Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học sinh lớp 12

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:121

Thêm vào BST

Báo xấu

40
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu khai thác các tri thức phương pháp rèn kỹ năng để đề xuất một số biện pháp nhằm góp rèn luyện kỹ năng các bài tập tích phân trong chủ đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng trong chương trình giải tích lớp 12 cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học sinh lớp 12

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÙI THỊ HẰNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HÀ NỘI - 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÙI THỊ HẰNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn toán Mã số: 8. 14. 01. 11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Trần Hữu Nam HÀ NỘI - 2019
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong luận văn này, tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo của trƣờng Đại học Giáo dục- Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Hữu Nam - ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu, thực hiện luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo, các thầy cô giáo và các em học sinh trƣờng THPT A Duy Tiên đã tạo điều kiện, cộng tác và giúp đỡ tác giả trong quá trình làm thực nghiệm sƣ phạm hoàn thiện luận văn của mình. Xin cảm ơn các bạn học viên trong lớp Cao học Lý luận và Phƣơng pháp dạy học môn Toán khóa QH-2017-S trƣờng Đại học Giáo dục- Đại học Quốc gia Hà Nội đã quan tâm, chia sẻ, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.Và tác giả xin cảm ơn gia đình, ngƣời thân đã tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn này. Mặc dù tác giả đã rất nghiêm túc, cố gắng nghiên cứu và thực hiện luận văn này, nhƣng vẫn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả rất mong đƣợc sự chỉ dẫn, đóng góp ý kiến của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2019 Ngƣời viết Bùi Thị Hằng i
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................................................ ii DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ................................................................ vi MỤC LỤC .................................................................................................................. ii MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài .................................................................................................1 2. Lịch sử nghiên cứu..............................................................................................2 3. Mục đích nghiên cứu ..........................................................................................2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ..........................................................................................2 5. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu ....................................................................2 6. Vấn đề nghiên cứu ..............................................................................................3 7. Giả thuyết khoa học ............................................................................................3 8. Phƣơng pháp nghiên cứu ....................................................................................3 9. Cấu trúc luận văn ................................................................................................4 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ...................................................5 1.1. Kỹ năng ............................................................................................................5 1.1.1. Khái niệm kỹ năng ...................................................................................5 1.1.2. Kỹ năng giải toán .....................................................................................6 1.1.3. Đặc điểm của kỹ năng ..............................................................................6 1.1.4. Các mức độ của kỹ năng giải toán ...........................................................7 1.2. Nhiệm vụ rèn kỹ năng giải toán cho học sinh .................................................8 1.2.1. Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh là một mục tiêu dạy học môn Toán ....................................................................................................................8 1.2.2. Yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ...................................8 1.2.3. Vai trò của bài tập trong dạy học .............................................................9 1.3. Thực hiện vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng .........................................................11 1.3.1. Phân tích chƣơng trình sách giáo khoa...................................................11 1.3.2. Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học sinh lớp 12 ở trƣờng trung học phổ thông ........................................................12 Kết luận chƣơng 1 .................................................................................................16 ii
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH LỚP 12 ...................................................................17 2.1. Biện pháp 1: Rèn kỹ năng tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất của tích phân, sử dụng các nguyên hàm cơ bản .....................................17 2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng đổi vi phân để biến đổi tích phân đã cho về tích phân cơ bản hoặc áp dụng công thức tích phân từng phần .......................21 2.2.1. Kỹ năng biến đổi vi phân để quy tích phân đã cho về tích phân cơ bản. ...................................................................................................................21 2.2.2. Kỹ năng biến đổi vi phân trong tính tích phân từng phần. .....................25 2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng tính tích phân bằng phƣơng pháp đổi biến số phù hợp với từng dạng khác nhau ............................................................29 2.3.1. Tính tích phân của hàm phân thức hữu tỷ bằng phƣơng pháp hệ số bất định kết hợp với đổi biến số. ......................................................................30 2.3.2. Rèn luyện kỹ năng tính tích phân của hàm số chứa một căn thức .........35 2.3.3. Rèn luyện kỹ năng tính tích phân của hàm số lƣợng giác ......................38 2. 3.4. Tính tích phân của hàm số mũ và logarit ..............................................42 2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tính tích phân hàm ẩn ................................44 2.4.1. Biến đổi đƣa về nguyên hàm tích phân cơ bản và sử dụng tính chất tích phân ...........................................................................................................44 2.4.2. Tính tích phân hàm ẩn bằng phƣơng pháp đổi biến số ..........................46 2. 4.3. Tính tích phân hàm ẩn bằng phƣơng pháp tích phân từng phần ...........49 2.4.4. Tính tích phân hàm ẩn bằng cách tạo bình phƣơng cho hàm số dƣới dấu tích phân.....................................................................................................51 2.5. Biện pháp 5: Khắc phục và sửa chữa một số sai lầm học sinh thƣờng gặp khi tính tích phân ..................................................................................................55 2.6. Biện pháp 6: Rèn luyện tính linh hoạt, nhuần nhuyễn trong việc tính tích phân cho học sinh thông qua hệ thống bài tập tổng hợp ...............................61 2. 6.1. Rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt trong tính tích phân thông qua những bài tính tích phân bằng nhiều cách .................................................62 2.6.2. Rèn luyện tính nhạy bén cho học sinh trong việc nhận dạng và phƣơng pháp tính tích phân thông qua hệ thống gồm nhiều dạng tích phân khác nhau ..........................................................................................................65 Kết luận chƣơng 2 .................................................................................................81 CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................................82 3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm ....................................................................82 iii
