Chuyên đề
L NG GIÁCƯỢ
Ph n 1:ầ CÔNG TH CỨ
1. H th c LG c b nệ ứ ơ ả
2 2
2
2
sin cos 1
sin
tan cos 2
1tan 1 2
cos
k
k
α α
α π
α α π
α
π
α α π
α
+ =
= ≠ +
= + ≠ +
( )
( )
2
2
tan .cot 1
cos
cot sin
1cot 1
sin
k
k
α α
α
α α π
α
α α π
α
=
= ≠
= + ≠
2. Công th c ứLG th ng g pườ ặ
Công th c c ng: ứ ộ
( )
( )
( )
sin sinacosb sinbcosa
cos cosa cos b sinasinb
tan tan
tan b 1 tan tan
a b
a b
a b
aa b
± = ±
± =
±
± =
m
m
Công th c nhân:ứ
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan tan
tan 3 = 1 3tan
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
aa
=
= − = − = −
= −
= −
−
−
Tích thành t ng:ổcosa.cosb =
1
2
[cos(a−b)+cos(a+b)]
sina.sinb =
1
2
[cos(a−b)−cos(a+b)]
sina.cosb =
1
2
[sin(a−b)+sin(a+b)]
T ng thành tích: ổ
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b + −
+ =
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b + −
− =
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b + −
+ =
sin( )
tan tan cos .cos
a b
a b a b
±
± =
Công th c h b c: ứ ạ ậ cos2a =
1
2
(1+cos2a)
sin2a =
1
2
(1−cos2a)
Bi u di n các hàm s LG theo ể ễ ố
tan 2
a
t=
Chuyên đ : LGề
1
2
2 2 2
2 1- 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
= = =
+ + −
3. Ph ng trìng LG c b nươ ơ ả
* sinu=sinv
2
2
u v k
u v k
π
π π
= +
⇔= − +
* cosu=cosv⇔u=±v+k2
π
* tanu=tanv ⇔ u=v+k
π
* cotu=cotv ⇔ u=v+k
π
( )
Zk∈
.
4. M t s ph ng trình LG th ng g pộ ố ươ ườ ặ
1. Ph ng trình b c nh t, b c hai đ i v i m t hàm s l ng giác:ươ ậ ấ ậ ố ớ ộ ố ượ
a. Ph ng trình b c nh t đ i v i m t hàm s l ng giác: đ gi i các ph ng trình này ta dùngươ ậ ấ ố ớ ộ ố ượ ể ả ươ
các công th c LG đ đ a ph ng trình v ph ng trình LG c b n.ứ ể ư ươ ề ươ ơ ả
b. Ph ng trình b c hai đ i v i m t hàm s l ng giác: là nh ng ph ng trình có d ngươ ậ ố ớ ộ ố ượ ữ ươ ạ
a.sin2x+b.sinx+c=0 (ho c ặa.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) đ gi i cácể ả
ph ng trình này ta đ t t b ng hàm s LG..ươ ặ ằ ố
2. Ph ng trình b c nh t đ i v i sinươ ậ ấ ố ớ x và cosx:
D ngạ: asinx+bcosx=c. Đi u ki n đ ph ng trình có nghi m là ề ệ ể ươ ệ
2 2 2
a b c+ ≥
.
C ách 1: Chia hai v ph ng trình cho a r i đ t ế ươ ồ ặ
tan
b
a
α
=
, ta đ c: sinx+tanượ
α
cosx=
cos
c
a
α
⇔
sinx
cos
α
+
sin
α
cosx=
cos
c
a
α
⇔
sin(x+
α
)=
cos
c
a
α
sin
ϕ
=
ñaët
.
C ách 2: Chia hai v ph ng trình choế ươ
2 2
a b+
, ta đ c:ượ
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đ t: ặ
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
β β
= =
+ +
. Khi đó ph ng trình t ng đ ng:ươ ươ ươ
2 2
cos sin sin cos c
x x
a b
β β
+ = +
hay
( )
2 2
sin sin
c
x
a b
β ϕ
+ = =
+
ñaët
.
Cách 3: Đ t ặ
tan 2
x
t=
.
3. Ph ng trình thu n nh t b c hai đ i v i sinx và cosx:ươ ầ ấ ậ ố ớ
D ng: ạasin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
Cách 1: + Ki m tra nghi m v i ể ệ ớ
2
x k
ππ
= +
.
