Lý thuyết, ví dụ về hình học không gian cổ điển

Chia sẻ: Le Huutuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

49
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của tài liệu trình bày một số vấn đề cơ bản về quan hệ song song; một số vấn đề cơ bản về quan hệ vuông góc; phương trình xác định các loại góc trong không gian; phương pháp xác định khoảng cách; một số công thức tính toán hình học...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết, ví dụ về hình học không gian cổ điển

Mục lục DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN 1 Hình học không gian (cổ điển) 1 I. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ song song . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . 1 2. Việc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . 1 3. Một số định lý về nhận dạng quan hệ song song . . . . . . . . . 2 II. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc . . . . . 2 3. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . . . . . . 2 III. Phương pháp xác định các loại góc trong không gian . . . . . . . . . . . 3 1. Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (cắt nhau nhưng không vuông góc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Góc giữa hai mặt phẳng (cắt nhau) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 IV. Phương pháp xác định khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . . . . . . . . . . 4 2. Khoảng cách giữa 2 đối tượng song song nhau . . . . . . . . . . 4 3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b chéo nhau . . . . . . . 4 V. Một số vấn đề về khối đa diện lồi, khối đa diện đều . . . . . . . . . . . . 5 1. Tính chất của một hình đa diện, khối đa diện . . . . . . . . . . 5 2. Bảng tổng hợp tính chất của các đa diện đều . . . . . . . . . . . 5 VI. Một số công thức tính toán hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. Công thức tính toán hình học liên quan đến tam giác . . . . . 6 2. Công thức tính toán hình học liên quan đến tứ giác . . . . . . 7 3. Công thức thể tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ . . . . 8 4. Công thức tính toán với các khối nón - trụ - cầu . . . . . . . . . 8 5. Phương pháp dựng tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . 9 VII. Một số khối đa diện thường gặp trong các đề thi . . . . . . . . . . . . . . 10 1. Hình chóp tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Hình tam diện vuông O.ABC (vuông tại O) . . . . . . . . . . . . 10 3. Hình chóp S.ABC có đường cao SA, AB vuông góc với BC . . . 10 4. Hình chóp S.ABC có cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy là tam giác “thường” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5. Hình chóp S.ABC có 1 mặt bên b “cân tại S” và “dựng đứng” 11 6. Hình chóp tứ giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7. Hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy là “hình chữ nhật” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 8. Hình chóp S.ABCD có 1 mặt bên “cân tại S” và “dựng đứng” . 12 9. Hình hộp chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
0 MỤC LỤC ? Công thức tính nhanh một số khối tứ diện đặc biệt . . . . . . . . . . 13 ? Một số công thức biệt liên quan khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . 14 VIII. Ví dụ giải toán điển hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
Chương 1 DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Hình học không gian (cổ điển) I. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ song song 1. Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng α α α a a A B ∆ ∆ β β b β Nếu 2 mặt phẳng phân biệt (α) và (β) có 2 điểm chung phân biệt A và B thì đường thẳng AB là giao tuyến của chúng. Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt qua 2 đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với cả hai đường thẳng đó hoặc trùng với 1 trong 2 đường thẳng đó. Hai mặt phẳng phân biệt nếu thoả mãn tính chất “mặt phẳng này chứa đường thẳng a, còn mặt phẳng kia song song với a” thì giao tuyến của chúng song song với a. γ γ c β β α α a b b α a b c a β γ Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau tạo thành 3 giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. Cho hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu có mặt phẳng thứ ba cắt mặt phẳng thứ nhất thì mặt phẳng thứ ba đó cắt luôn mặt phẳng thứ hai, đồng thời hai đường giao tuyến tạo thành song song với nhau. 2. Việc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng PP cơ bản: muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với d mặt phẳng (α) ta tìm giao điểm của đường thẳng d đó với 1 đường thẳng ∆ (hợp lý) trong mặt phẳng (α). ∆ I Nếu chưa tìm được đường thẳng ∆ trong (α) như trong α PP cơ bản đã nêu, ta thực hiện 3 bước giải như sau: 1 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
2 CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN) d +o Bước 1: chọn mặt phẳng phụ (β) chứa đường thẳng d . +o Bước 2: tìm giao tuyến ∆ của (β) và mp(α) đã cho. I ∆ +o Bước 3: tìm giao điểm I của ∆ và đường thẳng d . α DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN 3. Một số định lý về nhận dạng quan hệ song song Muốn chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó nằm ngoài mặt phẳng đồng thời song song với 1 đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng. Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau ta chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia. II. Một số vấn đề cơ bản về quan hệ vuông góc 1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng d β α d d Q a P b ∆ P P (α) ⊥ (P )     d ⊥ a ⊂ (P )   (P ) ⊥ (Q )  d ⊥ b ⊂ (P ) ⇒ d ⊥ (P ) (β) ⊥ (P ) ⇒ d ⊥ (P ) d ⊂ (Q ) ⇒ d ⊥ (P )    a∩b = I d = (α) ∩ (β) d ⊥ ∆ = (P ) ∩ (Q )    Muốn chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. Xét 2 mặt phẳng vuông góc với nhau: nếu trong mặt phẳng này có 1 đường thẳng vuông góc với giao tuyến của chúng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia. 2. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với d nhau ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia ( d ⊥ (P ) ∆ ⇒d⊥∆ ∆ ⊂ (P ) P 3. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng kia. Q ( d ⊥ (P ) ⇒ (P ) ⊥ (Q ) d ⊂ (Q ) P www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
3 III. Phương pháp xác định các loại góc trong không gian 1. Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a0 và b0 cắt nhau lần lượt song song hoặc trùng với hai đường thẳng a, b đó. DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (cắt nhau nhưng không vuông góc) Bước 1: Xác định giao điểm I của d và (α) (góc cần vẽ có đỉnh đặt tại đây) d A Bước 2: Tìm hình chiếu vuông góc d 0 của d lên (α) +o Trên d , lấy điểm A khác I . ϕ I +o Tìm hình chiếu A 0 của A trên (α) 0 α A +o Kẻ đường thẳng nối I và A 0 , đó chính là d 0 Bước 3: Xác định góc ϕ = (à d, (α)) = ( d, d 0 ). d ? Lưu ý: Nếu đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (β) vuông góc với (α) thì góc hợp bởi d và (α) bằng góc hợp bởi d với giao tuyến của (α) và (β). ϕ I (giao tuyến của (α) và (β) trong trường hợp này α chính là hình chiếu vuông góc của d lên (α)) 3. Góc giữa hai mặt phẳng (cắt nhau) Bước 1: xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng (α) và (β). β Bước 2: tìm 2 đường thẳng a, b cắt nhau, cùng c vuông góc với giao tuyến c, lần lượt nằm trong 2 a mặt phẳng (α) và (β). I Bước 3: xác định góc giữa 2 mặt phẳng (α) và (β): α a, b) 6 90◦ . góc đó chính là góc ( ? Lưu ý: góc giữa 2 mặt phẳng được định nghĩa là b góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó. α α M M d ∆ d ϕ I N β N β ? Đặc biệt: Nếu có đường thẳng ∆ vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) và (β) mà đường thẳng ∆ đó đi qua 2 điểm M ∈ (α) và N ∈ (β) , để xác định góc giữa 2 mặt phẳng (α) và ¡ ¢ (β), từ điểm N ta vẽ N I ⊥ d tại I ∈ d . Khi đó ((á α), (β)) = M I N. www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
