Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế

Chia sẻ: Caphesua | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

76
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với đề tài “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế” có tác dụng trong việc phát triển tư duy hình học, khả năng giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Học sinh sẽ thấy rõ hơn ý nghĩa và giá trị thực tiễn của những nội dung hình học trong chương trình toán học Trung học phổ thông nhằm nâng cao chất lượng dạy và học hình học ở trường Trung học phổ thông

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế

MỤC LỤC Trang 1. Lời giới thiệu…………………………………………………………………… 2 2.Tên sáng kiến……………………………………………………………………. 3 3.Tác giả sáng kiến………………………………………………………………... 3 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến…………………………………………………….. 3 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến…………………………………………………….. 3 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu………………………………………….. 3 7. Mô tả bản chất của sáng kiến ………………………………………………….. 3 PHẦN A : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN..……………………. 4 PHẦN B: NỘI DUNG……………………………………………..………….. 5 I. Hình đa diện, khối đa diện…..……………………………………………. 5 I.1. Lý thuyết……………………………….................................................... 5 I.2. Ví dụ minh họa..……………………………………………………........ 6 I.3. Bài tập tự luyện..……………………………………………………....... 20 II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu……...………………………………………… 23 II.1. Lý thuyết……………………………...................................................... 23 II.2. Ví dụ minh họa..……………………………………………………....... 26 II.3. Bài tập tự luyện..……………………………………………………...... 37 PHẦN C: THỰC NGHIỆM – ĐÁNH GIÁ …………………………………… 40 8. Những thông tin cần được bảo mật…………………………………………….. 48 9. Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến……………………………….. 48 10. Đánh giá lợi ích thu được……………………………………………………... 48 11. Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử…………………….. 51 12. Tài liệu tham khảo.............................................................................................. 52 Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 1 -
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Xã hội ngày càng phát triển đã đặt ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp giáo dục thế hệ trẻ và đào tạo nguồn nhân lực cho mỗi Quốc Gia. Giáo dục cần đào tạo đội ngũ nhân lực có khả năng đáp ứng được những yêu cầu, đòi hỏi mới của xã hội và thị trường lao động, đặc biệt là năng lực lao động sáng tạo, tính tự lực và trách nhiệm giải quyết các vấn đề phức tạp. Điều đó đòi hỏi giáo dục phải có sự đổi mới để đáp ứng những đòi hỏi cấp thiết của xã hội. Trong giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng của cải cách giáo dục nói chung cũng như cải cách giáo dục bậc THPT nói riêng. Mục tiêu chương trình, nội dung dạy học đòi hỏi việc cải tiến phương pháp dạy học và sử dụng phương pháp dạy học mới. Một trong những định hướng cơ bản của việc đổi mới giáo dục là chuyển từ nền giáo dục mang tính hàn lâm kinh viện xa rời thực tiễn sang một nền giáo dục hiện đại chú trọng hình thành năng lực hoạt động, phát huy tính chủ động và sáng tạo của học sinh. Định hướng quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học là nhằm phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo, phát triển năng lực hoạt động, năng lực cộng tác làm việc. Đó cũng là xu thế quốc tế trong đổi mới phương pháp giảng dạy ở nhà trường phổ thông. Nhà toán học lỗi lạc RENE DESCARTES đã từng nói: ”Toán học là cánh cửa và là chìa khoá để đi vào các ngành khoa học khác “. Một trong những mục tiêu trong dạy học môn Toán là trang bị cho học sinh những nội dung kiến thức, kỹ năng toán học theo yêu cầu của nội dung chương trình sách giáo khoa đại trà, ngoài ra chúng ta cần phải hình thành cho học sinh khả năng vận dụng những kiến thức, kĩ năng toán học cơ bản vào giải quyết các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn một cách khoa học, có hệ thống. Xuất phát từ thực tiễn công tác dạy học, đổi mới trong phương pháp dạy học kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp tôi xây Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 2 -
