Phần 1 Đại số tuyến tính - Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế

Chia sẻ: Hung Hung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:83

Thêm vào BST

Báo xấu

1.262
lượt xem 150
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 1 - Đại số tuyến tính (Phần 1) gồm hai chương đầu trình bày về không gian vec tơ (hệ phương trình tuyến tính tổng quát, phép toán véc tơ, mối liên hệ tuyến tính, cơ sở của không gian véc tơ, hạng của một véc tơ); ma trận và định thức (khái niệm, định thức, phép nhân ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phần 1 Đại số tuyến tính - Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế

Ì5NG ĐẠI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN B Ộ M ÔN T O A N Cơ BA N HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ■ T O Á N C Ạ O C Ấ P CHO CÁC NHÀ KINH TÊ (Phần i: Đại sô tuyên tính) NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN
LỜI NÓI ĐẤU Tiếp theo cuốn bài tẠp-“Tođn cao eấp cho các nhã kinh tế*, do Nhà xuất bản Thđng ke án hành nSm 200S, lẩn này chúng tôi cho biên soạn cuốn “Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”. Mục đích cùa cuốn sách nhảm giúp cho sinh viên có thể tự bọc tốt môn học, hoặc dùng để ôn lập thi hết bọc phẩn, thi tuyến sinh dáu vào Sau đại học. Kết CẨU cuốn sách gổm hại phẩn chính tương úng vói nội dung của giáo trình lý thuyết v& cuốn bài tập. Trong mỏi bài học, chúng tôi tóm tắt lại các khái niệm và kết quả cơ bản cùng các ví dụ miu. Hướng dán phương pháp giải các loại bài tập cụ tbé, cuối cùng là các bài tập và đáp số hoặc gợi ý để các bạn tự rèn luyện. Hy vọng cuốn sách sẽ giúp các bạn tự học và ôn tạp tót môn học 'Toán cao cấp cho các nhà kinh tế ”. Lần đẩu biẽn soạn, cuốn sách khổng tránh k h a thiếu sót, rát mong nhân được sự góp ý của bạn dọc và đổng nghiệp aể lẩn xuỉt bản sau được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến góp ỷ xin gửi vé: Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán Kinh tế, Trường Đại học Kinh tỄ Quốc dân. ĐT/Fax: (04) 6283007. Email: hoangtoancb@neu.edu.vn Xin chân thành cảm ơn! Trường Bộ môn Toán C a bản, ĐH KTQD. NGUYỄN HUY HOÀNG
Phấn 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tái bản lần thứ 3 (C ó sử a chữ a b ổ sung)
