PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chia sẻ: Phanvanhung Hung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

3.786
lượt xem 1.027
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh đang ôn thi đại học chuyên môn toán - PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Chủ đề:

Bình luận(6) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

PHƯƠNG PHÁP GI I H PHƯƠNG TRÌNH TRONG KỲ THI TUY N SINH IH C BIÊN SO N: GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088 Ph n m t: Các d ng h cơ b n I . H phương trình i x ng. 1.Phương trình i x ng lo i 1. a) nh nghĩa M t h phương trình n x, y ư c g i là h phương trình i x ng lo i 1 n u m i phương trình ta i vai trò c a x, y cho nhau thì phương trình ó không i b) Tính ch t N u ( x0 , y0 ) là m t nghi m thì h ( y0 , x0 ) cũng là nghi m S = x + y i u ki n S 2 ≥ 4 P c) cách gi i   P = x. y Ta bi n i ưa h ã cho (1) v h 2 n S, P (2) (x;y) là nghi m c a (1) khi và ch khi (S,P) là 1 nghi mc c a (2) tho i mãn i u k i n: S 2 − 4 P ≥ 0 v i m i (S;P) tìm ư c ta có (x;y) là nghi m c a phương trình: X 2 − SX + P = 0 . Gi s phương trình có 2 nghi m là X1, X2. + N u ∆ > 0 thì X 1 ≠ X 2 nên h (1) có 2 nghi m phân bi t ( X 1 ; X 2 ) ; ( X 2 ; X 1 ) + N u ∆ = 0 thì X 1 = X 2 nên h có nghi m duy nh t ( X 1 ; X 2 ) . + H có ít nh t m t nghi m tho mãn x ≥ 0 khi và ch khi h (2) có ít nh t 1 nghi m (S;P) tho mãn. ∆ = S 2 − 4 P ≥ 0  S ≥ 0 P ≥ 0  VD 1: Gi i h phương trình  x 2 + y 2 + xy = 7  H có nghi m là (1;2), (2;1) x + y + xy = 5  VD2: nh m h sau có nghi m  x + y + xy = m S: 0 ≤ m ≤ 8 2 x + y2 = m  2) H phương trình i x ng lo i 2. -M t h phương trình 2 n x, y ư c g i là i x ng lo i 2 n u trong h phương trình ta i vai trò x, y cho nhau thì phương trình tr thành phương trình kia.  x 3 + x 2 y = 10 y  VD:  3  y + y 2 x = 10 x  b) Tính ch t. - N u (x0 ; y0 ) là 1 nghi m c a h thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghi m c) Cách gi i 1
- Tr v v i v hai phương trình c a h ta ư c m t phương trình có d ng (x − y )[ f (x; y )] = 0 x − y = 0  f ( x; y ) = 0  3x3 = x 2 + 2 y 2  Ví d : Gi i h phương trình sau:  3 3 y = y + 2 x 2 2  HD: Tr hai phương trình c a h ta thu ư c 3( x3 − y 3 ) = −( x 2 − y 2 ) ⇔ ( x − y )[3( x 2 + y 2 + xy ) + x + y ] = 0 H ã cho tương ương v i  x − y = 0  3 (I )  3 y = y + 2 x 2 2 Gi i (I) ta ư c x=y=0 ho c x=y=1  2 3( x + y + xy ) + x + y = 0 2  ( II )  3 y 3 = y 2 + 2 x 2  Xét (II) T gi thi t ta suy ra x, y không âm . N u x, y dương thì h vô nghi m suy ta h có nghi m duy nh t x=y=0 K t lu n: H có 2 nghi m x=y=0 và x=y=1 3) H phương trình v trái ng c p b c II a) Các d ng cơ b n. ax + bxy + cy = d 2 2 . 