Luật số lớn trong xác suất thống kê - 2

Chia sẻ: Le Nhu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

123
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

b- Nếu (An) là dãy các biến cố độc lập và Chứng minh. a.Theo giả thiết P(A ) = 0.nên số hạng dư khi n. Vậy b- Ta có. Để chứng minh P(A ) = 1 ta cần chứng minh hay ta phải chứng minh P() = 0 với mọi n. Với N n ta có P() 0 cho trước (6) Chứng minh. Đặt;, k = 1, 2,…, n và Rõ ràng A0, A1,…, Ak là xung khắc từng đôi, trong đó 2,…, n.Ta có, k = 1,vàVì E(Sn/Ak) = 0 nênTheo giả thiết Ak độc lập với các, j ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luật số lớn trong xác suất thống kê - 2

b- Nếu (An) là dãy các biến cố độc lập và =+ thì 1 Chứng minh. a- Ta có Suy ra Theo giả thiết nên số hạng dư . Vậy 0 khi n P(A ) = 0. . Để chứng minh P(A ) = 1 ta cần chứng minh b- Ta có hay ta phải chứng minh P( ) = 0 với mọi n. Với N > n ta có P( ) < P( )= =
vì 1 - x < e-x với mọi 0 < x < 1. Do =+ ta suy ra ) khi . Vậy . Do đó , nghĩa là P(A ) N 0 khi N = 1. Bổ đề được chứng minh. Định lí 3.3. (Bất đẳng thức Côn môgôrốp) Giả sử X1, X2,..., Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó, với > 0 cho trước tuỳ ý ta có (6) Chứng minh. Đặt ; , k = 1, 2,…, n và Rõ ràng A0, A1,…, Ak là xung khắc từng đôi, trong đó , k = 1, 2,…, n.Ta có và
Vì E(Sn/Ak) = 0 nên Theo giả thiết Ak độc lập với các , j > k.Vì vậy với j > k với h ¹ j, h, j > k > 1 và với k > 1 Tóm lại . Từ đó suy ra Định lí 3.4. (Định lí Côn môgôrốp 1)
Nếu X1, X2,..., Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập thoả mãn điều kiện (7) thì dãy X1, X2,..., Xn tuân theo luật số lớn. Chứng minh . Đặt . Xét xác suất và Theo bất đẳng thức Cônmôgôrốp ta có: Vậy Đổi thứ tự lấy tổng ta có Do các số hạng ở vế phải của bất đẳng thức trên có thể ước lượng bởi
, trong đó p là số sao cho 2p < j < 2p + 1.Vậy , hay chuỗi hội tụ. Từ đó suy ra Pm . Theo Định lí 1.6 ta có 0 khi m . Định lí được chứng minh. Hệ quả 3.5. Gọi mA là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli và p là xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử. Khi đó Hệ quả 3.6. Nếu dãy biến ngẫu nhiên X1, X2,..., Xn độc lập và có cùng phân phối và phương sai DX1 =...DXn = s2 hữu hạn thì với kì vọng Ví dụ 3.7. Cho X1, X2,..., Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối xác suất:
Xk -1 0 1 P a. Chứng minh rằng khi n . b. X1, X2,........, Xn có tuân theo luật mạnh số lớn không? Tại sao? Giải. a. Ta có Theo Hệ quả 2.1 thì khi n . b. Do X1, X2,..., Xn độc lập, có cùng phân phối với EXk = 0 và DXk = với mọi k =1, .., n. Theo Hệ quả 3.6 ta có Vậy X1,…, Xn tuân theo luật mạnh số lớn.
Ví dụ 3.8. Cho X1, X2,..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng hàm mật độ: a. Chứng minh rằng khi n . b. Dãy X1, X2,..., Xn có tuân theo luật mạnh số lớn không ? Tại sao? Giải. Với mọi k = 1, 2,.., n thì Đặt . Từ đó Þ EX k = Tương tự, Vậy
a. Do dãy X1,…,Xn độc lập có EX1 = … = EXn = và phương sai DX1 = … = 2 DX n = Theo Hệ quả 2.1 ta có: khi n . b. Ta có . Theo Định lí 3.4, dãy X1,…,Xn tuân theo luật số lớn.