Luận văn Thạc sĩ Toán học: Không gian phủ, ứng dụng tính nhóm cơ bản và liên quan đến lý thuyết Galois

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này, tác giả đã giải quyết được cơ bản vấn đề được đặt ra,đó là nghiên cứu về không gian phủ, ánh xạ phủ và sử dụng chúng để tính nhóm cơ bản của một số các không gian tôpô quen thuộc. Chúng tôi cũng mạnh dạn sử dụng định lý Van Kampen để tính được nhóm cơ bản của một số các không gian tôpô tích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Không gian phủ, ứng dụng tính nhóm cơ bản và liên quan đến lý thuyết Galois

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hình Hiếu Trung KHÔNG GIAN PHỦ, ỨNG DỤNG TÍNH NHÓM CƠ BẢN VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hình Hiếu Trung KHÔNG GIAN PHỦ, ỨNG DỤNG TÍNH NHÓM CƠ BẢN VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của Thầy Nguyễn Thái Sơn. Nhờ đó, tôi có ý thức và trách nhiệm trong việc thực hiện. Tôi xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy kính mến. Tôi xin chân thành được tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy Cô trong khoa Toán- Tin và Phòng Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên để tôi an tâm học tập và nghiên cứu. Mặc dù tôi đã nỗ lực hết mình nhưng do khả năng và thời gian có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi những sai sót. Mong Quý Thầy Cô góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn.
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................. 3 1.1. Định nghĩa nhóm cơ bản và các ví dụ ...................................................... 3 1.2. Không gian phủ ........................................................................................ 5 1.3. Cái nâng.................................................................................................... 6 1.4. Phân loại không gian phủ ......................................................................... 7 1.5. Nhóm con của  1 .................................................................................... 11 1.6. Phép biến đổi phủ ................................................................................... 12 Chương 2. PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN ................................ 17 2.1. Tích tự do ............................................................................................... 17 2.2. Cấu trúc của không gian phủ.................................................................. 19 Chương 3. MỐI QUAN HỆ GIỮA NHÓM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHÓM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS ................................................................ 29 3.1. Đa tạp Riemann có độ cong thiết diện hằng .......................................... 29 3.2. Phát triển nhóm cơ bản........................................................................... 32 3.3. Đa tạp Riemann phẳng ........................................................................... 34 3.4. Tinh thể 2-D và 3-D ............................................................................... 46 3.5. Liên quan giữa lý thuyết Galois và không gian phủ .............................. 54 KẾT LUẬN ...................................................................................................... 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 58
