Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Một nghiên cứu Didactic về dạy học Vectơ ở trường phổ thông - Vectơ hình học và Vectơ Vật lý

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

140
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Một nghiên cứu Didactic về dạy học Vectơ ở trường phổ thông - Vectơ hình học và Vectơ Vật lý gồm có 3 chương. Trong đó, chương 1- Vectơ trong dạy học Hình học ở trường phổ thông; chương 2- Vectơ trong dạy học Vật lý ở trường phổ thông; chương 3- Nghiên cứu thực nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Một nghiên cứu Didactic về dạy học Vectơ ở trường phổ thông - Vectơ hình học và Vectơ Vật lý

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Ngô Thị Hồng Hạnh MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC VECTƠ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG: VECTƠ HÌNH HỌC VÀ VECTƠ VẬT LÝ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Ngô Thị Hồng Hạnh MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC VECTƠ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG: VECTƠ HÌNH HỌC VÀ VECTƠ VẬT LÝ Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài: Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của nhiều ngành toán học hiện đại, như đại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân, ... Nó còn mang lại một công cụ hiệu quả cho việc nghiên cứu hình học sơ cấp. Không chỉ trong phạm vi toán học, vectơ còn được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực của vật lý và kỹ thuật. Ở Việt Nam, khái niệm vectơ được đưa vào từ đầu năm lớp 10 của chương trình toán học phổ thông nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để nghiên cứu hình học, đồng thời phục vụ cho việc học môn vật lý. Cụ thể là vectơ được sử dụng ở cả ba lớp 10, 11, 12 để biểu diễn và nghiên cứu các đại lượng vật lý. Liên quan đến khái niệm vectơ, chúng tôi tìm thấy một số công trình nghiên cứu didactique đề cập đến phương diện đối tượng cũng như phương điện công cụ của nó: Lê Thị Hoài Châu (Luận án tiến sĩ, 1997), Đỗ Công Đoán (Luận văn thạc sĩ, 2002), Võ Hoàng (Luận văn thạc sĩ, 2002), Hoàng Hữu Vinh (Luận văn thạc sĩ, 2002). Kết quả nghiên cứu của các công trình này cho thấy học sinh gặp khó khăn trong việc chiếm lĩnh khái niệm vectơ cũng như sử dụng công cụ vectơ trong phạm vi hình học. Cụ thể, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã vạch ra những khó khăn mà học sinh thường gặp khi học tập phần vectơ: - Khó khăn trong việc vượt ra khỏi mô hình mêtric để xem xét các đặc trưng định hướng của vectơ. - Khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc trưng định hướng của vectơ. - Khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của phép toán vectơ. Hơn thế, tác giả còn chứng tỏ được rằng ngoài nguồn gốc khoa học luận, những khó khăn trên còn có thể bị làm cho trầm trọng thêm bởi một sự lựa chọn chuyển đổi sư phạm. Các công trình mà chúng tôi đã kể ra ở trên chỉ nghiên cứu vectơ trong phạm vi hình học mà chưa đề cập đến khái niệm vectơ trong phạm vi vật lí. Mặc khác những công trình này nghiên cứu về khái niệm vectơ trong các chương trình: chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000. Trong khi chương trình hiện hành là chương trình phân ban được áp dụng từ năm 2006 trên toàn quốc.
Thực tế này dẫn chúng tôi đến những câu hỏi sau: Khái niệm vectơ được đưa vào chương trình hình học lớp 10 hiện hành có gì thay đổi so với các chương trình trước đó: chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000? Trong dạy học vật lý ở trường phổ thông, vectơ được đưa vào và sử dụng như thế nào? Học sinh gặp vectơ trong vật lý trước hay sau khi đối tượng này được nghiên cứu trong dạy học toán? Khi sử dụng công cụ vectơ trong vật lí học sinh gặp phải thuận lợi hay khó khăn gì? Việc nghiên cứu vectơ trong hình học có ảnh hưởng gì đến việc học tập các khái niệm có liên quan đến vectơ trong vật lí không? Đó là những câu hỏi mà chúng tôi đặt ra và cũng là lý do mà chúng tôi chọn đề tài “Một nghiên cứu didactic về dạy học vectơ ở trường phổ thông : vectơ hình học và vectơ vật lí” để trả lời các câu hỏi trên. 2. Lý thuyết tham chiếu: Để trả lời cho các câu hỏi trên chúng tôi đặt nghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic, cụ thể là thuyết nhân học. Trong thuyết nhân học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân” và “praxéologie ”. Để thuận lợi trong việc trình bày, từ nay về sau chúng tôi quy ước gọi: I1: là thể chế dạy học hình học THPT theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành. I2 : là thể chế dạy học vật lí ở trường phổ thông theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành. Nghiên cứu quan hệ thể chế sẽ cho chúng tôi biết đối tượng tri thức “vectơ” xuất hiện ở đâu, tồn tại như thế nào, có vai trò gì trong các thể chế I1 và I2. Nghiên cứu quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng “vectơ trong vật lý” sẽ cho chúng tôi biết cách hiểu của học sinh về khái niệm vectơ, từ đó trả lời cho câu hỏi “ Khi sử dụng công cụ vectơ trong vật lí học sinh gặp phải những thuận lợi và khó khăn gì?”. Mối quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân được xác định thông qua việc nghiên cứu các “praxéologie ”.
