Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu việc đưa vào dạy học Toán ở trường phổ thông thuật toán chia đôi trong môi trường máy tính bỏ túi

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:75

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu việc đưa vào dạy học Toán ở trường phổ thông thuật toán chia đôi trong môi trường máy tính bỏ túi gồm có 3 chương trình bày về tổ chức toán học tham chiếu gắn liền với thuật toán chia đôi, quan hệ thể chế với thuật toán chia đôi và máy tính bỏ túi, thực nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu việc đưa vào dạy học Toán ở trường phổ thông thuật toán chia đôi trong môi trường máy tính bỏ túi

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH ---------------------------- ÑOÃ PHẠM ANH TÚ NGHIEÂN CÖÙU VIEÄC ÑÖA VAØO DAÏY HOÏC TOAÙN ÔÛ TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG THUAÄT TOAÙN CHIA ÑOÂI TRONG MOÂI TRÖÔØNG MAÙY TÍNH BOÛ TUÙI LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ GIAÙO DUÏC HOÏC Chuyeân ngaønh: Lyù luaän vaø phöông phaùp daïy hoïc moân toaùn Maõ soá: 60 14 10 Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc: TS. Leâ Vaên Tieán Thaønh phoá Hoà Chí Minh – 2006
MUÏC LUÏC LÔØI CAÛM ÔN MÔÛ ÑAÀU…….………………………………………………………………………………………………………………………………….1 1. Lyù do choïn ñeà taøi vaø caâu hoûi xuaát phaùt………………………………………………………………………1 2. Muïc ñích nghieân cöùu vaø phaïm vi lyù thuyeát tham chieáu………………………………………2 3. Phöông phaùp nghieân cöùu vaø toå chöùc nghieân cöùu…………………………………………………….3 4. Toå chöùc cuûa luaän vaên…………………………………………………………………………………………………………3 Chöông 1: TOÅ CHÖÙC TOAÙN HOÏC (TCTH) THAM CHIEÁU GAÉN LIEÀN VÔÙI THUAÄT TOAÙN CHIA ÑOÂI (TTCÑ)……………………………………………………………5 1.1. Sô löôïc lòch söû cuûa khaùi nieäm thuaät toaùn….……………………………………………………………5 1.2. TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ…………………………………………………………………….6 1.2.1. TTCÑ trong quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” cuûa B. Deùmidovitch vaø I. Maron………………………………………………………….……………………………………………….6 1.2.2. TTCÑ trong quyeån saùch “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” cuûa Arthur Engel……………………………………………………………………………………………………….10 1.2.3. TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ…………………………………………………….13 1.3. Keát luaän veà chöông 1………………………………………………………………………………………………….14 Chöông 2: MOÁI QUAN HEÄ THEÅ CHEÁ VÔÙI TTCÑ VAØ MAÙY TÍNH BOÛ TUÙI (MTBT)…………………………………………..…………………………………………………………………….15 2.1. Moái quan heä theå cheá vôùi TTCÑ……………………….…………………………………………………….15 2.1.1. Tình huoáng ñöa vaøo TTCÑ……………………….…………………….……………………………15 2.1.2. Veát cuûa TCTH tham chieáu………………………………………………….……………………….21 2.1.3. Keát luaän…………….…………………………………………………………………………………………………23 2.2. Moái quan heä theå cheá vôùi MTBT…………………………………………………………………………….24 2.2.1. Toång quan veà MTBT…………………………………………………….……………………………….24 2.2.2. Moät soá tình huoáng ñöa vaøo MTBT……………………………………………….……………26 2.2.3. Keát luaän……………………………………………………………………………………………………………….29 2.3. Keát luaän veà chöông 2………………………………………………………………………………………………….30 Chöông 3: THÖÏC NGHIEÄM……………………………………………………………………………………………….31 3.1. Muïc ñích thöïc nghieäm…………………………………………………………………………………………………31 3.2. Phaân tích tieân nghieäm…………………………………………………………………………………………………31 3.2.1. Tình huoáng toång quaùt………………………………………………………………………………………31 3.2.2. Löïa choïn haøm soá f(x)……………………………………………………………………….…………….31 3.2.3. Noäi dung thöïc nghieäm……………………………………………………….……………………………33 3.2.4. Tieán trình thöïc nghieäm……………………………………………………………………………………35 3.2.5. Caùc bieán tình huoáng……………………………………………………………………….…….………. 36 3.2.6. Phaân tích chi tieát………………………….…………………………………………………………………..37
3.3. Phaân tích haäu nghieäm………………………………………………………………………………………………….45 3.3.1. Caùc chieán löôïc coù duøng phím nhôù cuûa MTBT ñaõ ñöôïc söû duïng……45 3.3.2. Söï hôïp thöùc hoùa tình huoáng tính gaàn ñuùng nghieäm…………………………….46 3.3.3. Tính thoûa ñaùng cuûa giaû thuyeát nghieân cöùu…………………………………………….48 3.3.4. TTCÑ ñaõ ñöôïc ñöa vaøo daïy hoïc ……………………………………..……………………….52 3.3.5. Söï xuaát hieän ngaàm aån cuûa yeáu toá tin hoïc………………………………………….……54 3.3.6. Keát luaän veà thöïc nghieäm……………………………………………………………………………….55 KEÁT LUAÄN…………………………………………………………………………………………………………………………………56 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO PHUÏC LUÏC Caùc phieáu thöïc nghieäm Moät soá lôøi giaûi tieâu bieåu cuûa caùc nhoùm Protocole
TAØI LIEÄU THAM KHAÛO Tieáng Vieät 1. Hoaøng Kieám (2001), Giaûi moät baøi toaùn treân maùy tính nhö theá naøo?, Taäp 1, Nxb Giaùo duïc, Haø Noäi. 2. Hoaøng Xuaân Sính (1977), Ñaïi soá ñaïi cöông, Nxb Giaùo duïc, Haø Noäi. 3. Leâ Thaùi Baûo Thieân Trung (2004), Nghieân cöùu veà khaùi nieäm giôùi haïn haøm soá trong daïy hoïc toaùn: Moät coâng ngheä didactique trong moâi tröôøng maùy tính boû tuùi, Luaän vaên Thaïc só, Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp. Hoà Chí Minh. 4. Leâ Thò Hoaøi Chaâu, Leâ Vaên Tieán, Nguyeãn Vaên Vónh (1999), Hoïc taäp trong hoaït ñoäng vaø baèng hoaït ñoäng, Taøi lieäu boài döôõng thöôøng xuyeân, Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp. Hoà Chí Minh. 5. Taï Duy Phöôïng (2003), Giaûi toaùn treân maùy tính ñieän töû, Nxb Giaùo duïc, Haø Noäi. 6. Traàn Anh Duõng (2005), Khaùi nieäm lieân tuïc – Moät nghieân cöùu khoa hoïc luaän vaø didactic, Luaän vaên Thaïc só, Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp. Hoà Chí Minh. 7. Trònh Coâng Dieäu (1996), Phöông phaùp tính, Ñeà cöông baøi giaûng, Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp. Hoà Chí Minh. 8. Vuï Giaùo duïc trung hoïc (2005), Maùy tính Casio fx 500 MS – Höôùng daãn söû duïng vaø giaûi toaùn, Haø Noäi. 9. Vuï Trung hoïc phoå thoâng (2001), Moät soá vaán ñeà veà naâng cao thöïc haønh treân maùy tính Casio, Tp. Hoà Chí Minh. Dòch sang tieáng Vieät 10. Fichtengoân G. M. (1977), Cô sôû giaûi tích toaùn hoïc, Taäp 1, Nxb Ñaïi hoïc vaø Trung hoïc chuyeân nghieäp, Haø Noäi. 11. Nyhoff L., Leedstma S. (1998), Laäp trình naâng cao baèng Pascal vôùi caùc caáu truùc döõ lieäu, Nxb Ñaø Naüng. Tieáng Anh 12. Knuth D. E. (1997), The art of computer programming, Addison Wesley Longman, California. 13. Rotman J. (1998), Galois Theory, Springer-Verlag, NewYork. 14. Roman S. (1995), Field Theory, Springer-Verlag, NewYork. 15. Thomas H. C., Charles E. L., Ronald L. R. (1990), Introduction to Algoritthms, McGraw-Hill Book Company, NewYork.