2 a1 x + b1 xy + c1 y = d1 2  b) Cách gi i. + Xét trư ng h p y=0 xem có ph i là nghi m hay không + t x=ty thay vào h r i chia 2 phương trình c a h cho nhau ta ư c phương trình b c 2 theo t. Gi i phương trình tìm t sau ó th vao m t trong hai phương trình c a h tìm x,y Phương pháp này cũng úng khi v trái là phương trình ng c p b c n.  x 2 − 3xy + y 2 = −1  Ví d : Gi i h  2  x + 2 xy − 2 y = 1 2  + D th y y=0 không ph i là nghi m t y − 3ty + y = −1 2 2 2 2 + t x=ty th vào h ta có  2 2 chia 2 phương trình c a h cho nhau ta t y + 2ty − 2 y = 1 2 2  có t = 1 x = y t 2 − 3t + 1  ⇔ = −1 ⇔ 2t − t − 1 = 0 ⇒ 2 t ó th hai trư ng h p vào t = − 1 x = − 1 y t 2 + 2t − 2   2 2 m t trong hai phương trình c a h gi i. 2
PHƯƠNG PHÁP KHÁC THƯ NG DÙNG PH N HAI: M T S TRONG GI I H I) PHƯƠNG PH P BI N I TƯƠNG ƯƠNG Phương pháp này ch y u là dùng các k năng bi n i phương trình cu h dưa v phương trình ơn gi n có th rút x theo y ho c ngư c l i th vào phương trình khác c ah Ta xét ví d sau: Lo i 1) Trong h có m t phương trình b c nh t theo n x ho c n y. Khi ó ta rút x theo y ho c y theo x th vào phương trình còn l i  x 2 ( y + 1)( x + y + 1) = 3 x 2 − 4 x + 1(1)  Ví d 1) Gi i gh phương trình   xy + y + 1 = x (2) 2  HD: Ta th y x=0 không ph i là nghi m c a phương trình (2) t phương trình (2) ta có x2 − 1 y +1 = thay vào phương trình (1) ta có x  x 2 − 1  x 2 − 1  + x  = 3 x 2 − 4 x + 1 ⇔ ( x − 1) ( 2 x3 + 2 x 2 − x − 1) = ( x − 1)( 3 x − 1) x2    x  x  ( ) ⇔ ( x − 1) 2 x3 + 2 x 2 − 4 x = 0  x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy  Ví d 2) Gi i h phương trình:   x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy  Gi i: Ta có x=y=0 là nghi m. Các c p s (x,y) v i x=0, y ≠ 0 ho c x ≠ 0, y=0 không là nghi m. 1 1  x + y + 2x + y = 5  Xét xy ≠ 0. chia 2 v phương trình cho xy ≠ 0 ta ư c   1 + 1 + 3x − y = 4 x y  11 Suy ra 5 − 2 x − y = + = 4 + y − 3x ⇔ x = 2 y − 1 xy Thay x=2y-1 vào phương trình th hai ta thu ư c: ( ) 2 y − 1 + y + y ( 2 y − 1) ( 5 y − 3) = 4 ( 2 y − 1) y ⇔ 3 y − 1 + y 10 y 2 − 11y + 3 = 8 y 2 − 4 y ( ) ⇔ 10 y 3 − 19 y 2 + 10 y − 1 = 0 ⇔ ( y − 1) 10 y 2 − 9 y + 1 9 + 41 9 − 41 ⇔ y = 1; y = ;y = 20 20 3
( y = 1; x = 1)  41 − 1  9 + 41 áp s :  y = ;x =    20 10    − 41 − 1  9 + 41 y= ;x =    20 10   Lo i 2) M t phương trình c a h có th ưa v d ng tích c a 2 phương trình b c nh t hai n. Khi ó ta ưa v gi i 2 h phương trình tương ương  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (1)  Ví d 1) Gi i h phương trình sau   x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y (2)  i u ki n là y ≥ 0; x ≥ 1 x = − y Phương trình (1) ⇔ (x+y)(x-2y-1)=0 t ó ta có  thay l n lư t hai trư ng h p x = 2 y +1 