Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Dạy học chủ đề phương trình lượng giác cho học sinh với năng lực toán học ở mức trung bình

Chia sẻ: Dilysstran Dilysstran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:130

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ các khái niệm: năng lực toán học, các mức độ của năng lực toán học, học sinh với năng lực toán học ở mức trung bình. Tìm hiểu đặc điểm và những khó khăn học sinh với năng lực toán học ở mức trung bình gặp phải khi học phần phương trình lượng giác. Đề xuất và sử dụng các cách thức tổ chức dạy học phần phương trình lượng giác phù hợp với học sinh có năng lực toán học ở mức trung bình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Dạy học chủ đề phương trình lượng giác cho học sinh với năng lực toán học ở mức trung bình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ UYÊN DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CHO HỌC SINH VỚI NĂNG LỰC TOÁN HỌC Ở MỨC TRUNG BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ UYÊN DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CHO HỌC SINH VỚI NĂNG LỰC TOÁN HỌC Ở MỨC TRUNG BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số: 60 14 01 11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Hữu Châu HÀ NỘI – 2015
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học và quá trình nghiên cứu đề tài. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS. Nguyễn Hữu Châu - người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn : - BGH trường THPT Thanh Oai A - thành phố Hà Nội đã tạo điều iện thuận iđ tôi hoàn thành h học và gi p đỡ tôi trong quá tr nh thực hiện thực nghiệm sư phạm g p phần hoàn thành uận văn - ác thầy c trong t Toán - Tin trường TH T TH T Thanh Oai A đã cho tôi nhiều iến qu áu và u n ng hộ, gi p đỡ trong c ng tác đ tôi hoàn thành h học và uận văn đ ng thời hạn - ác ạn trong ớp o học uận và phương pháp ạy học m n Toán h 9 đã gi p đỡ tôi trong quá tr nh học tập c ng như àm uận văn uối c ng, tôi in ày tỏ ng iết ơn chân thành đến những người thân trong gi đ nh đã u n động vi n, gi p đỡ tôi về mọi mặt ặc đã r t cố gắng song uận văn h ng tránh hỏi những thiếu s t, hạn chế Tôi r t mong nhận đư c những đ ng g p qu áu c các thầy c giáo, các nhà ho học và ạn đ ng nghiệp Nộ n 17 t n 11 n m 2015 T c giả Nguyễn Thị Uyên i
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT BTVN Bài tập về nhà. ĐTLG Đƣờng tròn lƣợng giác. GTLG Giá trị lƣợng giác. HSLG Hàm số lƣợng giác. Đ Hoạt động. MTBT Máy tính bỏ túi. PPCT Phân phố c ƣơn trìn . PTLG P ƣơn trìn lƣợng giác. SGK Sách giáo khoa. tmđk Thỏa mãn đ ều kiện. THPT Trung học phổ thông. tr Trang. VP Vế phải. VT Vế trái. ii
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. i DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT.................................................................................. ii MỤC LỤC ................................................................................................................. iii MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài ...........................................................................................1 2. Mục đíc n ên cứu .....................................................................................1 3. Phạm vi nghiên cứu .......................................................................................2 4. Vấn đề nghiên cứu .........................................................................................2 5. Giả thuyết nghiên cứu....................................................................................2 6. Nhiệm vụ nghiên cứu ....................................................................................2 7. P ƣơn p p n ên cứu ...............................................................................2 7.1. hương pháp nghi n cứu tài