Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Thêm vào BST

Báo xấu

90
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông làm rõ sự tiến triển thể chế đối với khái niệm giới hạn vô cực của hàm số từ chương trình chỉnh lý hợp nhất (2000) đến chương trình hiện hành (2006), từ đó xác định một phần mối quan hệ thể chế đối với khái niệm này trong chương trình hiện hành.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ KIM CÚC DẠY-HỌC GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK: Sách giáo khoa SGV: Sách giaó viên SGKHH: Các sách giáo khoa hiện hành SGVHH: Các sách giáo viên hiện hành SCL: Sách giaó khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 CTCLHN: Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 CTHH: Chương trình hiện hành SGK.C11: Sách giáo khoa đại số và giải tích cơ bản lớp 11 SGK.N11: Sách giáo khoa đại số và giải tích nâng cao lớp 11 SGV.C11: Sách giáo viên đại số và giải tích cơ bản lớp 11 SGV.N11: Sách giáo viên đại số và giải tích nâng cao lớp 11 SGK.C12: Sách giáo khoa giải tích cơ bản lớp 12 SGK.N12: Sách giáo khoa giải tích nâng cao lớp 12 SGV.C12: Sách giáo viên giải tích cơ bản lớp 12 SGV.N12: Sách giáo viên giải tích nâng cao lớp 12 SGKCB: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ bản. SGVCB: Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ bản. SGKNC: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 nâng cao và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 nâng cao. SGVNC: Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 nâng cao và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 nâng cao. SKG Mỹ: Sách giáo khoa Mỹ KNV: Kiểu nhiệm vụ NV: Nhiệm vụ
LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH, Khoa Toán-Tin Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học. - Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Bình Sơn, tỉnh Kiên Giang đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi học tập và nghiên cứu về didactic toán trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô Trường THPT Bình Sơn, Trường THPT Hòn Đất, tỉnh Kiên Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Trân trọng cảm ơn: - PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, đóng góp cho chúng tôi những chỉ dẫn cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. - GS.TS Annie BESSOT, GS.TS Claude COMITI đã cho chúng tôi những nhận xét và gợi ý hữu ích để thực hiện nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt. Nguyễn Thị Kim Cúc
MỞ ĐẦU I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát: Các nghiên cứu dạy học khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lý hợp nhất (từ 2000- 2006) cho thấy rằng học sinh chỉ hiểu khái niệm giới hạn như là việc thực hiện các thao tác đại số trên biểu thức để tính giới hạn (Lê Thái Bảo Thiên Trung 2004). Trong chương trình hiện hành, khái niệm giới hạn được đưa vào chương IV sách giáo khoa lớp 11 với mục tiêu của chương là “ đưa vào các khái niệm cơ sở của giải tích (giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục) qua đó bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô hạn và liên tục”. Theo Lê Văn Tiến (năm 2000) thì khái niệm giới hạn là khái niệm cơ sở của giải tích, những kĩ thuật đặc trưng của giải tích là: chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ và dấu ấn nổi bật của tư tưởng xấp xỉ dường như chỉ xuất hiện trong một số định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ  ,  hay  , N . Tuy nhiên vì mục đích giảm tải sách giáo viên Toán 11 của chương trình hiện hành nêu chú ý rằng : “không định nghĩa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số bằng ngôn ngữ  ,  ”. Các thực nghiệm trong các nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nguyễn Thành Long (2004) đối với chương trình chỉnh lý hợp nhất và Lê Thành Đạt (2011) đối với chương trình hiện hành chỉ giới hạn trên khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Như vậy, sự tiến triển của chương trình (từ chỉnh lý hợp nhất đến hiện hành) và các nghiên cứu riêng biệt trên khái niệm giới hạn vô cực chưa được quan tâm đúng mức. Trên cơ sở đó chúng tôi đặt ra câu hỏi ban đầu như sau: - Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong các sách giáo khoa hiện hành (SGKHH) có tiến triển gì so với sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000(SCL)? Học sinh có “bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô hạn và liên tục” như thể chế mong muốn không? - Mối quan hệ giữa khái niệm giới hạn vô cực với các khái niệm liên quan khác như: khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận, vai trò của giới hạn vô cực của hàm số trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số được các sách giáo khoa hiện hành tính đến như thế nào? - Trong thời đại công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ như hiện nay, khi mà hầu như mỗi học sinh đều có một máy tính bỏ túi thì vai trò của máy tình bỏ túi có được sách giáo khoa tính đến trong việc dạy học các khái niệm giới hạn vô cực của hàm số không, nếu có thì được tính đến như thế nào? II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu là:
- Lý thuyết nhân học, nhằm: + Tổng hợp phân tích các đặc trưng khoa học luận và chướng ngại khoa học luận của các khái niệm giới hạn trong các luận văn đã có. + Tổng hợp các quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học trong SCL. + Phân tích các quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học trong các SGK hiện hành. - Lý thuyết về học tập - sai lầm, nhằm giải thích các quy tắc hành động sai lầm của học sinh. - Lí thuyết tình huống để: xây dựng các tình huống thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả thuyết đưa ra trong quá trình nghiên cứu. III. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là nhằm làm rõ sự tiến triển thể chế đối với khái niệm giới hạn vô cực của hàm số từ chương trình chỉnh lý hợp nhất (2000) đến chương trình hiện hành (2006), từ đó xác định một phần mối quan hệ thể chế đối với khái niệm này trong chương trình hiện hành. Việc xác định mối quan hệ thể chế bằng cách phân tích các SGK và ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của học sinh thông qua thực nghiệm cho phép hiểu được thực trạng của việc dạy học khái niệm này để từ đó có cách cải tiến cho phù hợp. Phương pháp nghiên cứu: - Tổng hợp các công trình nghiên cứu để rút ra chướng ngại khoa học luận và đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Tổng hợp quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với khái niệm giới hạn trong các luận văn đã nghiên cứu. - Sử dụng những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn làm tri thức tham chiếu để phân tích chương trình, sách giáo khoa hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế, mối quan hê cá nhân đối với khái niệm giới hạn. - Trên cơ sở phân tích chướng ngại khoa học luận, phân tích các mối quan hệ thể chế ở trên chúng tôi xây dựng thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả thuyết đã nêu ra trong quá trình phân tích. - Từ việc phân tích quan hệ thể chế với yêu tố tin học, máy tính bỏ túi và quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn xây dựng và thực hiện công đoạn dạy học khái niệm giới hạn theo quan điểm xấp xỉ trong môi trường máy tính bỏ túi. IV. Tổ chức của luận văn Phần mở đầu: chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn.
Chương 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ Trình bày tổng hợp nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học và quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế từ việc nghiên cứu các công trình sau: + Luận án và luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004, 2007). + Luận văn của Nguyễn Thành Long (2004). + Luận văn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005). Từ đó đưa ra các kết luận và các câu hỏi nghiên cứu. Chương 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM HIỆN HÀNH Tiến hành phân tích sâu chương trình và SGK toán phổ thông Việt Nam nhằm trả lời các câu hỏi nghiên cứu về việc làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng giới hạn. Đồng thời xem xét sự lựa chọn khác của một SGK của Mỹ. Ở phần cuối của chương, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu. Chương 3: THỰC NGHIỆM Trình bày thực nghiệm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết đã nêu. Phần kết luận : Tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn.
CHƯƠNG 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ Mục tiêu của chương : Để làm tham chiếu cho việc phân tích thể chế ở chương 2, ở chương này chúng tôi tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có về giới hạn trên các phương diện : - Khoa học luân. - Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn vô hạn của chương trình chỉnh lí hợp nhất 2000. - Các đồ án didactic đã xây dựng. - Quan niệm của giáo viên và học sinh về vô hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000. - Mối liên quan của sự tiến triển của chương trình đến vai trò và vị trí của máy tính bỏ túi, vai trò của máy tính bỏ túi trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000. - Và xem xét những khái niệm liên quan đến khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Trên cơ sở đó đặt ra các câu hỏi mới cho các nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi. 1.1. Phương diện khoa học luận Dựa vào các nghiên cứu đã có của Cornu (1983), luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã đạt được những kết quả sau: Tổng kết và đặt tên lại ba quan điểm khoa học luận về khái niệm vô hạn:  Quan điểm đại số: Nó vận hành theo nguyên tắc “ không làm rõ bản chất của đối tượng mà nó vận hành” (Dahan-Dalmedico, 1982)  Quan điểm xấp xỉ x: “Chính là biến số sẽ kéo hàm số” “ Nếu một đại lượng x tiến về một giá trị a của đại lượng này ( theo nghĩa x nhận các gía trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y, đại lượng phụ thuộc vào đại lượng x (y là một hàm số của đại lượng x) tiến về một giá trị b. Nếu x dần dần xích gần lại giá trị a, đại lượng y xích gần lại b”.  Quan điểm xấp xỉ f(x): “Chính là độ xấp xỉ mong muốn sẽ kéo biến số” (Bkouche, 1996) “Quan điểm này được minh họa bởi sự xấp xỉ thập phân của một số a bằng một dãy các số thập phân (an)” (Lê Thái Bảo Thiên Trung, 2004) Định nghĩa bằng ngôn ngữ (ε, δ) không gì khác hơn là sự hệ thống hóa của khái niệm xấp xỉ này (Bkouche, 1996)