vào phương trình (2) gi i  x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 (1)  Ví d 2)Gi i h phương trình:   x + y = 1(2)  G i i: i u k i n x ≥ y ≥ 0 ( ) (1) ⇔ ( x + y − 1) x − y −1 = 0  x + y = 1    x + y = 1  ã cho tương ương v i:  H  x − y = 1   x + y = 1  x + y = 1 x = 1 x = 0  ⇔ gi i  và   x + y =1 y = 0 y =1  x − y = 1 x = 1  ⇔ gi i   x + y =1 y = 0  áp s : x=1,y=0 và x=0, y=1. y −3   x+ y + x+3 = (1) Ví d 3) Gi i h phương trình:  x  x + y + x = x + 3(2)  Gi i: i u ki n x > 0, y ≥ 3 y −3 y −3 Ta có: (1) ⇔ = x+ y − x+3 x V i y=3 ta có 2 x + 3 = 0 ⇔ x = −3 (lo i) 4
 x+ y − x+3 = x  V i y ≠ 3 ta có   x+ y + x = x+3  Suy ra x + 3 − x = x + y = x + x + 3 y +1 = 3 ⇔ y = 8 x + 3 + x = 3 ⇔ x = 1 thay vào (2) ta ư c: Suy ra x = 1 áp s :  y = 8 Chú ý: Trong m t s bài toán nhi u khi các em c n c ng ho c tr 2 phương trình c a h sau ó m i xu t hi n phương trình d ng tích  x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41  Ví d 4) Gi i h phương trình :   xy ( x + y ) = 10 2 2  ( ) ng th c: ( x + y ) = x 4 + y 4 + 4 xy x 2 + y 2 + 6 x 2 y 2 4 Gi i: S d ng h ng  x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41  HD: H ã cho tương ương v i  ( ) 4 xy x + y = 40 2 2  c ng v v i v 2 phương trình ta thu ư c: ( ) x 4 + y 4 + 4 xy x 2 + y 2 + 6 x 2 y 2 = 81 ⇔ ( x + y ) = 81 ⇔ x + y = ±3 4  x + y = 3   ( )   xy x + y = 10 2 2  h ã cho tương ương v i    x + y = −3   ( )   xy x + y = 10 2 2  x + y = 3 x + y = 3 x + y = 3    ⇔ ⇔ a) Xét  ( )  xy ( x − y ) − 2 xy  = 10  xy ( 9 − 2 xy ) = 10    xy x + y = 10 2 2 2     x + y = −3  x + y = −3   ⇔ b) Xét  ( )  xy ( 9 − 2 xy ) = 10  xy x + y = 10 2 2   Lo i 3) M t phương trình c a h là phương trình b c 2 theo m t n ch ng h n x là n. Khi ó ta coi y như là tham s gi i x theo y. (1)  y = (5 x + 4)(4 − x) 2 Ví d 1) Gi i h phương trình sau  −5 x + y − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0 ( 2 ) 2 2  HD: Coi phương trình (2) là phương trình theo n y ta có (2) ⇔ y2 –4(x+2)y- 5x2+16x+16=0 5
 y = 5x + 4 thay l n lư t hai trư ng h p vào phương trình ta s gi i Gi i y theo x ta có  y = 4− x ư c các nghi m c a h 2 x 2 + 2 xy + y = 5  Ví d 2) Gi i h phương trình sau:  2  y + xy + 5 x = 7  Tr hai phương trình c a hê cho nhau ta có 2 x 2 − y 2 + xy + y − 5 x + 2 = 0 ⇔ y +1  x= 2 x + ( y − 5) x − y + y + 2 = 0; ∆ = ( y − 5) − 8(− y + y + 2) = (3 y − 3) ⇒  2 2 2 2 2 2  x = 2− y  Thay l n lư t 2 trư ng h p vào h ta gi i ư c x, y II) PHƯƠNG PHÁP T N PH i m m u ch t c a phương pháp này là ph i phát hi n n ph u=f(x,y) và v=g(x,y) ngay trong t ng phương trình c a h ho c sau các phép bi n i Thông thư ng các phép bi n i thư ng xoay quanh vi c c ng, tr 2 phương