intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi đại học môn toán - phương pháp giới hạn vô định_03

Chia sẻ: Nguyễn Thị Ngọc Huỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST
Báo xấu
96
lượt xem 14
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'luyện thi đại học môn toán - phương pháp giới hạn vô định_03', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi đại học môn toán - phương pháp giới hạn vô định_03

  1. Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số *) x    x > 0  x  x2 , x  4 x4 9x 2  1 3 1 4 14 9 2 3  3 1 3  x x  9 0  3 x x x  lim x Khi đó : L+  lim 26 x  4 16x 4  3 5 1 7 x 4 16  3  5 1  7 4 16  0 2   x x5 x4 x x5 x *) x    x < 0  x   x 2 , x   4 x 4 Khi đó ta có : 9x 2  1 3 1 4 9x 2  1 3 1 4 3 14 3  9 2  3  3  1  x x  lim  x xx x xx 2 L  lim x  lim 26 x  4 16x 4  3 5 1 7 x 4 16x 4  3 5 1 7 x  4 16  3  5 1  7     x x5 x4 x x5 x x5  4 x4 x 14 1  9 2  3  3 x x   9 0  3 x  lim 1 7  4 16  0 2 x  3  4 16  4  5  5 xx x 3 Vì L+  L nên ta có : L26  26 26 2 Kết luận :  0 So với dạng vô định , dạng vô định “dễ tìm” hơn. Học sinh cần xác  0 định đúng dạng và chỉ cần quan tâm đến bậc của tử và mẫu để từ đó phán đoán  kết quả giới hạn cần tìm. Chú ý đối với giới hạn dạng của hàm số có chứa  căn thức ta không nhân liên hợp. Đây là điểm khác biệt cân phân biệt để tránh nhầm lẫn. Với giới hạn khi x   , cần lƣu ý hai khả năng x   và x   trong phép lấy giới hạn có chứa căn bậc chẵn. Nếu học sinh không để ý đến vấn đề này thì rất dễ mắc phải sai lầm. Hơn nữa trƣờng hợp này còn liên quan tới bài toán tìm tiệm cận của hàm số chứa căn thức. Bài tập tự luyện  2x  3  4x+7  2 3 (2x  3)20 (3x+2)30 lim 1) x lim 2) x 3x 1 10x  9 (2x+1)50 2 2 TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 21
  2. Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số x 2  2x  3x (x+1)(x 2  1)...(x n  1) 3) lim 4) lim x  x  n+1 4x 2  4  x+2 (nx)n  1 2   ln(1  x  3 x) x5 1  3 x 2  2 4 5) lim 4 6) xlim ln(1  3 x  4 x)  x  x 4 1  x3  2 III. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH    Dạng tổng quát của giới hạn này là : lim f(x)  g(x) trong đó lim f(x)  lim f(x)   x x 0   x x x x 0 0 (x  ) (x ) (x ) Phƣơng pháp chủ yếu để khử dạng vô định này là biến đổi chúng về dạng 0 vô định , bằng cách đổi biến, nhân liên hợp, thêm bớt, … 0 Ví dụ áp dụng :   Ví dụ 27 : L27  lim x2  x  x x  Bài giải : Nhân và chia biểu thức liên hợp tƣơng ứng là : x 2  x +x , ta đƣợc :   ( x 2  x  x)( x 2  x +x) L27  lim x 2  x  x  lim  x  x  x  x +x 2 x2  x  x2 x   lim lim x  x 2  x +x x x 2  x +x Vì x   nên chia cả tử và mẫu cho x ta có : x 1 1   lim lim x  x  x 2  x +x 2 1 1 1 x 1 Vậy L27  2 Trong ví dụ này, bằng cách nhân liên hợp, ta đã chuyển giới hạn cần tìm  từ dạng    sang dạng .  TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 22
  3. Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số Ví dụ 28 : L28  lim  x+ x  x  x      Bài giải : ( x+ x  x)( x+ x  x) L28  lim  x+ x  x   lim  x    x   x+ x  x x+ x  x x  lim  lim  x  x+ x  x x x+ x  x x 1 1  ( chia cả tử và mẫu cho x )  lim  lim x  x+ x  x x 1+ 1  1 2 x 1 Vậy L28  2 Ví dụ 29 : L29  lim  x 2  x  3  x  x      Bài giải : Trong ví dụ này cần lƣu ý khi x  cần xét hai trƣờng hợp x  và x  +) Khi x  thì : x 2  x  3    x 2  x  3  x   Do đó xlim  x 2  x  3  x         +) Khi x  thì giới hạn có dạng   . Ta khử bằng cách nhân liên hợp bình thƣờng ( x 2  x  3  x)( x 2  x  3  x) lim  x 2  x  3  x   lim  x     x     x x 3 x 2 3 1  x2  x  3  x2 x  3 x  lim  lim  lim x   x   x   x x 3 x x x 3 x x  x 3 2 2 2 1 x Khi x  thì x < 0, do đó x   x 2 TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 23