4 CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN) IV. Phương pháp xác định khoảng cách 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Bài toán cơ bản 1: Cho M là hình chiếu vuông góc của điểm S ∉ (β) lên α DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN mặt phẳng (β). Để tính ¡khoảng cách từ điểm M đến mặt S phẳng nằm nghiêng (α) qua S và cắt (β) ta làm như sau: ¢ H +o Bước 1: Xác định giao tuyến d của (α) và (β). d +o Bước 2: Từ M , vẽ M I ⊥ d tại I ∈ d . I +o Bước 3: Vẽ MH ⊥ SI tại H ∈ SI thì d M, (α) = MH . ¡ ¢ M β Bài toán cơ bản 2: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau, điểm M ∈ (β). Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) ta làm như sau: α +o Bước 1: Xác định giao tuyến d của (α) và (β). H d M +o Bước 2: vẽ MH ⊥ d tại H ∈ d thì d M, (α) = MH . β ¡ ¢ Một số lưu ý: A M A B B A C I 0 0 A0 B 0 A B α α α B d A, (α) ¡ ¢ AI ¢ 3.VM ABC d A, (α) = d B, (α) ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢= d M, ( ABC ) = d B, (α) ¡ BI S 4 ABC 2. Khoảng cách giữa 2 đối tượng song song nhau Khoảng cách giữa d và d 0 (song song nhau) là khoảng cách từ điểm M ∈ d đến d 0 . Khoảng cách giữa d và (α) (song song nhau) là khoảng cách từ điểm M ∈ d đến (α). Khoảng cách giữa (α) và (β) (song song nhau) là khoảng cách từ điểm M ∈ (α) đến (β). 3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b chéo nhau a A a M A α b B b β P B Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (a và b) bằng độ dài đoạn vuông góc chung của chúng (tức đoạn thẳng AB có A ∈ a, B ∈ b và AB ⊥ a, AB ⊥ b). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này và một mặt phẳng song song với nó đồng thời chứa đường thẳng kia. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song với nhau lần lượt chứa 2 đường thẳng đó. www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
5 V. Một số vấn đề về khối đa diện lồi, khối đa diện đều 1. Tính chất của một hình đa diện, khối đa diện Hai đa giác phân biệt chỉ có thể: hoặc là không có điểm chung, hoặc chỉ có 1 đỉnh chung, hoặc chỉ có 1 cạnh chung. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 đa giác. DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Mỗi cạnh của bất kỳ đa giác nào cũng đều là cạnh chung của đúng 2 đa giác. Bất cứ hình đa diện nào cũng có thể phân chia thành nhiều khối tứ diện. Bất cứ hình đa diện nào cũng có ít nhất 4 đỉnh, ít nhất 4 mặt và ít nhất 6 cạnh. Hình chóp có mặt đáy là n-giác thì có (n + 1) đỉnh, (2 n) cạnh và (n + 1) mặt. Hình lăng trụ có mặt đáy là n-giác thì có (2 n) đỉnh, (3 n) cạnh và (n + 2) mặt. Mp Một hình đa diện có M mặt, mỗi mặt có p cạnh thì có cạnh. 2 Với một đa diện lồi bất kỳ có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì M + C − Đ = 2 (định lý Euler). Khối đa diện là phần không gian giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Khối đa diện lồi là một khối đa diện mà đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ của khối đa diện đó luôn thuộc vào chính nó. 2. Bảng tổng hợp tính chất của các đa diện đều Tứ diện đều H.lập phương Bát diện đều 12 mặt đều 20 mặt đều Số Số Số Số mặt Số trục Bán kính Tên đa diện Loại Thể tích đỉnh cạnh mặt đ.xứng đ.xứng mc ng.tiếp p 3 p 2c 6c Tứ diện đều {3;3} 4 6 4 6 3 V= R= 12 p4 3c H.lập phương {4;3} 8 12 6 9 9 V = c3 R= p 3 p2 2c 2c Bát diện đều {3;4} 6 12 8 9 V= R= 3 2 12 mặt đều {5;3} 20 30 12 15 20 mặt đều {3;5} 12 30 20 15 Ký hiệu { p; q} cho biết p là số cạnh của mỗi mặt, q là số mặt đi qua mỗi đỉnh www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