Tieáng Phaùp 16. Chabert J. L., Barbin E., Guilletmot M., Pajus A. M., Borowczyk J., Djebbar A. et Martzloff J. C. (1994), Histoire d’algorithmes, EÙditions Berlin. 17. Deùmidovitch B. et Maron I. (1979), EÙleùments de culcul numeùrique, Traduction français, EÙditions Mir. Moscou, (traduit du russe par V. Polonski). 18. Engel A. (1985), Matheùmatique et informatique, EÙditions Cedic, Paris. 19. Leâ Vaên Tieán (2001), EÙtude didactique de liens entre fonctions et eùquations dans l’enseignement des matheùmatiques au lyceùe en France et au Vieât-nam, Theøse, Universiteù Joseph Fourier – Grenoble I.
PHUÏ LUÏC Caùc phieáu thöïc nghieäm Moät soá lôøi giaûi tieâu bieåu cuûa caùc nhoùm Protocole
LÔØI CAÛM ÔN Tröôùc heát, toâi xin baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñeán TS. Leâ Vaên Tieán. Maëc duø raát baän roän vôùi coâng taùc quaûn lyù vaø coâng taùc chuyeân moân, thaày vaãn daønh nhieà nhieàu coâng söùc vaø taän tình höôùng daãn toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Toâi xin traân troïng caûm ôn TS. Traàn Vaên Taán, PGS.TS. Leâ Thò Hoaøi Chaâu, TS. Leâ Vaên Tieán, TS. Ñoaøn Höõu Haûi, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Alain Birebent ñaõ nhieät tình giaûng daïy, truyeàn thuï cho chuùng toâi nhöõng kieán thöùc veà Didactique toaùn vaø taïo cho toâi nieàm yeâu thích vôùi chuyeân ngaønh naøy; xin traân troïng caûm ôn quyù thaày coâ ñaõ tham gia giaûng daïy lôùp Didactique toaùn khoùa 14. Toâi xin chaân thaønh caûm ôn ban laõnh ñaïo vaø chuyeân vieân phoøng Khoa hoïc coâng ngheä – Sau ñaïi hoïc, Ban chuû nhieäm khoa Toaùn – Tin tröôøng ÑHSP tp. HCM ñaõ taïo thuaän lôïi giuùp toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Toâi xin göûi lôøi caûm ôn ñeán TS. Nguyeãn Xuaân Tuù Huyeân ñaõ giuùp ñôõ toâi ñeå luaän vaên naøy ñöôïc dòch sang tieáng Phaùp. Cuoái cuøng, toâi xin caûm ôn caùc baïn ñoàng nghieäp vaø ngöôøi thaân ñaõ ñoäng vieân vaø giuùp ñôõ toâi veà moïi maët. Ñoã Phaïm Thanh Tuù
1 MÔÛ ÑAÀU 1. Lyù do choïn ñeà taøi vaø caâu hoûi xuaát phaùt Lòch söû giaûng daïy toaùn ôû tröôøng phoå thoâng Vieät Nam ñaõ ghi nhaän söï tieán trieån ñaùng löu yù cuûa caùc yeáu toá thuoäc veà Phöông phaùp soá, Tin hoïc vaø thuaät toaùn. Cuï theå: • Chöông trình lôùp 10 nhöõng naêm 1990 yeâu caàu ñöa vaøo moät chöông nhan ñeà “Moät soá yeáu toá veà phöông phaùp vaø kyõ thuaät tính toaùn”. Muïc ñích chuû yeáu laø cung caáp cho hoïc sinh nhöõng hieåu bieát böôùc ñaàu veà phöông phaùp soá, veà thuaät toaùn vaø tin hoïc. Phuø hôïp vôùi chöông trình, caû ba boä saùch giaùo khoa (SGK) cuûa thôøi kyø naøy ñeàu daønh moät chöông ñeå ñeà caäp noäi dung treân, nhöng döôùi caùc teân goïi khaùc nhau nhö: “Khaùi nieäm sô ñaúng veà tin hoïc vaø thuaät toaùn”, “Moät soá khaùi nieäm veà phöông phaùp vaø kyõ thuaät tính toaùn”, “Khoa hoïc vaø kyõ thuaät tính toaùn”. Ñaëc bieät, môû ñaàu chöông “Khoa hoïc vaø kyõ thuaät tính toaùn”, SGK cuûa chuû bieân Ngoâ Thuùc Lanh vieát: “Phöông phaùp soá laø moät boä moân toaùn hoïc coù nhieäm vuï tìm ra keát quaû baèng soá cuûa baøi toaùn. Phöông phaùp soá xuaát hieän raát sôùm trong lòch söû. Ngaøy nay caùc keát quaû baèng soá cuûa caùc baøi toaùn thöïc tieãn vaãn luoân luoân laø moái quan taâm cuûa caùc nhaø toaùn hoïc. Nhöõng baøi toaùn lôùn nhö: tính toaùn caùc chæ tieâu cuûa neàn kinh teá quoác daân, caùc soá lieäu veà döï baùo thôøi tieát, hay veà quyõ ñaïo cuûa caùc con taøu vuõ truï v.v… ñoøi hoûi phaûi coù nhöõng phöông phaùp vaø kyõ thuaät tính toaùn raát coù hieäu löïc. Yeâu caàu caáp baùch ñoù ñaõ laø nguyeân nhaân tröïc tieáp cuûa söï ra ñôøi cuûa maùy tính ñieän töû (vieát taét MTÑT). Nhôø coù MTÑT nhieàu phöông phaùp soá tröôùc ñaây chæ coù yù nghóa lyù thuyeát ngaøy nay ñaõ coù theå thöïc hieän ñöôïc.” Noùi caùch khaùc, vieäc giaûi quyeát caùc baøi toaùn thuoäc phaïm vi Phöông phaùp soá laø moät trong nhöõng yeáu toá thuùc ñaåy söï ra ñôøi vaø phaùt trieån cuûa MTÑT noùi rieâng vaø tin hoïc noùi chung. Nhö vaäy, duø möùc ñoä vaø caáu truùc khaùc nhau, nhöng noäi dung “Phöông phaùp vaø kyõ thuaät tính toaùn” trong caû ba SGK lôùp 10 ñeàu xoay quanh ba ñoái töôïng cô baûn, ñoù laø: Thuaät toaùn, Phöông phaùp tính vaø Maùy tính ñieän töû (maùy vi tính). Ñieàu naøy laøm chuùng toâi töï hoûi: Phaûi chaêng aån ñaèng sau 3 ñoái töôïng naøy laø yù ñoà noái khôùp toaùn hoïc vaø tin hoïc thoâng qua thuaät toaùn? • Tuy nhieân, chöông trình chænh lyù hôïp nhaát naêm 2000 vaø chöông trình thí ñieåm phaân ban naêm 20031 laïi loaïi boû hoaøn toaøn noäi dung neâu treân. 1 Thí ñieåm lôùp 10 töø naêm hoïc 2003-2004.
