Nghiên cứu hình học phẳng và phương pháp số phức: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 cuốn sách "Phương pháp số phức và hình học phẳng" trình bày các nội dung: Khái niệm về số phức, độ đo góc của hai tia, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, đường thẳng và đường tròn Euler, đường thẳng Simson, tứ giác nội tiếp đường tròn. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu hình học phẳng và phương pháp số phức: Phần 1

NGUYỄN HỮU ĐIỂN PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌC PHẲNG NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
©ebook 2.0 của cuốn sách nguyên gốc từ bản in, các bạn tham khảo, cho ý kiến sai sót và lời khuyên tái bản. Mọi liên hệ Tác giả: Nguyễn Hữu Điển Điện thoại: 0989061951 Email: huudien@vnu.edu.vn Email: nguyenhuudien@hus.edu.vn Web: https://nhdien.wordpress.com Web: https://vietex.blog.fc2.com/ Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc: Nguyễn Văn Thỏa Tổng biên tập: Nghiêm Đình Vỳ Biên tập và sửa bản in: Nguyễn Lan Hương Trình bày bìa: Ngọc Anh Chế bản: Nguễn Hữu Điển PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌC PHẲNG Mã số: 01.120.DDH99-475.99 In 1000 cuốn, tại số 2 Phạm Ngũ Lão, XN in 15 Số xuất bản: 98/457/CXB. Số trích ngang 52KH/XB In xong và nộp lưu chiểu tháng 5/2000
LỜI NÓI ĐẦU Do nhu cầu phát triển của toán học, số phức đã ra đời từ thế kỷ trước. Sau đó số phức lại thúc đẩy phát triển không những Toán học mà còn các ngành khoa học khác. Ngày nay, số phức không thể thiếu được trong các ngành khoa học lý thuyết cũng như kỹ thuật. Thế nhưng số phức được học trong các trường phổ thông ở những năm cuối cùng, chỉ mang tính chất giới thiệu. Chúng tôi biên soạn cuốn sách này không phải để phổ biến số phức, mà chỉ dùng số phức như là công cụ giải những bài toán hình học điển hình ở phổ thông. Do vậy, chúng tôi trình bày sơ lược về số phức mà ta sẽ dùng chứ không đi sâu nghiên cứu số phức, phần quan trọng là dùng số phức để giải bài toán hình học, chúng tôi cố gắng phân loại những bài toán hình học theo một dạng nào đấy để thấy mặt mạnh của phương pháp số phức. Ngoài ra những bài tập trong cuốn sách này là chọn lọc những bài toán hay trong hình học. Để đọc tài liệu này, không cần yêu cầu bạn đọc biết trước về số phức, chúng tôi sẽ giới thiệu ngắn gọn và các tính chất của số phức để dùng sau này. Nếu bạn đọc còn bỡ ngỡ và tìm hiểu theo một hướng khác, thì nên xem: A.I. Markusevits,Số phức và ánh xạ bảo giác, NXB KHKT, 1987 N.C. Toàn, Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học, NXB GD, 1992. Ngày nay số phức cũng là khởi đầu một ngành nghiên cứu mới trong toán học, đó là hình học Fractal của thời đại vi tính. Hy vọng 3
