Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:79

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến trong lịch sử hình thành và tiến triển của chúng; phân tích CT và SGK Việt Nam; thực nghiệm nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Bùi Thị Thu Hiền Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh – 2007
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Văn Tiến, người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn: GS. Claude Comiti, GS. Annie Bessot, GS. Alain Birebent, PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, TS. Đoàn Hữu Hải và các quí thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành didactic toán khóa 15. Xin chân thành cảm ơn: TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giúp đỡ tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp. Xin chân thành cảm ơn: Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa (TPHCM) đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp Didactic khóa 15 đã luôn động viên và chia sẻ những vui buồn và khó khăn trong suốt thời gian học tập Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và những bạn bè thân thiết đã luôn bên cạnh, ủng hộ và động viên tôi trong suốt thời gian qua. Bùi Thị Thu Hiền
MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Theo truyền thống, tiếp tuyến luôn là chủ đề quan trọng trong chương trình toán ở trường phổ thông Việt Nam, đặc biệt là trong chương trình hình học sơ cấp ở THCS và chương trình Giải tích ở THPT. Trong phạm vi Giải tích, việc nghiên cứu khái niệm tiếp tuyến luôn gắn với khái niệm đạo hàm. Trong luận văn tốt nghiệp đại học của mình, nhan đề: « Tiếp tuyến và đạo hàm phải chăng là một cặp ?», hai sinh viên người Pháp N. Chaboud và D. Hedde (2000) cũng đã chỉ ra sự gắn kết của hai khái niệm này trong lịch sử giảng dạy ở Pháp từ năm 1993 đến năm 1999. Từ đó, chúng tôi thấy cần thiết đặt ra các câu hỏi khởi đầu sau đây: Tại sao khái niệm tiếp tuyến luôn gắn liền với khái niệm đạo hàm? Chúng kết hợp với nhau thế nào? Vai trò, ý nghĩa của mỗi khái niệm trong sự kết hợp đó ? Có được câu trả lời cho những câu hỏi này sẽ cho phép chúng tôi – những giáo viên toán THPT - hiểu rõ hơn đối tượng kiến thức cần giảng dạy, để từ đó có những vận dụng thích hợp trong quá trình thực hành nghề nghiệp của mình. 2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu Lí thuyết nhân chủng học của Didactic toán với các khái niệm mấu chốt như “mối quan hệ thể chế”, “Mối quan hệ cá nhân” sẽ là công cụ lí thuyết mà chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của mình. Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tôi trình bày hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau : Q1: Trong lịch sử phát triển của Toán học, mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến đã được thiết lập trong những tình huống nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Có đối tượng nào khác luôn gắn liền với chúng ? Mỗi đối tượng có vai trò và chức năng gì trong mối quan hệ đó? Q2: Trong hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đạo hàm và tiếp tuyến, cũng như quan hệ giữa chúng hình thành ra sao ? Với những đặc trưng cơ bản nào so với quan hệ của chúng trong lịch sử ? Có những ràng buộc thể chế nào trên chúng? Q3: Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng thế nào lên mối quan hệ cá nhân học sinh? 3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 2. Để đạt được điều đó, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau đây :
- Phân tích, tổng hợp một số tài liệu hay công trình đã biết về lịch sử hay khoa học luận để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, đặc biệt là vai trò, chức năng của mỗi đối tượng trong sự kết hợp này. Kết quả của chương này là cơ sở tham chiếu cho phân tích mối quan hệ thể chế tiếp ngay sau đó. - Phân tích, tổng hợp một số kết quả chính trong luận văn của hai sinh viên Pháp là N. Chaboud, D. Hedde (2000) và phân tích chi tiết một SGK của Pháp nhằm mục tiêu làm tham chiếu cho phân tích CT và SGK Việt Nam. - Trên cở sở các nghiên cứu trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích CT và SGK toán lớp 9 và SGK THPT hiện hành ở Vịêt Nam nhằm tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra trong Q2, mục 2. - Triển khai một thực nghiệm để kiểm chứng về ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế gắn liền với đạo hàm và tiếp tuyến lên mối quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh. Đặc biệt, chúng tôi sẽ đưa vào thử nghiệm giả thuyết nghiên cứu sau đây (kết quả rút ra từ phân tích CT và SGK Việt Nam) : Giả thuyết :”Ở bậc THPT, học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh”. 4. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm 5 phần : Phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận chung. - Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề tài; mục đích và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn. - Chương 1 dành cho việc trình bày kết quả phân tích và tổng hợp các công trình nghiên cứu về khoa học luận và lịch sử để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến trong lịch sử hình thành và tiến triển của chúng. - Trong chương 2, chúng tôi phân tích CT và SGK Việt Nam để làm rõ mối quan hệ giữa hai đối tượng nêu trên. Nhưng trước đó, chúng tôi đã chọn phân tích một số tư liệu của thể chế dạy học của Pháp để làm tham chiếu cho việc phân tích SGK Việt Nam. - Chương 3 giới thiệu một thực nghiệm nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh và kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu nêu trong mục 3. - Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3 và nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn.
Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA MỐI QUAN HỆ GIỮA TIẾP TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM 1.1. Mục tiêu của chương Mục đích chủ yếu của chương này là phân tích và tổng hợp một số công trình nghiên cứu lịch sử, khoa học luận về tiếp tuyến và đạo hàm để làm rõ các đặc trưng của mối liên hệ giữa hai khái niệm này. Cụ thể, dựa vào các công trình đánh số [1], [2], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20] (xem phần Tài liệu tham khảo) chúng tôi cố gắng tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau đây: Đối tượng đạo hàm và tiếp tuyến xuất hiện trong những tình huống nào của lịch sử toán học? Chúng quan hệ với nhau như thế nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Mỗi đối tượng có vai trò và chức năng gì trong mối quan hệ đó? 1.2. Đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm 1.2.1. Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII  Khái niệm tiếp tuyến Trong [2], tác giả Vũ Đức đã rút ra một số đặc trưng khoa học luận sau đây của khái niệm tiếp tuyến trong giai đoạn này của lịch sử. - Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện và được nghiên cứu trước hết trong phạm vi hình học sơ cấp với các đặc trưng: tiếp tuyến là một đường thẳng có duy nhất một điểm chung và tiếp xúc với đường cong. Tiếp tuyến của đường tròn còn có thêm đặc trưng vuông góc với bán kính của đường tròn tại tiếp điểm. - Tiếp tuyến được định nghĩa hoàn toàn theo lối mô tả trực giác hình học và sử dụng một số thuật ngữ khá mơ hồ, không được giải thích như “chạm”, “đi qua phía bên kia”, “rơi”...Các định nghĩa mô tả này không cho phép đưa ra một phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến. - Cách xác định tiếp tuyến luôn được trình bày thông qua dựng hình và phụ thuộc nhiều vào hình vẽ và tính chất của đường cong.  Nhận xét về mối quan hệ của hai khái niệm Trong giai đoạn này tiếp tuyến chỉ xuất hiện ở phạm vi hình học sơ cấp, bài toán xác định tiếp tuyến được giải quyết dựa vào dựng hình. Khái niệm đạo hàm chưa xuất hiện (dù dưới dạng ngầm ẩn) và do đó, chưa có mối liên hệ nào giữa hai khái niệm được thiết lập. 1.2.2. Giai đoạn 2: Nửa đầu thế kỉ XVII Trong thời điểm này, việc phát minh ra hình học giải tích đồng thời và độc lập bởi Descartes (1596-1650) và Fermat (1601-1665) đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự phát triển của giải tích. Nhiều phương pháp mới xác định tiếp tuyến ra đời tạo mầm mống cho sự hình thành phép tính vi phân.
 Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Fermat Phần trình bày này dựa trên tài liệu [13] và [14]. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất được biết đến từ năm 1629 qua các bức thư của Fermat. Nhưng đến năm 1642 tác phẩm “Phương pháp khảo sát các số lớn nhất và nhỏ nhất” mới được xuất bản. Trong tác phẩm này, Fermat đề xuất qui tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất qua bài toán sau: Chia đường AC (hình 1.1) bởi điểm B sao cho vật thể, được xây dựng trên hình vuông AB và đường BC là lớn nhất (*) B A B C A Hình 1.1 Fichtegôn giải thích phương pháp của Fermat như sau ([14, tr.355]): Đặt đoạn AC đã cho là B, đoạn AB phải tìm là A. Đối với thể tích lớn nhất ta được biểu thức A2(B-A) Sau khi thế A+E vào biểu thức trên thay cho A (Fermat dùng chữ E làm kí hiệu chuẩn cho số gia của lượng đang xét A).Ta cho cả hai biểu thức bằng nhau (trên thực tế là không bằng nhau): (A+E)2(B-A-E) = A2(B-A) Giản ước các vế ta được: 2A(B –A) – A2 + E(B–A–E) –2AE = 0 Bỏ những số hạng còn chứa E, kết quả ta có: 2A(B–A) –A2 = 0 hay 2AB = 3A2 Biểu thức này, theo cách diễn đạt của Fermat, là đẳng thức “đúng”, trong khi đó các đẳng thức trên chỉ 2 là “tưởng tượng ra” hay “gần đúng”. Từ đẳng thức cuối cùng ta xác định được A = B 3 Nếu dùng các kí hiệu về hàm số, “qui tắc Fermat” dưới dạng tổng quát sẽ như sau: Để tìm giá trị A, mà tại đó biểu thức f(A) có giá trị lớn nhất hay bé nhất, Fermat dựa vào nguyên lý đã biết trước đó: tại thời điểm mà đại lượng đạt giá trị bé nhất hay lớn nhất, lượng đó hầu như dừng lại trong quá trình biến thiên.  Fermat viết các biểu thức “gần đúng”: f (A+E) = f(A) hay f (A+E) - f(A) = 0 với E rất nhỏ f (A  E)  f (A)  Đơn giản những số hạng giống nhau ở hai vế, rồi chia cho E ta được: 0 E  Bỏ đi những số hạng còn chứa E, tức là đặt E = 0 (mà điều này tương đương với việc chuyển qua giới hạn khi E  0). Cuối cùng, ta được đẳng thức : (*) Giá trị lớn nhất của vật thể được hiểu là thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật có ba cạnh lần lượt là A, A và B-A.
 f (A  E)  f (A)     0 . Từ đó xác định được giá trị A cần tìm. E E 0 Nhận xét Trong phương pháp trên có những chỗ bất hợp lí: lúc thì cho E là một số hữu hạn khác 0 (bằng cách chia hai vế cho E) sau đó lại cho E = 0. Fichtegôn cũng nhận xét: “phương pháp của Fermat không có cơ sở nào”. Rõ ràng, Fermat đã gặp khó khăn với phép lấy giới hạn và khái niệm vô cùng bé. Tuy nhiên, trong  f (A  E)  f (A)  phương pháp trên đã hiện diện tư tưởng của giới hạn và khái niệm đạo hàm:   0  E E 0 f (A  E)  f (A) (tương đương với các với cách viết hiện nay là lim = 0 hay f’(A) = 0) E 0 E Theo ngôn ngữ hiện nay, phương pháp trên dựa trên tính chất: « Hàm số f(x) có đạo hàm tại a và đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm đó thì f’(a) =0. Về mặt hình học, tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đạt cực đại hay cực tiểu thì song song với trục hoành » Tuy nhiên, trong phương pháp trên, Fermat cũng chưa biết rằng f’(a) = 0 chỉ là điều kiện cần chứ chưa phải là điểu kiện đủ để có cực trị Còn lời giải có thể mô tả như sau: Gọi V là thể tích của hình hộp chữ nhật nêu trên, x là độ dài đoạn AB và a là độ dài đoạn AC, ta 2a có: V  x 2 (a  x)   x3  ax 2 và V '  3x 2  2ax  0  x  (vì x > 0). 