2 Ñaëc bieät, trong chöông trình thí ñieåm phaân ban, tin hoïc baét ñaàu laáy vò trí cuûa moät moân hoïc ñoäc laäp. Nhöng vieäc söû duïng maùy tính boû tuùi (MTBT) laïi ñöôïc nhaán maïnh trong nhieàu moân hoïc, nhaát laø ôû moân toaùn. Veà phöông dieän thuaät toaùn vaø phöông phaùp soá, caû hai SGK toaùn thí ñieåm lôùp 11 (saùch Ñaïi soá vaø Giaûi tích, boä 1 vaø boä 2, ban Khoa hoïc töï nhieân) ñeàu ñeà caäp Phöông phaùp chia ñoâi trong vieäc tính gaàn ñuùng nghieäm cuûa phöông trình. Nhöõng söï kieän neâu treân theå hieän yù ñònh vaø caû söï löôõng löï cuûa nhöõng ngöôøi soaïn thaûo chöông trình vaø SGK Vieät Nam trong vieäc tính ñeán caùc yeáu toá cuûa phöông phaùp soá vaø tin hoïc trong daïy hoïc toaùn ôû tröôøng phoå thoâng. Nhöng, ñieàu ñaëc bieät laø ñaèng sau Phöông phaùp soá vaø Tin hoïc luoân coù daáu veát cuûa Thuaät toaùn. Noùi caùch khaùc, caâu hoûi veà vieäc söû duïng thuaät toaùn nhö ñoái töôïng öu tieân trong vieäc noái khôùp toaùn hoïc vaø tin hoïc trong chöông trình vaø SGK toaùn cuûa caùc thôøi kyø vaãn laø moät vaán ñeà caàn thieát ñöôïc laøm saùng toû. Caâu hoûi naøy loâi cuoán söï chuù yù ñaëc bieät cuûa chuùng toâi. Tuy nhieân, trong phaïm vi cuûa moät luaän vaên thaïc só, ñeå ñaûm baûo tính khaû thi cuûa chuû ñeà nghieân cöùu, chuùng toâi giôùi haïn vaøo moät ñoái töôïng cuï theå, ñoù laø thuaät toaùn chia ñoâi (TTCÑ). Vieäc löïa choïn thuaät toaùn naøy xuaát phaùt töø hai lyù do sau ñaây: - TTCÑ luoân ñöôïc öu tieân ñeà caäp trong nhieàu quyeån saùch veà Phöông phaùp soá (hay Giaûi tích soá), - Noù xuaát hieän töôøng minh trong baøi ñoïc theâm cuûa caû hai SGK toaùn lôùp 11 thí ñieåm phaân ban. 2. Muïc ñích nghieân cöùu vaø phaïm vi lyù thuyeát tham chieáu Muïc ñích toång quaùt cuûa luaän vaên naøy laø nghieân cöùu veà vò trí, vai troø cuûa TTCÑ trong moái quan heä Toaùn hoïc – Tin hoïc. Ñeå laøm ñöôïc ñieàu ñoù, chuùng toâi ñaët nghieân cöùu cuûa mình trong phaïm vi cuûa didactique toaùn. Cuï theå, chuùng toâi seõ vaän duïng moät soá khaùi nieäm coâng cuï cuûa lyù thuyeát nhaân chuûng hoïc (lyù thuyeát chuyeån ñoåi didactique, toå chöùc toaùn hoïc, moái quan heä theå cheá, moái quan heä caù nhaân, caùch ñaët vaán ñeà sinh thaùi hoïc) vaø cuûa lyù thuyeát tình huoáng (ñoà aùn didactique). Trong phaïm vi didactique vôùi caùc khaùi nieäm coâng cuï lyù thuyeát ñaõ choïn, muïc ñích nghieân cöùu cuï theå cuûa chuùng toâi laø tìm caâu traû lôøi cho caùc caâu hoûi sau ñaây: 1) TTCÑ xuaát hieän nhö theá naøo trong caùc quyeån saùch ñeà caäp ñeán phaïm vi phöông phaùp soá? Noù gaén lieàn vôùi toå chöùc toaùn hoïc (TCTH) naøo? Vôùi nhöõng ñaëc tröng gì? Noù coù moái quan heä nhö theá naøo vôùi caùc coâng cuï tin hoïc nhö maùy vi tính (MVT), MTBT? Noù coù phaûi laø moät trong caùc yeáu toá cho pheùp noái khôùp toaùn hoïc vaø tin hoïc?