  4. Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 3 3 1  1  1 1 x x    lim lim 2 2 x   x   x2  x  3 13  1   2 1 1 xx x Vậy lim  x 2  x  3  x    , xlim  x 2  x  3  x   1    2 x        Qua ví dụ này một lần nữa nhấn mạnh cho học sinh chú ý với giới hạn khi x  cần xét x  và x  đối với hàm số chứa căn thức bậc chẵn. Ví dụ 30 : L30  lim  3 x3  3x 2  x 2  2x  x      Bài giải : Vì hàm số cần tìm giới hạn chứa các căn thức không cùng bậc nên ta thêm bớt để có thể nhân liên hợp. L30  lim  3 x3  3x 2  x 2  2x   lim ( 3 x3  3x 2  x )  ( x 2  2x  x)     x   x       xlim  3 x 3  3x 2  x   x  x 2  2x  x   G1  G 2 lim          x 3  3x 2  x 3 +) G1  lim  3 x 3  3x 2  x   lim    x x    x  2 x  3x x  3x  x 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3  xlim  xlim  1   x 2 2    3 3 x 3  3x 2 x 3  3x 2  x 2 3 3 3  3 1   3 1 1 x x  x  x 2  2x  x   lim x  2x  x  2 2 +) G 2  xlim    x x 2  2x  x 2 2 2  lim  lim   1 x 2  2x  x x  x  2 2 1 1 x x Vậy L30 = G1 - G2 = 2 m n Ví dụ 31 : L31  lim   , (m, n  N* ) n x 1 1  x m 1 x   Bài giải : TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 24
  5. Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số  m 1  m n 1n L31  lim    lim       1  x n  x1  1  x m 1  x   1  x n 1  x    x 1 1  x m   m 1 n 1  lim     lim     G1  G 2 x 1 1  x 1  x  x 1  1  x 1  x   m n m  (1  x  x 2  ...  x m1 ) m 1 +) G1  lim     lim  x 1 1  x m 1  x  x 1 1  xm  (1  x)  (1  x 2 )  ...  (1  x m1 )  lim  1  xm x 1 (1  x) 1  (1  x)  ...  (1  x  ...  x m2 )     lim  (1  x)(1  x  ...  x m1 ) x 1 1  (1  x)  ...  (1  x  ...  x m2 ) 1  2  ...  m  1 m  1  lim   1  x  ...  x m1 x 1 m 2 n 1 Tƣơng tự ta tính đƣợc G 2  2 m 1 n 1 m  n Vậy L31  G1  G 2    2 2 2 Trong bài tập này ta sử dụng thuật toán thêm, bớt để tách giới hạn cần tìm 0 thành hai giới hạn và tính các giới hạn này bằng cách biến đổi về dạng . Việc 0 thêm bớt biểu thức phải tinh tếvà phụ thuộc vào đặc điểm từng bài. Kết luận : Đối với dạng vô định    , ta phải tuỳ vào đặc điểm từng bài mà vận dụng linh hoạt các kỹ năng thêm bớt, nhân liên hợp, phân tích thành nhân tử để biến đổi và khử dạng vô định. Ta thƣờng chuyển chúng về các dạng vô định dễ 0 tính hơn là , . 0 Bài tập tự luyện   2) lim  3 (x  1)2  3 (x  1) 2  1) lim  x  x  x  x  x      x    3) lim  x  x  x  x  x  x  4) lim  x  3 1  x 2  x      x  TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 25
  6. Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 5) lim ln(5x  8)  ln(3x  5) 6) lim  5 (x  1)(x  2)...(x  5)  x   x  x  IV. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0. Dạng tổng quát của giới hạn này là : lim f (x).g(x)  trong đó lim f (x)  0, lim g(x)   x  x  x  (x x 0 ) (x x 0 ) (x x 0 ) Để khử dạng vô định này, ta thƣờng tìm cách chuyển chúng về dạng giới 0 hạn khác dễ tình hơn nhƣ , bằng cách nhân liên hợp, thêm bớt, đổi biến … 0 Ví dụ áp dụng :   Ví dụ 32 : L32  lim  x x2  5  x  x      Bài giải : Ta khử dạng vô định này bằng cách nhân liên hợp để  đƣa về dạng vô định      lim x( x  5  x)( x  5  x)  2 2 L32  lim  x x 5 x 2 x    x   x2  5  x TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 26