4 Lời nói đầu chúng tôi sẽ giới thiệu loại hình học mới này trong một cuốn sách khác tiếp theo. Với khuôn khổ một cuốn sách nhỏ không thể vẽ tất cả các hình theo chỉ dẫn của bài tập, vì vậy bạn đọc với cây bút và tờ giấy trắng hãy tự vẽ lấy hình theo chỉ dẫn. Nội dung cuốn sách bao gồm từ Chương 1 đến Chương 3 là những khái niệm chính về số phức để ta dùng sau này và cách tiếp cận số phức như một phương pháp để giải các bài toán hình học phẳng. Những chương tiếp theo là dùng số phức để khảo sát bài tập hình học phẳng theo các chủ đề. Chương 12 trả lời các bài tập hoặc gợi ý giải. Những chương còn lại chúng ta bàn luận riêng về một khía cạnh mở rộng. Chúng tôi cũng mong muốn đây là tài liệu tham khảo cho các học sinh khá giỏi yêu thích môn toán, hoặc làm tài liệu cho các buổi ngoại khoá về môn Toán đối với các thầy cô giáo. Trong biên soạn chúng tôi cũng cố gắng tạo ra những chủ đề trong hình học để các bạn say mê toán học làm việc tiếp tục. Lần đầu tiên biên soạn không tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn, mong các bạn đọc góp ý bổ sung và sửa đổi.Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS Phan Huy Khải đã hết sức giúp đỡ, chỉ dẫn và khuyến khích để cuốn sách ra mắt bạn đọc. Sách được soạn bằng chương trình Pctex for Window 2.1, phông chữ tiếng Việt và hình minh họa do chính tác giả soạn thảo và cài đặt trong TEX. Mọi thư từ liên hệ với : Nguyễn Hữu điển, Viện Toán học, Hộp thư 631, Bờ Hồ, Hà Nội, Việt Nam. Chúc các bạn thành công. Hà Nội, 2000
Chương 1 KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC 1.1. Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Biểu diễn đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Công thức Moa vrơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC Từ thế kỷ trước do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số mà số phức đã xuất hiện. đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về số phức và tìm cách biểu diễn hình học cho số phức, điển hình là Gaus, Hamilton,... Còn ứng dụng của số phức thì với khoa học hiện đại không thể thiếu được. Mục đích của chương này trình bầy khái niệm đơn giản nhất về số phức mà ta sẽ sử dụng về sau. Có nhiều cách tiếp cận số phức, ở đây ta chọn cách định nghĩa số phức theo tiên đề, đồng thời cũng giải thích các tiên đề đó bằng hình học cho dễ hiểu. Như ta đã biết số thực được biểu diễn bởi một đường thẳng có hướng, thường được gọi là trục số. Bây giờ, trong mặt phẳng ta chọn một hệ tọa độ vuông góc, thì mỗi điểm Z của mặt phẳng được xác định theo tọa độ (a, b) đối với hệ tọa độ đã cho. Thường người ta ký hiệu cặp số thực (a, b) ứng với một điểm Z trên
6 Chương 1. Khái niệm về số phức mặt phẳng. Như vậy với một hệ tọa độ cho trước thì tập hợp những điểm trên mặt phẳng và tập hợp các cặp số (a, b) là một quan hệ một-một. Mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một cặp số thực và dựa vào đó ta sẽ xây dựng một tập hợp những số phức với điểm trên mặt phẳng. Với mục đích ta đưa vào định nghĩa các phép toán trên các cặp số thực sao cho các định luật của đại số vẫn còn đúng như trong trường hợp số thực. Chúng ta chọn ba tiên đề sau: 1. Hai cặp số z1 = (a1 , b1 ) và z2 = (a2 , b2 ) bằng nhau nếu a1 = a2 và b1 = b2 . 2. Nếu cho hai cặp số z1 = (a1 , b1 ) và z2 = (a2 , b2 ), thì tổng của chúng z = z1 + z2 là một cặp số z = (a, b), mà a = a1 + a2 và b = b1 + b2 . 