3 2) TTCÑ hieän dieän nhö theá naøo trong chöông trình vaø SGK? Ñaëc tröng cuûa TCTH gaén lieàn vôùi noù? Noù coù quan heä gì vôùi caùc ñoái töôïng MTBT vaø MVT noùi rieâng vaø caùc yeáu toá tin hoïc noùi chung? TTCÑ vaø caùc ñoái töôïng lieân quan phaûi chòu nhöõng ñieàu kieän vaø raøng buoäc naøo cuûa theå cheá? 3) Laøm theá naøo xaây döïng moät tieåu ñoà aùn didactique ñeå ñöa TTCÑ vaøo daïy hoïc toaùn ôû tröôøng phoå thoâng vôùi söï hoã trôï cuûa MTBT? 3. Phöông phaùp nghieân cöùu vaø toå chöùc nghieân cöùu Phöông phaùp luaän nghieân cöùu maø chuùng toâi aùp duïng trong luaän vaên naøy laø thöïc hieän ñoàng thôøi vieäc nghieân cöùu ôû hai caáp ñoä: caáp ñoä tri thöùc khoa hoïc vaø caáp ñoä tri thöùc caàn giaûng daïy. Nghieân cöùu ôû caáp ñoä thöù nhaát seõ laø yeáu toá tham chieáu cho nghieân cöùu moái quan heä theå cheá ôû caáp ñoä thöù hai. Toång hôïp keát quaû hai nghieân cöùu naøy seõ laø cô sôû ñeå ñeà xuaát caùc caâu hoûi vaø ñaëc bieät laø giaû thuyeát nghieân cöùu maø chuùng toâi seõ tìm caùch traû lôøi hay hôïp thöùc hoùa baèng thöïc nghieäm. Döïa vaøo phöông phaùp luaän nghieân cöùu neâu treân, coù theå trình baøy toå chöùc nghieân cöùu cuûa chuùng toâi nhö sau: • Laøm roõ TCTH gaén lieàn vôùi TTCÑ trong moät soá quyeån saùch baøn veà phöông phaùp soá ñeå chæ ra TCTH tham chieáu. • Phaân tích chöông trình vaø SGK toaùn phoå thoâng thí ñieåm ñeå laøm roõ moái quan heä theå cheá ñoái vôùi TTCÑ vaø caùc ñoái töôïng coù lieân quan; tìm veát cuûa TCTH tham chieáu. • Toång hôïp keát quaû cuûa hai phaân tích treân ñeå ñeà xuaát caùc caâu hoûi môùi hay giaû thuyeát nghieân cöùu. • Xaây döïng ñoà aùn didactique cho pheùp tìm caâu traû lôøi cho moät soá trong caùc caâu hoûi môùi hay ñöa vaøo thöû nghieäm giaû thuyeát nghieân cöùu ñaõ ñaët ra ôû treân. 4. Toå chöùc cuûa luaän vaên Luaän vaên goàm 5 phaàn: môû ñaàu, chöông 1, chöông 2, chöông 3 vaø keát luaän. • Phaàn môû ñaàu trình baøy lyù do choïn ñeà taøi, caâu hoûi xuaát phaùt, muïc ñích cuûa ñeà taøi, phaïm vi lyù thuyeát tham chieáu, phöông phaùp vaø toå chöùc nghieân cöùu cuõng nhö toå chöùc cuûa luaän vaên. • Trong chöông 1, chuùng toâi nghieân cöùu TTCÑ ôû caáp ñoä tri thöùc khoa hoïc. Cuï theå, chuùng toâi nghieân cöùu TTCÑ trong hai quyeån saùch baøn veà phöông phaùp soá ñeå chæ ra TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ. • Trong chöông 2, chuùng toâi thöïc hieän phaân tích chöông trình vaø SGK thí ñieåm ñeå laøm roõ moái quan heä theå cheá vôùi TTCÑ vaø MTBT, ñeà xuaát caâu hoûi môùi vaø giaû
4 thuyeát nghieân cöùu. Chuùng toâi chæ roõ veát maø TCTH tham chieáu ñeå laïi trong baøi ñoïc theâm vaø giaûi thích söï cheânh leäch giöõa TCTH tham chieáu vaø baøi ñoïc theâm. • Trong chöông 3, chuùng toâi xaây döïng vaø ñöa vaøo thöïc nghieäm moät tieåu ñoà aùn didactique nhaèm kieåm tra tính thoûa ñaùng cuûa giaû thuyeát nghieân cöùu, tìm caâu traû lôøi cho caâu hoûi môùi vaø ñöa vaøo daïy hoïc ôû tröôøng phoå thoâng TTCÑ. • Phaàn keát luaän toùm taét nhöõng keát quaû ñaït ñöôïc ôû caùc chöông 1, 2, 3 vaø neâu moät soá höôùng nghieân cöùu môùi môû ra töø luaän vaên.
5 Chöông 1 TCTH THAM CHIEÁU GAÉN LIEÀN VÔÙI TTCÑ Chuùng toâi nhaéc laïi raèng, muïc tieâu cuûa chöông naøy laø nghieân cöùu TTCÑ ôû caáp ñoä tri thöùc khoa hoïc vaø qua ñoù tìm caâu traû lôøi cho caùc caâu hoûi ñaët ra trong phaàn môû ñaàu: TTCÑ xuaát hieän nhö theá naøo trong caùc quyeån saùch ñeà caäp ñeán phaïm vi phöông phaùp soá? Noù gaén lieàn vôùi TCTH naøo? Vôùi nhöõng ñaëc tröng gì? Noù coù moái quan heä nhö theá naøo vôùi caùc coâng cuï tin hoïc nhö MVT, MTBT? Noù coù phaûi laø moät trong caùc yeáu toá cho pheùp noái khôùp toaùn hoïc vaø tin hoïc? Hai quyeån saùch maø chuùng toâi choïn phaân tích laø: - “Cô sôû giaûi tích soá” cuûa B. Deùmidovitch vaø I. Maron, - “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” cuûa Arthur Engel. Tuy nhieân, tröôùc khi thöïc hieän vieäc phaân tích hai quyeån saùch neâu treân, chuùng toâi seõ trình baøy sô löôïc lòch söû cuûa khaùi nieäm thuaät toaùn, nhaèm laøm roõ caùch söû duïng thuaät ngöõ “thuaät toaùn” trong luaän vaên naøy. 1.1. Sô löôïc lòch söû cuûa khaùi nieäm thuaät toaùn Keát quaû trong muïc naøy ñöôïc ruùt ra töø coâng trình cuûa Leâ Vaên Tieán [19] vaø töø vieäc phaân tích phaàn môû ñaàu cuûa taøi lieäu “Histoire d’algorithmes” [16]. Tröôùc khi xuaát hieän thuaät ngöõ ñaëc bieät ñeå chæ thuaät toaùn thì thuaät toaùn ñaõ toàn taïi ôû ngöôøi Babilon vaø ngöôøi Hy Laïp. Noù xuaát hieän ôû caùc lónh vöïc phaùp lyù, toaùn hoïc… Khi ñoù, ngöôøi ta noùi ñeán trình töï, quy taéc, kyõ thuaät, quy trình, phöông phaùp. Caùch duøng töø “thuaät toaùn” ôû phöông Taây gaén vôùi teân " al − Khwarizmi " , teân cuûa nhaø toaùn hoïc nöûa ñaàu theá kyû thöù IX Muhammad ibn M usa a l − K h w arizm i . Trong nhöõng cuoán saùch La tinh thôøi Trung ñaïi, ngöôøi