Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học khái niệm giới hạn dãy số trong môi trường Sketchpad

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:128

Thêm vào BST

Báo xấu

118
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn tham khảo luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học khái niệm giới hạn dãy số trong môi trường Sketchpad sau đây để nắm bắt những nội dung về đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn, giới hạn dãy số trong chương trình và sách giáo khoa THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học khái niệm giới hạn dãy số trong môi trường Sketchpad

BỘ GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Anh Quốc DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG MÔI TRƯỜNG SKETCHPAD LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Anh Quốc DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG MÔI TRƯỜNG SKETCHPAD Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊ NGA Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những trích dẫn trong luận văn đều chính xác và trung thực.
LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Nga, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô: PGS-TS Lê Văn Tiến, PGS-TS Lê Thị Hoài Châu, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng dạy tôi trong hai năm học qua. Xin cảm ơn quý lãnh đạo, quý thầy cô Phòng Sau Đại Học trường ĐHSP Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học của mình. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến BGH trường THPT Châu Văn Liêm cùng tập thể học sinh lớp 10A6 đã giúp đỡ tôi trong thời gian tiến hành thực nghiệm luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tập thể lớp Didactic toán K23 đã cùng tôi sẻ chia những khó trong học tập suốt hai năm qua. Cuối cùng tôi xin chân thành biết ơn những người thân trong gia đình và những người bạn thân thiết đã cỗ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập của tôi. NGUYỄN ANH QUỐC
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Lời cảm ơn Danh mục viết tắt Danh mục các bảng Danh mục các hình vẽ MỞĐẦU ................................................................................................................. 1 Chương 1. ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN 6 1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn ................................. 6 1.2. Phạm vi tác động và các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn ............... 7 1.2.1. Phạm vi tác động của khái niệm giới hạn ................................................. 7 1.2.2. Các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn ......................................... 8 1.3. Các đối tượng có liên quan đến khái niệm giới hạn......................................... 8 1.4. Chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn ........................................ 9 1.5. Các quan điểm về khái niệm giới hạn ............................................................ 10 1.6. Các tổ chức toán học tham chiếu ................................................................... 11 1.7. Kết luận chương I và một số câu hỏi nghiên cứu........................................... 12 Chương 2. GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA THPT ....................................................................................... 14 2.1. Phân tích chương trình ................................................................................... 14 2.1.1. Đối với chương trình chuẩn .................................................................... 14 2.1.2. Đối với chương trình nâng cao ............................................................... 16 2.2. Phân tích SGK ................................................................................................ 17 2.2.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn của dãy số ................................. 17 2.2.2. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0.............................................................. 19 2.2.3. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn................................................... 22 2.2.4. Vai trò của giới hạn dãy số ..................................................................... 26 2.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số......................... 29 2.4. Kết luận chương 2 .......................................................................................... 36 Chương 3. THỰCNGHIỆM ................................................................................... 39
3.1. Hình thức và đối tượng thực nghiệm ............................................................. 39 3.2. Nội dung thực nghiệm .................................................................................... 39 3.2.1. Tình huống tiếp cận phần mềm Sketchpad ............................................. 40 3.2.2. Tình huống thực nghiệm ......................................................................... 40 3.3. Dàn dựng kịch bản ......................................................................................... 45 3.4. Những sự lựa chọn cho tình huống thực nghiệm ........................................... 47 3.5. Phân tích tiên nghiệm ..................................................................................... 48 3.5.1. Biến và giá trị của chúng......................................................................... 48 3.5.2. Chiến lược, cái có thể quan sát được, sự ảnh hưởng của biến và môi trường phản hồi từ phần mềm.................................................................. 49 3.6. Phân tích hậu nghiệm ..................................................................................... 