Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Dạy học mô hình hóa toán học chủ đề Hàm số trong chương trình trung học cơ sở

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:117

Thêm vào BST

Báo xấu

42
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của phương pháp dạy học bằng mô hình hóa; thiết kế một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Dạy học mô hình hóa toán học chủ đề Hàm số trong chương trình trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LƯU THANH HÀ DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI - 2020
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LƯU THANH HÀ DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số: 8.14.01.11 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Chu Cẩm Thơ HÀ NỘI - 2020
LỜI CẢM ƠN Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo, Hội đồng khoa học, Ban giám hiệu Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa học. Đây không chỉ là nền tảng kiến thức cho quá trình hoàn thành luận văn mà còn là hành trang quý báu để tác giả vững bước trên con đường làm nghề dạy học. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Chu Cẩm Thơ, người thầy đã đồng hành, dìu dắt những bước đi đầu tiên trong sự nghiệp và hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy, cô giáo tổ Toán, các em học sinh trường THCS Đông La - Hoài Đức - Hà Nội, cảm ơn Ban lãnh đạo, các anh chị em đồng nghiệp tại công ty Cổ phần Phát triển Giáo dục POMath đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tác giả có thể thực hiện đề tài và hoàn thành khóa học. Tác giả cũng xin được dành lời cảm ơn chân thành đến những người thân và bạn bè, đặc biệt là các học viên lớp cao học QH-2017S đã luôn quan tâm, cổ vũ, chia sẻ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Do thời gian và trình độ bản thân còn nhiều hạn chế, luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy, cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 11 tháng 03 năm 2020 Tác giả Lưu Thanh Hà i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ GV Giáo viên HS Học sinh MHH Mô hình hóa SGK Sách giáo khoa THCS Trung học cơ sở ii
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................................... i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ...............................................................................ii DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VÀ SƠ ĐỒ ......................................... iii MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 1 1. Lí do chọn đề tài ..................................................................................... 1 2. Phạm vi nghiên cứu................................................................................. 3 3. Mục đích nghiên cứu............................................................................... 3 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 3 5. Đối tượng nghiên cứu.............................................................................. 3 6. Giả thuyết khoa học ................................................................................ 3 7. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 4 8. Cấu trúc luận văn .................................................................................... 4 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................................ 5 1.1. Mô hình hóa toán học ........................................................................... 5 1.1.1. Mô hình, mô hình toán học và mô hình hóa toán học .......................................... 5 1.1.2. Quy trình mô hình hóa toán học ............................................................................. 8 1.1.3. Phương pháp dạy học mô hình hóa ......................................................................16 1.2. Vai trò của mô hình hóa trong dạy học môn Toán .................................17 1.2.1. Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn ...............................................................17 1.2.2. Vai trò của mô hình hóa trong dạy học môn Toán .............................................21 1.3. Thực tiễn dạy học bằng mô hình hóa toán học ở cấp trung học cơ sở hiện nay ....................................................................................................23 1.3.1. Thực trạng dạy học bằng mô hình hóa ở bậc trung học cơ sở hiện nay ..........23 1.3.2. Những thuận lợi và trở ngại, khó khăn của dạy học bằng mô hình hóa ..........27 Kết luận chương 1 .....................................................................................30 Chương 2. THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ Ở CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ ................................31 2.1. Định hướng thiết kế.............................................................................31 2.1.1. Nguyên tắc thiết kế .................................................................................................31 2.1.2. Biện pháp thiết kế ...................................................................................................32 iii
2.1.3. Định hướng sử dụng ...............................................................................................34 2.2. Thiết kế một số hoạt động mô hình hóa chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở...................................................................................................36 2.2.1. Dạy học hàm số và đồ thị hàm số y  ax  a  0 cho học sinh lớp 7 .............36 2.2.3. Mô hình trong dạy học hàm số và đồ thị hàm số y  ax  b  a  0 cho học sinh lớp 9 .....................................................................................................................44 2.2.4. Mô hình trong dạy học hàm số và đồ thị hàm số y  ax2  a  0 cho học sinh lớp 9 ............................................................................................................................58 2.3. Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hóa chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở...................................................................................................65 2.3.1. Bài tập mô hình hóa chủ đề Hàm số cho học sinh lớp 7....................................66 2.3.2. Bài tập chủ đề Hàm số cho học sinh lớp 9 ..........................................................70 Kết luận chương 2 .....................................................................................86 Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .......................................................................88 3.1. Mục đích thực nghiệm .........................................................................88 3.1.1. Mục đích thực nghiệm ...........................................................................................88 3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm...........................................................................................88 3.2. Tổ chức thực nghiệm ...........................................................................88 3.2.1. Kế hoạch thực nghiệm ...........................................................................................88 3.2.2. Nội dung thực nghiệm............................................................................................89 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm..............................................................89 3.3.1 Cơ sở đánh giá kết quả thực nghiệm .....................................................................89 3.3.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm................................................................................89 Kết luận chương 3 .....................................................................................93 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .................................................................................94 1. Kết luận .................................................................................................94 2. Khuyến nghị ..........................................................................................95 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................97 PHỤ LỤC iv
DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VÀ SƠ ĐỒ Hình 1.1. Mô hình gia tăng dân số của Maithus (1798) .................................................7 Sơ đồ 1.2. Quy trình mô hình hóa 7 bước của Blum [1] ................................................9 Sơ đồ 1.3. Quy trình mô hình hóa 7 bước của Stillman [1] ...........................................9 Sơ đồ 1.4. Quy trình mô hình hóa 5 bước của PISA (2006)[1] .................................. 10 Sơ đồ 1.5. Quy trình mô hình hóa 4 bước phỏng theo Coulange (1997)[9] ............. 11 Sơ đồ 1.6. Quy trình mô hình hóa khép kín [28] .......................................................... 13 Sơ đồ 1.7. Cơ chế điều chỉnh trong quá trình mô hình hóa [28] ................................ 14 Sơ đồ 1.8. Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa [21] .......................................... 16 Hình 1.9: Một phần bức tường ở quần thể cung điện Alhambra ................................ 19 Hình 1.10. Cách tạo ra viên gạch lát từ hình tam giác đều ......................................... 20 Hình 1.11. Một số tác phẩm của Escher ........................................................................ 20 Hình 1.12. Một số ứng dụng của Lát mặt phẳng trong kiến trúc, xây dựng ............. 20 Hình 1.13. Cách tính chiều cao kim tự tháp bằng tam giác đồng dạng ..................... 22 Biểu đồ 1.14. Kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên tham gia khảo sát ............. 24 Biểu đồ 1.15. Thống kê về đánh giá tầm quan trọng của việc tăng cường các hoạt động liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn Toán .................................................... 24 Biểu đồ 1.16. Thống kê về việc thường xuyên quan tâm đến việc dạy học theo hướng tăng cường liên hệ Toán học với thực tiễn của giáo viên................................ 24 Biểu đồ 1.17. Thống kê về việc thường xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tế và liên hệ với các kiến thức Toán học đang được giảng dạy tại trường phổ thông .............................................................................................................. 25 Biểu đồ 1.18. Thống kê về việc thường xuyên đưa các tình huống thực tiễn, các mô hình của toán học trong thực tiễn vào dạy học Toán ................................................... 25 Biểu đồ 1.19. Thống kê về việc thường xuyên thiết kế cho học sinh các hoạt động, bài tập theo hướng vận dụng mô hình toán học để giải quyết các bài toán thực tiễn ............................................................................................................................................. 26 Biểu đồ 1.20. Thống kê về đánh giá tầm quan trọng của việc tăng các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra, đánh giá môn Toán ......................................................... 26 v
Bảng 1.21. Thống kê ý kiến của giáo viên về những thuận lợi và khó khăn của việc đưa tình huống thực tiễn vào dạy học môn toán........................................................... 27 Sơ đồ 2.1. Quy trình thiết kế hoạt động mô hình hóa .................................................. 34 Hình 2.2. Dấu chân đi bộ của một người....................................................................... 36 Hình 2.3. Vận động viên Phạm Thị Thu Trang tại Seagames 30 ............................... 37 Hình 2.4. Bảng giá sản phẩm tại cửa hàng HLT MUSIC............................................ 40 Hình 2.5. Bảng giá cước Taxi 5 chỗ (dòng xe Vios) của hãng taxi G ....................... 49 Hình 2.6. Bảng giá cước Taxi Vios 5 chỗ, hãng taxi M .............................................. 49 Hình 2.7. Bảng thành tích giành huy chương Vàng nội dung 100m nam tại các kì Olympic mùa hè từ năm 1900 đến năm 2012 ............................................................... 54 Hình 2.8. Cầu Trường Tiền ............................................................................................. 58 Hình 2.9. Nhịp cầu Trường Tiền .................................................................................... 58 Bảng 2.10. Mối tương quan giữa điểm số trên lớp và thời gian học tập ở nhà của một học sinh ...................................................................................................................... 61 Hình 2.11. Tốc độ truyền dịch ........................................................................................ 67 Hình 2.12. Bảng giá bán lẻ xăng tháng 9/2019 của tập đoàn Petrolimex.................. 68 Hình 2.13. Turbin gió ....................................................................................................... 79 Hình 2.14. Cổng Arch tại thành phố St Louis - Mỹ ..................................................... 81 Hình 2.15. Tượng Merlion - Singapore ......................................................................... 84 Bảng 3.1. Kết quả học tập môn Toán năm học 2018 - 2019 ....................................... 89 Bảng 3.2. Kết quả thực nghiệm lớp 7A1 ....................................................................... 90 Bảng 3.3. Kết quả thực nghiệm lớp 9 ............................................................................ 90 vi