C huơng1 K H Ô N G G IA N V EC TƠ § 1 . H ệ p h ư ơ n g trìn h tu y ến tín h tổn g q u át A. T óm tá t lý th u y ế t và các ví d ụ m ẫu Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm m phương trình và n ẩn: a„x, + al2x 2 + — + aInx„ = b, a 2lx, + au x 2 + - + a2nxn = b2 a„,x, + am2x2 + - + a „ x , = bm Hệ tam giác: an x, + a,jX2 + — + alnx„ = b, a22x2 + + a 2nx D = bj annxo = bn ơđó, * 0 và ajj = 0 với i> j. Hệ dạng tam giác có nghiệm duy nhất. Cách giải: Từ phương trình cuối cùng giải được ẩn x„, thay ngược lên các phương trình ưên tìm các ẩn còn lại, nghiệm của hệ phưcmg trình là duy nhất. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: | 2 x , + x j - X, =5 X j + 3 X j = 7 5x, = 2
Giải. Lần luợt tìm giấ tĩị của ẩn x ,,x 2,x,. Hẹ phuơng trình đă cho có nghiẹm duy nhít: Hệ Müh thang: aMx, + a,jX2 + - + a^x, + - + alax„ = b, aHx2 + - + a 2« x . + + a 2 .\, = + a^x, b. ở đó, ai 5tO,Vi = l,2 ,...,m ;m < n và aÿ = 0 với i> j. Cách giải: + Chọn là các ẩn chính (sổ ẩn chíoh báng sổ phnơng trình); là ẩn tự d o . + Chuyển các ẩn tự do sang VẾ phải và gán cho chiỉog nhũng giá a ị tnỳ ý: x»*l ~ a B»l> xm»2 - x « - CT| Khi dó, la thu đuợc hẹ mới có dạng tam giác với các ẩn chinh, giải hệ này ta đuợc: v ạy ta cố nghiệm cùa hệ phương trình dã cho có dạng: (O p « i..... Vì các giá trị m ì ta gán cho các ẩn tự do là tuỳ ỷ nên bệ hình thang có vở số nghiệm . Ví dụ 2: Giải hệ phuơng trình: 2x, + 3 x2 - X, + x4 = 5 Xj - X, -2 x „ = -2 2x, - X, = 3
Giải: Chọn x ,,x 2,x , là các ẩn chính; x4 là ẩn cự do, x4 * a , a e R. Hệ phutmg trình ds cho tương dưong: Ì 2x, + 3x j’ - X, = 5 - a Kj - X, = - 2 + 2 a X, = 3 + a = -8 a +8 X, = - 8 ( a - l ) Xj = ị ( a + 3) + 2 a - 2 o ■x 2 = ị ( 5 a - l ) * j = ỉ ( a + 3) [x, = i ( a + !) Nghiệm tổng quát: ( ^ ( a - l ^ ị ^ a - l ^ ^ a + l),«*). Phương pháp khử ẩn liỀn tiếp Các phép biến dổi tuong đương dổi với hẹ phương trình tuyến tính: • Đổi chỗ hai phuơng trình trong hệ cho nhau; • Nhan hai vế của một phuong trình ưong hẹ với một số khác khổng; • Cộng v&o hai vế của một phuơng trinh hai vé tương úng của một phương trinh khỉc sau khi dã nhãn với một số. Bây giờ chung tôi Ún giới thiệu phương pháp khử ẩn liên tiếp Gauss dể giải hệ phuơng trình tuyến tính tổng quát Nội đủng: Chuyển hộ phương trình tuyến tính tổng quát vổ hệ tam giác hoặc hệ hình thang, bằng các phép biến dổi tuơng dương dối với hệ phutmg trình tuyến tính. Chú ý: Để giải hệ phương trình tuyến tính ta thường biên đổi ữên ma trận mờ rộng tương ứng của hệ phương ưình đó.
