một số bài toán ứng dụng cực trị và cực đối

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

241
lượt xem 45
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cực và đối cực được áp dụng để giải khá nhiều các bài toán hình học phẳng. Nhiều bài toán nếu không dùng cực và đối cực thì con đường đến lời giải có lẽ sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Trong bài viết này tôi xin trình bày một số bài toán có sử dụng cực và đối cực để giải quyết. Rất mong được sự góp ý của các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: một số bài toán ứng dụng cực trị và cực đối

M t s bài toán dùng c c và ic c C c và i c c ư c áp d ng gi i khá nhi u các bài toán hình h c ph ng. Nhi u bài toán n u không dùng c c và i c c thì con ư ng n l i gi i có l s ph c t p hơn r t nhi u. Trong bài vi t này tôi xin trình bày m t s bài toán có s d ng c c và i c c gi i quy t. R t mong ư c s góp ý c a các b n. 1. Các bài toán nh ây là các bài toán ch y u ư c suy ra khá tr c ti p t nh ng tính ch t cơ b n c a c c và i c c. Vì th l i gi i c a chúng thư ng r t ng n g n. Cũng có m t s bài toán dùng c c và i c c làm m t bư c m trong l i gi i c a chúng. Bài toán 1 (Australian-Polish 98): Cho 6 i m A, B, C, D, E, F thu c m t ư ng tròn sao cho các ti p tuy n t i A và D, ư ng th ng BF, CE ng quy. Ch ng minh r ng các ư ng th ng AD, BC, EF ho c ôi m t song song ho c ng quy. Trư ng h p 3 ư ng th ng ó ôi m t song song d th y nên ta ch xét khi chúng có c t nhau. N u g i i m ng quy c a BF, CE là K thì KA, KD là các ti p tuy n c a K v i ư ng tròn nên AD là ư ng i c c c a K. Theo như tính ch t c a t giác n i ti p thì BC và EF s c t nhau t i 1 i m thu c ư ng i c c c a K, t c thu c AD. Bài toán 2: Cho tam giác ABC. ư ng tròn n i ti p (I) ti p xúc v i BC, CA, AB l n lư t t i D, E, F. K là m t i m b t kỳ thu c ư ng th ng EF. BK, CK c t AC, AB l n lư t t i E’, F’. Ch ng minh r ng E’F’ ti p xúc v i
(I). G i giao i m c a DK và (I) là J và qua J k ti p tuy n v i (I) c t AC, AB t i M, N. Ta th y r ng EF, DJ, BM và CN ng quy. Rõ ràng i m ng quy ó là K nên M trùng v i E’, N trùng v i F’, t c E’F’ ti p xúc v i (I). Chú ý là trong bài toán này thì i m K có th di chuy n trên c ư ng th ng EF mà k t qu không thay i. Hơn n a n u g i D’ là giao i m c a E’F’ v i BC thì tương t cũng có CF’, AD’, FD và AD’, BE’, DE ng quy. Phát bi u l i thì có i u ki n c n và m t ư ng th ng ti p xúc v i ư ng tròn n i ti p như sau: Cho tam giác ABC. ư ng tròn n i ti p (I) ti p xúc v i BC, CA, AB l n lư t t i D, E, F. ư ng th ng l c t các c nh BC, CA, AB l n lư t t i D’, E’, F’. Ch ng minh r ng l ti p xúc v i (I) khi và ch khi m t trong 3 i u ki n sau x y ra: i) giao i m c a BE’, CF’ thu c EF. ii) giao i m c a CF’, AD’ thu c FD. iii) giao i m c a AD’, BE’ thu c DE. C n chú ý thêm m t chút n a r ng c 3 i u ki n trên là tương ương nên x y ra 1 i u ki n cũng có nghĩa là c 3 i u ki n u x y ra. Bài toán 3 (MOP 95): Cho t giác ABCD ngo i ti p (O). Ti p i m thu c các c nh AB, BC, CD, DA l n lư t là M, N, P, Q. AN, AP c t (O) t i E, F. Ch ng minh r ng ME, QF, AC ng quy.