3. Nếu cho hai cặp số z1 = (a1 , b1 ) và z2 = (a2 , b2 ), thì tích của chúng z = z1 z2 gọi là một cặp số z = (a, b), mà a = a1 a2 − b1 b2 và b = a1 b2 + a2 b1 . Từ những định nghĩa trên ta có thể kiểm tra tất cả định luật của đại số vẫn còn đúng như: tính bắc cầu của đẳng thức, tính đối xứng và tính phân phối của các phép cộng và phép nhân ở trên. Và cũng đưa vào phép trừ hoặc chia các cặp số (tất nhiên không chia cho số 0 = (0, 0), các bạn tự kiểm tra các tính chất như một bài tập). Tập hợp tất cả những cặp số thực với các phép tính quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân như ở trên gọi là tập hợp các số phức. Như vậy, cho một hệ tọa độ vuông góc trong mặt phẳng thì tập hợp các số phức có thể đồng nhất với những điểm trên mặt phẳng này. Bây giờ, ta xét trường hợp đặc biệt là những điểm nằm trên
1.2. Biểu diễn đại số của số phức 7 trục hoành của hệ tọa độ, hay là những điểm có dạng (a, 0) với a là số thực bất kỳ. Do (a1 , 0) + (a2 , 0) = (a1 + a2 , 0) và (a1 , 0)(a2 , 0) = (a1 a2 , 0) như là phép cộng và phép nhân những tọa độ ở trục hoành đối với các điểm này. Vì thế ta có thể đồng nhất các điểm trên trục hoành với số thực, đáng lẽ phải viết (a, 0) ta chỉ viết a.(ví dụ: (0, 0) = 0, (1, 0) = 1, ...). Ta xét một số phức đặc biệt dạng (0, 1). Tính (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Như vậy tồn tại một số phức bình phương bằng một số thực. Theo truyền thống ta ký hiệu i = (0, 1). 1.2. BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Ta đã thấy rằng sự đồng nhất của số thực với tập hợp con của số phức dạng (a, 0) = a với a là một số thực. Một số phức đặc biệt i = (0, 1) và theo truyền thống người ta gọi là đơn vị ảo. Ta xét tích của một số thực b = (b, 0) với đơn vị ảo bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b). đây là một điểm nằm trên trục tung với tung độ b. Thế còn một điểm bất kỳ thì sao ? Do định nghĩa phép cộng nên có thể biểu diễn z = (a, 0) + (0, b). Suy ra z = a + ib. Một số phức viết dưới dạng z = a + ib gọi là dạng đại số của số phức. Số thực a gọi là phần thực của z và được ký hiệu là Re(z), còn số b gọi là phần ảo của z và được ký hiệu là Im(z). Mặt phẳng chứa toàn bộ số phức gọi là mặt phẳng phức. Trục hoành của hệ tọa độ vuông góc trong mặt phẳng phức gọi là trục thực (chứa toàn bộ số thực). Trục tung gọi là trục ảo (chứa toàn bộ số ảo). Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia những số phức viết dưới
8 Chương 1. Khái niệm về số phức dạng biểu diễn đại số như sau: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d), (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc), (a + ib) ac + bd bc − ad = 2 2 +i 2 . (c + id) c +d c + d2 Ba công thức đầu ta dễ dàng chứng minh được từ sự biểu diễn đại số của số phức. Công thức cuối cùng hơi khó một chút bằng cách tiến hành dựa vào ba công thức trên: (a + ib) (a + ib)(c − id) = (c + id) (c + id)(c − id) (ac + bd) + i(bc − ad) ac + bd bc − ad = = 2 +i 2 . c2 + d2 c + d2 c + d2 Trong cách chứng minh trên ta có dùng số phức (c − id) trong quá trình biến đổi và số này có mối liên hệ chặt chẽ với số phức c + id. Trong thực tế, để thuận tiện thực hiện các phép tính và biến đổi số phức người ta đưa vào ký hiệu z = a − ib và gọi là số liên hợp của ¯ z = a + ib. Những tính chất