Cách giải: Tương ứng với hệ phương ưình tuyến tính tổng quát ta có ma trận mờ rông và khổng mất tính tổng quát giả sử a,, * 0. Bước 1: Khử ẩn X, bàng cách lấy dòng một nhân với và cộng ®II vào dòng i, i = 2,3,...,m. a!2 ■•• »1. b ,' '»II _■ a,n *22 ••• a 2„ b2 0 »'» • a'í„ t>; A= -> • • a^, o *aml a»2 a«i Bước 2: Khử ẩn Xj (giả sử a'^ * 0) bằng cách lấy dòng hai nhân với â* - — rồi công vào dòng i, i = 3,4,...,m. »á Cứ tiếp tục quá trình ưên ta đưa được hê phương ưìiih đã cho vé hệ tam giác hoặc hẹ hình thang. Trong quá trình sừ dụng các phép biến đổi tưong đương nếu thấy trong hẹ phương trình xuất hiện phương trình dạng: • 0x, + 0 x 2 +... + 0xn = b * 0 thì kết luận hẹ phương trình đã cho vô nghiệm; • 0x, + Ox, +... + 0xn = 0 thì có thể bỏ phưcmg trình này. Ví dụ 3: Giải hệ phuơng trình: X + 2y - 3z = 1 2x - 3y + z = 2 3x - y - 2z = 4 '1. 2 3 r '\ 2 -3 f '1 2 -3 r 2 -3 1 2 -¥ 0 -7 7 0 -> 0 -7 7 0 ,3 -1 -2 4J ,0 -7 7 K ,0 0 0 K
Hệ phương trình ưẻn tương đương với hệ phương trình: X + 2y - 3z = 1 - l y + 72 = 0 Oz = 1 Hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Vi dụ 4\ Giải hệ phương trình: X + y + z = 6 Giải: I2x + y - z = 1 3x - y + 2 = 4 '1 1 1 6 ' '1 1 1 6 ^ '1 1 1 6 ' ũ» —> 1 1 1 2 1 -1 1 -» 0 -1 -1 -11 0 ,3 -! 1 4 0 -4 -2 -1 4 0 0 10 30 Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau: x + y + z = 6 X = 1 - y - 3z = - 1 1 o •y = 2 10z = 3 0 [z = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhát (1,2,3). Vi dụ 5: Giải hệ phương trình: -4x, - Xj + lOx, - 5x, = 0 X, + 2x, - 2x, + X, = 0 - 2 x , + 3X j + 7 x , - 2x4 = 0 Giải: '- 4 -1 10 -5 ' ' 1 2 -2 1' 1 2 -2 1 —► -4 -1 10 -5 ,-2 3 7 -2 , ,-2 3 7 -2 ,
1 2 -2 1" 1 2 -2 11 -♦ 0 7 2 -1 —* 0 7 2 -1 .0 7 3 0, ,0 0 I ' Hẹ phuong trình đ a cho tuong đương với hệ phương trình sau: X, + 2 X j - 2Xj + X, = 0 7 Xj + 2 x , - *4 = 0 Xj + x4 = 0 Chọn x ,,x ,,x , làcácẩncMnh; x.làấntựdo.gánchox,, =a, VaeR. Hệ phuong trình bện tương đương với hệ phương trình sau: ix , + X , - 2k, = - a X, = - a - 2a - - ậ a X, « - f a 7x , + 2x, = a O ' K2 = | a *2 *= -fa [ *» ậ -« X, = - a * -a ( 27 3 ^ Vậy nghiệm cùa bệ phuoDg trình là. I - — 0 , - 0 , - a , a l , o e E . C hú ý: Mọi hệ phaong trình tuyến tính thuán nhất cỗ sỗ phuong trình ít hơn sổ ẩn đểu có vô stf nghiệm (có nghiệm không tầm tliuùDg). B. BỒI tập IểĐỂb&l Giải các bệ pbuơng trình tuyến tính sau bằng phương pháp kbử ẩn liên úếp Gaus«: 2x+3y*5 X -2 v *3 3 x -y — 9 2x- y = 1 * +2y=4 3 x -3 y =5