G i K là c c c a AC. Xét t giác n i ti p MNPQ thì theo tính ch t c c và i c c c a t giác n i ti p ta có MQ và NP c t nhau t i K. L i xét n t giác n i ti p EFPN thì cũng có EF và NP c t nhau t i K, suy ra MQ và EF c t nhau t i K. Ta th y ME và QF c t nhau t i 1 i m thu c ư ng i c c c a K t c thu c AC hay ME, QF, AC ng quy. Bài toán 4: Cho t giác ABCD n i ti p (O). AC c t BD t i I. (AOB), (COD) c t nhau t i i m L khác O. Ch ng minh r ng G i K là giao i m c a AB và CD. Ta th y KA.KB = KC.KD nên K thu c tr c ng phương c a (AOB) và (COD) nên K, L, O th ng hàng. Suy ra KL.KO = KA.KB = KM.KN (v i M, N là giao i m c a KO v i (O)). T ó suy ra (KOMN) = -1 hay L thu c ư ng i c c c a K. Ta ã bi t là ư ng i c c c a K i qua I nên IL chính là ư ng ic c
c a K, t ó suy ra KO IL. Bài toán 5: Cho tam giác ABC. ư ng tròn ư ng kính AB c t CA, CB t i P, Q. Các ti p tuy n t i P, Q v i ư ng tròn này c t nhau t i R. Ch ng minh r ng CR AB. G i O là trung i m AB và S là giao i m c a PQ và AB. Áp d ng tính ch t c c và i c c vào t giác n i ti p APQB ta th y CR chính là ư ng i c c c a S. Do ó CR OS hay CR AB. Bài toán 6: Cho tam giác ABC. BB’, CC’ là các ư ng cao. E, F là trung i m c a AC, AB. EF c t B’C’ t i K. Ch ng minh r ng AK vuông góc v i ư ng th ng Ơle c a tam giác ABC. G i H, G, O l n lư t là tr c tâm, tr ng tâm và tâm ư ng tròn Ơle c a tam giác ABC. J là giao i m c a FB’ và EC’. Áp d ng nh lí Papuyt cho 2 b 3 i m BFC’ và CEB’ suy ra J, H, G th ng hàng, t c J thu c ư ng th ng Ơle c a tam giác ABC. M t khác, t giác C’FB’E n i ti p ư ng tròn Ơle, và theo tính ch t c c c a t giác n i ti p thì AK là ư ng i c c c a i m J, t ó suy ra AK vuông góc v i OJ t c ư ng th ng Ơle c a tam giác ABC. M r ng ra thêm m t chút, n u như xác nh các i m K, L, M là giao i m
c a các c nh tương ng c a 2 tam giác A’B’C’ và DEF v i A’, B’, C’ là chân các ư ng cao còn D, E, F là trung i m các c nh BC, CA, AB tương ng thì có th th y r ng AK, BL, CM song song v i nhau và cùng vuông góc v i ư ng th ng Ơle c a tam giác ABC. i c c v i ư ng tròn n i ti p: 2. C c và Trong 1 tam giác, ư ng tròn n i ti p làm xu t hi n các ti p tuy n v i nó, và i u này r t thu n l i cho vi c áp d ng c c và i c c. Vì tính li n m ch c a các bài toán v i nhau nên xin không phát bi u t ng bài toán c th riêng r ra. Hãy xét tam giác ABC có (I) là ư ng tròn n i ti p. D, E, F là các ti p i m c a (I) v i các c nh BC, CA, AB tương ng. G i D’, E’, F’ l n lư t là các giao i m c a EF, FD, DE v i BC, CA, AB. Ta th y r ng EF là ư ng i c c c a A, mà D’ thu c EF nên ư ng i c c c a D’ s i qua A. Do D’D là ti p tuy n v i (I) nên AD chính là ư ng i c c c a D’. Tương t BE, CF cũng là các ư ng i c c c a E’, F’. Ta bi t r ng AD, BE, CF ng quy t i 1 i m, g i là K, thì D’, E’, F’ ph i thu c ư ng i c c c a K. T ó suy ra D’, E’, F’ th ng hàng và ư ng th ng D’E’F’ vuông góc v i IK. ư ng th ng D’E’F’ trên ư c g i là ư ng th ng Giécgôn và K ư c g i là
i m Giécgôn. Ta th y D’ là c c c a AD nên ID’ AD. N u h ư ng cao AA’ thì d th y 2 tam giác AA’D, D’DI ng d ng. Gi là ti p tuy n c a nên là ư ng ic cc a i v i (I). Bây gi n u g i là giao i m c a v i (I) thì rõ ràng là ti p tuy n v i (I). L i chú ý r ng do (D’DBC) = -1 nên cũng là ti p tuy n v i ư ng tròn .T ó suy ra (I) và ti p xúc v i nhau. M t khác, t ng th c thu c tr c ng phương c a (I) và ư ng tròn ngo i ti p (O). N u ta xác nh các i m tương t . Thêm n a do là tr c ng phương c a (I) và (O) nên i v i (I) s thu c IO. T ó suy ra DM. Ta bi t r ng ID’ AD. N u có thêm i u ki n IO AD thì 3 i m O, I, D’ th ng hàng, suy ra A, D, M cũng th ng hàng và ư ng th ng ADM s ư ng i c c c a D’ v a i v i (I) v a i v i (O). Ta bi t AM chính là ư ng i trung trong tam giác ABC nên t ó có th phát bi u ư c bài toán: Cho tam giác ABC, ư ng tròn n i ti p ti p xúc v i BC t i D. Ch ng minh r ng n u OI AD thì AD là ư ng i trung c a tam giác ABC.
