Nội dung ôn tập môn Đại số Olimpic VNUA 2016/2017

NỘI DUNG ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ OLIMPIC VNUA 2016/2017<br /> (Thi cấp Học viện)<br /> Bộ môn Toán- Khoa CNTT<br /> 25/09/2016<br /> <br /> Phần 1. ĐA THỨC<br /> 1. Đa thức một biến: các phép toán của đa thức, phân tích đa thức thành nhân<br /> tử.<br /> 2. Nghiệm của đa thức.<br /> 3. Bài toán xác định đa thức.<br /> <br /> Phần 2. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH<br /> 1. Ma trận, các phép toán của ma trận và một số tính chất cơ bản. Vết của ma<br /> trận.<br /> 2. Hạng của ma trận, cách tính.<br /> 3. Định thức: định nghĩa, tính chất của định thức, các phương pháp tính định<br /> thức.<br /> 4. Ma trận nghịch đảo, các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo (Phần bù đại<br /> số, biến đổi sơ cấp).<br /> 5. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp sử dụng các<br /> phép biến đổi sơ cấp. Định lí Kronecker – Capelli.<br /> 6. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.<br /> 7. Hệ phương trình Cramer. Định lí Cramer.<br /> <br /> BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH<br /> Ôn tập thi Olimpic cấp Học viện- VNUA 2016/2017<br /> 1. MA TRẬN.<br /> 1.1. Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2  A  I n . Chứng minh rằng A có ma trận<br /> nghịch đảo và tìm ma trận nghịch đảo của A .<br /> <br /> 5 6 2 <br /> 1.2. Cho M , N là các ma trận vuông cấp 3 thỏa mãn MN  6 7 2 <br /> <br /> <br /> 6 6 1 <br /> <br /> <br /> a. Tính ( MN )2 .<br /> b. Chứng minh NM khả nghịch. Tìm ma trận nghịch đảo của NM .<br /> 1.3. Cho A là ma trận cấp n thỏa mãn A2  A . Chứng minh rằng ma trận B  2 A  I có ma<br /> trận nghịch đảo.<br /> 1.4. Cho ma trận<br /> <br /> a.<br /> b.<br /> <br /> Chứng minh rằng nếu<br /> Tìm<br /> sao cho tồn tại<br /> <br /> thì<br /> để<br /> <br /> 1.5. Tính<br /> 1 0 1 <br /> a. 0 1 0 <br /> <br /> <br /> 0 0 1 <br /> <br /> <br /> <br /> n<br /> <br /> 2 1 0<br /> b.  0 1 0 <br /> <br /> <br /> 0 0 2<br /> <br /> <br /> <br /> n<br /> <br /> cosx  s inx <br /> 1.6. Tính lũy thừa bậc n của A  <br /> .<br />  s inx cosx <br />  2017 1 2017 <br /> 1.7. Cho ma trận A   2016 2 2017  . Xác định các phần tử nằm trên đường chéo chính<br /> <br /> <br />  2016 1 2016 <br /> <br /> <br /> của ma trận S  I  A  A2    A2017 .<br /> 1.8. Cho là ma trận vuông cấp<br /> <br /> . Tính<br /> <br /> , với<br /> <br /> là số nguyên dương.<br /> <br /> 1.9. Cho<br /> 1.10. Cho<br /> <br /> thỏa mãn<br /> . Chứng minh rằng<br /> .<br /> thỏa mãn<br /> Chứng minh rằng tồn tại ma trận<br /> khác ma trận 0 thỏa mãn<br /> 1.11. Cho ma trận vuông A, B cấp n. Vết của ma trận A là tổng tất cả các phần tử trên đường<br /> chéo chính của A, kí hiệu Tr  A . Chứng minh rằng:<br /> a. Tr  A  B   Tr  A  Tr  B  .<br /> b. Tr  kA  kTr  A , k  .<br /> c. Tr  AB   Tr  BA<br /> 1.12. Chứng minh rằng không tồn tại các ma trận A, B, C, D vuông cấp n sao cho<br /> <br /> AC  BD  I và CA  BD  I , I là ma trận đơn vị .<br /> 1.13. (Đẳng thức Wagner)<br /> a. Chứng minh rằng với mọi ma trận A, B, C vuông cấp 2 ta luôn có<br /> <br />  AB  BA<br /> <br /> 2<br /> <br /> C  C  AB  BA  0<br /> 2<br /> <br /> b. Chứng minh rằng với mọi ma trận A, B, C vuông cấp 2 ta luôn có<br /> <br />  AB  BA<br /> <br /> 2016<br /> <br /> C  C  AB  BA<br /> <br /> 2016<br /> <br /> 0<br /> <br />  1 2<br />  m 1<br /> 1.14. Tùy theo giá trị của m , hãy tìm hạng của ma trận A  <br /> 1 m<br /> <br /> 1 2<br /> 3 1<br /> m 2<br /> 1.15. Tìm m để hạng của ma trận sau nhỏ nhất A  <br />  3 1<br /> <br /> 3 3<br /> <br />  1 m 0 ... 0<br />  0 1 m ... 0<br /> <br /> 1.16. Cho ma trận vuông cấp n: A  ... ... ... ... ...<br /> <br />  0 0 ... ... 1<br />  m 0 0 ... 