zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi Đại học môn Toán: Bài toán lập phương trình mặt phẳng (Phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

169
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán: Bài toán lập phương trình mặt phẳng (Phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về bài toán lập phương trình mặt phẳng thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học môn Toán: Bài toán lập phương trình mặt phẳng (Phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 08. BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P3 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG 4. MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ TẠO GÓC Phương pháp giải: Giả sử mặt phẳng cần lập có một véc tơ véc tơ pháp tuyến là nP = (a; b; c), a 2 + b2 + c 2 ≠ 0. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên (P) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d và vuông góc với véc tơ chỉ phương của d. ( P ) : a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) + c( z − z0 ) = 0 Khi đó ta có  nQ .ud = 0 ⇔ a = f (b; c) Từ các dữ kiện về tạo góc của (P) với một mặt phẳng (Q) nào đó hoặc với đường thẳng ∆ ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c. Thay a = f(b; c) vào phương trình này, giải ra được b = m.c hoặc b = n.c Chọn cho c = 1, từ đó tim được các giá trị tương ứng của a và b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập. Ví dụ 1: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; −3), B(2; −1; −6) và (P): x + 2y + z −3= 3 0 . Viết phương trình (Q) chứa AB và tạo với (P) một góc α thỏa mãn cos α = 6 Hướng dẫn giải: Giả sử (Q) có một véc tơ pháp tuyến là nQ = (a; b; c), a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0. (Q) : a ( x + 1) + b( y − 2) + c( z + 3) = 0 Mặt phẳng (Q) chứa A; B nên  nQ . AB = 0 ⇒ a − b − c = 0 ⇔ a = b + c nP .n Q a + 2b + c 3 Theo bài, ( ( P);(Q ) ) = α ⇒ cos α = = = ⇔ 2 ( a + 2b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 2 nP . n Q a + b + c 1+ 4 +1 6 2 2 2 b  c = −1 ⇔ 2 ( 3b + 2c ) = 2b + 2c + 2bc ⇔ 8b + 11bc + 3c = 0 ⇔  2 2 2 2 2 b = − 3  c 8 + Với b = −c, chọn c = 1; b = −1; a = 0 ⇒ (Q ) : −( y − 2) + ( z + 3) = 0 ⇔ y − z − 5 = 0 b 3 + Với = − , chọn c = 8; b = −3; a = 5 ⇒ (Q ) : 5( x + 1) − 3( y − 2) + 8( z + 3) = 0 ⇔ 5 x − 3 y + 8 z + 35 = 0 c 8 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 2: [ĐVH]. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; −1; 1), B(0; 1; −2) và đường thẳng x y − 3 z +1 d: = = . Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (OAB), 1 −1 2 5 nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng (d) một góc α sao cho cos α = . 6 Hướng dẫn giải: Ta có OA = ( 2; −1;1) , OB = ( 0;1; −2 ) ⇒ OA, OB  = (1;4;2 ) = nOAB Do đó (OAB): x + 4y + 2z = 0 (1) . Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  x + 4 y + 2z x = t  Gọi M = d ∩ (OAB) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ   → t = −10 ⇒ M = ( −10;13; −21) y = 3−t  z = −1 + 2t Vì ∆ ∈ ( OAB ) ⇒ nOAB .u∆ = 0 ⇔ a + 4b + 2c = 0 ⇒ a = −4b − 2c, với u∆ = ( a; b; c ) . ud .u∆ a − b + 2c a − b + 2c 5 Do đó : α = (d ; ∆ ) ⇒ cos α = = = = ud . u∆ a + b + c 1+1+ 4 2 2 2 6 a +b +c 2 2 2 6  5 b=− c ⇔ 6 ( −5b ) = 25 ( 4b + 2c ) + b + c ⇔ 11b + 16bc + 5c = 0 ⇔  2  2 2 2 2 2   11   b = − c  x = −10 − 31t 5  +) Với b = − c , chọn c = 11; b = −5; a = −31 ⇒ ∆ :  y = 13 − 5t 11  z = −21 + 11t   x = −10 + 2t  +) Với b = −c , chọn c = 1; b = −1; a = 2 ⇒ ∆ :  y = 13 − t  z = −21 + t  Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 3: [ĐVH]. Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;1;−2), vuông góc x+3 y−2 z với đường thẳng d : = = và tạo với mặt phẳng (P): 2x + y − z +5 = 0 một góc 300. 1 −1 1 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u = (1; −1;1) , đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương u∆ = ( a; b; c ) . u∆ .nP 2a + b − c 1 ( ) Mặt phẳng (P) có n = ( 2;1; −1) . Gọi α = ( d ; P ) ⇒ sin α = = cos u∆ , nP = = . 