MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ GIẢI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

Chia sẻ: Vu Duc Luyen | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

132
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán dựng hình đóng vai trò quan trọng trong việc học toán của các em học sinh. Lý thuyết dựng hình là một lĩnh vực toán học được phát triển sâu rộng. Nó đặc biệt phong phú giúp học sinh phát huy sáng kiến toán học và thói quen suy luận hợp logic. Việc giải những bài toán dựng hình đòi hỏi học sinh nhận thức bài học một cách sâu sắc và không cho phép các em giải quyết vấn đề một cách máy móc . Bên cạnh đó học sinh không những còn rèn luyện sử dụng dụng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ GIẢI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

PHOØNG GIAÙO DUÏC & ÑAØO TAÏO TP. PLEIKU TEÂN ÑEÀ TAØI MOÄT SOÁ KINH NGHIEÄM GIUÙP HOÏC SINH TRUNG HOÏC CÔ SÔÛ GIAÛI BAØI TOAÙN DÖÏNG HÌNH NAÊM HOÏC : 2009 – 2010 MOÄT SOÁ KINH NGHIEÄM GIUÙP HOÏC SINH TRUNG HOÏC CÔ SÔÛ GIAÛI BAØI TOAÙN DÖÏNG HÌNH PHAÀN I : ÑAËT VAÁN ÑEÀ 1
Toaùn döïng hình ñoùng vai troø quan troïng trong vieäc hoïc toaùn cuûa caùc em hoïc sinh. Lyù thuyeát döïng hình laø moät lónh vöïc toaùn hoïc ñöôïc phaùt trieån saâu roäng. Noù ñaëc bieät phong phuù giuùp hoïc sinh phaùt huy saùng kieán toaùn hoïc vaø thoùi quen suy luaän hôïp logic. Vieäc giaûi nhöõng baøi toaùn döïng hình ñoøi hoûi hoïc sinh nhaän thöùc baøi hoïc moät caùch saâu saéc vaø khoâng cho pheùp caùc em giaûi quyeát vaán ñeà moät caùch maùy moùc . Beân caïnh ñoù hoïc sinh khoâng nhöõng coøn reøn luyeän söû duïng duïng cuï , thoùi quen veõ hình maø coøn gaén lieàn ñöôïc vôùi thöïc teá (keát hôïp toaùn döïng hình vôùi veõ kyõ thuaät). Chuùng ta khoâng theå phuû nhaän ñöôïc yù nghóa vaø taùc duïng to lôùn cuûa döïng hình trong vieäc reøn luyeän tö duy toaùn hoïc noùi rieâng vaø tö duy linh hoaït noùi chung. Nhöng thöïc teá ñeå giaûi ñöôïc moät baøi toaùn döïng hình ñoái vôùi hoïc sinh THCS khoâng phaûi laø moät vieäc ñôn giaûn. Maëc duø chuùng ta bieát ñeå giaûi moät baøi toaùn döïng hình ta thöôøng phaûi thöïc hieän theo 4 böôùc : Phaân tích - Caùch döïng - Chöùng minh - Bieän luaän. Song hoïc sinh lôùp 6, 7 chæ môùi laøm quen vôùi moät soá baøi toaùn nhö veõ tam giaùc bieát 3 caïnh, veõ tam giaùc bieát 2 caïnh vaø goùc xen giöõa... , coøn ñoái vôùi hoïc sinh lôùp 8 caùc em ñöôïc hoïc caùch döïng hình baèng thöôùc vaø compa nhöng caùc em chöa hoaøn toaøn hieåu roõ caùc khaùi nieäm cô baûn, khi leân lôùp 9 thì caùc baøi taäp veà döïng hình trong saùch giaùo khoa quaù ít, höôùng daãn vaø gôïi yù cuõng khoâng ñuû neân caùc em khoù hoïc coù keát quaû. Ña soá caùc em chæ hieåu moät caùch maùy moùc caùc ñònh lí vaø quy taéc neân khoâng theå vaän duïng chuùng moät caùch linh hoaït. Veà phía giaùo vieân cuõng gaëp khoâng ít khoù khaên nhö thôøi löôïng luyeän taäp taïi lôùp quaù ít, ñoái töôïng hoïc sinh khoâng ñoàng ñeàu... Ñeå naém ñöôïc caùc böôùc giaûi moät baøi toaùn döïng hình ñaõ khoù maø vaän duïng caùc kieán thöùc vaø phöông phaùp ñoù vaøo vieäc giaûi caùc baøi toaùn laïi caøng khoù hôn. Hôn nöõa phaàn lôùn caùc em do khaû naêng tö duy coøn haïn cheá neân vieäc giaûi moät baøi toaùn döïng hình laïi gaëp nhieàu khoù khaên hôn , trong moät soá baøi toaùn coù khi phaûi veõ theâm nhöõng hình môùi nhaèm laøm xuaát hieän caùc yeáu toá neâu trong ñeà baøi hoaëc laøm xuaát hieän nhöõng hình coù theå döïng ñöôïc ngay. Ñaây laø noãi 2