sau đây thường được dùng đối với số phức liên hợp: 1) z + z = 2a = 2Rez. ¯ 2) z z = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 . ¯ z1 z1 ¯ 3) z1 .z2 = z1 z2 ; z1 + z2 = z1 + z2 ; ¯¯ ¯ ¯ = ;... z2 z2 ¯ Tóm lại, f (x1 , ..., xn ) là một hàm hữu tỷ với hệ số thực, z1 , ..., zn là những số phức bất kỳ sao cho f (z1 , ..., zn ) có nghĩa, khi đó f (z1 , ..., zn ) = f (¯1 , z2 , ..., zn ). z ¯ ¯ 4) Một số phức z là một số thực khi và chỉ khi z = z. ¯ 5) Nếu z = −z, thì Rez = 0. Khi đó số z là hoàn toàn ảo. ¯
1.3. Dạng lượng giác của số phức 9 1.3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Trên mặt phẳng cho một hệ tọa độ vuông góc, sự biểu diễn số phức theo những điểm trên mặt phẳng cho ta dễ dàng nghiên cứu các phép toán trên số phức: Cho hai số phức dạng đại số z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 . đó là hai điểm Z1 , Z2 trong hệ tọa độ vuông góc ứng với số trên. điểm O là tọa độ gốc. Ta nối điểm Z1 , Z2 với gốc O −→ −→ − − y Z và xác định vectơ OZ1 , OZ2 . Sau Z1 đó dựng hình bình hành OZ1 ZZ2 . Như vậy đỉnh thứ tư z = (a1 + a2 , b1 + b2 ) biểu diễn tọa độ của Z2 số phức z1 + z2 như tổng của hai 0 x số phức đã cho. Z Do đó tổng hai số phức có thể biểu diễn hình học như cộng hai vectơ trong mặt phẳng. Hình 1.1. Bởi vì mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một bán kính −→ −→ − − − → vectơ OZ và ta thấy ngay OZ1 + OZ2 = OZ, ta có nhận xét là khi xem số phức như là những điểm trên mặt phẳng với hệ tọa độ gốc O thì có thể xem số phức như là những vectơ trong mặt phẳng này, chính điều nhận xét này mà ta áp dụng được số phức vào giải những bài toán trong hình học phẳng. Một số phức xác định như là một điểm trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho trước. Ngoài ra, một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn toàn xác định bởi hệ tọa độ cực: thật vậy, cho z = a + ib = 0 thì − → số phức này ứng với một vectơ OZ, ta ký hiệu r là độ dài bán kính
10 Chương 1. Khái niệm về số phức vectơ này, còn ϕ là độ lớn của góc định hướng giữa trục hoành và vectơ xác định số phức (góc có hướng dương là góc có chiều quay trục hoành đến vectơ theo chiều ngược kim đồng hồ, góc có hướng âm thì ngược lại). Rõ ràng r là một số thực không âm. Nếu điểm z nằm trên trục hoành thì số r chính là môđun của số thực tương ứng, vì vậy cho số phức z ta cũng định nghĩa r là môđ un của z và ký hiệu là |z|. √ Do đó r = a2 + b2 hoặc r2 = a2 + b2 = z z . Góc ϕ được gọi là ¯ argumen của số phức và ký hiệu y Z = a + ib là arg z. Giá trị của ϕ có thể là âm hoặc dương phụ thuộc vào r hướng quay của trục hoành đến nó. Có thể xác định ϕ bằng φ a a cos ϕ = = √ 0 x r a2 + b2 và b b sin ϕ = = √ Hình 1.2. r a2 + b2 argumen của số phức z = 0 nhận vô cùng nhiều giá trị. Nếu một giá trị ϕ đã xác định thì argumen được xác định theo công thức arg z = ϕ + 2kπ k là một số nguyên. Thường thường ta chỉ dùng giá trị của argumen trong khoảng [0, 2π). Những số r và ϕ biểu diễn một tọa độ cực của z. Nếu cho một điểm z = a + ib = 0, thì mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ vuông góc như sau a = r cos ϕ, b = r sin ϕ.