liệu............................................................2 7.2. hương pháp điều tra xã hội học ...........................................................3 7.3. hương pháp thực nghiệm sư phạm .......................................................3 7.4. hương pháp thống kê toán học .............................................................3 8. Đón óp của luận v n ..................................................................................3 9. Cấu trúc của luận v n ....................................................................................3 C ƢƠNG I : CƠ SỞ LÝ LUẬN ................................................................................4 1.1. N n lực toán học ..........................................................................................4 1.1.1. Khái niệm năng ực .............................................................................4 1.1.2. Khái niệm năng ực toán học ..............................................................4 1.1.3. C u trúc c năng ực toán học ..........................................................4 1.1.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát tri n năng ực toán học……... ……………………………………………………………………...11 1.1.5. Các mức độ c năng ực toán học ...................................................12 1.2. Học sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình ......................................12 1.2.1. Sự khác biệt về năng ực toán học c a các loại học sinh..................12 1.2.2. Đặc đi m c a học sinh c năng ực toán học ở mức trung bình .......13 1.3. Chủ đề p ƣơn trìn lƣợng giác ..................................................................20 iii
1.3.1. Lịch sử phát tri n...............................................................................20 1.3.2. Ch đề phương tr nh ư ng giác trong sách giáo khoa ph thông ...21 1.3.2.1. Nội dung phần phương tr nh ư ng giác ...........................................21 1.4. Kết luận c ƣơn I ........................................................................................23 C ƢƠNG II: NG IÊN CỨU THỰC TIỄN DẠY HỌC .........................................24 2.1. Địa đ ểm khảo sát ........................................................................................24 2.2. Mục đíc n ên cứu ...................................................................................24 2.3. Khách thể v đố tƣợng nghiên cứu .............................................................24 2.4. P ƣơn p p n ên cứu .............................................................................24 2.5. Kết quả thực hiện .........................................................................................24 2.6. Các thảo luận ...............................................................................................30 2.7. Kết luận c ƣơn II .......................................................................................31 C ƢƠNG III : MỘT SỐ BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC TẬP CỦA HỌC SINH VỚI NĂNG LỰC TOÁN HỌC Ở MỨC TRUNG BÌNH QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ P ƢƠNG TRÌN LƢỢNG GIÁC .................................................33 3.1. P ƣơn ƣớng chung ...................................................................................33 3.1.1. Xây dựng thái độ và sự nhận thức tích cực c a học sinh về việc học tập môn Toán.....................................................................................................33 3.1.2. Thu thập và t ng h p kiến thức c a học sinh....................................33 3.1.3. Phân loại học sinh c năng ực toán học trung bình và tạo tiền đề xu t phát ……………………………………………………………………...33 3.2. Một số biện pháp cụ thể...............................................................................34 3.2.1. Tạo hứng thú, xây dựng niềm tin toán học c