N u kéo dài các ti p tuy n t i A, B, C cho c t nhau t o thành tam giác MNP thì MD, NE, PF là các ư ng i c c c a D’, E’, F’ i v i (O). Vì D’, E’, F’ th ng hàng nên MD, NE, PF ng quy. Ta phát bi u l i cho cân i hơn thì có bài toán sau: Cho tam giác ABC, ư ng tròn n i ti p ti p xúc v i BC, CA, AB l n lư t t i D, E, F. ư ng tròn n i ti p tam giác DEF ti p xúc v i EF, FD, DE l n lư t t i M, N, P. Ch ng minh r ng AM, BN, CP ng quy. Ta th y r ng DM, EN, CP cũng ng quy. Ta m r ng k t qu trên, li u khi DM, EN, CP ng quy thì AM, BN, CP có luôn ng quy không? ch ng minh kh ng nh trên là úng, ta ch ng minh các c c c a AM, BN, CP th ng hàng. G i M’ là giao i m c a NP và EF thì (MM’EF) = -1 suy ra M’ thu c ư ng i c c c a M. M t khác M’ thu c EF, t c ư ng i c c c a A, nên M’
chính là c c c a AM. Tương t cũng xác nh ư c N’, P’ là các c c c a BN, CP. D th y r ng các i m M’, N’, P’ th ng hàng, t ó suy ra AM, BN, CP ng quy. Th c ra k t qu trên còn ư c m r ng hơn n a, ó là bài toán sau: Cho tam giác ABC. D, E, F thu c BC, CA, AB sao cho AD, BE, CF ng quy. M, N, P thu c EF, FD, DE sao cho DM, EN, FP ng quy. Ch ng minh r ng AM, BN, CP ng quy. Tuy nhiên cách gi i bài toán này l i không dùng c c và i c c, cũng d hi u vì ây không có ư ng tròn nào c . Vì v y tôi xin nêu 1 cách ch ng minh dùng t s kép và nh lí Ceva. G i M1, M’ là l n lư t giao i m c a AM v i BC, AD v i EF. Ta th y r ng t A chi u xuyên tâm thì F, M, M’, E bi n thành B, , D, C nên M t cách t nhiên ta nghĩ n vi c ch ng minh các c c c a chính là giao i m c a các ư ng i c c c a A và . ư ng i c c c a A là EF còn c a là ti p tuy n t i i v i (I). Kí hi u là giao i m c a EF v i ti p tuy n t i c a (I) thì là c c c a . Tương t ta cũng xác
nh ư c và ng d ng) = . Tương t ta cũng có thêm 2 t s n a, nhân chúng l i v i nhau, chú ý là Cho tam giác ABC, ư ng tròn n i ti p ti p xúc v i BC, CA, AB l n lư t t i D, E, F. P là 1 i m b t kỳ trong m t ph ng. PA, PB, PC c t (I) l n lư t t i X, Y, Z. Ch ng minh r ng DX, EY, FZ ng quy. Có th th y r ng d ng phát bi u này là d ng phát bi u ngh ch c a bài toán c a chúng ta. Nhưng cách ch ng minh c a nó thì hoàn toàn là s i ngư c l i nh ng bi n i trên c a ta. Bây gi xét i m M b t kỳ trong m t ph ng, gi s DM c t EF và (I) l n lư t t i Ta bi t r ng . Tương t c c c a là AT, nên c c c a là giao i m c a EF v i AT. Ta g i i m ó là X. Các i m Y, Z xác nh tương t . Khi ó XYZ là ư ng ic cc a i m .
V n c a chúng ta là c n ch ng minh các ư ng th ng PQR, TUV, XYZ ng quy, hay ch ơn gi n là ch ng minh PQ, TU, XY ng quy. ây là 3 ư ng th ng n i 3 c p i m v i nhau, i u ó khi n ta nghĩ n nh lí ơgiácgiơ, theo nh lí này thì ch ng minh PQ, TU, XY ng quy ta c n ph i ch ng minh các giao i m c a PT và QU, TX và UY, XP và YQ th ng hàng. D th y PT là ti p tuy n t i , QU là ti p tuy n t i nên giao i m c a PT và QU chính là c c c a . TX chính là TA, ư ng ic cc a ; UY chính là UB, ư ng ic c ca nên giao i m c a TX và UB chính là c c c a . XP chính là EF, YQ chính là FD nên giao i m c a XP và YQ là i m F. Vy ch ng minh 3 giao i m trên th ng hàng, ta s ch ng minh các ư ng i c c c a chúng ng quy, t c c n ph i ch ng minh s thu ư c i u ph i ch ng minh. Ch ch ng minh cu i cùng này phát bi u riêng ra thành 1 bài toán cũng khá thú v : Cho tam giác ABC, trên các c nh AC, AB l y các i m D, E. BD, CE c t ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC t i M, N tương ng. Ch ng minh r ng DE, MN và ti p tuy n t i A ng quy.