1.3. Dạng lượng giác của số phức 11 Khi đó số phức z có thể viết z = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ). Một số phức viết theo dạng trên người ta gọi là dạng lượng giác của số phức. Cho hai số phức dưới dạng lượng giác z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) và z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ). Ta có tính chất sau: 1) Nếu z1 trùng với z2 , thì môđun của chúng bằng nhau và ar- gumen của chúng ϕ1 , ϕ2 khác nhau một số nguyên lần 2π. 2) Tích của hai số phức z = z1 z2 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) = r1 r2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 )+ + i(cos ϕ1 sin ϕ2 + i sin ϕ1 cos ϕ2 )] = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )]. Như vậy, tích z của hai số phức viết dưới dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ), ở đó r là tích của r1 r2 hai môđ un của hai thừa số. Hoặc là |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, còn argumen ϕ là tổng ϕ1 + ϕ2 của hai argumen thừa số, hay nói cách khác arg z1 z2 = arg z1 + arg z2 . Bằng phương pháp qui nạp dễ dàng chứng minh được [r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )][r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )]...[rn (cos ϕn + i sin ϕn )] = r1 r2 ...rn [cos(ϕ1 + ϕ2 + ... + ϕn ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 + ... + ϕn )]. Hoàn toàn tương tự ta có thể làm phép chia các số phức z1 r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) = z2 r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )(cos ϕ2 − i sin ϕ2 ) = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )(cos ϕ2 − i sin ϕ2 )
12 Chương 1. Khái niệm về số phức r1 = [cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 + i(sin ϕ1 cos ϕ2 − cos ϕ1 sin ϕ2 )] r2 r1 = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] r2 z1 |z1 | Do đó, | |= và Z(z1 z2 ) z2 |z2 | y z1 arg = arg z1 − arg z2 . z2 Z2 (z2 ) Bây giờ, dễ dàng biểu diễn hình Z1 (z1 ) học tích của hai số phức: Số phức z = z1 z2 với 0 E(1) x z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), Hình 1.3. z2 = r2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ) là một điểm với bán kính vectơ r1 r2 và argumen ϕ1 + ϕ2 (Hình 1.3). 1.4. CÔNG THỨC MOA VRƠ Cho một số phức bất kỳ dưới dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ), theo công thức nhân ở trên ta có z n = (r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) với n là một số nguyên bất kỳ. Công thức trên mang tên Moa-vrơ. Công thức Moa-vrơ còn đúng với các số mũ nguyên âm. Thật vậy, 1 z −1 = = r−1 (cos ϕ − i sin ϕ) r(cos ϕ + i sin ϕ) = r−1 (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))
1.4. Công thức Moa vrơ 13 và z −n = (z −1 )n = [r−1 (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))]n = = r−n [cos(−nϕ) + i sin(−nϕ)]. Dựa vào công thức Moa-vrơ ta định nghĩa căn bậc n của số phức: Cho z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Căn bậc n của số phức z là một số phức n biểu diễn dưới dạng lượng giác z1 = ρ(cos θ+i sin θ), sao cho z1 = z, hay là [ρ(cos θ + i sin θ)]n = r(cos ϕ + i sin ϕ). √ Theo công thức Moa-vrơ, ta có ρn = r, suy ra ρ = n r (đây là căn số học bậc n của số không âm). Còn argumen nθ và ϕ khác nhau bởi số nguyên lần 2π, hay là nθ = ϕ + 2kπ, k là số nguyên. ϕ + 2kπ Vậy θ = . n Ngược lại, khi ta nâng bậc mũ n số √ n ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ z1 = r cos + i sin , n n ở đây k là số nguyên bất kỳ, thì chính là z. Như vậy, n √ n ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ r(cos ϕ + i sin ϕ) = r cos + i sin n n √ với k = 0, 1, 2, ...., n − 1 sẽ nhận được n giá trị khác nhau cho n z. √ 2π Mỗi giá trị của n z tạo thành cấp số cộng với số dư và số đầu n ϕ tiên là . n Do tính chu kỳ của hàm số sin x và cos x với k > n + 1 thì những √ giá trị của n z lại lặp lại một trong n giá trị ban đầu.
14 Chương 1. Khái niệm về số phức Do đó, căn bậc n của một số phức có Zn Zn−1 đúng n giá trị khác nhau. Những số này biểu diễn như đỉnh của n đa giác đều nằm trên đường tròn với tâm là gốc tọa độ và bán √ kính là n r. O Ví dụ: Ta tìm nghiệm của một phương trình đặc biệt dạng xn = 1 trong mặt phẳng phức. Thật vậy, ký hiệu wk , k = 1, 2, ...n là Hình 1.4. nghiệm của phương trình trên. √ Vì 1 = cos 0 + i sin 0 và n 1 = 1 chúng ta sẽ có 2kπ 2kπ wk = cos + i sin , k = 1, 2, ..., n. n n Rõ ràng wn = 1, còn những nghiệm khác nhận được bằng cách quay 2π 2π 2π vectơ đơn vị đi , 2 , ..., (n − 1) . n n n 2π 2π Số wk = cos + i sin có tính chất đặc biệt là các nghiệm n n khác bằng chính w1 nâng lên lũy thừa số thứ tự nghiệm, vì k 2kπ 2kπ 2π 2π wk = cos + i sin = cos + i sin . n n n n Nghiệm của xn = 1 là đỉnh của đa giác đều n đỉnh nằm trên đường tròn đơn vị.