1 MỞ ĐẦU Tôpô đại số là một môn học đặc thù của ngành tôpô - hình học. Sử dụng các kiến thức của tôpô để giải các bài toán đại số và ngược lại, trong đó một trong các công cụ chủ lực là nhóm cơ bản. Nhóm cơ bản được xem như là một hàm tử từ phạm trù các không gian tôpô vào phạm trù các nhóm. Từ đó ta chuyển được một bài toán tôpô về một bài toán lý thuyết nhóm. Ngược lại nhờ tôpô đại số mà ta giải được nhiều bài toán thú vị về lý thuyết nhóm. Ví dụ sử dụng lý thuyết đồ thị ta chứng minh được nhóm con của một nhóm tự do là một nhóm tự do. Để tính được nhóm cơ bản một không gian tôpô có thể có nhiều cách, trong đó cách thông dụng nhất là dùng ánh xạ phủ. Liên hệ với ánh xạ phủ ta nghiên cứu về tác động nhóm bới nhóm cảm sinh của nhóm cơ bản. Bên cạnh đó ta cũng tập trung nghiên cứu lí thuyết phủ của các không gian tôpô và ứng dụng của chúng trong hình học đại số và lí thuyết số. Điểm quan trọng của lý thuyết Galois là sự tương quan giữa các nhóm đối xứng của các mở rộng trường và bản thân các mở rộng trường, cung cấp cho ta một mối liên kết giữa lý thuyết trường và lý thuyết nhóm. Các phủ của không gian tôpô cũng được trang bị cách định nghĩa tương tự. Ở đây, một phủ của không gian tôpô X thực chất là một không gian tôpô cùng với một ánh xạ Y → X sao cho Y và X “đồng dạng” địa phương. Lí thuyết Galois về các phủ sẽ đóng vai trò kết nối giữa sự đối xứng của các phủ và các nhóm cơ bản, đóng vai trò như nhóm Galois. Hơn nữa vai trò của lí thuyết Galois về các phủ là một phép so sánh đơn thuần và đặc biệt khi xem xét các đường cong, ta có thể thành lập một mối liên kết trực tiếp giữa các phủ và các mở rộng trường trong ( z ) về Riemann. Nếu xét trường hợp của phủ của mặt cầu với ba điểm cực biên thì ta sẽ tìm được
2 mối tương quan giữa các đường cong đại số định nghĩa trên trường số và phủ tôpô. Những khám phá này cung cấp cho ta một phương pháp mã hóa các thông tin của nhóm Galois các số hữu tỉ theo dữ liệu tổ hợp. Tóm lại, những ghi chú này nhằm khơi gợi những mối liên kết đầy mới mẻ giữa tôpô cổ điển và giải tích phức với những sự phát triển mới mẻ trong hình học đại số và số học và từ đó cho ta một góc nhìn khác với nhóm Galois của . Nội dung của luận văn gồm 3 chương: Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. Chương 2: PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN. Chương 3: MỐI QUAN HỆ GIỮA NHÓM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHÓM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS.
3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản của Tôpô đại số liên quan đến nhóm cơ bản, không gian phủ, phân loại không gian phủ, nhóm con của  1 và phép biến đổi phủ. 1.1. Định nghĩa nhóm cơ bản và các ví dụ 1.1.1. Nhóm cơ bản Cho không gian tôpô X , một con đường trong X là một ánh xạ liên tục  : I  [0;1]  X . Mọi không gian tôpô đều liên thông đường địa phương, Hausdorf và mọi ánh xạ giữa các không gian tôpô đều liên tục. Cho hai con đường  và  với điểm