+ Gi s cosả ử x≠0: chia hai v ph ng trình cho cosế ươ 2x ta đ c: ượ atan2x+btanx+c=0.
Chú ý:
2
2
1tan 1 2
cos x x k
x
ππ
= + ≠ +
Cách 2: Áp d ng công th c h b c.ụ ứ ạ ậ
4. Ph ng trình đ i x ng đ i v i sinươ ố ứ ố ớ x và cosx:
D ng: ạa(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách gi i:ả Đ t ặt= sinx± cosx. Đi u ki n ề ệ | t |
2≤
.
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
π π
π π
+ = + = −
− = − = − +
Löu y ùcaùc coâng thöùc:
Chuyên đ : LGề
2
Ph n 2:ầ PH NG TRÌNH L NG GIÁC KHÔNG M U M CƯƠ ƯỢ Ẫ Ự
Ph ng pháp 1ươ : Dùng các công th c l ng giác đ a v ph ng trình d ng tích.ứ ượ ư ề ươ ạ
Ví d 1.ụ Gi i ph ng tình: sinả ươ 2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
Gi iả
Ph ng trình (1) t ng đ ng v i: ươ ươ ươ ớ
1 cos 2 1 cos6 1 cos 4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x− − + +
+ = +
⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0
510 5
2
cos5 0
cos 2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2
π kπ
πx
x kπ
xπ π lπ
x x kπ x k l n
xπ π
x kπ x nπ
= +
= +
=
⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈
=
= + = +
¢
Ví d 2.ụ Gi i ph ng trình: cosả ươ 6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2).
Gi iả
Ta có (2) ⇔ cos6x(2cos2x−1) = sin6x(1−2sin2x)
⇔ cos2x(sin6x–cos6x) = 0
⇔ cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0
⇔ cos2x = 0
⇔
2 ,( )
2 4 2
π π kπ
x kπ x k= + ⇔ = + ∈¢
Ví d 3:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
6 3 4
8 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x+ − − =
(3).
Gi iả
Ta có:
3 3 3
2 2
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos2 cos 4 ) 2
2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2
2
cos 2 (1 cos 4 ) 2
2
cos 2 .cos 2 4
2
cos 2 2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
π
x x
⇔ − + − =
⇔ + =
⇔ + + + − − =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ =
⇔ = ⇔ = ± ,( )kπ k+ ∈¢
Ph ng pháp 2ươ : Đ t n ph đ a ph ng trình l ng giác v ph ng trình đ i s :ặ ẩ ụ ư ươ ượ ề ươ ạ ố
Ví d 4ụ. Gi i ph ng trình l ng giác: ả ươ ượ
8 8 17
sin cos 32
x x+ =
(4).
Gi iả
Ta có (4)
4 4
4 2
1 cos 2 1 cos 2 17 1 17
(cos 2 6cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x x x
− +
⇔ + = ⇔ + + =
Chuyên đ : LGề
3
Đ t cosặ22x = t, v i ớt∈[0; 1], ta có
2 2
1
17 13 2
6 1 6 0 13
4 4
2
t
t t t t
t
=
+ + = ⇔ + − = ⇔
= −
Vì t∈[0;1], nên
2
1 1 cos 4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x
t x +
= ⇔ = ⇔ =
⇔cos4x = 0 ⇔
4 ,( )
2 8 4
π π π
x kπ x k k= + ⇔ = + ∈¢
Ví d 5.ụ Gi i ph ng trình l ng giác: 2sinả ươ ươ 3x – cos2x + cosx = 0 (5)
Gi iả
Ta có (5) ⇔ 2(1− cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0
⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0
⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)
x x kπ k
x x x x
= ⇔ = ∈
⇔+ + + =
¢
Gi i (*): Đ t sinả ặ x + cosx = t, đi u ki n ề ệ
| | 2t≤
, khi đó ph ng trình (*) tr thành:ươ ở
2t + t2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t2 + 2t = 0
0sin -cos ,( )
2 ( 4
tπ
x x x nπ n
t lo
=
⇔ ⇔ = ⇔ = − + ∈
= −
¢
¹i)
V y nghi m c a ph ng trình đã cho là:ậ ệ ủ ươ
4
π
x nπ= − +
;
2 , ( , ) x kπ n k= ∈¢
Ph ng pháp 3ươ : Quy ph ng trình l ng giác v vi c gi i h ph ng trình l ng giác b ngươ ượ ề ệ ả ệ ươ ượ ằ
cách đánh giá, so sánh, s d ng b t đ ng th c.ử ụ ấ ẳ ứ
Ví d 6.ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
|sin | cos
x
π x=
(6).