traên trôû khoâng chæ cuûa rieâng toâi. Laø giaùo vieân giaûng daïy boä moân toaùn THCS, toâi mong goùp söùc mình vaøo coâng vieäc giaûng daïy, muïc ñích laø ñeå caùc em naém baét moät caùch coù heä thoáng vaø chi tieát caùch giaûi moät baøi toaùn döïng hình. Vì theá toâi choïn ñeà taøi “Moät soá kinh nghieäm giuùp hoïc sinh THCS giaûi baøi toaùn döïng hình”. Ñaây khoâng phaûi laø moät phöông phaùp toái öu song ñeà taøi naøy phaàn naøo giuùp caùc em trong vieäc giaûi moät baøi toaùn döïng hình. PHAÀN II : GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ I. CAÙCH GIAÛI MOÄT BAØI TOAÙN DÖÏNG HÌNH: 1. Theá naøo laø giaûi baøi toaùn döïng hình? Giaûi baøi toaùn döïng hình laø tìm taát caû caùc nghieäm cuûa noù, nghóa laø phaûi: - Xaùc laäp moät soá höõu haïn tröôøng hôïp bao haøm taát caû caùc khaû naêng coù theå xaûy ra ñoái vôùi vieäc löïa choïn nhöõng caùi ñaõ cho. - Ñoái vôùi moãi tröôøng hôïp traû lôøi caâu hoûi baøi toaùn coù nghieäm hay khoâng vaø neáu coù thì bao nhieâu nghieäm. - Ñoái vôùi moãi tröôøng hôïp maø baøi toaùn coù nghieäm, chæ ra moät soá höõu haïn caùc pheùp döïng hình cô baûn caàn tieán haønh theo moät thöù töï naøo ñoù ñeå coù theå döïng ñöôïc noù baèng thöôùc vaø compa. Trong thöïc haønh, trình baøy lôøi giaûi, ñeå ñôn giaûn, ta phaûi döïa vaøo caùc baøi toaùn döïng hình cô baûn. 2. Caùc baøi toaùn döïng hình cô baûn. a. Döïng ñoaïn thaúng baèng ñoaïn thaúng cho tröôùc b. Döïng moät goùc baèng moät goùc cho tröôùc c. Döïng ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng cho tröôùc, döïng trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng cho tröôùc. d. Döïng tia phaân giaùc cuûa moät goùc cho tröôùc. e. Qua moät ñieåm cho tröôùc, döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng cho tröôùc. f. Qua moät ñieåm naèm ngoaøi ñöôøng thaúng cho tröôùc, döïng ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng thaúng aáy. g. Döïng tam giaùc bieát ba caïnh, hoaëc bieát hai caïnh vaø goùc xen giöõa, hoaëc bieát moät caïnh vaø hai goùc keà. 3. Caùc böôùc giaûi moät baøi toaùn döïng hình. 3
Ñeå giaûi moät baøi toaùn döïng hình moät caùch deã daøng ta choïn sô ñoà coå ñieån goàm 4 böôùc: phaân tích, döïng hình, chöùng minh, bieän luaän. Phaân tích ñeå tìm ra caùch döïng, döïng hình laø chæ ra moät soá höõu haïn vaø coù soá thöù töï caùc pheùp döïng hình cô baûn vaø baøi toaùn döïng hình cô baûn ñeå coù moät hình phaûi döïng; chöùng minh laø ñi xem hình ñaõ döïng ñaõ thoûa maõn ñieàu kieän ñaàu baøi vaø cuoái cuøng bieän luaän laø ñeå xem khi naøo baøi toaùn coù nghieäm vaø neáu coù thì coù bao nhieâu nghieäm. Ta ñi xeùt cuï theå caùc böôùc: a) Phaân tích: Trong moät baøi toaùn döïng hình thì böôùc phaân tích laø quan troïng nhaát trong toaøn boä lôøi giaûi vì noù cho ta bieát phaûi döïng nhö theá naøo môùi coù hình thoûa maõn ñieàu kieän cuaû ñeà baøi. Coù theå coi böôùc phaân tích laø quaù trình suy nghó ñeå tìm ra caùch döïng, do ñoù , khi trình baøy lôøi giaûi, khoâng nhaát thieát phaûi trình baøy tæ mæ böôùc naøy. Thaäm chí, neáu baøi toaùn raát ñôn giaûn, giaûi ñöôïc deã daøng thì coù theå boû qua, khoâng neâu böôùc phaân tích nöõa. Phaân tích moät baøi toaùn döïng hình tuy khoâng coù quy taéc thoâng duïng phoå bieán nhöng nhöõng nguyeân taéc sau ñaây cuõng coù theå xem laø ñöôïc öùng duïng trong ña soá caùc baøi toaùn. Böôùc 1: Tröôùc heát veõ phaùc moät hình töông töï caàn tìm, hình naøy tuy khoâng ñöôïc chính xaùc laém nhöng vaãn coù ích. Döïa vaøo hình naøy ta coù theå bieát roõ vò trí cuûa caùc ñieåm, caùc ñöôøng vaø nhöõng moái töông quan giöõa chuùng, chaúng haïn hai ñoaïn thaúng naøo ñoù baèng nhau hoaëc vuoâng goùc vôùi nhau, nhöõng ñieåm naøo naèm treân moät ñöôøng thaúng, moät ñöôøng troøn. Nhöõng moái töông quan ñoù khoù loøng töôûng töôïng, phaûi coù hình veõ phaùc môùi coù theå nhìn thaáy ngay. Maët khaùc khi chính thöùc döïng hình ta coù theå tham khaûo hình veõ phaùc coù theå kòp thôøi bieát ñöôïc nhöõng ñöôøng naøo chöa döïng ñöôïc ngay, ñöôøng naøo neân döïng tröôùc. Böôùc 2: Sau khi veõ phaùc moät hình thì caàn phaân bieät caùi gì ñaõ bieát hoaëc nhöõng moái töông quan ñaõ bieát neân chæ baèng moät kí hieäu ñaëc bieät hoaëc ñaùnh daáu baèng buùt chì maøu, laøm nhö vaäy khi nhìn vaøo hình veõ phaùc ta seõ thaáy ñöôïc ngay ñöôøng naøo 4