3.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm ....................................................................82 3.3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm ..............................................................82 3.4. Tổ chức thực nghiệm ....................................................................................82 3.4.1. Chọn lớp thực nghiệm ............................................................................82 3.4.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm ..............................................................83 3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm .......................................................................84 3.5.1. Phân tích định tính ..................................................................................84 3.5.2. Phân tích định lƣợng ..............................................................................84 3.5.3. Kết luận chung về thực nghiệm ..............................................................87 Kết luận chƣơng 3 .................................................................................................87 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ...........................................................................88 TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................89 PHỤ LỤC iv
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ ĐC Đối chứng GV Giáo viên HS Học sinh SGK Sách giáo khoa TN Thực nghiệm THPT Trung học phổ thông v
DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ Bảng 1.1. Phân tích thống kê nội dung, chƣơng trình Tích phân trong Chƣơng 3 Giải tích 12. ..............................................................................................12 Bảng 1.2. Đánh giá mức độ khó của bài toán tính tích phân ....................................14 Bảng 1.3. Đánh giá mức độ linh hoạt của HS ...........................................................14 Bảng 1.4. Đánh giá thời lƣợng dành cho việc rèn luyện kỹ năng tính tích phân cho học sinh ..............................................................................................14 Bảng 1.5. Đánh giá mức độ khó của bài toán tính tích phân: ...................................15 Bảng 1.6. Đánh giá mức độ kỹ năng đạt đƣợc của học sinh .....................................15 Bảng 1.7. Đánh giá về thời lƣợng dành cho việc rèn luyện kỹ năng tính Tích phân trên lớp .............................................................................................15 Bảng 2.1 .Một số dạng u và dv thƣờng gặp trong tích phân từng phần ....................26 Bảng 3.1. Thống kê kết quả bài kiểm tra của lớp đối chứng ....................................85 Bảng 3.2. Thống kê kết quả bài kiểm tra của lớp thực nghiệm ................................85 Bảng 3.3. Các mức điểm kiểm tra tính theo tỉ lệ phần trăm .....................................85 Biểu đồ 3.1. Các mức điểm kiểm tra ở lớp đối chứng ..............................................86 Biểu đồ 3.2. Các mức điểm kiểm tra ở lớp thực nghiệm ..........................................86 vi
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Hiện nay với sự phát triển nhanh của khoa học, kỹ thuật và công nghệ thông tin, nhờ đó mà thế giới thay đổi hằng ngày, sự thay đổi này chủ yếu dựa vào tiến bộ của khoa học kĩ thuật, cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 và nền tảng của nó. Cùng với đó đất nƣớc cần có những con ngƣời năng động, có khả năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học, kĩ thuật và đời sống. Để tạo ra nhân lực đáp ứng đƣợc yêu cầu trên thì nhiệm vụ của giáo dục là đào tạo đƣợc con ngƣời lao động tự chủ, sáng tạo, giải quyết đƣợc các vấn đề thực tiễn. Cùng với với phát triển và nhu cầu cần thiết về nguồn nhân lực của xã hội mà ngành giáo dục cũng phải đổi mới. Nó đang đƣợc diễn ra rộng khắp trên tất cả các mặt của giáo dục và trên tất cả các bộ môn học. Toán học là môn học có vị trí vô cùng quan trọng vì nó là môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho nhiều ngành khoa học khác, góp phần lớn vào việc đào tạo những con ngƣời lao động mới thông minh sáng tạo. Theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn thì dạy học Toán không chỉ là dạy kiến thức mà còn dạy cả kỹ năng, tƣ duy và tính cách. Trong đó dạy kỹ năng đóng vai trò đặc biệt quan trọng và cần thiết vì kỹ năng là cơ sở để phát triển tƣ duy để giải quyết vấn đề. Nó là một trong những yêu cầu quan trọng để đảm bảo mối quan hệ giữa lý thuyết và thực hành. Quá trình dạy học sẽ không đạt kết quả cao nếu học sinh chỉ nắm và thuộc đƣợc lý thuyết mà không thể vận dụng lý thuyết vào giải bài