · · , P (n) (2008) ≥ 0. Ch´.ng minh r˘ ng cac nghiˆm thu.c cua P (x) thuˆc (2007; 2008). ` ’ u a ´ e o . . . Giai. Ap dung cˆng th´.c nˆi suy Taylor, ta co: ’´ o uo ´ . . P (n) (b) P (b) P (b) (x − b)n , v´.i b = 2008. (x − b)2 + · · · + P (x) = P (b) + (x − b) + o 1! 2! n! ´ Do d´ , Nˆ u x ≥ b thı P (x) khˆng co nghiˆm x ≥ b. ¯o e ` o ´ e. .i a = 2007, ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy Taylor, ta co V´ o a o uo ´ . . (−1)n P (n) (a) −P (a) P (a) ( a − x) 2 + · · · + ( a − x) n . P (x) = P (a) + ( a − x) + 1! 2! n! ´ Do d´ , nˆ u x < a thı P (x) khˆng co nghiˆm x ≤ a. ¯o e ` o ´ e . ’ Vˆy cac nghiˆm phai thuˆc (2007; 2008). a´ e o . . .
13 Chu.o.ng 2 Mˆt sˆ u.ng dung cua cˆng th´.c ´ ˙ ’o o o´ u . . nˆi suy o . Chu.o.ng nay trı bay mˆt sˆ u.ng dung cua cac cˆng th´.c nˆi suy, trong d´ d` .´ ’´o ` `nh ` o o´ uo ¯o ¯ˆe . . cˆp sˆu ho.n d o i v´.i cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, cˆng th´.c co nhiˆu u.ng dung dˆ ’ ´ `´ aa ¯ˆ o o uo o u´ e ¯e . . . giai mˆt sˆ bai toan kho o. hˆ phˆ thˆng chuyˆn toan. ’ .´ ’ ´’ e o o oo` ´ e ´ . .ng dung cˆng th´.c nˆi suy trong u.´.c lu.o.ng va xˆ p xı ham sˆ la hai Vˆ n d` u ´ ´ ’` ´ a ¯ˆ ´ e o uo o `a o` . . . nˆi dung quan trong va tu.o.ng d o i kho, v´.i nh˜.ng ky thuˆt ch´.ng minh kha ph´.c ˜ ´ o ` ¯ˆ ´o u a u ´ u . . . .o.c trı bay o. chu.o.ng sau. `nh ` ’ tap, d . . ¯u Mˆt sˆ u.ng dung cua cˆng th´.c nˆi suy La- ´ ˙ ’ 2.1 o o´ o u o . . . grange Cˆng th´.c nˆi suy Lagrange 2.1.1 o u o . -. ˜ ´ ´ Dinh nghı a 2.1. Cho n sˆ x1 , x2, · · · , xn phˆn biˆt va n sˆ a1, a2, · · · , an tuy ´ . o a e` o `y . Thˆ thı tˆn tai duy nhˆ t mˆt d a th´.c P (x) v´.i bˆc khˆng vu.o.t qua n − 1, thoa ma n ˜ e `` . ´ ´ o¯ ’ o a u oa o ´ . . . P (xj ) = aj ; ∀j = 1, 2, · · · , n. (2.1) Da th´.c co dang - u´. n n x − xi aj (2.2) xj − xi j =1 i=1,ı=j Da th´.c (2.2) d u.o.c goi la d a th´.c nˆi suy Lagrange ho˘c cˆng th´.c nˆi suy - u ¯. . `¯ u o ao u o . . . ´ x1 , x2, · · · , xn d u.o.c goi la cac nut nˆi suy. Lagrange. Cac sˆ ´o ¯. . `´ ´ o .
14 + V´.i n = 2, d a th´.c d´ la o ¯ u ¯o ` x − x2 x − x1 P (x) = a1 + a2 . (2.3) x1 − x2 x2 − x1 ´ `a ’ Ky hiˆu degP (x) la bˆc cua P (x). Thˆ thı ´e e` . . degP (x) ≤ 1 va P (x1 ) = a1 ; P (x2) = a2. ` + V´.i n = 3, d a th´.c d´ la o ¯ u ¯o ` (x − x2 )(x − x3 ) (x − x3 )(x − x1) (x − x1)(x − x2) P (x) = a1 + a2 + a3 . (2.4) (x1 − x2 )(x1 − x3) (x2 − x3 )(x2 − x1) (x3 − x1)(x3 − x2) ˜` Ro rang degP (x) ≤ 2 va P (x1) = a1, P (x2 ) = a2 ), P (x3) = a3. ` . cˆng th´.c nˆi suy Lagrange, ta co ( ) T` o u uo ´ . Dinh nghı a 2.2. Cho n sˆ x1 , x2, · · · , xn phˆn biˆt. Thˆ thı moi d a th´.c P (x) v´.i -. ˜ ´ ´ o a e e ` .¯ u o . bˆc khˆng vu.o.t qua n − 1 d` u co thˆ viˆ t du.´.i dang ´ a o ´ ¯ˆ ´ e e e o. . . n n x − xi P ( x) = P ( xj ) . (2.5) xj − xi j =1 i=1,i=j ´ ˜ `nh . Nhˆn xe t 2.1. (Y nghı a hı hoc) a´ . Da th´.c (2.3) va (2.4) kha quen thuˆc trong chu.o.ng trı - ’ u ` ´ o `nh toan phˆ thˆng. Ta ´ oo . thu. d i tı ´ nghı a hı hoc cua chung, ch˘ng han (2.4). ˜ `nh . ’ ’ ¯ `m y ’ ´ a . . r˘ ng, trˆn m˘t ph˘ng toa d o Oxy cho 3 d e m A(x ; y ), B (x ; y ), C (x ; y ), ’ ’’` ’ Gia su a e a a . ¯ˆ ¯iˆ . . 11 22 22 .i x , x .x khac nhau t`.ng d oi mˆt. v´ 1 2 3 ´ o u ¯ˆ o . ´ thı theo (2.1) va (2.2) tˆn tai duy nhˆ t mˆt d u.`.ng cong y = P (x), trong `. ´ Thˆ `, e ` o a o ¯o . .c v´.i degP (x) ≤ 2, thoa ma n˜ ’ d´ la d a th´ o ¯o ` ¯ u P (x1) = y1 (nghı a la d .`.ng cong qua d e m A); ’ ˜ ` ¯u o ¯iˆ P (x2) = y2 (nghı a la d .`.ng cong qua d e m B); ’ ˜ ` ¯u o ¯iˆ P (x3 ) = y3 (nghı a la d .`.ng cong qua d iˆ m C). ’ ˜ ` ¯u o ¯e Ho.n n˜.a, d u.`.ng cong con co phu.o.ng trı cu thˆ la y = P (x), tron d´ P (x) co ’ u ¯o `´ `nh . e ` ` ¯o ´ .´ dang (2.4) va cac hˆ sˆ aj chı la yj , j = 1, 2, 3. `´ eo ´nh ` . .i degP (x) = 2, d` thi y = P (x) la parabol d qua 3 d e m A, B, C. ’ + V´o ¯ˆ . o ` ¯i ¯iˆ .i degP (x) = 1, d` thi y = P (x) la d .`.ng th˘ng d qua 3 d e m A, B, C, ’ ’ + V´o ¯ˆ . o ` ¯u o a ¯i ¯iˆ khˆng cung phu.o.ng v´.i truc hoanh. o ` o ` .
15 + V´.i degP (x) = 0, d` thi y = P (x) la d .`.ng th˘ng d qua 3 d e m A, B, C, ’ ’ o ¯ˆ . o ` ¯u o a ¯i ¯iˆ cung phu.o.ng v´.i truc hoanh. ` o ` . .i cac minh hoa trˆn ta thˆ y r˘ ng, cˆng th´.c nˆi suy Lagrange chı la ”cac a` ´a V´ ´ o e o uo ´nh ` ´ . . gˆ c” cua mˆt sˆ phu.o.ng trı `nh d u.`.ng cong (ho˘c d u.`.ng th˘ng) d i qua cac d e m ’ ’ ´ .´ ’ o oo ¯o a ¯o a ¯ ´ ¯iˆ . cho tru.´.c trong m˘t ph˘ng toa d ˆ. ’ o a a . ¯o . . .´.i goc d o hı hoc. -o ` ´ o ´ D´ la ”cai gˆ c” nhı du o ´ ¯ˆ `nh . `n . .