trình c a h ho c chia các v phương trình cho m t s h ng khác không có s n trong các phương trình c a h tìm ra nh ng ph n chung mà sau ó ta t thành n ph  x 2 + 1 + y ( y + x) = 4 y  (1) Ví d 1) Gi i h phương trình sau  2 ( )  x + 1 ( y + x − 2) = y (2)  HD: Ta th y y=0 không ph i là nghi m c a h . Chia hai v phương trình (1) và (2) cho y ta có h tương ương sau  x2 + 1 +x+ y =4  u + v = 2 x2 + 1 y ; v=x+y-2 ta có h sau  2 t u= Gi i h tìm u,v uv = 1 x +1 y ( )( x + y − 2) = 1 y  sau ó tìm x, y.  3 4 xy + 4( x + y ) + =7 2 2 ( x + y) 2  i u ki n x+y ≠ 0 Ví d 2) Gi i h phương trình sau  2 x + 1 =3  x+ y   3 3 ( x + y ) + ( x − y ) + 2 2 =7 (x + y) 2  1 t u = x+ y+ ;v = x − y Khi ó ta có h sau  x+ y x + y + 1 + x − y = 3  x+ y  V i u ≥2 3u 2 + v 2 = 13 Thay vào ta có  Gi i h t ìm u;v sau ó thay vào tìm x; y u + v = 3 6
 x3 + y 2 x + 3 x 2 + y 2 + 3x − 2 y + 1 = 0  Ví d 3) Gi i h phương trình:  3 2 y + xy + y − 3x − 3 = 0 2 2  ( x + 1)3 + ( x + 1) y 2 = 2 y  Gi i: H phương trình tương ương v i  ( x + 1) y + 2 y = 3 ( x + 1) 2 3  t u=x+1 u 3 + uy 2 = 2 y  Ta có h m i  2 uy + 2 y = 3u 3  D th y u=y=0 là m t nghi m Xét y ≠ 0 t u=ty th vào h sau ó chia hai v phương trình cho nhau ta ư c phương trình m t n t. ( ây là m t bi n th c a h phương trình ng b c) ( x + y ) (1 + xy ) = 18 xy  Ví d 4) Gi i h phương trình:  2 ( )  x + y 1 + x y = 208 x y 2 22 22  Gi i: Ta có x=y=0 lànghi m. Xét xy ≠ 0 . H phương trình tương ương v i   1 ( x + y ) 1 +  = 18 u + v = 18   xy  1 1 t u = x + , v = y + ta ư c  2 2  . u + v = 208  x 2 + y 2 1 + 1  = 208 x y ( )  2 2   xy     1 ( x + y ) 1 +  = 5   xy  Ví d 5)Gi i h phương trình   xy + 1 = 4   xy G i i: u + v = 5 1 1 i u ki n xy ≠ 0 . t u = x + , v = y + ta ư c h  uv = 6 y x  x y   +  ( x + y ) = 15  y x  Ví d 6) Gi i h phương trình :  2  x + y  x 2 + y 2 = 85 2 ( )  y 2 x 2    xy Gi i: t u = + , v = x + y .Ta có: yx 2 2 x y + 2 = u2 − 2 2 y x x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy = v 2 − 2 xy 2 7
x2 + y 2 u= ⇔ u.xy = x 2 + y 2 xy v2 Suy ra u.xy = v 2 − 2 xy ⇒ xy = u+2 2 uv 2 2v 15v Suy ra x 2 + y 2 = v 2 − = = ( vì uv=15) u+2 u+2 u+2 uv = 15  Ta ư c h  2  15v  ( u − 2 )  u + 2  = 85     x 2 y + 2 y + x = 4 xy  Ví d 7) Gi i h :  1 1x  x 2 + xy + y = 3  Gi i: i u ki n xy ≠ 0 .  111 x + x + x + y = 4  h phương trình tương ương v i  . 