tập. Trong dạy học môn Toán, việc rèn kỹ năng tính toán, vận dụng toán học vào thực tiễn có vai trò quan trọng đặc biệt. Ở chƣơng trình môn Toán Trung học phổ thông nguyên hàm, tích phân là một mảng kiến thức rất quan trọng thuộc giải tích 12. Các bài toán tính tích phân luôn xuất hiện trong tất cả các đề khảo sát chất lƣợng cuối năm lớp 12, Đại học cao đẳng trƣớc đây và THPT quốc gia hiện nay. Tuy nhiên trong nhiều năm dạy học tích phân tôi mặc dù học sinh thuộc định nghĩa, tính chất và hai phƣơng pháp tính tích phân cơ bản nhƣng vẫn lúng túng trong khi tính tích phân, đặc biệt là việc áp dụng phƣơng pháp đổi biến số. Vì vậy để HS tính tích phân một cách nhuần nhuyễn, thành thạo đòi hỏi GV phải có những biện pháp rèn kỹ năng giải toán tính tích phân một cách phù hợp. 1
Chính vì những lý do trên nên tác giả chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học sinh lớp 12” . 2. Lịch sử nghiên cứu Ở nƣớc ta đã có một số công trình nghiên cứu về lý luận và thực tiễn của việc rèn kỹ năng cho học sinh trong việc giải Toán nhƣ các tác giả: Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim, Hoàng Chúng…..cũng có một số tác giả nghiên cứu về Tích phân. Nhƣng chƣa có đề tài nào nghiên cứu nội dung chuyên sâu về nội dung rèn kỹ năng giải Toán tính tích phân một cách cụ thể chi tiết. 3. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khai thác các tri thức phƣơng pháp rèn kỹ năng để đề xuất một số biện pháp nhằm góp rèn luyện kỹ năng các bài tập tích phân trong chủ đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng trong chƣơng trình giải tích lớp 12 cho học sinh. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu hệ thống lý luận về kỹ năng và kỹ năng giải Toán. - Nghiên cứu và đề xuất các phƣơng pháp rèn kỹ năng giải các bài toán tích phân. - Hệ thống hóa các dạng bài tập dƣới dạng cơ bản và nâng cao nhằm phục vụ cho việc giảng dạy chủ đề các phƣơng pháp tính tích phân lớp 12 theo phân phối chƣơng trình. - Làm rõ tính khả thi và hiệu quả của đề tài thông qua quá trình thực nghiệm sƣ phạm. 5. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu 5.1. Đối tƣợng nghiên cứu Qua trình rèn kỹ năng giải toán tính tích phân ở chƣơng trình lớp 12. 5.2. Khách thể nghiên cứu Là học sinh lớp 12, bậc trung học phổ thông 5.3. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nội dung: Nghiên cứu các biện pháp nhằm rèn kỹ năng tính tích phân trong chƣơng trình SGK và sách bài tập Giải tích 12, nghiên cứu các bài toán tính tích phân trong các kì thi. 2
Thời gian: Từ tháng 11 năm 2018 đến tháng 10 năm 2019 6. Vấn đề nghiên cứu Dạy các bài toán tích phân cho học sinh lớp 12 nhƣ thế nào để rèn luyện đƣợc kĩ năng giải toán cho học sinh? 7. Giả thuyết khoa học Nếu rèn luyện cho học sinh lớp 12 trung học phổ thông theo những phƣơng pháp đề xuất trong luận văn sẽ tạo đƣợc kỹ năng giải toán nhanh và chính xác cho học sinh. 8. Phƣơng pháp nghiên cứu 8.1. Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu - Nghiên cứu sách giáo khoa Giải tích lớp 12 hiện hành, và sách toán tham khảo liên quan đến tích phân. - Nghiên cứu một số tài liệu về giáo dục học, lí luận dạy học, tâm lí học dạy học. - Nghiên cứu tìm hiểu và phân tích một số tài liệu và công trình khoa học có liên quan đến đề tài. 8.2. Phƣơng pháp điều tra xã hội học - Quan sát theo dõi hoạt động học của học sinh trong những giờ dạy thực nghiệm và không thực nghiệm. - Phỏng vấn, điều tra bằng phiếu hỏi đối với giáo viên tổ Toán và học sinh khối 12 về thực trạng dạy học Tích phân của chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. - Mẫu khảo sát: Các lớp 12A1,12A2 trƣờng Trung học phổ thông A Duy Tiên, giáo viên tổ toán trƣờng Trung học phổ thông A Duy Tiên. 8.3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm - Dạy thực nghiệm. - Kiểm tra trƣớc và sau khi thực nghiệm của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. - Thông qua số liệu điều tra và kết quả bài kiểm tra bƣớc đầu kiểm chứng tính khả thi và tính hiệu quả của giả thuyết nghiên cứu. 3
9. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn đƣợc chia làm 3 chƣơng. Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2. Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học sinh lớp 12 Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 4
CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Kỹ năng 1.1.1. Khái niệm kỹ năng Trong thực tiễn cuộc sống, con ngƣời luôn phải giải quyết các tình huống công việc thuộc các lĩnh vực thực hành hay nhận thức. Để xử lý đƣợc con ngƣời cần vận dụng kiến thức, vốn hiểu biết và kinh nghiệm. Trong quá trình đó con ngƣời sẽ dần hình thành cho bản thân các kỹ năng giải quyết vấn đề đặt ra. “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [15,tr426]. “ Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [9, tr149]. Kỹ năng là sự chọn lựa ra các phƣơng pháp đúng đắn, hợp lý trong tình huống cụ thể nhằm đạt đƣợc mục đích đề ra ban đầu. Kỹ năng là khả năng vận dụng những hiểu biết có đƣợc của bản thân để đạt đƣợc mục đích đề ra, kỹ năng có thể trƣng nhƣ toàn bộ thói quen nhất định, nó là khả năng làm việc có phƣơng pháp. Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Trong đó tri thức bao gồm những tri thức sự vật nhƣ khái niệm, định lí, tính chất,… và những tri thức phƣơng pháp: thuật giải, phƣơng pháp tính toán,… Tri thức là cơ sở của kỹ năng. Để giải quyết đƣợc một bài toán cụ thể, nếu chỉ dựa vào kiến thức mà không có kỹ năng thì cũng không xử lý đƣợc hoặc không triệt để. Vì vậy mà so sánh với kiến thức thuần túy hay thông tin trơn thì kỹ năng chiếm vai trò quan trọng hơn nhiều. Trong quá trình giảng dạy cho thấy, học sinh thƣờng gặp khó khăn khi giải quyết các bài tập cụ thể. Nguyên nhân do học sinh không nắm vững kiến thức, khái niệm, định lý,… không vận dụng đƣợc lý thuyết vào thực tiễn. Muốn 5
hình thành đƣợc kỹ năng đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học sinh, giáo viên cần tổ chức các hoạt động dạy học nhằm phát triển năng lực, tính tự giác, sáng tạo của học sinh. Từ đó học sinh có thể nắm vững kiến thức, kỹ năng và vận dụng vào thực tiễn. 1.1.2. Kỹ năng giải toán Một trong những yêu cầu đặt ra nhằm mục đích dạy môn toán là: Về tri thức và kỹ năng, cần chú trọng những tri thức, phƣơng pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tƣơng ứng. Ví dụ nhƣ tri thức và kỹ năng giải bài toán hình học không gian, tri thức và kỹ năng tính tích phân, kỹ năng hoạt động và tƣ duy hàm…. Kỹ năng trong Toán học là khả năng vận dụng kiến thức Toán học để giải các bài tập toán, thực hiện chứng minh toán học cũng nhƣ phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận đƣợc. Kỹ năng toán học đƣợc hình thành và phát triển trong quá trình dạy học. nó có thể đƣợc bổ sung thêm hoặc rút gọn hơn, thay đổi theo quá trình. Kỹ năng giải bài tập toán của học sinh là khả năng sử dụng có mục đích, sáng tạo và chính xác những kiến thức toán học đã đƣợc học để giải bài tập toán học. Muốn có kỹ năng về hành động nào đó, chủ thể cần phải có kiến thức để hiểu đƣợc mục đích của hành động, biết đƣợc điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động và biết tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó để đạt đƣợc kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra. 1.1.3. Đặc điểm của kỹ năng Bất cứ kỹ năng nào cũng đƣợc hình thành dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức. Bởi vậy, cấu trúc của kỹ năng là: Hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu đƣợc những điều kiện để triển khai các cách thức đó. Kiến thức là cơ sở căn cứ của kỹ năng khi nó phản ánh đầy đủ các thuộc tính cơ bản của đối tƣợng, đƣợc thử nghiệm trong thực tế và tồn tại trong ý thức với cách thức của hành động. Để hình thành kỹ năng hành động nào đó cần: 6
+ Có kiến thức để hiểu đƣợc mục đích của hành động, các bƣớc làm để đi đến kết quả. + Tiến hành hành động với yêu cầu đề ra. + Có thể qua bắt chƣớc, luyện tập để hình thành kỹ năng nhƣng cần phải đƣợc trải qua thời gian đủ dài. Kỹ năng giải toán phải đƣợc dựa trên các tri thức toán học: kiến thức, kỹ năng, phƣơng pháp. Vì kỹ năng đƣợc hình thành qua bắt chƣớc và luyện tập nên trong quá trình giảng dạy, giáo viên không nên dạy quá nhiều kỹ năng cùng một lúc. Việc dạy từng kỹ năng kết hợp thực hành chậm rãi, chính xác sẽ giúp học sinh tiếp thu bài tốt hơn. 1.1.4. Các mức độ của kỹ năng giải toán Kỹ năng giải bài tập toán có thể chia thành ba cấp độ khác nhau nhƣ sau: - Biết làm: Áp dụng lý thuyết để giải những bài tập cơ bản, hình thành các thao tác cơ bản. - Thành thạo: Giải nhanh, chính xác, ngắn gọn bài toán theo cách giải đã biết và một số bài tập hỏi theo cách khác trong hoàn cảnh mới, điều kiện mới, tƣơng tự nhƣ bài toán đã biết, giải đƣợc các bài toán tổng hợp, phức tạp, đa dạng. - Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: tìm ra các cách giải ngắn gọn, mở rộng vấn đề, chuyển hóa vấn đề linh hoạt khéo léo, cách giải quyết vấn đề độc đáo, sáng tạo. 2 Ví dụ: Nếu một học sinh tính đƣợc tích phân I1    5  4 x  dx đƣợc xem là biết 0 2 làm, nếu tính đƣợc tích phân I 2    5  4 x  dx đƣợc xem là biết làm thành thạo. 3 0 2 và nếu tính đƣợc tích phân I 2    5  4 x  dx bằng nhiều cách đƣợc xem là biết 3 0 linh hoạt sáng tạo. 2 Tính I 2    5  4 x  dx bằng các cách sau: 3 0 7
