zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Thạc sĩ - Tiến sĩ - Cao học

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm khoảng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Báo xấu

49
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm khoảng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông giới thiệu tới các bạn về đặc trưng khoa học luận của khái niệm khoảng, khái niệm khoảng ở cấp độ tri thức cần giảng dạy; thực nghiệm sư phạm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm khoảng trong dạy học Toán ở bậc phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dương Thị Lan Phương LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2010
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dương Thị Lan Phương Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2010
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã hết lòng giảng dạy, truyền thụ những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Annie Bessot, PGS.TS. Claude Comiti, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giải đáp những thắc mắc và truyền đạt cho chúng tôi những kiến thức Didactic quý báu. Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành tới: - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học. - Tập thể lớp Didactic Toán K18 đã cùng tôi chia sẻ những niềm vui, những thử thách trong học tập và nghiên cứu. Đặc biệt là các bạn Tạ Thị Hoàng Hiệp, Hoàng Nguyên Lý, Phan Thị Hương Loan, Lê Thị Huỳnh Liên. - Lớp trưởng Đinh Quốc Khánh đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc tìm tài liệu tham khảo. - Ban giám hiệu các trường THPT Nguyễn Thái Học (Khánh Hòa) và THPT Trường Chinh (TP Hồ Chí Minh) và bạn Phan Thị Hương Loan đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi tiến hành những thực nghiệm của luận văn. Sau cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt. Dương Thị Lan Phương
MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các chữ viết tắt Danh mục các bảng MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG 1.1. Khái niệm khoảng ..................................................................................................... 5 1.2. Những tính chất đặc trưng cơ bản của khái niệm khoảng......................................... 8 1.2.1. Tính sắp thứ tự liên tục (đủ).......................................................................... 8 1.2.2. Lực lượng của khoảng ................................................................................ 10 1.2.3. Tính chất mở, đóng của khái niệm khoảng trong tôpô trên tập số thực R...................................................................... 13 1.3. Kết luận .................................................................................................................. 17 Chương 2: KHÁI NIỆM KHOẢNG Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY 2.1. Khái niệm khoảng trong một bộ sách giáo khoa Úc ............................................... 20 2.1.1. Thời điểm chưa có định nghĩa chính thức .................................................. 21 2.1.2. Thời điểm có định nghĩa chính thức ........................................................... 28 2.1.3. Kết luận ....................................................................................................... 31 2.2. Khái niệm khoảng trong chương trình và sách giáo khoa hiện hành của Việt Nam ......................................................................................... 34 2.2.1. Giai đoạn trước khi khái niệm khoảng được định nghĩa chính thức........... 35 2.2.2. Giai đoạn khái niệm khoảng là đối tượng nghiên cứu ................................ 36 2.2.2.1. Khái niệm khoảng trong bộ sách đại số 10 cơ bản.......................... 37 2.2.2.2. Khái niệm khoảng trong bộ sách đại số 10 nâng cao ...................... 49 2.2.3. Khái niệm khoảng xét trên phương diện công cụ ....................................... 63 2.3. Kết luận chương 2 ................................................................................................... 70 Chương 3: THỰC NGHIỆM 3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................................... 77 3.2. Hình thức và tổ chức thực nghiệm .......................................................................... 77 3.3. Phân tích thực nghiệm............................................................................................. 78 3.3.1. Giới thiệu câu hỏi thực nghiệm................................................................... 78 3.3.2. Phân tích A priori........................................................................................ 79 3.3.3. Phân tích A posteriori ................................................................................. 93 3.4. Kết luận thực nghiệm ............................................................................................ 102 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BĐT : Bất đẳng thức BPT : Bất phương trình. HBPT : Hệ bất phương trình. CB : Cơ bản. NC : Nâng cao. SBT : Sách bài tập SBTđs10 : Sách bài tập đại số 10 SBTđs10NC : Sách bài tập đại số 10 nâng cao SGK : Sách giáo khoa. SGKđs10 : Sách giáo khoa đại số 10 SGKđs10NC : Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao SGV : Sách giáo viên SGVđs10 : Sách giáo viên đại số 10 SGVđs10NC : Sách giáo viên đại số 10 nâng cao THPT : Trung học phổ thông. Tr : Trang