54 3.6.1. Phân tích Phiếu số 1 (Pha 1) ................................................................... 54 3.6.2. Phân tích phiếu số 2 (pha 2) .................................................................... 55 3.6.3. Phân tích phiếu số 3 (pha 3) .................................................................... 57 3.6.4. Phân tích pha 4 ........................................................................................ 65 3.6.5. Phân tích phiếu số 4 (pha 5) .................................................................... 68 3.6.6. Phân tích phiếu số 5 (pha 6) .................................................................... 68 3.6.7. Phân tích phiếu số 6 (pha 7) .................................................................... 69 3.6.8. Phân tích pha 8 ........................................................................................ 73 3.7. Kết luận thực nghiệm ..................................................................................... 75 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 80 PHỤCLỤC
DANH MỤC VIẾT TẮT SBT : Sách bài tập SBTC11 : Sách bài tập chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành SBTN11 : Sách bài tập chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành SGK :Sách giáo khoa SGKC11 : Sách giáo khoa chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành SGKN11 : Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành SGVC11 : Sách giáo viên chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành SGVN11 : Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành THPT : Trung học phổ thông
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn dãy số trong ........31 Bảng 3.1. Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 1 ......................................54 Bảng 3.2. Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 2 ......................................55 Bảng 3.3. Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 3 ......................................57 Bảng 3.4. Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 3.1 .................................................57 Bảng 3.5. Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 3.2 .................................................58 Bảng 3.6. Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 3.4 .................................................63 Bảng 3.7. Thống kê các câu trả lời của phiếu số 4 ................................................68 Bảng 3.8. Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 5 ......................................68 Bảng 3.9. Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 6 ......................................69 Bảng 3.10. Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 6.2 .................................................72
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1. Biểu diễn dãy số ..................................33 Hình 2.2. Hình "mô phỏng" bài tập 8a SGKN11 trang 135. ...................................34 Hình 2.3. Biểu diễn dãy số (un) với .............................................................35 Hình 2.4. Biểu diễn dãy số (un) với với số lần lặp là 100 ............................36 Hình 3.1. Biểu diễn trục tọa độ ................................................................................41 Hình 3.2. Biểu diễn vị trí đóng quân của ta và địch ................................................42 Hình 3.3. Biểu diễn dãy số (un) với ................................................43 Hình 3.4. Hình vuông điều khiển bởi hai điểm A và B ...........................................44 Hình 3.5. 5 hình vuông……………………………………………………………43 Hình 3.6. Hình vẽ bằng phép lặp .............................................................................44
1 MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Theo SGVN11, giới hạn là một trong những chương quan trọng của Giải tích. Đây là một trong các chương khó của Giải tích ở trường THPT. Các khái niệm giới hạn là mới, trừu tượng và cách tiếp cận khái niệm này khác với cách tiếp cận của các khái niệm trước đây. Do sự khó khăn trong việc dạy học khái niệm giới hạn và thời gian dạy học có hạn, nên đã xảy ra tình trạng, giáo viên ở một số nơi ít quan tâm đến việc giảng dạy lí thuyết giới hạn hoặc dạy lí thuyết một cách đối phó mà chỉ hướng dẫn học sinh giải các bài tập một cách máy móc. Hơn nữa, cả hai SGK chương trình chuẩn và nâng cao không dùng ngôn ngữ ε, ℕ để định nghĩa giới hạn dãy số khi đó khó có định nghĩa nào mô tả đúng bản chất của khái niệm giới hạn theo nhận định SGVC11. Mặt khác theo Bùi Thành Vinh (2013), quan điểm đại số hóa chiếm ưu thế gần như tuyệt đối trong tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm giới hạn. Điều này cho thấy quan điểm xấp xỉ xuất hiện khá mờ nhạt mà bản chất của giới hạn là sự xấp xỉ. Ngày nay dưới sự hỗ trợ của công nghệ thông tin nhiều phần mềm dạy học toán ra đời và có ứng dụng mạnh mẽ. Qua tìm hiểu chúng tôi nhận thấy rằng phần mềm Sketchpad có nhiều chức năng thích hợp cho việc dạy học toán nói chung và việc dạy học khái niệm giới hạn dãy số nói riêng. Bởi vì, phép lặp của phần mềm Sketchpad cho phép biểu diễn dãy số trên trục số và bảng dưới dạng động cũng như tạo ra những hình ảnh “mô phỏng”. Những chức năng này giúp học sinh có thể dự đoán được giới hạn của dãy số đồng thời tạo điều kiện thuận lợi cho việc xây dựng các hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ. Qua thực tế dạy học khái niệm giới hạn, chúng tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh gặp một số chướng ngại khi học khái niệm giới hạn, chẳng hạn như nhiều học sinh luôn cho rằng “một tổng vô hạn luôn có kết quả là vô hạn”. Ngoài ra, nhiều học sinh nghĩ, toán giới hạn là môn học thuộc lĩnh vực đại số và không liên quan gì đến hình học. Tuy nhiên, giới hạn lại có nguồn gốc từ hình học.