Cách 1: Ta có  5  4 x   125  300x  240x2  64x3 sau đó áp dụng bảng nguyên 3 hàm, định nghĩa và tính chất của tích phân. Cách 2: Đổi biến số với t  5  4x. Cách 3: Áp dụng công thức biến đổi vi phân d 5  4x   4dx. 1.2. Nhiệm vụ rèn kỹ năng giải toán cho học sinh 1.2.1. Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh là một mục tiêu dạy học môn Toán Mục tiêu của dạy học môn Toán là trang bị học sinh các tri thức, kỹ năng, phƣơng pháp toán học cơ bản, cần thiết; nhằm góp phần xây dựng hình thành phát triển năng lực trí tuệ; nhằm bồi dƣỡng phẩm chất đạo đức, phong cách lao động khoa học, hình thành ý chí và thói quen tự học thƣờng xuyên cho học sinh. Các mục tiêu của dạy học môn toán thể hiện sự thống nhất toàn diện và quan hệ mật thiết, hỗ trợ, bổ sung cho nhau. Tri thức đƣợc coi là cơ sở để thực hiện các mục tiêu khác. Mục tiêu hình thành phát triển năng lực trí tuệ là quan trọng nhất; thông qua các hoạt động mà rèn luyện kỹ năng cho học sinh đồng thời góp phần củng cố tri thức. Mục tiêu rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học sinh lớp 12 đƣợc cụ thể hóa nhƣ sau: + Học sinh biết, hiểu, thuộc đƣợc bảng nguyên hàm cơ bản đồng thời vận dụng nó một cách linh hoạt vào giải các bài toán tính tích phân. + Học sinh hiểu và vận dụng đƣợc thành thạo các tính chất, các phƣơng pháp tính tích phân và có thể giải bài toán tính tích phân bằng cách nhanh nhất. 1.2.2. Yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Việc rèn kỹ năng giải toán cho học sinh nhằm đáp ứng đƣợc các yêu cầu sau: - Thứ nhất là giúp học sinh hiểu, hình thành và tiếp nhận đƣợc những kiến thức cơ bản của chƣơng trình giáo dục. - Thứ hai là giúp các em phát triển đƣợc năng lực trí tuệ: + Khả năng phán đoán, tƣ duy trừu tƣợng, trí tƣởng tƣợng trong không gian. + Tƣ duy logic (trong đó có tƣ duy thuật toán) và ngôn ngữ lời giải chính xác. 8
+ Một số thao tác tƣ duy nhƣ tổng hợp, phân tích, khái quát hóa, đặc biệt hóa, quy lạ về quen,…. + Các phẩm chất trí tuệ nhƣ trừu tƣợng, tƣ duy độc lập, tƣ duy linh hoạt và sáng tạo. 1.2.3. Vai trò của bài tập trong dạy học Trong môn Toán, bài tập có một vị trí vô cùng quan trọng. Vai trò của bài tập toán đƣợc thể hiện trên các phƣơng diện: Mục tiêu, nội dung phƣơng pháp dạy học. Trên phƣơng diện mục tiêu dạy học các bài tập toán cũng có những chức năng khác nhau hƣớng đến việc thực hiện mục tiêu dạy học môn Toán: + Bài tập toán giúp hình thành tri thức, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn; + Nhằm giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tƣ duy và qua đó hình thành những phẩm chất trí tuệ. + Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của học, ngƣời lao động. Trên phƣơng diện nội dung dạy học: bài tập toán học mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đƣợc trình bày trong phần lý thuyết. Trên phƣơng diện phƣơng pháp dạy học: bài tập toán học giúp ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Từ đó, góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, chủ động, tích cực, sáng tạo đƣợc thực hiện cá nhân hoặc nhóm hay tập thể. Các yêu cầu đối với một lời giải: - Kết quả đúng kể cả kết luận cuối cùng và các bƣớc trung gian. - Lập luận chặt chẽ, logic. - Lời giải đầy đủ. - Ngôn ngữ chuẩn, chính xác. - Trình bày ngắn gọn rõ ràng, khoa học. 9