3. Mục đích nghiên cứu: Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn chúng tôi cụ thể hóa những câu hỏi khởi đầu mà việc trả lời chúng chính là mục đích của đề tài: Q1. Trong thể chế I1, mối quan hệ thể chế với khái niệm vectơ có những đặc trưng cơ bản nào? Q2. Trong thể chế I2, mối quan hệ thể chế với đối tượng vectơ có những đặc trưng cơ bản nào? Vectơ được đưa vào ra sao, gắn với những nghĩa gì, được sử dụng như thế nào trong vật lý? Những tổ chức vật lý có liên quan đến vectơ ? Những kiểu nhiệm vụ nào đòi hỏi học sinh hiểu đúng khái niệm vectơ đặc biệt là hai đặc trưng định hướng của vectơ? Q3. Những khó khăn mà học sinh gặp phải khi sử dụng công cụ vectơ trong vật lí? 4. Phương pháp nghiên cứu: - Trước hết, chúng tôi phân tích chương trình và sách giáo khoa hình học hiện hành nhằm thấy được mối quan hệ thể chế đối với đối tượng vectơ trong thể chế I1. Trên cơ sở tham khảo kết quả nghiên cứu về vectơ trong các chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất của tác giả : Lê Thị Hoài Châu, Đỗ Công Đoán và Hoàng Hữu Vinh. Chúng tôi sẽ chỉ ra có sự thay đổi hay không về đặc trưng và vai trò của vectơ trong thể chế I1 với các thể chế dạy học vectơ theo các chương trình hình học: chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất. Kết quả thu được cho phép chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q1. - Tiếp đến chúng tôi sẽ phân tích chương trình và sách giáo khoa, sách giáo viên vật lý phổ thông hiện hành, tài liệu hướng dẫn giảng dạy, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ các tổ chức vật lý gắn với đối tượng vectơ. Nghiên cứu này cũng cho phép chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q2 và Q3. - Từ những kết quả đạt được ở trên chúng tôi sẽ nghiên cứu và thiết lập một hệ thống câu hỏi thực nghiệm để kiểm chứng những giả thuyết mà chúng tôi đưa ra về những khó khăn của học sinh khi sử dụng vectơ trong vật lý. 5. Tổ chức của luận văn: Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương sau : Chương 1- Vectơ trong dạy học hình học ở trường phổ thông. Chương 2- Vectơ trong dạy học vật lý ở trường phổ thông Chương 3- Nghiên cứu thực nghiệm
CHƯƠNG 1 : NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI VECTƠ HÌNH HỌC Bắt đầu từ năm 2006, chương trình phân ban được áp dụng trên cả nước. Qua đó chương trình toán THPT gồm có: chương trình chuẩn và chương trình nâng cao; tương ứng có hai bộ sách giáo khoa. Ở đây chúng tôi sẽ sử dụng các công cụ của thuyết nhân học để phân tích chương trình chuẩn nhằm làm rõ đặc trưng và vai trò của vectơ trong thể chế I1. Chúng tôi sẽ so sánh với vai trò của vectơ trong thể chế dạy học hình học theo chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 (mà chúng tôi sẽ gọi tắt là các chương trình trước năm 2006). 1.1. Vectơ trong các chương trình hình học THPT trước năm 2006 Trước hết vectơ được nghiên cứu với tư cách là đối tượng toán học trong chương trình hình học 10. Cụ thể, chương trình đưa vào khái niệm vectơ, các phép toán vectơ, tọa độ của vectơ. Tiếp đến, vectơ được sử dụng làm công cụ để xây dựng định nghĩa tọa độ của điểm. Sau đó, công cụ vectơ được dùng để nghiên cứu các hệ thức lượng, các phép dời hình và đồng dạng. Các kiến thức vectơ trong mặt phẳng ở chương trình hình học 10 được dùng làm cơ sở để đưa vào phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian trong chương trình hình học 12. 