2 Từ những ghi nhận trên, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết phải đặt ra các câu hỏi sau: - Khái niệm giới hạn được hình thành và phát triển như thế nào trong lịch sử?Những chướng ngại nào gắn liền với khái niệm giới hạn? - Xây dựng tình huống tiếp cận khái niệm giới hạn dãy sốtheo quan điểm xấp xỉ dưới sự hỗ trợ của phần mềm Sketchpad như thế nào? - Tình huống nào cho phép học sinh vượt qua một số chướng ngại khi học khái niệm giới hạn dãy số đồng thời thấy được sự nối kết giữa hình học và đại số trong dạy học khái niệm giới hạn dưới sự trợ giúp của phần mềm Sketchpad? Để tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên chúng tôi tiến hành chọn đề tài nghiên cứu: Dạy học khái niệm giới hạn dãy số trong môi trường Sketchpad. 2. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu chúng tôi điểm qua một số công trình nghiên cứu đã có trong nước liên quan đến giới hạn như sau: - Luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004): Nghiên cứu vềkhái niệm giới hạn hàm số trong dạy - học toán: Đồ án Didactic trong môi trường máytính bỏ túi. - Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thành Long (2004): Nghiên cứu Didacticvề khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông. - Luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thành Đạt (2010): Dạy học khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường trung học phổ thông. - Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Kim Cúc (2010): Dạy học khái niệmgiới hạn vô hạn của hàm số ở trường trung học phổ thông. - Luận án tiến sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007): Nghiên cứudidactic mối liên hệ giữa khái niệm giới hạn và sự thập phân hoá các số thực trong môitrường máy tính bỏ túi. - Luận văn thạc sĩ tác giả Bùi Thành Vinh (2013): Sự nối khớp giữa dạy học khái niệm giới hạn ở THPT và ở trường Đại học sư phạm. Qua việc tổng kết các công trình trên chúng tôi nhận thấy chưa có công trình nào nghiên cứu việc dạy học khái niệm giới hạn dãy số trong môi trường
3 Sketchpad. Đây cũng là sự cần thiết để chúng tôi thực hiện đề tài nghiên cứu của mình. 3. Mục đích nghiên cứu, khung lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu là tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên. Để đạt được điều đó chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán, cụ thể: Lý thuyết nhân chủng học, lý thuyết tình huống. Với khung lý thuyết đã chọn, các câu hỏi xuất phát có thể viết lại như sau: Q1: Khái niệm giới hạn có những đặc trưng khoa học luận nào?Những chướng ngại khoa học luận nào liên quan đến khái niệm giới hạn? Q2: Đối tượng khái niệm giới hạn dãy số được trình bày như thế nào trong thể chế dạy học THPT? Q3: Xây dựng đồ án dạy học như thế nào để cho phép học sinh tiếp cận với khái niệm giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ, giúp học sinh vượt qua một số chướng ngại khoa học luận khi học khái niệm giới hạn của dãy số đồng thời giúp cho học sinh thấy được sự nối kết giữa đại số và hình học trong dạy học khái niệm giới hạn của dãy số? Để đạt được mục tiêu đề ra phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi chọn được sơ đồ hóa như sau Nghiên cứu khoa học luận khái niệm giới hạn (tổng kết các công trình đã có) Phân tích thể chế dạy học khái niệm giới hạn dãy số ở THPT Xây dựng đồ án dạy học khái niệm giới hạn dãy số có ứng dụng công nghệ thông tin (phần mềm Sketchpad) Lược đồ có thể giải thích như sau: trước hết chúng tôi nghiên cứu khoa học luận về khái niệm giới hạn bằng cách tổng kết các công trình đã có. Sau đó chúng tôi tiến hành phân tích thể chế dạy học khái niệm giới hạn dãy số ở trường THPT.