Gi iả
Đi u ki n: ề ệ x ≥ 0
Do
| sin | 0,x≥
nên
|sin | 0 1
x
π π≥ =
, mà |cosx| ≤ 1.
Do đó
2 2 2 0
| sin | 0 ,( )
(6) 0
| cos | 1 ,( )
k n
x kπ k π n
x x kπ k
x
x nπ x nπ
x x nπ n
+
= =
= =
= = ∈
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
= =
= = ∈
¢
¢
(Vì k, n ∈ Z). V y ph ng trình có nghi m duy nh t ậ ươ ệ ấ x = 0.
Ph ng pháp 4ươ : S d ng tính ch t hàm s .ử ụ ấ ố
Ví d 7ụ: (ĐH S ph m 2) Gi i ph ng trình: ư ạ ả ươ
2
1 cos
2
xx− =
.
Gi iả
Đ t ặ
2
( )= cos 2
x
f x x +
. D th y ễ ấ f(x) = f(−x),
x∀ ∈¡
, do đó f(x) là hàm s ch n vì v y tr c h t ta chố ẵ ậ ướ ế ỉ
xét v i ớx ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đ ng bi n, do đó ồ ế f’(x)≥f’(0), v i ớx≥0 ⇒ f(x)
đ ng bi n v i ồ ế ớ x≥0 .
M t khác ta th y ặ ấ f(0)=0, do đó x=0 là nghi m duy nh t c a ph ng trình.ệ ấ ủ ươ
Ví d 8ụ: (ĐH Bách Khoa) V i ớn là s t nhiên b t kì l n h n 2, tìm ố ự ấ ớ ơ x thu c kho ng ộ ả
0; 2
π
tho mãnả
ph ng trình:ươ
2
2
sin cos 2
n
n n
x x
−
+ =
.
Gi iả
Đ t ặf(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x.
= nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)
Chuyên đ : LGề
4
L p b ng bi n thiên c a ậ ả ế ủ f(x) trên kho ng ả
0; 2
π
, ta có minf(x) = f
4
π
=
2
2
2
n−
V y ậx =
4
π
là nghi m duy nh t c a ph ng trình đã cho.ệ ấ ủ ươ
BÀI T PẬ
Gi i các ph ng trình sauả ươ :
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (H c Vi n Ngân Hàng)ọ ệ ĐS:
2 ; 2
2
x k x n
π
π π
= = +
2. tanx.sin2x−2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH M Đ a Ch t)ỏ ị ấ
HD: Chia hai v cho sinế2x ĐS:
; 2
4 3
x k x n
π π
π π
= − + = ± +
3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Th ng M i)ươ ạ
ĐS:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
π π π π
π π
= ± + = − + = +
4. |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Qu c Gia Hà N i)ố ộ ĐS:
2
x k
π
=
.
5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) (ĐH Lu t Hà N i)ậ ộ
ĐS:
2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l
ππ α π π α π
= + = + = − +
v i ớ
1
sin 4
α
= −
.
6. sinx−4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà N i)ộĐS:
4
x k
ππ
= +
.
7.
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
π π
− = +
; (H c Vi n BCVT)ọ ệ ĐS:
4 2
x k
π π
= +
8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34xĐS:
12
x k
π
=
.
9.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin 2
x
xx
π
π
+ = −
−
ĐS:
4
8
5
8
x k
x k
x k
ππ
ππ
ππ
−
= +
−
= +
= +
10.
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = −
HD: Chia hai v cho cosế3x ĐS: x =
3k
ππ
− +
,
4
x k
ππ
= ± +
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đ a v cung ư ề x đ t th a sặ ừ ố ĐS:
22 ( )
4 3
x k x k k
π π
π π
= + ∨ = ± + ∈¢
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Gi iả
(1) ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx.
⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đ t ặt=cosx, ĐK
1t≤
, ta đ c: 2ượ t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.
⇒
( )
11
2cos 2
sin - 2
tx
t x
=
⇒ =
=
loaïi
…(bi t gi i)ế ả
Chuyên đ : LGề
5