8x - y =10 X + y + z =6 3. 1 0 * -9 * =19 4. 2 x + y - z = 1 00 1 J x - y + z =4 II 9 X -6 y + 8 z = 0 * + 2 y -3 z = 1 5. 3 x -4 y + 5 z =18 6. 2 * -3 y + z = 2 2 * + 4 y - 3 z = 26 3 x - y - 2 z =4 2 x - 3 y + 2z = 1 X - 2 y + 3z =0 7. J x - 5 y - 4 z =2 8. 2 x + 3 y -3 z = 0 3 x -4 y + 1 0 z =1 4 x -3 y + 5z =0 X - y - z = -2 2x + y -3 * = 0 2x +3y + 2z = 1 9. 3x+2y+ z =0 10. 3x - 5 y - 4 z = -8 4x + 3y+ 5z = 0 -2x + 2y + 3z = 4 X + y + z =3 X, +X, = 4 X + 2y + 3 z « 2 2x3 + X, = 1i llể 12. 2x+3y+2z =0 3 x ,+ x ' =22 3x+ y +2z = 4 4x, + X, =29 x ,+ k , + x, = 6 x ,+ x,-x,+ x. =-2 x , + x ,+ x 4 = 9 X,-X ,-X, J-X, = 0 13. 14. X, + x4 + X| = 8 X,+Xj+X,-X4 = 2 x4 + x, +Kj = 7 X, - X j +x, -X, = 4 X, - 4 x ¡ + 6 x , - 4 Xj = - 1 0 X, - 2x, + 3xj - X, = 2 -2x,+3x, - 4 x , + 5x 4 = 7 15. 2x, + X, - X, +3 x4 » 1 16. 3x, + 2 X j - 5 \ , - 3 Xj = 7 4x, - 3 * j + SXj + x 4 =3
X, - 2 x 2 + 3 X j - 4 x 4 = 1 X, + 2 x 2 + 3 x , + 4 x 4 = 0 2x, - 3 x , + 4 x , - x4 =2 2x, +3Xj + 4x3 + x4 =0 17. 18. 3 x ,- 5 x2 + 7 x, - 5 x4 = 3 3x, + 4 X j + X, + 2 x 4 = 0 4 x ,- 6 x2 + 8 x ,- 2 x4 =4 4x,+ Xj + 2 x j + 3 x 4 = 0 X, +3x2 -3 x , - 2x< = 0 X, - Xj + 2x, - 3 x 4 =0 X, - 3 X j + 2 X j - 3x 4 = 0 2x, - 3 x j - X, + x 4 =0 19. 20. 2x, + 3 x 2 - Xj - 5 x 4 = 0 - X , + 2 x 2+ 3 x , - 4 x 4 = 0 4 x ,-3 x2- 2 x 3-10x4 = 0 3 x , - 4 x 2 + X, - 2 x „ =0 II. Đáp số I. (x = -2, y = 3). 2. Vô nghiộm. 3. (x = 1, y = -2 , z = -1). 4. (x = 1, y = 2, z = 3). 5. (x = 8, y = 4, X = 2). 6. Vô nghiệm. 7. (x = - 2 2 c c - l , y = - 1 4 a - l , z = a ) . 8. (x = 0, y = 0, z = 0). 9. (x = 7 a , y = - l l a , z = a ) . 10. (x = - l , y = l, z = 0). I I . Vô nghiệm. 12. (x, =1, x2 =3, Xj =5, x4 =7). 13. (x, = 1, Xj = 2, Xj = 3, x4 = 4). 14. (x, =1, x2 =-1, X, =2 + a , x4 = a ). 15. Vô nghiệm. 16. (x, = 2 a, x 2 = a +1, X, = a - 1 , x 4 = a ) . 17. (x, = l + a - 1 0 p , Xj = 2 a - 7 p , X, = a , x 4 = (3). 18. (x, =Xj = x , = x 4 =0). 19.(x, =13a, x2 =0, X, = a , x4 = 5 a ). 20. (x, = - 7 a + ìop, Xj = - 5 a + 7ị3, X, = a , x4 =p).
A. T óm tá t lý th u y ế t và các ví dụ m ãu Định nghĩa: + Phép cộng hai véc tơ cùng chiểu: X = (x „ x 2,...,x„); Y = (y „ y 2.....y„). => X + Y = (x, + y„Xj + y 2,...,x„ + y„ ). + Phép nhân một số với véc tơ: X = ( x ,,x ,.....x„), a € R. s a x = (a x ,,a x j.... ax„). + Véc tơ không: 0. = (0,0,—,0) n + Véc tơ đối: Cho véc tơ X = (x ,,x 2,...,x „), ta có -X = ( - x l, - x J,...,-x„). là véc tơ đối của véc tơ X. Tính chát: Với X, Y, z e R ’ ; a , p 6 R, ta có các tính chất sau: * X + Y = Y + X; * (X + Y) + Z = X + (Y + Z); « X + 0„=X ; . X + (-X ) = 0„;
* 1.x =X; * a (X + Y )-a X + a Y ; * (a + 0)X = aX + ßY; * (a ß )x = a ( p x ) = ß (a x ). Ví dụ 1: Xác dịnh véc tơ X biết a. X = 2X, - X ,; b. 3X - 2X, + X j = Oj. Giải: -x--BA-ĩ) v ty; X . 2 X . - X , w- i ) b. 3X - 2X, + X, = 0 o 3X =2X , - X j
