Chương 5:CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

Chia sẻ: Ngguyen Van Khoe | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

307
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luật số lớn Bernoulli : Xét mô hình nhị thức với xác suất thành công p. Gọi Xi là số lần xuất hiện thành công trong phép thử thứ i. Khi đó X1 , X2 , … thỏa mãn luật số lớn (ε 0) : X1 + ... + X n Trong đó, fn = được gọi là tần suất n xuất hiện thành công trong n phép thử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 5:CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

Chương 5: CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
I. Các định lý giới hạn 1. Luật số lớn Các biến ngẫu nhiên X1, …, Xn có kỳ vọng EXi , i = 1, 2, …, và được gọi là thỏa mãn luật số lớn nếu với bất kỳ ε > 0 ⎡ X 1 + ... + X n EX 1 + ... + EX n ⎤ ≤ ε ⎥=1 − lim P ⎢ ⎣ ⎦ n →∞ n n
Luật số lớn Bernoulli : Xét mô hình nhị thức với xác suất thành công p. Gọi Xi là số lần xuất hiện thành công trong phép thử thứ i. Khi đó X1 , X2 , … thỏa mãn luật số lớn (ε > 0) : lim P ⎡ fn − p ≤ ε ⎤ = 1 ⎣ ⎦ (1) n →∞ X1 + ... + X n Trong đó, fn = được gọi là tần suất n xuất hiện thành công trong n phép thử. Ngoài ra EXi = p, i =1, 2, … vì vậy EX i + ... + EX n np = =p n n Nếu (1) thỏa mãn ta nói tần suất fn hội tụ đến p theo xác suất.
• Khi các biến ngẫu nhiên Xi có luật phân phối Bernoulli thì chúng thỏa Luật số lớn Bernoulli. Ngoài ra EXi = p , vì vậy EX i + ... + EX n np = =p n n Và tần suất fn hội tụ đến p theo xác suất. Ứng dụng thực tế : Để xác định xác suất p của sự kiện A trong một phép thử nào đó, người ta lặp lại phép thử một số lớn lần độc lập với nhau. Sau đó lấy tần suất làm xấp xỉ cho p.
2. Định lý giới hạn trung tâm (ĐLGHTT) Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , … với kỳ vọng và phương sai hữu hạn, được gọi là thỏa mãn ĐLGHTT nếu ⎡ S n − ES n ⎤ ≤ x ⎥ = Φ ( x) lim P ⎢ (2) n →∞ ⎢ DSn ⎥ ⎣ ⎦ Trong đó Sn = X1 +…+Xn và Φ(x) là hàm phân phối của luật chuẩn tắc N(0, 1). Nếu đặt ⎡ ⎤ S n − ES n Fn ( x) = P ⎢ ≤x⎥ ⎢ DS n ⎥ ⎣ ⎦
S n − ES n ′ là hàm phân phối của S n = DS n thì (2) có dạng lim Fn ( x ) = Φ ( x) n →∞
Định lý giới hạn trung tâm Moivre – Laplace Xét mô hình Nhị thức với xác suất thành công p, Xi là số lần xuất hiện thành công trong phép thử thứ i. Khi đó X1, X2 , … thỏa mãn ĐLGHTT : ⎡ X − np ⎤ ≤ x ⎥ = Φ ( x) lim P ⎢ ⎢ npq ⎥ n →∞ ⎣ ⎦ Trong đó X= X1 +…+ Xn là số lần xuất hiện thành công trong n phép thử và X ~ B(n, p), EX = np, DX = npq.
Như vậy trong một số lớn phép thử Bernoulli thì chuẩn hóa của biến ngẫu nhiên chỉ số lần thành công có phân phối Nhị thức sẽ có phân phối xấp xỉ chuẩn. X − np ~ N (0,1) npq Hay X ~ N(np, npq). Công thức xấp xỉ : Cho X~ B(n, p) với n lớn. Khi đó X ~ N(np, npq) và từ đó ⎛ b − np ⎞ ⎛ a − np ⎞ P ( a ≤ X ≤ b) ≈ Φ ⎜ ⎟−Φ⎜ ⎜ npq ⎟ ⎜ npq ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3. Định lý giới hạn địa phương (ĐLGHĐP) Moivre – Laplace : Xét mô hình Nhị thức với xác suất thành công p, Xi là số lần xuất hiện thành công trong phép thử thứ i. Khi đó X1, X2 , … thỏa mãn ĐLGHĐP : ⎡ ⎤ (k −np )2 − ⎢ ⎥ 1 2npq lim ⎢ P ( X = k ) − ⎥=0 e npq 2π n →∞ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Với X = X1 + …+ Xn , X ~ B(n, p).