ta duøng nhöõng töø algorisme, algorismus hoaëc algorithmus ñeå chæ nhöõng phöông phaùp tính. D’Alembert ñaõ moâ taû töø thuaät toaùn nhö sau: “[…] Noùi chung, duøng cuøng moät töø ñeå chæ phöông phaùp vaø kyù hieäu cuûa taát caû caùc kieåu tính. Khi ñoù, ngöôøi ta noùi ñeán thuaät toaùn tính tích phaân, thuaät toaùn tính luyõ thöøa, thuaät toaùn sin, v.v…” (Baùch khoa toaøn thö, 1992). Cuoái cuøng, töø thuaät toaùn duøng ñeå chæ taát caû nhöõng phöông phaùp tính coù tính heä thoáng, thaäm chí laø töï ñoäng. Ñaëc bieät, vôùi söï aûnh höôûng cuûa coâng ngheä thoâng tin, thuaät ngöõ naøy ñaõ coù moät ñònh nghóa roõ raøng hôn nhôø vaøo ñaëc tröng “höõu haïn” vaø noù cho pheùp phaân bieät töø thuaät toaùn vôùi nhöõng töø coù nghóa roäng hôn nhö phöông phaùp, quy trình, kyõ thuaät:
6 “Thuaät toaùn laø moät daõy höõu haïn caùc quy taéc caàn thöïc hieän theo moät thöù töï treân moät soá höõu haïn caùc döõ lieäu ñaõ cho ñeå sau moät soá höõu haïn böôùc seõ ñaït tôùi keát quaû, vaø ñieàu ñoù ñoäc laäp vôùi caùc döõ lieäu.” (Encyclopaedia Universalis). Söï xuaát hieän cuûa khaùi nieäm thuaät toaùn laø moät böôùc chuyeån trong lòch söû thuaät toaùn: “Vôùi vieäc ñöa vaøo khaùi nieäm thuaät toaùn, lòch söû cuûa caùc thuaät toaùn ñaõ chuyeån ñoåi thaønh lòch söû cuûa moät lónh vöïc khoa hoïc môùi: ñoù laø thuaät toaùn. Lónh vöïc khoa hoïc naøy khoâng phaûi tìm moät thuaät toaùn ñeå giaûi moät vaán ñeà ñaëc bieät, maø tìm caùch giaûi caùc vaán ñeà ñöôïc ñaët ra baèng vieäc nghieân cöùu moät caùch toång quaùt caùc thuaät toaùn. Nghieân cöùu naøy ñöôïc ñaëc bieät phaùt trieån vôùi söï trôï giuùp cuûa caùc maùy vi tính vaø vieäc khaùm phaù ra caùc ngoân ngöõ laäp trình.” [16, tr.534]. Trong tin hoïc, ñeå moâ taû moät soá thuaät toaùn, ngöôøi ta thöôøng duøng pheùp gaùn vaø voøng laëp. Toùm laïi, thuaät toaùn xuaát hieän ôû nhieàu lónh vöïc, trong ñoù coù toaùn hoïc vaø tin hoïc. Trong lòch söû, thuaät toaùn laø moät ñaëc tröng cuûa toaùn hoïc vaø noù thöôøng laáy nghóa laø phöông phaùp, quy taéc, quy trình, kyõ thuaät. Tin hoïc ra ñôøi, thuaät toaùn coù ñònh nghóa roõ raøng vaø noù laø moät yeáu toá cuûa tin hoïc. Ñaëc tröng noåi baät cuûa thuaät toaùn trong tin hoïc laø tính höõu haïn. Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi duøng thuaät ngöõ “thuaät toaùn” theo nghóa chung nhaát. Theo nghóa naøy, chuùng toâi goïi caùc phöông phaùp tính (phöông phaùp chia ñoâi, phöông phaùp Newton,…) laø caùc “thuaät toaùn”. Chính vì vaäy, trong teân ñeà taøi vaø phaàn môû ñaàu cuûa luaän vaên, chuùng toâi ñaõ duøng thuaät ngöõ “thuaät toaùn chia ñoâi” (TTCÑ). 1.2. TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ 1.2.1. TTCÑ trong quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” cuûa B. Deùmidovitch vaø I. Maron Quyeån saùch goàm 17 chöông. Chöông 4 “Giaûi gaàn ñuùng phöông trình ñaïi soá vaø sieâu vieät” coù 11 baøi: 1) Taùch nghieäm 2) Giaûi phöông trình baèng ñoà thò 3) Phöông phaùp chia ñoâi 4) Phöông phaùp caùc phaàn tyû leä
7 5) Phöông phaùp Newton 6) Phöông phaùp Newton coù söûa ñoåi 7) Phöông phaùp phoái hôïp 8) Phöông phaùp xaáp xæ lieân tieáp 9) Phöông phaùp xaáp xæ lieân tieáp cho heä 2 phöông trình 10) Phöông phaùp Newton cho heä 2 phöông trình 11) AÙp duïng phöông phaùp Newton cho tröôøng hôïp nghieäm phöùc. Sau ñaây chuùng toâi phaân tích baøi “Phöông phaùp chia ñoâi”. Baøi naøy ñöôïc vieát ôû trang 114 vaø 115: "Cho phöông trình f(x) = 0, (1) vôùi f(x) laø haøm soá lieân tuïc treân [a;b] vaø f(a)f(b) < 0. Ta tìm nghieäm cuûa phöông trình (1) baèng caùch chia ñoâi ñoaïn [a;b]. Neáu a+b a+b a+b f( ) = 0 thì ξ = laø moät nghieäm cuûa phöông trình. Neáu f( ) ≠0 2 2 2 a+b a+b thì taïi caùc muùt cuûa moät trong caùc ñoaïn [a; ], [ ; b] haøm soá seõ laáy 2 2 giaù trò khaùc daáu nhau. Goïi ñoaïn ñoù laø [a1;b1] vaø tieáp tuïc chia ñoâi roài laøm nhö treân. Laëp laïi vieäc laøm naøy, ta seõ tìm ñöôïc moät nghieäm ñuùng cuûa phöông trình (1), hoaëc tìm ñöôïc moät daõy caùc ñoaïn chöùa nhau [a1;b1], [a2;b2],…, [an;bn],… vôùi f(an)f(bn) < 0 (n = 1, 2,…) (2) vaø 1 bn − an = (b − a ) . (3) 2n Daõy soá a1, a2,…, an,… taêng vaø bò chaën treân, daõy soá b1, b2,…, bn,… giaûm vaø bò chaën döôùi; keát hôïp vôùi (3) chuùng coù giôùi haïn chung laø ξ = lim an = lim bn . n →∞ n →∞ Cho n → ∞ , do (2) vaø tính lieân tuïc cuûa haøm soá f(x) ta coù [f(ξ )]2 ≤ 0. Do ñoù f(ξ) = 0, nghóa laø ξ laø nghieäm cuûa phöông trình (1) vaø ta coù 1 0 ≤ ξ - an ≤ (b − a ) . (4) 2n Neáu ñoaïn [a;b] khoâng phaûi laø ñoaïn taùch nghieäm2 cuûa phöông trình (1) thì phöông phaùp treân cho pheùp tìm moät nghieäm naøo ñoù cuûa phöông trình (1). Phöông phaùp chia ñoâi giuùp ñaït ñöôïc moät öôùc löôïng cuûa moät nghieäm cuûa phöông trình, soá pheùp tính ñöôïc thöïc hieän taêng leân thì söï öôùc löôïng chính xaùc hôn. 2 Ñoaïn chöùa moät vaø chæ moät nghieäm cuûa phöông trình.