ngaén daøi ra sao, goùc naøy to nhoû nhö theá naøo, giöõa hai ñöôøng thaúng coù moái quan heä gì...? Nhöõng ñoaïn thaúng naøo bieát ñoä daøi, nhöõng goùc naøo bieát ñoä lôùn, thì neân nghó caùch döïng chuùng tröôùc, tieáp ñoù coù theå döïng moät ñoaïn thaúng khaùc ôû moät goùc khaùc. Böôùc 3: Quan saùt tæ mæ xem coù boä phaän naøo trong hình coù theå döïng tröôùc ñöôïc khoâng? Boä phaän ñoù thoâng thöôøng laø tam giaùc. Giaû söû coù thì tröôùc heát phaûi döïng noù, boä phaän naøy luoân laø cô sôû cuûa hình. Böôùc 4: Treân cô sôû ñaõ bieát, tieáp tuïc quyeát ñònh döïng nhöõng boä phaän khaùc cuûa hình caàn döïng. Coù nhöõng baøi toaùn döïng hình khoâng ñôn giaûn nhö ñaõ neâu ôû treân khi phaân tích caàn boå sung theâm moät soá ñöôøng phuï môùi coù theå thöïc hieän ñöôïc quan heä giöõa nhöõng ñieàu kieän ñaõ bieát vaø chöa bieát. Chaúng haïn, khi bieát toång hoaëc hieäu hai ñoaïn thaúng, khi phaân tích phaûi döïng ñoaïn toång hoaëc hieäu nhö vaäy. Song khi tieán haønh phaân tích ta thöôøng nghieân cöùu moät hình cuï theå naøo ñoù neân ôû moät chöøng möïc nhaát ñònh, laäp luaän cuûa ta bò raøng buoäc moät caùch khoâng coù yù thöùc vaøo hình veõ. Do ñoù, deã suy luaän khoâng toång quaùt daãn ñeán thieáu nghieäm. b) Caùch döïng : - Caùc böôùc döïng phaûi laø caùc pheùp döïng hay caùc baøi toaùn döïng cô baûn. - Moãi böôùc döïng neáu caàn coù theå vieát theâm ñieàu kieän coù theå döïng ñöôïc caùc pheùp aáy. - Caùc böôùc döïng phaûi theo moät thöù töï xaùc ñònh, traùnh loän xoän. - Soá caùc böôùc döïng phaûi haïn höõu. c) Chöùng minh: Xaùc ñònh hình ñaõ döïng thöïc söï thoaû maõn ñaày ñuû ñieàu kieän cuûa ñaàu baøi baèng caùch döïa vaøo caùc böôùc döïng, caùc ñònh lí ñaõ hoïc maø chöùng minh, ñieàu kieän deã chöùng minh tröôùc. Ví duï ñoái vôùi baøi toaùn sau: Döïng tam giaùc ABC, bieát ñoä daøi ñöôøng cao AH = ha , ñöôøng trung tuyeán AM = ma vaø caïnh AC = b. ÔÛ baøi toaùn naøy khi döïng tam giaùc ABC, khoâng nhöõng ta phaûi chöùng minh ñoä daøi AH = ha; AM = ma; 5
AC = b maø coøn chöùng minh AH laø ñöôøng cao, AM laø ñöôøng trung tuyeán töùc laø AH⊥BC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC. d) Bieän luaän: Xeùt xem nhöõng yeáu toá ñaõ cho thoûa maõn ñieàu kieän naøo ñeà coù theå döïng ñöôïc hình phaûi tìm, neáu döïng ñöôïc thì coù bao nhieâu nghieäm. Bieän luaän theo caùch döïng nghóa laø ôû moãi böôùc döïng ta xeùt xem phaûi thoûa maõn ñieàu kieän gì thì böôùc döïng naøy thöïc hieän ñöôïc vaø neáu döïng ñöôïc thì coù bao nhieâu nghieäm. Hoïc sinh chuùng ta thöôøng raát hay boû qua böôùc naøy vaø haàu nhö phaàn lôùn caùc em khoâng bieát bieän luaän ñeå tìm ra nghieäm hình. Do ñoù ñeå giuùp caùc em traùnh laøm thieáu nghieäm thì caàn chuù yù: - Phaân chia caùc tröôøng hôïp phaûi coù caên cöù traùnh loän xoän daãn ñeán thieáu caùc tröôøng hôïp coù theå xaûy ra hoaëc caùc tröôøng hôïp coù theå truøng laëp. - ÔÛ nhöõng tröôøng hôïp cuï theå neáu hình phaûi döïng khoâng aùp duïng ñöôïc caùch döïng toång quaùt trong phaàn döïng hình thì phaûi trình baøy caùch döïng töông öùng cho tröôøng hôïp cuï theå naøy. Ví duï: Döïng tam giaùc bieát hai caïnh vaø goùc xen giöõa (baøi toaùn coù moät nghieäm hình) Neáu ñeà coù quy ñònh roõ raøng veà vò trí cuûa hình phaûi tìm ñoái vôùi hình ñaõ cho nhöõng hình baèng nhau nhöng khaùc nhau veà vò trí ñöôïc coi laø nghieäm khaùc nhau. Ví duï : Döïng ñöôøng troøn baùn kính 2cm tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng xy cho tröôùc vaø qua moät ñieåm A cho tröôùc caùch xy 3cm. ( Baøi toaùn giaûi ñöôïc coù 2 nghieäm hình - Baøi naøy ñoøi hoûi ñieàu kieän veà vò trí ) Tuy ôû trong chöông trình THCS chuùng ta quy ñònh coù theå boû qua böôùc phaân tích ñoái vôùi baøi toaùn döïng hình ñôn giaûn song khi laøm moät baøi toaùn döïng hình ta khoâng neân boû böôùc phaân tích neáu boû hoaëc phaân tích khoâng roõ raøng, toång quaùt, coù theå daãn ñeán sai soùt nghieäm. Vaø vieäc giaûi baøi toaùn döïng hình ñöa veà vieäc thöïc hieän caùc pheùp döïng hình cô baûn vaø caùc baøi toaùn döïng hình cô baûn.Vì theá, ñeå coù theå giaûi ñöôïc caùc baøi toaùn döïng hình, ta caàn hieåu thaáu, nhôù laâu 6