Nếu trong quan điểm xấp xí x, biến số sẽ kéo hàm số thì trong quan điểm xấp xỉ f(x), chính độ xấp xỉ mong muốn của f(x) sẽ qui định độ xấp xỉ của x.(trang 3) Chướng ngại khoa học luận chính của khái niệm giới hạn là khía cạnh vô hạn được Cornu (1983) cụ thể thành một số chướng ngại như sau: - Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: làm sao chắc chắn được rằng một số tồn tại nếu ta không tính được nó, làm sao suy luận trên các tiến trình vô hạn. Đây lại là một kiểu mới của những suy luận toán học đòi hỏi phải áp dụng. - Khái niệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn”: có tồn tại hay không các đại lượng chưa bằng không, nhưng chúng không thể gán được nữa? có tồn tại hay không các đại lượng “tan dần” mà chỉ qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng không? Có phải một số nhỏ hơn tất cả các đại lượng dương cho trước thì bằng không. - Một giới hạn có thể đạt tới hay không? - Các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu; một tổng vô hạn có thể là một số hữu hạn; hai đại lượng tiến về không nhưng tỷ số của chúng lại tiến về một lượng hữu hạn. (trang 2) Nhóm nghiên cứu của Bosch (2002) đã đề nghị hai tổ chức toán học địa phương quy chiếu của khái niệm giới hạn sau đây: - OM1 đại số các giới hạn xoay quanh vấn đề tính các giới hạn đã tồn tại bằng các thao tác đại số. - OM2 tôpô các giới hạn xoay quanh vấn đề tồn tại giới hạn của một hàm số. Hai TCTH này đã được Lê Thái Bảo Thiên Trung (năm 2004) làm rõ như sau: “Đại số các giới hạn (OM1) là kết quả của việc mô hình hóa các quy tắc đại số về sự chuyển qua giới hạn trong các phép toán hàm số. OM1, xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn, xuất phát từ sự giả sử sự tồn tại giới hạn hàm số và chỉ đặt vấn đề làm sao xác định giá trị giới hạn của những hàm số quen thuộc. Vấn đề này được xử lí qua các kiểu nhiệm vụ như: tính giới hạn của hàm số f(x) khi x->a, với a là số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một điểm hay vô cực. Những kĩ thuật toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ này về cơ bản dựa trên sự thực hiện các thao tác đại số trên biểu thức f(x). Công nghệ tối thiểu của OM1 gỉai thích cho các kĩ thuật có thể được miêu tả, chẳng hạn, bằng một hệ thống tiên đề của Lang trong quyển Calculus(1986). OM1 cho phép tránh vấn đề vô hạn của khái niệm giới hạn và gắn ký hiệu lim f ( x ) hoặc với một số thực xa hoặc với vô cùng. OM2, xoay quanh bản chất topo của khái niệm giới hạn, có ý định muốn đề cập đến bản chất của đối tượng “giới hạn hàm số” và trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một
kiểu xác định các hàm số. Câu hỏi này được xử lí qua một số kiểu nhiệm vụ như: chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại giới hạn của một hàm số f(x) khi x -> a với a là số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một điểm hay vô cực; chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại các giới hạn tại các biên của một khoảng cho một số lớp xác định các hàm số; chứng minh các tính chất về các phép toán trên các giá trị giới hạn của các hàm số, một cách đặc biệt bao gồm sự chứng minh các quy tắc tính toán, là công nghệ tối thiểu của OM1. Công nghệ tối thiểu của OM2 (giải thích cho các kĩ thuật toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ này) được tập trung trên việc sử dụng các tính chất giới hạn của dãy số và trên định nghĩa cổ điển bằng ngôn ngữ  ,  . Như vậy có thể nói OM1 là một phần chứa trong OM2. Hai TCTH này chứa đựng một hệ thống lý thuyết nhỏ xoay quanh vấn đề xây dựng các số thực. Hai TCTH địa phương này được kết hợp trong một miền trả lời, chẳng hạn cho câu hỏi về sự khả vi của một kiểu hàm số, hay trả lời cho câu hỏi về sự khả tích. Người ta sử dụng cấu trúc đã mô tả của TCTH tham chiếu để giải thích cho TCTH cần giảng dạy bằng cách xác định: - Những gì là dấu vết của OM1 trong thể chế dạy học - Những gì là dấu vết của OM2 trong thể chế dạy học 1.2. Phương diện thể chế: Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004) đã thực hiện nghiên cứu trên chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đã đưa ra những kết luận như sau: 1.2.1 Về chương trình: - Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn là: Giới hạn dãy số  Giới hạn hàm số  Hàm số liên tục. - Giới hạn dãy số được khẳng định là công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số. Chương trình còn yêu cầu không dùng ngôn ngữ  ,  để định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và yêu cầu thừa nhận, không chứng minh các định lý về giới hạn. Như vậy chương trình năm 2000 đã yêu cầu nhấn mạnh quan điểm đại số của khái niệm giới hạn và tránh quan điểm xấp xỉ.  