dựng chuyên đề: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. Với chuyên đề này tôi hi vọng sẽ có tác dụng giúp học sinh tăng cường khả năng vận dụng kiến thức, kỹ năng toán học vào đời sống thực tiễn thông qua việc giải quyết các tình huống nảy sinh trong thực tiễn. 2. Tên sáng kiến “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. 3. Tác giả sáng kiến - Họ và tên: Dương Quang Hưng - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Hai Bà Trưng–Thành Phố Phúc Yên –Tỉnh Vĩnh Phúc. - Số điện thoại: 0948541102 - Email: duongquanghung.duke@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến - Họ và tên: Dương Quang Hưng - Chức vụ: Tổ phó chuyên môn tổ Toán Tin trường THPT Hai Bà Trưng 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Nghiên cứu giảng dạy môn Toán lớp 12 trong trường THPT. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử Từ tháng 09 năm 2019 đến tháng 02 năm 2020 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 3 -
PHẦN A : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận : Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng tạo của người học. Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động giúp học sinh có thể vận dụng các kiến thức sách giáo khoa vào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Trong chương trình toán trung học phổ thông, có nhiều kiến thức hình học liên quan đến thực tiễn. Nhiều đồ vật xung quanh ta có hình dạng là các hình hình học: Hình chóp, hình lăng trụ, tứ diện, hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay, hình cầu...Việc tính các kích thước, diện tích, thể tích là các bài toán liên quan đến thực tiễn. Hình học được sử dụng trong rất nhiều ngành nghề: nghề cơ khí, nghề xây dựng, nghề kiến trúc, hội họa,... trong nghiên cứu sự hình thành và phát triển của các sự vật và hiện tượng trong cuộc sống. 2. Cơ sở thực tiễn : Từ thực tiễn cuộc sống và thực tiễn dạy học môn hình học trong trường phổ thông, chúng ta thấy ngoài việc hình thành cho học sinh những kiến thức, kỹ năng toán cơ bản nhất về các mô hình hình học đơn giản chúng ta cần hình thành ở học sinh những kỹ năng giải quyết các bài toán hình học trong thực tiễn. Với đề tài “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế” tôi hi vọng sẽ có tác dụng trong việc phát triển tư duy hình học, khả năng giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Học sinh sẽ thấy rõ hơn ý nghĩa và giá trị thực tiễn của những nội dung hình học trong chương trình toán học Trung học phổ thông nhằm nâng cao chất lượng dạy và học hình học ở trường Trung học phổ thông. Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 4 -
PHẦN B : NỘI DUNG I. HÌNH ĐA DIỆN, KHỐI ĐA DIỆN I.1. LÝ THUYẾT I.1.1. Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: +) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung. +) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện. I.1.2. Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện. Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng. I.1.3. Các công thức về thể tích khối đa diện I.1.3.a. Công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là h 1 V  B.h 3 B Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 5 -
I.1.3.b. Công thức tính thể tích khối lăng trụ Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V  B.h ● Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c Trong đó: a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. ● Thể tích khối lập phương: V  a 3 Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương. I.2. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Một Kim tự tháp có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều với chiều cao là 120 (m), độ dài cạnh đáy bằng 200 (m). Tính thể tích của Kim tự tháp. Lời giải Kim tự tháp là một khối chóp tứ giác đều nên đáy của Kim tự tháp là một hình vuông có cạnh là 200 (m). Diện tích đáy của Kim tự tháp là: B  2002  40000  m 2  . Chiều cao của Kim tự tháp là: h  120  m  . 1 1 Thể tích của Kim tự tháp là: V  Bh  .120.40000  1600000  m3  . 3 3 Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 6 -