6 CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN) VI. Một số công thức tính toán hình học 1. Công thức tính toán hình học liên quan đến tam giác Đối với tam giác đều A p DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN (cạnh) × 3 +o Độ dài đường cao: h = 2 p (cạnh) × 3 O +o Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = 3p (cạnh) × 3 B H C +o Bán kính đường tròn nội tiếp: r = 6 Đối với tam giác vuông cân A p +o Độ dài cạnh huyền: cạnh huyền = (cạnh góc vuông) × 2 cạnh huyền +o Độ dài cạnh góc vuông: cạnh góc vuông = p 2 B C Hệ thức lượng trong tam giác vuông +o a2 = b2 + c2 +o ah = bc A +o b2 = b0 .a +o c2 = c0 .a c b bc 1 1 1 +o h = p +o 2 = 2 + 2 h ma b2 + c2 h b c +o h2 = b0 .c0 +o a = 2.m a c0 b0 b0 b2 c0 c2 B H M C +o = +o = a a a2 a a2 Hệ thức lượng trong mọi tam giác +o Định lý côsin: a2 = b2 + c2 − 2bc cos A A b 2 + c 2 − a2 +o Công thức tính góc: cos A = 2 bc a b c c b +o Định lý sin: = = = 2R ma sin A sin B sin C b 2 + c 2 a2 +o Định lý trung tuyến: m2a = − 2 4 B a M C Công thức tính diện tích tam giác p (cạnh)2 × 3 +o Diện tích của tam giác đều: S4đều = 4 +o Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích của hai cạnh góc vuông. +o Diện tích của mọi tam giác (bất kỳ): 1 1 abc p S 4 ABC = a.h a = bc sin A = = pr = p( p − a)( p − b)( p − c) 2 2 4R a+b+c * h a : đường cao ứng với cạnh đáy a. * p= : nửa chu vi 2 * R : bán kính đường tròn ngoại tiếp * r : bán kính đường tròn nội tiếp S 4 AB0 C 0 AB0 AC 0 +o Công thức tỉ số diện tích: = · , trong đó B0 ∈ AB, C 0 ∈ AC . S 4 ABC AB AC www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
7 Định lý Menelaus Định lý Ceva A A M A K B NC N M × × =1 N MB K C N A M DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN K B C B K C ( M, N, K thẳng hàng) ( AK, BN, CM đồng quy) 2. Công thức tính toán hình học liên quan đến tứ giác Đối với hình vuông A D p +o Độ dài đường chéo: đường chéo = (cạnh) × 2 đường chéo +o Độ dài cạnh: cạnh = p 2 2 (đường chéo) 2 +o Diện tích hình vuông: Shv = (cạnh) = B C 2 Đối với hình chữ nhật A D +o Độ dài đường chéo hình chữ nhật: q 2 2 đường chéo = (chiều dài) + (chiều rộng) +o Diện tích: Shcn = (chiều dài) × (chiều rộng) B C Đối với hình thang A D +o Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân với chiều cao: (đáy lớn) + (đáy bé) S h.thang = × (đường cao) 2 B H C Đối với hình bình hành A D +o Diện tích h.bình hành bằng cạnh nhân với đường cao S h.bình hành = (cạnh BC ) × (đường cao AH ) +o Diện tích hình bình hành bằng tích của 2 cạnh kề nhân với sin của một góc B H C S h.bình hành = (cạnh AB) × (cạnh BC ) × sin ABC Đối với hình thoi A +o Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo (đường chéo 1) × (đường chéo 2) O S h.thoi = B D 2 ? Đặc biệt: hình thoi có góc 60◦ hoặc 120◦ có diện tích p (cạnh)2 × 3 C S h.thoi (ĐB) = 2 Với tứ giác lồi có 2 đường chéo vuông góc: diện tích bằng nửa tích của 2 đường chéo. www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
8 CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN) 3. Công thức thể tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ Vlăng trụ = S mặt đáy × h 1 h DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN h Vkhối chóp = S mặt đáy × h 3 Công thức dùng để tính tỉ số thể tích: S S SA a= S A0 A0 C0 C0 0 D0 SB B b= SB0 0 A0 SC B A D c= A C SC 0 SD B C d= B SD 0 VS.A 0 B0 C 0 S A 0 SB0 SC 0 VS.A 0 B0 C 0 D 0 a + b + c + d = · · = VS.ABC S A SB SC VS.ABCD 4abcd A0 C0 A0 D0 P M M 0 0 B B0 Q C N A C A P D N B B C 0 0 0 V 1 AM BN CP VMNPQ.A 0 B0 C 0 D 0 1 A0 M C0 P µ ¶ µ ¶ MNP.A 0 B0 C 0 = + + = + VABC.A B C 0 0 0 3 A A 0 BB0 CC 0 VABCD.A 0 B0 C 0 D 0 2 A A 0 CC 0 4. Công thức tính toán với các khối nón - trụ - cầu O Đối với hình nón - hình nón cụt +o Diện tích mặt đáy: Sđáy = π r 2 h0 l0 +o Diện tích xung quanh: Sxq = π rl h l +o Diện tích toàn phần: Stp = Sđáy + Sxq 0 I 0 r 1 1 +o Thể tích: Vnón = Sđáy .h = π r 2 h A0 3 3 +o Chu vi đường tròn đáy: C = 2π r +o Góc ở đỉnh nón: 2β = 2 IO A r I 0 µ 0 ¶3 µ 0 ¶3 µ 0 ¶3 r V(O,I h l 0 ,r 0 ) A +o Tỉ số thể tích: = = = V(O,I,r) r h l 1 ³ ´ +o Thể tích hình nón cụt có hai đáy ( I, r ) và ( I 0 , r 0 ) là: Vnón cụt = π h r 2 + rr0 + r 0 2 3 +o Diện tích xung quan hình nón cụt nêu trên là: Sxq (nón cụt) = π r + r 0 l ¡ ¢ www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