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 - Thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan tới khoảng trong bộ sách Úc.................................................................................... 32 Bảng 2.2 - Thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan tới khoảng trong bộ cơ bản...................................................................................... 48 Bảng 2.3 - Thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan tới khoảng trong bộ nâng cao .................................................................................. 61 Bảng 2.4 - Thống kê các kiểu nhiệm vụ gắn với bất phương trình ......................... 69 Bảng 2.5 - Thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan tới khoảng trong sách Việt Nam và sách Úc............................................................ 71 Bảng 3.1 - Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 1................................... 93 Bảng 3.2 - Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 2a................................. 95 Bảng 3.3 - Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 2b................................. 95 Bảng 3.4 - Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 3................................... 98 Bảng 3.5 - Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 4a................................. 99 Bảng 3.6 - Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 4b................................. 99
MỞ ĐẦU -1- MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong dạy học bất phương trình, đôi lần chúng tôi bắt gặp hiện tượng một vài học sinh trả lời tập nghiệm chỉ liệt kê các số nguyên, hay có khi họ thử lại nghiệm bằng cách chỉ lấy các số nguyên thuộc tập nghiệm thay vào bất phương trình. Và trong dạy học về các phép toán tập hợp trên khoảng, chúng tôi cũng bắt gặp một vài học sinh lấy giao và hợp hay hiệu của các khoảng chỉ gồm các số nguyên. Những hiện tượng đó khiến chúng tôi thắc mắc: Sai lầm kiểu này là do đâu? Chúng xuất hiện ngẫu nhiên hay bị một tác động nào đó chi phối? Rõ ràng, tập nghiệm của bất phương trình thường là các khoảng. Và khái niệm khoảng được đưa vào dạy trong chương “mệnh đề - tập hợp” là chương mở đầu của đại số 10. Thực tế những năm qua cho thấy giáo viên chỉ coi trọng việc tìm hợp, giao, hiệu của khoảng (tức thực hiện các phép toán tập hợp trên khoảng). Tại sao lại như vậy? Khái niệm khoảng được đặt vào dạy trong một chương rất quan trọng. Thật vậy, có lời nhận định như sau: “Các chương tiếp theo của sách giáo khoa sẽ được trình bày thống nhất theo ngôn ngữ mệnh đề và tập hợp. Như vậy, nội dung của chương I là rất cơ bản và cần thiết để học sinh học tập tiếp các chương sau của Đại số 10 nói riêng, để học tập và ứng dụng Toán nói chung” [3, tr.32]. Và đúng như lời nhận định này, ta thấy khái niệm khoảng có mặt trong nhiều định nghĩa; định lý; bài toán quan trọng ở trung học phổ thông. Từ những bài toán về tập hợp đến bài toán tìm tập xác định của hàm số. Rồi mở rộng hơn trong các khái niệm của giải tích như giới hạn hàm số trên một khoảng; hàm số liên tục trên một khoảng; đạo hàm của hàm số trên một khoảng và tích phân của hàm số...Hay những bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng; bài toán chứng minh phương trình có nghiệm trên khoảng… Như vậy việc nắm vững khái niệm khoảng là rất cần thiết.
MỞ ĐẦU -2- Từ những ghi nhận trên thôi thúc chúng tôi thực hiện đề tài nghiên cứu này với các câu hỏi xuất phát như sau: - Khái niệm khoảng được sách giáo khoa trình bày ra sao? Việc dạy khái niệm khoảng đã được các noosphères tính đến như thế nào? - Khoảng được học sinh hiểu ra sao? Những quan niệm về khoảng của học sinh chính xác chưa? Chúng có ảnh hưởng đến sự xây dựng các kiến thức toán sau này ở học sinh không? 2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích tổng quát của luận văn là tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra ở trên. Để làm được điều đó, chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lý thuyết didactique Toán. Cụ thể, đó là một số khái niệm công cụ của lý thuyết nhân chủng học (chuyển đổi didactique, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối với một tri thức) và của lý thuyết tình huống (khái niệm hợp đồng didactique). Trong phạm vi lý thuyết nêu trên, các câu hỏi nghiên cứu của chúng tôi có thể được trình bày lại như sau: Ø Q1: Ở cấp độ tri thức bác học, khái niệm khoảng được đề cập như thế nào? Nó có những đặc trưng gì? Ø Q2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm khoảng đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học ở trường phổ thông? Trong thể chế đó, khái niệm khoảng có những chênh lệch nào so với khái niệm khoảng ở cấp độ tri thức bác học? Có những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế trên khái niệm này? Ø Q3: Ở học sinh THPT, quan hệ cá nhân nào với đối tượng khoảng được hình thành? Họ có thể sử dụng khoảng để giải quyết những kiểu nhiệm vụ nào? Những quy tắc hợp đồng didactic nào chi phối quan niệm của họ về khái niệm khoảng?