Ví dụ 2. Nhân ngày sinh nhật của bạn Dương; ba bạn Minh, Trâm, Hiền mua một hộp quà có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều. Ba bạn nhớ tới bài dạy của thầy giáo về thể tích khối đa diện, ba bạn nảy sinh ý tưởng tính thể tích của hộp quà. Ba bạn dùng thước dài đo được cạnh đáy của hộp quà bằng 30  cm  , cạnh bên của hộp quà bằng 40  cm  . Hỏi các bạn tính được thể tích của hộp quà bằng bao nhiêu? ( giả thiết các bạn đã tính đúng và kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Lời giải Giả sử hộp quà có hình dạng một khối chóp tứ giác đều là khối chóp tứ giác đều S . ABCD được kí hiệu như hình vẽ. Khi đó, ABCD là hình vuông cạnh 30  cm  , cạnh bên SA  SB  SC  SD  40  cm  . Diện tích đáy của hộp quà là: B  302  900  cm 2  . Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 7 -
Gọi O  AC  BD. Tứ giác ABCD là một hình vuông cạnh 30  cm  , suy ra AC  AB 2  30 2  cm  . 1 1 AO  AC  30 2  15 2  cm  . 2 2 2 Chiều cao của hộp quà là: h  SO  SA2  AO 2  402  15 2    1150  cm  . 1 1 Thể tích của hộp quà là: V  Bh  .900. 1150  10173  cm3  . 3 3 Ví dụ 3. Nhân ngày nghỉ Chủ nhật, lớp 12A1 tổ chức đi chơi dã ngoại. Các bạn đã dựng một căn lều bằng bạt và bốn thanh tre có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều như hình vẽ. Biết một bạn đi dọc theo một cạnh của căn lều với vận tốc 0,8  m / s  thì hết 5 giây. Hỏi thể tích của căn lều là bao nhiêu nếu góc giữa thanh tre và mặt đất là 600. ( Kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng đơn vị). Lời giải Vì một bạn đi dọc theo một cạnh của căn lều với vận tốc 0,8  m / s  thì hết 5 giây nên độ dài của cạnh căn lều là: 0,8.5  4  m  . Giả sử căn lều có hình dạng một khối chóp tứ giác đều là khối chóp tứ giác đều S . ABCD được kí hiệu như hình vẽ. Khi đó, ABCD là hình vuông cạnh 4  m  , cạnh bên hợp với đáy một góc 600. Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 8 -
Diện tích đáy của căn lều là: B  42  16  m 2  . Gọi H  AC  BD. Tứ giác ABCD là một hình vuông cạnh 4  m  , suy ra AC  AB 2  4 2  m  . 1 1 AH  AC  4 2  2 2  m  . 2 2 Chiều cao của căn lều là: h  SH  AH .tan 600  2 6  m  . 1 1 Thể tích của căn lều là: V  Bh  .16.2 6  26  m3  . 3 3 Ví dụ 4. Một người thợ thủ công có một tấm bìa hình tam giác đều. Người thợ thủ công gấp tấm bìa theo các đường kẻ như hình vẽ, sau đó dán các mép lại để được hình tứ diện đều có thể tích bằng 1152 2  cm3  . Tính độ dài cạnh của tấm bìa. Lời giải Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 9 -
Gọi tấm bìa hình tam giác đều ABC có cạnh là 2a  cm  a  0  và M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC , BC. Ta có : AM  MN  a  cm  . Hình tứ diện đều được tạo thành là tứ diện đều AMNP với A  B  C. a2 3 Tam giác MNP là tam giác đều cạnh a, diện tích tam giác MNP là: B  4  cm 2  . Gọi H là tâm của tam giác đều MNP, I là trung điểm của NP. a 3 2 a 3 Ta có: MI   cm  , MH  MI   cm  . 2 3 3 a 6 Chiều cao của tứ diện đều AMNP là: h  AH  AM 2  MH 2   cm  . 3 1 1 a 2 3 a 6 a3 2 3 Thể tích của khối tứ diện đều AMNP là: V  Bh  . 3 3 4 . 3  12  m . a3 2 Theo giả thiết ta có :  1152 2  a  24  cm  . 12 Vậy, độ dài cạnh của tấm bìa là: 2a  48  cm  . Ví dụ 5. Người thợ thủ công cắt một tấm bìa hình vuông cạnh bằng 1 m  để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp ( như hình vẽ). Tính độ dài OM để khối chóp có thể tích lớn nhất. Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 10 -
Lời giải Gọi các đỉnh và điểm của tấm bìa và hình chóp được tạo thành kí hiệu như hình vẽ.  1 Gọi OM  x  m   0  x   .  2 1 1 Ta có: NM   x  m  , SM  SN 2  NM 2  x 2  x   m  . 2 2 BM  2 x  m  , AM  AB  2 x  m  . Diện tích đáy của khối chóp: S đáy  AB 2  2 x 2  m 2  . x x 1 x Ta có: OD   m  , MD   m  , SD  SM 2  MD 2   m . 2 2 2 2 2 2 1 x   x  2 1  2x SO  SD  OD        m.  2   2 2 Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 11 -
