Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:104

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo về khái niệm đường tròn trong một số giáo trình đại học và tài liệu tham khảo; khái niệm đường tròn trong dạy học toán ở trường phổ thông thông qua luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thi Thơ ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thi Thơ ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊ NGA Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thị Nga, Người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Cô luôn luôn động viên, gợi mở cho tôi những hướng đi đúng đắn và bổ ích. Qua đây, tôi cũng xin cảm ơn các Thầy Cô chuyên ngành Phương pháp Toán trường ĐHSP Tp.HCM đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ những tri thức quý báu cho chúng tôi về didactic Toán sinh động, cụ thể và đầy ý nghĩa. Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến: Ban Giám hiệu, các thầy cô và các e m học sinh trường THPT Trần Đại Nghĩa - Tp.HCM, THPT Vĩnh Bình - Tiền Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Các bạn và các anh chị cao học khóa 23 chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học Toán vì những động viên và góp ý chân tình. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tôi vì những lời động viên , giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt khóa học. Trần Thi Thơ
MỤC LỤC Trang phụ bìa Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các từ viết tắt Danh mục các bảng MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 Chương 1. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG MỘT SỐ GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC VÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................ 6 1.1. Siêu cầu trong không gian Ơclit ........................................................................... 6 1.1.1. Khái niệm siêu cầu ......................................................................................... 6 1.1.2. Phương trình siêu cầu trong không gian Ơclit ............................................... 7 1.1.3.Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến siêu cầu ...................................................... 8 1.2. Phương trình biểu diễn của đường tròn trong mặt phẳng ..................................... 9 1.3. Đường tròn theo tiếp cận “góc định hướng”....................................................... 11 1.4. Kết luận chương 1............................................................................................... 13 Chương 2. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG ........................................................................ 15 2.1. Đường tròn trong SGK Toán lớp 5......................................................................... 15 2.2. Đường tròn trong SGK Toán lớp 6......................................................................... 19 2.3. Đường tròn trong SGK Toán lớp 9......................................................................... 22 2.3.1. Phân tích SGK Toán 9 ..................................................................................... 22 2.3.2. Các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến đường tròn trong SGKToán 9 ..... 27 2.4. Đường tròn trong SGK Hình học lớp 10 ................................................................ 37 2.4.1. Phân tích SGK Hình Học 10 ............................................................................ 37 2.4.2. Các tổ chức toán học liên quan đường tròn trong Hình học 10 ....................... 39 2.5. Đường tròn trong lượng giác lớp 10 và vật lý lớp 10............................................. 44 2.5.1. Đường tròn trong lượng giác lớp 10 ................................................................ 44
2.5.2. Đường tròn trong Vật lý 10. ............................................................................ 47 2.6. Kết luận chương 2 .................................................................................................. 48 Chương 3. THỰC NGHIỆM ...................................................................................... 51 3.1. Mục tiêu của chương .............................................................................................. 51 3.2.Đối tượng thực nghiệm và hình thức thực nghiệm.................................................. 51 3.3.Nội dung thực nghiệm ............................................................................................. 52 3.3.1. Thực nghiệm 1 ............................................................................................. 52 3.3.2. Thực nghiệm 2 ............................................................................................. 62 3.4.Kết luận chương 3 ................................................................................................... 85 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤLỤC
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT HH : Hình học HS : Học sinh KNV : Kiểu nhiệm vụ Nxb : Nhà xuất bản SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên TH : Tiểu học THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông tr : trang
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong giáo trình Hình học cao cấp ................... 8 Bảng 2.1. Bảng thống kê các KNV liên quan đến đường tròn trong SGK Toán 9 ...... 35 Bảng 2.2. Bảng thống kê các KNV liên quan đến đường tròn trong lớp10 ................. 44 Bảng 3.1. Thống kê các câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1 ................................. 57 Bảng 3.2. Thống kê các điểm số mà học sinh cho điểm trong câu hỏi 2 ..................... 59 Bảng 3.3. Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 1 ......................... 77 Bảng 3.4. Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 2 ......................... 79 Bảng 3.5. Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 3 ......................... 82
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát Đường tròn là một đối tượng quen thuộc, chúng ta có thể nhìn thấy chúng trong các khối vật chất và đồ dùng hay hình vẽ. Dường như trong cuộc sống, nó được xem như là hình hoàn mỹ được ưu chuộng trong công việc thiết kế hay xây dựng. Theo Artigue (1982), gắn liền với khái niệm đường tròn, chúng ta tìm thấy định nghĩa sau trong hầu hết các SGK: (1) Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng cách O một khoảng R. Tuy nhiên, có nhiều cách khác để định nghĩa đường tròn, chẳng hạn như các định nghĩa sau: (2) Đường tròn là một đường cong khép kín có độ cong không đổi. (3) Đường tròn là một đường cong đạt vô hạn trục đối xứng. (4) Đường tròn là một đường cong khép kín chứa diện tích lớn nhất đối với mỗi độ dài cho trước. (5) Đường tròn là tập hợp những điểm M sao cho tỷ số AM/BM của các khoảng cách từ nó đến 2 điểm cố định A, B là không đổi. (6) Một đường chuyển động được đặt sao cho 2 điểm A, B của nó cố định, một điểm C nào đó của đường này mô tả 1 đường tròn. Định nghĩa (4) và (5) được trích từ (Halbwachs, 81). Định nghĩa (6) là do Leibnitz đề xuất và định nghĩa đường tròn bằng cách chuyển qua không gian: “Dây” không giãn ACB quay xung quanh trục AB: khi đó, điểm C mô tả một đường tròn. [18, tr.45-46] Cũng theo Artigue (1982), tất cả các định nghĩa này đều tương đương về mặt logic: “chúng xác định cùng một đối tượng toán học và chúng ta có thể chứng minh định nghĩa này có thể kéo theo định nghĩa khác. Tuy nhiên, các định nghĩa này gắn liền với những
2 quan niệm khác nhau về đường tròn: chúng tương ứng với những cách thức khác nhau để xem xét đường tròn, sử dụng các tính chất của nó và chúng nhấn mạnh trên những yếu tố hình học, mối liên hệ giữa các yếu tố khác nhau. Ví dụ, ở định nghĩa (1), (5), (6): đường tròn hiện diện như tập hợp các điểm, ở định nghĩa (2), (3), (4): nó được đề cập trước tiên như một đường cong. Định nghĩa (6) khác biệt với tất cả các định nghĩa trước bởi đặc trưng động của nó. Đường tròn xuất hiện gắn với chuyển động. Trong tất cả các định nghĩa khác, nó xuất hiện như một đối tượng tĩnh ” [18, tr.45-46]. Ở Việt Nam, đường tròn là khái niệm được SGK chọn lọc trình bày từ cấp tiểu học đến trung học. Ở tiểu học, HS làm quen với chúng thông qua việc nhận dạng, vẽ hình hay tính toán về chu vi và diện tích nhưng khái niệm hình tròn và đường tròn chưa được phân biệt rõ. Đến lớp 6, đường tròn được định nghĩa theo cách trực quan thông qua hình vẽ: “Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm tất cả các điểm cách O một khoảng R, kí hiệu (O;R)”. Như vậy, định nghĩa đầu tiên về đường tròn trong SGK được trình bày theo tiếp cận “khoảng cách”. Ngoài cách tiếp cận đường tròn như trên liệu còn có những cách tiếp cận nào trong SGK Việt Nam? Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau trong thể chế dạy học ở Việt Nam: C1: Ở bậc đại học, khái niệm đường tròn được hiểu như thế nào? Có những cách tiếp cận nào đối với khái niệm đường tròn? C2: Trong chương trình phổ thông, đường tròn được tiếp cận ra sao? Các cách tiếp cận của đường tròn có mối quan hệ như thế nào với nhau? C3: Vai trò công cụ của đường tròn có được SGK quan tâm hay không? Từ các ghi nhận và câu hỏi cần giải đáp, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Đường tròn trong dạy học toán ở trường phổ thông”. 2. Khung lý thuyết tham chiếu 2.1.Thuyết nhân học Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào thuyết nhân học.Với lý thuyết này, chúng tôi sẽ làm rõ sự xuất hiện và phát triển của khái niệm đường tròn trong thể chế