4 Từ đó làm cơ sở để chúng tôi đưa ra các tình huống dạy học khái niệm giới hạn dãy số có ứng dụng công nghệ thông tin. 4. Tổ chức luận văn Luận văn được cấu trúc trong 5 phần Phần mở đầu Chương 1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn. 1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn. 1.2. Phạm vi tác động và các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn. 1.3. Các đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn. 1.4. Chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn. 1.5. Các quan điểm về khái niệm giới hạn. 1.6. Các tổ chức toán học tham chiếu. 1.7. Kết luận chương 1 và một số câu hỏi nghiên cứu. Chương 2. Giới hạn dãy số trong chương trình và Sách giáo khoa THPT 2.1. Phân tích chương trình. 2.1.1. Đối với chương trình chuẩn. 2.1.2. Đối với chương trình nâng cao. 2.2. Phân tích SGK 2.2.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn của dãy số. 2.2.2. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0. 2.2.3. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn. 2.2.4. Vai trò của giới hạn dãy số. 2.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số. 2.4. Kết luận chương 2. Chương 3. Thực nghiệm 3.1. Hình thức và đối tượng thực nghiệm 3.2. Nội dung thực nghiệm 3.2.1. Tình huống tiếp cận phần mềm Sketchpad 3.2.2. Tình huống thực nghiệm
5 3.3. Dàn dựng kịch bản 3.4. Những sự lựa chọn cho tình huống thực nghiệm 3.5. Phân tích tiên nghiệm 3.5.1. Biến và giá trị của chúng 3.5.2. Chiến lược, cái có thể quan sát được, sự ảnh hưởng của biến và môi trường phản hồi từ phần mềm 3.6. Phân tích hậu nghiệm 3.6.1. Phân tích pha 1 3.6.2. Phân tích pha 2 3.6.3. Phân tích pha 3 3.6.4. Phân tích pha 4 3.6.5. Phân tích pha 5 3.6.6. Phân tích pha 6 3.6.7. Phân tích pha 7 3.6.8. Phân tích pha 8 3.7. Kết luận chương 3 Kết luận
6 Chương 1. ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN Mục tiêu của chương: Tổng kết các công trình nghiên cứu đã có để tìm hiểu lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn, phạm vi tác động của giới hạn, các bài toán và các đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn, đặc biệt là những chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn cũng như các quan điểm về khái niệm giới hạn và các tổ chức toán học tham chiếu.Từ đó làm cơ sở tham chiếu cho những phân tích ở các chương sau. Tài liệu tham khảo của chúng tôi sử dụng nghiên cứu chương này là Luận văn Thạc sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004). Luận văn Thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thành Long (2004). Luận văn Thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Phương Mai (2005). Luận văn Thạc sĩ của tác giả Lê Thành Đạt (2010). Luận văn Thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Kim Cúc (2011) 1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn Theo Nguyễn Thành Long (2004), lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn có thể chia thành ba giai đoạn như sau: a) Giai đoạn 1: Tiến trình của khái niệm vô hạn (từ thời Hi Lạp cổ đại đến thế kỷ XVII), trong giai đoạn này giới hạn chủ yếu liên quan đến các đại lượng hình học khi tính diện tích, thể tích,…Nhận thức về vô hạn đi từ thái độ phủ định sang thái độ khẳng định. Khái niệm giới hạn bắt đầu xuất hiện ngầm ẩn qua các thuật ngữ “terminus”, “hội tụ”. Mầm mống của tư tưởng vô cùng bé cũng đã xuất hiện. Nhiều đối tượng không được định nghĩa nhưng vẫn có sức thuyết phục do dựa vào hiệu quả của chúng. Có thể nói trong giai đoạn này khái niệm giới hạn lấy cơ chế của một khái niệm protomathématique (không tên, không định nghĩa) và xuất hiện như là một công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết một số bài toán chủ yếu thuộc phạm vi hình học. b) Giai đoạn 2: Sự ra đời của Giải tích các vô cùng bé (từ thế kỷ XVII đến nửa