nhöõng baøi toaùn döïng hình cô baûn , ngoaøi ra cuõng caàn nhôù caùch giaûi caùc baøi toaùn thöôøng ñöôïc vaän duïng ñeå giaûi caùc baøi toaùn döïng hình trong phaïm vi chöông trình sau : 1/. Treân ñöôøng thaúng xy döïng moät ñoaïn thaúng baèng ñoaïn thaúng a. a - Laáy moät ñieåm B tuyø yù treân xy. - Döïng (B ; a) caét xy taïi C. Ñoaïn thaúng BC seõ baèng ñoaïn thaúng a a x y B C 2/. Qua ñieåm P naèm ngoaøi ñöôøng thaúng xy, döïng ñöôøng thaúng song song vôùi xy. - Qua P döïng ñöôøng PQ vuoâng goùc vôùi xy. - Qua P döïng ñöôøng x’y’ vuoâng goùc vôùi PQ. x' y' Ñöôøng thaúng x’y’ seõ song song vôùi xy (cuøng vuoâng P goùc x Q y vôùi PQ ) 3/. Chia ñoaïn thaúng AB thaønh m phaàn baèng nhau. - Qua A döïng nöûa ñöôøng thaúng Ax. A B - Treân Ax, baét ñaàu töø A döïng lieân tieáp m ñoaïn thaúng baèng nhau. - Noái ñieåm cuoái E vôùi B. - Qua caùc ñieåm chia döïng caùc ñöôøng thaúng song song vôùi EB. E - Giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng song song naøy vôùi x AB seõ chia AB thaønh m phaàn baèng nhau. (Ñònh lí veà ñöôøng song song caùch ñeàu) 4/. Döïng tam giaùc vuoâng ABC bieát caïnh huyeàn vaø moät caïnh b a goùc vuoâng. AÂ = 1v ; AC = b ; BC = a C - Döïng ñöôøng thaúng xy tuyø yù - Treân xy laáy moät ñieåm A tuyø yù. b a - Qua A döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi xy. - Treân ñöôøng vuoâng goùc naøy döïng ñoaïn AC = b y x A B - Döïng ñöôøng troøn taâm C, baùn kính baèng a, caét xy ôû B. - Noái B vôùi C . 7
Tam giaùc vuoâng ABC seõ coù AC = b vaø caïnh huyeàn BC = a ( Ñieàu kieän ñeå döïng ñöôïc : a > b ) 5/. Döïng tam giaùc vuoâng ABC, bieát caïnh huyeàn vaø moät goùc nhoïn AÂ=1v ; B = α ; BC = a . µ - Döïng goùc xBy = α a β x - Treân caïnh Bx döïng ñoaïn BC = a C - Qua C döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùia By, caét By ôû A. Tam giaùc vuoâng ABC seõ coù B = α µ y vaø caïnh huyeàn BC = a B β A 6/. Chia ñoâi cung AB . - Noái A vôùi B. - Qua taâm O cuûa cung döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi AB caét cung taïi M. O M seõ laø trung ñieåm cuûa cung AB A B µ ¶ ∆AOB caân ⇒ O1 = O2 ( MA = MB ) » » (Neáu khoâng bieát taâm O thì döïng ñöôøng trung M tröïc cuûa AB) 7/. Qua ñieåm A, döïng tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taâm O. a.Ñieåm A ôû treân ñöôøng troøn . x - Noái OA vaø keùo daøi veà phía A. - Qua A döïng ñöôøng thaúng xy vuoâng goùc vôùi OA. - Ñöôøng xy seõ laø tieáp tuyeán ñi qua A cuûa O A ñöôøng troøn taâm O (xy vuoâng goùc vôùi OA taïi A ) b. Ñieåm A ôû ngoaøi ñöôøng troøn . - Noái O vôùi A. - Döïng ñöôøng troøn ñöôøng kính OA y caét ñöôøng troøn taâm O ôû B vaø C. - Döïng caùc ñöôøng thaúng AB vaø AC. AB vaø AC laø caùc tieáp tuyeán caàn döïng. B 1 [· ABO = · ACO = 1v (goùc noäi tieáp chaén ñöôøng troøn) 2 ⇒ AB vaø AC laø caùc tieáp tuyeán( vuoâng goùc vôùi caùc A O baùn kính OB , OC taïi B ; C)] C 8/. Döïng tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taâm O, song song vôùi ñöôøng thaúng yy’. 8
- Döïng ñöôøng thaúng qua O vaø vuoâng goùc vôùi yy’, caét ñöôøng troøn taïi M . Qua M döïng ñöôøng thaúng x y xx’ vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng OM . Ñöôøng thaúng xx’ seõ laø tieáp tuyeánOcuûaM ñöôøng troøn taâm O vaø song song vôùi ñöôøng thaúng yy’. [xx’⊥OM taïi M ⇒ xx’ seõ laø tieáp tuyeán, yy’⊥OMx'; y' xx’⊥OM ⇒ xx’// yy’] II. MOÄT SOÁ VÍ DUÏ MINH HOAÏ : * Ñoái vôùi hoïc sinh lôùp 6, 7 chæ yeâu caàu caùc em neâu ñöôïc caùch veõ, ôû moät soá baøi coù theå chöùng minh . Chaúng haïn : + ÔÛ baøi taäp sau chæ yeâu caàu hoïc sinh neâu ñöôïc caùch veõ : Ví duï 1 : Veõ ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng MN baèng thöôùc thaúng vaø compa 1 - Laáy M laøm taâm veõ cung troøn baùn kính lôùn hôn P 2 MN . - Laáy N laøm taâm veõ cung troøn coù cuøng baùn kính M N ñoù . - Hai cung troøn coù hai ñieåm chung laàn löôït laø P vaø Q Q Duøng thöôùc veõ ñöôøng thaúng PQ, ta ñöôïc ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng MN . + ÔÛ caùc baøi taäp sau ñaõ neâu caùch veõ trong ñeà baøi chæ yeâu caàu hoïc sinh chöùng minh : Ví duï 2 (BT20/SGKt1 tr115) : Cho goùc xOy, Veõ cung troøn taâm O, cung naøy caét Ox, Oy theo thöù töï ôû A, B. Veõ caùc cung troøn taâm A vaø taâm B coù cuøng baùn kính sao cho chuùng caét nhau ôû ñieåm C naèm trong goùc xOy. Noái O vôùi C. Chöùng minh raèng OC laø tia phaân giaùc cuûa goùc xOy. * Chöùng minh ∆OBC = ∆OAC (c.c.c) x ⇒ BOC = · · AOC (2 goùc töông öùng) A ⇒ OC laø tia phaân giaùc cuûa goùc xOy. O C Hoïc sinh khoâng caàn phaûi neâu ñieàu kieän tia B y 9