´.i d ay, v´.i mˆt goc nhı khac, cˆng th´.c nˆi suy Lagrange con la ”cai gˆ c” cua ´ ’ Du o ¯ˆ o o´ `n ´ o uo ``´o . . .c dang phˆn th´.c. hˆu hˆ t cac d` ng nhˆ t th´ . ` ´ ´ a e ´ ¯ˆ o a u a u Nhˆn xe t 2.2. a´ . V´.i d a th´.c P (x) co degP (x) ≤ n − 1 cho tru.´.c, cac sˆ aj trong (2.2) d .o.c thay ´ o¯ u ´ o´o ¯u . .i P (x ), v´.i j = 1, 2, · · · , n. ’ bo o j . ta thu. d i tı mˆt u.ng dung cua (2.5). ’ ¯ `m o ´ ’ Bˆy gi` a o . . Gia su. x1 , x2, · · · , xn la n sˆ thu.c phˆn biˆt, n ≥ 2. Xe d a th´.c ´. ’’ ` o a e ´t ¯ u . n P ( x) = xn − ( x − xi ) . (2.6) i=1 Da th´.c nay d u.o.c khai triˆ n du.´.i dang - ’ u `¯. e o. P (x) = S1 xn−1 − S2 xn−2 + S3 xn−3 − · · · + (−1)n+1 Sn , (2.7) trong d´ ¯o S 1 = x1 + x2 + · · · + xn ; S 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + · · · + x n −1 x n ; (2.8) ··· S n = x1 x2 · · · xn Bo.i (2.7), ta thˆ y r˘ ng degP (x) ≤ n − 1. a` ´a ’ . dang (2.6), ta co Ngoai ra, t` . ` u ´ P (xj ) = xn ; ∀j ∈ {1, 2, · · · , n}. j T`. d´ , ´ p dung (2.5), ta co u ¯o a ´ . n n x − xi xn (2.9) j xj − xi j =1 i=1,i=j
16 Dˆ thˆ y r˘ ng vˆ phai cua (2.9) la d a th´.c co hˆ sˆ du.ng tru.´.c xn−1 la ˜a` e´a ´ .´ ’’ e `¯ u ´ e o ¯´ o ` n xn j . (2.10) n i=1,i=j (xj − xi ) j =1 Bo.i (2.7), (2.8), (2.9), (2.10), ta co ’ ´ n n xn j = xj . (2.11) n i=1,i=j (xj − xi ) j =1 j =1 D˘ng th´.c (2.11) la mˆt d ˘ng th´.c liˆn quan d e n phˆn th´.c, thu.`.ng g˘p trong -a ’ .’ ´ u ` o ¯a ue ¯ˆ a u o a . .o.ng trı toan phˆ thˆng. ’o chu `nh ´ o . minh hoa mˆt vai tru.`.ng ho.p riˆng cua cˆng th´.c (2.11). ’ ’o Ta thu o` o e u . . . .i n = 2, ta co + V´ o ´ x2 x2 1 2 + = x1 + x2 x1 − x2 x2 − x1 hay x2 − x2 1 2 = x1 + x2 (2.12) x1 − x2 Ta thˆ y r˘ ng, d ang th´.c (2.12) chı la mˆt d ˘ng th´.c quen thuˆc. a` ’ .’ ´a ¯˘ u ´nh ` o ¯a u o . .i n = 3, ta co + V´ o ´ x3 x3 x3 1 2 3 + + = x1 + x2 + x3 . (2.13) (x1 − x2 )(x1 − x3) (x2 − x3)(x2 − x1 ) (x3 − x1)(x3 − x2) T`. d ˘ng th´.c (2.13), co thˆ sang tac thanh mˆt sˆ bai tˆp, ch˘ng han ’ ’ ’ .´ u ¯a u ´ e´ ´ ` oo`a a . . Vı du 2.1. Ch´.ng minh r˘ ng v´.i 3 sˆ nguyˆn bˆ t ky khac nhau t`.ng d ˆi mˆt, sˆ ` ´ ´ ´ ´. u a o o ea`´ u ¯o o o . ¯a ˜ .´ sau d ˆy cu ng la mˆt sˆ nguyˆn: `oo e a3 b3 c3 + + . (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) Vı du 2.2. Phˆn tı d a th´.c sau thanh nhˆn tu.: a’ ´. a ´ch ¯ u ` x3 y + y 3 z + z 3x − x3z − y 3x − z 3 y. Theo hu.´.ng trˆn, co thˆ sang tac d u.o.c kha nhiˆu bai tˆp phong phu. Ngoai ’ ` o e ´ e´ ´ ¯. ´ e `a ´ ` . . hai vˆ cua (2.5) d e tı thˆm nh˜.ng d ang ’ ’ ’ ´ ’ e’ ra, ta con co thˆ so sanh S2, S3 , ..., Sn o `´e ´ ¯ˆ `m e u ¯˘ .c khac. Sˆ d ˘ng th´.c tı d u.o.c se phong phu thˆm lˆn nˆ u ta tiˆ p tuc xe ´’ u `m ¯ . ˜ ´ ´ . ´t th´ u ´ o ¯a ´e ee e nh˜.ng d th´.c khac, v´.i degP (x) n − 1. u ¯a u ´ o