7 đầu thế kỷ XVIII), trong giai đoạn này, giới hạn đã được chính thức đặt tên (limit) bởi Newton (1642 – 1727). Các nhà giải tích đã có ý tưởng trực giác về khái niệm giới hạn và họ đã sử dụng điều đó một cách ngầm ẩn rất chính xác. Tuy nhiên chưa có một định nghĩa giới hạn chính thức nào được chấp nhận. Khái niệm giới hạn trong giai đoạn này vẫn lấy cơ chế công cụ chưa phải là đối tượng nghiên cứu. c) Giai đoạn 3: Xây dựng lý thuyết giới hạn (từ nửa sau thế kỷ XVIII đến thế kỷ XIX) trong giai đoạn này cùng với quá trình đại số hóa giải tích, khái niệm giới hạn đã chuyển hẳn sang lĩnh vực số. Nhưng vẫn chưa có sự nhất trí đối với khái niệm giới hạn và vô cùng bé. Thông qua gợi ý quan trọng của D’Alembert (1717 – 1783) là lý thuyết vững vàng về giới hạn là cái cần để xây dựng một cơ sở vững chắc cho Giải tích. Cauchy (1789 – 1857) là người đã thực hiện thành công gợi ý đó bằng cách phát triển một lý thuyết giới hạn, diễn đạt qua “ngôn ngữ ε, δ” mà ngày nay vẫn thường dùng. Trước tiên, ông định nghĩa hàm số, sau đó định nghĩa sự hội tụ, vô cùng bé, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định theo quan điểm về giới hạn. Tuy nhiên, lý thuyết giới hạn này được xây dựng trên khái niệm trực giác đơn giản về hệ thống số thực. Do đó muốn trình bày chặt chẽ lý thuyết giới hạn thì phải có một sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết số thực. Weierstrass (1815 – 1897) đã vận động thực hiện một chương trình “số học hóa giải tích” trong đó bản thân số thực phải được làm cho chặt chẽ rồi từ đó mới rút ra tất cả các khái niệm cơ bản của giải tích. Định nghĩa giới hạn hàm số bằng khái niệm lân cận được ông đưa ra (năm 1880). Có thể nói rằng giai đoạn này đã hoàn thành nghiên cứu cơ sở của giải tích. Các khái niệm cơ bản như hàm số, giới hạn, liên tục, số thực…,đã được định nghĩa tường minh. Vậy giới hạn chính thức có cơ chế của một khái niệm toán học. Nó được định nghĩa và là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học đồng thời nó cũng là công cụ tường minh cho phép giải quyết nhiều bài toán của Giải tích. 1.2. Phạm vi tác động và các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn 1.2.1. Phạm vi tác động của khái niệm giới hạn Nguyễn Thành Long (2004) chỉ ra khái niệm giới hạn đã xuất hiện ngầm ẩn trong hình học từ thời cổ Hi Lạp đến thế kỉ XVI nhằm giải quyết các bài toán về độ dài, diện tích, thể tích. Các bài toán này làm nảy sinh việc tính tổng vô hạn từ đó
8 khái niệm giới hạn có thêm phạm vi tác động là đại số nhưng ở mức độ kĩ thuật. Với những nghiên cứu của Newton về lý thuyết các fluxi và tỉ số biến thiên thì khái niệm giới hạn đã đi vào cơ học. Theo hướng đi khác, khởi đầu từ Leibniz với “đại số các vô cùng bé” vào thế kỉ XVIII, Euler và Lagrange đã có nhiều công trình nhằm đại số hóa giải tích song vẫn còn nhiều hạn chế. Với những công trình của Cauchy và Weierstrass thì khái niệm giới hạn xuất hiện trong phạm vi số thực và được định nghĩa chính xác vào thế kỉ XIX. Phạm vi tác động của khái niệm giới hạn có thể được tóm tắt như sau: Hình học → Cơ học → Đại số → Số (Cổ Hi Lạp) (thế kỉ XVII) (thế