3 dạy học toán ở Việt Nam. Thông qua việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đường tròn, chúng tôi muốn làm rõ mối quan hệ thể chế ở bậc phổ thông đối với đối tượng tri thức này.Từ kết quả phân tích mối quan hệ thể chế, chúng tôi tìm hiểu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân của học sinh thông qua thực nghiệm. 2.2. Hợp đồng didactic Chúng tôi chọn lý thuyết hợp đồng didactic vì lý thuyết này nghiên cứu những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của giáo viên và học sinh đối với một tri thức. Đồng thời, lý thuyết này cho phép chúng tôi giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành. Từ đó, chúng tôi có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học, những quy tắc ngầm ẩn được sử dụng trong quá trình giảng dạy tri thức về đường tròn. 3. Câu hỏi nghiên cứu Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, các câu hỏi ban đầu được chúng tôi cụ thể thành các câu hỏi nghiên cứu sau: Q1: Ở bậc đại học, khái niệm đường tròn được trình bày như thế nào? Có mấy dạng phương trình đường tròn trong mặt phẳng? Đường tròn có những cách tiếp cận nào? Q2: Ở bậc phổ thông, đường tròn được tiếp cận theo các quan điểm nào? Chúng có mối quan hệ ra sao? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến đường tròn? Q3: Quan hệ thể chế ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân khi học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến đường tròn? Q4: Làm thế nào để xây dựng một tình huống dạy học nhằm giúp HS hiểu rõ hơn về vai trò công cụ của đường tròn trong việc giải quyết các bài toán? 4. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Thông qua việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi muốn làm rõ sự xuất hiện của khái niệm đường tròn ở bậc đại học và các cách cách tiếp cận đường tròn. Đồng thời, chúng tôi cũng làm rõ các đặc trưng và ràng buộc của thể chế dạy học phổ thông đối với đường tròn và phương trình đường tròn.Trên cơ sở đó, chúng tôi xây
4 dựng một tình huống dạy học nhằm làm rõ vai trò công cụ của đường tròn trong việc giải quyết các bài toán. Để thực hiện mục đích nghiên cứu của đề tài, chúng tôi xác định các phương pháp nghiên cứu như sau: Chúng tôi có thể diễn giải sơ đồ trên như sau: - Nghiên cứu tri thức trong các giáo trình đại học và tài liệu tham khảo: chúng tôi sẽ phân tích các khái niệm liên quan đến đường tròn, các dạng phương trình đường tròn trong mặt phẳng. Mục đích nhằm tìm hiểu xem đường tròn xuất hiện như thế nào? Có những cách tiếp cận nào, nhằm so sánh với thể chế dạy học phổ thông. - Thông qua việc nghiên cứu chương trình và SGK, chúng tôi muốn tìm hiểu cách thức tiếp cận đường tròn, xây dựng phương trình đường tròn và các kiểu nhiệm vụ liên quan đến nó. - Thực nghiệm 1 chủ yếu chúng tôi khảo sát xem HS hiểu như thế nào về đường tròn, còn có cách hiểu nào khác hay không? HS gặp khó khăn gì khi giải quyết các bài toán về phương trình đường tròn. Trên cơ sở đó, chúng tôi tiến hành thực nghiệm 2. - Thực nghiệm 2: chúng tôi triển khai một tình huống dạy học với việc giải quyết các bài toán liên quan về đường tròn. Từ những bài toán đó, chúng tôi muốn kiểm tra xem HS có biết sử dụng đường tròn như một công cụ để giải quyết các
5 bài toán, qua đó giúp HS hiểu rõ hơn về vai trò công cụ của đường tròn theo từng cách tiếp cận. 5. Cấu trúc luận văn Luận văn có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương. - Phần mở đầu gồm: Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát; Khung lý thuyết tham chiếu; Câu hỏi nghiên cứu; Mục đích và phương pháp nghiên cứu và Cấu trúc của luận văn. - Chương 1: Khái niệm đường tròn trong trong một số giáo trình đại học và tài liệu tham khảo. - Chương 2: Khái niệm đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông. - Chương 3:Thực nghiệm bao gồm: Thực nghiệm 1 và thực nghiệm 2; phântích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm. - Kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được trong chương 1, 2, 3 và đề cập hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn này.