MỞ ĐẦU -3- 3. Phương pháp và tổ chức nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi áp dụng trong luận văn này là thực hiện đồng thời hai nghiên cứu: Nghiên cứu khoa học luận và nghiên cứu thể chế. Nghiên cứu khoa học luận sẽ là cơ sở tham chiếu cho nghiên cứu mối quan hệ thể chế. Từ kết quả của hai nghiên cứu này cho phép đề xuất các giả thuyết nghiên cứu. Sau đó, hợp thức hóa các giả thuyết nghiên cứu này bằng thực nghiệm. Dựa vào phương pháp nghiên cứu nêu trên, chúng tôi tổ chức nghiên cứu như sau: • Do thiếu tài liệu tham khảo đặc biệt là các tư liệu lịch sử toán, chúng tôi không thể tiến hành một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ được. Nên chúng tôi chỉ nghiên cứu tri thức khoa học thông qua phân tích một số giáo trình toán ở bậc đại học và một số tác phẩm có đề cập tới khái niệm khoảng. Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu cách trình bày khái niệm khoảng ở cấp độ tri thức bác học và rút ra những đặc trưng của nó. • Dựa vào phân tích trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm khoảng trong một bộ SGK của Úc. • Kết quả phân tích tri thức khoa học và phân tích SGK của Úc đó sẽ là cơ sở tham chiếu và đối chiếu cho việc phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm khoảng ở Việt Nam. • Những kết quả đạt được ở trên cho phép đề ra những câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm chứng bằng thực nghiệm. • Xây dựng tình huống thực nghiệm cho phép hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu và trả lời một số câu hỏi mới đặt ra. Đồng thời thực nghiệm cũng cho phép nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng khoảng.
MỞ ĐẦU -4- Phương pháp nghiên cứu trên được sơ đồ hoá như sau: NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN LUẬN GIẢNG DẠY Trong một SGK của Úc NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Thể chế dạy học toán ở Việt Nam THỰC NGHIỆM 4.Cấu trúc luận văn Luận văn gồm 5 phần: Phần mở đầu: Trong phần này, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề tài nghiên cứu, mục đích của đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp và tổ chức nghiên cứu, cấu trúc của luận văn. Chương 1: Trình bày việc phân tích khái niệm khoảng ở cấp độ tri thức bác học trong một số giáo trình bậc đại học để làm rõ các đặc trưng cơ bản của khái niệm khoảng. Chương 2: Mở đầu là sự phân tích một bộ SGK toán của Úc. Tiếp đó, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam với khái niệm khoảng. Chương 3: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thoả đáng của các giả thuyết mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2. Phần kết luận: Tóm lược lại những kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3 và đề xuất một số hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn này.
CHƯƠNG 1 -5- Chương 1 ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG Mục tiêu của chương Mục đích của chương này là tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 đã được nêu ở phần mở đầu. Đó là: “Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm khoảng được đề cập như thế nào? Nó có những đặc trưng gì?” Vì thế, chúng tôi đã tìm hiểu và phân tích khái niệm khoảng ở cấp độ tri thức khoa học và từ đó chỉ ra những đặc trưng cơ bản của nó. Chương này được trình bày dựa vào việc tham khảo các nguồn tài liệu: [14]; [15]; [16]; [17]; [18]; [19]; [20]; [21]; [22]; [30]; [31]. 