1  1 1    x+  +  = 4   x  x y  u + v = 4 u = 2 1 11 t u = x + , v = + ta ư c:  ⇔ uv = 4 v = 2 x xy  1 x + x = 2  ⇔ ( x = 1, y = 1) H phương trình tương ương v i  1 + 1 = 2 x y  III) PHƯƠNG PHÁP HÀM S Lo i 1) M t phương trình c a h có d ng f(x)=f(y). M t phương trình cho ta bi t t p giá tr c a x ho c y. T ó suy ra hàm f(x) ơn i u suy ra x=y (1)  x3 − 5x = y3 − 5 y  Ví d 1) Gi i h phương trình sau  8 ( 2) x + y = 1 4  T phương trình (2) ta suy ra x , y ≤ 1 Xét phương trình f ( x) = x3 − 5 x v i x ∈ [ −1;1] ; f '( x) = 3 x 2 − 5 < 0∀x ∈ [ −1;1] nên f(x) là hàm ngh ch bi n suy ra x=y thay vào phương trình (2) ta d dàng gi i ư c nghi m L o i 2) H i x ng mà sau khi bi n i th ơng ưa v d ng f(x)=f(y) ho c f(x)=0 trong ó f là hàm ơn i u  x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1  Ví d 1) Gi i h phương trình sau   y + y 2 − 2 y + 2 = 3x −1 + 1  8
 u + u + 1 = 3 2 v HD: t x-1=u; y-1=v ta có h  v + v 2 + 1 = 3u  Tr theo v hai phương trình trên ta ư c u + u 2 + 1 + 3u = v + v 2 + 1 + 3v Xét hàm s x f ( x) = x + x 2 + 1 + 3x ; f '( x) = 1 + + 3x ln 3 > 0∀x ⇒ u = v . Thay vào (1) ta có x +1 2 ( ) u + u 2 + 1 = 3u ⇔ ln u + u 2 + 1 = u ln 3 ; f (u ) = ln(u + u 2 + 1) − u ln 3 ta có u 1+ u 2 + 1 − ln 3 = 1 − ln 3 < 0∀u ⇒ f (u ) là hàm s ngh ch bi n. Ta có f '(u ) = u + u2 +1 u2 +1 khi u=0 thì f(0)=0 nên u=v=0 là nghi m duy nh t ⇒ x=y=1 là nghi m duy nh t c a h ban u  x3 − 3x2 + 2 = y3 − 3 y − 2   x−2  y −1  Ví d 2) Gi i h phương trình sau:  log y  y − 1  + log x  x − 2  = ( x − 2011) 2      Gi i: t y=u-1 thay vào phương trình (1) c a h ta có x 3 − 3 x 2 = u 3 − 3u 2 . Ta th y bài toán xác nh khi  0 < y < 1   0 < x < 2 Trong c hai trư ng h p ta th y hàm s f ( x) = x3 − 3 x 2 ⇒ f '( x) = 3 x( x − 2)  x > 2   y > 1  luôn ơn i u nên Ta có x = u ⇔ x = y + 1 thay vào phương trình (2) c a h ta có x=2011 là nghi m. Chú ý: Trong bài t p này ta cũng có th bi n i tr c ti p phương trình u c a h v d ng x3 − 3x 2 = ( y + 1) − 3( y + 1) 2 3 ( 4 x + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 2 Ví d 3) Gi i h phương trình sau:  4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x = 7  5−t 2 HD: t 5 − 2 y = t ⇒ y = thay vào phương trình (1) c a h ta có 2 5 − t2 4 x3 + x = t (3 − ) ⇔ 8 x3 + 2 x = t 3 + t Xét f ( x) = x3 + x ⇒ f '( x) = 3 x 2 + 1 suy ra hàm 2 5 − 4 x2 s f ( x) luôn ng bi n t ó suy ra t = 2 x ⇔ 5 − 2 y = 2 x ⇔ y = th vào 2 phương trình (2) c a h ta có 9
2  5 − 4 x2   3  + 2 3 − 4 x − 7 = 0 v i x ∈ 0;  . g ( x) = 4 x +  2  4 2 D th y x=0 ho c x=3/4 u không ph i là nghi m 5   3 4 4 g '( x) = 8 x − 8 x  − 2 x 2  − = 4 x(4 x 2 − 3) − < 0 v i x ∈  0;  Ta có 3 − 4x 3 − 4x 2   4 1 1 g ( ) = 0 ⇒ x = ; y = 2 là nghi m duy nh t c a h . 