Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2016 môn Đại số

HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM<br /> <br /> KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2016<br /> <br /> ĐỀ THI MÔN : ĐẠI SỐ<br /> Thời gian làm bài: 120 phút<br /> <br /> 1 3 1 <br /> 1 0 0 <br />  0 2 1<br />  2 2 1  ; B  0 2 0  ; C   1 1 1<br /> Bài 1. Cho các ma trận : A  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3 4 2<br /> 0 0 1 <br />  2 5 4 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1) Tính A.C và A.B.C .<br />  4 3 3<br /> 2) Tính  2 3 2 <br /> <br /> <br />  4 4 3<br /> <br /> <br /> <br /> 2016<br /> <br /> .<br /> <br />  1 1 2 1 <br />  m 2 1 1<br /> .<br /> Bài 2. Tìm tất các giá trị của m để hạng của ma trận sau nhỏ nhất: A  <br />  2 1 3 0 <br /> <br /> <br /> 2<br /> 4<br />  1 1 m<br /> a a a a<br /> a b b b<br /> Bài 3. Chứng minh rằng:<br />  a  b  a  c  b  d  c  .<br /> a b c c<br /> a b c d<br /> Bài 4. Giải và biện luận theo tham số thực m hệ phương trình sau:<br />  x1  mx2  1<br /> <br />  x2  mx3  1<br /> m<br /> <br /> <br /> 1<br />  x3  mx4  2<br /> <br /> m<br />  m  0 .<br /> <br /> ...<br /> <br /> <br /> 1<br />  x10  mx11  9<br /> m<br /> <br /> <br /> 1<br />  x11  mx1  m10<br /> <br /> Bài 5. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n  n  2  thỏa mãn AB  A  B và A2016  0 . Gọi  là<br /> ma trận không cấp n1 . Chứng minh rằng có vô số ma trận X sao cho A. X   .<br /> ------------------------------------------- Hết ------------------------------------------Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… SBD: ……………………<br /> <br /> KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2016<br /> <br /> HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM<br /> <br /> ĐÁP ÁN MÔN : ĐẠI SỐ<br /> <br /> Bài 1.<br /> <br />  4 3 3<br /> 1) A.C  I 3 và A.B.C   2 3 2  .<br /> <br /> <br />  4 4 3<br /> <br /> <br /> 2) Ta có A.C  I 3 , suy ra C  A1<br />  4 3 3<br />  4 3 3<br />  2 3 2   A.B.C   2 3 2 <br /> Ta có <br /> <br /> <br /> <br />  4 4 3<br />  4 4 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Vậy<br />  4 3 3<br />  2 3 2<br /> <br /> <br />  4 4 3<br /> <br /> <br /> <br /> 2016<br /> <br /> 0<br />  1 3 1  1<br />  2 2 1  0 22016<br /> <br /> <br />  3 4 2  0<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 2016<br /> <br />   A.B.C <br /> <br /> 2016<br /> <br />   A.B. A1 <br /> <br /> 2016<br /> <br />  AB 2016 A1 .<br /> <br /> 0   0 2 1 3.22016  2 2.32016  3 3  3.2 2016 <br /> <br /> <br /> 0   1 1 1   22017  2<br /> 2 2017  1<br /> 2  2 2017 4 <br /> <br /> <br /> 1   2 5 4   22018  4<br /> 22018 <br /> 5  2 2018 <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> Bài 2.<br /> <br /> 1  1 1<br /> 2<br /> 1  1 1<br /> 2<br /> 1 <br />  1 1 2<br />  1 2 1 m  0 1<br />  0 1<br /> 3<br /> 1  m <br /> 3<br /> 1  m<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ta có: A <br />  0 1 3 2  0 1<br /> 3<br /> 2  0 0<br /> 0<br /> m  1<br /> <br />  <br />  <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 6  0 0 m2  17<br /> 0 <br />  4 1 m 10  0 3 m  8<br /> <br />  m2  17  0<br />  m  1;  17<br /> Hạng của ma trận A nhỏ nhất khi và chỉ khi <br /> m  1  0<br /> <br /> <br /> <br /> Bài 3.<br /> Ta có:<br /> a a<br /> a b<br /> a b<br /> a b<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> b<br /> <br /> c<br /> <br /> c<br /> <br /> c<br /> <br /> d<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> 0 ba ba<br /> <br /> ba<br /> <br /> 0 ba ca<br /> <br /> ca<br /> <br /> 0 ba ca d a<br /> <br />  a  b  a  c  b  d  c <br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> 0 ba ba ba<br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> c b<br /> <br /> c b<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> c b d b<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> 0 ba ba ba<br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> c b<br /> <br /> c b<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> d c<br /> <br /> Bài 4.<br />  1 m 0 ... 0 0 <br />  0 1 m ... 0 0 <br /> <br /> <br />  0 0 1 ... 0 0 <br /> Ma trận hệ số của hệ là: A  <br /> <br /> ... ... ... ... ... ... <br />  0 0 0 ... 1 m <br /> <br /> <br />  m 0 0 ... 0 1 1111<br /> <br /> Khai triển định thức của ma trân A theo cột 1 ta được A  1  m11<br /> Trường hợp 1: A  0  m  1 . Cộng tất cả các phương trình của hệ ta được 0 = 1, suy ra hệ<br /> vô nghiệm.<br /> Trường hợp 2 : A  0  m  1. Hệ có nghiệm duy nhất.<br /> 1<br /> 1<br /> m<br /> 1<br /> 2<br /> Ta có: 1  m<br /> ...<br /> <br /> m<br /> <br /> 0<br /> <br /> ... 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> m ... 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> ... 0<br /> <br /> ... ... ... ... ...<br /> <br />  1<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  m  2  m 2    10  m10  1<br /> m<br /> m<br /> m<br /> <br /> 1<br /> 0 0 ... 1 m<br /> m9<br /> 1<br /> 0 0 ... 0 1<br /> m10<br /> (khai triển theo cột 1)<br /> <br /> 1<br /> Khi đó x1  1 <br />  Thay x1 vào phương trình thứ nhất của hệ ta tìm được :<br /> A 1  m11<br /> <br /> 1<br /> 1 <br /> m10<br /> .<br /> x2  1 <br /> <br /> m  1  m11  1  m11<br /> <br /> Thay x2 vào phương trình thứ hai của hệ ta tìm được :<br /> 1<br /> 1<br /> .<br /> <br /> 2<br /> m 1  m11<br /> Thay x3 vào phương trình thứ ba của hệ ta tìm được :<br /> x3 <br /> <br /> x4 <br /> <br /> 1 <br /> 1 <br /> m8<br /> .<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> m3  1  m11  1  m11<br /> <br /> Tiếp tục như vậy cuối cùng ta tìm được nghiệm duy nhất của phương tình là  x1; x2 ;...; x10 ; x11  ,<br /> <br /> m12 2 k<br /> 1<br /> , k  1;5.<br /> trong đó : x2 k 1  2 k<br /> , k  0;5; x2 k <br /> 1  m11<br /> m 1  m11 <br /> Bài 5.<br /> Ta có A2016   nên A2016  0 . Suy ra A<br /> <br /> 2016<br /> <br />  0  A  0 (1)<br /> <br /> Ta có AB  A  B  B  A  B  I <br /> Suy ra B  A B  I (2) . Từ (1) và (2) suy ra B  0 . Vậy hệ phương trình thuần nhất<br /> <br /> B. X   có vô số nghiệm, tức là có vô số ma trận X sao cho B. X   .<br /> <br />