9 Đối với hình trụ +o Diện tích mặt đáy: Sđáy = π r 2 I0 r0 A0 +o Diện tích xung quanh: Sxq = 2π rl +o Diện tích toàn phần: Stp = 2Sđáy + Sxq I DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN r +o Thể tích: Vtrụ = Sđáy .h = π r 2 h A +o Chu vi đường tròn đáy: C = 2π r Đối với hình cầu +o Diện tích mặt cầu: Smặt cầu = 4πR 2 I R 4 +o Thể tích khối cầu: Vkhối cầu = πR 3 M 3 5. Phương pháp dựng tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S S S d d H H K I I I A A A O O O B b2 r r 1 2 1 R mc = R 2d + h R mc = R mc = R 2d + R 2b − ( gt)2 4 2h 4 ? Một số lưu ý: +o Một hình chóp nội tiếp được một mặt cầu khi và chỉ khi mặt đáy của nó là một đa giác nội tiếp được đường tròn. +o Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp luôn nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy hình chóp. Với hình chóp có cạnh bên (S A chẳng hạn) vuông góc với mặt đáy +o Gọi d là trục của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy thì d chứa tâm I . +o Gọi H là trung điểm của cạnh bên (vuông với đáy). Khi đó I H ∥ AO và I H là 1 đường trung trực của cạnh bên S A . Với hình chóp đều +o Gọi SO là đường cao của hình chóp đều thì SO chứa tâm I . +o Gọi H là trung điểm của cạnh bên S A . Khi đó I H là 1 đường trung trực của cạnh bên S A . Với hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với mặt đáy +o Gọi d là trục của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy thì d chứa tâm I . +o Gọi K tâm của đường tròn ngoại tiếp mặt bên (vuông với đáy). Khi đó IK là trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên đó. www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
10 CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN) VII. Một số khối đa diện thường gặp trong các đề thi 1. Hình chóp tam giác đều S S S DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN b I α C A C A C A ϕ d O M O O B B B Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: α = S AO = SBO = SCO Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ϕ = SMO b tan ϕ r 1 Công thức tính độ dài đường cao: h = b2 − d 2 = q 3 tan2 ϕ + 4 p d 2 3 b2 − d 2 d 3 tan ϕ d 3 tan α Công thức thể tích khối chóp tam giác đều: V = = = 12 24 12 2 b Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R = 2h Khoảng cách giữa 2 cạnh đối diện nhau: d(S A, BC ) = d( M, S A ) Tâm mặt cầu ngoại tiếp luôn thuộc SO đồng thời cách đều 2 điểm S và A . 2. Hình tam diện vuông O.ABC (vuông tại O) OH ⊥ ( ABC ) tại H A A ⇔ H là trực tâm của 4 ABC E 1 1 1 1 I = + + OH 2 OA 2 OB 2 OC 2 H G Bán kính mặt cầu ngoại tiếp O C O C 1p M R= O A 2 + OB2 + OC 2 B B 2 Đặt a = O A, b = OB, c = OC và S1 = S4O AB ; S2 = S4OBC ; S3 = S4O AC thì p abc 2S 1 S 2 S 3 VO.ABC = = 6 3 3. Hình chóp S.ABC có đường cao SA, AB vuông góc với BC AH ⊥ (SBC ), BC ⊥ (S AB), S S SC ⊥ ( AHK ), SC ⊥ (BMN ), K BM ⊥ (S AC ). I N ((SBC á ), (S AC )) = AK H = BN M H O M ((SBC á . ), ( ABC )) = SBA A C A C ¡ ¢ ¡ ¢ d A, (SBC ) = AH, d M, (S AC ) = BM B B www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
11 Tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC (trường hợp này) là trung điểm I của cạnh bên SC . Tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện lồi HK.ABC là trung điểm O của cạnh đáy AC . Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCMN là trung điểm của cạnh đáy BC . Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B.S AMN là trung điểm của cạnh bên SB. DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN 4. Hình chóp S.ABC có cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy là tam giác “thường” S S ((SBC á ), ( ABC )) = SM A ¡ ¢ d A, (SBC ) = AH . ¡ ¢ ¡ ¢ d A, (S AC ) = d B, AC H Nếu mặt đáy ABC cân tại A T A C A C (hoặc mặt đáy ABC đều) thì M là trung điểm của cạnh M ∆ B K B BC , ngoài ra SB = SC . ¡ ¢ ¡ ¢ Khoảng cách giữa 2 cạnh đối diện SB và AC : d SB, ACr= d AC, (SBK ) = AT 1 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R = R 2d + h2 4 (trong đó đường cao h = S A và R d