kỉ XVIII) (thế kỉ XIX) 1.2.2. Các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn Các bài toán mà khái niệm giới hạn có cơ hội tác động là • Tính diện tích hay thể tích chẳng hạn như: Xấp xỉ hình viên phân parabol bằng tam giác, xấp xỉ tam giác cong bằng các hình chữ nhật, dùng tỉ số biến thiên để chứng minh diện tích hình thang cong có đạo hàm là giá trị hàm số đó, … • Tính tổng của chuỗi số. • Tính đạo hàm. 1.3. Các đối tượng có liên quan đến khái niệm giới hạn Đối tượng ưu tiên hàng đầu theo Nguyễn Thành Long (2004) là khái niệm vô hạn, nó vừa như là một chướng ngại và vừa như là một động cơ, không có thể hiểu được khái niệm giới hạn nếu không có quan điểm thỏa đáng về vô hạn. Bên cạnh đó những khái niệm có vai trò quyết định trong lịch sử giới hạn như: diện tích, thể tích, cấu trúc của các đại lượng này, khái niệm thời gian cũng được nhiều nhà toán học quan tâm. Các khái niệm có tính chất kĩ thuật như: dãy số, chuỗi số, vô cùng bé, cực đại, cực tiểu, tiếp tuyến cũng đi cùng lịch sử của giới hạn. Khái niệm hàm số giữ vai trò quan trọng làm cho giới hạn trở thành một công cụ hoạt động trong lĩnh vực số. Hơn nữa, khái niệm liên tục, đạo hàm và tích phân cho phép xác rõ hơn nữa khái niệm giới hạn. Mối quan hệ sâu xa giữa số thực và giới hạn giữ vai trò quan trọng vì theo Weierstrass có làm chặt chẽ hệ thống số thực mới định nghĩa chặt chẽ được
9 khái niệm giới hạn. Ngoài ra còn có những khái niệm: chuyển động chất điểm, vận tốc tức thời, tốc độ hội tụ, chặn trên, chặn dưới, cận trên, cận dưới, điểm tụ được xác định rõ và phân biệt với khái niệm giới hạn. 1.4. Chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn Theo Lê Thành Đạt (2010) chướng ngại khoa học luận chính của khái niệm giới hạn là khía cạnh vô hạn trong khái niệm này.Để có những hiểu biết sâu sắc hơn về khái niệm vô hạn, theo luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Phương Mai (2005), có nhiều quan điểm khác nhau về vô hạn: « Vô hạn chỉ một dạng vật chất không xác định là cơ sở đầu tiên của thế giới Vô hạn đối với các số là một số lớn hơn tất cả các số hoặc nhỏ hơn tất cả các số Vô hạn là một quá trình liên tục, không có điểm kết thúc Vô hạn là phủ định của hữu hạn Vô hạn là một cái gì đó không có bờ, mênh mông, vượt qua tất cả những giới hạn đã biết, không xác định được ranh giới Vô hạn được hiểu một cách trực giác bằng hình ảnh ở xa hai đầu của một đường thẳng Vô hạn là đại lượng dùng để chỉ lực lượng của một tập hợp vô hạn » [6, tr.19-20] Theo Lê Thành Đạt (2010), việc vận dụng những quy tắc hữu hạn vào quá trình vô hạn dẫn đến một số nghịch lí trong toán học chẳng hạn như: “ Nghịch lý Asin đuổi rùa: Giả sử A-sin chạy với vận tốc 100km/h, rùa chạy với vận tốc 1km/h. Lúc xuất phát, rùa cách A-sin quãng đường là 100km. Hỏi nếu A-sin và rùa xuất phát cùng một lúc thì A-sin có đuổi kịp rùa không? D. Zenon lý giải rằng, khi A-sin chạy đến vị trí A (100km) thì rùa đã chạy đến vị trí A1 (1km), khi A-sin chạy đến A1 thì rùa đã chạy đến 1 vị trí A2 ( km ), … Do vậy A-sin không bao giờ đuổi kịp rùa. Nghịch lí 100 này xuất phát từ quan niệm cho rằng tổng của một dãy số vô hạn không