cuối  (1) của  bằng với điểm đầu  (0) của  . Khi đó tích  là con đường  nối với  . Một con đường mà điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là con đường đóng. Ta chọn một điểm x  X và gọi nó là điểm cơ sở. Tập hợp tất cả các con đường đóng với điểm gốc x được kí hiệu là ( X , x) . Cho một con đường đóng   ( X , x) ta định nghĩa  1 bởi  1 (t )   (1  t ) Trên ( X , x) ta định nghĩa quan hệ tương đương , ký hiệu   , nếu  và  là hai tương đương đồng luân tương đối I , nghĩa là có một ánh xạ liên tục G : I  I  X sao cho: G (t , 0)   (t ) G (t ,1)   (t ) G (0, s)   (0)   (0)   (1)   (1)  G(1, s) . Thương ( X , x)/ có một nhóm cấu trúc với phép nhân được định nghĩa bởi tích của hai con đường đã định nghĩa ở trên. Nghịch đảo của lớp tương
4 đương [ ] của con đường đóng  kí hiệu là [ 1 ] . Con đường đóng  1 là đồng luân tương đối I , đến con đường đóng cố định x : t  x mà chúng đồng nhất của nhóm. Đồng luân được xác định bởi:  1  ( st ) khi 0  t  2 G (t , s )    ( s(1  t )) 1 khi  t 1  2 Tập hợp các lớp tương đương của các con đường đóng tại x kí hiệu là  1 ( X , x) . Mỗi phần tử của 1 ( X , x) kí hiệu là [ ] , [ ] , … Trên 1 ( X , x) ta trang bị một phép nhân [ ][ ]  [ ] . 1 ( X , x) cùng với phép nhân như trên lập thành một nhóm được gọi là nhóm cơ bản của X (với điểm gốc x ). Một không gian tôpô được gọi là đơn liên nếu nó là không gian tôpô liên thông đường và nhóm cơ bản của nó tại mỗi điểm là tầm thường. Hai nhóm 1 ( X , x) và 1 ( X , y) với x  y là đẳng cấu nhưng không chính tắc. Thật vậy, vì X là liên thông đường nên có  : I  X với  (0)  x và  (1)  y. Khi đó ánh xạ     cảm sinh một đẳng cấu 1 ( X , y) 1 ( X , x) mà 1 chỉ phụ thuộc vào  và vì thế nó không chính tắc. Một ánh xạ f : ( X , x)  (Y , y ) cảm sinh đồng cấu f # : 1 ( X , x)  1 (Y , y) bởi f # ([ ])  [ f  ] với   1 ( X , x) . Nếu không gian co rút được thì nhóm cơ bản của nó là tầm thường. Nếu f : ( X , x)  (Y , y ) là một tương đương đồng luân thì f # là một đẳng cấu. Quả cầu S n là đơn liên với n  1 vì mỗi con đường đóng là đồng luân
5 tương đối I đến con đường đóng cố định. Trong phần này ta chỉ ra rằng  1 ( S 1 , x) . Ta gán cho mỗi con đường đóng trong S 1 số lần mà nó quấn quanh vòng tròn với dấu dương hoặc âm theo chiều ngược chiều quay kim đồng hồ hoặc chiều quay kim đồng hồ. 1.2. Không gian phủ 1.2.1. Định nghĩa Một không gian phủ của một không gian X là một không gian X cùng với một một ánh xạ p : X  X thỏa điều kiện sau đây: Với x  X tồn tại một lân cận U x của X để p 1 (U x ) là hợp rời của các tập mở trong X sao cho p là đồng phôi từ p 1 (U x ) vào U x . Ánh xạ p được gọi là phủ, không gian X được gọi là không gian đáy của cái phủ và không gian X gọi là không gian toàn thể của cái phủ. Với mỗi x  X thì p 1 ( x) được gọi là thớ đi qua x . 1.2.2. Ví dụ Ánh xạ exp :  S 1 xác định bởi exp(t )  e2 it . Lấy điểm x tùy ý trên đường tròn. Ta có x  e2 it với t  . Xét lân cận U  e2 (t k ) , k    ;   . Lấy x '  sao cho t  2 x ' .  1 2 j 1  2 j  Khi đó exp 1 (U )  {S j  | j  } , trong đó S j   x  | x   x ' ; x '  .   2 2  Ta thấy rằng S j là các tập mở rời nhau từng đôi một và exp |S là đồng phôi từj S j vào U . Vậy là không gian phủ của S 1 . 1.2.3. Ví dụ Trong ví dụ này ta chỉ ra rằng chùm phân thớ là những phân thớ nghĩa là