Còn chương trình hiện hành thì sao? 1.2.2 Về lý thuyết: - Khái niệm dãy số có giới hạn là a được đưa ra theo hình thức ngôn ngữ  ,  dựa vào việc kết hợp minh họa hình học, thao tác đại số trên khoảng cách, thao tác với  ,  . Định nghĩa này thể hiện quan điểm xấp xỉ x và quan điểm xấp xỉ f(x). Như vậy ở đây có sự mâu thuẫn
giữa chương trình và SGK, chương trình yêu cầu không dùng ngôn ngữ  ,  để định nghĩa giới hạn nhưng SGK vẫn dùng ngôn ngữ hình thức này. - Các định lí về giới hạn dãy số được đưa ra nhưng không chứng minh. - Khái niệm dãy số dần tới vô cực được định nghĩa bằng ngôn ngữ (M,N) sau khi xét một dãy số mà dạng khai triển của nó cho thấy un có thể lớn bao nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn. - Khái niệm giới hạn hàm số: “Sách giáo khoa định nghĩa giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới a thông qua giới hạn của hàm số (f(xn)) và (xn)”, như vậy đã né tránh quan điểm xấp xỉ f(x) mà nhấn mạnh quan điểm xấp xỉ x. - Sách giáo khoa còn giới thiệu tường minh các dạng vô định: 0  ; ; 0   và    khi x  x0 hay x   . 0  - Trong sách giáo khoa tồn tại kí hiệu  và không phân biệt  và + ,  tùy trường hợp có thể được hiểu là  hoặc  - lim f ( x)   (a hữu hạn hoặc vô hạn) chỉ là kí hiệu, viết như thế thực ra hàm số f(x) không có x a giới hạn khi x dần đến a.  Các yếu tố này được thể hiện trong phần giới hạn vô cực của hàm số ở SGK hiện hành như thế nào? Theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Phương Mai (2004) về “Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn” thì trong SGKCL có hiện tượng thiếu công nghệ. Cụ thể SCL không đưa vào các định lí sau nhưng trong bài giải của SGV hoặc SGK lại có sử dụng chúng: 1. Nếu lim un  a thì lim 3 un  3 a un 2. Nếu lim un  a (a  0) và lim vn  0 thì lim   (SCL chỉ xét trường hợp a=1) vn 3. Nếu lim un   thì lim un  C   , với C là hằng số. 4. Nếu lim un   thì lim(un )k   , với k nguyên dương. 5. Nếu lim un   thì lim 2k 1 un   , với k nguyên dương. 6. Nếu lim un   và lim un   thì limu n vn   . 7. Nếu lim un  a (a  0) và lim un   thì limu n vn   8. Đại số các vô cực:
C   .C   (C  0)  n   (n  ) n     9. Và tồn tại một mâu thuẫn: người ta cấm viết lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x )  lim g ( x)      0 nhưng lại chấp nhận cách viết x a xa x a lim ( x 2  x  3  x)    ()   x  10. Nếu lim f ( x)   và lim f ( x )  L  0 thì lim f ( x) g ( x)   x  x   x   Như vậy, trong các SGKHH, các yếu tố công nghệ trên có được đưa vào không, có còn mâu thuẫn tương tự không? 1.2.3. Về các tổ chức toán học: Theo Nguyễn Thành Long (2004) thì sách giáo khoa năm 2000 có 7 TCTH tương ứng với 7 kiểu nhiệm vụ như sau: T1: Chứng minh dãy số (un) có giới hạn là a. T2: Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy số. T3: Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số. T4: Chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại giới hạn của hàm số. T5: Tìm giá trị của tham số để tồn tại giới hạn của hàm số. T6: Phát biểu định nghĩa giới hạn của hàm số (mở rộng) T7: Tính tổng của cấp số nhân Các kiểu nhiệm vụ trên được chia làm 3 nhóm tương ứng như sau: Loại 1: Cho phép thao tác kĩ thuật theo bản chất giải tích, bao gồm các nhiệm vụ T1, T2, T3(9,1%) Loại 2: Cho phép đề cập vài yếu tố của quan điểm xấp xỉ x, bao gồm nhiệm vụ: T6 (3,9%) Loại 3: Chỉ dụng đến các phép toán đại số giới hạn, bao gồm các kiểu nhiệm vụ: T3, T4, T5, T7 (87%) Như vậy thể chế dạy học nhấn mạnh quan điểm đại số hoá trong việc xây dựng và tổ chức kiến thức cần giảng dạy về giới hạn. Tư tưởng xấp xỉ chỉ thể hiện thoáng qua ở học sinh. Quan điểm động học thể hiện rất mờ nhạt  Trong SGKHH, các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào với tỉ lệ như thế nào, có TCTH nào mới được đưa vào, TCTH nào không được đưa vào nữa? 1.2.4. Về các hợp đồng didactic