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải hợp lý và ngắn gọn nhất. - Nghiên cứu giải các bài tập tƣơng tự, lật ngƣợc hay mở rộng vấn đề. Để giải đƣợc một bài toán cần thực hiện các bƣớc sau: Bước thứ nhất: Tìm hiểu về nội dung đề bài - Phát biểu đề bài dƣới các dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung của bài toán; - Phân biệt cái bài toán đã cho và cái cần phải tìm, cần phải chứng minh; - Có thể sử dụng kí hiệu, công thức, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài. Đặc biệt với một bài toán hình học nếu cần thiết phải vẽ hình cho nó. Hình vẽ sẽ giúp chúng ta hiểu đƣợc đề bài cụ thể, rõ ràng hơn. Hình vẽ còn có tác dụng gợi ý cho việc tìm ra cách giải của bài toán và cũng giúp phát triển trí tƣởng tƣợng không gian. Bước thứ hai: Tìm cách giải - Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ các suy nghĩ có tính chất tìm đoán: trên cơ sở phân tích đề bài nhằm biến đổi bài toán đã cho, biến đổi cái phải tìm hoặc phải chứng minh, liên hệ với những kiến thức, lý thuyết đã biết, có thể liên hệ bài toán cần giải với một bài toán đã biết tƣơng tự, với một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán khác có liên quan hoặc sử dụng các phƣơng pháp đặc thù với từng dạng bài toán cụ thể chẳng biến đổi tƣơng đƣơng đối với bài toán chứng minh đẳng thức, giải phƣơng trình, bài toán tích phân nguyên hàm, bài toán quy nạp, bài toán dựng hình,… - Kiểm tra lời giải bằng cách xem kỹ các bƣớc thực hiện có đúng không, biến đổi tƣơng đƣơng hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả tìm đƣợc đó với một số kiến thức liên quan. - Tìm tòi các cách giải khác, so sánh các lời giải đó để chọn đƣợc cách giải hợp lý và ngắn gọn nhất. Bước thứ ba: Trình bày lời giải - Từ cách giải đã đƣợc tìm ở bƣớc 2, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp ngắn gọn nhất và thực 10
hiện các bƣớc đó. - Kiểm tra lại toàn bộ quá trình trình bày, kết quả có thể sử dụng máy tính. Bước thứ tư: Nghiên cứu sâu lời giải - Từ lời giải nghiên cứu về khả năng ứng dụng kết quả của nó vào các bài toán hoặc lĩnh vực khác. - Tìm cách giải khác cho bài toán (nếu có). Lời giải đã làm có hợp lý không? Nếu bài toán có nhiều cách giải thì tìm lời giải tối ƣu. - Nghiên cứu giải các lớp bài toán tƣơng tự, có thể xây dựng bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề. Tìm cách đề xuất những bài toán khác nhờ tƣơng tự hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa,…  2 Ví dụ với bài toán tính tích phân  cos2  2 x  1 dx . Học sinh phải biết bài 0 toán tích phân này thuộc dạng gì? Tích phân này đã là dạng cơ bản chƣa? Cần phải biến đổi hàm số dƣới dấu tích phân nhƣ thế nào? Tích phân có thể tính bằng phƣơng pháp nào? Có bao nhiêu cách tính tích phân này? 1.3. Thực hiện vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 1.3.1. Phân tích chương trình sách giáo khoa Trong sách giáo khoa giải tích 12, nội dung tích phân nằm trong chƣơng 3 . Khái niệm tích phân xuất phát từ bài toán tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong. Việc giải bài toán trên đƣợc đƣa về bài toán tính diện tích hình thang cong. Các tính chất của tích phân đƣợc trình bày có hệ thống. Việc tính tích phân đƣợc thực hiện bởi công thức Newton Leibniz, tuy nhiên, trong nhiều trƣờng hợp ta phải sử dụng các phƣơng pháp khác (phƣơng pháp đổi biến số, phƣơng pháp tích phân từng phần). Ứng dụng của tích phân đƣợc thực hiện qua bài toán về diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay. Phần ứng dụng vật lý của tích phân không đƣợc đề cập đến. 11
Việc không đƣa vào tổng tích phân trong phần định nghĩa làm cho học sinh không thấy đƣợc bản chất đích thực của phép tính tích phân từ đó phải thừa nhận hàng loạt những ứng dụng của tích phân nhƣ diện tích hình phẳng, thể tích của vật thể, quãng đƣờng đi đƣợc của vật…. Đồng thời cũng khó cho GV giải b  thích cho HS khi sử dụng kí hiệu f ( x)dx để chỉ tích phân trong khi nếu khái a niệm tích phân đƣợc định nghĩa bằng tổng tích phân thì các kí hiệu tích phân xuất hiện rất tự nhiên. Sơ lược nội dung chương trình nguyên hàm tích phân lớp 12: Theo chƣơng trình SGK lớp 12 hiện hành chủ đề nguyên hàm tích phân đƣợc trình bày ở chƣơng 3 có nội dung cụ thể nhƣ sau: Bảng 1.1. Phân tích thống kê nội dung, chương trình Tích phân trong Chương 3 Giải tích 12. Nội dung Số tiết §1 Nguyên hàm 2 tiết §2 Một số phƣơng pháp tìm nguyên hàm 2 tiết Luyện tập 1 tiết §3 Tích phân 3 tiết §4 Một số phƣơng pháp tính tích phân 2 tiết Luyện tập 1 tiết §5 Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng 2 tiết §6 Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể 2 tiết Luyện tập 2 tiết Câu hỏi và bài tập ôn tập chƣơng 1 tiết Kiểm tra 1 tiết Với việc chỉ có 20 tiết dành cho nội dung này, GV chỉ có thể giúp HS hiểu đƣợc khái niệm và biết đƣợc phƣơng pháp cơ bản. 1.3.2. Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học sinh lớp 12 ở trường trung học phổ thông 12