1 1 1  2x 2 1 Thể tích khối chóp: VS .MABC  SO.S đáy  3 3 2 .2 x  6  2  4 x  .x 4  m . 3 5 4  2  4x  x  x  x  x  32 Ta có:  2  4 x  .x   2  4 x  .x.x.x.x     .  5  3125 1 32 2 Suy ra: VS .MABC  . . Đẳng thức xảy ra khi 2  4 x  x  x   m  . 6 3125 5 2 Vậy thể tích khối chóp lớn nhất khi OM   m . 5 Ví dụ 6. Một hộp sữa Vinamilk có hình dạng là một hình hộp chữ nhật có các kích thước bên trong vỏ hộp là: 5  cm  ,8  cm  ,15  cm  . Hỏi hộp sữa có thể đựng được bao nhiêu lít sữa? Lời giải Thể tích của hộp sữa là: 5.8.15  600  cm3   0,6  dm3   0,6 lít Vậy hộp sữa có thể đựng được 0,6 lít sữa. Ví dụ 7. Một bể bơi dành cho trẻ em và người lớn có hình dạng bề mặt nước là một hình chữ nhật có kích thước dài 30 (m), rộng 10 (m). Phần bể bơi dành cho trẻ em có đáy bằng phẳng, dài 20 (m) và sâu 1,2 (m). Phần dành cho người lớn có đáy thoải xuống dốc đến sát mép đáy dưới của bể là sâu 4 (m) ( xem hình vẽ). Hãy tính xem bể chứa được bao Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 12 -
nhiêu mét khối nước khi nó đầy ắp nước. Lời giải Thể tích nước gồm hai phần: Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH và thể tích khối lăng trụ EKI.FLJ . Thể tích của bể nước là: V  VABCD. EFGH  VEKI .FLJ Thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH là: VABCD. EFGH  30.10.1,2  360  m3  . 1 Thể tích khối lăng trụ EKI.FLJ là: VEKI . FLJ  EF .S EKI  10. EI .EK  5.10.1,8  90  m3  . 2 Vậy thể tích nước mà bể bơi chứa được là: V  VABCD.EFGH  VEKI . FLJ  360  90 =450  m3  . Ví dụ 8. Một vỏ hộp bánh Danisa có hình dạng là một hình hộp chữ nhật có thể tích là 3,125  dm3  . Tính các kích thước của vỏ hộp bánh, biết chiều cao của vỏ hộp bằng chiều dài của vỏ hộp và gấp 5 lần chiều rộng của vỏ hộp. Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 13 -
Lời giải Ta có: 3,125  dm3   3125  cm3  . Gọi chiều rộng của vỏ hộp bánh Danisa là: x  cm  . Suy ra, chiều dài của hộp bánh là 5 x  cm  , chiều cao của hộp bánh là 5 x  cm  . Theo giả thiết thể tích của hộp bánh Danisa là 3125  cm3  , nên ta có: 3125  x.5 x.5 x  x  5  cm  . Vậy chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hộp bánh lần lượt là: 5  cm  , 25  cm  ,25  cm  . Ví dụ 9. Một khúc gỗ dạng hình hộp chữ nhật có các kích thước như hình vẽ. Người thợ mộc cắt đi một phần khúc gỗ có dạng hình lập phương cạnh bằng 5  cm  . Tính thể tích phần gỗ còn lại. Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 14 -
Lời giải Ta có: Thể tích khúc gỗ ban đầu là: V1  11.6.6  396  cm3  . Thể tích phần gỗ bị cắt có dạng hình lập phương là: V2  53  125  cm3  . Vậy thể tích phần gỗ còn lại là V  V1  V2  271  cm3  . Ví dụ 10. Bạn Vũ có một khối Rubic loại 4x4x4, gồm 64 khối lập phương nhỏ ghép thành. Biết mỗi mặt của khối lập phương nhỏ là một hình vuông có chu vi bằng 12 (cm). Tính thể tích khối Rubic. Lời giải Ta có mỗi mặt của khối lập phương nhỏ là một hình vuông có chu vi bằng 12 (cm) 12 nên cạnh của hình vuông đó là  3  cm  . 4 Suy ra cạnh của một khối lập phương nhỏ là: 3  cm  . Suy ra cạnh của một khối Rubic là: 4.3  12  cm  . Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 15 -
Thể tích khối Rubic là: V  123  1728  cm3  . Ví dụ 11. Một người thợ hàn dự định làm một thùng đựng xăng có hình dạng là một hình hộp chữ nhật có thể tích 12 lít với chiều cao gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước của thùng đựng xăng để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của thành thùng đựng xăng) (tính theo đơn vị cm, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy). Lời giải: Ta có: 12 lít = 12  dm3  . Gọi chiều cao và chiều rộng của thùng đựng xăng lần lượt là 3x và 2x (dm) (x >0). 12 2 Chiều dài của thùng là  2  dm  2 x.3 x x Diện tích toàn phần của thùng là:  2 2  10  Stp  2  2 x.3x  2 x. 2  3 x. 2   2  6 x 2    x x   x  dm . 2 Ta có: 10 5 5 6x2   6 x 2    3 3 150  Stp  6 3 150  dm 2  x x x 5 5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 6 x 2  x 3  dm  . x 6 2 Khi đó, chiều rộng của thùng là: 2 x  1,9  dm  , chiều dài của thùng là:  2,3  dm  và x2 chiều cao của thùng là: 3 x  2,8  dm  . Ví dụ 12. Một chiếc bánh sinh nhật có hình dạng là một khối hộp chữ nhật. Một phần tư thể tích phía trên chiếc bánh được dải một lớp chocolate nguyên chất, phần còn lại phía dưới chứa đầy bơ sữa ngọt. Biết chiếc bánh sinh nhật có đáy là hình chữ nhật với chiều dài gấp đôi chiều rộng và tổng chiều rộng và chiều cao của chiếc bánh bằng 60  cm  . Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 16 -