2 2 IV) PHƯƠNG PHÁP ÁNH GIÁ V i phương pháp này h c sinh c n quan sát n m ch c các bi u th c không âm trong h , qua ó v n d ng các b t ng th c ánh giá  2 xy x + 3 2 = x2 + y x − 2x + 9  Ví d 1) Gi i h phương trình  2 xy y + = y2 + x  y − 2y + 9 2 3  HD:C ng 2 v c a hai phương trình v i nhau ta có 2 xy 2 xy + = x 2 + y 2 Ta có x=y=0 là m t nghi m c a h x − 2x + 9 y − 2y + 9 32 2 3 Có 3 x 2 − 2 x + 9 = 3 ( x − 1) 2 + 8 ≥ 2 ⇒ VT ≤ 2 xy; x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇒ VP ≥ 2 xy . D u b ng x y ra khi và ch khi x=y=1 K t lu n: H có 2 ngi m x=y=0 và x=y=1  y = − x + 3x + 4  3 Ví d 2) Gi i h phương trình sau  x = 2 y − 6 y − 2 3  ( y − 2 ) = −( x + 1)2 ( x − 2) (1)  H ã cho tương ương v i  ( x − 2 ) = 2 ( y + 1) ( y − 2) 2 (2)  N u y > 2 t (1) suy ra x 1 + x 7 ⇒y>x ⇒ 1 + y + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 + y 7 > 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x5 + x 6 + y 7 > 1 + y 7 ⇒ x > y V y h vô nghi m. Tương t khi y>0 h cũng vô nghi m Xét x
Ta có 1 + ( x + x 2 ) + ( x 3 + x 4 ) + ( x 5 + x 6 ) + x 7 > 1 + x 7 ⇒ y > x . Tương t khi yy . V y h vô nghi m Xét trư ng h p -1
(u + a ) + ( v + b) + (u + a)(v + b) + 2(v + b) + u + a = 0 2 2 h phương trình òng b c thì i u ki n c n là trong phương trình không có s h ng b c nh t. 2a + b + 1 = 0 a = 0 ⇒ Suy ra  2b + a + 2 = 0 b = −1  x 2 + u 2 + xu = 3  t y=u-1 ta có h sau:  2 2 x − u = 1 2  BÀI T P GI I H PHƯƠNG TRÌNH M TS Biên so n: NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088 2 5  x + y + x y + xy + xy = − 4 3 2 x + 2x y + x y = 2 x + 9 4 3 22  1)  2)  2  x + 2 xy = 6 x + 6  x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = − 5    4  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 x 2 + y 2 + x − y = 4  3)  4)   x( x − y + 1) + y ( y − 1) = 2 x 2 y − y x − 1 = 2x − 2 y   x 2 + y 2 + xy = 7 1 + x 3 y 3 = 19 x 3   5)  4 6)   x + y 4 + x 2 y 2 = 21  y + xy 2 = −6 x 2     1 (x + y )1 +  = 5  xy   xy + 3 y 2 − x + 4 y = 7     8)  7)  2 xy + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 ( )  x 2 + y 2 1 + 1  = 49     x2 y2       x+ y − x− y = 2  x 3 + 2 xy 2 + 12 y = 0   9)  10)  2 8 y + x 2 = 12  x +y + x −y =4 2 2 2 2    x + x 2 − y 2 x − x 2 − y 2 17 + =  2 x 2 + 5 xy + 2 y 2 + x + y + 1 = 0 4 12)   11)  x − x − y x+ x − y 2 2 2 2 2  x + y 2 + 4 xy + 12 x + 12 y + 10 = 0    x( x + y ) + x + xy + 4 = 52 2   2( x − y ) = xy x + y + x − 2 y = 2 2 2  13)  2 14)   x + y + 2 x + 2 y = 11 x − y = 3 2 2 2   2 2 xy  y x 2 − y 2 = 48 x + y + x + y = 1 2  15)  16)   x + y + x 2 − y 2 = 24  x + y = x2 − y    2y 2 xy + 3 x + 4 y = −6 x − y + = −2 18)  17)  2 x  x + 4 y + 4 x + 12 y = 3 2 2 xy − 2 y 2 + x = 0  12