là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt đáy ABC ) 5. Hình chóp S.ABC có 1 mặt bên b “cân tại S” và “dựng đứng” S S Nếu 4 ABC vuông tại A thì M là trung điểm cạnh AB N là trung điểm cạnh AC ((S AB á ), ( ABC )) = SMH P Q T ((S AC ), ( ABC )) = SN H B C B C H H á ¡ ¢ ¡ ¢ N d A, (SBC ) = d A, BC M K ¡ ¢ ¡ ¢ d H, (S AB) = HP, d H, (S AC ) = HQ A A ¡ ¢ ¢ ¡ Khoảng cách giữa hai cạnh S A và BC là d S A, BC = d BC, (S AK ) = AT q Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R = R 2d + R 2b − 14 ( gt)2 (R d , R b : bán kính đ.tròn ngoại tiếp mặt đáy và mặt bên, gt: giao tuyến của chúng) 6. Hình chóp tứ giác đều S S S A A I A H D D D B O E B O O B C C C www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
12 CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: α = S AO = SBO = SCO = SCO Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ϕ = SEO b tan ϕ r 1 Công thức tính độ dài đường cao: h = b2 − d 2 = q 2 p tan2 ϕ + 2 2 3 2 d 4b − 2d 2 d tan ϕ DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Công thức thể tích: V = = 6 6 b2 Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp (mọi hình chóp đều): R = 2h Tâm mặt cầu ngoại tiếp luôn thuộc SO đồng thời cách đều 2 điểm S và A . 7. Hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy là “hình chữ nhật” BC ⊥ (S AB), S S AH ⊥ (SBC ), P K CD ⊥ (S AD ), I AK ⊥ (SCD ), H N T SC ⊥ ( AHPK ), D D A A O BD ⊥ (S AE ), O M E AT ⊥ (SBD ) B C B C ((SBC á ), ( ABCD )) = SBA ; ((SCD á ), ( ABCD )) = SD A ; ((SBD á ), ( ABCD )) = SE A ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ d A, (SBC ) = AH ; d A, (SCD ) = AK ; d A, (SBD ) = AT ; d SB, AC = AN 1 1 1 1 = + + AT 2 S A 2 AB2 AD 2 ? Chú ý: nếu ABCD là hình vuông thì E ≡ O; AM ∥ OB; AHs = AK ; HK ∥ BD µ ¶2 h Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R = R 2d + 2 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là trung điểm I của cạnh bên SC Mặt cầu ngoại tiếp đa diện lồi HPK.ABCD có tâm là tr.điểm O của mặt đáy ABCD Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHPK có tâm là trung điểm của đường cao S A 8. Hình chóp S.ABCD có 1 mặt bên “cân tại S” và “dựng đứng” CD ⊥ (SHE ), S S HK ⊥ (SCD ), N AM ⊥ (SBC ), K BN ⊥ (S AD ), M A A D D HT ⊥ (SBD ) T E H ¡ ¢ H d A, (SBC ) = AM M ¡ ¢ B C B C d B, (S AD ) = BN ((SBC á ), ( ABCD )) = SBA ; ((SCD á ), ( ABCD )) = SEH ; ((SBD á ), ( ABCD )) = SMH www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
13 q Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R = R 2d + R 2b − 14 ( gt)2 (R d , R b : bán kính đ.tròn ngoại tiếp mặt đáy và mặt bên, gt: giao tuyến của chúng) 9. Hình hộp chữ nhật DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật: A b D O p AC 0 = a2 + b 2 + c 2 a 1 G Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R = AC 0 B c C 2 I p Thể tích hình hộp chữ nhật: Vhhcn = abc = S1 S2 S3 A0 D0 (S 1 , S 2 , S 3 là diện tích của 3 mặt chung 1 đỉnh của hhcn) 1 Thể tích khối chóp BD A 0 C 0 : VBD A 0 C0 = Vhình hộp B0 C0 3 Công thức tính nhanh thể tích của một số khối tứ diện đặc biệt Điều kiện Công thức tính thể tích abc p 1 − cos2 α − cos2 β − cos2 γ + 2 cos α cos β cos γ ( S A = a, SB = b, SC = c V= 6 = α, BSC ASB = β, CS A = γ (biết 3 cạnh chung đỉnh và 3 góc tại đỉnh đó) 1 V = abd. sin α ( S A = a, BC = b 6 d(S A, BC ) = d ; (S á A, BC ) = α (biết 2 cạnh đối diện; khoảng cách và góc giữa chúng) ( 2S 1 S 2 sin ϕ S A = a, S S AB = S 1 , S S AC = S 2 V= 3a ((S AB á ), (S AC )) = ϕ (biết 1 cạnh; diện tích và góc giữa 2 mặt kề với nó)  S A = a, SB = b, SC = c 1 V = .abc. sin α sin β sin ϕ    = α, ASB ASC = β 6  ), (S AC )) = ϕ (biết 3 cạnh chứa đỉnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc nhị diện)  ((S AB  á p 2p 2  S A = BC = a  V= (a + b2 − c2 )( b2 + c2 − a2 )(a2 + c2 − b2 ) SB = AC = b 12  SC = AB = c (biết các cặp cạnh đối diện bằng nhau)  2 1  2 2 2 2 2 2 2  M = a x (b + c + y + z − a − x )    N = b2 y2 (a2 + c2 + x2 + z2 − b2 − y2 )   P = c2 z2 (a2 + b2 + x2 + y2 − c2 − z2 ) ( S A = x, SB = y, SC = z     BC = a, AC = b, AB = c Q = (abc)2 + (a yz)2 + ( x yc)2 + ( xbz)2  1p V= M + N +P −Q 12 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