3 Từ đó, ta có bảng biến thiên sau: x 0 2a/3 a V(x) 0 2a 2 V đạt giá trị lớn nhất khi x  hay AB = AC 3 3 Trong cùng tác phẩm trên, Fermat cũng đề nghị phương pháp xác định tiếp tuyến của đường cong, được mô tả như sau đây (theo [13]). Xác định tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M. Gọi M’ là điểm khác M nằm trên đường cong (C). N X, X’ lần lượt là hình chiếu của M, M’ xuống trục M hoành M’ Giả sử tiếp tuyến tại điểm M mà ta cần xác định cắt trục hòanh tại T. X’M’ cắt tiếp tuyến MT tại N (Hình 1.2). T X X’ Để xác định tiếp tuyến MT, Fermat tìm tiếp ảnh TX. Do  TXM và  TX’N đồng dạng và thay X’N bằng xấp xỉ, ta có: A E A: XM = E: (X’M’-XM) Hình 1.2
Theo cách kí hiệu thông thường hiện nay, nếu kí hiệu đường cong (C) bằng công thức y = F(x) thì đẳng thức trên trở thành: A : F(x) = E : (F(x+E)-F(x)) F(x).E A= F(x  E)  F(x) F(x) Chia biểu thức trên cho E ta được: A  F(x  E)  F(x) E Cho E bằng 0, tìm được A Nhận xét Cách dựng tiếp tuyến của Fermat thể hiện một quan điểm rất khác về tiếp tuyến so với các quan điểm trước đó. Trong phương pháp trên, khi điểm M’ dần đến vị trí của M thì cát tuyến M’M dần đến vị trí của tiếp tuyến MT. Như vậy, Fermat đã xem tiếp tuyến của đường cong như là vị trí giới hạn của cát tuyến. Có thể thấy cả hai bài toán trên của Fermat cùng thống nhất trong một phương pháp giải, trong đó đã xuất hiện ngầm ẩn “khái niệm đạo hàm”.Tuy nhiên, ông không tiến xa hơn được vì khó khăn trong việc hiểu “giới hạn” và “vô cùng bé”. Tóm lại, quan niệm rất mới về tiếp tuyến như là “vị trí giới hạn của cát tuyến” đã dẫn tới một phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến mặc dù phương pháp đó còn nhiều chỗ “bất hợp lí” như đã phân tích ở trên. Đạo hàm đã xuất hiện ngầm ẩn và đóng vai trò công cụ cho phép giải quyết bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong. Mối liên hệ giữa đạo hàm ngầm ẩn và tiếp tuyến cũng được thiết lập: « Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm » F(x) F(x) (Phương pháp trên tương đương với cách viết hiện nay: A  hay F’(x) = ) F'(x) A  Phương pháp xác định tiếp tuyến của Roberval (1602-1675) và Torricelli (1608-1674) Theo [14], một cách độc lập và gần như đồng thời, cả hai nhà bác học này đã đưa ra phương pháp tìm tiếp tuyến của đường cong bằng cách dùng “hình bình hành vận tốc” (những nghiên cứu của họ được công bố lần đầu tiên năm 1644). Roberval quan niệm: “Phương chuyển động của điểm vạch nên đường cong là tiếp tuyến của đường cong tại mỗi vị trí điểm của nó” Cụ thể nếu đường cong biểu diễn được như là quĩ đạo chuyển động của điểm, chuyển động đó gồm hai chuyển động đơn giản hơn mà đối với chúng vận tốc (theo giá trị và hướng) được cho một cách trực tiếp, thì hướng của vận tốc của chuyển động hợp (và cùng với nó cả hướng của tiếp tuyến với quĩ đạo) đựơc xác định theo “qui tắc hình bình hành”, như sau:
Giả sử tại thời điểm ban đầu chất điểm nằm ở O (hình 1.3) và T rơi tự do theo gia tốc g (có nghĩa là với vận tốc gt, t là thời gian) dọc theo đường thẳng đứng, mà chất điểm đó lại dời chỗ theo chiều x ngang với vận tốc u không đổi. Khi đó, theo kí hiệu trong hình vẽ, tại thời điểm t ta có : y O 1 2 x= gt ; y = ut 2 x u2 Từ đó, sau khi khử t ta tìm được y 2  2 x . Như vậy quĩ đạo g M p của chất điểm nhận được là một parabol ( mà dựa theo cách chọn u có thể đồng nhất với parabol tùy ý y  2px ). Tỉ số giữa 2 vận tốc thẳng x gt gt 2 2x đứng và nằm ngang bằng   . Do đó- chú ý Hình 1.3 đến sự đồng u ut y dạng của các tam giác, ta chứng minh được rằng tiếp tuyến cắt trục parabol về phía sau đỉnh của nó một đoạn là x. Nhận xét : Phương pháp của Roberval và Torricelli không đựơc xem là phương pháp tổng quát vì những khó khăn trong việc xác định chuyển động thành phần. Quan niệm về tiếp tuyến của Roberval theo quan điểm động học có ý nghĩa về mặt lịch sử vì đề cập đến phương tức thời của chuyển động, là ý tưởng liên quan đến giới hạn, đánh dấu sự phát triển của giải tích. Cách làm này cho thấy ông đã thấy được mối liên hệ mật thiết giữa vận tốc (đạo hàm của khoảng cách còn ngầm ẩn) với tiếp tuyến : Tỉ số giữa 2x vận tốc thẳng đứng và nằm ngang bằng . y dy Theo ngôn ngữ hiện nay thì mối liên hệ đó là : «hệ số góc của tiếp tuyến bằng » (với Ox là dx trục hoành, Oy là trục tung).  Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow Phần trình bày này dựa theo [19]. Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow được trình bày trong « bài giảng về quang học và hình học » (1660-1670). Phương pháp này cũng tương tự như phương pháp của Fermat nhưng có những bước hoàn thiện hơn và có thể diễn tả như sau : M Giả sử ta có đường cong s (hình 1.4). Đường thẳng a nằm ngang AP cắt đường cong tại A, đường thẳng N thẳng đứng PM cắt đường cong tại M. c R m Giả sử MT là tiếp tuyến cần xác định của đường cong tại M, cắt AP tại T. Xét cung MN vô cùng nhỏ là phần trùng nhau của đường thẳng MT và đường cong s. A T Q P Vẽ NQ // MP, NR //AP. t Hình 1.4
Đặt MP = m; PT = t; MR = a; NR = e Để xác định tiếp tuyến MT ta sẽ tính lượng PT = t Vì M, N cùng nằm trên đường cong nên cùng nghiệm đúng tính chất đặc trưng của đường cong đó. Từ tính chất này, ta tìm mối liên hệ giữa các đại lượng a, e và m qua một đẳng thức I nào đó. Trong đẳng thức này, ta sẽ bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e (các số hạng này được xem như:có giá trị không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính) a e e t Dựa vào định lý Thales ta có    . Thay vào I, ta sẽ tính được t. m t a m Như vậy tiếp tuyến MT hòan tòan được xác định Theo Perrin, phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow dựa vào ý tưởng xem tiếp tuyến tại một điểm của đường cong như là đường thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ của đường cong tại điểm đó. Phương pháp của ông, theo ngôn ngữ hiện đại, trong lân cận của tiếp điểm có thể “xấp xỉ” đường cong bởi tiếp tuyến tại điểm đó. Trong phương pháp trên, nguyên lí bỏ qua những số hạng vô cùng bé (a,e) có bậc cao hơn 1 được nêu ra: “bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e vì các số hạng này được xem như có giá trị không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính” (ở Fermat thì nguyên lí này chỉ có thể ngầm hiểu). m a Việc tìm hệ số góc của tiếp tuyến được thay bằng tỉ số mà e, a là các vô cùng bé đã ngầm t e ẩn khái niệm ”vi phân”. Theo cách làm hiện nay, nếu chọn A làm gốc tọa độ và trục hòanh là AP, trục tung là đường a dy m thẳng qua A và song song với PM thì chính là và chính là hệ số góc của tiếp tuyến. e dx t Như vậy, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và vi phân (còn ngầm ẩn) đã được thiết lập: “Hệ số dy góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân”. dx Tuy nhiên, cũng như Fermat, phương pháp của Barrow cũng chưa có cơ sở lí thuyết rõ ràng.  Những đặc trưng khoa học luận cơ bản của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong giai đoạn này có thể tóm lược như sau : - Quan niệm rất mới về tiếp tuyến : “vị trí giới hạn của cát tuyến” và “đường thẳng trùng với phần vô cùng nhỏ của đường cong tại tiếp điểm” đã dẫn đến phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến. Tiếp tuyến bắt đầu xuất hiện trong phạm vi giải tích và mở đường cho việc hình thành các ý tưởng liên quan đến đạo hàm và vi phân. Đạo hàm và vi phân xuất hiện như công cụ ngầm ẩn để giải bài toán xác định tiếp tuyến. Việc xuất hiện đạo hàm và vi phân trong tư tưởng xấp xỉ. - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, tiếp tuyến và vi phân cũng xuất hiện ngầm ẩn: «Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm » dy «Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số của hai vi phân » dx
Nói cách khác, nhờ việc tìm lời giải cho bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong mà nhiều nhà toán học trong giai đoạn này đã tiến đến hiểu biết rất gần với khái niệm đạo hàm, vi phân. Tuy nhiên, việc giải các bài toán tiếp tuyến chưa có cơ sở rõ ràng và được giải quyết vẫn dựa vào hình vẽ. 1.2.3.Giai đoạn 3: Nửa cuối thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII Phân tích trong phần này dựa vào [14], [15] và . Sự phát triển của giải tích được tạo ra bởi Newton(1642-1727) và Leibniz (1646-1716) - cả hai hoạt động độc lập với nhau từ những năm 1660- do việc phát minh ra phép tính vi tích phân. 1.2.3.1.Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp làm chảy (fluxi) của Newton Phương pháp làm chảy của Newton được trình bày chi tiết trong “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô hạn(1736)”  Khái niệm về đạo hàm, vi phân ([14], [15]). Newton xem một đường được sinh ra bởi chuyển động liên tục của một điểm và đưa ra một số khái niệm mới. Các lượng biến thiên Newton gọi là “thông lượng” (“tức là các lượng chạy”) (fluente) và kí hiệu bằng các chữ cuối cùng của bảng chữ cái Latinh: u, x, y, z ; chúng được khảo sát như những lượng tăng (giảm) theo thời gian. Những vận tốc, mà theo đó chúng tăng, được gọi là “những đạo hàm” (fluxion) của chúng và cũng được kí hiệu bằng những chữ đó, nhưng thêm dấu chấm u,  x,  y,  z . Thực ra, Newton chú ý rằng ở đây thời gian được hiểu không phải theo đúng nghĩa đen của nó, “thời gian” có thể được hiểu là lượng bất kỳ chẳng hạn x, tăng một cách đều cùng với thời gian thực sự chẳng hạn sao cho x =1. Nhưng cần nhớ rằng mọi thông lượng đều phụ thuộc vào “thời gian” này, tức là vào cùng một biến độc lập phổ dụng. “Vi phân” cũng được Newton đưa vào với tên gọi là moment của đại lượng chảy. Moment của đại lượng chảy x, kí hiệu là x0  , mà lượng x sẽ tăng (hay giảm) trong khoảng thời gian vô cùng bé 0. Về sau Newton đã đưa vào đạo hàm của đạo hàm, tức là đạo hàm thứ hai:  u,  y, z , và cả những x,  đạo hàm cấp cao.  Phép lấy đạo hàm của Newton ( [14, tr.360]) Bài toán cơ bản thứ nhất của Newton gắn liền với phép tính vi phân: “Theo hệ thức đã cho giữa các thông lượng hãy xác định hệ thức giữa các đạo hàm” Newton chỉ giải quyết trực tiếp đối với các phương trình đại số. Để ví dụ, ông lấy phương trình: x3 – ax2 + axy – y3 =0. Cách làm như sau:  Trong phương trình trên thay x bằng x + x0  , thay y bằng y + y0   Đơn giản hệ thức trên và chia từng số hạng cho 0  Cuối cùng bỏ qua những số hạng mà vẫn còn chứa 0 thì ta được: 3x2 x – 2ax x + ay x + ax y – 3y2 y =0 Newton giải thích việc bỏ qua các số hạng chứa 0 : “vì ta đã giả thiết 0 là lượng vô cùng bé,… cho nên những số hạng, mà được nhân với nó, có thể xem như không đáng kể so với các đại lượng khác”.
Theo Fichtegôn, nguyên lí mà Newton phát biểu và cách làm không phải là mới nhưng cái thực sự mới ở đây là: “kết quả được khẳng định đối với các thông lượng bất kì, không phải từng bài toán cá biệt”.  Phương pháp tìm tiếp tuyến của Newton( [14, tr.361]) Newton đã áp dụng cách tính các đạo hàm cho một số bài toán quan trọng trong đó có bài toán: “Dựng tiếp tuyến với đường cong” Ở đây chúng tôi trình bày tóm tắt cách giải quyết bài toán tiếp tuyến của Newton : Trong trường hợp cơ bản, khi cho trực tiếp phương trình giữa các tọa độ Descartes x, y của điểm biến thiên của đường cong, Newton lý luận như Barrow (đã trình bày ở phần tiếp tuyến), chỉ khác là các số gia (giảm) vô cùng bé e và a ông đã thay bằng các mốc x0  , y0  Do đó ( nếu giữ nguyên kí hiệu ở hình 1.4 thì : PM : TP = y : x Còn tỉ số giữa các đạo hàm được xác định từ phương trình của đường cong theo qui tắc trên. Ngày nay, điều đó có nghĩa là: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng y : x ” Như vậy, từ vận tốc Newton đã đưa vào khái niệm đạo hàm rồi dùng khái niệm này giải quyết bài toán tiếp tuyến.  Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình ( [17, tr. 6-8]) Cũng trong cuốn “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô hạn(1736)”, Newton đã áp dụng phương pháp bỏ qua các vô cùng bé để tìm nghiệm gần đúng của phương trình. Cho phương trình y3 – 2y – 5 = 0, dùng một số chẳng hạn là số 2, mà không khác lắm với giá trị đúng của nghiệm, và đặt 2 + p = y Thay 2 + p bởi y vào phương trình cho sẵn, chúng ta sẽ có: p3 + 6p2 + 10p – 1 = 0; Bỏ đi p3 + 6p2 rất nhỏ ta được 10p – 1 = 0, hay p = 0,1, cái này là một giá trị rất gần với giá trị đúng của p; Vì thế việc viết dưới dạng 0,1 + q = p và cũng làm như trên, ta có : q3 + 6,3q2 + 11,23q + 0,061 = 0, bỏ đi hai lựơng đầu tiên không đáng kể, còn lại : 11,23q + 0,061 = 0, hay q = - 0,0054 tốt hơn là ta đạt được trước đây, và ta tiếp tục quá trình này đến khi ưng ý. ……………………………………….. Nhận xét : Ta có thể mô tả bài toán và lời giải theo quan điểm hiện nay như sau : Cho hàm số f(x) = x3– 2x– 5 có đồ thị là (C) Đồ thị này cắt trục hoành tại điểm khá gần với 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là: x3– 2x– 5 = 0 (1) Đặt x = 2 + p thì (1) trở thành p3 + 6 p2 + 10p – 1 = 0 và f’(2) =10 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = 2 là ∆: y = 10(x-2) – 1 Phương trình hoành độ giao điểm của ∆ và trục hoành là:
10(x-2)-1 = 0 hay 10p – 1 = 0 hay p = 0,1 Ta có nghiệm gần đúng là x1 = 2 + p = 2,1 Và cứ tiếp tục như thế, đặt p = 0,1 + q (nghĩa là x = 2,1+ q) thì (1) trở thành: q3 + 6,3q2 + 11,23q + 0,061 = 0 f’(2,1) = 11,23 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = 2,1 là (∆’): y = 11,23(x-2,1) + 0,061 Phương trình hoành độ giao điểm của ∆’ và trục hoành là: 11,23(x-2,1) + 0,061 = 0 hay 11,23q+ 0,061 = 0 hay q = - 0,0054. Vậy ta có nghiệm gần đúng là x2 = 2,1+ q = 2,0964 Và cứ tiếp tục đến khi ưng ý…… Ở đây, theo cách của Newton, ông đã bỏ đi lượng không đáng kể p3 + 6p2 (dựa nguyên lí:” bỏ qua những số hạng vô cùng bé có bậc cao hơn 1”) để f(2+p)  10p – 1 hay f(2+p)  f(2) + f’(2)p. Trong đó, f(2)+f’(2)p là một hàm affine và cũng chính là tiếp tuyến của hàm số y= f(x) tại x = 2 . Như vậy, theo quan điểm hiện nay, có thể tóm tắt phương pháp của Newton theo như sau : Xét phương trình f(x) =0 và x0 là một nghiệm gần đúng của phương trình. Nếu f là một hàm số có đạo hàm trên khỏang I, đường cong của nó là (C) có một tiếp tuyến tại mỗi điểm M0(x0; f(x0)). Bắt đầu ở điểm M0(x0 ; f(x0). - Dựng tiếp tuyến T0 của đường cong (C) tại điểm M0 và tìm hoành độ giao điểm của T0 và trục hoành ta được nghiệm gần đúng x1 - Dựng tiếp tuyến T1 của đường cong (C) tại điểm M1(x1,f(x1)) và tìm hoành giao điểm của T1 và trục hoành ta được nghiệm gần đúng x2 - và cứ tiếp tục như thế…ta xây dựng được dãy (xn ) các nghiệm gần đúng của phương trình. Trong phương pháp giải này ngầm ẩn mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine: “hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a”. 1.2.3.2. Từ tiếp tuyến đến phương pháp vi phân của Leibniz Phân tích trong phần này dựa vào [14] và [13]. Cùng với Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) được xem như người khai sinh ra phép tính vi phân và giải tích vô cùng bé. Nếu như Newton từ vận tốc, đưa vào khái niệm đạo hàm rồi dùng khái niệm này giải quyết bài toán tiếp tuyến thì D Leibnitz xây dựng khái niệm tiếp tuyến và tìm tiếp tuyến bằng các “vi dx phân”. Kể từ năm 1673, việc nghiên cứu các vấn đề tổ hợp A đã đưa ông tới các vấn đề vi phân của toán học. Tuy nhiên, các nguyên x tắc của phép tính vi phân chỉ công bố năm 1684 trong hồi kí đầu tiên X Y của ông “ y Phương pháp mới về các số lớn nhất và bé nhất, cùng những tiếp X Y Hình 1.5