OC naèm giöõa hai tia OA vaø OB. Ví duï 3(BT22/SGKt1tr115) : Cho goùc xOy vaø tia Am. Veõ cung troøn taâm O baùn kính r, cung naøy caét Ox, Oy theo thöù töï ôû B, C. Veõ cung troøn taâm A baùn kính r, cung naøy caét tia Am ôû D. Veõ cung troøn taâm D coù baùn kính baèng BC, cung naøy caét cung troøn taâm A baùn kính r ôû E. · Chöùng minh raèng DAE = xOy .· y * Chöùng minh : Xeùt ∆ADE vaø ∆OBC coùO: x A m AE = OC (cuøng baùn kính) y AD = OB (cuøng baùn kính) C E DE = BC (cuøng baùn kính) ⇒ ∆ADE = ∆OBC (c.c.c) · · ⇒ DAE = BOC (hai goùc töông öùng) B x m O A D · · Hay DAE = xOy Ví duï 4 (BT51/SGK7t2tr77) : Cho ñöôøng thaúng d vaø ñieåm P khoâng naèm treân d. Döïng ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm p vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d baèng thöôùc vaø compa nhö sau : (1) Veõ ñöôøng troøn taâm P vôùi baùn kính thích hôïp sao cho noù caét d taïi hai ñieåm A vaø B . (2) Veõ hai ñöôøng trong vôùi baùn kính baèng nhau coù taâm taïi A vaø B sao cho chuùng caét nhau. Goïi moät giao ñieåm cuûa chuùng laø C (C ≠ P). (3) Veõ ñöôøng thaúng PC. Em haõy chöùng minh ñöôøng thaúng PC vuoâng goùc vôùi d. * Chöùng minh : Ñöôøng troøn taâm P caét ñöôøng thaúng d taïi hai ñieåm A vaø B neân PA=PB. ⇒ P naèm treân ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB. Hai ñöôøng troøn taâm A, B coù baùn kính baèng nhau P caét nhau taïi C neân CA = CB, ⇒ C naèm treân ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB. d A B C 10
Vaäy PC laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB ⇒ PC ⊥ AB hay PC ⊥ d. * Ñoái vôùi hoïc sinh lôùp 8 yeâu caàu caùc em bieát caùch duøng thöôùc vaø compa ñeå döïng hình vaø bieát trình baøy hai phaàn Caùch döïng vaø Chöùng minh . Nhöng ñoái vôùi moät soá baøi toaùn cuõng caàn phaûi neâu ñaày ñuû 4 böôùc cuûa moät baøi toaùn döïng hình. Chaúng haïn : Ví duï 5 (BT55/SBTtr65): Döïng hình thang ABCD (AB // CD, µ µ bieát AB = 2cm , CD = 4cm , C = 500 , D = 700 . * Phaân tích : Giaû söû ñaõ döïng ñöôïc hình thang ABCD thoaû maõn yeâu caàu cuûa baøi toaùn . Qua A keû ñöôøng thaúng song song vôùi BC, caét CD ôû E. Hình thang ABCE coù hai caïnh beân AE, BC song song neân EC = AB = 2 cm . Do ñoù : DE = 2cm Tam giaùc ADE döïng ñöôïc vì bieát moät caïnh vaø hai y goùc keà. Töø ñoù döïng ñöôïc caùc ñieåm C vaø B. 2cm A 2 B x * Caùch döïng : - ∆ADE, bieát DE = 2 cm, µ = 700, E = 500 . µ 70° 50° 50° 70° 50° D D 2 E 2 C - Treân tia DE döïng ñieåm C sao cho DC = 4 cm. - Döïng caùc tia Ax // EC, Cy // EA , chuùng caét nhau ôû B. * Chöùng minh : ABCD laø hình thang vì AB // CD. µ µ Ta coù D = 700 ; DC = 4 cm ; C = AEÂD (ñoàng vò, BC // AE) µ neân C = 500 Hình thang ABCE coù hai caïnh beân AE, BC song song neân : AB = EC = 4 - 2 = 2 (cm) * Bieän luaän : Baøi toaùn coù moät nghieäm hình . A b C b Ví duï 6: Döïng tam giaùc ABC, bieát caïnh AB = c, AC = b vaø trung m tuyeán AM = m. c c M c m B A' 11
* Phaân tích: Giaû söû ∆ABC ñaõ döïng ñöôïc vôùi caïnh AB = c, AC = b vaø AM =m, trong ñoù b, c, m laø ba ñoaïn thaúng ñaõ cho. Treân tia AM ta ñaët ñoaïn thaúng MA’ = MA = m. Töù giaùc ABA’C laø hình bình haønh (vì coù hai ñöôøng cheùo caét taïi trung ñieåm cuûa moãi ñöôøng), ta cho CA’ = AB = c. Nhö vaäy ∆ACA’ laø tam giaùc xaùc ñònh vì ñaõ cho bieát ba caïnh c, b, 2m. Ñænh B naèm treân ñöôøng trung tuyeán CM cuûa ∆ACA’ vaø thoûa MB = MC. * Caùch döïng: - Döïng∆ACA’ coù ba caïnh AC = b, CA’= c, AA’ = 2m - Döïng trung tuyeán CM vaø treân tia CM ñaët ñoaïn MB = CM. * Chöùng minh: CM laø trung tuyeán cuûa ∆ACA’ neân M laø trung ñieåm cuûa AA’ 1 ⇒ AM = AA’ = m. 2 Maët khaùc, do AM = MA’ vaø CM = MB; töù giaùc ABA’C laø hình bình haønh neân AB = CA’ Vaäy ABC thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi. * Bieän luaän: Muoán döïng (ABC, ta phaûi döïng ∆ACA’ vaäy ñieàu kieän ñeå coù nghieäm laø : b − c < 2m < b + c (**) Khi (**) thoûa maõn thì baøi toaùn coù 1 nghieäm. Ví duï 7: (Baøi toaùn toång quaùt). Döïng hình thang ABCD, bieát caïnh ñaùy AD = a, caùc caïnh beân AB = c, DC = d vaø ñöôøng cheùo AC = e. * Phaân tích: Giaû söû ta döïng ñöôïc hình thang ABCD vôùi AD=a, AB=c, DC=d, AC=e. Ta nhaän thaáy: 12
- Tam giaùc ADC laø tam giaùc hoaøn toaøn xaùc ñònh vì ñaõ bieát caïnh a, d, e. Vaäy ta döïng ñöôïc tam giaùc aáy. - Ñænh B phaûi thoûa maõn hai ñieàu kieän: + Naèm treân ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng thaúng AD. + Ñi qua C vaø caùch ñieåm A moät khoaûn baèng c. * Caùch döïng: a c - Döïng∆ADC bieát ba caïnh e AD = a, CD = d, AC = e. d A a D - Töø C döïng Cx // AD. - Döïng cung troøn taâm A baùn kính c e d baèng c. - Döïng B laø giao ñieåm cuûa cung troøn taâm A baùn kính c vôùi Cx. H B B' C - Noái A vôùi B vaø B vôùi C thì hình thang ABCD laø hình thang phaûi döïng. * Chöùng minh: Do BC // AD. Suy ra töù giaùc ABCD laø hình thang, hình thang naøy coù AD = a, DC = d, AC = e theo caùch döïng. Ñænh B naèm treân cung troøn taâm A, baùn kính c neân ta coù AB = c. Vaäy hình thang ABCD laø hình thang thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn. * Bieän luaän: Muoán döïng ñöôïc hình thang ABCD thì phaûi döïng ñöôïc tam giaùc ADC vaø phaûi döïng ñöôïc ñænh B. Ñieàu kieän ñeå döïng ñöôïc∆ADC laø: a − d < e < a + d. Ñieàu kieän ñeå döïng ñænh B laø khoaûng caùch AH töø ñænh A ñeán Cx phaûi thoûa AH < c. Nhö vaäy: + AH < c: baøi toaùn coù 2 nghieäm hình (cung A;c) caét Cx taïi hai ñieåm B vaø B’. + AH = c: baøi toaùn coù moät nghieäm hình. + AH > c: baøi toaùn voâ nghieäm. Ví duï 8 : Döïng tam giaùc caân ABC ( AB = AC ) , bieát chu vi baèng 2p vaø chieàu cao AH = h . 2p * Phaân tích : h Giaû söû baøi toaùn ñaõ giaûi xong vaø ta döïng A ñöôïc∆ABC theo yeâu caàu ñeà baøi . h D E B H C 13
Neáu treân tia ñoái cuûa CB ta döïng ñoaïn thaúng CD = AC , vaø treân tia ñoái cuûa BC döïng ñoaïn thaúng BE = AB thì ta ñöôïc ñoaïn thaúng DE = 2p. Töø ñoù tam giaùc caân DAE vôùi ñaùy DE = 2p vaø ñöôøng cao AH = h laø döïng ñöôïc. Sau khi döïng tam giaùc caân ADE, ta xaùc ñònh vò trí cuûa hai ñænh B vaø C chaúng khoù khaên gì, baèng caùch döïng ñöôøng trung tröïc cuûa AE vaø AD. * Caùch döïng : - Döïng ñoaïn thaúng DE = 2p ( pheùp döïng cô baûn a) - Döïng ñöôøng trung tröïc ∆ cuûa DE ( pheùp döïng cô baûn c) vuoâng goùc vôùi DE taïi H. - Döïng ñieåm A treân ∆ sao cho AH = h (pheùp döïng cô baûn a) - Döïng ñöôøng trung tröïc cuûa AE vaø AD laàn löôït caét DE taïi hai ñænh B vaø C caàn döïng. * Chöùng minh : Roõ raøng AB = BE ; AC = CD neân caùc tam giaùc ABE vaø ACD laø tam giaùc caân : · ABC = 2 E ; · µ µ ACB = 2 D Maø tam giaùc AED laø tam giaùc caân ( AE = AD ) neân µ µ E=D ⇒ · ABC = · ACB vaø tam giaùc ABC laø tam giaùc caân vôùi ñöôøng cao AH = h. Maët khaùc: Chu vi tam giaùc ABC = AB + AC + BC = EB + BC + CD = 2p Vaäy laø tam giaùc caân ABC ñaõ döïng ñaùp öùng ñuû caùc yeâu caàu cuûa ñeà baøi. * Bieän luaän : Baøi toaùn luoân coù moät nghieäm hình. * Ñoái vôùi hoïc sinh lôùp 9 yeâu caàu caùc em taäp trình baøy ñaày ñuû 4 böôùc ñeå töø böôùc phaân tích caùc em coù theå döïa vaøo hình veõ phaùc ñeå bieän luaän nghieäm hình moät caùch chính xaùc hôn. 14
Ví duï 9(BT14/SBTtr130) : Cho ñöôøng troøn (O) vaø hai ñieåm A, B naèm beân ngoaøi ñöôøng troøn. Döïng ñöôøng kính COD sao cho AC = BD. * Phaân tích : Giaû söû ñaõ döïng ñöôïc ñöôøng kính COD sao cho AC = BD . Goïi A’ laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua O . Ta coù ACA’D laø hình bình haønh neân A’D = AC, do ñoù A’D = BD. Ñieåm D thoaû maõn hai ñieàu kieän A: - D thuoäc ñöôøng trung tröïc d cuûa A’B. B - D thuoäc ñöôøng troøn (O). d D C * Caùch döïng : O - Döïng A’ ñoái xöùng vôùi A qua O . - Döïng ñöôøng trung tröïc d cuûa A’B. A' - Goïi D laø giao ñieåm cuûa d vaø ñöôøng troøn (O) - Döïng ñöôøng kính COD. * Chöùng minh : D thuoäc ñöôøng trung tröïc cuûa A’B neân DA’ = DB. ACA’D laø hình bình haønh neân DA’ = CA. Vaäy CA = DB. * Bieän luaän : Tuyø theo soá giao ñieåm cuûa d vaø ñöôøng troøn (O) laø 2, 1, 0 maø baøi toaùn coù 2, 1, 0 nghieäm hình. Vôùi hình veõ treân baøi toaùn coù 2 nghieäm hình. Ví duï 10: Döïng ñöôøng troøn ñi qua moät ñieåm cho tröôùc vaø tieáp xuùc vôùi hai caïnh cuûa moät goùc cho tröôùc. y M O M' O1 O' A H x H' * Phaân tích : Giaû söû ñaõ döïng ñöôïc ñöôøng troøn (O) ñi qua ñieåm M cho tröôùc vaø tieáp xuùc vôùi hai caïnh cuûa goùc xAy cho tröôùc. 15