6 Chương 1. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG MỘT SỐ GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC VÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO Mục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: Trong các giáo trình đại học và tài liệu tham khảo, khái niệm đường tròn được trình bày như thế nào? đường tròn có những cách tiếp cận nào? Có mấy dạng phương trình đường tròn trong mặt phẳng? Ngoài ra, có thể tiếp cận đường tròn theo những cách nào khác? Để đạt được mục tiêu ở trên, chúng tôi tiến hành phân tích giáo trình, tài liệu sau: - Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nxb Giáo dục. -Jean-Marie Monier (2001), Giáo trình toán, tập7, Nxb Giáo dục. Chúng tôi chọn các tài liệu trên để phân tích vì các tài liệu này trình bày khá chi tiết về đường tròn và các khái niệm liên quan đường tròn. Ngoài ra, chúng tôi còn tham khảo một số tài liệu khác nhằm làm rõ hơn về khái niệm đường tròn như: -Nguyễn Đăng Phất (2006), Các Phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải toán hình học, Nxb Giáo dục. -Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và tuổi trẻ (1997), Nxb Giáo dục. 1. 1. Siêu cầu trong không gian Ơclit 1.1.1. Khái niệm siêu cầu Trong giáo trình “Hình học cao cấp”, tác giả Nguyễn Mộng Hy định nghĩa siêu cầu như sau: “Trong không gian E n , cho một điểm I cố định, tập hợp tất cả những điểm M thuộc E n sao cho d (I, M) = r với r là số thực r >0 cho trước gọi là siêu cầu tâm I, bán kính r. Ta kí hiệu S(I,r)={ M ∈ E n | d(I,M) = r }” [12, tr.128] Như vậy, với n=2 thì siêu cầu là một đường tròn và n=3 thì siêu cầu là mặt cầu. Từ đây, chúng tôi thấy rằng đường tròn được hiểu là quỹ tích tất cả những điểm M trong mặt phẳng cách đều một điểm I cố định bằng một khoảng r cho trước. Trên cơ sở
7 về siêu cầu, hình học Ơclit còn nghiên cứu về phương trình của chúng, việc thiết lập phương trình hoàn toàn dựa vào “công cụ” vectơ và công thức “khoảng cách”. 1.1.2. Phương trình siêu cầu trong không gian Ơclit Tác giả Nguyễn Mộng Hy trình bày phương trình siêu cầu như sau: Giả sử điểm I có tọa độ trực chuẩn là (a1 , a2 ,..., an ) , khi đó siêu cầu thực tâm I bán kính r có phương trình : n ∑ (x − a ) i =1 i i 2 = r2 Siêu cầu tổng quát: Trong En với mục tiêu trực chuẩn cho trước, một siêu cầu nếu phương trình có dạng: n n n n =i 1 =i 1 ∑ xi 2 + 2∑ ai xi + a0 = 0 hay ∑ ( xi + ai )2 = =i 1 =i 1 ∑a i 2 − a0 . n  Nếu ∑a i =1 i 2 − a0 >0 ta có siêu cầu thực tâm I (−a1 , −a2 ,..., −an ) , n bán = kính r ∑a i =1 i 2 − a0 . n  Nếu ∑a i =1 i 2 − a0 = 0 ta có siêu cầu điểm tâm I (−a1 , −a2 ,..., −an ) , bán kính r = 0 . n  Nếu ∑a i =1 i 2 − a0 < 0 ta có siêu cầu ảo tâm I (−a1 , −a2 ,..., −an ) [12, tr. 129] Như vậy, phương trình siêu cầu được xây dựng trên khái niệm “siêu cầu” về khoảng cách. Bằng việc khai triển và sử dụng các phép biến đổi đại số trong phương n n r 2 , chúng ta có siêu cầu tổng quát bằng cách đặt a0 = ∑ ai2 − r . trình ∑ ( xi − ai ) 2 = i =1 i =1 Từ đây, chúng tôi nhận thấy rằng siêu cầu còn được tiếp cận theo “phương trình”, tức siêu cầu là tập hợp tất cả các điểm M ( x1 , x2 ,...., xn ) thỏa mãn phương n n trình ∑ xi 2 + 2∑ ai xi + a0 = 0 . Ngoài ra, siêu cầu được hiểu theo nghĩa rộng hơn tức gồm =i 1 =i 1 siêu cầu thực, siêu cầu điểm và siêu cầu ảo. Như vậy “điểm” được xem như là một siêu cầu có bán kính r =0.
8 Các tính chất khác liên quan đến đường tròn như tiếp tuyến với đường tròn, trục đẳng phương vẫn được tác giả đề cập đến, tuy nhiên chúng có tên gọi khác như siêu tiếp diện, siêu phẳng đẳng phương. 1.1.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến siêu cầu Trong giáo trình của tác giả Nguyễn Mộng Hy (2007), chúng tôi tìm thấy số lượng bài tập liên quan đến siêu cầu rất ít, các bài toán được đặt ra trong không gian E3 và En. Cụ thể, chúng tôi tìm thấy các KNV sau: Bảng 1.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong giáo trình Hình học cao cấp Kiểu nhiệm vụ Số bài tập T1: Tìm tâm và bán kính của siêu cầu 2 T2: Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm 1 T3: Xét vị trí tương đối của siêu phẳng và siêu cầu 1 T4:Tìm quỹ tích M sao cho d 2 ( M , A) + d 2 ( M , B) = d 2 ( M , C ) 1 Nhận xét: Các bài toán liên quan đến đường tròn (không gian E2) không được tác giả đề cập đến. Đa số các KNV chỉ xuất hiện một lần và số lượng bài tập còn hạn chế. Từ đây, chúng tôi nhận thấy rằng, khái niệm siêu cầu gần như không được chú trọng, các dạng bài tập được đưa ra mang tính chất minh họa và giới thiệu. Kĩ thuật giải quyết các KNV này đều tập trung vào cách tiếp cận “phương trình” của siêu cầu. Tác giả chỉ định nghĩa và nêu một vài bài tập liên quan đến siêu cầu, và siêu cầu được nghiên cứu như là một “đối tượng”. Trong khi đó, vai trò “công cụ” của siêu cầu thì không được giáo trình đề cập đến mà siêu cầu được giảng dạy như là một trường hợp đặc biệt của siêu mặt bậc hai. Kết luận: Từ những phân tích trên, chúng tôi thấy rằng ở cấp độ đại học đường tròn là trường hợp đặc biệt của siêu cầu, chúng được tiếp cận theo các quan điểm sau: +Quan điểm hình học (khoảng cách): siêu cầu là quỹ tích tất cả những điểm M trong En cách đều một điểm I cố định bằng một khoảng r cho trước.