các đối tư ng học sinh qua dạy học phần phương tr nh ư ng giác ......................................................34 3.2.2. Xây dựng hệ thống bài tập vừa sức, c hướng phát tri n cho nhóm học sinh với năng ực toán học ở mức trung bình ............................................40 3.2.3. Rèn luyện phương pháp tự học cho học sinh c năng ực toán học ở mức trung bình ..................................................................................................50 3.2.4. Đánh giá và theo õi quá tr nh phát tri n c a học sinh với năng ực toán học ở mức trung bình ................................................................................54 3.3. Một số giáo án dạy học chủ đề p ƣơn trìn lƣợng giác cho học sinh có n n lực toán học ở mức trung bình......................................................................64 3.4. Kết luận c ƣơn III .....................................................................................86 iv
C ƢƠNG IV: T ỰC NGHIỆM SƢ P ẠM ...........................................................87 4.1. Mục đíc ......................................................................................................87 4.2. Nội dung thực nghiệm .................................................................................87 4.2.1. Thời gian thực nghiệm ............................................................................87 4.2.2. Nội dung thực nghiệm .............................................................................87 4.3. Tổ chức thực nghiệm ...................................................................................87 4 3 1 Đối tư ng thực nghiệm ...........................................................................87 4.3.2. Kế hoạch thực nghiệm .............................................................................87 433 ơ sở đ đánh giá thực nghiệm ..............................................................88 4.3.4. Kết quả thực nghiệm ..............................................................................96 4.4. Kết luận c ƣơn IV ...................................................................................112 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .........................................................................113 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌN ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN ......................................................................................114 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................115 PHỤ LỤC ................................................................................................................117 v
vi
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong công cuộc đổi mới giáo dục, một trong những vấn đề quan trọng, cấp thiết l đổi mớ p ƣơn p p dạy học. Luật Giáo dục (sửa đổi bổ sun n m 2009) đ ều 28 khoản 2 đã rõ: “ hương pháp giáo ục toán ph thông phải phát huy tính tích cực tự giác, ch động sáng tạo c a học sinh; phù h p với đặc đi m c a từng lớp học, môn học; b i ưỡng phương pháp tự học, khả năng àm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem ại niềm vui, hứng thú học tập cho từng học sinh.” Trƣớc những yêu cầu về đổi mớ p ƣơn p p dạy học n ƣời giáo viên luôn phải sáng tạo trong cách triển khai và xây dựng các hoạt động học tập của học sinh, vận dụng một cách linh hoạt c c p ƣơn p p dạy học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từn đố tƣợng học sinh. Toán học cũn n ƣ c c môn ọc khác góp phần quan trọng vào việc nâng cao chất lƣợng toàn diện của trƣờng phổ thông. Tuy nhiên, thực tế cho thấy chất lƣợng dạy và học To n c ƣa cao có sự khác biệt về n n lực toán học giữa các học sinh trong cùng một lớp học, giữa các lớp trong cùng một trƣờng học và giữa c c trƣờng học với nhau. Việc dạy học cho học sinh vớ n n lực toán học trung bình vẫn c ƣa đƣợc chú trọn c ƣa k ơ dậ đƣợc sự ham thích học toán và sự tự tin trong giải toán cho các em. Mặt khác, chủ đề p ƣơn trìn lƣợng giác là phần kiến thức rất hay và không dễ đối với học sinh trung học phổ t ôn . ơn nữa thờ lƣợng dạy học dành cho phần này không nhiều, nên việc nắm vững lý thuyết và vận dụng vào làm bài tập là k ó k n k ến học sinh gặp không ít lúng túng và sai sót. Với những lí do trên, tôi chọn đề t l “Dạy học chủ đề phương trình lượng giác cho học sinh với năng lực toán học ở mức trung bình”. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu nhữn đặc đ ểm của học sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bìn v k ó k n ặp phải khi học phần p ƣơn trìn lƣợng giác; từ đó đề xuất các biện pháp tổ chức dạy học cho học sinh, góp phần thực hiện mục tiêu nâng cao chất lƣợng giáo dục. 1
3. Phạm vi nghiên cứu - Quá trình dạy học chủ đề p ƣơn trìn lƣợng giác. - Học s n có n n lực toán học trung bình của khố 11 trƣờng THPT Thanh Oai A – Hà Nội. 4. Vấn đề nghiên cứu Tổ chức dạy học n ƣ t ế n o để phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh có n n lực toán học ở mức trung bình? 5. Giả thuyết nghiên cứu G o v ên x c địn đún n ữn k ó k n ọc sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình gặp phả đề xuất và sử dụng các cách thức tổ chức dạy học thích hợp sẽ kích thích hoạt động học tập, phát triển đƣợc n n lực toán học và lòng ham thích học toán của học s n úp c c em vƣơn lên đạt kết quả cao ơn tron ọc tập. 6. Nhiệm vụ nghiên cứu - Làm sáng tỏ các khái niệm: n n lực toán học, các mức độ của n n lực toán học, học sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình. - Tìm hiểu đặc đ ểm và nhữn k ó k n ọc sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình gặp phải khi học phần p ƣơn trìn lƣợng giác. - Đề xuất và sử dụng các cách thức tổ chức dạy học phần p ƣơn trìn lƣợng giác phù hợp với học s n có n n lực toán học ở mức trung bình. - Tiến hành thực nghiệm sƣ p ạm nhằm đ n tín k ả thi, tính hiện thực và tính hiệu quả của đề tài. 7. Phƣơng ph p nghiên cứu 7.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Nghiên cứu s c o k oa đại số và giả tíc 11 s c o k oa đại số 10 hiện hành và các sách tham khảo có l ên quan đến chủ đề p ƣơn trìn lƣợng giác. - Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học dạy học, lí luận v p ƣơn pháp dạy học bộ môn toán. - Nghiên cứu tìm hiểu các tài liệu sách báo, tạp chí, công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài. 2
7.2. Phương pháp điều tra xã hội học - Quan sát tiến trình dạy học t độ học tập của học sinh trong những giờ dạy thực nghiệm và không thực nghiệm. - Phỏng vấn và phát phiếu hỏ đối với giáo viên tổ toán và những học sinh có n n lực toán học ở mức trung bình về thực trạng dạy học và nhữn k ó k n gặp phải khi dạy và học chủ đề p ƣơn trìn lƣợng giác. - Dự giờ trao đổi kinh nghiệm vớ c c o v ên môn to n trƣờng trung học phổ thông. 7.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm 7.4. Phương pháp thống kê toán học Sử dụn p ƣơn p p t ống kê trong xử lí kết quả thực nghiệm sƣ p ạm đối với học s n có n n lực toán học ở mức trung bình trong dạy học chủ đề p ƣơn trìn lƣợng giác. 8. Đóng góp của luận văn - Làm sáng tỏ các khái niệm: n n lực toán học, các mức độ của n n lực toán học; các dấu hiệu của học sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình. - Phân tích đƣợc đặc đ ểm và nhữn k ó k n ọc sinh vớ n n lực toán học ở mức trung bình gặp phải khi học phần p ƣơn trìn lƣợng giác. - Đề xuất và sử dụng các cách thức tổ chức dạy học phần p ƣơn trìn lƣợng giác thích hợp nhằm nâng cao hứng thú học tập cho học sin có n n lực toán học ở mức trung bình. 9. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận v n đƣợc trìn b tron 4 c ƣơn : Chương I : Cơ sở lí luận Chương II : Nghiên cứu thực tiễn dạy học Chương III : Một số biện pháp nâng cao hiệu quả học tập của học sinh với n n lực toán học ở mức trung bình qua dạy học chủ đề p ƣơn trìn lƣợng giác. Chương IV : Thực nghiệm sƣ p ạm. 3
