Luận văn Thạc sỹ Toán học: Sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC<br /> <br /> NGUYỄN TRUNG SỸ<br /> <br /> SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP<br /> HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH<br /> BẤT ĐẲNG THỨC<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC<br /> <br /> THÁI NGUYÊN - 2015<br /> <br /> ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC<br /> <br /> NGUYỄN TRUNG SỸ<br /> <br /> SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP<br /> HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH<br /> BẤT ĐẲNG THỨC<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC<br /> <br /> Chuyên ngành:<br /> <br /> PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP<br /> <br /> Mã số: 60 46 01 13<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học<br /> TS. NGUYỄN ĐÌNH BÌNH<br /> <br /> THÁI NGUYÊN - 2015<br /> <br /> i<br /> <br /> Mục lục<br /> Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . .<br /> Mở đầu<br /> 1 Cơ<br /> 1.1<br /> 1.2<br /> 1.3<br /> <br /> sở lý luận và các kiến thức cần thiết cho đề tài<br /> Tính chất của hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . .<br /> Hàm số đồng biến, nghịch biến . . . . . . . . . . . .<br /> Hàm lồi và bất đẳng thức Karamata . . . . . . . . .<br /> 1.3.1 Hàm lồi, hàm lõm khả vi bậc hai . . . . . . .<br /> 1.3.2 Biểu diễn hàm lồi, hàm lõm . . . . . . . . . .<br /> 1.3.3 Bất đẳng thức Karamata . . . . . . . . . . .<br /> 1.3.4 Các hệ quả của bất đẳng thức Karamata . .<br /> 1.4 Hàm số nửa lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> iii<br /> iii<br /> iv<br /> 1<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 2 Trình bày một số phương pháp sử dụng hàm số để chứng<br /> minh bất đẳng thức<br /> 2.1 Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất để chứng minh bất<br /> đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.2 Sử dụng tính đơn điệu, cực trị của hàm số để chứng minh<br /> bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.2.1 Sử dụng tính đơn điệu, cưc trị hàm số . . . . . . .<br /> 2.2.2 Sử dụng hàm số đặc trưng . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.2.3 Khử dần các biến số bằng đạo hàm một biến . . .<br /> 2.3 Sử dụng các tính chất của hàm lồi, bất đẳng thức Karamata<br /> chứng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.3.1 Sử dụng tính chất của hàm lồi . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 3<br /> 3<br /> 4<br /> 5<br /> 5<br /> 6<br /> 6<br /> 7<br /> 10<br /> <br /> 13<br /> 13<br /> 18<br /> 18<br /> 22<br /> 25<br /> 30<br /> 30<br /> <br /> ii<br /> <br /> 2.3.2<br /> 2.3.3<br /> <br /> Phương pháp tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . .<br /> Sử dụng bất đẳng thức Karamata và các hệ quả của<br /> bất đẳng thức Karamata . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 37<br /> 42<br /> <br /> Kết luận<br /> <br /> 56<br /> <br /> Tài liệu tham khảo<br /> <br /> 57<br /> <br /> iii<br /> <br /> Lời cam đoan<br /> Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi (từ tháng<br /> 9 năm 2014 đến tháng 3 năm 2015), trên cơ sở nghiên cứu tham khảo các<br /> tài liệu, phân tích, tổng hợp và kinh nghiệm qua các năm công tác.<br /> <br /> Lời cảm ơn<br /> Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn<br /> Đình Bình.<br /> Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính<br /> trọng sâu sắc đối với TS - người thầy đã truyền đạt nhiều kiến thức quý<br /> báu cùng với kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tác<br /> giả theo học và nghiên cứu đề tài.<br /> Đồng thời, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban giám<br /> hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo,<br /> Khoa Toán - Tin, các thầy cô giảng dạy lớp Cao học K7N, Ban giám hiệu<br /> Trường THPT Lý Tự Trọng - Nam Định và gia đình đã tạo mọi điều kiện<br /> thuận lợi, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, công tác và thực<br /> hiện đề tài luận văn này.<br /> <br /> Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015<br /> Tác giả<br /> <br /> Nguyễn Trung Sỹ<br /> <br />