1.1. Khái niệm khoảng Định nghĩa tổng quát về khái niệm khoảng của một tập bất kỳ được nêu trong “Từ điển toán học thông dụng” của nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh như sau: “Một bộ phận I của một tập hợp sắp thứ tự E được gọi là một khoảng nếu với mọi cặp phần tử (x;y) của I, mọi phần tử của E nằm giữa x và y đều thuộc I. […]Giả sử a và b là hai phần tử của một tập hợp sắp thứ tự E sao cho a < b , người ta phân biệt bốn loại khoảng có đầu mút a và b : khoảng mở (a; b) = { x ∈ E / a < x < b} , khoảng đóng [a; b] = { x ∈ E / a ≤ x ≤ b} , các khoảng đóng một phía và mở một phía (a; b] = { x ∈ E / a < x ≤ b} và [a; b) = { x ∈ E / a ≤ x < b} . Ngoài ra, các bộ phận (←; a) = { x ∈ E / x < a} ; (←; a] = { x ∈ E / x ≤ a} ; (a; →) = { x ∈ E / a < x} ; [a; →) = { x ∈ E / a ≤ x} cũng là những khoảng.” [14, tr.353] Theo định nghĩa tổng quát này, tùy vào tập sắp thứ tự E, chẳng hạn N, Z, Q hay R, mà có những khoảng tương ứng của tập đó. Chương 1- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG
CHƯƠNG 1 -6- Nghiên cứu của chúng tôi chỉ giới hạn trong khuôn khổ khái niệm khoảng của tập số thực R. Chú ý rằng, từ đây về sau, nếu nói đến khoảng mà không có chú thích gì thêm thì chúng ta quy ước đó là khoảng của R. Và cũng cuốn từ điển trên đề cập đến khái niệm khoảng của R như sau: “Mọi khoảng của R đều thuộc một trong các kiểu trên đây. Vì R là một bộ phận của đường thẳng thực hoàn chỉnh R = R ∪ { − ∞; +∞} , nên thay cho (←; a ) ; (←; a ] ; (a; →) ; [a; →) người ta viết theo thứ tự (−∞; a ) ; (−∞; a ] ; (a; +∞ ) ; [a; +∞) . Ngoài ra, ta cũng xem […] R = (−∞; +∞) […]” [14, tr.353-354] Các định nghĩa về khoảng của R được tìm thấy trong các giáo trình toán bậc đại học thường ở những chương như: chương tập hợp; chương kiến thức chuẩn bị; chương nhập môn; chương số thực. Từ đó, có thể thấy vị trí của khái niệm khoảng là nằm trong phần tri thức cơ sở của toán học. Và đối tượng khoảng được sử dụng trong nhiều phần tri thức toán của giải tích, đại số, số học,… Cụ thể hơn, định nghĩa khái niệm khoảng của R được trình bày trong một giáo trình của trường đại học Khoa học Tự nhiên TP.Hồ Chí Mình như sau: “Tập con I ⊂ R được gọi là một khoảng nếu với mọi x, y ∈ I , x ≤ y , ta có t ∈ I , với mọi x ≤ t ≤ y . Khoảng trong R có một trong các dạng sau, [a; b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b} (mà ta còn gọi là khoảng đóng hay đoạn) (a; b) = { x ∈ R / a < x < b} (mà ta còn gọi là khoảng mở) [a; b) = { x ∈ R / a ≤ x < b} , (a; b] = { x ∈ R / a < x ≤ b} , [a; +∞) = {x ∈ R / a ≤ x} , (a; +∞ ) = {x ∈ R / a < x} , (−∞; b]={x ∈ R / x ≤ b} , (−∞; b) = { x ∈ R / x < b} .” (theo [16, tr.14] ) Theo trên, người ta đưa ra định nghĩa tổng quát về khái niệm khoảng của R là một tập con I của R với đặc trưng các phần tử của I thỏa: “mọi x, y ∈ I , x ≤ y , ta có t ∈ I , Chương 1- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG
CHƯƠNG 1 -7- với mọi x ≤ t ≤ y ”, tức là với bất kỳ cặp phần tử (x;y) của I, mọi phần tử của R nằm giữa x và y đều thuộc I. Từ định nghĩa tổng quát này, người ta đưa ra định nghĩa của từng loại khoảng trên R. Và trong những định nghĩa ấy, đặc trưng cho các khoảng là một cặp a; b trong đó a và b hoặc là số hoặc là “+∞” hay “-∞”. Chúng là hai đầu mút của khoảng. Việc phân loại các khoảng phụ thuộc vào hai đầu mút này. Trong những định nghĩa về khoảng của R, chúng tôi thấy các khoảng có thể được thể hiện bằng hai hệ thống biểu đạt. Một là dùng ký hiệu dấu ngoặc “(“ hay “[“. Chẳng hạn (a; b) hay ]a; b[ , [a; b) hay [ a; b[ …Chúng tôi gọi đó là hệ thống biểu đạt bằng dấu ngoặc. Hai là dùng ký hiệu tập