 x 2 + y 2 + xy = 3 x2 y + 2x + 3y = 6  19)  2 20)  3 xy + x + y = 5  x + 2 xy = 7 x + 5 y − 9   x + y + xy = 3 2 x y + x + 2 x = 2 2  22 2 2 21)  2 22)  2  y − xy + 5 x + 4 y = 9 2 x y − x y + 2 xy = 1 22   2 x 2 + 2 y 2 = 1 + 2 x + y  x2 y 2 + y 4 + 1 = 3 y 2   23)  2 24)  2 2 y + 2 x + y + 1 = 6 xy  xy + x = 2 y    2 y − x + 6 y + y x − 2 y = 0  x+ y + x− y =2 y 2  26)  25)   x + 5y = 3  x + x − 2 y − x − 3y = 2   2 1 2 x + x − y = 2  x − 2 y − xy = 0  28)  27)   x −1 − 2 y −1 = 1  y − y 2 x − 2 y 2 = −2    x2 y + y = 2  x3 + y 2 x + 3x 2 + y 2 + 3x − 2 y + 1 = 0   30)  3 29)  2 1 x + 2 + x y = 3 2 y + xy + y − 3 x − 3 = 0 22 2 2   x y −3   x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 (1)  x+ y + x+3 = (1)  32)  31)  x  x + y = 1(2)  x + y + x = x + 3(2)    3 4 xy + 4( x + y ) + =7 2 2  x 2 y + 2 y + x = 4 xy ( x + y) 2   34)  1 33)  1x  x 2 + xy + y = 3 2 x + 1 = 3   x+ y   2 xy x + 3 2 = x2 + y  x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1 x − 2x + 9   35)  36 )  2 xy  y + y 2 − 2 y + 2 = 3x −1 + 1 y + = y2 + x   y − 2y + 9 2 3   x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy  x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41   37)  38)  ( )  x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy  xy x + y = 10 2 2    x2 y + y3 = x 4 + x6  x 3 + 4 y = y 3 + 16 x   39)  40)  1 + y = 5( x + 1) ( x + 2) y + 1 = ( x + 1) 2 2 2    x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y  x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 + 2 xy   41)  42)   y ( x + y ) = 2( x + 1) + 7 y  x + x y + xy = y + xy + 1 2 2 2 2   13
 x3 − 3x 2 = y 3 − 3 y − 2 ( 4 x 2 + x ) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0    x−2  y −1  44)  43)  log y  y − 1  + log x  x − 2  = ( x − 3) 3 4 x + y + 2 3 − 4 x = 7 2 2        x − y sin x e = sin y  π x, y ∈  0;  45)   4 3 8 x 2 + 3 + 1 = 6 2 y 2 − 2 y + 1 + 8 y  (1 + 42 x − y ) 51− 2 x + y = 1 + 22 x − y +1  1− x 2 3 2 x − 2 y = − xy −  2 47)  46)   y + 4 x + 1 + ln ( y + 2 x ) = 0 2 3 2 ( x 2 y + 2 x ) 2 − 2 x 2 y + 1 − 4 x = 0    x2 +1 8 y 2 + 1 2 − 4 = 3(2 y − x )  x 2 + y 2 + xy + 2 y + x = 2 2  49)  2 48)  2 x = 2 + y + 2 y 3 7 2  2( x + y ) + x+ y = 2  2 2 x + 2 y + 2x + 8 y + 6 = 0  x 2 + xy + y 2 = 3 2 2   50)  2 51)  3  x + xy + y + 4 x + 1 = 0 x + 2 y = y + 2x 3    x 2 + y 2 + xy = 3  x2 + y 2 + 2 x = 3   53)  x 5 + y 5 31 52)  3  x3 + y3 = 7 2( x + y ) + 6 x = 5 + 3( x + y ) 3 2 2 2    x 2 − 8 x + 9 − 3 xy + 12 − 6 x ≤ 1  x2 + y 2 = 5   55)  54)  4  x + y + 6 x y + 20 xy = 81 4 22  2( x − y ) 2 + 10 x − 6 y + 12 − y = x + 2    y 6 + y 3 + 2 x 2 = xy − x 2 y 2 2  y + (4 x − 1) = 3 4 x(8 x + 1) 2  56)  57)  1 4 xy + y + ≥ 2 x + 1 + ( 2 x − y ) 40 x + x = y 14 x − 1 2 2 3 3 2   2   1  3x 1 + =2  x+ y  58)   7 y 1 − 1  = 4 2     x+ y  Trong bài vi t có s d ng m t s tư li u trích t bài vi t c a th y Nguy n Minh Nhiên, th y Nguy n T t Thu.Tôi xin chân thành c m ơn các th y. 14