4. ư ng th ng OI và ư ng th ng Ơle: Ph n này tôi xin nói m t chút v tính ch t c a ư ng th ng OI và ư ng th ng Ơle t góc c c và i c c. Các k t qu này không nhi u và còn nhi u v n m . R t mong ư c th o lu n cùng các b n. Trong tam giác ABC, ư ng tròn n i ti p (I) ã t o nên tam giác DEF là các ti p i m c a nó v i các c nh c a tam giác. tam giác DEF này có 1 tính ch t r t c bi t ó là ư ng th ng Ơle c a nó chính là ư ng th ng OI. Bài toán này có khá nhi u cách gi i, có l ng n nh t là dùng phép ngh ch o. Tuy nhiên nó không nêu lên thêm ư c nhi u tính ch t khác. Các l i gi i b ng phép v t cũng r t tuy t. Nhưng ây còn có 1 l i gi i dùng c c và i c c khá c áo, l i gi i ó như sau: Qua I k ư ng th ng vuông góc v i IA, IB, IC c t BC, CA, AB l n lư t t i D’, E’, F’. Ta th y r ng DM và D’D ti p xúc v i (I) nên DM là ư ng i c c c a D’ i v i (I). Tương t EN, FP cũng là các ư ng i c c c a E’, F’ i v i (I). T ó suy ra ư ng th ng D’E’F’ là ư ng i c c c a giao i m c a DM, EN, FP t c tr c tâm H c a tam giác DEF. Suy ra D’E’F’ IH.
K t h p các i u trên l i thì ta có I, O, H th ng hàng, t c pcm. Có th th y l i gi i trên là d a vào vi c d ng ư ng i c c c a tr c tâm H c a tam giác DEF. bài nói v ư ng th ng Ơle, t c còn 1 i m quan tr ng n a là tr ng tâm tam giác DEF. B ng cách tương t ta s d ng ư ng i c c c a tr ng tâm này tìm thêm nh ng tính ch t m i. G i X, Y, Z là trung i m các c nh EF, FD, DE. D th y r ng ư ng ic c c a X, Y, Z l n lư t là các phân giác ngoài góc A, B, C. ư ng i c c c a D, E, F l n lư t là BC, CA, AB cho nên c c c a DX, EY, FZ s là giao i m c a các phân giác ngoài v i các c nh i di n, kí hi u l n lư t là M, N, P. Khi ó MNP là ư ng i c c c a tr ng tâm G c a tam giác DEF, suy ra MNP IG. K t h p v i I, G, O th ng hàng ta suy ra MNP OI. V y ta có bài toán: Cho tam giác ABC, các phân giác ngoài các góc A, B, C c t các c nh i di n l n lư t t i M, N, P. Ch ng minh r ng M, N, P th ng hàng và ư ng th ng MNP vuông góc v i OI. Bây gi n u ta kéo dài các phân giác ngoài các góc A, B, C cho chúng c t nhau t o thành tam giác A’B’C’ (chính là các tâm ư ng tròn bàng ti p) thì d th y r ng A’A, B’B, C’C là các ư ng cao c a tam giác A’B’C’, t c I là tr c tâm c a tam giác này. i u ó có nghĩa là OI chính là ư ng th ng Ơle c a tam giác A’B’C’ vì O là tâm ư ng tròn Ơle c a nó. Ta phát bi u l i k t qu trên i v i tam giác A’B’C’ nhưng thay i tên các i m, ta s có bài toán sau: Cho tam giác ABC, các ư ng cao AA’, BB’, CC’. B’C’, C’A’, A’B’ l n lư t c t BC, CA, AB t i M, N, P. Ch ng minh r ng M, N, P th ng hàng và ư ng th ng MNP vuông góc v i ư ng th ng Ơle c a tam giác ABC.
Bài vi t c a tôi xin ư c k t thúc t i ây. Hy v ng r ng nh ng bài toán này giúp các b n ph n nào trong vi c s d ng c c và i c c. R t mong nh n ư c s trao i c a các b n. Trong bài vi t có s d ng l i gi i c a b n Circle và lovePearl_maytrang, các bài toán trên di n àn toán h c và di n àn mathnfriend.net, xin chân thành c m ơn các b n. L i c m ơn cu i cùng xin g i t i MrMATH!