Khống gian con Đính nghĩa: Một tập hợp khổng rống L c RỆ duợc gọi là không gian con của khống gian R° nếu nó thoả mãn: i. L đóng kín đối với phép cộng các véc tơ (V X,Y e L thì X + Y eL ); ii.L dóng kúi đổi với phép nhân véc tơ với sđ (V X e L ,V o e E thì aX € L). Ví dụ 2: Chứng minh rằng: L, = { X = (x É,X j):X j =oỊ !à khôog gian con cùa khổng gian R 2. Giải: Hiển nhiên L, * 0 vỉ 0j e L,. Ltfy X =(x,,Jtj),Y =(y„yj) bất kì 6 L, nen 3 « j= (\y ,= 0 i> x i+ y i= 0 = > X + Y = (x, + y ,,X j+ y ,) e L l. Mặt khác, V X = (x „ x I ) c L „ a e E =>€LX=(otx1)a x J) e L | vì 0tXj =0. Vậy theo định nghĩa L, là khổng gian con của kbổng gian RJ. Ví dụ 3: Tập véc ta sau dây có phải là không gian con của khổng gian véc tơ R 3 khổng? L = | x = ( x 1, X j , X j ) e R ’ : X, + X j + x , = l | c R 5 Oiải: Hiển nhiên L * 0 vì X = (l,0 ,0 )e L . Lấy X = (x ,,x „ x 3),Y = (y ,,y 2,y 5) b ắ tk ìc L tức là: x , + x , + * , = l , y i+ y j + y} = 1 =>X + Y = (x, + y „ x 2 + y j ,x ,+ y ,) , ta có: (x1+ y 1)+ ( x J + yJ)+ (x , + yJ) = (x 1+ x 2 + x ,)+ (y ,+ y J + y ,) = 2 5í l . =»X + Y&L. Vây theo định nghía thì L khổng là khống gian con của không gian R 3.
B. Bài tập I. Đề bài Xác định véc tơ X từ các phương trình sau: 21. X = 2X, -3 X j với X, = (1 ,-2 ),x 2 = (-2,1). 22. X = 3X, + 2Xj với X, = (l,-4 ),X 2 = (-3 ,6 ). 23. 2X = 3X, +Xj với X, = (l,2 ),X j = (-1 ,4 ). 24. X = 3X, - 2Xj + 3X, với X, = ( l,0 ,-l), x 2 =( - 2,0, 2), X, =(-1,1,0). 25. X = 2X, +3X j -2 X j với X, =(1.3,—1), X, =(-2,0,2), X, =(-2,3,2). 26. 3 X - 2 X , - X j + 2 X , = 0 với X, =(-1,1,2), X, =(3,5,7), X, =(2,-1,4). n . Đáp số 21. X = (8,-7). 22. X = (-3,0). 23. x = (l,5). 24. x = (4,3,-7). 25. x = ( 0, 0, 0). 26. x = (-1,3,1)
A. Tóm tát lý thuyết và các vt dụ mẫu Phép biểu diễn tuyến tính Định nghĩa: Véc tơ X e R" được gọi là biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ n chiểu XI,X 2,...,X 1I1 nếu nó biểu diễn duới dạng: x = a ,x , +a,Xí +...+a„X„. ờ d ó a , , a 2, . . . , a 111 6 R . Vi dụ 1: Tìm X để véc tơ X biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại. x = ( 2 , - u ) , X, =(4,3,2), X2 = (-1 ,-2 ,-3 ). Giải: G iảsửtồntại k ,,k j sao cho: X = k ,X |+ k 2X2. Để X biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ c% lại thì hệ phuơng trình: 4k, - k , = 2 • 3k, - 2kj = -1 2k, - 3kj = X phải có nghiệm. Ma trận mở rộng tương ứng là: 4 -1 2 ' '4 -1 2 ' '4 -1 2 ' _ 5 5 5 s 3 -2 -1 -> 0 4 2 -» 0 4 2 5 X+ 4 ,2 -3 2 X - lJ ,0 0 Hệ phương ttình tương đương với hệ phương trình ữên là: 4k, - k3 = 2 - 44 k 2 = - ị2 0k2 = X+ 4 Hệ phuơng ttình chi có ngtịiệtn khí-1 diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại thì ỉ«í=>A-