1.1.1.Vectơ trong chương trình hình học hiện hành Về mặt cấu trúc, trong chương trình hình học hiện hành có một số thay đổi về trình tự đưa vào các kiến thức. Tuy nhiên so với các chương trình cũ mục đích của việc dạy học vectơ không thay đổi, nó được đưa vào nhằm cung cấp cho học sinh một phương pháp mới để nghiên cứu hình học: phương pháp vectơ. Qua đó, trong chương trình hình học 10, trước hết vectơ cũng được nghiên cứu với tư cách là đối tượng. Sau đó, công cụ vectơ được dùng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác, đồng thời xây dựng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. Trong chương trình hình học 11, công cụ vectơ được sử dụng để nghiên cứu các phép biến hình. Các khái niệm về vectơ trong mặt phẳng được mở rộng vào không gian nhằm cung cấp công cụ để nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian. Công cụ vectơ tiếp tục được sử dụng làm cơ sở để đưa vào phương pháp tọa độ trong không gian ở chương trình hình học 12. Ngoài ra mục tiêu của chương trình còn “Giới thiệu cho học sinh một số ứng dụng trong vật lý. Trong vật lý 8, học sinh đã được học cách biểu diễn một lực bằng vectơ và cũng chỉ dừng lại ở cách biểu diễn.
Khi có kiến thức về vectơ học sinh sẽ dễ dàng tiếp thu các kiến thức về cơ học trong chương trình THPT.”(SGV hình học 10 trang 22) 1.1.2. Vectơ với tư cách là đối tượng trong sách giáo khoa hiện hành Các khái niệm liên quan đến vectơ được trình bày trong “Chương I. Vectơ” của SGK hình học 10. Trong chương này, các tác giả đưa vào khái niệm vectơ, tổng và hiệu của hai vectơ, tích của vectơ với một số, hệ trục tọa độ. Chúng tôi sẽ phân tích cách đưa vào khái niệm vectơ trong SGK hình học 10 hiện hành trên cơ sở so sánh với cách đưa vào khái niệm vectơ trong các SGK thuộc chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất (mà chúng tôi sẽ gọi tắt là các SGK trước năm 2006). Trong toán học, để định nghĩa khái niệm vectơ hình học người ta có thể định nghĩa qua hệ tiên đề của không gian vectơ, qua lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng hoặc qua lớp tương đương các cặp điểm sắp thứ tự. Trong chương trình toán trung học, khái niệm vectơ thường được trình bày theo tư tưởng lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng hoặc lớp tương đương các cặp điểm. Theo xu hướng này, khái niệm vectơ được xây dựng qua khái niệm phép tịnh tiến hoặc khái niệm vectơ buộc. Trong các chương trình hình học trước năm 2006 đều lựa chọn xây dựng khái niệm vectơ qua khái niệm vectơ buộc theo sơ đồ trình bày: định nghĩa vectơ là đoạn thẳng có hướng, sau đó định nghĩa hai vectơ cùng phương, mô tả hai vectơ cùng hướng, định nghĩa độ dài (hay môđun) của vectơ, cuối cùng định nghĩa hai vectơ bằng nhau. Trong đó khái niệm vectơ tự do có thể được đưa vào một cách tường minh hay ngầm ẩn . Khi nghiên cứu SGK hiện hành chúng tôi thấy rằng về cơ bản không có sự thay đổi trong việc đưa vào khái niệm vectơ so với các SGK trước năm 2006. Đầu tiên SGK định nghĩa: “Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.” (SGK hình học 10 trang.4) Tiếp đến, các tác giả đưa vào khái niệm giá của vectơ: “Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.” (SGK hình học 10 trang 5) Từ đó các tác giả định nghĩa hai vectơ cùng phương, mô tả khái niệm hai vectơ cùng hướng, ngược hướng “Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau”. (SGK hình học 10 trang 5)
A B C D Q R F P S E Hình 1.3 uuur uuur uuur “Trên hình 1.3, hai vectơ AB , CD cùng phương, và có hướng đi từ trái sang phải. Ta nói AB và uuur uuur uuur CD là hai vectơ cùng hướng. Hai vectơ PQ và RS cùng phương nhưng có hướng ngược nhau. Ta uuur uuur nói: Hai vectơ PQ và RS là hai vectơ ngược hướng.” (SGK hình học 10 trang 5) “Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng” (SGK hình học 10 trang 5) Định nghĩa độ dài của vectơ và từ đó định nghĩa hai vectơ bằng nhau: “Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài r r của vectơ a được kí hiệu là | a |.”