Tồn tại các quy tắc hành động R1: Học sinh không có trách nhiệm khảo sát hàm số phải tính giới hạn, không phải dự đoán giới hạn, không xem xét hàm số và không quan tâm đến tính thích đáng của bài tập. R2: Học sinh phải biết tính các giới hạn mà sách giáo khoa hay giáo viên yêu cầu, chủ yếu dưới dạng tính lim f ( x) ( a hữu hạn hay vô hạn) bằng cách nhận dạng chúng sau đó thực x a hiện các quy tắc hành động tương ứng. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) Sau khi phân tích, so sánh các bộ sách giáo khoa, các tác giả đã đưa ra kết luận: - Sách giáo khoa hiện hành (sách giáo khoa 2000) chỉ tạo thuận lợi cho quan điểm đại số về giới hạn ở học sinh. Ngược lại quan điểm xấp xỉ ít khi có mặt. - Các chướng ngại khoa học luận vẫn tìm thấy ở học sinh Việt Nam ngày nay: nhất là câu hỏi: có thể đạt được giới hạn hay không? - Định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số bằng “ngôn ngữ dãy số” trong sách giáo khoa hiện hành không mang ý nghĩa gì đối với học sinh. - Tránh quan điểm xấp xỉ, nhấn mạnh quan điểm đại số, giới hạn hàm số gần như là hệ quả của giới hạn dãy số. - Các định nghĩa và định lí về giới hạn hầu như vừa có vai trò nêu kĩ thuật giải của kiểu nhiệm vụ tương ứng vừa có vai trò công nghệ giải thích cho các kĩ thuật đó.  Như vậy câu hỏi đặt ra cho phần này là: Quan hệ thể chế dạy học Việt Nam đối với khái niệm giới hạn trong chương trình hiện hành có tiến triển như thế nào so với chương trình năm 2000, quan điểm nào của khái niệm giới hạn có mặt, quan điểm nào được nhấn mạnh và quan điểm nào không? Chúng tôi sẽ phân tích quan hệ thể chế dạy học Việt Nam hiện hành để trả lời các câu hỏi trên, và chỉ giới hạn để tài trong phạm vi giới hạn vô cực của hàm số. 1.2.5. Về quan niệm của học sinh về khái niệm vô hạn: Như nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung(2004) đã rút ra: Chướng ngại khoa học luận chính yếu của khái niệm giới hạn chính là khía cạnh vô hạn. Nghiên cứu quan niệm của học sinh về khái niệm vô hạn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005) trong thể chế dạy học chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đã đưa ra những kết luận như sau: - Trong thể chế phổ thông Việt Nam, vô hạn không phải là đối tượng nghiên cứu. Tuy nhiên khái niệm vô hạn vẫn tác động ngầm ẩn hoặc tường minh trong nhiều nội dung thuộc các phạm vi: phạm vi số, phạm vi hình học, phạm vi giải tích. Ứng với mỗi phạm vi, phụ thuộc vào tình huống tác động sẽ nảy sinh những quan niệm khác nhau về vô hạn.
- Quan niệm của đa số học sinh về vô cực là: Vô cực là một cái gì đó ở xa mãi hai đầu của trục số. Vô cực là một cái gì đó rất lớn và không có giới hạn. Dương vô cực là số lớn hơn tất cả các số, âm vô cực là số bé hơn tất cả các số. Vô cực là một cái gì đó rất lớn và không có giới hạn. - Giáo viên và học sinh nhất trí khá cao khi cho rằng vô hạn và vô cực là hai khái niệm khác nhau, quan niệm của họ về vô hạn và vô cực rất phong phú, thể hiện như sau: Vô hạn là một cái gì đó không có bờ, mênh mông, vượt qua tất cả các giới hạn đã biết, không xác định được ranh giới Vô hạn được hiểu như một quá trình, một hành động có thể thực hiện mãi không dừng. Vô hạn là phủ định của hữu hạn. Dương vô cực là số lớn hơn tất cả các số, âm vô cực là số bé hơn tất cả các số. Vô cực là một cái gì đó ở xa mãi hai đầu của trục số. 1.3. Các đồ án didactic đã xây dựng: Từ những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn và từ những ràng buộc thể chế của chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, để dạy học khái niệm giới hạn hàm số đã có hai đồ án didactic được xây dựng nhằm giúp học sinh tiếp cận khái niệm này theo quan điểm xấp xỉ.  Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã xây dựng đồ án nhằm tổ chức một lần gặp gỡ mới với khái niệm giới han hàm số nhằm giới thiệu một quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn trong phạm vi số học với môi trường máy tính bỏ túi. Nội dung của đồ án là: x 2  0,1x-0,02 Cho hàm số f xác định bởi công thức: f(x)= 0, 25x 2  0.01 Phiếu 1: Giải phương trình f(x)=3 Phiếu 2A: Hãy tìm ba giá trị của x sao cho 2,99  f ( x)  3, 01 Phiếu 2A: Hãy tìm ba giá trị của x sao cho 2,99  f ( x)  3, 01 Phiếu 3A(dành cho nhóm làm phiếu 2A): Hãy đề nghị một cặp số (x; f(x)) sao cho giá trị f(x) gần số 3 nhất mà em có thể tìm được và x
Cả hai thực nghiệm đã cho thấy học sinh vừa biết thực hiên các thao tác đại số vừa nhận thức được các yếu tố ban đầu về xấp xỉ. Như vậy, dù thể chế có nhấn mạnh quan điểm đại số hoá đến đâu thì quan điểm xấp xỉ vẫn có thể tiếp cận được. Tuy nhiên, hai thực nghiệm này thuộc hai lĩnh vực tách biệt: phạm vi số và phạm vi hình học.  Vậy có thể xây dựng đồ án dạy học khái niệm giới hạn ở vô cực trong môi trường tích hợp cả hai phạm vi số và hình học nhằm giới thiệu khái niệm giới hạn vô cực theo quan điểm xấp xỉ không? 1.4. Các khái niệm có liên quan: - Khái niệm giới hạn là khái niệm cơ sở của giải tích nên có khá nhiều khái niệm toán học được đưa vào chương trình toán phổ thông có liên quan đến khái niệm giới hạn như: Khái niệm hàm số liên tục, khái niệm đạo hàm, khái niệm các đường tiệm cận …Như đã nói ở trên, chúng tôi chỉ giới hạn đề tài này trong phạm vi khái niệm giới hạn vô cực của hàm số nên chỉ xét đến khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. - Bên cạnh đó khái niệm giới hạn hàm số còn liên quan đến việc tính các giới hạn của hàm số trong việc khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12. Trong thể chế dạy hoc hiện hành, khái niệm giới hạn vô cực mang quan điểm gì trong việc định nghĩa các khái niệm trên? 1.5. Về vai trò của máy tính bỏ túi: Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã nghiên cứu các chương trình liên tiếp ở Việt Nam để thấy sự có mặt của các yếu tố tính toán và tin học trong các chương toán trình liên tiếp của cấp THCS và THPT ở Việt nam: Giai đoạn trước cải cách giáo dục (trước nắm1985) Giai đoạn cải cách giáo dục từ 1986 đến 1999. Chương trình được áp dụng kể từ năm 2000 (chương trình chỉnh lý và hợp nhất). Chương trình thí điểm Đã đưa ra các nhận xét: - Sự có mặt và tiến triển của máy tính bỏ túi đi cùng với sự biến mất của bản tính và sự giảm yêu cầu tính nhẩm và tính nhanh. - Ở THCS, máy tính bỏ túi chỉ đóng vai trò hỗ trợ các phép tính số và nhất là thay thế các bảng số. Ở THPT, có quy định các kiểu máy tính bỏ túi được phép sử dụng trong các cuộc thi tú tài và thi tuyển sinh đại học nhưng máy bỏ túi không được tính đến trong tiến trình dạy học.
- Mặc dù máy tính bỏ túi xuất hiện và tiến triển, các bản số vẫn tồn tại. Như vậy, máy tính bỏ túi chỉ được khuyến khích chứ không bắt buộc. - Các kiến thức tin học không được tính đến trong việc giảng dạy với máy tính bỏ túi (máy đồ thị, máy lập trình…). Khi nói về tin học, các trương trình ám chỉ sử dụng máy tính điện tử. 1.6. Kết luận: Các tác giả đã có các nghiên cứu chi tiết và đã đưa ra nhiều kết quả thú vị về:  Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn.  Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.  Quan niệm của giáo viên và học sinh về vô hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000  Mối liên quan của sự tiến triển của chương trình đến vai trò và vị trí của máy tính bỏ túi, vai trò của máy tính bỏ túi trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.  Xây dựng được một đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn của hàm số trong môi trường máy tính bỏ túi và một đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn của hàm số trong phạm vi hình học. Các tác giả chưa nghiên cứu vai trò công cụ của khái niệm giới hạn. : 1.7 Câu hỏi nghiên cứu: Từ tổng hợp các công trình nghiên cứu đã có, chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên cứu sau: Q1: Trong các SGK hiện hành, Giới hạn vô cực của hàm số tiến triển như thế nào so với chương trình chỉnh lí hợp nhất. Q2: Giới hạn vô cực có vai trò gì đối với các khái niệm liên quan. Q3: Máy tính bỏ túi có vai trò gì trong việc dạy học giới hạn vô cực của hàm số. Chúng tôi sẽ phân tích thể chế hiện hành để trả lời các câu hỏi trên trong chương 2
CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM HIỆN HÀNH Mục tiêu của chương: Mục tiêu ở chương này của chúng tôi là sử dụng tri thức tham chiếu ở chương I để phân tích thể chế hiện hành của Việt Nam và Mỹ nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi: Q1: Trong các SGK hiện hành, Giới hạn vô cực của hàm số tiến triển như thế nào so với chương trình chỉnh lí hợp nhất ? Q2: Giới hạn vô cực có vai trò gì đối với các khái niệm liên quan? Q3: Máy tính bỏ túi có vai trò gì trong việc dạy học giới hạn vô cực của hàm số? Đồng thời xét xem SGK Mỹ có lựa chọn nào khác các SGK Việt Nam trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn vô cực không? Nghĩa là chúng tôi sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế của Việt Nam đối với khái niệm đang xét không chỉ với tư cách là đối tượng dạy học mà còn với tư cách là công cụ toán học. Cụ thể: - Với tư cách là đối tượng nghiên cứu, chúng tôi sẽ xem xét khái niệm giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào SGK hiện hành của Việt Nam theo quan điểm nào. Các SGK hiện hành của Việt Nam có gì tiến triển so với SGK của chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 : về quan điểm giới hạn và về các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số? - Với tư cách là công cụ toán học, khái niệm giới hạn vô cực của hàm số thể hiện quan điểm gì trong các khái niệm liên quan như khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên … ? Đồng thời xem xét sự lựa chọn của SGK Mỹ tương ứng mỗi phần. Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để thực hiện nghiên cứu chương này là:  Bộ sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 của NXB Giáo Dục do nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn biên soạn bao gồm: - Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán lớp 11.(TLHDGD Toán 11) - Đại số và Giải tích 11 (kí hiệu là SCL) Hai Bộ sách giáo khoa hiện hành là: Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD, 2006 (kí hiệu là CTHH)  Bộ sách giáo khoa cơ bản: gồm: - SGK Đại số và giải tích 11 (SGK.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên. - SGV Đại số và giải tích 11 (SGV.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên.
- SGK Giải tích 12 (SGK.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất. - SGV Giải tích 12 (SGV.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất.  Bộ sách Giáo khoa nâng cao gồm: gồm: - SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao. (SGK.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng. - SGV Đại số và giải tích 11 nâng cao. (SGV.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng. - SGK Giải tích 12 (SGK.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng. - SGV Giải tích 12 (SGV.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng  Sách Giáo khoa Mỹ: Quyển Precalculus (graphical, nemberical, algebraic) (kí hiệu là SGKM) của nhóm tác giả: Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D.Foley, Daniel Kennedy. Đây là quyển thứ ba trong ba quyển sách được dạy cho học sinh phổ thông ở trường quốc tế Bắc Mỹ. 2.1. Phân tích chương trình Trong phần này chúng tôi sẽ nghiên cứu nội dung chương trình liên quan đến khái niệm giới hạn mà không tách biệt phần giới hạn vô cực của hàm số. Chúng tôi sẽ phân tích chương trình hiện hành và so sánh với chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 nhằm tìm ra sự tiến triển về chương trình của khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong chương trình hiện hành so với chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để thực hiện nghiên cứu phần này là: TLHDGD Toán 11 năm 2000 (xem như đây chính là tài liệu giải thích cho chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000) và Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD, 2006 (kí hiệu là CTHH) và SGV.C11 và SGV.N11 (chúng tôi xem hai quyển SGV này như là tài liệu giải thích cho chương trình hiện hành). Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào yêu cầu của chương trình hiện hành đối với khái niệm giới hạn để xem chương trình hiện hành nói gì trong việc thể hiện các quan điểm của khái niệm giới hạn. “Giới hạn dãy số: Khái niệm giới hạn của dãy số. Một số định lí về giới hạn của dãy số. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Dãy số dần tới vô cực. Về kiến thức: - Biết khái niệm giới hạn của dãy số ( thông qua ví dụ cụ thể)
- Biết ( không chứng minh) + Nếu limun=L, un  0, n thì un  0, và lim un  L un + Định lí về lim(un  vn ), lim(un .vn ), lim vn Về kĩ năng: 1 1 - Biết vận dụng lim  0, lim  0, lim q n  0 với q  1 để tìm giới hạn của một số dãy số đơn n n giản. - Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.” [CTHH, tr162] Như vậy trong phần giới hạn dãy số, việc CTHH yêu cầu thông qua ví dụ cụ thể hình thành cho học sinh khái niệm giới hạn của dãy số, phải chăng, CTHH muốn học sinh hiểu được khái niệm giới hạn theo quan điểm xấp xỉ? Còn các định lí thì không yêu cầu chứng minh mà chỉ cần biết vận dụng vào việc tìm các giới hạn đơn giản phần nào cho thấy TCHH cũng thể hiện quan điểm đại số của khái niệm này. Và kĩ năng chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh chính là tính các giới hạn dãy số đơn giản. “Giới hạn hàm số: Khái niệm giới hạn của hàm số. Giới thiệu một số định lí về giới hạn của hàm số. Giới hạn một bên. Giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số ở vô cực và giới hạn vô cực của hàm số. Về kiến thức: - Biết khái niệm giới hạn hàm số (với ghi chú: không dùng ngôn ngữ  ,  để định nghĩa giới hạn). - Biết (không chứng minh) + Nếu lim f ( x)  L, f ( x)  0 với x  x 0 thì L  0, và lim f ( x)  L x  xo x  x0 f ( x) + Định lí về giới hạn: lim [f ( x )  g ( x )], lim [f(x).g(x)], lim x  x0 x  x0 x  x0 g ( x) Về kĩ năng: Trong một số trường hợp đơn giản tính được: - Giới hạn của hàm số tại một điểm - Giới hạn một bên của hàm số - Giới hạn của hàm số tại   ” [CTHH, tr163] Ở phần giới hạn hàm số cũng tương tự như phần giới hạn dãy số, CTHH có vẻ như thể hiện quan điểm đại số của giới hạn. Và kĩ năng chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh chính là tính các giới hạn các hàm số. Để thấy rõ hơn sự tiến triển về mặt yêu cầu chương trình của khái niệm giới hạn trong thể chế hiện hành so với thể chế chỉnh lí hợp nhất năm 2000, chúng tôi dựa vào SGV.C11, SGV.N11, TLHDGD toán lớp 11 năm 2000, CTHH lập bảng so sánh như sau:
Bảng so sánh chương trình: Yếu tố so sánh CTCLHN CTHH Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các khái niệm liên quan: Giới hạn dãy số  Giới x x hạn hàm số  Hàm số liên tục.  Đạo hàm  Tiệm cận Công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số: Giới x x hạn dãy số Ngôn ngữ hình thức  ,  : Không dùng ngôn ngữ  ,  để định nghĩa giới hạn dãy số, giới x x hạn hàm số Các định lí, quy tắc tính giới hạn: Yêu cầu thừa nhận, không chứng minh các định lý về x x giới hạn. Liên quan đến vô cực +) Không phân biệt  Phân biệt  và  , hay  , tồn tại kí hiệu không tồn tại kí hiệu  . nhưng có nhận xét rằng +) lim f ( x)   chỉ là âm vô cực và dương vô x a cực được gọi chung là kí hiệu chứ không phải vô cực. là số nên không được +) lim f ( x)   áp dụng các định lí về x a giới hạn hữu hạn cho (hoặc lim f ( x)   ) x a các trường hợp nghĩa là hàm số f(x) có lim f ( x)   x a giới hạn là  (hoặc  ) và được phép vận dụng các định lí về giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào SGKHH. Định lí giới hạn kẹp và định lí về tính duy Có đưa vào Không đưa vào. nhất của giới hạn, định lí về tính bị chặn của dãy số có giới hạn hữu hạn, định lí
Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các khái niệm liên quan như trên cho thấy CTHH Việt Nam khá chú trọng đến trình tự logic tóan học của khái niệm giới hạn số với các khái niệm liên quan. Bên cạnh đó, cũng như CTCLHN, CTHH cũng yêu cầu không dùng ngôn ngữ  ,  để định nghĩa giới hạn hàm số. Điều khác biệt lớn giữa CTCLHN và CTHH là sự phân biệt  và   và thừa nhận lim f ( x)   cũng là giới hạn của hàm số, nên đã đưa vào những quy tắc và định lí liên quan. Việc khác biệt này được SGV.C11 giải thích như sau:: “Đặc biệt, trong SGK trước đây, tùy trường hợp mà kí hiệu  có thể được hiểu theo nhiều cách khác nhau như ,  hay hỗn hợp cả hai. Tuy nhiên, trong việc khảo sát hàm số ở lớp 12, ta chỉ nghiên cứu tính chất của hàm số ở  hay  chứ không xét chung chung ở vô cực. Ngay ở bậc đại học, khi xét tập số thực mở rộng ta cũng bổ sung hai phần tử là  và  chứ không sử dụng kí hiệu  . Như vậy, SGK cơ bản phân biệt một cách rõ ràng  và   , đồng thời xem  là giới hạn của dãy số, chứ không giống sách giáo khoa năm 2000 là dùng khái niệm lim un   nhưng lại không coi  n  là giới hạn của dãy số (un), vì lí do  là một kí hiệu chứ không phải là một số thực.” [SGV.C11, tr122] Còn SGV.N11 thì giải thích: “Vì  là một tập sắp thứ tự, việc trình bày như thế là hợp lí, đơn giản hơn và có phần dễ hiểu hơn” [SGV.N11, tr169] Cả hai cách giải thích đều tham chiếu từ tính chất đặc trưng của tập hợp số thực R và tập số thực mở rộng R  ;  từ quan điểm toán học. Sách giáo khoa cơ bản còn đề cập đến vai trò của khái niệm giới hạn trong việc khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12 và như vậy thể chế đã tính đến vai trò công cụ của khái niệm giới hạn. Về các dạng vô định: Giảng dạy tường minh về các dạng vô định không bị bắt buộc trong chương trình hiện hành. Sách giáo viên cơ bản giải thích về điều này như sau: “Chương trình yêu cầu không đưa vào một mục chuyên biệt về Giới hạn dạng vô định như sách giáo khoa trước đây và sách giáo khoa nâng cao với mục đích chủ yếu là giảm tải. Tuy nhiên, nghiên cứu giới hạn không thể tránh khỏi việc tính các giới hạn thuộc các dạng vô định. Vì thế SGK chỉ đưa vào các ví dụ, bài tập đơn giản nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu đạo hàm trong chương sau và khảo sát hàm số ở lớp 12. Do đó giáo viên không nên khai thác quá sâu vào các bài tập mà việc khử dạng vô định đòi hỏi các kĩ thuật biến đổi phức tạp. Hơn nữa yêu cầu học sinh giải các bài tập phức tạp, lắt léo về giới hạn thuộc dạng vô định thì cũng chỉ có tác dụng rèn luyện kĩ năng biến đổi đại số chứ chưa hẳn làm cho các em hiểu rõ thêm về giới hạn của hàm số.”