Ta döïng ñöôïc ñöôøng troøn (O’) baát kì tieáp xuùc vôùi Ax vaø Ay. Keû baùn kính O’M’ song song vôùi OM (O’M’ vaø OM thuoäc cuøng moät nöûa maët phaúng bôø AO ). Keû O’H’ ⊥ Ax, OH ⊥ Ax . AO ' O ' H ' O ' M ' Ta coù : = = ⇒ ∆AO’M’ ∆AOM (c.c.c) AO OH OM · · Do ñoù O ' AM ' = OAM ⇒ A, M’, M thaúng haøng. * Caùch döïng : - Döïng ñöôøng troøn (O’) baát kì tieáp xuùc vôùi hai caïnh cuûa goùc A . - Ñöôøng thaúng AM caét (O’) ôû M’. - Qua M keû ñöôøng thaúng song song vôùi M’O’, caét AO’ ôû O. - Döïng OH ⊥ Ax . Döïng ñöôøng troøn (O; OH). * Bieän luaän : Ñöôøng thaúng AM caét (O’) ôû hai ñieåm, baøi toaùn naøy coù hai nghieäm hình : ñöôøng troøn (O) vaø (O 1) treân hình veõ. III. MOÄT SOÁ BAØI TAÄP VAÄN DUÏNG Baøi taäp 1 (BT15/SGK7t1 tr114) : Veõ tam giaùc MNP bieát MN = 2,5 cm ; NP = 3 cm ; PM = 5 cm. - Veõ ñoaïn thaúng PM = 5cm. N - Treân cuøng moät nöûa maët phaúng bôø PM, veõ cung troøn taâm P baùn kính 3cm vaø cung troøn 3 2,5 taâm M baùn kính 2,5cm. M 5 P - Hai cung troøn treân caét nhau taïi N. - Veõ caùc ñoaïn thaúng MN, NP, ta ñöôïc tam giaùc MNP. Baøi taäp 2 : : Veõ tam giaùc ABC bieát AB = 4cm, AC = µ 3cm , A = 650 y · - Veõ goùc xAy = 650 C - Treân tia Ax laáy ñieåm B sao cho AB = 4cm. 3cm - Treân tia Ay laáây ñieåm C sao cho AC = 3 cm. x - Veõ ñoaïn thaúng BC, ta ñöôïc tam giaùcA ABC. 65° 4cm B 16
µ Baøi taäp 3 : Veõ tam giaùc DEF bieát EF = 5cm , E = 600 , F = $ 0 40 . - Veõ ñoaïn thaúng EF = 5 cm . D - Treân cuøng moät nöûa maët phaúng bôø EF, veõ · · caùc tia Ex vaø Fy sao cho FEx = 600 ; EFy = 400 . Hai tia Ex vaø Fy caét nhau taïi D, ta ñöôïc tam giaùc DEF. 60° 40° E 5cm Hoïc sinh cuõng coù theå döïng hình naøy theo caùch F khaùc , chaúng haïn : * Caùch döïng : (1) Töø ñieåm A baát kì treân ñöôøng thaúng d, P veõ ñöôøng troøn taâm A, baùn kính AP. (2) Töø ñieåm B baát kì treân ñöôøng thaúng d, veõ ñöôøng troøn taâm B, baùn kính BP. d A B Hai ñöôøng troøn naøy caét nhau ôû P vaø Q. Ñöôøng thaúng PQ vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d . Q * Chöùng minh : Thaät vaäy, töø AP = AQ suy ra A naèm treân ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng PQ. Töø BP = BQ suy ra B naèm treân ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng PQ. Vaäy, AB laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng PQ hay d laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng PQ. Suy ra PQ ⊥ d. Baøi taäp 4 : Döïng hình thang caân ABCD (AB // CD), bieát AD = 3cm, DC = 6cm ; AC = 5cm. *Phaân tích : A B x Giaû söû hình thang caân ABCD thoaû maõn ñeà 3 5 baøi ñaõ döïng ñöôïc. ∆ADC coù AD = 3cm , DC = 6cm, AC = 5cm D 6 C neân döïng ñöôïc. Ñieåm B naèm treân tia Ax song song vôùi DC vaø DB = 5cm neân xaùc ñònh ñöôïc. * Caùch döïng : - Döïng ∆ADC coù AD = 3cm ; DC = 6cm ; AC = 5cm. - Döïng tia Ax song song vôùi DC (tia Ax vaø ñieåm C naèm trong cuøng moät nöûa maët phaúng bôø AD). - Döïng ñöôøng troøn taâm D baùn kính 5cm caét tia Ax taïi B. Veõ ñoaïn thaúng BC. *Chöùng minh : Töù giaùc ABCD laø hình thang (vì AB // CD) 17