8 Phöông phaùp chia ñoâi thöïc hieän khoâng vaát vaû baèng maùy tính ñieän töû. Söï tính toaùn maø maùy thöïc hieän seõ cung caáp giaù trò haøm soá taïi trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn [an;bn] (n = 1, 2,…) vaø giuùp choïn löïa moät nöûa ñoaïn töông öùng. Ví duï. Duøng phöông phaùp chia ñoâi, caûi tieán nghieäm cuûa phöông trình f(x) ≡ x4 + 2x3 – x – 1 = 0 treân [0;1] Giaûi. Ta laàn löôït coù: f(0) = -1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 – 0,5 – 1 = -1,19; f(0,75) = 0,32 + 0,84 – 0,75 – 1 = - 0,59; f(0,875) = 0,59 + 1,34 – 0,88 – 1 = + 0,05; f(0,8125) = 0,436 + 1,072 – 0,812 – 1 = - 0,034; f(0,8438) = 0,507 + 1,202 – 0,844 – 1 = - 0,135; f(0,8594) = 0,546 + 1,270 – 0,859 – 1 = - 0,043;… Ta coù theå ñaët 1 ξ= (0,859 + 0,875) = 0,867.” 2 Nhaän xeùt 1) Taùc giaû khoâng duøng thuaät ngöõ “thuaät toaùn” maø duøng thuaät ngöõ “phöông phaùp”. TTCÑ laø kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï “Giaûi gaàn ñuùng phöông trình”. Kieåu nhieäm vuï naøy ñöôïc xaùc ñònh roõ raøng. Noù xuaát hieän ñoàng thôøi vôùi teân cuûa chöông 4. 2) Tröôùc baøi “Phöông phaùp chia ñoâi”, taùc giaû trình baøy moät ñònh lyù coù noäi dung nhö sau: “Ñònh lyù 1. Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] vaø nhaän giaù trò traùi daáu nhau taïi hai ñaàu muùt cuûa ñoaïn naøy, nghóa laø f(a).f(b) < 0, thì ñoaïn naøy chöùa ít nhaát moät nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0, nghóa laø toàn taïi ít nhaát moät soá ξ ∈ (a;b) sao cho f(ξ) = 0.” (tr.109). Nhö vaäy, vôùi ñieàu kieän f(x) laø haøm soá lieân tuïc treân [a;b] vaø f(a)f(b) < 0, söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình (1) ñöôïc ngaàm hieåu. Ñònh lyù neâu treân laø moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa ñònh lyù giaù trò trung gian. Neáu ta thöøa nhaän lôùp caùc haøm soá lieân tuïc laø nhieàu thì coù theå noùi raèng taàm aûnh höôûng cuûa TTCÑ laø khaù roäng. 3) Söï toàn taïi caùc giôùi haïn lim an vaø lim bn ñöôïc giaûi thích bôûi daõy hoäi tuï: n →∞ n →∞ “Ñònh lyù. Giaû thöû cho bieán ñôn ñieäu ñieäu taêng xn. Neáu noù bò chaën treân: xn ≤ M (M = const; n = 1, 2, 3,…) thì noù phaûi coù giôùi haïn höõu haïn, trong tröôøng hôïp ngöôïc laïi noù daàn ñeán +∞. Cuõng gioáng nhö vaäy moät bieán xn ñôn ñieäu giaûm luoân luoân coù giôùi haïn. Giôùi haïn cuûa noù höõu haïn neáu noù bò chaën döôùi vaø trong trong tröôøng hôïp ngöôïc laïi, giôùi haïn cuûa noù baèng - ∞ .” [10, tr.71].
9 Vieäc chöùng minh ñònh lyù naøy döïa treân caùc tính chaát ñaëc tröng cuûa sup vaø inf 3. 4) Khaúng ñònh [ f (ξ )]2 ≤ 0 ñöôïc giaûi thích moät phaàn bôûi tính chaát cuûa haøm soá lieân tuïc4: Giaû söû haøm soá f(x) xaùc ñònh trong khoaûng I vaø x0 ∈ I. Khi ñoù, haøm soá f(x) lieân tuïc taïi ñieåm x0 neáu vôùi moïi daõy x1, x2,…, xn,… thuoäc I maø lim xn = x0 n →∞ thì lim f(xn) = f(x0). Tính chaát naøy ñöôïc suy ra töø ñònh nghóa giôùi haïn cuûa haøm soá n→∞ vaø ñònh nghóa haøm soá lieân tuïc taïi moät ñieåm5. a+b a +b a +b 5) Ñaët c1 = , c2 = 1 1 ,…, cn +1 = n n ,… Duøng tieâu chuaån Cauchy6, 2 2 2 chuùng toâi chöùng minh ñöôïc daõy soá naøy cuõng hoäi tuï veà ξ. Chuùng toâi goïi daõy soá naøy laø daõy soá “trung ñieåm”. 6) Trong coâng thöùc (4), ξ laø “nghieäm ñuùng” cuûa phöông trình (1) treân ñoaïn [a;b]. Taùc giaû khoâng neâu roõ soá nghieäm cuûa phöông trình (1) ñoaïn [a;b]. Nhö vaäy, treân ñoaïn [a;b], phöông trình (1) coù theå coù nhöõng nghieäm khaùc ngoaøi ξ. Coâng thöùc (4) ñaùnh giaù sai soá tuyeät ñoái khi laáy an laøm giaù trò gaàn ñuùng cuûa ξ. 7) Haøm soá cho trong ví duï laø haøm soá ña thöùc. Ña thöùc ñaõ cho coù baäc 4, heä soá nguyeân. Baèng caùch tìm nghieäm höõu tyû cuûa ña thöùc7, chuùng toâi chöùng minh ñöôïc ña thöùc ñaõ cho khoâng coù nghieäm höõu tyû. Ví duï cho saün ñoaïn chöùa nghieäm [0;1]. 8) Duøng ñaïo haøm khaûo saùt haøm soá f(x) = x4 + 2x3 – x – 1 gaëp khoù khaên vì f’(x) laø ña thöùc baäc ba khoâng coù nghieäm höõu tyû. Duøng Maple8 9 ñeå tìm giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm, chaúng haïn duøng leänh > solve ( x ^ 4 + 2 * x ^ 3 − x − 1, x) ; vaø > evalf (%,19) ;, chuùng toâi tìm ñöôïc nghieäm x1 ≈ −1,866760399173862093 vaø nghieäm x2 ≈ 0,8667603991738620930. Nhö vaäy, phöông trình trong ví duï coù moät vaø chæ moät nghieäm treân ñoaïn [0;1]. 9) Vì ña thöùc ñaõ cho chæ coù nghieäm voâ tyû maø trung ñieåm caùc ñoaïn chöùa nghieäm luoân laø soá höõu tyû9 neân TTCÑ chæ cho pheùp xaùc ñònh giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm. Trong ví duï, taùc giaû yeâu caàu “caûi tieán nghieäm cuûa phöông trình” vaø ξ laø “nghieäm gaàn ñuùng”10. Nhö vaäy, taùc giaû ñaõ duøng thuaät ngöõ “nghieäm” ñeå chæ “nghieäm gaàn ñuùng”. Tröôùc ñoù, thuaät ngöõ “nghieäm” ñaõ ñöôïc duøng ñeå chæ a+b a+b “nghieäm ñuùng”: “Neáu f( ) = 0 thì ξ = laø moät nghieäm cuûa phöông trình”. 2 2 3 Xem [10, tr.71-72]. 4 Xem [10, tr.92-93]. 5 Xem [10, tr.50, 92-93]. 6 Xem [10, tr.83]. 7 Xem [2, tr.164]. 8 Duøng Maple ta coù theå tìm giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm ñeán ñoä chính xaùc baát kyø, trong khi ñoù duøng MTBT ta chæ tìm ñöôïc giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm chính xaùc ñeán chöõ soá coá ñònh. 9 Do hai ñaàu muùt cuûa ñoaïn chöùa nghieäm [0;1] laø caùc soá höõu tyû. 10 Laø giaù trò gaàn ñuùng cuûa nghieäm.