CHƢƠNG I : CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Năng lực toán học 1.1.1. Khái niệm năng lực Theo [18, tr 41]: “Năng ực à đặc đi m c a cá nhân th hiện mức độ thông thạo, tức là có th thực hiện một cách thành thục và chắc chắn một hay một số dạng hoạt động nào đ ”  C c đặc trƣn của n n lực: - Cấu trúc của n n lực là tổ hợp nhiều kỹ n n t ực hiện những hoạt động thành phần có quan hệ chặt chẽ với nhau. - N n lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt độn . Nó đến n n lực l nó đến khả n n o n t n một hoạt độn n o đó của cá nhân. - N ng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ v do đó nó gắn liền với tính sáng tạo tuy có khác nhau về mức độ. - N n lực có thể rèn luyện và phát triển đƣợc. - Vớ c c c n ân k c n au có n n lực khác nhau. 1.1.2. Khái niệm năng lực toán học Năng ực toán học là tổ hợp các kỹ n n của c n ân đảm bảo thực hiện các hoạt động toán học. Các kỹ n n của cá nhân vừa là sản phẩm của sinh lý (có sẵn) vừa là sản phẩm của tâm lý (do rèn luyện mà có). Các hoạt động toán học đó l c c t ao t c đặc trƣn (p ân tíc su luận, lập luận, chứn m n …) vớ c c đố tƣợng, nội dung toán học. Năng ực toán học ph thông là khả n n n ận biết ý n ĩa va trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tƣ du to n ọc để giải quyết các vấn đề của thực tiễn đ p ứng nhu cầu đời sống hiện tạ v tƣơn la một cách linh hoạt; là khả n n p ân tíc su luận, lập luận k qu t óa trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau. 1.1.3. Cấu trúc của năng lực toán học N n lực toán học của mỗ c n ân đƣợc tổ hợp bởi 8 thành phần : 4
Tƣ du v su luận Lập luận B ểu đạt Mô hình hoá Đặt v ả qu ết vấn đề B ểu d ễn Sử dụn c c kí ệu n ôn n ữ p ép to n Sử dụn c c p ƣơn t ện ỗ trợ  Năng ực tư uy và suy uận: L ên quan đến n n lực đặt ra những câu hỏ đặc trƣn của toán học (“Có...k ôn ?” “Bao n êu?” “L m t ế n o…?”) v trả lời cho các loại câu hỏ đó sự hiểu biết và xử lý vấn đề trong phạm vi và giới hạn của toán học. Ví dụ: Sau khi học xon Định lí về dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax2  bx  c, (a  0),   b2  4ac . Nếu   0 thì f ( x) luôn cùng dấu với hệ số a , với mọi x  ¡ ; b Nếu   0 thì f ( x) luôn cùng dấu với hệ số a , trừ khi x   ; 2a Nếu   0 thì f ( x) cùng dấu với hệ số a khi x  x1 hoặc x  x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1  x  x2 tron đó x1 , x2  x1  x2  là hai nghiệm của f ( x) . Câu hỏ 1: Quan s t Định lí, hãy cho biết tron trƣờng hợp nào thì f ( x) luôn giữ nguyên một dấu? (Học sinh quan sát và thấ có đún một trƣờng hợp thoả mãn là   0 ). Câu hỏi 2: Muốn f ( x) luôn nhận dấu dƣơn với mọi x  ¡ , cần có đ ều kiện gì? 5
(Học s n tƣ du v su luận: f ( x) luôn nhận dấu dƣơn tức f ( x) luôn giữ nguyên mọt dấu hay   0 . Với   0 thì f ( x) luôn cùng dấu với hệ số a , với   0 mọi x  ¡ , từ đó muốn f ( x)  0 thì a  0 . Vậ đ ều kiện cần tìm là  ) a  0  Năng ực lập luận: L ên quan đến n n lực hiểu biết về các cách chứng minh và lập luận toán học, khả n n đ n một chuỗi các lập luận toán học khác nhau (có hay không thể xảy ra, lý do tạ sao…). Chẳng hạn , tìm lỗi sai trong lời giải sau: x2  x  2  x2  2x  3  x2  4x  5   x  1 x  2    x  1 x  3   x  1 x  5  x2  x3  x5 Thực chất để giải bất p ƣơn trìn trên cần tìm đ ều kiện x c định là x  1 hoặc x  5 ; biến đổi bất p ƣơn trìn  x  1 x  2   x  1 x  3   x  1 x  5 tƣơn đƣơn với bất p ƣơn trình nào thì phả xét ba trƣờng hợp: x  1, x  5 và x  1 .  Năng ực bi u đạt: Khả n n ểu và diễn đạt vấn đề với nội dung toán học bằng nhiều cách khác nhau (bằng lờ cũn n ƣ bằn v n bản). Ví dụ: “Tìm m để p ƣơn trìn x2  2 x  m  1  0 vô nghiệm”. G o v ên có thể dẫn dắt để học s n tìm đƣợc ba cách diễn đạt khác nhau về b to n đó l : o Với giá trị nào của m thì biểu thức f ( x)  x 2  2 x  m  1 luôn lớn ơn 0? o Với giá trị nào của m thì parabol ( P) : y  x 2  2 x  m  1 không cắt trục hoành? o Với giá trị nào của m thì parabol ( P) : y  x 2  2 x  1 nằm phía trên đƣờng thẳng (d ) : y  m ? Tron ba p ƣơn t ức diễn đạt trên, một p ƣơn t ức chuyển vấn đề vô nghiệm của p ƣơn trìn về bài toán tìm m để tam thức bậc a k ôn đổi dấu; cách thứ a đƣa vấn đề vô nghiệm của p ƣơn trìn về bài toán tìm m để đồ thị hàm số bậc hai nằm phía trên trục hoành; cách thứ ba đƣa về bài toán xét vị trí 6