(SGK hình học 10 trang 7) r r r r “Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a = b ”(SGK hình học 10 trang 6) Khái niệm vectơ tự do được đưa vào ngầm ẩn: r r r r “Vectơ còn được kí hiệu là a , b , x , y ,…khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó”(SGK hình học 10, tr.4) r r uuur uuur “… mọi vectơ–không đều bằng nhau. Ta kí hiệu vectơ-không là 0 . Như vậy 0 = AA = BB =…” (SGK hình học 10 trang 6) Các phép toán vectơ được định nghĩa trên các vectơ tự do. Như vậy, trong SGK hiện hành cũng đưa vào khái niệm vectơ thông qua khái niệm vectơ buộc. Khái niệm vectơ tự do không được trình bày tường minh. Theo các tác giả: “Vì lí do sư phạm khi định nghĩa vectơ, ta không đề cập đến khái niệm vectơ tự do. Tuy nhiên khi định nghĩa hai vectơ bằng nhau giáo
viên cần hiểu hai vectơ này cùng thuộc một lớp tương đương và sau khi xây dựng tọa độ của vectơ thì tất cả các vectơ bằng nhau đều có cùng một tọa độ, như vậy thông qua tọa độ ta đã dùng các vectơ tự do” (SGV hình học 10 trang 23) Sau khi định nghĩa và nêu ra các tính chất của phép nhân vectơ với một số SGK đưa ra mệnh đề về việc phân tích một vectơ qua cơ sở: r r r “Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích một cách duy nhất r r r r r theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho = x ha + kb .”(SGK hình học 10 trang 16) Mệnh đề này chính là cơ sở để xây dựng khái niệm tọa độ của vectơ trong hệ trục tọa độ vuông góc. 1.2. Vectơ với tư cách là công cụ trong sách giáo khoa hiện hành 1.2.1. Công cụ vectơ trong SGK hình học 10: Công cụ vectơ được dùng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác, đồng thời xây dựng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. Để đưa vào các hệ thức lượng trong tam giác, trước hết SGK đưa vào khái niệm tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của tích vô hướng để tính độ dài của vectơ, góc giữa hai vectơ, khoảng cách giữa hai điểm. Nhờ đó, các tác giả chứng minh định lí côsin, công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác…Trong các ứng dụng của tích vô hướng, SGK có đề cập đến ứng dụng trong vật lý: ur “Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực F tác động lên ur một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OO’ thì công A của lực F được tính theo công thức: ur uuuur ur ur A = F . OO ' cos ϕ (hình 2.8) trong đó | F | là cường độ của lực F tính bằng Niutơn (viết tắt là N), | uuuur uuuur uuuur ur OO ' | là độ dài của vectơ OO ' tính bằng mét (m), ϕ là góc giữa hai vectơ OO ' và F , còn công A được tính bằng Jun (viết tắt là J). Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được gọi là tích vô hướng của ur uuuur hai vectơ F và OO ' .”(SGK hình học 10 trang 41) Điều này cho thấy ý nghĩa vật lý của tích vô hướng của hai vectơ. Để xây dựng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng, ngay từ chương I các tác giả đưa vào các kiến thức cơ sở của phương pháp tọa độ: khái niệm trục tọa độ và hệ trục tọa độ vuông góc, tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ đối với trục và hệ trục. Về khái niệm tọa độ của vectơ SGK trình bày như sau:
r uuur r Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA = u và gọi A 1 , A2R R R R lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có r uuur uuur uuuur uuur r uuuur A2 u A r = OA1 + OA2 và cặp số duy nhất (x;y) để OA1 = xi , OA2 = y j . Như vậy OA r r r r r u= xi + y j . Cặp số (x;y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ u đối r u r j với hệ tọa độ Oxy và viết u = ( x; y ) . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số r O i A1 r thứ hai gọi là tung độ của vectơ u ” (SGK hình học 10 trang 23) Ở đây sự duy nhất của cặp số (x; y) là do sự phân tích duy nhất của một vectơ qua cơ sở. Sau khi đã đưa khái niệm tọa độ của vectơ thì vectơ được biểu diễn thông qua tọa độ của nó và các phép toán vectơ cũng được thực hiện trên tọa độ các vectơ. Tọa độ của điểm được định nghĩa như sau: M2 M ( x; y ) “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của uuuur r vectơ OM đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với j hệ trục đó” (SGK hình học 10 trang 23) O ri M1 Việc đưa vào các khái niệm tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm là cơ sở để xây dựng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở chương III. Từ đó, người ta nghiên cứu đường thẳng, đường tròn và đường elip. Công thức tính độ dài đoạn thẳng và góc giữa hai đường thẳng được suy ra từ tích vô hướng của hai vectơ. Phương trình đường thẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng được xây dựng dựa vào khái niệm vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Phương trình đường tròn và đường elip được thiết lập mà không cần có sự can thiệp trực tiếp của vectơ (gián tiếp thì người ta đã sử dụng vectơ thông qua công thức tính độ dài một đoạn thẳng) 1.2.2. Công cụ vectơ trong SGK hình học 11 Công cụ vectơ được dùng để định nghĩa phép tịnh tiến, phép vị tự, chứng minh tính chất của phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm và phép vị tự. Để nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian, SGK đưa vào các khái niệm về vectơ trong không gian. Trong đó các khái niệm vectơ, các phép toán vectơ được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng. Tiếp theo, các tác giả đưa vào khái niệm ba vectơ đồng phẳng và sự phân tích duy nhất của một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng. Sau đó, SGK xây dựng khái niệm tích vô hướng của hai vectơ trong không gian. Từ đó, công cụ vectơ được dùng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
1.2.3. Công cụ vectơ trong SGK hình học 12 Trên cơ sở khái niệm vectơ trong không gian được giới thiệu ở Hình học 11, SGK xây dựng phương pháp tọa độ trong không gian. Các khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm đối với hệ trục được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Các khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng, phương trình tham số của đường thẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được xây dựng dựa vào vectơ thông qua các khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, vectơ chỉ phương của đường thẳng. Ngoài ra việc xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa hai đường thẳng cũng dựa vào kiến thức vectơ. 1.3. Các tổ chức toán học liên quan đến vectơ Như trong phần phân tích chương trình đã chỉ ra, trong SGK 11 và 12 công cụ vectơ chủ yếu được sử dụng để xây dựng các kiến thức trong phần lý thuyết, đồng thời được sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong phần bài tập ở SGK hình học 11. Do đó trong phần này chúng tôi chỉ phân tích SGK Hình học 10, 11 nhằm làm rõ vai trò của vectơ trong các tổ chức toán học liên quan đến vectơ. Nghiên cứu các SGK này chúng tôi thấy các tổ chức toán học được hình thành từ những kiểu nhiệm vụ cơ bản sau: T1 Xác định vectơ (Xác định phương, hướng, độ dài của vectơ) T2 Xác định tọa độ của vectơ T3 Chứng minh một đẳng thức vectơ T4 Tính tích vô hướng T5 Phân tích (biểu thị) một vectơ qua hai vectơ không cùng phương T6 Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa một hệ thức vectơ T7 Chứng minh hai điểm trùng nhau T8 Chứng minh ba điểm thẳng hàng T9 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc So với các SGK trước năm 2006, trong SGK hiện hành đã bỏ đi các kiểu nhiệm vụ: Tìm tỉ số một điểm chia một đoạn thẳng Chứng minh một đường thẳng di động đi qua một điểm cố định Chứng minh các đường thẳng đồng quy.