9 + Qua điểm tọa độ (phương trình): siêu cầu là tập hợp tất cả các điểm M n n ( x1 , x2 ,...., xn ) thỏa phương trình ∑ xi 2 + 2∑ ai xi + a0 = 0. =i 1 =i 1 Ở cấp độ đại học thì “điểm” vẫn được xem là một siêu cầu điểm. Đối với các KNV liên quan đến siêu cầu, chúng tôi thấy rằng kĩ thuật giải quyết các bài toán đều dựa trên tiếp cận “phương trình” vì đây là không gian Ơclit nghiên cứu chủ yếu về phương trình các phẳng và tọa độ điểm. Trong giáo trình Hình học cao cấp của tác giả Nguyễn Mộng Hy (2007), chúng tôi thấy xuất hiện hai dạng phương trình siêu cầu, tuy nhiên chúng không được trình bày cụ thể đối với đường tròn cũng như các biểu diễn khác của phương trình đường tròn. Do đó, chúng tôi chọn giáo trình Toán (tập 7) của Jean-Marier Monier (2000) để làm rõ hơn các dạng phương trình của đường tròn. 1.2. Phương trình biểu diễn của đường tròn trong mặt phẳng 1.2.1. Phương trình Descartes của đường tròn Theo tác giả Jean-Marier Monier thì : a. Cho Ω( a, b) ∈ ε 2 , đường tròn C (Ω, R) có phương trình Descartes là ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2 , trong đó Ω(a, b) là tâm và R là bán kính. b. Cho (α , β , γ ) ∈ , phương trình x 2 + y 2 + 2α x + 2 β y + γ =0 biểu diễn đường tròn tâm Ω (−α ,− β ) và bán kính α 2 + β 2 − γ nếu α 2 + β 2 − γ ≥ 0 và ∅ nếu trái lại. [16, tr.76] Như vậy, hai dạng phương trình Descartes của đường tròn chính là trường hợp đặc biệt của phương trình siêu cầu và phương trình tổng quát siêu cầu mà chúng ta đã nghiên cứu ở phần 1.1.2. Từ đây, chúng tôi có thể xem đường tròn là quỹ tích của những điểm thỏa mãn hai phương trình này. Khác với hình học tổng hợp, hình học tọa độ nghiên cứu đường tròn theo tiếp cận “phương trình”. Đây là một “công cụ” có thể giúp giải quyết các bài toán trong hình học phẳng một cách dễ dàng hơn. 1.2.2. Phương trình tham số của đường tròn Bằng việc trang bị góc lượng giác, giá trị lượng giác, đường tròn được nghiên cứu với dạng phương trình tham số sau:
10 Cho Ω(a, b) ∈ ε 2 , R ∈ R+ , đường tròn C (Ω, R) có biểu diễn tham số là  x= a + R cos t  ,t ∈ R  y= b + R sin t [16, tr.77]. Với hệ trục tọa độ Oxy và tham số t, việc xác định quỹ tích của đường tròn được làm rõ hơn. Tọa độ M có hoành độ x và tung độ y được biểu diễn cụ thể thông qua hai đẳng thức x = a + R cos t và y = b + R sin t . Phương trình đường tròn theo dạng tham số đóng vai trò quan trọng trong các bài toán định lượng như tính diện tích, thể tích và đặc biệt là các bài toán nghiên cứu sự chuyển động tròn đều trong vật lý. Cụ thể chúng tôi xét bài toán sau ( 1): 1.2.3. Phương trình tọa độ cực của đường tròn “Trong mặt phẳng, chọn một điểm O làm gốc gọi là cực, trục Ox gọi là trục cực, lấy M là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng, gọi ρ = OM là bán kính cực,  θ = (Ox; OM )là góc cực. Phương trình đường tròn tâm O bán kính a trong hệ tọa  độ cực là p = a , a > 0 1 : Bài toán trích từ giáo trình Giải tích II của tác giả Bùi Xuân Diệu (2009), trang 80, trường ĐH Bách Khoa Hà Nội.