hợp mà phần tử của nó được biểu thị bằng một bất đẳng thức. Chẳng hạn { x ∈ R / a ≤ x < b} . Chúng tôi gọi ngắn gọn là hệ thống biểu đạt bằng bất đẳng thức. Tên gọi các loại khoảng của R rất phong phú. Ngoài những tên đã nêu trong các định nghĩa ở trên. Chúng tôi còn tìm thấy một số tên gọi khác nữa. Chẳng hạn, với (a; b] , [a; b) gọi là “nửa đoạn” hay “nửa mở” (theo [17] ) hay “khoảng nửa mở” (theo [18, tr.25], [19, tr.75], [20, tr.40] ); với [a; +∞) , (−∞; a ] gọi là “các nửa đường thẳng đóng”, còn (a; +∞ ) ; (−∞; a ) gọi là “các nửa đường thẳng mở” (theo [17]). Nếu hai đầu mút của khoảng là số thực thì gọi là “khoảng hữu hạn” (theo [18, tr.25]) hay “khoảng bị chặn” (theo [19, tr.75] ). Nếu một hay cả hai đầu mút là những số suy rộng −∞; +∞ thì gọi là “khoảng vô hạn” (theo [18, tr.25]) hay “khoảng không bị chặn” (theo [19, tr.75] ). Có lẽ tên gọi cũng gắn với một đặc điểm nào đó của khoảng được gọi. Ngoài ra, một số sách còn nêu cụ thể về các yếu tố của khái niệm khoảng. Chẳng hạn, “Các số nằm giữa α và β , tức thỏa α < x < β , gọi là các điểm trong của khoảng < α , β > , còn α , β gọi là các đầu mút. […]. Khoảng cách giữa các đầu mút của một khoảng, nếu chúng hữu hạn, gọi là độ dài của khoảng ấy.” ( [17, tr.31] ). Chương 1- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG
CHƯƠNG 1 -8- 1.2. Những tính chất đặc trưng cơ bản của khái niệm khoảng Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi chỉ tiến hành đi tìm hiểu những tính chất đặc trưng của khái niệm khoảng trên tập số thực R. 1.2.1. Tính sắp thứ tự liên tục (đủ) Theo định nghĩa ở trên thì khoảng là một tập con của R. Chúng ta sẽ xét xem khoảng có được thừa hưởng những tính chất nào của tập số thực R hay không? Phần trình bày này được tham khảo từ các sách: [15]; [17]. Theo [17], tập số thực R thỏa mãn các tiên đề sau đây: § “R là một trường, nghĩa là tồn tại hai ánh xạ mà ta gọi là phép cộng, phép nhân […]” § “R là một trường được sắp thứ tự toàn phần, nghĩa là trên R có một quan hệ thứ tự ≤ sao cho: (1) x ≤ x (2) x ≤ y , x ≤ y ⇒ x = y (3) x ≤ y , y ≤ z ⇒ x ≤ z (4) với mọi x, y ∈ R đều có x ≤ y hoặc y ≤ x […]” § “R là một trường được sắp liên tục (đủ), nghĩa là nếu A và B là các tập con không rỗng của R sao cho a ≤ b ∀a ∈ A, ∀b ∈ B thì tồn tại c ∈ R để a ≤ c, ∀a ∈ A và c ≤ b, ∀b ∈ B .” [17, tr.22-23] Hay nói cách khác, “nghĩa là nó thỏa mãn tiên đề Dedekind: Với mỗi lát cắt (A,B) đều có: hoặc một phần tử lớn nhất trong A, hoặc một phần tử nhỏ nhất trong B, và không thể vừa có một phần tử lớn nhất trong A vừa có một phần tử nhỏ nhất trong B.” (theo [15, tr.9-10] ) Gọi K là một khoảng tùy ý của R nhưng không trùng với R. Hiển nhiên, chúng ta thấy K không phải là một trường con của R. Vì nó không ổn định đối với hai phép toán trong R là phép cộng và phép nhân. Chương 1- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG
CHƯƠNG 1 -9- Ta có khoảng K thừa hưởng quan hệ thứ tự ≤ của R, thật vậy: ∀x, y, z ∈ K ⇒ x, y, z ∈ R nên: i) ∀x ∈ K , x ≤ x ii) ∀x, y ∈ K , ( x ≤ y và x ≤ y ) ⇒ x = y iii) ∀x, y, z ∈ K , ( x ≤ y và y ≤ z ) ⇒ x ≤ z iv) ∀x, y ∈ K , x ≤ y hay y ≤ x Vậy khoảng K là một tập được sắp thứ tự toàn phần. Ta sẽ chứng minh K cũng có tính liên tục (đủ) như R. Thật vậy: Gọi A và B là các tập con không rỗng bất kỳ của K sao cho: a ≤ b , ∀a ∈ A , ∀b ∈ B . Ta có A, B cũng là các tập con không rỗng của R sao cho: a ≤ b , ∀a ∈ A , ∀b ∈ B do đó tồn tại c ∈ R để a ≤ c ≤ b , ∀a ∈ A , ∀b ∈ B . Mặt khác, K là một khoảng trên R tức nó là một tập gồm các số thực