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Thực hiện Nghị quyết số 29/NQ-TW của Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa XI), Nghị quyết số 88/2014/QH13 của Quốc hội và Quyết định số 404/QĐ-TTg của Thủ tướng Chính phủ, ngày 26 tháng 12 năm 2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT về việc ban hành chương trình giáo dục phổ thông. Theo đó, chương trình giáo dục phổ thông mới đã nêu rõ mục tiêu: Chương trình giáo dục phổ thông cụ thể hoá mục tiêu giáo dục phổ thông, giúp học sinh làm chủ kiến thức phổ thông, biết vận dụng hiệu quả kiến thức, kĩ năng đã học vào đời sống và tự học suốt đời, có định hướng lựa chọn nghề nghiệp phù hợp, biết xây dựng và phát triển hài hoà các mối quan hệ xã hội, có cá tính, nhân cách và đời sống tâm hồn phong phú, nhờ đó có được cuộc sống có ý nghĩa và đóng góp tích cực vào sự phát triển của đất nước và nhân loại [4]. So với chương trình giáo dục phổ thông hiện hành, chương trình giáo dục phổ thông tổng thể mới được ban hành có nhiều điểm mới, khác biệt mà điểm khác biệt căn bản nhất là chương trình giáo dục phổ thông mới được xây dựng theo mô hình phát triển năng lực, thông qua những kiến thức cơ bản, thiết thực, hiện đại và các phương pháp tích cực hóa hoạt động của người học, giúp học sinh hình thành và phát triển những phẩm chất và năng lực mà nhà trường, xã hội kỳ vọng. Theo đó, chương trình giáo dục phổ thông đã đưa ra các yêu cầu cần đạt bao gồm 5 phẩm chất (yêu đất nước, yêu con người, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm) và 10 năng lực cốt lõi (Bao gồm 3 năng lực chung là: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo và 7 năng lực chuyên môn là: năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mỹ, năng lực thể chất). Năng lực Toán học bao gồm các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học và năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học. Trong đó, năng lực mô hình hóa toán học hướng tới việc giúp học sinh biết sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị …) để mô tả các 1
tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế; biết giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập, biết thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế. Đây là những điều rất cần thiết, không chỉ để phát triển năng lực toán học, năng lực tính toán mà còn giúp các em học sinh phát triển và hoàn thiện bản thân để tham gia vào cuộc sống lao động sau này. Một trong những phương pháp để phát triển tốt năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh chính là phương pháp dạy học bằng mô hình hóa. Phương pháp này giúp học sinh tìm hiểu, khám phá và giải quyết các tình huống thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ Toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học. Qua đó, việc học Toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, có động cơ và niềm ham thích hơn với môn Toán. Từ đây, học sinh cũng có thể tự mình tìm thêm những đáp án thuyết phục hơn cho câu hỏi: “Học Toán để làm gì?”, bên cạnh những đáp án mà bấy lâu nay ai cũng thường trả lời: Học Toán để thi, học Toán để lên lớp; học Toán vì phải học; … Về mặt thực tiễn, việc dạy học phát triển năng lực mô hình hóa Toán học và việc dạy học bằng mô hình hóa Toán học cho học sinh đã được quan tâm và thực hiện ở nhiều quốc gia trên thế giới. Tuy nhiên, ở Việt Nam, việc dạy học định hướng phát triển năng lực còn khá mới và chỉ được quan tâm rộng rãi sau khi có quyết định về việc đổi mới chương trình, sách giáo khoa phổ thông theo hướng phát triển năng lực người học. Hơn nữa, chương trình giáo dục phổ thông hiện hành được xây dựng theo mô hình định hướng nội dung, nặng về truyền thụ kiến thức, chưa chú trọng giúp học sinh vận dụng kiến thức học được vào thực tiễn. Theo mô hình này, kiến thức vừa là “chất liệu”, “đầu vào”; vừa là “kết quả”, “đầu ra” của quá trình giáo dục. Vì vậy, học sinh phải học và ghi nhớ rất nhiều nhưng khả năng vận dụng vào đời sống thực tiễn rất hạn chế. Giáo viên cũng khó lòng có thể có nhiều thời gian dành cho các hoạt động phát triển các năng lực cho học sinh. Đối với chương trình và sách giáo khoa Toán hiện hành và nói riêng đối với chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở, các tình huống thực tiễn liên quan đến nội dung kiến thức được học có được đưa vào trong các hoạt động mở đầu, dẫn nhập hoặc 2