Tổng quáL Để giải bài toán như trẾn la xét hê phương irình có ma trận hệ só với các CỘI là tọa độ cấc véc tơ còn lại và CỘI he số tụ do là tọa độ cùa véc tơ X. Nếu hệ phucmg trình này có nghiíím 'thì X biểu dién luyến tính qua các véc lơ còn lại, ngược lại thì không. Ví du 2: Tim X dể X biểu dién tuyén tính qua các véc tơ còn lại. X = (X>2 ,5 ),X ,= (3 ,2 ,6 ), x 2 =(7,3,8), X, =(5,1,3). Giải: Xét hệ phưcmg trình có ma trận hệ số mở rộng sau: '3 7 5 X' '2 3 1 2' '2 3 1 2 ' 2 3 1 2 6 8 3 5 -* 0 - 1 0 -1 © 6 * 3 5 , 3 7 s \ 1 '2 3 1 2 ' '2 3 1 2 ' -» 0 -1 0 -1 —► 0 -1 0 -1 ,0 5 7 2 X -6 \0 0 7 2A.-11, Hệ phương trình luôn c ó nghiệm với mọi giá lộ c ủ a X. Vậy VỚI mọi X thì X đéu biếu diẻn tuyến tính qua các véc tơ còn lạt- Sạ phụ thuộc tuyến tính và đỏc lập tuyên tímh của n ộ i hệ véc tơ Cho một hệ góm m véc tơ n chiéu: X „X 2,...,X Ễ (1) Xét hệ thức: k,x, +lc,X,+... + kmXm= 0, (2) Nếu hệ thức (2) viết dưới dạng thinh phin, theo đinh nghĩa hai véc tơ bảng nhau ta được hệ gổm n phưcmg trìnb tuyến tính thnín nhái với m ẩn k)1k2,...,kj-. Nếu hệ phuong trình tuyín tính chuín nhất có vữ số nghiệm (tức có nghiệm không tầm thuờng) thì hí: véc tơ phụ thuộc tuyến tính, còn nếu hệ phương trình chì có nghiệm duy áhẳt là lám thường thì hệ véc tơ độc lập tuyến tínk
Vi dụ 3: Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cùa hệ véc tơ sau: X ,= ( l,- ! ,0 ) , X2 = (-2,1,-1), X, = (-3 ,2 ,-1 ). Giải: Xét hệ thức: k,x, + k,Xj + lc,x, = 0, Hệ phương trình tuơng úng là: ( k, - 2 k 2- 3 k , = 0 -k , + k3 +2kj = 0 - k j - kj = 0 '1 -2 -3 > 'ỉ -2 -3 ' -2 -3 ' -» 0 —> 1 1 -1 1 2 -1 -1 0 © 0 0 0, 1 1 1 1 0 Hệ phương trình tương dương: J k 1- 2 k , - 3 k , =0 ị - k , - k , =0 Hệ hình thang có vô sô' nghiệm. Vậy hệ véc tơ đã cho phụ thuộc tuyến tính. Chú ý: Để giải bài toán xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của một hệ véc tơ, ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ sổ với các cột tương ứng là các véc tơ này viết theo dạng cột. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trỄn ma trân này, nếu ma trân cuối cùng có dạng hình thang thì hẹ véc tơ phụ thuộc tuyến tính, nếu có dạng tam giác thì hẹ véc tơ độc lập tuyến tính. Vi dụ 4: Xét sự độc lạp tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cùa hệ véc tơ sau: X, = ( - 1,1, 2) ’ X2 = ( - 2, 1 - 1), X, = (3, - 1, 1). Giải: Xét hê thức; k,x, + k ,x , + k ,x , = 0,.