6 thỏa mãn tính chất nâng đồng luân. Lấy  : E  M là một chùm phân thớ với phân thớ mẩu F và đa tạp cơ sở M . Lấy X là một đơn hình phức hữu hạn và F : X  I  M là một ánh xạ liên tục sao cho F0  F (.,0)  f : X  M có một cái nâng đến Fo' : X  E . Ta muốn chứng minh sự tồn tại của F ' : X  I  E sao cho  . F '( x, t )  F ( x, t ) và F '( x, 0)  F0' ( x) . Với một sự phân chia X đủ nhỏ và một phân hoạch 0  t0  t1  ...  tr  tr 1  1. Giả sử với mỗi đơn hình c của X và mỗi j , F (c  [t j , t j 1 ]) nằm trong một lân cận U ( c , j )  M mà  : E  M là bó tầm thường. Với kí hiệu cố định, ta lấy ánh xạ  U : U  F    1 (U ) thỏa điều kiện tầm thường hóa địa phương và  2 : U  F  F chỉ phép chiếu trên tọa độ thứ 2. Cho X s kí hiệu s-cơ sở của X . Bằng quy nạp, ta sẽ mở rộng F . Phép quy nạp được giả định rằng việc mở rộng được xây dựng từ ( X n 1  [0;1]) ( X n  [0; t j ]) và xây dựng nó đến ( X n 1  [0;1]) ( X n  [0; t j 1 ]) . Cho c là một n-đơn hình của X để có một sự mở rộng F , theo giả thuyết quy nạp có cách dựng cho (c  [0, t j ]) (c  [0, t j 1 ] . Vì thế j : (c  [t j ]) (c  [t j , t j 1 ])  c  [t j , t j 1 ] là một tạo vết. Có một ánh xạ  : c  [t j , t j 1 ]  (c  [t j ]) (c  [t j , t j 1 ]) sao cho  . j  id . Với x  c. và t  [t j , t j 1 ] ta định nghĩa sự mở rộng F '( x, t )   U( c , j ) ( F ( x, t ),  2 . U1( c , j ) .F '(  ( x, t ))) . vì  ( x, t )  (c  [t j ] (c  [t j , t j 1 ]) nên F '(  ( x, t ))) được định nghĩa. Sự mở rộng đáp ứng được yêu cầu. 1.3. Cái nâng 1.3.1. Định nghĩa Cho một phủ p : X  X . Cái nâng của ánh xạ f : Y  X là ánh xạ f : Y  X sao cho f  p f .
7 Lý thuyết của không gian phủ phụ thuộc vào hai tính chất quan trọng sau: 1.3.2. Mệnh đề (Tính chất nâng đồng luân) Cho một không gian phủ p : X  X , một đồng luân ft : Y  X và một cái nâng f 0 : Y  X của f 0 . Khi đó có duy nhất đồng luân f t : Y  X là cái nâng của ft . 1.3.3. Mệnh đề Ánh xạ cảm sinh p* : 1  X , x0   1  X , x0  là đơn ánh.   Khi đó p* 1  X , x 0  là nhóm con của  1  X , x0  . Nhóm con này gồm có các lớp đồng luân của các con đường đóng trong X có cơ sở tại x0 mà nó được nâng từ những con đường đóng trong X có cơ sở tại x 0 . 1.3.4. Định nghĩa Một không gian tôpô X được gọi là liên thông đường địa phương nếu nó liên thông đường với mỗi điểm x  X và một tập mở U chứa x thì có một tập mở V  U chứa x sao cho V là liên thông đường. 1.3.5. Mệnh đề (Tiêu chuẩn cái nâng). Cho p :  X , x0   ( X , x0 ) là một không gian phủ và f : (Y , y0 )  ( X , x0 ) là một ánh xạ, với Y là liên thông đường và liên thông đường địa phương. Khi đó tồn tại cái nâng f : (Y , y0 )  ( X , x 0 ) của f nếu và chỉ nếu    f* ( 1 (Y , y0 ))  p* 1 X , x 0 . 1.3.6. Mệnh đề (Tính chất cái nâng duy nhất). Cho một không gian phủ p : X  X và một ánh xạ f : Y  X với hai cái nâng f1 , f 2 : Y  X bằng nhau tại một điểm trong Y . Khi đó nếu Y liên thông thì hai cái nâng bằng nhau trên Y . 1.4. Phân loại không gian phủ 1.4.1. Định nghĩa Một không gian X được gọi là nửa đơn liên nếu với mỗi điểm x  X có một lân cận U sao cho i *  1 U , x  là tầm thường.