10 10) Trong ví duï, ñeå tính giaù trò cuûa haøm soá f(x) taïi caùc giaù trò khaùc nhau cuûa bieán soá coù theå taùc giaû ñaõ söû duïng maùy tính. Thaät vaäy, taùc giaû ñaõ vieát: “Phöông phaùp chia ñoâi thöïc hieän khoâng vaát vaû baèng maùy tính ñieän töû. Söï tính toaùn maø maùy thöïc hieän seõ cung caáp giaù trò haøm soá taïi trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn [an;bn] (n = 1, 2,…)”. (tr.115). Nhö vaäy, maùy tính ñöôïc khai thaùc ôû chöùc naêng tính toaùn. 11) Taùc giaû khoâng noùi ñeán sai soá. Trong ví duï, vieäc chia ñoâi ñöôïc thöïc hieän 1− 0 1 ñeán laàn thöù 7 neân sai soá tuyeät ñoái beù hôn 7 . Ta coù 7 < 10−2 neân sai soá tuyeät 2 2 ñoái beù hôn 10-2. 12) Trong baøi “Phöông phaùp chia ñoâi”, vieäc laáy trung ñieåm cuûa ñoaïn chöùa nghieäm vaø vieäc caûi tieán “nghieäm” cuûa phöông trình khoâng coù ñieàu kieän döøng (taùc giaû khoâng neâu tröôùc sai soá khi caûi tieán “nghieäm”). Chính vì khoâng thoûa maõn ñaëc tröng höõu haïn neân TTCÑ trong quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” laáy nghóa laø phöông phaùp. * Quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” chæ trình baøy lyù thuyeát vaø ví duï maø khoâng ñöa ra baøi taäp. ÔÛ caùc nhaän xeùt 2)-4), chuùng toâi ñaõ chæ ra yeáu toá coâng ngheä-lyù thuyeát giaûi thích cho kyõ thuaät TTCÑ. Ñoù laø ñònh lyù giaù trò trung gian, daõy hoäi tuï vaø tính chaát cuûa haøm soá lieân tuïc. 1.2.2. TTCÑ trong quyeån saùch “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” cuûa Arthur Engel Quyeån saùch goàm 9 chöông. Chöông 4 coù teân “Giaûi tích soá”. Chöông 4 goàm 6 muïc. Muïc ñaàu tieân coù teân “Giaûi phöông trình” goàm 5 baøi: 1. Phöông phaùp chia ñoâi 2. Phöông phaùp caùc phaàn tyû leä 3. Phöông phaùp caùt tuyeán 4. Phöông phaùp Newton-Raphson 5. Pheùp laëp. Sau ñaây chuùng toâi phaân tích baøi “Phöông phaùp chia ñoâi” (tr.139-141). Phaàn ñaàu cuûa baøi “Phöông phaùp chia ñoâi” ñöôïc vieát nhö sau: “Phöông phaùp chia ñoâi laø moät phöông phaùp ñôn giaûn, thöôøng gaëp vaø vieäc söû duïng moät maùy vi tính laø ñaëc bieät coù lôïi. Giaû söû treân ñoaïn [a;b] haøm soá f lieân tuïc vaø f(a).f(b) < 0, nghóa laø f nhaän giaù trò traùi daáu nhau taïi hai ñaàu muùt cuûa ñoaïn naøy. Theo ñònh lyù giaù trò trung gian thì f nhaän giaù trò 0 taïi ít nhaát moät ñieåm giöõa a vaø b.
11 Baét ñaàu töø ñoaïn chöùa nghieäm xaùc ñònh tröôùc, ta moâ taû moät thuaät toaùn cho pheùp thu heïp ñoaïn chöùa nghieäm ñi moät nöûa, cho ñeán luùc nhoû hôn moät sai soá tuyeät ñoái ε . a +b 1) x ← 2 2) Neáu f(x) = 0 thì döøng vaø x laø nghieäm 3) Neáu f(x).f(a) > 0 thì a ← x ngöôïc laïi b ← x 4) Neáu a − b > ε , quay laïi 1) a +b 5) Ngöôïc laïi thì döøng vaø x = laø nghieäm. 2 Sau n laàn laëp cuûa thuaät toaùn, nghieäm ñöôïc xaùc ñònh vôùi sai soá tuyeät ñoái b−a beù hôn .” 2 n +1 Nhaän xeùt 1) Taùc giaû duøng thuaät ngöõ “thuaät toaùn” ñeå chæ TTCÑ. Trong caâu “Ngöôïc laïi thì a +b döøng vaø x = laø nghieäm”, thuaät ngöõ “nghieäm” ñöôïc duøng ñeå chæ “nghieäm 2 ñuùng” hoaëc “nghieäm gaàn ñuùng” vôùi sai soá ε . Ta ñaõ gaëp caùch duøng thuaät ngöõ “nghieäm” töông töï nhö vöøa neâu khi phaân tích quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” cuûa B. Deùmidovitch vaø I. Maron. 2) TTCÑ neâu treân ñöôïc bieåu dieãn11 baèng ngoân ngöõ phoûng trình. Noù laø kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï “Giaûi phöông trình”. Kieåu nhieäm vuï naøy ñöôïc xaùc ñònh roõ raøng. Noù xuaát hieän ñoàng thôøi vôùi teân cuûa muïc ñaàu tieân ôû chöông 4. Theo nhaän xeùt 1), kieåu nhieäm vuï “Giaûi phöông trình” laø tìm “nghieäm ñuùng” hoaëc “nghieäm gaàn ñuùng” vôùi sai soá cho tröôùc. Nhö vaäy, kieåu nhieäm vuï naøy cuõng laø kieåu nhieäm vuï “Giaûi gaàn ñuùng phöông trình” maø ta ñaõ ñeà caäp khi phaân tích quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá”. 3) TTCÑ maø taùc giaû moâ taû treân ñaây thoûa maõn ñaëc tröng höõu haïn. Thaät vaäy, vôùi sai soá tuyeät ñoái ε cho tröôùc, soá laàn laëp n trong thuaät toaùn ñöôïc xaùc ñònh töø b−a vieäc giaûi baát phöông trình ≤ ε (n laø soá nguyeân döông). Chính ñaëc tröng 2 n +1 höõu haïn cho pheùp phaân bieät thuaät ngöõ “thuaät toaùn” vôùi thuaät ngöõ “phöông phaùp”. Tuy nhieân, trong baøi “Phöông phaùp chia ñoâi” maø ta ñang phaân tích, hai thuaät ngöõ naøy khoâng coù söï khaùc bieät. 4) Chieáu theo caùc ñaëc tröng cuûa moät thuaät toaùn12, TTCÑ neâu treân ñaûm baûo tính höõu haïn, tính xaùc ñònh, tính ñuùng ñaén, tính khaû thi vaø tính toång quaùt. Noù cuõng cho pheùp nhaän thoâng tin vaøo vaø xuaát thoâng tin ra. Neáu ngöôøi ñoïc bieát pheùp gaùn trong tin hoïc (←) thì coù theå hieåu thuaät toaùn naøy moät caùch deã daøng. 11 Xem caùc phöông phaùp bieåu dieãn thuaät toaùn ôû [1, tr.59-64]. 12 Xem [1, tr.51-56], [12, tr. 4-9].