tƣơn đối giữa parabol ( P) : y  x 2  2 x  1 v đƣờng thẳng (d ) : y  m . N ƣ vậy không những nối thông những kiến thức đã học trƣớc đó m còn k ắc sâu, hệ thống hoá những kiến thức đã ọc.  Năng ực mô hình hóa: L ên quan đến khả n n to n ọc hóa những vấn đề thực tế (xây dựng, giải thích, làm việc, phản ánh, phân tích mô hình toán học và kết quả của nó …) Mô hình toán học là sự mô tả gần đún dƣới dạng toán học, một lớp n o đó c c hiện tƣợng trong thế giớ k c quan. P ƣơn p p mô ìn o to n ọc (nghiên cứu các hiện tƣợng nhờ mô hình toán học) đƣa v ệc khảo sát các hiện tƣợng, các tình huống trong thực tế về các bài toán phải giải (toán học hoá các tình huống). Mô hình toán học của nhiều hiện tƣợng trong thực tế đƣợc thể hiện dƣới dạng hàm số cho bằng công thức (mô ìn đại số hay mô hình giải tích) và đồ thị (mô ìn đồ thị hay mô hình hình học). Ví dụ: Trong kho có 500 tấn hàng, mỗ n n ƣời ta lấ đ 30 tấn hàng. Hỏi số hàng còn lại trong kho là bao nhiêu tấn sau 2 ngày, 4 ngày, 10 ngày? Mô hình toán học của tình huống này là hàm số bậc nhất y  500  30 x , với x là số ngày, y là số tấn hàng còn lại trong kho. Nhờ mô hình này, có thể trả lời dễ dàng: x  2 thì y  440 ; x  4 thì y  380 ; x  10 thì y  200 .  Năng ực đặt và giải quyết v n đề: L ên quan đến khả n n x c định các vấn đề và giải quyết chúng theo nhiều cách khác nhau. Với học sinh lớp 10, khi học phần Hình học véctơ ọc s n đã đƣợc học bài toán về tính chất trọng tâm của tam giác ABC, nếu nhìn theo nhữn óc độ khác nhau sẽ dẫn đến các kết quả đẹp khác, mà ở đó tạo đ ều kiện cho sự phát triển trí tuệ, phát triển n n lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học s n . Đồng thời tạo nên những cộn ƣởng tích cực cho học sinh, tạo thói quen cho các em trong học tập cũn n ƣ tron cuộc sống. Thói quen tìm tòi, sáng tạo, thích nghi trong hoàn cảnh mới, không thoả mãn khi nhiệm vụ trƣớc mắt đƣợc hoàn thành mà vẫn t ƣờng trực những câu hỏ để mở rộng vấn đề b to n. Định lí về trọng uuur uuur uuur r tâm tam c: “G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA  GB  GC  0 ” là một ví dụ. 7
Dƣớ đâ l qu trìn c ứng minh và mở rộng bài toán của học sinh có sự định ƣớng, gợi mở hợp lí của giáo viên. Trƣớc khi học sinh học về địn lí n t ì c c em đã b ết về một tính chất của trun đ ểm l : “M l trun đ ểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi uuur uuur r MA  MB  0 ”. Để đƣa ra định lí về trọng tâm của VABC ở trên thì ta có thể đ từ c đã b ết bằn c c xem đoạn thẳng là một tam c đặc biệt có ba đỉnh thẳng hàng chẳng hạn với C l trun đ ểm của AB k đó đ ểm M sẽ là trọng uuur uuur r tâm của tam c đặc biệt đó. N ƣ vậy khi MA  MB  0 tức l định lí trên đún tron trƣờng hợp đặc biệt này. Bây giờ ta chứng minh cho tam giác bất kì. Đ ều cần chứng minh: G là trọng tâm VABC tƣơn đƣơn vớ đẳng thức: uuur uuur uuur r GA  GB  GC  0 r - Nếu xem vectơ 0 dƣới khía cạnh là tổng của a véctơ đố n au ta có ƣớng chứn m n n ƣ sau: uuur uuur uuur o Ta biến đổi biểu thức: GA  GB  GC A thành tổng của a vectơ đối nhau bằng cách dựa vào tính chất của trọng tâm. o Dựng hình bình hành GBDC ta có M là G trun đ ểm của GD, suy ra G là trung B C uuur uuur M đ ểm của AD và có GA  GD . D o Vậy G là trọng tâm VABC khi và chỉ khi uuur uuur uuur uuur uuur GA  GD , mà theo quy tắc hình bình hành ta có: GD  GB  GC . uuur uuur uuur uuur uuur uuur r o Do đó GA  GB  GC hay GA  GB  GC  0 . r r - Nếu ta xem xét vectơ 0 dƣới khía cạn l tíc vô ƣớng của vectơ 0 với mọi vectơ đều bằng 0 , thì ta có cách chứn m n n ƣ sau: uuur uuur uuur r o Để chứng minh GA  GB  GC  0 ta chứng minh rằn tíc vô ƣớng uuur uuur uuur uuur uuur của GA  GB  GC vớ a vectơ k ôn cùn p ƣơn l GA, GB đều bằng 0, tức ta chứn m n a đẳng thức sau đâ :     uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur GA  GB  GC  GA  0 vµ GA  GB  GC  GB  0 8