8 1.4.2. Định lý Nếu một không gian Y là liên thông đường và liên thông đường địa phương thì Y có một không gian phủ đơn liên nếu và chỉ nếu Y là đơn liên nửa địa phương. Chứng minh. Trong phần này ta sẽ chứng minh nếu X là liên thông đường, liên thông đường địa phương và nửa đơn liên thì X có một không gian phủ đơn liên và không gian phủ này được gọi là không gian phủ phổ dụng. Chú ý rằng nếu X là không gian phủ đơn liên thì cho một điểm x0  X , chúng có thể là những điểm không xác định x  X với lớp các con đường đồng luân [ ] sao cho  (0)  x 0 và  (1)  x . Bằng cái nâng đồng luân thì mỗi con đường trong X bắt đầu tại x0  p ( x 0 ) nâng đến một con đường trong X bắt đầu tại x 0 cũng là những đồng luân. Vì vậy các lớp của con đường đồng luân trong X tương ứng với điểm trong X (bằng cái nâng con đường duy nhất và liên thông đường thì có một con đường trong X tương ứng với mỗi điểm trong X ). Ta sẽ định nghĩa không gian phủ phổ dụng chính xác như sau: X  {[ ]:  là con đường trong X với  (0)  x0 } . Ánh xạ phủ là p([ ])   (1) Ánh xạ trên được định nghĩa tốt vì những đồng luân có điểm cuối cố định. Ta cần trang bị cho X một tôpô p vào một ánh xạ phủ (vì thế ta cần chứng minh rằng mỗi điểm trong X luôn có một lân cận phủ đều và p là liên tục). Cuối cùng ta cần phải chứng minh X là đơn liên. Ta sẽ trang bị cho X một tôpô bằng cách xác định một lân cận cơ bản. Ta sẽ định nghĩa lân cận của mỗi điểm như sau: Cho U là một tập hợp các tập mở của liên thông đường mà phủ X (điều này tồn tại vì X là liên thông đường địa phương). Ta định nghĩa U[ ]  {[ . ]:  là một con đường trong U với  (0)   (1)}
9 Chú ý rằng U [ ] chỉ phụ thuộc vào lớp đồng luân của  trong X (cũng chú ý rằng lớp đồng luân này là lớp đồng luân trong X ) và p : U[ ]  U là toàn ánh vì U là liên thông đường. Ta có nhận xét rằng nếu i* p* : 1 (U[ ] )  1 (U )  1 ( X ) là tầm thường thì p là đơn ánh vì ( là đồng luân trên X được chọn tùy ý). Nếu X là nửa đơn liên địa phương thì ta có thể chọn tập hợp A sao cho mỗi U  A có tính chất ánh xạ thứ 2 trong phép hợp thành là tầm thường và vì thế phép hợp thành là tầm thường. Do đó p : U[ ]  U là song ánh. Khẳng định 1. U[ ]  U[ '] nếu [ '] U[ ] . Chứng minh. Nếu [ '] U[ ] thì  '  .  trong X . Vì tất cả các phần tử của U [ '] có dạng [ .  .  ] với một số con đường  trong U . Nhưng  .  là một con đường thích hợp trong U và do đó U[ ']  U[ ] . Chứng minh U[ ]  U[ '] tương tự. Cụ thể ta có nếu [ ] U[ ] U[ '] thì U[ ]  U[ ]  U[ '] . Giả sử [ ] U[ ] U[ '] . Khi đó U[ ]  U[ ] và V[ ']  V[ ] . Nếu W  U V , W  U và  (1)  W thì W[ ]  U[ ] V[ '] . Vì mỗi [ ]  X được chứa trong U [ ] nên {U[ ]}[ ] là dạng cơ bản của một tôpô. Vì thế ta cần chọn A để mỗi tập hợp là liên thông đường, dẫn đến tầm thường trong nhóm cơ bản và là một tôpô cơ bản của X . Điều này có thể làm như sau: bằng cách lấy A là tập của các tập mở U của tất cả liên thông đường sao cho 1 (U )  1 ( X ) là tầm thường. Nếu U V   thì có một tập mở của liên thông đường chứa trong phần giao (quanh điểm bất kỳ) vì X là liên thông địa phương, và sử dụng bao hàm, nó phải thỏa mãn nhóm cơ bản của các ánh xạ tầm thường vào nhóm cơ bản của X.
10 Ta thấy rằng p : U[ ]  U là một đồng cấu. Ánh xạ p là liên lục với mọi điểm p([ ])   (1)  V  U , với V là tập mở, ta có p(V[ ] )  V . Đó là tập mở vì mọi điểm [ ]  U[ ] có một lân cận mở V[ '] sao cho ảnh là V  A . Chứng minh. p : X  X là liên tục. Cho bất kỳ x  X , x được chứa trong một số tập U  A . Xét các tập U [ ] với tất cả lớp đồng luân [ ] của những con đường từ x0 đến x . Mỗi tập U [ ] là đồng cấu đến U thông qua p . Cho bất kỳ hai lớp [ ],[ '] nếu U[ ] U[ ']   thì hai lớp đó bằng nhau. Vì thế p1 (U ) là một tập hợp của những tập rời nhau đồng cấu đến U thông qua p. Khẳng định 2. X là đơn liên. Chứng minh. Cho x0  X , có một cơ sở tự nhiên X được cho bởi lớp đồng luân của nút không đổi [ x0 ] . Ta chứng minh rằng X là liên thông đường: Cho bất kỳ điểm [ ]  X , có một con đường t   |[0;t ]   [s   (st )] trong X mà liên thông từ [ x0 ] đến [ ] . Lấy điểm cơ bản của X để thành một nút không đổi [ x0 ] . Cho  ( s ) là một nút trong X có cơ sở tại [ x0 ] . Khi đó  (s)  p  (s) là một nút trong X có cơ sở tại x0 . Khẳng định 3. Con đường  (t )  [ s   ( st )] là cái nâng của  sao cho    (0)  [ x0 ] bởi vì p  (t )   (t ) , vì thế đó là một cái nâng. Điều đó diễn đạt bởi những cái nâng duy nhất mà  (t )   (t ). Vì  là một nút nên ta có  (0)   (1) hay [ x0 ]  [ ]. Vì thế  là đồng luân rỗng. Vì p* là đơn ánh nên  là đồng luân rỗng do đó X là đơn liên.
11 1.4.3. Mệnh đề Nếu X 1  X là không gian phủ và X  X là không gian phủ đơn liên thì X là một không gian phủ của X 1 . Vì thế có một bộ sắp thứ tự riêng của không gian phủ. Chứng minh. Vì 1  X  là tầm thường nên có một cái nâng tiêu chuẩn sao cho ánh xạ X  X được nâng đến X  X 1 . Vì vậy một không gian phủ đơn liên được gọi là phủ phổ dụng. 1.4.4. Định nghĩa Một đẳng cấu giữa không gian phủ p1 : X 1  X và p2 : X 2  X là tự đẳng cấu f : X 1  X 2 sao cho p2 f  p1. 1.4.5. Mệnh đề Nếu p1 : X 1  X và p2 : X 2  X là các không gian phủ và X 1 , X 2 là đơn liên thì các không gian phủ đó là đẳng cấu. 1.5. Nhóm con của  1 1.5.1. Mệnh đề Giả sử X là liên thông đường, liên thông đường địa phương và nửa liên thông địa phương. Khi đó với mỗi nhóm con H   1  X , x0    có một không gian phủ p : X H  X sao cho p* 1  X H , x0   H với việc chọn điểm cơ sở x 0  X H thích hợp. Chứng minh. Lấy X là phủ phổ dụng. Ta biết rằng những điểm trong H tương ứng với những lớp đồng luân của các con đường trong X . Ta định nghĩa X H là thương của X bởi quan hệ tương đương [ '] [ ] nếu  (1)   '(1) và [ .  ']  H . (Quan hệ trên là một quan hệ tương đương vì H là một nhóm). Với lân cận U [ ] và U [ '] , nếu [ ] [ '] thì những lân cận của chúng được xác định bởi [ .  ] [ ' .  ]. Suy ra X H là một không gian phủ. Chọn x 0 tương ứng với lớp tương đương của nút không đổi tại x0 . Ta có, nếu [ ]  H thì  nâng đến nút t   |[0,t ]  trong X H ( vì [ ] [ x0 ] ). Tương tự,
12 nếu  là một nút trong X H cơ sở tại x 0 thì  p   (t ) là một nút trong và  (t )   p  |[0,t ]  . Vì  là một nút nên ta có [ p  ]  H . Vì thế   p*  1 X H , x 0   H . 1.5.2. Mệnh đề Hai không gian phủ p1 : X 1  X và p2 : X 2  X là đẳng cấu qua một phép đẳng cấu  sao cho   x1   x 2 nếu và chỉ nếu    ( p1 )*1 X 1 , x1  ( p2 )*1 X 2 , x2 .  Chứng minh. Nếu  đẳng cấu thì p1  p2 và p2 1  p1 , do đó       ( p1 )*1 X 1 , x1  ( p2 )*1 X 2 , x2 . Ngược lại, nếu ( p1 )*1 X 1 , x1  ( p2 )*1 X 2 , x2 thì   ta có thể nâng các ánh xạ phủ bởi cái nâng duy nhất (khi các điểm cơ sở là đặc biệt), ta được một đẳng cấu. Giả sử rằng p1 : X 1  X và p2 : X 2  X là các đẳng cấu qua ánh xạ  : X 1  X 2 . Ta cần chứng minh rằng hai tương ứng với cùng lớp liên hợp  trong 1 ( X ) . Theo mệnh đề, ta có ( p1 )* 1  X 1 , x1   ( p2 )* 1 X 2 ,   x1  .  Tuy nhiên, với bất kỳ điểm khác x 2  p2 1 ( x0 ) , ta có        1 X 2 ,  x1   h  1 X 2 , x 2  với con đường h nào đó vì X 2 là liên thông đường. Vì h là con đường từ   x1  đến x 2 nên nó tương ứng với một nút trong X và do đó có một phần tử g   1  X , x0  sao cho     g 1 ( p2 )*  1 X 2 , x 2  g  ( p2 )*  1 X 2 ,  x1 .    Bao hàm thức còn lại chứng minh tương tự. Ngược lại, cho một nhóm H   1  X , x0  và một nhóm con liên hợp g 1Hg , ta có cái nâng g và nó tạo ra một tự đẳng cấu của không gian phủ cho H . 1.6. Phép biến đổi phủ
13 1.6.1. Định nghĩa Một tự đẳng cấu của không gian phủ X  X được gọi là một phép biến đổi phủ. Tập hợp các phép biến đổi phủ của X lập thành một nhóm kí hiệu là G  X  . 1.6.2. Ví dụ Cho  S1 , phép biến đổi phủ là phép tịnh tiến của . 1.6.3. Ví dụ Cho một phủ n  tờ S1  S1 , các phép biến đổi phủ lập thành nhóm n . 1.6.4. Định nghĩa Một không gian phủ X  X là chuẩn tắc nếu mỗi x  X và mỗi cặp nâng x, x '  p 1 ( x) ta có một phép biến đổi phủ từ x đến x ' . 1.6.5. Mệnh đề Cho p :  X , x0    X , x  là một không gian phủ liên thông đường của không gian liên thông đường, liên thông đường địa phương và đặt   H  p*1 X , x0  1  X , x0  Khi đó: (1) Nhóm của phép biến đổi phủ G  X  là đẳng cấu vào N ( H ) / H với N ( H ) là nhóm con chuẩn tắc hóa. (2) Không gian phủ là chuẩn tắc nếu H là một nhóm con chuẩn tắc của  1  X , x0  . 1.6.6. Định lý Nếu X là một phủ chuẩn tắc thì G  X   1  X , x0  / H . Do đó nếu X là phủ phổ dụng thì G  X   1  X , x0  . Chứng minh. Ta dễ thấy rằng việc chuyển cơ sở từ x 0 đến x1 tương đương với liên hợp của p*1  X , x0  trong  1  X , x0  bởi một phần tử [ ]   1  X , x0  . Vì thế [ ]  N ( H ) nếu p*1  X , x0   1  X , x1  . Bằng phép nâng tiêu chuẩn, đây là tương đương với sự tồn tại của phép biến đổi phủ từ x 0 đến x1 . Không gian phủ là chuẩn tắc nếu có một tập đầy đủ