12 5) Yeáu toá coâng ngheä giaûi thích cho TTCÑ laø ñònh lyù giaù trò trung gian. Taùc giaû taøi lieäu noùi ñeán ñònh lyù giaù trò trung gian tröôùc khi trình baøy TTCÑ. Nhö vaäy, yeáu toá coâng ngheä ñònh lyù giaù trò trung gian coù chöùc naêng taïo ra kyõ thuaät TTCÑ. Noùi caùch khaùc, vôùi TCTH lieân quan ñeán TTCÑ maø ta ñang xeùt, khoái kyõ naêng ñöôïc trình baøy nhö moät öùng duïng ñôn giaûn cuûa khoái tri thöùc. 6) Khi trình baøy TTCÑ, taùc giaû khoâng neâu roõ soá nghieäm cuûa phöông trình treân ñoaïn [a;b]. Nhö vaäy, treân ñoaïn [a;b], phöông trình coù theå coù nhieàu hôn moät nghieäm vaø TTCÑ cho pheùp tìm moät trong caùc “nghieäm” (“nghieäm ñuùng” hoaëc “nghieäm gaàn ñuùng”). Ta ñaõ gaëp ñieàu naøy khi phaân tích quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá”. * Caùc nhaän xeùt 3) vaø 4) treân ñaây cho thaáy TTCÑ trong quyeån saùch “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” laø “moät daõy höõu haïn caùc quy taéc caàn thöïc hieän theo moät thöù töï treân moät soá höõu haïn caùc döõ lieäu ñaõ cho ñeå sau moät soá höõu haïn böôùc seõ ñaït tôùi keát quaû, vaø ñieàu ñoù ñoäc laäp vôùi caùc döõ lieäu”. Noùi caùch khaùc, thuaät toaùn trong quyeån saùch “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” laø moät yeáu toá cuûa tin hoïc. Sau khi moâ taû TTCÑ, taùc giaû xeùt tröôøng hôïp f(a) < 0, f(b) > 0 vaø vieát moät chöông trình ôû trang 140 nhö sau: “10 DEF FNF (X) = X*X – X – 1 20 READ A, B, E 30 X = (A + B)/2 40 IF FNF (X) < 0 THEN A = X ELSE B = X 50 IF ABS (A – B) > E THEN 30 60 PRINT (A + B)/2 70 DATA 1, 3, 1 E – 10 80 END 1,618033989 10 DEF FNF (X) = X*X*X – 2*X – 5 2,094551482 10 DEF FNF (X) = X*X – 4*COS(X) 1,201538299”. Sau khi vieát chöông trình naøy, taùc giaû chæ roõ: chöông trình ñaõ xeùt ba phöông trình laø x2 – x – 1 = 0, x3 − 2 x − 5 = 0 vaø x2 – 4cosx = 0 vôùi cuøng moät ñoaïn chöùa nghieäm laø [1;3].
13 Nhaän xeùt 1) Coù theå ngoân ngöõ phoûng trình laø caùch bieåu dieãn thuaät toaùn thích hôïp nhaát cho pheùp laäp trình baèng ngoân ngöõ Basic. Vieäc laøm naøy theå hieän roõ yù ñònh noái keát toaùn hoïc vaø tin hoïc cuûa taùc giaû. 2) Caùc haøm soá ñöôïc xeùt ñeàu lieân tuïc treân ℜ. Hai phöông trình x2 – x – 1 = 0 vaø x3 − 2 x − 5 = 0 khoâng coù nghieäm höõu tyû. Baèng nhöõng pheùp bieán ñoåi ñaïi soá thoâng thöôøng, chuùng toâi khoâng tìm ñöôïc “nghieäm ñuùng” cuûa phöông trình x 2 − 4 cos x = 0 . Caùc phöông trình ñang xeùt coù moät vaø chæ moät nghieäm treân ñoaïn [1;3]. Ñieàu naøy khoâng ñöôïc taùc giaû neâu töôøng minh. 3) Quan saùt döõ lieäu nhaäp vaøo vaø döõ lieäu xuaát ra trong chöông trình treân, chuùng toâi thaáy sai soá nhaäp vaøo laø 10-10 (doøng leänh 70) vaø in ra “nghieäm gaàn ñuùng” coù chín chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân. Xem xeùt caùc baøi taäp, chuùng toâi thaáy chæ coù baøi taäp 3 yeâu caàu töôøng minh vieäc duøng TTCÑ ñeå tìm nghieäm cuûa phöông trình x3 - 3x - 4 = 0 (tr.145). Nhaän xeùt ñaàu tieân cuûa chuùng toâi laø phöông trình x 3 − 3 x − 4 = 0 khoâng coù nghieäm höõu tyû. Ngoaøi ra, phöông trình naøy coù moät vaø chæ moät nghieäm treân ℜ. Thöïc hieän caùc phaân tích töông töï nhö vôùi TTCÑ, chuùng toâi nhaän thaáy caùc thuaät toaùn: caùc phaàn tyû leä, caùt tuyeán, Newton-Raphson vaø laëp cuõng laø caùc kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï “Giaûi gaàn ñuùng phöông trình”. Ngoaøi ra ôû baøi taäp 5 trang 145, taùc giaû coù ñöa theâm vaøo moät kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy maø chuùng toâi goïi laø thuaät toaùn chia 10. Môû ñaàu baøi “Phöông phaùp chia ñoâi”, taùc giaû ñaõ vieát: “Phöông phaùp chia ñoâi laø moät phöông phaùp ñôn giaûn, thöôøng gaëp vaø vieäc söû duïng moät maùy vi tính laø ñaëc bieät coù lôïi.” (tr.139). Nhö vaäy, coù theå ñaëc tröng “ñôn giaûn” laø moät trong nhöõng lyù do cuûa vieäc ñeà caäp TTCÑ ôû vò trí ñaàu tieân so vôùi caùc thuaät toaùn khaùc. 1.2.3. TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ Phaân tích TTCÑ trong quyeån saùch “Cô sôû giaûi tích soá” vaø quyeån saùch “Toaùn hoïc vaø tin hoïc” treân ñaây cho thaáy söï toàn taïi cuûa TCTH tham chieáu gaén lieàn vôùi TTCÑ. Chuùng toâi kyù hieäu TCTH naøy laø OM = [T, τ, θ, Θ] vôùi T laø kieåu nhieäm vuï “Giaûi gaàn ñuùng phöông trình”, τ laø TTCÑ. Yeáu toá coâng ngheä-lyù thuyeát trong OM laø ñònh lyù giaù trò trung gian, daõy hoäi tuï vaø tính chaát cuûa haøm soá lieân tuïc. Trong caû hai quyeån saùch, caùc taùc giaû ñeàu duøng thuaät ngöõ “nghieäm” ñeå chæ “nghieäm ñuùng” hoaëc “nghieäm gaàn ñuùng”. Sau ñaây, chuùng toâi chæ roõ nhöõng ñaëc tröng cuûa kieåu nhieäm vuï vaø kyõ thuaät trong hai quyeån saùch.