Chương 2 ĐỘ ĐO GÓC CỦA HAI TIA 2.1. Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3. Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. GÓC ĐỊNH HƯỚNG Như ta đã thấy mỗi điểm trong hệ tọa độ vuông góc tương ứng với một số phức. Quan hệ tập hợp các số phức và tập hợp các điểm trong mặt phẳng là tương ứng một-một. Điểm Z với tọa độ (a, b) ứng với số phức z = a + ib. Số phức z gọi là nhãn của điểm Z. Kể từ đây một điểm trong mặt phẳng luôn luôn ký hiệu là một chữ cái hoa và nhãn của nó là chữ cái thường tương ứng. Trong mặt phẳng hệ tọa độ vuông góc xOy, mỗi điểm Z với nhãn z chúng ta đặt một vectơ − → OZ. Do đó số phức có thể biểu diễn hình học như là những vectơ trong mặt phẳng. Sự biểu diễn số phức qua vectơ hoàn toàn thích hợp khi ta Hình 2.1. xem xét nguyên lý cộng và trừ
16 Chương 2. Độ đo góc của hai tia các vectơ tương ứng với cộng và trừ các số phức (xem Hình 2.1). Nếu Z1 và Z2 là hai điểm trên mặt phẳng với nhãn z1 và z2 , khi đó tổng của chúng z3 = z1 + z2 biểu diễn bởi Z3 , mà −→ −→ −→ − − − −→ −→ − − OZ3 = OZ1 +OZ2 . Còn hiệu z2 −z1 là vectơ OZ2 −OZ1 . Khoảng cách −−−→ d của điểm Z1 đến Z2 hoặc độ dài Z1 Z2 là d = |Z1 Z2 | = |z1 − z2 |, vậy d là môđun của số phức z2 − z1 . Từ nguyên tắc cộng vectơ suy ra rằng nếu Z là trung điểm của −→ 1−→ 1 −→ −→ − − − Z1 Z2 , thì OZ = OZ3 = (OZ1 + OZ2 ), hoặc nhãn của Z biểu diễn 2 2 1 qua z1 , z2 là z = (z1 + z2 ). 2 Để tính góc định hướng α tạo bởi hai tia đi qua điểm gốc của tọa độ O, ta chọn z1 và z2 nằm trên mỗi tia. Khi đó z2 α = arg z2 − arg z1 = arg z1 Trong trường hợp hai tia xuất phát từ điểm Z0 , ta cũng làm tương tự và có Hình 2.2. z 2 − z0 α = arg(z2 − z0 ) − arg(z1 − z0 ) = arg z1 − z0 Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc theo hướng dương của hai vectơ bất kỳ theo nhãn của các số phức thì sao ? Cho hai vectơ −− −→ −− −→ Z1 Z2 và U1 U2 với nhãn tại các điểm tương ứng z1 , z2 , u1 , u2 . Ta cần −− −→ phải quay vectơ đơn vị của Z1 Z2 đi một góc φ theo chiều dương nghĩa là z2 − z 1 u2 − u1 (cos φ + i sin φ) = |z2 − z1 | |u2 − u1 |
2.1. Góc định hướng 17 từ đó u2 − u1 z2 − z1 cos φ + i sin φ = : |u2 − u1 | |z2 − z1 | u2 − u1 |u2 − u1 | = : =p z2 − z1 |z2 − z1 | Vậy góc phải tìm cos φ = p+p , sin φ = p−p từ đó có 2 2i  cos φ = (z2 − z1 )(u2 − u1 ) + (u2 − u1 )(z 2 − z 1 )  2|z2 − z1 ||u2 − u1 |  (2.1) sin φ =  −(z2 − z1 )(u2 − u1 ) + (u2 − u1 )(z 2 − z 1 ) 2|z2 − z1 ||u2 − u1 |  −− −− −→ −→ Từ những đẳng thức trên suy ra vectơ Z1 Z2 , U1 U2 vuông góc với nhau khi và chỉ khi (z2 − z1 )(u2 − u1 ) + (u2 − u1 )(z 2 − z 1 ) = 0 (2.2) và chúng song song với nhau khi và chỉ khi (z2 − z1 )(u2 − u1 ) = (u2 − u1 )(z 2 − z 1 ) (2.3) Nhận xét: 1. Do công thức (1), nếu z1 trùng với u1 và |z1 z2 | = |u1 u2 |, thì khi biết nhãn z2 và góc φ với các giá trị đặc biệt thì u2 tính được nhãn theo z2 như sau: a) φ = 90◦ , thì u2 = iz2 . √ 1 3 b) φ = 60◦ , thì u2 = + i z2 . 2 2 √ 3 1 c) φ = 30◦ , thì u2 = + i z2 . 2 2
18 Chương 2. Độ đo góc của hai tia Các nhận xét trên rất có ích khi giải các bài toán hình học bằng phương pháp số phức. z2 − z0 2. Ký hiệu V (z2 , z1 , z0 ) = gọi là tỷ số đơn của các số z1 − z0 phức z2 , z1 , z0 (viết theo thứ tự đã chỉ ra). Do đó, argumen của −− −→ −− −→ V (z2 , z1 , z0 ) chính là góc định hướng giữa các vectơ Z0 Z1 và Z0 Z2 . Điều kiện cần và đủ để 3 điểm z0 , z1 , z3 thẳng hàng là góc định −− −→ −− −→ hướng giữa hai vectơ Z0 Z1 và Z0 Z2 bằng 0 hoặc ±π. Nghĩa là tỷ số đơn V (z2 , z1 , z0 ) là một số thực. 2.2. VÍ DỤ Ví dụ 2.1. Cho hình vuông ABCD. Điểm M là trung điểm của CD, điểm P nằm trên đường chéo AC sao cho |P C| = 3|AP |. Chứng minh rằng BP M = 90◦ . Lời giải. Lấy hệ tọa độ vuông góc −− → sao cho A là điểm gốc và vectơ AB là vectơ đơn vị theo chiều dương của trục hoành. Như vậy, nhãn của những điểm A, B, C, D tương ứng là a = 0, b = 1, c = 1 + i, d = i. Điểm M 1 1 có nhãn m = (c + d) = (1 + 2i). 2 2 Hình 2.3. − → 1− → 1 1 Vì AP = AC, nên p = c = (1 + i). Ta tính 4 4 4 1 1 m−p (1 + 2i) − (1 + i) 1 + 3i V (m, b, p) = = 2 4 = b−p 1 3−i 1 − (1 + i) 4 (1 + 3i)(3 + i) 10i = = = i. (3 − i)(3 + i) 10
2.2. Ví dụ 19 π Bởi vì arg i = , do đó BP M = 90◦ . 2 Hơn nữa, |i| = 1, chúng ta nhận được |BP | = |P M |, nên tam giác BP M là vuông cân. J Ví dụ 2.2. Cho ba hình vuông bằng nhau ABCD, BEF C, EP QF π (hình 2.4). Chứng minh rằng ACD + AF D + AQD = . 2 Hình 2.4 − −→ Lời giải. Đưa vào hệ tọa độ vuông góc với A là điểm gốc và AB là vectơ đơn vị theo chiều dương của trục hoành. Suy ra, nhãn của A, B, C, D, E, F, P, Q lần lượt là a = 0, c = 1 + i, d = i, e = 2, f = 2 + i, p = 3, q = 3 + i. Vì ACD = BAC = arg(1 + i), AF D = EAF = arg(2 + i) và AQD = P AQ = arg(3 + i), thì ACD + AF D + AQD = arg(1 + i) + arg(2 + i) + arg(3 + i) = arg(10i) = . π 2 J Ví dụ 2.3. Cho tam giác ABC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, dựng hình vuông ABDE. Trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, dựng hình vuông BCF G. Chứng minh GA vuông góc với CD và GA = CD.