10 thể là một số hữu hạn.” “ Nghịch lí chia đôi: Nếu có thể cắt đôi một đối tượng, bằng cách lặp quy trình này một cách vô hạn, thì về mặt Toán học luôn còn lại một đoạn nào đó. Ngược lại về mặt vật lý ta biết rằng sẽ có một thời điểm ta không còn có thể cắt đôi được nữa! Khó khăn là ở chỗ ta không thể trừ một số vô hạn các độ dài ngày càng bé và khó khăn để quan niệm tổng này có thể là một số hữu hạn.” [2, tr.13] Mặt khác theo luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004): “Cornu (1983) cũng nghiên cứu các chướng ngại khoa học luận xuất hiện và tiến triển trong suốt lịch sử của khái niệm giới hạn. Theo tác giả, các chướng ngại khoa học luận chính của khái niệm giới hạn là: - “Sự chuyển đổi sang phạm vi số” xuất hiện trong tiến trình trừu tượng ngữ cảnh hình học và ngữ cảnh chuyển động học, “các đại lượng” được quy về phạm vi số mà ở đó khái niệm giới hạn được hợp nhất. - Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: đòi hỏi phải áp dụng một kiểu suy luận toán học mới gắn với khía cạnh vô hạn. Đối với khái niệm này, không chỉ còn là một dãy các suy luận logic, mà là suy luận trên các tiến trình vô hạn. - Khái niệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn”: có tồn tại hay không các đại lượng chưa bằng không, nhưng chúng không thể “gán được” nữa? Có tồn tại hay không các đại lượng “tan dần” mà chỉ cần qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng không? Có phải một số nhỏ hơn tất cả các lượng (dương) cho trước thì bằng không? - Một giới hạn có thể đạt tới hay không? - Ngoài ra còn có các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu. Một tổng vô hạn có thể là một số hữu hạn. Hai đại lượng tiến về không vậy mà tỷ số giữa chúng lại tiến về một lượng hữu hạn”.[10, tr1] 1.5. Các quan điểm về khái niệm giới hạn Theo luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thành Long (2004) có ba quan điểm chủ yếu về khái niệm giới hạn: • Quan điểm xấp xỉ
11 + Xấp xỉ hình học (phương pháp vét cạn của Eudoxe, phép phân hoạch của Fermat,…). + Xấp xỉ đại số (tính tổng của chuỗi số,…). + Xấp xỉ số (xấp xỉ một số vô tỉ bởi dãy các số thập phân). Quan điểm xấp xỉ thể hiện rõ nét nhất trong định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ ε – δ. Theo Bkoucher (1996) “Định nghĩa theo (ε,η ) không gì khác hơn là sự hệ thống hóa quan điểm xấp xỉ”. • Quan điểm động học Theo Bkoucher (1996)“đúng như tên gọi của nó, quan điểm này gắn liền với chuyển động. Nếu đại lượng biến thiên x dần về một giá trị của đại lượng này (theo nghìa là nó lấy những giá trị càng ngày càng giá trị của a), thì một đại lượng y phụ thuộc đại lượng x (nghĩa là một hàm số của x) dần về một giá trị b nếu đại lượng x càng gần tới giá trị a thì đại lượng y cũng gần tới b”. Để làm rõ sự khác biệt giữa quan điểm xấp xỉ và quan điểm động học theo Bkoucher (1996):“Nếu trong khái niệm động học chính biến kéo theo hàm số, thì trong khái niệm xấp xỉ, chính độ xấp xỉ mà người ta muốn sẽ xác định xấp xỉ của biến”. • Quan điểm đại số: tìm cách xác định các quy tắc, các phép toán cho phép thao tác trên các đối tượng mà không cần quan tâm đến bản chất của những đối tượng này. 1.6. Các tổ chức toán học tham chiếu Nguyễn Thị Kim Cúc (2011) chỉ ra, nhóm nghiên cứu của Bosch (2002) đã đề nghị hai tổ chức toán học địa phương quy chiếu của khái niệm giới hạn sau đây: - OM1đại số các giới hạn xoay quanh vấn đề tính các giới hạn đã tồn tại bằng các thao tác đại số. - OM2tôpô các giới hạn xoay quanh vấn đề tồn tại giới hạn của một hàm số. Hai tổ chức toán học này được tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) làm rõ như sau: Tổ chức toán học OM1 xuất phát từ sự giả sử sự tồn tại giới hạn hàm số và chỉ đặt vấn đề làm sao xác định giá trị giới hạn của những hàm số quen thuộc. Vấn