14 của phép biến đổi phủ, mà nó tương đương với N ( H )   1  X , x0  . Ta phải chứng minh rằng có một toàn ánh  : N ( H )  G  X  chuyển [ ] thành phép biến đổi phủ  ([ ]) từ x 0 đến x1 (với  là cái nâng của  sao cho  (0)  x 0 và  (1)  x1 ). Chú ý rằng đây là một đồng luân: vì nếu [ ],[ ]  N ( H ) thì ta thấy rằng  . ' nâng đến  .   . Vì phép biến đổi phủ được định nghĩa   bởi x 0 đến   '  x 0  và do đó [ . '] tương đương với  '. Hạt nhân của  gồm những con đường đóng [ ]  N ( H ) mà nâng đến những con đường đóng hay p*1  X , x0   H . Vì phủ phổ dụng có nhóm phép biến đổi phủ bằng với nhóm cơ bản, do đó nếu ta biết nhóm cơ bản thì ta có thể xây dựng phủ phổ dụng bằng cách bắt đầu với một lân cận của điểm cơ sở và sau đó sử dụng nhóm cơ bản như nhóm các phép biến đổi phủ để thấy phần còn lại của không gian phủ. Xét 2  S 1  S 1 . Ví dụ xét phủ phổ dụng của chai Klein, mà nó được xây dựng từ miền cơ bản bằng cách đặt hai hình tròn với nhau để tạo ra một hình xuyến và sau đó tịnh tiến đến tất cả điểm của 2 . Ta có nhóm các phép biến đổi phủ là    , với  m1 , n1  m2 , n2   m1  (1)n1 m2 , n1  n2 . Vì 2 là đơn liên nên nhóm này đẳng cấu với nhóm cơ bản, mà ta đã tính là a, b | abab1  1 . Ta có thể chỉ ra rằng những nhóm này là đẳng cấu xác nhận ngay lập tức điều sau: : *   được sinh bởi:  (a)  (1, 0) và  (b)  (0,1). Suy ra (am )  (m,0) (bn )  (0, n) (a mbn )  (m, n)
15 (abab1 )  (0,0) Vì thế ta biết rằng  là toàn ánh và nhóm con chuẩn tắc đó được sinh bởi abab 1 là hạt nhân. Ta có đây là toàn bộ hạt nhân bởi xét ánh xạ cảm sinh:  : a, b | abab1  1   . Vì ab  ba 1 nên cho phép một cách viết bất kỳ phần tử của nhóm a, b | abab1  1 như a m b n và ánh xạ từ a m b n đến  là toàn ánh nên  là một đẳng cấu. 1.6.7. Định nghĩa Một tác động của nhóm G lên không gian Y là một đơn cấu G  Homeo(Y ) trong đó Homeo(Y ) là tập hợp các phép đồng phôi từ Y  Y. Ta gọi là tác động không gian phủ nếu với mỗi y  Y có một lân cận U của y sao cho tất cả ảnh của U là rời nhau (nghĩa là g1 (U ) g2 (U )   thì g1  g2 ). 1.6.8. Định nghĩa Cho một tác động nhóm G trên một không gian Y . Không gian quỹ đạo Y / G là không gian của các quỹ đạo Gy : y  Y  cho bởi tôpô thương Y / với y y ' nếu Gy  Gy '. . Ví dụ. Cho một không gian phủ chuẩn tắc X  X với nhóm phép chuyển đổi phủ G  X  , ta có X / G  X   X . 1.6.9. Mệnh đề Nếu G là tác động không gian phủ trên một không gian Y thì: (1) Ánh xạ thương là không gian phủ chuẩn tắc. (2) G là nhóm các phép biến đổi phủ nếu Y là liên thông đường. (3) G là đẳng cấu với  1 Y / G  / p* 1 (Y ) nếu Y là liên thông đường và liên thông đường địa phương. Chứng minh. Cho một tập mở U như trong định nghĩa của không gian phủ tác động. Tập thương coi như là những tập rời g (U ) . Với tôpô thương, p