17 Bˆy gi`., ta tiˆ p tuc tı kiˆ m thˆm cac d ang th´.c theo mˆt hu.´.ng khac. ’ ´ ´ a o e . `m e e ´ ¯˘ u o o ´ . .i n sˆ phˆn biˆt x , x , ..., x , xe d th´.c: ´a V´ o o e12 ´t ¯a u . n n ω ( x) = ( x − xi ) . i=1 ˜` Ro rang degω (x) = n. ´ Thˆ thı e` n n ω ( x) = ( x − xi ) , j =1 i=1,i=j v´.i degω (x) = n − 1. o V´.i mˆi j ∈ {1, 2, ..., n}, ta co ˜ oo ´ n ω ( xj ) = ( xj − xi ) . i=1,i=j Bˆy gi`., v´.i mˆi j ∈ {1, 2, ..., n}, ta xe ham ˜ a oo o ´t ` n ω ( x) x − xi ω j ( x) = = . (2.14) ( x − xj ) ω ( xj ) xj − xi i=1,i=j Nhˆn xe r˘ ng, v´.i mˆi j ∈ {1, 2, ..., n}, (2.10) la mˆt d a th´.c va degωj (x) = ` ˜ a ´t a o o ` o¯ u` . . .c nay co tı chˆ t - ´ n − 1. Da th´ ` ´ ´nh a u ωj (xk ) = 0, v´.i k = j ; o ωj (xk ) = 1, v´.i k = j. o ., nˆ u d th´.c P (x) = a xn + a xn−1 + .. + a x + a , a = 0, co n o´ Bˆy gi` e ¯a u a ´ n n −1 1 0 n .c phˆn biˆt x , x , ..., x , thı P (x) = a ω (x). nghiˆm thu e a e12 ` . . . n n .i mˆi j ∈ {1, 2, ..., n}, ta co ˜ Do d´ , v´ ¯o o o ´ P (xj ) = an ω (xj ) hay P ( xj ) ω ( xj ) = . an Vˆy, v´.i mˆi j ∈ {1, 2, ..., n}, (2.10) con viˆ t d .o.c du.´.i dang ˜ ´ a oo ` e ¯u . o. . n an ω (x) x − xi ω j ( x) = = . (2.15) (x − xj )P (xj ) i=1,i=j xj − xi Bˆy gi`., ta ha y tı mˆt u.ng dung cua (2.15) d e tao ra nh˜.ng d ang th´.c m´.i. ’ ˜ `m o ´ ’ ’ a o ¯ˆ . u ¯˘ u o . . Tro. lai v´.i d th´.c P (x) = an xn + an−1 xn−1 + .. + a1x + a0 , an = 0, n ≥ 2, co ’ . o ¯a u ´
18 n nghiˆm thu.c phˆn biˆt x1, x2 , ..., xn. e a e . . . .i n gia tri phˆn biˆt x , x , ..., x , ´ p dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange d ˆ i ´ V´ o ´.a e12 na o uo ¯o . . . .i d th´.c f (x) = xk , k n − 1, ta co v´ ¯a u o ´ n k xk ω j ( x) x= j j =1 Bo.i (2.15), ta co ’ ´ n n n xk xk ω ( x) i=1,i=j (x − xi ) j j k x= = an . ( x − xj ) ω ( xj ) P ( xj ) j =1 j =1 Biˆ u th´.c cuˆ i cung la mˆt d th´.c co hˆ sˆ cua xn−1 la ’ ´ .´ ` o ¯a u ´ e o ’ e u o` ` . n xkj an . P ( xj ) j =1 So sanh cac hˆ sˆ cua d a th´.c xk , ta d .o.c cac d ang th´.c sau: ’ .´ ´ eo ’ ¯ ´ u ¯u . ´ ¯˘ u n xkj = 0, ∀k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 2}; (2.16) P ( xj ) j =1 n xk 1 = , v´.i k = n − 1. j o (2.17) P ( xj ) an j =1 Mˆt sˆ u.ng dung ´ 2.1.2 o o´ . . ` ` ’ Phˆn trong tˆm cua phˆn nay tˆp trung vao viˆc ´ p dung mˆt cach kha linh a a a`a ` ea o´ ´ . . . . . .c nˆi suy Lagrange dˆ giai mˆt sˆ bai toan kho, trong d´ co cac d` ’ .