Một số phương pháp chứng minh hình học cổ điển

Chia sẻ: Nguyễn Thị Giỏi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

715
lượt xem 231
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về phương pháp chứng minh hình học cổ điển lớp 12

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp chứng minh hình học cổ điển

A. M t s phương pháp ch ng minh hình h c c ñi n. 1. Phương pháp ch ng minh ñư ng th ng vuông góc v i mp a. c c⊥a  c⊥b   ⇒ c ⊥ (α) b a ∩ b ≠ ∅  a a, b ⊂ ( α )   α ( P1 ) ⊥ ( P )   b. ( p2 ) ⊥ ( P )  ⇒ a ⊥ ( P )  a = ( P ) ∩ ( P2 )  1 a P1 P2 P 2. Phương Pháp ch ng minh hai ñư ng th ng vuông góc c ⊥ (α)   ⇒c⊥a ∀a ⊂ ( α )   3. Cho O ∉ (α ) , OH ⊥ (α ) , (H ∈ (α )) , A;B ∈ (α ) .Ñoaïn OH laø ñoaïn vuoâng goùc cuõng laø ñoaïn ngaén nhaát , OA;OB laø caùc ñöôøng xieân, HA;HB laø caùc hình chieáu cuûa caùc ñöôøng xieân. O OA = OB ⇔ HA = HB OA > OB ⇔ HA > HB H B A α 4. Phương pháp ch ng minh mp vuông góc v i mp 1
a P1 P a ⊥ (P )    ⇒ ( P ) ⊥ ( P1 ) a ⊂ ( P1 )   α (α ) ⊥ (β )  c = (α ) ∩ (β )  a 5.  ⇒ a ⊥ (β ) a ⊂ (α )  a⊥c  β  c 6. Góc c a ñư ng th ng và mp Góc gi a ñư ng th ng a và mp ( α ) là góc c a a và hình chi u a′ c a a trên . Kí hi u ( a, ( α ) ) Khi ( a, ( α ) ) = 00 thì a ( α ) hay a ⊂ ( α ) . π π Khi a ⊥ ( α ) th× ( a, ( α ) ) = 00 ≤ (a , ( α )) ≤ 2 2 Chú ý: O a a H α 7. Góc c a hai m t ph ng Tìm giao tuy n c c a hai mp . D ng ño n th ng AB có hai ñ u mút trên hai m t và vuông góc v i m tm t. Tìm hình chi u vuông góc H c a A hay B trên c. A AHB là góc ph ng c a hai mp . c π β 00 ≤ (( ) ( )) α , β ≤ 2 B H α 2
Chuù yù N u ñã có s n ñư ng th ng d c t hai m t t i A , B và vuông góc v i giao tuy n c , khi ñó ta tìm hình chi u vuông góc c a A (hay B hay 1 ñi m nào ñó trên AB) trên c thành H .Khi ñó AHB là góc c a hai mp . A c B. M t s hình thư ng g p β H B 1. Hình Chóp α S S D A C D B C B 2. Hình Chóp ñ u S S d A B A B O I I O C D C Hình choùp ñeàu laø hình choùp coù ñaùy laø ña giaùc ñeàu vaø caùc caïnh beân baèng nhau hay hình choùp ñeàu laø choùp coù ñaùy laø ña giaùc ñeàu vaø taâm cuûa ñaùy truøng vôùi taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy. Sxq baèng toång dieän caùc maët beân. 1 Sxq = pd vôùi p laø chu vi ñaùy,d laø ñoä daøi trung ñoaïn ( hình choùp ñeàu ). 2 1 V = Bh vôùi B laø dieän tích ñaùy,h laø chieàu cao cuûa hình choùp. 3 3. Hình lăng tr . Hình laêng truï laø hình ña dieän coù hai maët naèm trong hai maët phaúng song song goïi laø 3
hai ñaùy vaø taát caû caùc caïnh khoâng thuoäc hai ñaùy ñeàu song song vôùi nhau.Hình laêng truï ABCD . A′B ′C ′D ′ ABCD , A′B ′C ′D ′ laø hai ñaùy. ABB ′A′, BCC ′B ′ : laø caùc maët beân. AA′, BB ′...... laø caùc caïnh beân. ACC ′A′, BDD ′B ′ laø caùc maët cheùo. Trong hình laêng truï: Caùc caïnh beân song song vaø baèng nhau . Caùc maët beân vaø maët cheùo laø caùc hình bình haønh. Hai ñaùy laø hai ña giaùc baèng nhau coù caùc caïnh töông öùng song song vaø baèng nhau. Hình laêng truï coù ñaùy laø hình bình haønh goïi laø hình hoäp. Hình hoäp coù taát caû caùc maët beân vaø maët ñaùy ñeàu laø hình chöõ nhaät goïi laø hình hoäp chöõ nhaät. Hình