nằm giữa hai đầu mút α ; β trong đó α và β hoặc là số hoặc là “+∞” hay “-∞”. Mà A ⊂ K và B ⊂ K nên α ≤ a ≤ b ≤ β , ∀a ∈ A, ∀b ∈ B . Do đó với mọi số c mà a ≤ c ≤ b , ∀a ∈ A , ∀b ∈ B thì α ≤ c ≤ β . Suy ra c ∈ K . Vậy khoảng K cũng là tập được sắp liên tục (đủ). Và hơn nữa, ta còn thấy khoảng là tập con duy nhất của R có được tính sắp liên tục (đủ) như R. Nhờ tính chất này mà khoảng khác biệt so với các tập con khác của R. Ngoài ra, từ các tiên đề của R, ta có nguyên lý supremum: “Mỗi tập con không rỗng M ⊂ R mà có một cận trên thì phải có supremum. Mỗi tập con không rỗng M ⊂ R mà có một cận dưới thì phải có infimum.” (theo [15, tr.11] ) Trong đó khái niệm supremum và infimum được giải thích như sau: “Cho một tập M ⊂ R . Một phần tử x ∈ R , gọi là một cận trên của M nếu y ≤ x với mọi y ∈ M , một cận dưới của M nếu x ≤ y với mọi y ∈ M . […] cận trên nhỏ nhất, nếu có, cũng gọi là supremum của M; cận dưới lớn nhất, nếu có, là infimum của M.” [15, tr.11]. Chương 1- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG
CHƯƠNG 1 - 10 - Với các khoảng bị chặn thì có cận trên đúng (tức supremum ) và cận dưới đúng (tức infimum) chính là các đầu mút của khoảng. Còn các khoảng chỉ bị chặn trên (hay chặn dưới) thì chỉ có cận trên đúng (hay cận dưới đúng) là đầu mút bị chặn của khoảng. 1.2.2. Lực lượng của khoảng Vấn đề quan trọng tiếp theo mà chúng tôi muốn tìm hiểu là số phần tử của các khoảng như thế nào? Đó chính là mặt số lượng của tập hợp. Và người ta dùng khái niệm “lực lượng” để chỉ nó. Chúng tôi tìm thấy khái niệm lực lượng của tập hợp được trình bày rất rõ ràng và chi tiết trong cuốn “Hàm thực và giải tích hàm” của tác giả Hoàng Tụy. Thế nên nội dung trình bày trong phần này được chúng tôi tham khảo và trích lược từ cuốn [15]. Theo tài liệu [15] này, khái niệm lực lượng của một tập có thể được hiểu như sau: “Ta nói hai tập A và B là tương đương (về số lượng) nếu giữa hai tập ấy có thể thiết lập một phép tương ứng 1-1 (tức là có ánh xạ 1-1 tập này lên tập kia)” [15, tr.16] “Khi hai tập tương đương nhau, ta bảo chúng cùng một lực lượng hay cùng một bản số. Nói cách khác lực lượng (hay bản số) của một tập biểu thị một tính chất chung cho nó và tất cả các tập tương đương với nó.” [15, tr.17] Trước khi đưa ra kết luận về lực lượng của các khoảng trên R, chúng tôi sẽ trình bày qua một lượt lực lượng của một số tập hợp quen thuộc để có cái nhìn tổng thể hơn và từ đó so sánh được lực lượng của khoảng trên R với lực lượng của các tập khác, đặc biệt là lực lượng của các khoảng trên những tập N, Z hay Q. Xét về mặt số lượng thì có tập hữu hạn và tập vô hạn. Với tập hữu hạn thì “Hai tập hữu hạn cùng số lượng thì tương đương nhau”. Và “Đối với tập hữu hạn, thì lực lượng (bản số) chính là số phần tử của nó.” [15, tr.16]. Do đó, ta suy ra được lực lượng của các khoảng bị chặn của N hay Z, chẳng hạn, {x /1 < x < 6, x ∈ N } gồm 4 phần tử nên có lực lượng là 4, hay {x / −3 ≤ x ≤ 10, x ∈ Z } gồm 14 phần tử nên có lực lượng là 14. Chương 1- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG
CHƯƠNG 1 - 11 - Với tập vô hạn thì “Trong tất cả các tập vô hạn thì tập “bé nhất” (có lực lượng kém nhất) là tập các số tự nhiên N. Lực lượng của tập này gọi là lực lượng đếm được, và mọi tập tương đương với nó gọi là tập đếm được.” [15, tr.19] Như vậy, những tập nào tương đương với N thì chúng có lực lượng đếm được. Chẳng hạn, tập các số nguyên Z, tập các số hữu tỉ Q là đếm được. Hay một bộ phận của N như tập B={2, 4, 6, …, 2n, …} là đếm được. Sách [15] có nêu và chứng minh tính chất “Định lý 5: Một bộ phận của một tập đếm được thì phải là hữu hạn hay đếm được” [15, tr.20] Từ định lý này, có thể suy ra các khoảng không bị chặn của N hay Z là đếm được, chẳng hạn như {x / x ≥ 10, x ∈ N } ; {x / x < 5, x ∈ Z } . Và các khoảng của Q cũng đếm được, chẳng hạn {x / 0 ≤ x ≤ 1, x ∈ Q} . Các tập vừa xét đều là các tập vô hạn đếm được. Có những tập vô hạn không đếm được. Mà đại diện nổi bật cho lớp tập hợp đó là tập các số thực R. Ta có các khoảng của R cũng là những tập không đếm được và tương đương với R. Trong cuốn [15] nói rất rõ như sau: - “Tập các điểm trong khoảng (0;1) tương đương với tập các điểm trong một khoảng (a;b) bất kỳ: sự tương ứng có thể thực hiện bằng phép vị tự.” - “Tập các điểm trong khoảng (0;1) tương đương với tập các điểm trên toàn đường 1 1 thẳng, vì có thể cho mỗi điểm x trên đường thẳng ứng với y = arctan x + trong π 2 khoảng (0;1)” - “Hai tập cùng tương đương với một tập thứ ba thì dĩ nhiên là tương đương nhau.[…] ta suy ra rằng tập các điểm trong một khoảng bất kỳ là tương đương với tập các điểm trên toàn đường thẳng.” [15, tr.16-17] - “Tập các điểm thuộc khoảng (a;b) tương đương với tập các điểm thuộc đoạn [a;b]” [15, tr.21] Chương 1- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG
CHƯƠNG 1 - 12 - Lực lượng của R “lớn hơn lực lượng đếm được. Người ta gọi nó là lực lượng continuum hay lực lượng c.” [15, tr.23]. Vậy các tập vô hạn tương đương với R cũng có lực lượng continuum. Do đó, các khoảng của R có lực lượng continuum. Việc chứng minh tập các số thực R là không đếm được, sách [15] trình bày như sau: “Vì tập các điểm thuộc đoạn [0;1] tương đương với tập các điểm trên toàn đường thẳng, ta chỉ cần chứng minh rằng tập các điểm thuộc đoạn [0;1] là không đếm được. Giả sử trái lại rằng tập đó đếm được, nghĩa là có thể đánh số thành dãy: x1, x2, x3,… Ta hãy chia đoạn [0;1] thành ba đoạn bằng nhau. Trong ba đoạn đó phải có một đoạn không chứa x1: cho đoạn ấy là ∆1 . Ta lại chia ∆1 ra ba đoạn bằng nhau. Trong ba đoạn đó phải có một đoạn không chứa x2 : cho đoạn ấy là ∆ 2 . Ta lại chia ∆ 2 ra ba đoạn bằng nhau…Tiếp tục mãi, ta sẽ có một dãy đoạn ∆1 ⊃ ∆ 2 ⊃ ∆3 ⊃ ... , 1 với độ dài ∆ n = với xn ∉ ∆ n . Vì ∆ n → 0 (n → ∞ ) nên do đó là một dãy đoạn 3n thắt lại và theo nguyên lý Cantor, phải có một điểm ξ chung cho tất cả các đoạn ấy. Cố nhiên ξ ∈ [ 0;1] , vậy ξ phải trùng với một xn0 nào đó. Nhưng ξ ∈ ∆ n với mọi n, cho nên xn0 ∈ ∆ n0 . Điều này trái với cách xây dựng các đoạn ∆ n . Do đó giả thiết rằng tập các điểm thuộc đoạn [0;1]đếm được là vô lý”. [15, tr.22-23] Tập các số thực R bằng hợp của tập các số hữu tỉ và tập các số vô tỉ. Mà tập các số hữu tỉ là đếm được. Nên từ định lý “Định lý 7: Khi thêm một tập hữu hạn hay đếm được vào một tập vô hạn M, ta không làm thay đổi lực lượng của tập” [15, tr.21], suy ra tập các số vô tỉ cũng có lực lượng c. Theo định lý của Cantor “Định lý 10 (Cantor): Cho bất cứ tập A nào thì tập tất cả các bộ phận của A cũng có lực lượng lớn hơn lực lượng của A.” [15, tr.23]. Do đó, tồn tại những tập có lực lượng lớn hơn lực lượng của R. Và “không có lực lượng (bản số) nào là lớn nhất cả”. [15, tr.24] Chương 1- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG
CHƯƠNG 1 - 13 - Bàn thêm về vấn đề lực lượng của những tập không đếm được, sách [15] có những ghi nhận sau: “Một câu hỏi nảy ra: lực lượng c phải chăng là bé nhất trong tất cả các lực lượng của những tập không đếm được? Nói khác đi, có chăng một lực lượng trung gian giữa lực lượng đếm được và lực lượng c? Trong suốt mấy chục năm ở nửa đầu thế kỷ XX các nhà toán học không trả lời được câu hỏi đó, mà chỉ đưa ra giả thuyết không có lực lượng nào như thế cả (“giả thuyết continuum”). Năm 1959 Gödel chứng minh được giả thuyết continuum không mâu thuẫn với các tiên đề thường được thừa nhận trong lý thuyết tập hợp, trừ khi các tiên đề này vốn đã chứa mâu thuẫn rồi. Năm 1963, Cohen khép lại vấn đề bằng cách chứng minh rằng giả thuyết continuum không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ được, mà chỉ có thể nhận nó hay nhận phủ định của nó làm một tiên đề.” [15, tr.24]. 1.2.3. Tính chất mở, đóng của khái niệm khoảng trong tôpô trên tập số thực R Phần trình bày này được tham khảo từ các sách: [19]; [21], [22], [31]. Tập hợp số thực R là một không gian mêtric, với mêtric d ( x, y) = x − y ( x, y ∈ R) . Tập mở của R được định nghĩa như sau: “Một tập con A của R là mở khi và chỉ khi ∀x ∈ A, ∃ε sao cho ( x − ε , x + ε ) ⊂ A .” [22, tr.48] Trong định nghĩa này, khái niệm tập mở của R được xây dựng từ khoảng mở . Và khoảng mở này còn được gọi là lân cận của số thực x: “Giả thử δ là số thực dương tùy ý. Ta gọi δ -lân cận của số thực x là tập con Nδ ( x) = { y ∈ R / d ( x, y) < δ } của R. Hiển nhiên rằng, Nδ ( x) là khoảng mở với các đầu mút x − δ và x + δ ; dưới dạng ký hiệu: Nδ ( x) = ( x − δ ; x + δ ) ”. [19, tr.76] Xây dựng tôpô của R từ khái niệm tập mở theo mêtric d ta có: “Họ τ các tập hợp mở của R là một tôpô trên R. τ được gọi là tôpô tự nhiên trên R.” [22, tr.48] Hay τ còn được gọi là “tôpô thông thường trên R” [21, tr.57] Từ khái niệm tập mở ta có khái niệm tập đóng được định nghĩa như sau: “Tập F ⊂ X được gọi là tập hợp đóng trong X nếu phần bù của nó X\F là một tập mở trong Chương 1- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG
CHƯƠNG 1 - 14 - X.” [22, tr.45]. Cụ thể hơn, khái niệm tập đóng trên R là : “Một tập hợp con E của đường thẳng thực R là đóng khi và chỉ khi phần bù R\E của nó là mở.” [19, tr.84] Sau đây, chúng tôi sẽ xem xét tính chất mở, đóng của các khoảng trên các tập R, N, Z, hay Q. Theo cuốn [19], chúng tôi có các ghi nhận sau: - “Mệnh đề 2.3: Mọi khoảng mở đều là một tập con mở của R.” [19, tr.76] Vậy các khoảng mở (a; b) ; (−∞; a ) (a; +∞) với a, b ∈ R là những tập mở. Do đó, ta suy ra khoảng nửa mở (−∞; a] là tập đóng vì phần bù của nó (−∞; a ) là tập mở. - “Mệnh đề 2.4: Tôpô τ của đường thẳng thực R có bốn tính chất sau đây: […] + Hợp của một họ tùy ý những tập hợp mở là mở. + Giao của hai (và do đó của một số hữu hạn tùy ý) tập hợp mở là mở.” [19, tr.77] Do đó, hợp của các khoảng mở là tập mở. Giao của hữu hạn các khoảng mở là tập mở. - “Hệ quả 2.15: Mọi khoảng đóng và bị chặn là một tập con đóng của đường thẳng thực.” [19, tr.85]. - “Mệnh đề 2.13: Họ các tập con đóng của đường thẳng thực R có các tính chất sau đây: […] + Giao của một họ tùy ý những tập hợp đóng là đóng. + Hợp của hai (và do đó của một số hữu hạn tùy ý) tập hợp đóng là đóng.” [19, tr.85]. Vậy khoảng đóng (hay đoạn) [a; b] là tập đóng. Và giao của các khoảng đóng là tập đóng. Hợp của hữu hạn các khoảng đóng là tập đóng. - “Mọi khoảng nửa mở và bị chặn là không mở và cũng không đóng.” [19, tr.87] Tức là, các khoảng nửa mở (a; b] ; [a; b) là không mở và cũng không đóng. Chương 1- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.09: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Quản Trị Kinh Doanh

81 tài liệu

1643 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.