tuyến, mà các đại lượng phân số, vô tỉ không phải là trở ngại cho phương pháp đó” được xuất bản. Leibniz viết: “Giả sử YY là đường cong tùy ý (hình 1.5). Y là điểm biến thiên trên đó với hoành độ AX = x và tung độ YX = y, Leibniz kí hiệu dx đơn giản là đoạn thẳng được lấy tùy ý. Nếu YD là tiếp tuyến của đường cong tại điểm Y, thì đoạn thẳng mà tỉ lệ với dx cũng như là tung độ y tỉ lệ với XD (tiếp ảnh) được gọi là dy”. dy y Như vậy, vi phân của hàm số- dy- được xác định bởi đẳng thức:  . dx XD Sau đó, Leibniz đã đưa ra các qui tắc tính toán liên quan đến việc lấy vi phân của hằng số, hiệu, tích, thương, căn số. Từ phương trình của đường cong, bằng các qui tắc đó, Leibniz xác định được tỉ số dy , từ đó xác định được tiếp ảnh XD. dx Nhận xét : Như vậy, Leibnit cũng quan niệm “tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến”và hệ số góc của dy tiếp tuyến là tỉ số của các vi phân ”. dx Về bản chất thì các phương pháp của Newton và Leibniz là tổng hợp các phương pháp của Fermat và Barrow, nhưng chặt chẽ hơn và có hệ thống hơn vì có cơ sở lý thuyết là các khái niệm vi phân và đạo hàm. Việc trình bày các qui tắc tính vi phân và đạo hàm đã giúp cho việc xác định tiếp tuyến của đường cong trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Đến đây, bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong tổng quát xem như được giải quyết. Tuy nhiên, cả Newton và Leibniz đều chưa xây dựng được cơ sở vững chắc cho các phép tính của mình vì cả hai chưa làm rõ được những cơ sở cho việc bỏ qua các đại lượng vô cùng bé và các vấn đề liên quan đến giới hạn. Tóm tắt những đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong giai đoạn này: - Việc tìm kiếm phương pháp tổng quát xác định tiếp tuyến của đường cong dẫn đến sự nảy sinh khái niệm đạo hàm và vi phân. Bên cạnh đó khái niệm đạo hàm cũng sớm được xuất hiện như là công cụ cho việc tìm vận tốc tức thời trong chuyển động cơ học. Sau đó, đạo hàm và vi phân đóng vai trò công cụ tường minh cho việc xác định tiếp tuyến của đường cong. - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và vi phân, tiếp tuyến và đạo hàm đã xuất hiện tường minh y dưới dạng: “hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số của ” và “hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số của các vi x dy phân ”. dx - Vấn đề liên quan đến tiếp tuyến và đạo hàm cũng đã dẫn đến việc hình thành tư tưởng xấp xỉ. Khái niệm xấp xỉ affine xuất hiện ngầm ẩn trong việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình bậc 3 của Newton và trong cách tìm tiếp tuyến của Barrow, Newton :“đường cong xấp xỉ với tiếp tuyến trong lân cận tiếp điểm”. Mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập: “hàm số
f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a” 1.2.4. Giai đoạn 4: Từ đầu thế kỉ XIXđến nay Ở thế kỉ XVIII, một số nhà toán học đã cho định nghĩa tổng quát về giới hạn. Sau đó, từ khái niệm giới hạn, các nhà toán học ở thế kỉ XIX – đặc biệt là Cauchy (1789- 1857) mới lập nên nền tảng thực sự cho việc xây dựng tiếp theo của toàn bộ giải tích toán học, cho phép tính vi tích phân nói riêng. Tuy nhiên, trong nền tảng này vẫn còn có lỗ hổng- vẫn chưa có đủ cơ sở chặt chẽ cho chính khái niệm số thực và việc chứng minh tính liên tục của phạm vi các số thực. Việc khắc phục khiếm khuyết này được thực hiện trong suốt thế kỉ XIX. Thuật ngữ “Đạo hàm” do Lagrange đưa ra vào cuối thế kỉ XVIII và đầu thế kỉ XIX. Cauchy là người đầu tiên đưa ra định nghĩa đạo hàm theo lí thuyết cổ điển của giới hạn và ông cũng đưa vào định nghĩa vi phân dựa trên khái niệm đạo hàm. Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến (từ điển toán học [9] ) : Cho hàm số f xác định trên khoảng (a,b). Đạo hàm của hàm f tại điểm x0  (a,b) là giới hạn, nếu có, f(x)  f(x 0 ) của tỉ số khi x dần tới x0( x (a,b), x ≠ x0) x  x0 df Đạo hàm tại x0 được kí hiệu là f’(x0) (kí hiệu Newton) hay ( x0 ) (kí hiệu của Leibniz) dx Còn định nghĩa tiếp tuyến, cho trong từ điển toán học năm 1993 của nhà xuất bản Mir Moscou như sau : Cho f là một hàm số xác định trong lân cận U(x0) của điểm x0 và liên tục tại x0. Cho M(x0,f(x0)), M(x,f(x)) trong đó x  U(x0). Tiếp tuyến tại điểm M của đường cong biểu diễn cho hàm số f là vị trí giới hạn của cát tuyến M0M khi x tiến về x0, hay nói cách khác là khi M  M0. Nếu f khả vi tại x0 thì tiếp tuyến có phương trình là : y – f(x0) = f’(x0) (x – x0) ( hệ số góc của tiếp tuyến bằng f’(x0)) Nhận xét: Trong giai đoạn này, phép tính vi phân đã có cơ sở lí thuyết chặt chẽ. Đạo hàm đóng vai trò công cụ tường minh trong việc tìm lời giải bài toán xác định tiếp tuyến. Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm xuất hiện tường minh. Đặc trưng của mối quan hệ này là: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm” f(x)  f(x 0 ) Ngoài ra, từ công thức f’(x0) = lim suy ra được f(x)  f’(x0)(x-x0) + f(x0), trong đó y = xx0 x  x0 f’(x0)(x-x0) + f(x0) chính là phương trình tiếp tuyến của đường cong có phương trình y = f(x) tại điểm có hoành độ là x0 . Như vậy, mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập tường minh: “hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a” 1.3. Kết luận
Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện trước và rất lâu trong lịch sử rồi mới đến khái niệm đạo hàm và vi phân. Nhu cầu tìm kiếm phương pháp tổng quát xác định tiếp tuyến của đường cong (mà qua đó khái niệm tiếp tuyến được ngầm định nghĩa) là động lực thúc đẩy cho việc hoàn thiện khái niệm tiếp tuyến và đồng thời là một trong các nhân tố dẫn đến sự nảy sinh khái niệm đạo hàm và vi phân. Bên cạnh đó khái niệm đạo hàm cũng sớm xuất hiện như là công cụ cho việc tìm vận tốc tức thời trong chuyển động cơ học. Khi khái niệm đạo hàm hình thành và hoàn thiện thì lại tác động ngược lại để giải quyết các bài toán tiếp tuyến một cách triệt để. Trong mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm cũng có sự hình thành của khái niệm xấp xỉ affine : ”xấp xỉ hàm số bằng hàm affine, về mặt hình học là xấp xỉ đường cong bởi tiếp tuyến trong lân cận tiếp điểm”. 1.3.1. Tóm tắt tiến triển của mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến  Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII Trong giai đoạn này, các quan niệm về tiếp tuyến được mô tả bằng trực giác hình học rất mơ hồ nên chỉ cho phép nghiên cứu tiếp tuyến ở một số hình hình học đơn giản. Tư tưởng về đạo hàm chưa xuất hiện do đó không có mối liên hệ nào giữa tiếp tuyến và đạo hàm.  Giai đoạn 2: nửa đầu thế kỉ XVII (giai đoạn ngầm ẩn mối liên hệ) - Việc phát minh ra hình học giải tích được tạo ra bởi Descarte và Fermat đã dẫn đến sự phát triển vượt bậc của toán học. Tiếp tuyến đã chuyển vào phạm vi hình học giải tích và bước đầu tiến vào lĩnh vực giải tích nhờ các quan niệm rất mới của một số nhà toán học tiên phong. Các quan niệm về tiếp tuyến trong giai đoạn này: + Quan niệm của Fermat (QNF) : Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến. + Quan niệm của Torricelli và Roberval (QNT) : Phương tức thời của chuyển động (quan điểm động học). + Quan niệm của Barrow (QNB): Tiếp tuyến là đường thẳng gần trùng với đường cong trong lân cận tiếp điểm. QNT không giải quyết triệt để bài toán tiếp tuyến do khó khăn trong việc xác định chuyển động thành phần. QNF, QNB đã mở ra con đường cho giải tích phát triển cụ thể là việc nảy sinh ra các khái niệm đạo hàm và vi phân. - Những tư tưởng đầu tiên về đạo hàm xuất hiện trong bài toán tìm GTLN, GTNN và tìm tiếp tuyến của đường cong bởi nhà toán học Pháp Pierre de Fermat. Trong giai đoạn này, thuật ngữ “đạo hàm” xuất hiện đầu tiên trong vật lí bởi Torricelli và Barrow: “Đạo hàm của khoảng cách là vận tốc”. Tuy nhiên, đạo hàm không được nghiên cứu sâu hơn trong toán học. Đạo hàm xuất hiện trong toán học chỉ như một công cụ ngầm ẩn trong các bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong. Nó lấy cơ chế của một khái niệm protomathématique (không tên, không định nghĩa). - Khái niệm xấp xỉ affine cũng xuất hiện ngầm ẩn trong quan niệm về tiếp tuyến của Barrow: ”tiếp tuyến gần trùng với đường cong trong lân cận tiếp điểm”. Tư tưởng xấp xỉ gắn liền với việc hình thành khái niệm tiếp tuyến và cũng tạo điều kiện cho việc hình thành phép tính vi phân. - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm và xấp xỉ affine Tiếp tuyến dẫn đến việc hình thành các ý tưởng của phép tính đạo hàm và vi phân. Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân đóng vai trò công cụ ngầm ẩn cho việc giải bài toán tiếp tuyến. Đặc trưng của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm và xấp xỉ affine:
“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm” “Tiếp tuyến xấp xỉ với đường cong trong lân cận tiếp điểm”  Giai đoạn 3: Từ nửa sau thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân nảy sinh và phát triển nhờ công lao to lớn của hai nhà toán học Newton và Leibnit. Nhờ đó bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong cũng được giải quyết triệt để. - Quan niệm về tiếp tuyến: Cả Newton và Leibnit đều có quan niệm về tiếp tuyến giống với Fermat và Barrow. - Quan niệm về đạo hàm: + Newton cho định nghĩa đạo hàm (fluxion) trong vật lí : Đạo hàm là vận tốc của lượng chạy dy + Leibnit hiểu về đạo hàm: Đạo hàm được hiểu là tỉ số của các vi phân . dx Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân vẫn lấy cơ chế công cụ và đã bắt đầu là đối tượng nghiên cứu. Nói cách khác, đạo hàm lấy cơ chế của một khái niệm paramathématique. - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm: Việc xác định tiếp tuyến dẫn đến sự xuất hiện khái niệm vi phân. Đạo hàm và vi phân được dùng như công cụ tường minh để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Đặc trưng của mối liên hệ: “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm” dy “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân ” dx  Giai đoạn 4: Từ cuối thế kỉ XIX đến nay - Quan niệm về tiếp tuyến Tiếp tuyến của đường cong vẫn dựa trên quan điểm về tiếp tuyến giống Fermat và Barrow. - Quan niệm về đạo hàm Giới hạn của tỉ số số gia của hàm số và đối số. Đến đây, đạo hàm lấy cơ chế của một khái niệm toán học. Đạo hàm vẫn tiếp tục là công cụ hữu hiệu để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Ngòai ra, đạo hàm còn dùng như là công cụ để định nghĩa khái niệm tiếp tuyến - Đặc trưng của sự kết hợp giữa tiếp tuyến và đạo hàm: “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”