11 Đồng thời, phương trình cực ρ = λ cos θ + µ sin θ biểu diễn đường tròn có phương trình Descartes x + y − λx − µy = 0 , đường tròn này đi qua O.” 2 2 [16, tr.78] Dạng phương trình này thường được sử dụng trong việc tính diện tích hay thể tích thông qua việc tính tích phân hai lớp hay ba lớp. Do đó, các bài toán tích phân có miền D là hình tròn, thì chúng được khuyến khích chuyển từ hệ trục tọa độ Descartes vuông góc sang tọa độ cực để giải quyết. Khái niệm đường tròn không được trình bày chi tiết trong các giáo trình đại học. Nó chỉ được giới thiệu như là trường hợp đặc biệt của siêu cầu và được tiếp cận theo hai quan điểm “khoảng cách” và “phương trình”. Ngoài hai cách tiếp cận này của đường tròn, chúng tôi còn tìm ra thêm một cách tiếp cận khác về đường tròn, đó là tiếp cận đường tròn theo “góc định hướng”. Cách tiếp cận này được trình bày trong tài liệu của tác giả Nguyễn Đăng Phất (2006), Các Phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải toán hình học. 1.3. Đường tròn theo tiếp cận “góc định hướng” Đối tượng hình học đầu tiên đề cập đến vấn đề hướng của một đoạn thẳng, đó là khái niệm vectơ. Bằng việc đưa vào khái niệm trục, đường thẳng được định hướng  thông qua một điểm O gọi là gốc và một vectơ đơn vị e . Theo tác giả Nguyễn Đăng Phất thì “độ dài đại số của một vectơ trên một trục đó là một số (số đại số) mà nhân   với vectơ đơn vị e của trục cho ta một vectơ bằng vectơ đó ( AB = AB. e , trong đó AB được gọi là độ dài đại số của AB )”[16, tr.21]. Đối tượng hình học thứ hai được tác giả đề cập đến là góc định hướng, liên quan đến đối tượng này là phép quay xung quanh một điểm trong mặt phẳng. Theo tác giả “phép tịnh tiến gắn liền với khái niệm vectơ tịnh tiến là một đối tượng hình học (đoạn thẳng) có hướng. Còn phép quay phẳng xung quanh một điểm (gọi là tâm quay) thì
12 gắn liền với khái niệm góc lượng giác gọi là góc quay; đó là khái niệm góc định hướng của hai vectơ có điểm gốc chung là tâm quay” [17, tr.22]. Bằng việc trang bị góc định hướng cũng như là phép quay phẳng, tác giả đưa ra khái niệm đường tròn và tính chất đường tròn như sau: [17, tr.27]. Với định nghĩa đường tròn này, chúng tôi nhận thấy đường tròn theo “góc định hướng” được tiếp cận gắn liền với góc lượng giác. Với hai điểm A, B cố định và một góc α bất kỳ, chúng ta có thể xác định được một đường tròn đi qua hai điểm A, B và những điểm trên đường tròn luôn tạo với AB một góc α (mod 1800). Ngoài ra, tác giả còn đưa điều kiện bốn điểm thuộc cùng trên một đường tròn, nó được xem như là tính chất tứ giác nội tiếp mà chúng ta biết đến. Như vậy, định lý của Nguyễn Đăng Phất nêu thực chất có thể xem là một cách định nghĩa khác của đường tròn và định nghĩa này được tác giả Hoàng Chúng (1997) phát biểu như sau: “Đường tròn là quỹ tích những điểm M sao cho góc định hướng giữa hai đường thẳng MA, MB là không đổi.” Tuy nhiên, điểm mạnh của góc định hướng là có thể giải quyết một số bài toán hình học phẳng một cách nhanh chóng và ngắn gọn, cụ thể là các bài toán chứng minh hay quỹ tích. Ta xét bài toán sau: (trích trangweb: hinh99.wordpress.com/tag/migel 2) “Cho hai hình vuông ABCD và AEFG cùng hướng, A, B, E không thẳng hàng. Chứng minh rằng BE, CF, DG đồng quy. 2 Trang web được truy cập vào ngày 22/4/2014