Hình thang ABCD (AB // CD) coù AC = BD (=5cm) neân laø hình thang caân. Hình thang caân ABCD (AB // CD ) coù AD=3cm ; DC=6cm; AC=5cm thoaû maõn ñeà baøi . * Bieän luaän : Luoân luoân döïng ñöôïc tam giaùc ADC, do ñoù luoân luoân döïng ñöôïc hình thang caân ABCD thoaû maõn ñieàu kieän cuûa ñeà baøi . Baøi taäp 5 : Döïng moät tam giaùc ABC vôùi trung tuyeán AM coù ñoä daøi baèng moät ñoaïn thaúng m cho tröôùc, vaø caùc goùc MAB vaø MAC laàn löôït baèng nhöõng goùc α vaø β cho tröôùc A m α β m α β * Phaân tích : B M C Giaû söû ta ñaõ döïng ñöôïc tam giaùc ABC thoaû maõn · AM = m ; MAB = α ; MAC = β . · Hình veõ treân cho thaáy khoâng coù moät boä phaän naøo cuûa hình hoäi ñuû ñieàu kieän ñeå döïng ñöôïc. Thí duï : ∆AMC chæ coù hai yeáu toá ñöôïc bieát laø MAÂC = β vaø AM = m neân khoâng theå döïng ñöôïc. Ñaây laø luùc nhôù laïi ñöôïc nhöõng baøi toaùn töông töï ñaõ giaûi roài laø raát quyù giaù. Chaúng haïn nhôù laïi baøi : Neáu keùo daøi trung tuyeán AM theâm moät ñoaïn MD = AM thì ∆AMB = µ ∆DMC(c.g.c) neân AÂ1 = D . Töø ñoù hình thaønh ∆ACD vôùi µ AÂ2 = β, D = AÂ1 = α vaø AD = 2m. Tam giaùc ñoù hoäi ñuû caùc ñieàu kieän ñeå döïng ñöôïc. Sau khi A döïng ñöôïc tam giaùc naøy, ta seõ döïng ñænh B chaúng coù β αkhoù khaên gì. * Caùch döïng : - Döïng ñoaïn thaúng AD = 2m (pheùp döïngm cô baûn a) 1 C B M 2 · - Döïng hai goùc keà caïnh AD laø DAC = β vaø ·ADC = α (pheùp döïng cô baûn b) . Hai caïnh AC vaø DC giao nhau taïi C. - Ta keû trung tuyeán CM cuûa ∆ACD vaø keùo D daøi theâm moät ñoaïn MB = MC, töø ñoù xaùc ñònh ñöôïc ñænh B cuûa ∆ABC caàn döïng. * Chöùng minh : 18
Theo caùch döïng roõ raøng ∆AMB = ∆DMC (c.g.c) AD ⇒ AM = µ = m ; AÂ1 = D = α vaø AÂ2 = β 2 Vaäy ∆ABC döïng ñöôïc thoaû maõn ñaày ñuû caùc yeâu caàu cuûa ñeà baøi. * Bieän luaän : Treân ñaây ta noùi hai caïnh AC vaø DC giao nhau taïi C. Thaät ra laø chuùng chæ giao nhau neáu α + β < 2v . Nhöng α + β = AÂ neân chaéc chaén α + β < 2v . Do ñoù , baøi toaùn luoân giaûi ñöôïc vaø coù moät nghieäm hình Baøi taäp 6 : Döïng tam giaùc ABC vuoâng taïi A . Bieát raèng · a2 ABC = 150 vaø S ABC = 2 Höôùng daãn phaân tích : C' Giaû söû ta döïng ñöôïc tam giaùc ABC thoaû maõn A caùc ñieàu kieän cuûa baøi toaùn. Ñöôøng troøn taâm O (trung ñieåmB cuûa °BC), 15 O K H C baùn kính OA ngoaïi tieáp tam giaùc ABC. Tam giaùc OAB caân, goùc ngoaøi · AOC = 300 . Goïi C’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C qua A. Tam giaùc BCC’ coù BA vöøa laø ñöôøng cao vöøa laø ñöôøng trung tuyeán · neân laø tam giaùc caân , suy ra : BC’ = BC vaø CBC ' = 300 Haï C’K ⊥ BC taïi K . Tam giaùc vuoâng BKC’ laø nöûa BC ' BC tam giaùc ñeàu suy ra : C ' K = = 2 2 1 1 Tính dieän tích tam giaùc BCC’ : SBCC’= .BC.C’K= 2 2 BC 1 .BC. = .BC2 2 4 1 1 a2 Maø SABC = . SBCC’ suy ra .BC2 = . Vaäy BC = 2a . 2 8 2 Töø ñoù ta döïng ñöôïc tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù · ABC = 150 vaø BC = 2a . Baøi taäp 7 : Döïng moät tam giaùc ABC, vuoâng taïi ñænh A cho bieát caïnh huyeàn BC = a vaø hieäu hai caïnh goùc vuoâng AC - Ab = d . A 45° B' 135° d 19 B a C
* Phaân tích : Giaû söû ta ñaõ döïng ñöôïc tam giaùc vuoâng ABC vôùi AÂ = 900 ; BC = a vaø AC - AB = d. Treân caïnh AC ta laáy ñieåm B’ sao cho AB’ = AB. Nhö vaäy vì : + AB’ = AB neân B’C = AC - AB’ = AC - AB = d. + ∆ABB“ vuoâng caân ⇒ · ' B = 450 ⇒ BB ' C = 1350 AB · Tam giaùc BB’C laø tam giaùc döïng ñöôïc vì bieát hai caïnh · B’C = d , BC = a vaø BB ' C = 1350 . Ñænh A laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng CB’ vôùi ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn BB’. * Caùch döïng : - Döïng tam giaùc BB’C vôùi BC = a ; CB’ = d vaø · BB ' C = 1350 - Döïng ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng BB’ . Ñöôøng naøy caét ñöôøng thaúng CB’ taïi ñieåm A. Noái A vôùi B. Tam giaùc ABC laø tam giaùc caàn döïng. * Chöùng minh : Thaät vaäy, do caùch döïng, ta coù BC = a Ta laïi coù : BB ' C = 1350 ⇒ · ' B = 450 · AB Ñieåm A naèm treân trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng BB’ neân ta coù AB = AB’. Nhöng AC - AB’ = B’C = d. Suy ra AC - AB = d Ñoàng thôøi do AB = AB’ ⇒ ∆BAB’ caân taïi ñænh A maø · ' B = 450 suy ra B ' AB = 900 hay ∆ ABC vuoâng taïi A . AB · Hay ∆ ABC döïng ñöôïc vì noù thoaû caùc ñieàu kieän AÂ 0 = 90 ; BC = a ; AC - AB = d. * Bieän luaän : Ñieàu kieän coù nghieäm laø a > d (Vì BC > AC - AB laø ñieàu kieän ñeå coù tam giaùc ABC) Vôùi ñieàu kieän naøy , baøi toaùn luoân coù 1 nghieäm . 20