Dưới đây chúng tôi sẽ làm rõ những tổ chức toán học được thiết lập trong SGK từ các kiểu nhiệm vụ này. Khi phân tích, chúng tôi sẽ dừng ở thành phần công nghệ, vì chúng là các tổ chức toán học bộ phận đều có chung Θ là lý thuyết vectơ và tập số thực R với các phép toán đại số. Tổ chức toán học gắn với T1 - Xác định vectơ (Xác định phương, hướng, độ dài của vectơ) T1 gồm các kiểu nhiệm vụ con sau đây : • T 11 : Tìm vectơ cùng phương hoặc cùng hướng với một vectơ hoặc bằng một vectơ cho trước. R R Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. B C r uuur a) Tìm các vectơ khác vectơ 0 và cùng phương với OA uuur A D b)Tìm các vectơ bằng vectơ AB O Kỹ thuật τ 11 : Dựa vào hình vẽ và tính chất hình học của R R F E hình, chỉ ra các vectơ cùng phương hoặc cùng hướng với một vectơ hoặc bằng một vectơ cho trước. Công nghệ θ 11 : định nghĩa vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng, hai vectơ bằng R R nhau • T 12 : Xác định vectơ tổng và vectơ hiệu (vẽ vectơ tổng hoặc vectơ hiệu; tính độ dài của vectơ tổng R R hoặc vectơ hiệu) Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ uuur uuur uuur uuur MA + MB và MA − MB . uuur uuur uuur uuur Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tìm độ dài của các vectơ AB + BC và AB - BC . Kỹ thuật t12 : dựa vào định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ để vẽ vectơ tổng và vectơ hiệu. Dựa R R vào tính chất hình học của hình để tính độ dài của các vectơ này. Công nghệ θ 12 : định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ. R R Tổ chức toán học gắn với T2 - Xác định tọa độ của vectơ T2 cũng gồm hai kiểu nhiệm vụ con. • T 21 : Tìm tọa độ của một vectơ biểu thị theo hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa độ Đề-cac vuông góc. R R Ví dụ: Tìm tọa độ của các vectơ sau: r r r r r r r ur r r a) a = 2i b) b = −3 j c) c= 3i − 4 j d)= d 0, 2i + 3 j
Kỹ thuật τ21 : Trong biểu thức đã cho, xác định hệ số của các vectơ đơn vị trên trục Ox, Oy. Nếu R R các hệ số đó theo thứ tự là x, y thì tọa độ của vectơ đã cho là (x, y) r r r r Công nghệ τ21 : u = ( x; y ) ⇔ u = xi + y j R R • T 22 : Tìm tọa độ của một vectơ thỏa mãn một hệ thức vectơ cho trước R R r r r Ví dụ: Cho a = (2;1), b =− (3; 4), c = (−7; 2). r r r r a) Tìm tọa độ của vectơ u = 3a + 2b − 4c r r r r r b) Tìm tọa độ vectơ x sao cho x + a = b − c Kỹ thuật τ22 : Tính tọa độ của vectơ bằng cách dùng công thức tọa độ của các vectơ R R r r r r r u + v, u − v, ku . r r r r r Công nghệ θ 22: định nghĩa tọa độ của vectơ, tọa độ của các vectơ u + v, u − v, ku . R R Tổ chức toán học gắn với T3 - Chứng minh một đẳng thức vectơ Kỹ thuật: τ31 : Biến đổi vế này thành vế kia bằng cách dùng quy tắc 3 điểm R R τ32 : Dùng quy tắc ba điểm kết hợp với hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm để R R R R biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi hai vế về cùng một vectơ Công nghệ θ 3 : R R - Các định nghĩa: vectơ bằng nhau, vectơ-không, phép cộng và hiệu hai vectơ, phép nhân vectơ với một số. - Tính chất của phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số - Tính chất của tích vô hướng uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur - Quy tắc 3 điểm:Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: MN + NP = = ON − OM MP , MN - Hệ thức trung điểm: uur uur r Hệ thức 1: Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0 Hệ thức 2:Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: uuur uuur uuur MA + MB = 2 MI
Hệ thức trọng tâm: uuur uuur uuur r Hệ thức 1: Điểm G là trung điểm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0 Hệ thức 2:Nếu G là trung điểm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: uuur uuur uuur uuuur GA + GB + GC = 3MG Ví dụ: (Kiểu nhiệm vụ T3, kỹ thuật τ31 ) Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D, ta có: R R uuur uuur uuur uuur AB + CD = AD + CB (Kiểu nhiệm vụ T3, kỹ thuật τ32 ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ R R uuuur uuur uuur uuur uuur giác ABCD. Chứng minh rằng: 2MN = AC + BD = BC + AD Tổ chức toán học gắn với T4 - Tính tích vô hướng a) Có hai kiểu nhiệm vụ con gắn với T4: T 41 : Cho trước độ dài đoạn thẳng, số đo góc. Tính tích vô hướng R R T 42 : Cho tọa độ vectơ, tính tích vô hướng R R b) Kỹ thuật giải τ41 : dùng định nghĩa R R τ42 : dùng biểu thức tọa độ của tích vô hướng R R c) Công nghệ θ 4 : R R Định nghĩa tích vô hướng Các tính chất của tích vô hướng d)Ví dụ: (Kiểu nhiệm vụ T 41 , kỹ thuật τ41 ) Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô R R R R uuur uuur uuur uuur hướng AB. AC , AC.CB r r (Kiểu nhiệm vụ T 42 , kỹ thuật τ42 ) Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ a = (-3;1) và b =(2;2), hãy R R R R r r tính tích vô hướng a . b Tổ chức toán học gắn với T5 - Phân tích (biểu thị) một vectơ qua hai vectơ không cùng phương a) Hai kiểu nhiệm vụ con của T5:
T 51 : Cho trước hai vectơ không cùng phương. Hãy biểu thị các vectơ khác qua hai vectơ R R đó T 52 : Cho tọa độ các vectơ. Hãy biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. R R b) Kỹ thuật: τ51 : dùng quy tắc ba điểm,hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm để phân tích vectơ R R theo hai vectơ cho trước. r r r r r r r τ52 Để phân tích vectơ c theo a và b ta tìm các số h và k sao cho = R R c ha + kb theo a và r b c) Công nghệ θ 5 : R R r r r Mệnh đề: “Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích r r r r r một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho = x ha + kb .” Quy tắc ba điểm Nhận xét: “ Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau” r r r r r Công thức tính tọa độ của các vectơ u + v, u − v, ku Tổ chức toán học gắn với T6 - Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa một hệ thức vectơ Kỹ thuật τ6 : Dùng quy tắc ba điểm, hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm để rút gọn hệ R R thức đã cho về một trong các dạng: uuur uuur uuur uuur MA = k AB . Vậy M nằm trên AB sao cho MA = k AB uuuur uuur AM = BC . Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM uuur uuur r MA + MB = 0 . Vậy M là trung điểm AB uuuur r AM = 0 . Vậy M ≡ A Công nghệ θ 6 : R R Định nghĩa: vectơ-không, vectơ bằng nhau, Quy tắc ba điểm uur uur r Hệ thức trung điểm: I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0
Tích của vectơ với một số và các tính chất Điều kiện để ba điểm thẳng hàng:”Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k uuur uuur khác 0 để AB = k AC uuur uuur uuuur r Ví dụ: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho MA + MB + 2MC = 0 Tổ chức toán học gắn với T7: chứng minh hai điểm trùng nhau a) Có hai kiểu nhiệm vụ con của T7 được xem xét trong SGK: T 71 : Chứng minh các đoạn thẳng có cùng trung điểm R R T 72 : Chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm R R b)Kỹ thuật giải: uur r τ71 : Để chứng minh I ≡ I’ ta chứng minh II ' = 0 R R τ72 : Tính tọa độ trọng tâm G và G’ của các tam giác ABC và A’B’C’, suy ra G và G’ có tọa độ R R bằng nhau, từ đó kết luận G ≡ G’ c)Công nghệ θ 7 : R R Định nghĩa vectơ-không Quy tắc ba điểm Hệ thức trung điểm Hệ thức trọng uuur uuur uuuur r Điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm là: AA ' + BB ' + CC ' = 0 x A + xB + xC y A + yB + yC Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: G( ; ) 3 3 d)Ví dụ: uuur uuur (Kiểu nhiệm vụ T 72 , kỹ thuật τ71 ) Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn R R R R thẳng AD và BC trùng nhau. (Kiểu nhiệm vụ t 72 , kỹ thuật τ71 ) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm R R R R của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
(Kiểu nhiệm vụ t72 , kỹ thuật τ72 ) R R R R Cho các điểm A(-4;1), B’(2;4), C’(2;-2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’ trùng nhau. Tổ chức toán học gắn với T8 - chứng minh ba điểm thẳng hàng Kỹ thuật τ8 : Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng người ta làm như sau: R R uuur uuur -Phân tích các vectơ AB, AC theo một hệ vectơ nào đó uuur uuur -So sánh và rút ra AB = k AC -Kết luận A, B, C thẳng hàng Công nghệ θ 8 : R R Định nghĩa tích của một vectơ với một số Tính chất của phép nhân vectơ với một số Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k sao cho uuur uuur AB = k AC Ví dụ: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên 1 cạch AB sao cho AK = AB 5 uur uuur uur uuur r uuur r uuur = a) Hãy phân tích AI , AK , CI , CK theo = a CA, b CB b) Chứng minh ba điểm C, I, K thẳng hàng Tổ chức toán học gắn với T9: chứng minh hai đường thẳng vuông góc uuur uuur Kỹ thuật τ9 : Để chứng minh AB⊥CD ta chứng minh rằng AB.CD = 0 R R Công nghệ θ 9 : R R Định nghĩa tích vô hướng Các tính chất của tích vô hướng rr r r Chú ý: a.b = 0 ⇔ a ⊥ b Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Ví dụ:Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;3), B(4;2). Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc. Thống kê số bài tập tương ứng với các kiểu nhiệm vụ Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Bài tập Tổng cộng T1 1 6 7 T2 2 2 T3 2 10 12 T4 1 4 5 T5 2 5 7 T6 3 3 T7 3 3 T8 1 1 T9 1 6 7 Nhận xét: - Kiểu nhiệm vụ T1 nhằm giúp cho học sinh hiểu các khái niệm về vectơ, các đặc trưng của vectơ (phương, hướng, độ dài), vectơ bằng nhau, vectơ đối và các phép toán vectơ. Các kỹ thuật giải quyết các nhiệm vụ của kiểu nhiệm vụ này được rút ra từ yếu tố công nghệ được trình bày tường minh trong phần lý thuyết. Trong tất cả các bài tập vấn đề xác định phương, hướng, độ dài của vectơ được đặt trong mối liên hệ với các vectơ khác và dựa vào tính chất hình học của hình. SGK có giới thiệu một bài tập ứng dụng trong phạm vi vật lí liên quan đến việc xác định vectơ và tổng của hai vectơ. ur uuur ur uuur ur uuuur “Cho ba lực F 1 = MA , F 2 = MB và F 3 = MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng ur ur ∧ ur yên. Cho biết cường độ của F 1 , F 2 đều là 100N và AMB = 600 . Tìm cường độ và hướng của lực F 3 ” (Bài tập 10 SGK Hình học trang 12)
- Kiểu nhiệm vụ T2 nhằm mục đích củng cố định nghĩa tọa độ của vectơ và các công thức về tọa độ của r r r r r các vectơ u + v, u − v, ku . Trong các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này các vectơ được cho dưới dạng phân tích theo hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa độ vuông góc hoặc cho trước tọa độ. Không có bài tập nào cho bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp. Kỹ thuật để giải quyết đơn giản chỉ áp dụng trực tiếp định nghĩa và các công thức. - Kiểu nhiệm vụ T3 giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi một hệ thức vectơ thành một hệ thức vectơ. Tương tự như ở SGK 2000 số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này nhiều hơn so với các kiểu nhiệm vụ khác. Điều này cho thấy yêu cầu rèn luyện kỹ năng biến đổi các hệ thức vectơ là một yêu cầu trọng tâm. Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này không được đưa ra tường minh mà chỉ ngầm ẩn qua lời giải các ví dụ và bài tập. - Mục đích của kiểu nhiệm vụ T4 là giúp học sinh biết cách vận dụng định nghĩa và biểu thức tọa độ để tính tích vô hướng của hai vectơ. Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này đơn giản chỉ vận dụng định nghĩa và công thức để tính. Vì trong phần lý thuyết không trình bày công thức hình chiếu nên không có bài tập liên quan đến việc sử dụng kỹ thuật này để tính tích vô hướng. - Kiểu nhiệm vụ T5 không xuất hiện trong SGK năm 2000 vì trong SGK 2000 không đưa vào định lí về phân tích vectơ qua cơ sở. Trong kiểu nhiệm vụ t 51 đề bài cho dưới dạng ngôn ngữ vectơ, khi đó kỹ R R thuật giải tương ứng sử dụng phương pháp vectơ. Trong kiểu nhiệm vụ t 52 đề bài cho bằng ngôn ngữ R R tọa độ, kỹ thuật giải tương ứng sử dụng phương pháp tọa độ. Các kỹ thuật không được trình bày tường minh mà ngầm ẩn qua lời giải ví dụ và bài tập. Yếu tố công nghệ được trình bày tường minh trong SGK. - Kiểu nhiệm vụ T6 nhằm mục đích rèn luyện việc chuyển ngôn ngữ từ vectơ sang hình học tổng hợp và ngược lại đồng thời rèn luyện kỹ năng biến đổi trên một hệ thức vectơ. Kỹ thuật không được trình bày tường minh trong SGK hiện hành mà ngầm ẩn qua lời giải các bài tập. - Các kiểu nhiệm vụ từ T7 đến T9 liên quan đến phương diện công cụ của vectơ. Các bài tập thuộc các kiểu nhiệm cụ này được cho bằng ngôn ngữ tổng hợp, ngôn ngữ vectơ hoặc ngôn ngữ tọa độ. Nếu đề bài cho bằng ngôn ngữ tổng hợp hoặc ngôn ngữ vectơ thì kỹ thuật để giải quyết tương ứng sẽ dựa vào các phép biến đổi vectơ, nếu đề bài cho bằng ngôn ngữ tọa độ thì kỹ thuật giải chủ yếu dựa vào các công thức về tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm. Dựa vào kết quả thống kê ở trên ta thấy số lượng bài tập liên quan đến phương diện công cụ của vectơ rất ít. Điều đó cho thấy việc sử dụng vectơ để giải toán không được xem là mục đích quan trọng.