uuur uuur uuur r o Hoặc để chứng minh GA  GB  GC  0 ta chứng minh rằng   uuur uuur uuur 2 GA  GB  GC  0 - Sau khi chứn m n địn lí t ì tù v o đố tƣợng học sinh, giáo viên có thể cho học sinh thực hiện các hoạt độn cũn cố định lí. Hướng phát tri n: Nếu xem trọng tâm G là một đ ểm đặc biệt nằm trong tam 1 giác thỏa mãn SVGBC  SVGCA  SVGAB  SVABC . K đó: 3 uuur uuur uuur r 1 uuur 1 uuur 1 uuur r GA  GB  GC  0  SVABC  GA  SVABC  GB  SVABC  GC  0 (*). 3 3 3 Ta để ý rằng tổng các hệ số của biểu thức vế trái của (*) bằng SVABC . Từ đó ta xem xét một kết quả tổn qu t ơn n ƣ sau: "O l đ ểm bất kì nằm trong tam c ABC. Đặt S1  SVGBC , S2  SVGCA , S3  SVGAB ; ta có: uuur uuur uuur r S1  OA  S2  OB  S3  OC  0 . N ƣ vậy từ trƣờng hợp r ên ta đã mở rộn định lí ra c o trƣờng hợp O l đ ểm bất kì nằm tron tam c v ta đã có tín c ất tổn qu t ơn.  Năng ực bi u diễn: L ên quan đến khả n n mã óa v ải mã, dịch và phiên dịch, biểu diễn mố tƣơn quan ữa c c đố tƣợng trong các tình huống khác nhau của toán học, lựa chọn và chuyển đổi hình thức biểu diễn dựa theo tình hình và mục đíc . Để minh hoạ cho thành tố n n lực này, có thể xem xét ví dụ sau đâ : a.x  b “Tìm a số a, b sao cho biểu thức y  đạt giá trị nhỏ nhất là 2 và giá x2  1 trị lớn nhất là 3 ”. Một p ƣơn p p rất mạn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là sử dụng công cụ đạo hàm. Tuy nhiên việc áp dụn p ƣơn p p đó v o b toán này là không dễ, bởi vì còn phải biện luận về p ƣơn trìn y '  0 (đâ lại là một p ƣơn trìn có c ứa tham số). N ƣn nếu biết biểu diễn b to n đã c o  a.x  b 2  2  3, x dƣới dạng  x 1 thì vấn đề sẽ trở nên đơn ản ơn  x1 , x2 : y ( x1 )  2, y ( x1 )  3 9
rất nhiều. Bởi vì, lúc này chỉ cần tìm a, b sao cho các biệt số của các tam thức 3x2  ax  3  b và 2 x2  ax  b  2 đều bằng 0 . Ví dụ 2: “Tìm đ ểm cố định của họ đƣờng cong y  mx 2  2mx  1 ”. T ực chất của b to n n l tìm đ ểm A  x0 ; y0  sao cho y0  mx02  2mx0  1 với mọi m   x0  2 x0  0 2  x0  0, y0  1    x  2 x0 m  1  y0   0, m   2  1  y0  0  x0  2, y0  1 0   Năng ực sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ, phép toán: Dạy học toán, xét về mặt n o đó l dạy học một ngôn ngữ, một ngôn ngữ đặc biệt, có tác dụng to lớn trong việc diễn tả các sự kiện c c p ƣơn pháp trong c c lĩn vực rất khác nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn. Ngôn ngữ toán học là kết quả của sự cải tiến ngôn ngữ tự nhiên theo nhữn k u n ƣớng sau: o Khắc phục sự cồng kềnh của ngôn ngữ tự nhiên; o Mở rộng các khả n n b ểu diễn của nó; o Loại bỏ sự đa n ĩa của ngôn ngữ tự nhiên. Hệ thống các kí hiệu toán học có thể coi là một ngôn ngữ riêng, ngôn ngữ kí hiệu. Trong dạy học môn to n t ƣờng sử dụn đan xen ba dạng ngôn ngữ: Các kí hiệu toán học, các thuật ngữ toán học và ngôn ngữ tự nhiên. Chẳng hạn, trong địn n ĩa: “P ƣơn trìn bậc a đối với một hàm số lƣợn c l p ƣơn trình có dạng at 2  bt  c  0 tron đó a, b, c là các hằng số  a  0  và t là một trong các hàm số lƣợn c.” (SGK Đại số và Giả tíc 11 ban cơ bản, tr.31), có sự xuất hiện của thuật ngữ, kí hiệu và ngôn ngữ tự nhiên. N n lực tƣ du to n ọc v n n lực sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ, phép toán có liên quan chặt chẽ với nhau, nắm vữn đƣợc ngôn ngữ và các kí hiệu toán học cũn có n ĩa nắm vữn đƣợc c c đặc trƣn của tƣ du to n ọc. Ví dụ mện đề “có một số nguyên nhỏ ơn 0” có t ể đƣợc viết bằng kí hiệu n ƣ sau: “ n  ¥ : n  0 ” Hoặc phát biểu thành lời mện đề : “ x  ¡ : x 1  x ” sẽ l “mọi số thực nhân vớ 1 đều bằn c ín nó”. Hoặc lập mện đề phủ định của mện đề sau v xét tín đún sa của nó: a) P: “ x  ¡ : x  x  1 ” 10