Hãy tính thể tích lớn nhất của chiếc bánh? Khi thể tích của chiếc bánh lớn nhất, hãy tính thể tích của phần bơ sữa ngọt. Lời giải: Lời giải: Gọi chiều cao của chiếc bánh là x  cm  0  x  60  . Khi đó, chiều rộng của chiếc bánh là: 60  x  cm  . Chiều dài của chiếc bánh là: 120  2 x  cm  . Thể tích của chiếc bánh là: V  x  60  x 120  2 x  x  2 x  60  x  60  x   cm3  . 3  2 x  60  x  60  x  3 Ta có: 2 x  60  x  60  x      40  64000.  3  Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 17 -
Đẳng thức xảy ra khi 2 x  60  x  x  20  cm  . Vậy thể tích của chiếc bánh lớn nhất bằng 64000  cm3  khi x  20  cm  . 3 Khi đó, thể tích của phần bơ sữa ngọt là: .64000  48000  cm3  . 4 Ví dụ 13. [ Trích đề thi minh họa lần 1 kỳ thi THPT QG năm 2017] Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 (cm). Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh x (cm), rồi gập tấm nhôm đó như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. Lời giải Ta gọi các đỉnh của hình hộp như hình vẽ. Khi đó: AC  x, AB  12  2 x  0  x  6  . 2 Thể tích của khối hộp: V  B.h  AB 2 . AE  12  2 x  x  2.2 x  6  x  6  x   cm3  . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số dương 2 x, 6  x,6  x ta có: 2x  6  x  6  x 3 2 x  6  x  6  x   4 3 Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 18 -
 2 x  6  x  6  x   64  V  2.2 x  6  x  6  x   128 Đẳng thức xảy ra khi 2 x  6  x  x  2  cm  . Vậy với x  2  cm  thì hộp nhận được có thể tích lớn nhất. Ví dụ 14. Một người thợ dự định thiết kế một chiếc thùng có hình dạng là một hình hộp chữ nhật không có nắp với chiều cao 6  dm  và thể tích 96 lít. Người thợ dùng loại tôn để làm mặt bên có giá thành 70000 đồng/m2 và loại tôn để làm mặt đáy có giá thành 100000 đồng/m2. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành chiếc thùng. Lời giải: Ta có: 96 lít = 96  dm3   0,096  m3  . 6  dm   0,6  m  . Gọi chiều rộng của thùng là: x  m  x  0  . Chiều dài của thùng là: y  m  y  0  . 0,16 Theo giả thiết, ta có: 0,6 xy  0,096  y   m . x 0,16 Diện tích mặt đáy: S đáy  xy  x.  0,16  m 2  . x Suy ra chi phí để làm mặt đáy là: 0,16  100000  16000 đồng.  0,16  Diện tích xung quanh: S xq  2 x.0,6  2 y.0,6  1, 2  x   x    m . 2 Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 19 -
 0,16   0,16  Suy ra chi phí để làm mặt xung quanh là 1, 2  x   .70000  84000  x   đồng.  x   x   0,16  Tổng chi phí để làm chiếc thùng là: T  84000  x    16000.  x  0,16 0,16 Ta có: x   2 0,16  0,8. Đẳng thức xả ra khi x   x  0, 4  m  . x x Do đó chi phi thấp nhất để làm chiếc thùng là: 84000.0,8  16000  83200 đồng. I.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3  m3  , chiều cao của hố gấp đôi chiều rộng của đáy hố. Hãy xác định các kích thước của hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? Bài 2. Bác Tuyến muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 128  m3  , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ m 2 . Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi Bác Tuyến trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể chứa nước đó là bao nhiêu? Bài 3. Một người thợ xây dựng dự định làm một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao là 80  cm  , thể tích 116000  cm3  . Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 80.000 đồng/ m 2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 120.000 đồng/ m 2 . Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá. Bài 4. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh tôn theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x  cm  , chiều cao là h  cm  và thể tích là 500  cm3  . Tìm độ dài cạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít tôn nhất. Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế”. - Trang 20 -