0<br /> <br /> <br /> 1 1 1 <br /> 1 1 1<br /> <br /> 0 1 1<br /> <br /> 2 1 1 <br /> <br /> 4 1<br /> 3 1<br /> <br /> 1 0<br /> <br /> 7 2<br /> <br /> 0<br /> 0<br /> <br /> ... . Tìm m để hạng của ma trận A<br /> <br /> m<br /> 1<br /> <br /> <br /> nhỏ hơn n.<br /> 1.17. Chứng minh rằng mọi ma trận hạng r đều có thể phân tích được thành tổng của r ma<br /> trận có hạng bằng 1.<br /> 1.18. Giả sử A, B là các ma trận vuông cấp n thỏa mãn AB  BA, A2016  0, B2017  0 .<br /> a. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k để  A  B   0.<br /> k<br /> <br /> b. Chứng minh rằng r  I  A  B   r  I  A  B   n ,<br /> <br /> 2. ĐỊNH THỨC<br /> 1 x<br /> <br /> 2.1. Giải phương trình:<br /> <br /> x2<br /> <br /> x3<br /> <br /> 1 2<br /> 1 3<br /> <br /> 4<br /> 9<br /> <br /> 8<br /> 0<br /> 27<br /> <br /> 1 4 14 64<br /> <br /> 2.2. Tính định thức :<br /> 1 1 1<br /> x1 x2 x3<br /> a.<br /> 2<br /> 2<br /> x12 x2 x3<br /> 3<br /> 3<br /> x13 x2 x3<br /> <br /> 1<br /> x4<br /> 2<br /> x4<br /> 3<br /> x4<br /> <br /> b.<br /> <br /> a<br /> b<br /> <br /> b<br /> a<br /> <br /> c<br /> d<br /> <br /> d<br /> c<br /> <br /> c<br /> d<br /> <br /> d<br /> c<br /> <br /> a<br /> b<br /> <br /> b<br /> a<br /> <br /> a b c<br /> 2.3. Tính b c a trong đó a, b, c là 3 nghiệm của phương trình bậc 3 : x3  px  q  0 .<br /> c a b<br /> 2.4. Cho m, n, p, q là các nghiệm của phương trình x4  x  1  0 và<br /> <br /> 1<br /> 1 <br /> m  1 1<br />  1<br /> n 1<br /> 1<br /> 1 <br /> <br /> <br /> A<br />  1<br /> 1<br /> p 1 1 <br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> q  1<br />  1<br /> Tính det  A .<br /> 2.5. Tính các định thức cấp n sau :<br /> <br /> 1 2 2 ... 2<br /> 2 2 2 ... 2<br /> a. 2 2 3 ... 2 ;<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> ... n<br /> <br /> 1 0<br /> b. 1 2<br /> <br /> 3<br /> 0<br /> <br /> ... n<br /> ... n<br /> <br /> . . . ... .<br /> 2 2 2 ... 2<br /> <br /> .<br /> .<br /> . ... .<br /> 1 2 3 ... 0<br /> <br /> 0 1 1 ... 1<br /> <br /> a b b ... b<br /> <br /> 1 0 x ... x<br /> c. 1 x 0 ... x ;<br /> <br /> b a b ... b<br /> b b a ... b<br /> <br /> . .<br /> 1 x<br /> <br /> . ... .<br /> x ... x<br /> <br /> d.<br /> <br /> . . . ... .<br /> b b b ... a<br /> <br /> 1  x2<br /> x<br /> x<br /> 1  x2<br /> e. Dn <br /> <br /> 0<br /> .<br /> 0<br /> <br /> x<br /> .<br /> 0<br /> <br /> 0<br /> x<br /> <br /> ...<br /> ...<br /> <br /> 0<br /> 0<br /> <br /> 1  x 2 ...<br /> 0 ,<br /> .<br /> ...<br /> .<br /> 0<br /> ... 1  x 2<br /> <br /> Dn là định thức cấp n mà các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1+x2, các phần tử<br /> thuộc hai đường chéo gần đường chéo chính bằng x và các phần tử còn lại bằng 0.<br /> 2.6.<br /> a. A là một ma trận vuông cấp n thỏa mãn A1  A . Chứng minh det( A  I )  0 hoặc<br /> <br /> det( A  I )  2n .<br /> b. A, B là hai ma trận vuông cùng cấp n thỏa mãn AB  BA  B . Chứng minh<br /> det( B)  0.<br /> 2.7. Cho A, B là các ma trận thực vuông cấp n thỏa mãn AB  A  B và A2016  0 . Chứng<br /> minh rằng det( B)  0.<br /> 2.8. Cho các ma trận vuông A, B thỏa mãn At A  I ; Bt B  I . Biết det A  det B . Chứng<br /> minh rằng det( A  B)  0 .<br /> 2.9. Cho ma trận vuông cấp n A   aij  ; aij  min  i, j  . Tính det  A .<br /> 2.10. Cho A   aij  là một ma trận vuông cấp n  2 và A11  A12    A1n  0 , trong đó A1j<br /> là phần bù đại số của a1 j . Chứng minh rằng tồn tại số thực  để<br /> a11  <br /> <br /> a12   ... a1n  <br /> <br /> a21<br /> ...<br /> an1<br /> <br /> a22<br /> ...<br /> an 2<br /> <br /> ...<br /> ...<br /> ...<br /> <br /> a2 n<br /> ...<br /> ann<br /> <br /> 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH<br /> 3.1. Giải hệ phương trình:<br /> <br />  3x  y  2 z  t  u  1<br />  2 x  y  7 z  3t  5u  2<br /> <br /> <br />  x  3 y  2 z  5t  7u  3<br /> 3x  2 y  7 z  5t  8u  3<br /> <br /> <br />  2016<br /> <br />