  7. Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số x(x 2  5  x 2 ) 5x 5  lim  lim  lim x2  5  x x2  5  x x2  5  x x  x  x  x x    x > 0  x  x2 5 5 5  lim  Do đó : lim x2  5  x x  x  2 5 1 2 1 x x 5 Vậy L32  2 x Ví dụ 33 : L33  lim(1  x)tg x 1 2 Bài giải : Đặt t  1  x ta có : x 1  t  0 (1  t)     t    L33  lim  t.tg   lim  t.tg  2  2       2  t 0   t 0 t t   t 2 2  lim 2   lim  t.cotg   lim 2  t 0 tg t  t 0 tg t   t 0 2 2 2 Vậy L33   Bài tập tự luyện     1) lim  x 4x 2  9  2x  2) lim  x 2 3x 4  5  3x 4  2  x    x             3) lim  x 4x 2  5  3 8x 3  1  4) lim  tg2x.tg   x   x      4   x  4  2 1  x   1 5) lim  a 2  x 2  tg   6) lim  x  e  e x  2   x  2a  x  x a   V. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 1 Dạng tổng quát của giới hạn này là : TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 27
  8. Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số lim f (x) , trong đó lim f (x)  1, lim g(x)   g(x) x x 0 x x 0 x x 0 Hai giới hạn cơ bản thƣờng đƣợc sử dụng khi tính giới hạn dạng vô định 1 là : x  1 +) x 1    e (1) lim x  1 +) lim 1  x  x  e (2) x  Trong quá trình vận dụng, học sinh biến đổi về dạng f(x)  1  e nếu xx f (x)   lim 1   lim x x  f(x)  0 0 1 lim 1  g(x)  g(x)  e nếu lim g(x)  0 x x 0 x x 0 Để biến đổi giới hạn cần tìm, học sinh vận dụng mệnh đề sau (dựa vào tính liên tục của hàm số mũ). “ Nếu hai hàm số f(x), g(x) thoả mãn các điều kiện : 1) lim f (x)  a  0 x x 0 2) lim g(x)  b x x 0 thì lim f (x)  ab ” g(x) x x 0 Hai giới hạn cơ bản và mệnh đề trên là cơ sở để tính các giới hạn dạng vô  định 1 Ví dụ áp dụng 1 Ví dụ 34 : L34  lim 1+ sin2x  x x 0 Bài giải : sin 2x   1 1 sin 2x 1 L34  lim 1+ sin2x   lim 1+ sin2x   lim 1+ sin2x  sin 2x  x . x sin 2x x   x 0 x 0 x 0 TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 28
  9. Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 1 Ta có : lim 1+ sin2x  sin 2x  e ( để học sinh dễ hiểu nên đặt t = sin2x) x 0 sin 2x sin 2x  2lim 0 lim x 0 x 0 x 2x sin 2x   1 Do đó : L34  lim 1+ sin2x  x  e2  sin 2x   x 0 43x  x 1  Ví dụ 5 : L35  lim   x  x  2   Bài giải : Để sử dụng giới hạn cơ bản ta biến đổi : x 1 1 1 x2 (x  2) 43x  (x  2). 43x    x 1   (x  2) 1 L35  lim   lim 1    x  x  2  (x  2)    x    ( x  2)   1  lim 1  e   x   (x  2)  Vì  nên L35  e3  4 3 4  3x 3x  4  x 3  xlim (x  2)  xlim x  2  xlim 2    1   x   tg2  y     4  Bài 36 : L36  lim  tg   y    4  t 0   Bài giải : Đặt y  x  , x   y  0 .Ta có : 4 4 1 tg 2 y   tg2  y   1  tgy     4  2tgy L36  lim  tg   y    lim    t 0 1  tgy  4    t 0 2tgy 1 tg 2 y  .   1 tg 2 y 1 tgy 1 tgy 2tgy   2tgy   2tgy   lim 1   2 tgy 2tgy  lim 1    t 0    1  tgy   1  tgy  t 0     TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 29
  10. Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 1 tgy   2tgy  2 tgy Vì lim 1   e và  1  tgy   y0  2tgy 1  tg 2 y    lim  1  tgy   1 lim   .  1  tgy 2tgy  y0 y0 nên L36  e1 Kết luận : Với dạng vô định 1 , việc nhận dạng không khó khăn đối với học sinh. Tuy nhiên, để làm đƣợc bài tập, học sinh phải vận dụng tốt các kỹ năng để đƣa các giới hạn cần tìm về một trong hai giới hạn cơ bản (1) và (2). Hai kỹ năng chủ yếu đƣợc sử dụng là đổi biến và thêm bớt. Bài tập tự luyện 1  1  tgx  sin x 1) lim 1  x  2 2 cot g x 2) lim   x 0 1  sin x   x 0 x2  x2  3  3) lim 1  sin x  cot gx 3) lim  2  x  x  2 x 1   x  1 1 1 6) lim  sin  cos  x2 5) lim(cos 2x)  x x  x 0 x TRƢỜNG THPT LƢƠNG PHÚ (www.toanthpt.net) 30
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2