Công thức xấp xỉ : Cho X~ B(n, p) với n lớn. Khi đó (k −np)2 − 1 2npq P( X = k ) ≈ e npq 2π
II. Véc tơ ngẫu nhiên 1. Bảng phân phối đồng thời của véc tơ rời rạc (X,Y) .... Y y1 yn X x1 p11 . . . . p1n p1. ... ... .... .... ... . . . xm pm1 . . . . pmn pm. p.1 . . . . p.n 1 Trong đó pij = P(X= xi ; Y= yj ).
Các xác suất lề : n pi . = ∑ pij = P ( X = xi ) j =1 m ∑ p. j = p ij = P (Y = y j ) i =1 Các bảng phân phối lề : X x1 … xm y1 … Y yn P p1. … p.1 … pm. P p.n
2. Phân phối có điều kiện : P( X = xi ; Y = y j ) pij P( X = xi / Y = y j ) = = P (Y = y j ) p. j P( X = xi ; Y = y j ) pij P(Y = y j / X = xi ) = = P( X = xi ) pi. 3. Hàm phân phối đồng thời : F(x, y) = P( X ≤ x ; Y ≤ y) Tính chất : 1) 0 ≤ F(x, y) ≤ 1
2) lim F ( x, y ) = F ( x, +∞) = FX ( x) = P( X ≤ x) y →+∞ lim F ( x, y ) = F ( +∞, y ) = FY ( y ) = P (Y ≤ y ) x →+∞ lim F ( x, y ) = 1 x →+∞ y →+∞ 3) lim F ( x, y ) = lim F ( x, y ) = lim F ( x, y ) = 0 x →−∞ y →−∞ x →−∞ y →−∞ 4) F(x, y) là hàm không giảm F(x1, y) ≤ F(x2, y) , x1 < x2 F(x, y1) ≤ F(x, y2) , y1 < y2 5) P(a < X ≤ b ; c < Y ≤ d) = F(b, d) – F(a, d) – F(b, c) + F(a, c)
4. Hàm mật độ đồng thời : Nếu hàm phân phối đồng thời của véc tơ (X,Y) có thể biểu diễn dưới dạng y x f (u, v) du dv, x , y ∈R ∫∫ F( x, y) = −∞ −∞ khi đó f(x,y) được gọi là hàm mật độ đồng thời của (X,Y). Tính chất : 1) f(x, y) ≥ 0 ∂ 2 F ( x, y ) tại những điểm liên tục của f(x,y). 2) f ( x, y ) = ∂x ∂y ∫∫ f ( x, y) dx dy = 1 3) 2 R
4) P [ ( X , Y ) ∈ A] = ∫∫ f ( x, y) dx dy A với A là tập hợp trên R2 . ⎡b ⎤ d 5) P ( a ≤ X ≤ b; c ≤ Y ≤ d ) = ∫ ⎢ ∫ f ( x , y ) dx ⎥ dy c ⎣a ⎦ 5. Hàm mật độ lề : +∞ ∫ f X ( x) = f ( x, y )dy −∞ +∞ ∫ fY ( y ) = f ( x, y )dx −∞
6. Hàm mật độ có điều kiện : f ( x, y0 ) f X / Y = y0 ( x) = f ( x / y0 ) = fY ( y0 ) f ( x0 , y ) fY / X = x0 ( y ) = f ( x0 / y ) = f X ( x0 ) 7. Tính độc lập ngẫu nhiên : Rời rạc : Cho véc tơ ( X, Y), biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập nếu P(X = xi ; Y = yj ) = P(X = xi ) P( Y = yj ) Liên tục : Cho véc tơ ( X, Y) với mật độ đồng thời f(x, y), biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập nếu f(x, y) = fX (x) . fY (y)
8. Kỳ vọng và phương sai : 1) Kỳ vọng: Rời rạc : n n m EX = ∑ xi pi. = ∑∑ xi pij i =1 i =1 j =1 m n m EY = ∑ y j p. j = ∑∑ y j pij j =1 i =1 j =1 Liên tục : +∞ +∞ +∞ ∫xf ∫ ∫ x f ( x, y) dx dy EX = ( x)dx = X −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ ∫yf ∫ ∫ y f ( x, y) dx dy EY = ( y ) dy = Y −∞ −∞ −∞
2) Phương sai : Rời rạc : n n m DX = ∑ ( xi − EX ) pi. = ∑∑ ( xi − EX ) 2 pij 2 i =1 i =1 j =1 m n m DY = ∑ ( y j − EY ) 2 p. j = ∑∑ ( y j − EY ) 2 pij j =1 i =1 j =1 Liên tục: +∞ +∞ +∞ DX = ∫ ( x − EX )2 f X ( x)dx = ∫ ∫ ( x − EX )2 f ( x, y) dx dy −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ DY = ∫ ( y − EY )2 fY ( y)dy = ∫ ∫ ( y − EY )2 f ( x, y) dx dy −∞ −∞ −∞
9. Hiệp phương sai : Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) = E(XY) – EX .EY Rời rạc : n m Cov( X , Y ) = ∑∑ ( xi − EX )( yi − EY ) pij i =1 j =1 n m E ( XY ) = ∑∑ xi y j pij i =1 j =1 Liên tục: +∞ +∞ ∫ ∫ ( x − EX )( y − EY ) f ( x, y ) dx dy Cov ( X , Y ) = −∞ −∞ +∞ +∞ ∫ ∫ xy f ( x, y) dx dy E ( XY ) = −∞ −∞