trong các bài tập. Tuy nhiên, các tình huống này chưa nhiều và giáo viên cũng chưa khai thác triệt để hoặc chưa tìm hiếm, thiết kế các tình huống tương tự trong quá trình dạy học cho học sinh, dẫn đến học sinh rất hạn chế khi vận dụng Toán học vào thực tiễn. Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Dạy học mô hình hóa toán học chủ đề Hàm số trong chương trình trung học cơ sở”. 2. Phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu và thiết kế một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở. 3. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của phương pháp dạy học bằng mô hình hóa; thiết kế một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận về mô hình hóa toán học, phương pháp dạy học bằng mô hình hóa. - Tìm hiểu tình hình dạy học bằng mô hình hóa ở cấp trung học cơ sở hiện nay. - Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán trung học cơ sở để thiết các thành các hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề Hàm số. - Thiết kế, xây dựng một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở. - Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các hoạt động đã được thiết kế cũng như việc vận dụng phương pháp dạy học mô hình hóa trong quá trình dạy học chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở. 5. Đối tượng nghiên cứu - Quá trình dạy học chủ đề Hàm số cấp trung học cơ sở bao gồm: chương trình, nội dung, phương pháp dạy học. 6. Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng được các hoạt động, hệ thống bài tập mô hình hóa và thực hiện được phương pháp dạy học mô hình hóa trong quá trình dạy học thì sẽ giúp 3
học sinh vận dụng được các kiến thức được học vào giải quyết các tình huống thực tiễn. Qua đó, học sinh được hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa Toán học đồng thời thấy được ý nghĩa của môn Toán trong đời sống cũng như trong các môn học khác, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán. 7. Phương pháp nghiên cứu 7.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận - Nghiên cứu các bài báo khoa học, sách chuyên khảo, các luận án, luận văn về mô hình hóa, phương pháp dạy học bằng mô hình hóa, phát triển năng lực mô hình hóa trong môn Toán. 7.2. Phương pháp điều tra, quan sát - Quan sát, điều tra, tìm hiểu thực tế dạy học bằng mô hình hóa ở cấp trung học cơ sở - Đánh giá mức độ quan tâm, yêu thích của giáo viên và học sinh với việc liên hệ Toán học và thực tiễn cũng như việc dạy học bằng mô hình hóa. 7.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biện pháp đề xuất. 8. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm: Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2. Thiết kế một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học chủ đề Hàm số ở cấp trung học cơ sở Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 4
Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Mô hình hóa toán học 1.1.1. Mô hình, mô hình toán học và mô hình hóa toán học Theo từ điển Tiếng Việt thì mô hình là vật cùng hình dạng nhưng được làm thu nhỏ lại nhiều lần, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của một vật khác, thường nhằm mục đích để trình bày, nghiên cứu. [20,Tr.665]. Ví dụ: Mô hình ô tô, mô hình khu công nghiệp, mô hình công viên nước, …. Ngoài ra, mô hình còn được hiểu là hình thức diễn đạt hết sức ngắn gọn, theo một ngôn ngữ nào đó, các đặc trưng chủ yếu của một đối đối tượng, để nghiên cứu đối tượng ấy. Ví dụ: Mô hình của một câu đơn (gồm một nòng cốt câu với hai bộ phận chính là chủ ngữ và vị ngữ) Theo Nguyễn Thị Tân An (2012), mô hình là một mẫu, một kế hoạch, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một đối tượng, một hệ thống hay một khái niệm. Mô hình theo ý nghĩa vật lí của nó, đó là bản sao, thường thì nhỏ hơn của một đối tượng. Mô hình đó có cùng nhiều tính chất với đối tượng gốc: nó có cùng những điểm đặc trưng, có thể là màu sắc thậm chí cả chức năng với đối tượng mà mô hình đó biểu diễn. Một mô hình lí thuyết của một sự vật hiện tượng là một tập hợp các quy tắc biểu diễn sự vật hiện tượng đó trong đầu của người quan sát. [1] Như vậy, mô hình có thể hiểu như là một vật, một mẫu được thiết kế mà thông qua chúng, ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể gốc. Từ đó, ta có thể nghiên cứu, tìm hiểu và khám phá các đặc trưng của vật thể mà không cần tạo ra vật thể thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó. Mô hình toán học, theo từ điển Tiếng Việt, là hệ thống các công thức, phương trình, ký hiệu toán học diễn đạt các đặc trưng chủ yếu của một đối tượng, dùng để nghiên cứu đối tượng ấy. [20,Tr.665] Theo Nguyễn Danh Nam (2015), mô hình toán học (mô hình sử dụng trong dạy Toán) là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một 5