b) Q: “ x  ¤ : x 2  2 ”  Năng ực sử dụng phương tiện hỗ tr : Đ ều n l ên quan đến việc biết và có khả n n sử dụng nhiều loạ p ƣơn t ện hỗ trợ khác nhau (bao gồm công cụ công nghệ thông tin) có thể trợ giúp cho hoạt động toán, và biết các hạn chế của những loại công cụ đó. N n lực toán học phổ t ôn k ôn đồng nhất với khả n n t ếp nhận nội dung của c ƣơn trìn to n tron n trƣờng phổ thông truyền thốn m đ ều cần nhấn mạn đó l k ến thức toán học đƣợc học, vận dụng và phát triển n ƣ t ế nào để t n cƣờng khả n n p ân tíc su luận, lập luận, khái quát hóa và phát hiện đƣợc những tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện. 1.1.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển năng lực toán học - Yếu tố tự nhiên – sinh học: N n lực toán của học s n đƣợc di truyền từ cha mẹ mà chúng ta hay gọi là năng hiếu toán. Di truyền tạo ra nhữn đ ều kiện ban đầu để học sinh có triển vọng phát triển n n lực toán tốt. Tu n ên đ ều đó c ỉ tạo nên những tiền đề vật chất cho sự hình thành và phát triển n n lực toán sau này. - Yếu tố m i trường xã hội và giáo dục: Mô trƣờng góp phần tạo nên độn cơ mục đíc p ƣơn t ện n động của c n ân tron đó o dục đón va trò chủ đạo. - Yếu tố nội dung c a toán học: Chính trong bản thân môn toán học với nội dung có đặc tính trừu tƣợn lo c đã óp p ần hình thành và phát triển c c n n lực toán học cho học sinh. Việc học tập toán một cách có hệ thốn p ƣơn p p phù hợp l đ ều kiện quan trọn để học sinh phát triển n n lực toán một cách bền vững. - Yếu tố hoạt động c a học sinh: Hoạt động của học s n đón va trò qu ết định trực tiếp đến sự hình thành và phát triển n n lực toán. Muốn hình thành và phát triển n n lực toán, học sinh cần phả đƣợc trực tiếp thao tác, hoạt động với các đối tƣợng, nội dung toán học một cách tích cực, say mê, cộng với ý chí, nghị lực và sự k ên trì để vƣợt qua các trở ngại, dần dần chiếm lĩn c c tr t ức toán học. 11
1.1.5. Các mức độ của năng lực toán học Đ n n n lực Toán học có thể chia ra làm 3 cấp độ tƣơn ứng 6 mức độ : • Mức 1: Nắm đƣợc các khái n ệm cơ bản và các tính toán quen t uộc. Cụm T i • Mức 2: ểu đƣợc các quy trình quen t uộc và p ƣơn pháp quen tạo t uộc. • Mức 3: Dịc c u ển về các vấn đề không quá quen t uộc n ƣn vẫn tiêu c uẩn và ả qu ết đƣợc vấn đề. Cụm liên kết • Mức 4: Xác địn đƣợc các p ƣơn pháp toán ọc không tiêu c uẩn. • Mức 5: Đặt v ả qu ết vấn đề p ức tạp. Cụm • Mức 6: Khái quát hoá. phản nh 1.2. Học sinh với năng lực toán học ở mức trung bình 1.2.1. Sự khác biệt về năng lực toán học của các loại học sinh Dựa trên các thông tin thu thập đƣợc về từng học sinh, giáo viên có thể phân loại học s n t n c c n óm đố tƣợng: - Học s n có n n lực toán học khá giỏi: có khả n n n ận thức nhanh, có kiến thức, kỹ n n tƣ du vƣợt trộ ơn ẳn so với những học sinh khác; có khả n n tự học cao. Học s n có n n lực toán học k tƣơn ứng vớ n n lực ở mức độ 3 và mức độ 4. Học s n có n n lực toán học giỏ tƣơn ứng vớ n n lực ở mức độ 5 và mức độ 6. - Học s n có n n lực toán học trung bình: Có khả n n n ận thức đƣợc những kiến thức, kỹ n n cơ bản của môn to n; n ƣn c ƣa p t u đƣợc khả n n sáng tạo n n lực của bản thân với những yêu cầu cao về kiến thức, kỹ n n ; có khả n n tự học. Học s n có n n lực toán học trun bìn tƣơn ứng vớ n n lực ở mức độ 1 và mức độ 2. - Học s n có n n lực toán học yếu kém: Là những học s n c ƣa đủ khả n n hoàn thành những yêu cầu có tính mắt xích của c c a đoạn trung gian trong quá trình học tập môn toán. Biểu hiện là sức học yếu kém và kết quả học tập t ƣờn xu ên k ôn đạt chuẩn tối thiểu. Về bản chất, học sinh yếu kém c ƣa đủ khả n n o n t n độc lập toàn bộ c c n động học tập trong quy trìn lĩn 12