hoäp coù taát caû caùc maët beân vaø maët ñaùy ñeàu laø hình vuoâng goïi laø hình laäp phöông. Trong hình hoäp caùc ñöôøng cheùo caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñöôøng. Laêng truï ñöùng laø laêng truï coù caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy.Trong laêng truï ñuùng caùc caïnh laø ñöôøng cao,caùc maët beân laø hình chöõ nhaät. Laêng truï ñeàu laø laêng truï ñöùng coù ñaùy laø ña giaùc ñeàu,caùc maët beân laø caùc hình chöõ nhaät baèng nhau. A B A C C B D A B ' ' C A C ' B D Hình hoäp ñöùng laø hình hoäp coù caùc caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy. Hình hoäp chöõ nhaät laø hình hoäp ñöùng coù ñaùy laø hình chöõ nhaät.Ba ñoä daøi cuûa ba caïnh xuaát phaùt töø moät ñænh goïi laø ba kích thöôùt cuûa hình hoäp chöõ nhaät. Ñöôøng cheùo cuûa hình hoäp chöõ nhaät baèng d 2 = a 2 + b 2 + c 2 vôùi d laø ñöôøng cheùo a,b,c laø ba kích thöôùc. Vôùi hình laäp phöông caïnh a: d = a 3 . V= B.h vôùi B laø dieän tích ñaùy, h laø ñoä daøi chieàu cao ( Hình laêng truï ). V = a.b.c vôùi a, b , c laø ba kích thöôùc (hình hoäp chöõ nhaät ). 4
V = a3 vôùi a laø caïnh ( hình laäp phöông ). A D A D B B C C A A D D C B C B A D C B A D B C C. Bài T p rèn luy n Bài 1: Cho hình chóp tam giác ñ u S.ABC có c nh ñáy b ng a, c nh bên b ng 2a. G i I là trung ñi m c a c nh BC. a) CMR SA vuông góc v i BC. b) Tính th tích kh i chóp S.ABI theo a ? Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ABC vuông t i B, ñư ng th ng SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). Bi t AB = a, BC = a 3 , SA = 3a. Tính th tích kh i chóp S.ABC. Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, BC = 2a, SA = 2a, SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M là trung ñi m c a SC. a) CMR tam giác MAB cân t i M. b) Tính th tích kh i chóp SABC và th tích kh i chóp S.AMB 5
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông t i C, AB = 2a, góc CBA b ng 600, SA = 2a, SA vuông góc v i m t ph ng (ABC).K là hình chi u c a A trên SB. a) CMR tam giác KAC là tam giác cân. b) Tính th tích kh i chóp SABC và th tích kh i chóp S.AKC. Bài 5: a 6 Cho hình chóp t giác ñ u S.ABCD có chi u cao SO = ,c nh bên h p v i ñáy 3 m t góc 450. a) Tính góc gi a c nh bên và c nh ñáy. b) Tính di n tích toàn ph n và th tích c a kh i chóp S.ABCD. Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñ u c nh a, SA = a 3 , SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i J là tr ng tâm tam giác SBC. Tính th tích kh i chóp J.ABC ? Bài 7: Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác cân t i A, SA ⊥ ( ABC ) .G i G là tr ng tâm tam giác SBC. Bi t SA = 3a, AB = a , BC = 2a. a. Ch nh minh AG ⊥ BC . b. Tính th tích kh i t di n GABC theo a. Bài 8: Cho hình chóp ñ u S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông c nh a, c nh bên b ng 2a. Tính th tích c a kh i chóp theo a. Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân t i ñ nh B, AC = a 2 và SB = a 3 . ðư ng th ng SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). Tính theo a th tích kh i chóp S.ABC. Bài 10: Hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông t i A, AB = a , AC = a 3 , m t bên SBC là tam giác cân t i S (SB = SC = 2a) và vuông góc v i m t ph ng ñáy. Tính theo a th tích kh i chóp S.ABC. Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông c nh a. Bi t SA = SB = 2a và hai m t ph ng (SAB) và (ABCD) vuông góc v i nhau. Tính th tích kh i chóp S.ABCD. Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có hai m t bên (SAB) và (SAC) vuông góc v i m t (ABC). ðáy ABC là tam giác cân t i ñ nh A, ñ dài ñư ng trung tuy n AM = a . M t bên (SBC) t o v i ñáy góc 450 và SBA = 300 . Tính th tích c a kh i chóp S.ABC. Bài 13: Cho hình chóp ñ u S.ABC có các c nh bên SA = SB = SC = a . Góc gi a c nh bên và ñáy b ng 600 . Tính th tích c a kh i chóp S.ABC theo a Bài 14: ðáy ABC c a hình chóp SABC là tam giác vuông cân (BA=BC). C nh bên SA vuông góc v i m t ph ng ñáy và có ñ dài là a 3 . C nh bên SB t o v i m t góc 600 . Tính di n tích toàn ph n c a hình chóp 6
Bài 15: Hình chóp S.ABC có các c nh bên nghiêng ñ u v i ñáy m t góc 600 , ñ dài các c nh ñáy là CB = 3,CA = 4, AB = 5 . Tính th tích V c a hình chóp Bài 16: Hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác cân, c nh ñáy BC = a,BAC = α . Các c nh bên nghiêng v i ñáy m t góc α . Tính th tích hình chóp Bài 17: a 5 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi c nh a, BAD = 600 , SA = SC = , SB = 2 SD.Tính th tích kh i chóp S.ABCD. Bài 18: a 3 Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông t i A, BC = a, SA =SB = SC = 2 và m t bên SAB h p v i ñáy m t góc b ng 600. Tính th tích c a kh i chóp S.ABC. Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông t i B, SA ⊥ (ABC), ACB = 600 , BC = a, SA = a 3 . G i M là trung ñi m c a SB. Ch ng minh (SAB) ⊥ (SBC). Tính th tích kh i t di n MABC. Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ABC vuông t i B, AB = a, BC = a 3 . Tam giác SAC ñ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i ñáy.Tính th tích kh i chóp S.ABC. Bài 21: Cho laêng truï ñöùng ABC.A’B’C’ coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng , AB=BC=a, caïnh beân AA’= a 2 . Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Tính theo a theå tích cuûa khoái laêng truï ABC.A’B’C’ Bài 22: Cho kh i lăng tr ñ ng ABC.A’B’C’ có ñáy ∆ABC vuông t i A, AC = a, góc ACB b ng 600. ðư ng th ng BC’ t o v i (AA’C’C) m t góc 300. Tính th tích kh i lăng tr ñã cho. Bài 23: ðáy ABC c a hình lăng tr ABC.A'B'C' là tam giác ñ u c nh a. Góc gi a c nh bên hình lăng tr và m t ñáy b ng 300 . Hình chi u vuông góc c a ñ nh A' trên m t ph ng ñáy (ABC) trùng v i trung ñi m H c a c nh BC. Tính th tích hình lăng tr . Bài 24: Cho hình lăng tr tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc gi a ñư ng th ng BB’ và m t ph ng (ABC) b ng 600; tam giác ABC vuông t i C và BAC = 600. Hình chi u vuông góc c a ñi m B’ lên m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC. Tính th tích kh i t di n A’ABC theo a. Bài 25: 7
Bài 26: Tính th tích kh i lăng tr ñ ng có ñáy là tam giác ñ u c nh a 2 góc gi a ñư ng chéo m t bên và ñáy là 600 . -------------Chúc các em thành công-------------- 8