hệ thống nào đó. Nó có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính. [18] Theo Từ điển bách khoa toàn thư, MHH là sự chuyển đổi trừu tượng một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên. Sự chuyển đổi này được đặt dưới sự kiểm tra của tư duy lôgic hay tư duy toán học. MHH toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này. MHH toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [1]. MHH trong dạy học Toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin và các công cụ trực quan khác. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy Toán học như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa...[28] Như vậy, có thể nói mô hình là một mẫu được thiết kế để nhìn ra được các đặc điểm từ vật thể, tình huống gốc ban đầu; mô hình Toán học là mô hình sử dụng ngôn ngữ Toán học để mô tả một tình huống nào đó thông qua quá trình MHH toán học, tức là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết các vấn đề Toán học liên quan đến các tình huống thực tiễn. Mô hình toán học và MHH có vai trò hết sức quan trọng, không chỉ trong nội bộ môn Toán và nó còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.  Trong sinh học: Mô hình về sự phát triển của dân số [32] Một mô hình đơn giản cho bài toán này là Mô hình gia tăng dân số của Maithus (1798). Đây là mô hình mô tả sự tăng trưởng của dân số theo hàm mũ dựa trên sự bất biến của tỉ lệ của hệ số phức. Nó được xác định bởi công thức: 6
P  t   P0ert Trong đó: + P  t  : Là dân số tại thời điểm t + P0 : Là dân số ban đầu (tức là tại thời điểm t = 0) + r : Là tỉ lệ gia tăng dân số tại thời điểm t Hình 1.1. Mô hình gia tăng dân số của Maithus (1798) Hình 1.1 thể hiện ba kịch bản thay đổi dân số theo thời gian: Nếu tỉ lệ r  0 thì dân số tăng dần, nếu r  0 thì dân số giảm dần, nếu r  0 thì dân số sẽ giữ nguyên. Về mặt trực quan thì ta thấy điều này là hợp lí vì nếu r  0 tức là tỉ lệ sinh lớn hơn tỉ lệ tử, nghĩa là dân số sẽ tăng và ngược lại. Tuy nhiên, vì sự đơn giản nên mô hình này chỉ phù hợp hữu ích cho việc dự đoán trong khoảng thời gian ngắn, và không tốt nếu áp dụng cho khoảng thời gian 10 hay 20 năm hoặc lâu hơn. Bởi lẽ, mô hình đã không tính đến thực tế những điều kiện tự nhiên (môi trường sống, tài nguyên, …) cũng chỉ hạn chế trong một giới hạn. Khi dân số tăng đến một ngưỡng nào đó thì những điều kiện tự nhiên này không đáp ứng được nhu cầu sinh hoạt của người dân (lương thực thiếu hụt, ô nhiễm môi trường, …). Dẫn đến tỉ lệ sinh giảm mà tỉ lệ tử tăng. Khi đó, mô hình này không còn phản ánh đúng thực tế nữa. Để khắc phục yếu điểm này Pierre 7
Francois Verhulst đã phát triển mô hình hàm logistic vào năm 1838 và vẫn được sử dụng đến ngày nay: C C  P0 r Pt   vt , với K  , v 1  Ke P0 1 P C Trong đó: + P  t  : Là dân số tại thời điểm t + P0 : Là dân số ban đầu (tức là tại thời điểm t = 0) + C: Là ngưỡng chặn trên của dân số  Trong cơ học cổ điển: Mô hình dao động của dây, của màng; mô hình chuyển động của tên lửa; mô hình chuyển động của tàu ngầm... Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hòa. Về mặt động học dao động điều hòa được miêu tả bởi hệ thức: q  Asin  kt    Trong đó: + q : Là tọa độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc tọa độ); + A : Là biên độ dao động; + kt   : Là pha dao động với α là pha ban đầu; k là tần số (riêng) dao động. Ngoài ra, mô hình toán học còn được ứng dụng trong khoa học máy tính (mô hình kiến trúc mạng, mô hình dữ liệu, đồ họa máy tính....), trong kinh tế (mô hình mô tả hành vi (có lí trí) của một khách hàng…), trong điện tử (mô hình quang phổ, mô hình năng lượng,...),…. 1.1.2. Quy trình mô hình hóa toán học Khi mô tả về quy trình MHH toán học, đã có nhiều sơ đồ được đưa ra để chỉ ra một cách tương đối rõ ràng về bản chất của MHH toán học, trở thành một hướng dẫn để thiết kế các hoạt động MHH trong quá trình dạy học. Một số quy trình mà luận văn đã tìm hiểu được là: 8