´ ¯e ’ hoat cˆng th´ o .o u oo` ´ ´ ¯o ´ ´ ¯ˆ e . .´.c, khu vu.c va quˆ c tˆ . ´´ ’ thi chon hoc sinh gioi trong nu o .`oe . . Bai toa n 2.1. Xac d. nh d a th´.c bˆc hai nhˆn gia tri b˘ ng 3; 1; 7, tai x b˘ ng −1; ´ .` ` ` ´ ´ ¯i ¯ ua a a a . . . .o.ng u.ng. 0; 3 tu ´ ’ Giai. Ta co x1 = −1, x2 = 0, x3 = 3 va f (x1 ) = 3, f (x2 ) = 1, f (x3 ) = 7. ´ ` ´ dung cˆng th´.c nˆi suy Lagrange v´.i n = 3, ta co: Ap . o uo o ´ . (x − 0)(x − 3) (x − 3)(x + 1) f (x) = f (−1) + f (0) (−1 − 0)(−1 − 3) (0 − 3)(0 + 1) (x + 1)(x − 0) = x2 − x + 1. +f (3) (3 + 1)(3 − 0)
19 Bai toa n 2.2. Cho a1 , a2, ..., an la n sˆ khac nhau. Ch´.ng minh r˘ ng nˆ u d a th´.c ` ´ ´ ` ´ ` o´ u a e¯ u .n ho.n n − 2, thı f (x) co bˆc khˆng l´ ´a o o `: . f (a1 ) f (an ) T= + ... + = 0. (a1 − a2)(a1 − a3)...(a1 − an ) (an − a1)(an − a2)...(an − an−1 ) Giai. Theo cˆng th´.c nˆi suy Lagrange thı moi d th´.c f (x) co bˆc khˆng l´.n ’ o uo `, . ¯a u ´a o o . . .n n − 1 d` u viˆ t d u.o.c du.´.i dang: ´ ho ¯ˆ e e¯. o. (x − a2 )(x − a3 )...(x − an ) (x − a1)(x − a3)...(x − an ) f (x) = f (a1 ) + f (a2 ) (a1 − a2)(a1 − a3)...(a1 − an ) (a2 − a1)(a2 − a3)...(a2 − an ) (x − a1 )(x − a2)...(x − an ) +... + f (an ) . (an − a1)(an − a2 )...(an − an−1 ) o. vˆ trai b˘ ng 0, con hˆ sˆ cua xn−1 o. vˆ phai la: Hˆ sˆ cua xn−1 ’e´` .´ ´ .´ ´ eo ’ ` eo ’ ’e ’` a f (a1 ) f (an ) T= + ... + . (a1 − a2)(a1 − a3)...(a1 − an ) (an − a1)(an − a2)...(an − an−1 ) Suy ra d iˆu phai ch´.ng minh. ¯` ’ e u Bai toa n 2.3. Ch´.ng minh r˘ ng nˆ u d a th´.c bˆc hai nhˆn gia tri nguyˆn tai ba ` ´ ` ´ u a e¯ ua a ´. e. . . .c nhˆn gia tri nguyˆn tai moi x ´ ´´ ’ gia tri nguyˆn liˆn tiˆ p cua biˆ n sˆ x, thı d a th´ ´. e e e eo `¯ u a ´. e. . . nguyˆn. e Giai. Gia su. f (k − 1), f (k ), f (k + 1) la nh˜.ng sˆ nguyˆn v´.i k nguyˆn. ’ ´ ’’ `u o eo e .c nˆi suy Lagrange cho d th´.c bˆc hai f (x) v´.i ba sˆ nguyˆn ´ ´ Ap dung cˆng th´ o o u. ¯a u a o o e . . k − 1, k , k + 1, ta co ´ (x − k )(x − k − 1) (x − k + 1)(x − k − 1) f (x) = f (k − 1) + f (k ) 2 −1 (x − k )(x − k + 1) +f (k + 1) . 2 -a D˘t m = x − k , ta co ´ . (m(m − 1) m(m + 1) + f (k )(m2 − 1) + f (k + 1) f (x) = f (k − 1) . 2 2 Vı tı hai sˆ nguyˆn liˆn tiˆ p chia hˆ t cho 2, nˆn f (x) nguyˆn v´.i moi x ´ ´ ´ ` ´ch o e e e e e eo . nguyˆn. e ´ Bai toa n 2.4. ` ´ Cho a1, a2, ..., an la n sˆ khac nhau. Goi Ai (i = 1, 2, ..., n) la ` o´ ` . phˆn du. trong phe chia d a th´.c f (x) cho x − ai. Ha y tı phˆn du. r(x) trong phe ˜ `m ` ` a ´p ¯ u a ´p chia f (x) cho (x − a1 )(x − a2 )...(x − an ).