Ma ưận hệ số tương ứng: '~ \ -2 3' -1 -2 3 ' '-1 -2 3' 1 1 -1 —► 0 - 1 2 -» 0 - 1 2 (N T o «n-> o o 1 1 'S Ma ưận cuổi có dạng tam giác nên hệ véc tơ trẽn độc lập luyến tính. Chú ý: Trên dây mới chi là phương pháp giải bài toán theo định nghĩa, ờ các phán sau ta có thể xét bài toán này theo phuơng pháp hạng cùa hệ véc tơ thõng qua hạng của ma trận hay phương pháp dịnh thức (nếu số véc tơ bằng số chiều cùa véc tơ). Vi dụ 5: Tun X. để hộ véc tơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: X, = ( l,- 2 ,- l) , X, =(-1,1,2), X, =(2,-3,*.). Giải: ' \ -1 2' '\ -1 2 ' 1 -1 2 ' -2 1 -3 —► 0 -1 1 -» 0 -1 1 -\ 2 X, ,0 > X+ 2 0 0 X +3 Nếu X + 3 = 0 o X = -3 thì ma trận dạng hình thang, do đó hệ véc ta ưén là phụ thuộc tuyến tính. Nếu X + 3 * 0 X * -3 thì ma trận có dạng tam giác nên hệ véc tơ độc lập tuyến tính. Ví dụ 6: Chứng minh rẳng hệ véc tơ Xp X ,, Xj phụ thuộc tuyến tính mà Xj không thể biểu diễn tuyến tính qua X ,,X ; thì các véc tơ X,, x : tỳ lẹ với nhau. Giải. Do X ,,X ,,X 3 phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại k r k ,,k j không đổng thời bằng không sao cho: k,x, + k2X2 + k,X3 = 0 (*) Mặt khác, ta có kj = 0, vì nếu k, * 0 thì từ (*) ta có :
Nghĩa là, X, biểu diễn tuyên tính qua X,, X2 mâu thuản với già thiếl, suy ra k,x, + k ,x , = 0 với k ,,k , không đổng thời bằng lchồng, » k không mất tính tổng quát già sử k, * 0=> X, = - — X,. *1 B. Bài tập I. Đề bài Tun sổ X để véc tơ X biểu diẻn tuyến tính qua các véc tơ còn lại: 27. X = (2 ,-1 ,X), X, =(4,3,2), X, = (-1 ,-1 ,-3 ). 28. x = (1,2,3), X, = (-!,2 ,X ), X, = (3 ,-2 ,-3 ). 29. X = (1,3,5), X, =(3,2,5), X, =(2,4,7), x ,= (5 ,6 ,x ). 30. x = (2,5,x), X, =(3,2,6), x , = (7,3,9), X, =(5,1,3). Các hệ véc tơ sau là dộc lập tuyến tính hay là [¿ụ thuộc tuyến tính: f x , = (2 .-1 .3 ) 1X, = (1.-2.3) x ' = ( - 4 ,2, - 6) x 2 = (3 -2 ,1 ) X, = (1,-1, 0) X, = ( - 1 ,1 ,- 2 ) X , = (-2 ,1 ,-1 ) 34. X , = ( -2 ,1 ,-1 ) X , = (-3 ,2 ,- 1 ) X , = (3 ,-1 ,1 ) X, = (1 ,2 ,3 ,4 ) X, - ( 1 , - 1 , 1 , - 1 ) x j = (2,3,4,1) 36. x 2 = (2 ,1 ,0 ,-1 ) X, = (3.4.1,2) X , = ( 3 ,- 6 , 5 ,- 4 ) X, = (1,2,3,4) X, = (1,1,1,1) X , = (2,3,4,1) X , = (1 ,-1 ,-1 ,1 ) X , = (3,4,1,2) X , = (1 ,-1 ,1 ,-1 ) x 4 = (4,1,2.3) x ’ = ( 1, 1, - 1, - 1 )