2 u ∆ . nP a + b2 + c 2 4 + 1 + 1 2 2a + b − c ⇔ 2 ( 2a + b − c ) = 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) , (*) 1 ⇔ = 2 6 a +b +c 2 2 22 Mặt khác, d ⊥ ∆ ⇒ ud .u∆ = 0 ⇔ a − b + c = 0 ⇔ b = a + c a = c Khi đó, ⇔ 2.9a = 3 ( 2a + 2ac + 2c ) ⇔ 2a − ac − c = 0 ⇔  2 2 2 2 2 a = − c  2 x = t  +) Với a = c ⇒ b = 2a, chọn a = c = 1; b = 2 ⇒ ∆ :  y = 1 + 2t  z = −2 + t  x = t  +) Với c = −2a ⇒ b = −a, chọn a = 1; b = −1; c = −2 ⇒ ∆ :  y = 1 − t  z = −2 − 2t  Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. x y z x −1 y +1 z −1 Ví dụ 4: [ĐVH]. Trong không gian cho hai đường thẳng ∆1 : = = và ∆ 2 : = = 1 −2 1 1 −1 3 a) Chứng minh hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆2 và tạo với đường thẳng ∆1 một góc 300. Hướng dẫn giải: a) Chứng minh hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau: Đường thẳng ∆1 có véc tơ chỉ phương u1 = (1; −2;1) và qua O(0;0;0), Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Đường thẳng ∆2 qua B(1; −1; 1) và có véc tơ chỉ phương u2 = (1; −1;3) . Ta thấy hai véc tơ chỉ phương của hai đường khác phương nên d1 và d2 hoặc chéo nhau, hoặc cắt nhau. Mặt khác, u1 ; u2  = ( −5; −2; −1) ⇒ u1 , u2  .OB = 6 ≠ 0. Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau. b) Viết phương trình (P). Giả sử (P) có một véc tơ pháp tuyến là nP = (a; b; c), a 2 + b2 + c 2 ≠ 0.  B ∈ (Q ) ⇒ a( x − 1) + b( y + 1) + c( z − 1) = 0 Mặt phẳng (Q) chứa ∆2 nên  nQ .u∆ 2 = 0 ⇒ a − b + 3c = 0 ⇔ a = b − 3c u∆1.nP a − 2b + c 1 ( ) Theo bài, α = ( ∆1 ; P ) ⇒ sin α = = cos u∆1 , nP = ⇔ = 1 2 u∆1 . nP 2 a + b2 + c 2 1 + 4 + 1 2 1 b − 3c − 2b + c ⇔ = ⇔ 6. 2b 2 − 6bc + 10c 2 = 2 −b − 2c ⇔ 3(b 2 − 3bc + 5c 2 ) = b 2 + 4bc + 4c 2 2 (b − 3c) + b + c 6 2 2 2 b c =1⇔ b = c ⇔ 3(b 2 − 3bc + 5c 2 ) = b 2 + 4bc + 4c 2 ⇔ 2b 2 − 13bc + 11c 2 = 0 ⇔   b = 11 ⇔ b = 11 c  c 2 2 +) Với b = c, chọn c = 1; b = 1; a = −2 ⇒ ( P ) : −2( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = 0 ⇔ 2 x − y − z − 2 = 0 b 11 +) Với = , chọn c = 2; b = 11; a = 5 ⇒ ( P ) : 5( x − 1) + 11( y + 1) + 2( z − 1) = 0 ⇔ 5 x + 11 y + 2 z + 4 = 0 c 2 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: x = 1 − t  Bài 1: [ĐVH]. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình d :  y = t , ( P ) : x + 2 y − z − 1 = 0.  z = −2 − t  1 Lập phương trình (Q) chứa d và và tạo với (P) một góc φ, biết rằng cos φ = . 3 Đ/s: (Q): x + 2y + z + 1 = 0 x y −1 z + 2 Bài 2: [ĐVH]. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình d : = = , ( P ) : x + z + 1 = 0. 1 −1 1 Lập phương trình (Q) chứa d và và tạo với (P) góc 300. Đ/s: (Q): 2x – y + z + 3 = 0. x −1 y − 3 z +1 Bài 3: [ĐVH]. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình d : = = , ( P ) : 2 x − z + 2 = 0. 1 −2 2 a) Xác định số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) . b) Lập phương trình (Q) chứa d và và tạo với (P) một góc 600. x + 2 y −1 z + 3 Bài 4: [ĐVH]. Cho hai điểm A(1; 1; 1), B(2; 0; 2) và đường thẳng d : = = . Lập phương trình mặt −2 −1 1 phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và tạo với d một góc 600 Đ/s: (P1): x – z = 0 và (P2): x + y – 2 = 0 Bài 5: [ĐVH]. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với đường thẳng ∆ một góc bằng 600 biết  x = t x−2 y −3 z +5 d : y = 2 − t, ∆: = =  z = t 2 1 −1 Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Đ/s: x – z = 0 và x + y – 2 = 0 Bài 6: [ĐVH]. Cho hai điểm A(1; -2; -2), B(0; -1; -2). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và tạo 1 với mặt phẳng (yOz) một góc φ với cos φ = 3 Đ/s: ( P ) : x + y + z + 3 = 0 x = t  Bài 7: [ĐVH]. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình d :  y = 1 , ( P ) : x + y − z + 1 = 0.  z = 1 − 2t  1 Lập phương trình (Q) chứa d và và tạo với (P) một góc φ, biết rằng cos φ = . 15 Đ/s: (Q ) : 2 x + z − 1 = 0; (Q ) : 4 x − y + 2 z + 3 = 0 Bài 8: [ĐVH]. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;1), B (−2;3; −2) và tạo với đường thẳng x + 1 y z −1 35 ∆: = = một góc φ với cos φ = . 1 −1 2 6 Đ/s: ( P) : 2 x + y − z − 1 = 0 x + 1 y z −1 Bài 9: [ĐVH]. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d : = = và tạo với mặt phẳng (yOz) 2 1 −1 góc nhỏ nhất? 1 Đ/s: ( cos φ )max = ⇒ ( P) : x − y + z = 0 3 x + 2 y +1 z Bài 10: [ĐVH]. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d : = = và tạo với mặt phẳng (xOy) 1 1 −2 góc nhỏ nhất? 30 c 2 Đ/s: ( cos φ )max = ⇔t= = 5 b 5 Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.