1.3.2. Tóm tắt tiến trình xuất hiện các khái niệm và quan hệ giữa chúng  Giai đoạn ngầm ẩn (đầu thế kỉ XVII) Tiếp tuyến (Hình học sơ cấp) Tiếp tuyến (Hình học giải tích ) Xấp xỉ affine Tiếp tuyến (ngầm ẩn) (Giải tích vô cùng bé ) Đạo hàm, vi phân (ngầm ẩn) Sơ đồ 1.1. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm đầu thế kỉ XVII.  Giai đoạn tường minh (nửa cuối thế kỉ XVII đến thế kỉ XVIII) Bài toán Tiếp tuyến (GTVCB ) vật lí Đạo hàm, vi phân Xấp xỉ affine (tường minh) (ngầm ẩn) Sơ đồ 1.2. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm nửa cuối thế kỉ XVII đến thế kỉ XVIII.  Giai đoạn thế kỉ XIX : Đạo hàm Tiếp tuyến Giới hạn tỉ số số gia xấp xỉ afin (tường minh) Sơ đồ 1.3. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm đầu thế kỉ XIX
Chương 2: MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÁI NIỆM TIẾP TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Mục đích và phương pháp phân tích - Đặt cơ sở trên kết quả phân tích ở chương 1, chương này có mục tiêu nghiên cứu mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ở cấp độ tri thức cần giảng dạy trong thể chế dạy học toán ở Việt Nam. Cụ thể hơn, chúng tôi đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: + Khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm kết hợp với nhau trong những tình huống nào? Đặc trưng của mối quan hệ này? Trong các tình huống đó, mỗi khái niệm lấy nghĩa gì? + Vai trò của khái niệm tiếp tuyến đối với khái niệm đạo hàm và ngược lại? + Có những ràng buộc nào của thể chế lên mối quan hệ giữa hai khái niệm này? Hệ quả của nó? - Ở thời điểm chúng tôi tiến hành nghiên cứu, SGK Việt Nam gồm 3 bộ sau : + Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 + Sách giáo khoa thí điểm bộ 1 gồm hai ban: ban KHTN và ban KHXH + Sách giáo khoa thí điểm bộ 2 gồm hai ban: ban KHTN và ban KHXH Để nghiên cứu, chúng tôi chọn chương trình và SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (đang được sử dụng đại trà) kết hợp với việc so sánh, đối chiếu với SGK thí điểm bộ 2. Trong bộ sách thí điểm này, sự khác nhau giữa hai ban không nhiều nên chúng tôi chọn ban KHTN để phân tích. Ngoài ra, để thấy rõ hơn mối quan hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Việt Nam, chúng tôi chọn phân tích một số SGK của thể chế dạy học ở Pháp. Phần phân tích sau dựa vào các tài liệu đánh số từ [2] đến [12] và [18] (xem Tài liệu tham khảo). Phần A Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Pháp Theo phân tích ở chương 1, khái niệm tiếp tuyến xuất hiện trước trong phạm vi hình học sơ cấp (HHSC) thông qua khái niệm tiếp tuyến với đường tròn, sau đó mới xuất hiện trong giải tích và mở đường cho việc hình thành khái niệm đạo hàm và vi phân. Phân tích chương trình và SGK của Pháp cũng cho thấy tiếp tuyến xuất hiện đầu tiên trong phạm vi HHSC. Sau đó, khái niệm tiếp tuyến với đường cong tổng quát đuợc đưa vào cùng với khái niệm đạo hàm. Sau đây chúng tôi sẽ phân tích theo 2 giai đoạn : 2.1. Tiếp tuyến trong phạm vi HHSC
Chúng tôi dựa vào kết quả trong [2] Khái niệm tiếp tuyến với đường tròn được đưa vào ở lớp 10 với các đặc trưng: là đường thẳng có ”một điểm chung”,” tiếp xúc”,”vuông góc với bán kính qua tiếp điểm”. Việc xác định tiếp tuyến chủ yếu dựa vào phương pháp dựng hình và phương pháp vectơ tọa độ. 2.2. Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong phạm vi giải tích 2.2.1. Những đặc trưng chủ yếu của tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến a) Trong khóa luận tốt nghiệp (mémoire professionnel) của mình, hai sinh viên Pháp N.Chaboud và D. Hedde đã làm rõ bốn tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm thể hiện trong một số SGK thuộc các ban khác nhau ở Pháp (từ năm 1993 đến năm 1999). Bảng dưới đây tổng hợp những đặc trưng chính của khái niệm đạo hàm và mối quan hệ của nó với khái niệm tiếp tuyến trong các tiến trình này[25, tr.3]. Bảng 2.1: Những điểm chính của mỗi tiến trình đưa vào khái niệm tiếp tuyến, đạo hàm Tiến trình 1 Tiến trình 2 Tiến trình 3 Tiến trình 4 Ghi chú Tiếp tuyến Giới hạn tại 0 của tỉ số số Xấp xỉ afin ( dưới hình Hàm số đạo hàm (khái niệm trực giác) gia thức khai triển giới hạn ( khái niệm trực cấp 1) và giới hạn của tỉ giác) số số gia Số đạo hàm Số đạo hàm Số đạo hàm Số đạo hàm Hàm số đạo hàm Hàm số đạo hàm và tiếp Tiếp tuyến tuyến Hàm số đạo hàm và khái ( khái niệm được (khái niệm được định nghĩa) niệm tiếp tuyến ( khái định nghĩa) niệm được định nghĩa) Khái niệm giới hạn Chuyển từ tổng Chuyển từ địa phương tới tổng thể thể tới địa phương Xấp xỉ affine không Xấp xỉ affine được đề cập theo Xấp xỉ affine là cơ sở Xấp xỉ affine được đề cập hoặc kiểu ”bổ sung” (thường là cuối của phần lí thuyết được xếp vào một hầu như không được công đoạn) (cours) công đoạn sau xử lí khi nghiên cứu về giới hạn -”Số đạo hàm” chính là đạo hàm của hàm số tại một điểm - Nghiên cứu địa phương một hàm số là nghiên cứu hàm số đó trong một lân cận khá bé của một điểm nào đó. Nghiên cứu tổng thể một hàm số là nghiên cứu nó trong một khoảng xác định. b) Nhận xét