14 CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN) Một số công thức về hình, khối đặc biệt liên quan khối tròn xoay Công thức Hình minh hoạ DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN S xq = 2πRh = π( r 2 + h2 ) h h πh 2 H µ ¶ 2 Vchỏm cầu = π h R − = (h + 3r2 ) r 3 6 R O S xq = π r ( h 1 + h 2 ) h2 2 h1 + h2 µ ¶ V = πr h1 2 O r 2 2 h Vhình nêm = r 3 tan ϕ = r 2 h r 3 3 ϕ O r r s 3 µ 0 ¶3 r r 4 S 0  h0  r S parabol = rh ; = = 3 S h r h h 1 r0 Vparabolic = π r 2 h h0 2 B S elip = πab b 4 a Vquay quanh 2a = πab2 A 0 A 3 O 4 Vquay quanh 2b = πa2 b 3 B0 A A Quay mọi tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta sẽ được hình tròn xoay có 2 4π S 4 ABC B V= · H 3 µAB C AC + BC ¶ S xq = 2πS 4 ABC AB H B C www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
15 VIII. Ví dụ giải toán điển hình | Ví dụ 1. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC .Tính góc hợp bởi hai đường thẳng dưới đây: a) AM và SC . b) SM và NC . DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN $ Lời giải ? Phương pháp cổ điển S S Để tính được góc giữa hai đường thẳng chéo nhau 2a N thường ta dựng thêm một đường thẳng song song với 1 trong 2 đường thẳng đó và A C A C cắt đường thẳng còn lại. a M a M Góc giữa AM & SC dễ dựng hơn góc giữa SM & NC ! B B Câu a. Gọi K là trung điểm cạnh SB thì MK ∥ SC , do đó ( AM, á SC ) = ( AM, á MK ) p 2S A 2 + AB2 SB2 3a2 1 a 3 Ta có AK = − = ; MK = SC = a ; AM = 2 4 2 p 2 2 2 2 2 AM + MK − AK 3 ≈ 81◦ 420 . 4 AMK có cos AMK = = ⇒ ( AM, á SC ) = AMK 2.AM.MK 12 Câu b. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AM thì N I ∥ SM , do đó (SM, á NC ) = ( N á I, NC ) p p p a 6 1 1 p a 15 p a 7 Ta có NC = AK = ; N I = SM = 2 SC − MC = 2 2 ; IC = I M + CM = 2 2 2 2 p 4 4 2 2 2 N I + NC − IC 4 10 4 I NC có cos I NC = = ⇒ (SM, á NC ≈ 32◦ 300 . NC ) = I 2.N I.NC 15 S z S S N 2a 2a K x A C A C C A I a H a M a M M B B y B ? Phương phápptoạ độ p r r p a 3 a 3 2 1 2 2 1 2 a 33 Ta có AM = ; AH = ; SH = b − d = (2a) − a = . 2 6 3 3 3 Gắn hệ trục Mx yz (như hình vẽ) với toạ độ các điểm như sau: Ãp ! Ãp ! Ãp p ! Ãp p ! 3 1 3 3 33 3 33 µ ¶ M (0; 0; 0) ; A ; 0; 0 ; C 0; − ; 0 ; H ; 0; 0 ⇒ S ; 0; ⇒N ; 0; 2 2 6 6 3 3 6 Đến đây dùng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta giải được cả 2 câu a và b. ¯ # » # »¯ ¯ # » # »¯ ¯ AM.SC ¯ ¯SM. NC ¯ cos (SM, á SC ) = ; cos (SM, á NC ) = AM.SC SM.NC www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
16 CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN) | Ví dụp 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, S A = a 3 và S A vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau đây: a) SC và (S AB) b) AC và (SCD ) $ Lời giải DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Câu a. Ta có SC ∩ (S AB) = S ( BC ⊥ AB Do nên BC ⊥ (S AB) tại B. Do đó S BC ⊥ S A (SC, á (S AB)) = (SC, á SB) = BSC E a 3 p p 4S AB vuông tại A có SB = S A 2 + AB2 = 2a 4SBC vuông tại B có tan BSC = BC = 1 ⇒ BSC = 45◦ SB 2a A D Vậy (SC, á (S AB)) = 45◦ a Câu b. Ta có AC ∩ (SCD ) = C Vẽ AE ⊥ SD tại E ∈ SD thì ... AE ⊥ (SCD ) B C Như vậy ( AC, á (SCD )) = ( AC, á CE ) = ACE p p S A.AD 2a 3 p p AE 2 105 Ta có AE = p = p ; AC = AB2 + BC 2 = a 5 ; sin ACE = = S A 2 + AD 2 7 AC 135 ◦ 0 Vậy ( AC, á (SCD )) ≈ 35 50 . | Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, BD = 3a, mặt bên S AB làptam giác cân tại S đồng thời nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết SB = a 5, hãy tính góc hợp bởi các cặp mặt phẳng sau đây: a) (SCD ) và ( ABCD ) b) (SBD ) và ( ABCD ) c) (SBC ) và (S AD ) $ Lời giải Gọi H là trung điểm của cạnh AB thì SH ⊥ AB (do 4S AB cân tại S )  (S AB) ⊥ ( ABCD )  Mà SH ⊂ (S AB) nên SH ⊥ ( ABCD ). S  AB = (S AB) ∩ ( ABCD )  p 4SHB vuông tại H có SH = SB2 − HB2 = 2a. p p 4 ABD vuông tại A có AD = BD 2 − AB2 = a 5 A Câu a. Gọi K là trung điểm cạnh CD ta có D ( H K CD ⊥ HK ⇒ CD ⊥ (SHK ) ⇒ CD ⊥ SK I CD ⊥ SH B C  CD = (SCD ) ∩ ( ABCD )  Do CD ⊥ HK ⊂ ( ABCD ) nên ((SCD á), ( ABCD )) = (SK, á HK )  CD ⊥ SK ⊂ (SCD )  SH 2a 2 4SHK vuông tại H có tan SK H= = p = p ⇒ SK H ≈ 41◦ 480 HK a 5 5 Vậy ((SCD á ), ( ABCD )) ≈ 41◦ 480 . www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