* Quy trình của Blum (2005): Sơ đồ 1.2. Quy trình mô hình hóa 7 bước của Blum [1] Quy trình gồm 7 bước: Bước 1: Đọc hiểu tình huống thực và xây dựng mô hình cho tình huống đó; Bước 2: Xây dựng mô hình thực của tình huống bằng cách đơn giản hóa và xác định các biến phù hợp; Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán; Bước 4: Giải bài toán trong nội bộ môn toán để tìm kết quả; Bước 5: Chuyển kết quả toán thành kết quả thực; Bước 6: Kiểm tra tính phù hợp của kết quả với mô hình thực; Bước 7: Trình bày và trả lời cho tình huống thực. * Quy trình của Stillman (2007): Sơ đồ 1.3. Quy trình mô hình hóa 7 bước của Stillman [1] 9
Trong quy trình trên, các mục từ A đến G biểu diễn các bước của quá trình MHH; các mũi tên đậm biểu thị sự chuyển đổi giữa các bước, các mũi tên nhạt thể hiện sự tồn tại của hoạt động phản ánh (trong trường hợp không thể chuyển sang bước tiếp theo thì quay lại xem xét các bước phía trước của chu trình). Quá trình MHH bắt đầu từ bước 1 và kết thúc bởi việc thể hiện kết quả MHH hoặc tiếp tục một chu trình MHH khác nếu kết quả là không thỏa đáng ở một phương diện nào đó. * Quy trình của PISA (2006): Sơ đồ 1.4. Quy trình mô hình hóa 5 bước của PISA (2006)[1] Quy trình gồm 5 bước: Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế; Bước 2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo các khái niệm toán học; Bước 3: Không ngừng cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một bài toán mà thể hiện trung thực cho tình huống; Bước 4: Giải quyết bài toán; Bước 5: Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế, xác định những hạn chế của lời giải. 10
* Quy trình phỏng theo Coulange (1997) của Lê Thị Hoài Châu (2015): Sơ đồ 1.5. Quy trình mô hình hóa 4 bước phỏng theo Coulange (1997)[9] Quy trình gồm 4 bước: Bước 1. Xây dựng mô hình phỏng thực tiễn của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập những quy luật phải tuân theo. Bước 2. Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình phỏng thực tiễn. (Có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau ứng với vấn đề đang xem xét, nên khi lựa chọn mô hình, cần xem xét kĩ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng là quan trọng). Bước 3. Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2. Bước 4. Kiểm tra, đánh giá các kết quả thu được trong bước 3 (xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế, nếu không phù hợp thì quá trình lặp lại từ bước 1). 11
Cả 4 quy trình giới thiệu trên đây, dù khác nhau về số lượng các bước và mô tả thực hiện ở mỗi bước nhưng đều có chung 4 giai đoạn: Toán học hóa tình huống thực tiễn; Làm việc và giải quyết bài toán trong nội bộ môn Toán; Chuyển đổi thành kết quả cho bài toán thực tiễn ban đầu và Phản ánh, đánh giá kết quả thu được. Các giai đoạn này cũng mô tả các hoạt động chính của HS cần thực hiện trong quá trình MHH. Tuy nhiên, thực tế dạy học, không phải lúc nào việc thực hiện quá trình MHH cũng suôn sẻ và cần thiết một sự hướng dẫn về việc “phải điều chỉnh như thế nào nếu gặp khó khăn?” hay nói cách khác, cần phải có một cơ chế điều chỉnh trong quy trình MHH để làm đơn giản hóa và làm vấn đề trở nên dễ hiểu hơn với HS. Trong 4 quy trình được nêu bên trên, chỉ có quy trình của Stillman (2007) là đề cập đến vấn đề này một cách có chủ đích hơn trong sơ đồ. Tuy nhiên, việc mô tả cơ chế điều chỉnh còn chưa rõ ràng nên khó để HS có thể hình dung. Vì vậy, đối với quy trình MHH toán học, luận văn lựa chọn trình bày theo Trần Trung (Ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông vào dạy học môn Toán) [28]. Ở đó, ngoài một quy trình MHH toán học, các tác giả còn thiết kế riêng một cơ chế điều chỉnh trong quá trình MHH toán học. Quy trình này gồm bốn giai đoạn sau đây:  Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng, phác thảo tình huống và nhận ra các yếu tố quan trọng (như biến số, tham số) có tác động đến vấn đề.  Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dưới góc nhìn của Toán học. Từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng.  Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp, công cụ Toán học phù hợp để MHH các vấn đề và phân tích mô hình.  Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và kết luận. MHH có thể xem là một quy trình khép kín. Nó được nảy sinh từ các tình huống thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn. Có thể minh họa quy trình trên bằng sơ đồ dưới đây: 12