17 Câu b. Vẽ H I ⊥ BD tại I ∈ BD , ta sẽ chứng minh được BD ⊥ (SH I ) và BD ⊥ SI . Với kết quả đó ta tiếp tục chứng minh được ((SBD á ), ( ABCD )) = (á SI, H I ) p p H I BH AD.BH a 5.a a 5 Ta có 4BI H v 4BAD nên = ⇒ HI = = = AD BD BD 3a 3 DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN SH 6 Cuối cùng tan SI H= = p , do đó ((SBD á ), ( ABCD )) = SI H ≈ 69◦ 330 . IH 5 Câu c. Do (SBC ) và (S AD ) có chung điểm S và có BC ∥ AD nên giao tuyến ∆ của chúng đi qua đỉnh S và song song với hai cạnh BC , AD . Hình chóp S.ABCD này có tính chất SB ⊥ BC và S A ⊥ AD vì thế SB ⊥ ∆ và S A ⊥ ∆ Như vậy ((SBC á ), (S AD )) = (SB, á ≈ 53◦ 80 . SC ) = 2.BSH | Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng a, cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60◦ . a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD ) $ Lời giải Câu a. Do SC ∩ ( ABCD ) = C và S A ⊥ ( ABCD ) nên (SC,á ( ABCD )) = (SC, á SC A = 60◦ AC ) ⇒ SA Tam giác S AC vuông tại C có tan SC A = S AC p ◦ p ⇒ S A = AC. tan SC A = a 2. tan 60 = a 6 H p 1 1 2 p a3 6 Vậy VS.ABCD = S ABCD .S A = .a .a 6 = 3 3 3 Câu b. Vẽ AH ⊥ SD tại H ∈ SD ta sẽ chứng minh được A D AH ⊥ (SCD ) tại H ∈ (SCD ) p S A.AD a 42 B C Suy ra d( A, (SCD )) = AH = p = . S A 2 + AD 2 7 | Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với CD = a, AB = AD = 2a, mặt bên S AD cân tại S đồng thời nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa (SBC ) và ( ABCD ) bằng 60◦ . Tính theo a a) Thể tích của khối chóp S.ABCD b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) $ Lời giải Câu a. Gọi H là trung điểm cạnh AD thì SH ⊥ ( ABCD ) Vẽ H I ⊥ BC tại I ∈ BC ta được BC ⊥ SI , từ đó ((SBC á ), ( ABCD )) = SI H = 60◦ . www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/
18 CHƯƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN) 1 Hình thang ABCD có S ABCD = ( AB + CD ).AD = 3a2 S 2 2 3a Suy ra S4HBC = S ABCD − S4H AB − S4HCD = p 2 2S 4HBC 3 a2 3a 5 Từ đó I H = = p = BC a 5 5 p p DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN A B 3a 5 ◦ 3a 15 M SH I có SH = I H. tan SI H = tan 60 = H p p 5 5 2 3 3a 3a 15 3a 15 I Vậy V = · = 3 5 5 D p C 3 1 a 15 Câu b. S4 ABC = S ABCD − S4 ACD = 2a2 ⇒ VS.ABC = S4 ABC .SH = p 3 5 p 6a 5 1 4SI H có SI = SH 2 + I H 2 = ⇒ S 4SBC = BC.SI = 3a2 5 p 2 3VS.ABC a 15 Như vậy d( A, (SBC )) = = S 4SBC 5 | Ví dụ 6. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông p tại B, BC = a, mp( A BC ) tạo với đáy một góc 30 và ∆ A BC có diện tích bằng a 3. Tính 0 ◦ 0 2 thể tích khối lăng trụ. $ Lời giải ( BC ⊥ AB Do nên BC ⊥ A 0 B A0 C0 BC ⊥ A A 0  BC ⊥ AB ⊂ ( ABC )  Do BC ⊥ AB ⊂ ( A 0 BC ) nên (( A 0 BC á 0 ), ( ABC )) = ABA B0  BC = ( ABC ) ∩ ( A 0 BC )  p 0 2.S 4 A 0 BC 2a2 3 p A Ta có A B = = = 2 a 3. BC a C p 30 4 ABA có AB = A B · cos ABA 0 = 2a 3 · cos 30◦ = 3a 0 0 ◦ p p A A 0 = A 0 B · sin ABA 0 = 2a 3 · sin 30◦ = a 3 B p 1 1 p 3 a3 3 Vậy VABC.A 0 B0 C0 = B · h = S ABC · A A 0 = AB · BC · A A 0 = · 3a · a · a 3 = . 2 2 2 | Ví dụ 7. pCho hình chóp S.ABC có đường cao S A = a, AB vuông góc với BC , các cạnh AB = a 3 và AC = 2a. Một mặt phẳng (α) đi qua điểm A vuông góc với cạnh SB, cắt SB và SC lần lượt tại M và N . Tính theo a thể tích của khối chóp A.BCN M . $ Lời giải S Dễ dàng chứng minh được BC ⊥ (S AB) và BC ⊥ SB Do SB ⊥ ( AMN ) nên SB ⊥ AM và SB ⊥ MN N ( M BC ⊥ SB SM SN Xét trong ( AMN ), ⇒ MN ∥ BC ⇒ = MN ⊥ SB SB SC SM SN A C Do VS.AMN = . .VS.ABC nên SB SC SM 2 µ ¶ VA.BCN M = 1 − VS.ABC SB2 B www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui/