Phương pháp tọa độ trong không gian

Chia sẻ: Phamminh Quang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

1.086
lượt xem 340
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập toán hình học lớp 12 về Phương pháp tìm tọa độ trong không gian dành cho những bạn ôn thi tốt nghiệp và ôn thi đại học, cao đẳng. Tài liệu dùng để tham khảo và học tập.

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp tọa độ trong không gian

PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN I/ PHEÙP TOAÙN VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN. Baøi 1: Cho ΔABC coù trong taâm G vaø M laø ñieåm tuøy yù trong ko gian. a/ CMR: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2. b/ Tìm quyõ tích caùc ñieåm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 = k2. Baøi 2: Cho töù dieän ABCD. Goïi G laø troïng taâm ΔBCD vaø O laø trung ñieåm cuûa AG; M laø ñieåm tuøy yù. uuu uuu uuur uuur r r r a/ CMR: 3OA + OB + OC + OD = 0 b/ CMR: 3MA2 +MB2+MC2+MD2 =6MG2 +3OA2 +OB2 +OC2+OD2 c/ Tìm quyõ tích caùc ñieåm M thoûa: 3MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2. Baøi 3: Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’. Hai ñieåm M, N naèm treân hai caïnh B’C’ vaø CD sao cho MB’ = CN. CMR: AM ⊥ BN. Baøi 4: Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’. Chöùng minh raèng : uuuu uuuu r r uuur uuuu uuuu r r uuuu r a/ AC ' + A ' C = 2 AC b/ AC ' − A ' C = 2CC ' II/ VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN. Baøi 1: Trong khoâng gian Oxyz. Haõy vieát toïa ñoä cuûa caùc vectô: → → → → → → → → → → a/ a = − e1 + 2 e3 b/ b = 2 e1 − e2 c/ c = 2 e1 − 7 e2 + 3 e3 → 1→ → → 3→ → → d/ d = e2 − 2 e3 e/ e = − e1 f/ f = 4, 5 e1 2 2 → → → Baøi 2: Haõy vieát döôùi daïng: x e1 + y e2 + z e3 caùc vectô sau ñaây : → → 1 6 → 1 a/ u = ( 2;1; −3) b/ v = (− ;0; ) c/ m = ( ; 0; π ) 3 5 2 → → d/ p = ( 0; −2;5) e/ q = (0;0; −2) → → → Baøi 3: Trong khoâng gian Oxyz, cho 3õ vectô: a = (2; −5;3); b = (0; 2; −1); c = (1;7; 2) . → → 1→ → a/ Tính toïa ñoä cuûa vectô : x = 4 a − b + 3 c . 3 b/ Cho bieát M(–1;2;3); haõy tìm toïa ñoä caùc ñieåm A, B, C sao cho: uuur → uuur → uuuu → r MA = a; MB = b ; MC = c Baøi 4: Tìm toïa ñoä cuûa vectô x bieát: → → → → → → → → → a/ x + b = 0 khi b = (1; −2;1) b/ 2 x + a = b khi a = (5; 4; −1); b = (2; −5;3) → → → → → → c/ 2 x − a = x + b khi a = (5;6;0); b = (−3; 4; −1) Baøi 5: Cho ñieåm M coù toïa ñoä (x; y; z). Goïi M1, M2, M3 laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm M treân caùc truïc Ox, Oy, Oz. Goïi M 1' , M 1' , M3’ laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm M treân caùc maët phaúng Oxy, Oyz, Ozx. Tìm toïa ñoä cuûa caùc ñieåm M1’, M2’, M3’. AÙp duïng cho M(–1,2,3). Baøi 6: Cho ñieåm M coù toïa ñoä (x; y; z). Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm: a/ N ñoái xöùng vôùi M qua maët phaúng Oxy. b/ P ñoái xöùng vôùi M qua truïc Ox. c/ Q ñoái xöùng vôùi M qua goác toïa ñoä O. AÙp duïng vôùi M(–2; 5; 1). Baøi 7: Trong khoâng gian Oxyz, cho 3 ñieåm: A(0; 2; –1); B(1; 1; 3) vaø C(–1; 2; –2). a/ Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa ΔABC. b/ Tính dieän tích ΔABC. Baøi 8: Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ bieát: A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); D(1; –1; 1); C’(4; 5; –5). a/ Tìm toïa ñoä caùc ñænh coøn laïi cuûa hình hoäp. b/ Tìm toïa ñoä taâm cuûa caùc maët ABCD vaø ABB’A’ cuûa hình hoäp ñoù. Baøi 9: Cho hai boä 3 ñieåm: A(1; 3; 1); B(0; 1; 2); C(0; 0; 1) vaø A’(1;1;1); B’(–4; 3; 1); C’(–9; 5; 1). Hoûi boä naøo coù 3 ñieåm thaúng haøng ? → → Baøi 10: Tính toïa ñoä cuûa vectô tích coù höôùng cuûa hai vectô a , b trong moãi tröôøng hôïp sau: → → → → a/ a = (3;0; −6); b = (2; −4;5) b/ a = (1; −5; 2); b = (4;3; −5) 1
→ → → → c/ a = (0; 2; 3); b = (1; 3; − 2) d/ a = (1; −1;1); b = (0;1; 2) → → e/ a = (4;3; 4); b = (2; −1; 2) Baøi 11: Tính khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B trong moãi tröôøng hôïp: a/ A(4;–1; 1); B(2; 1; 0) b/ A(2; 3; 4); B(6; 0; 4) c/ A( 2 ; 1; 0); B(1; 2 ; 1) → → Baøi 12: Tính goùc giöõa hai vectô a , b trong moãi tröôøng hôïp sau : → → → → a/ a = (4;3;1); b = (−1; 2;3) b/ a = (2; 4;5), b = (6;0; −3) Baøi 13: Cho ΔABC vôùi A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1). a/ Tính caùc goùc cuûa ΔABC. b/ Tìm toïa ñoä trong taâm G cuûa ΔABC. c/ Tính chu vi vaø dieän tích tam giaùc ñoù. Baøi 14: Tìm ñieåm M treân truïc Oy, bieát M caùch ñeàu 2 ñieåm A(3; 1; 0) vaø B(–2; 4; 1). Baøi 15: Treân maët phaúng Oxz tìm ñieåm M caùch ñeàu 3 uuu m A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) vaø C(3; 1; –1). ñieå r uuur Baøi 16: Tính dieän tích cuûa hình bình haønh ABCD coù AB = (6;3; −2) vaø AD = (3; −2; 6) . ur u u r r Baøi 17: Xeùt söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô a , b , c trong moãi tr.hôïp sau: → → → → → → a/ a = (4; 2;5); b = (3;1;3); c = (2;0;1) b/ a = (1; −1;1); b = (0;1; 2); c = (4; 2;3) → → → → → → c/ a = (4;3; 4); b = (2; −1; 2); c = (1; 2;1) d/ a = (−3;1; −2); b = (1;1;1); c = (−2; 2;1) uuur r ur ur uuuu r r ur ur Baøi 18: Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’, bieát A(1; 0; 1) vaø B(2; 1; 2); OD = i − j + k , OC ' = 4i − 5 j − 5k . Tìm toïa ñoä caùc ñænh coøn laïi. Baøi 19: Cho A(2;–1; 1), B(4; 5; –2). Ñöôøng thaúng Ab caét mp Oxyz taïi ñieåm M. Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá naøo? Tìm toïa ñoä ñieåm M. Baøi 20: Cho A(1; 1; 1), B(5; 1; –2) vaø C(7; 9; 1). a/ Chöùng minh A, B, C khoâng thaúng haøng. b/ Phaân giaùc trong goùc A cuûa ΔABC caét BC taïi D. Tìm toïa ñoä cuûa D. c/ Tính cosin cuûa goùc BAC vaø dieän tích ΔABC. Baøi 21: Cho A(1; 2; 1), B(5; 3; 4) vaø C(8; 3; –2). a/ CMR: ABC laø tam giaùc vuoâng. b/ Tìm toïa ñoä chaân ñöôøng phaân giaùc trong cuûa tam giaùc keû töø B. c/ Tính dieän tích cuûa ΔABC. Baøi 22: Cho A(1; 0; 1), B(–1; 1; 2), C(–1; 1; 0) vaø D(2; –1; –2). a/ CMR: A, B, C, D laø boán ñænh cuûa hình chöõ nhaät. b/ Tính ñöôøng cao cuûa ABCDuuur töø ñænhur ur keû r D. Baøi 23: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) vaø OC = 2i + j + k . a/ CMR: A, B, C laø ba ñænh cuûa moät tam giaùc. b/ Tính chu vi vaø dieän tích cuûa ΔABC. c/ Tìm toïa ñoä ñænh D ñeå töù giaùc ABCD laø hình bình haønh. d/ Tính ñoä daøi ñöôøng cao cuûa ΔABC haï töø ñænh A. e/ Tính caùc goùc cuûa ΔABC. Baøi 24: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) vaø D(–2; 1; –1). a/ CMR: A, B, C, D laø boán ñænh cuûa moät töù dieän. b/ Tính goùc taïo bôûi caùc caëp caïnh ñoái dieän cuûa töù dieän ABCD. c/ Tính theå tích töù dieän ABCD vaø ñoä daøi ñöôøng cao haï töø A. Baøi 25: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) vaø D(–5; –5; 3). a/ CMR: töù giaùc ABCD coù hai ñöôøng cheùo AC vaø BD vuoâng goùc. b/ Tính dieän tích töù giaùc ABCD. Baøi 26: Cho töù dieän PABC, bieát P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) vaø C(–1; 4; 2). Tìm toïa ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa P treân (ABC). 2
uuur ur r ( Baøi 27: Cho A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0) vaø OD = 2 k − i . ) a/ CMR: ABCD laø hình thoi. b/ Tính dieän tích cuûa hình thoi. ⎛ 5 ⎞ ⎛5 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛9 5 ⎞ Baøi 28: Cho A ⎜ 2; ;1⎟ , B ⎜ ; ;0 ⎟ , C ⎜ 5; ;3 ⎟ , D ⎜ ; ; 4 ⎟ . ⎝ 2 ⎠ ⎝2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 2 ⎠ a/ CMR: boán ñieåm treân laø boán ñænh cuûa hình bình haønh. b/ Tính dieän tích hình bình haønh ñoù. Baøi 29: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) vaø C(1; 4; 0). a/ Tìm heä thöùc giöõa x, y, z ñeå ñieåm M(x; y; z) thuoäc mp(ABC). b/ Tìm tröïc taâm H cuûa ΔABC. c/ Tìm taâm I vaø baùn kính R cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ΔABC. III/ MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN. A/ Phöông trình cuûa maët phaúng. Baøi 1: Laäp phöông trình tham soá vaø toång quaùt cuûa mp(α) ñi qua 3 ñ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –1). Baøi 2: Cho ñieåm M(2; –1; 3) vaø mp(α) coù p.trình 2x –y + 3z –1 = 0. a/ Laäp pt toång quaùt cuûa mp(β) ñi qua M vaø song song vôùi mp(α). b/ Haõy laäp phöông trình tham soá cuûa mp(β) noùi treân. Baøi 3: Haõy laäp pt mp(α) ñi qua 2 ñieåm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) vaø song song vôi truïc Oz. Baøi 4: Laäp pt mp(α) ñi qua ñieåm M(2; –1; 2) vaø vuoâng goùc vôùi caùc mp: 2x – z + 1 = 0 vaø y = 0. Baøi 5: Laäp pt mp(α) ñi qua goác toïa ñoä vaø vuoâng goùc vôùi caùc mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 vaø x + 2y + z = 0. Baøi 6: Laäp pt mp(α) ñi qua hai ñieåm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) vaø vuoâng goùc vôùi mp x – 2y + 3z – 5 = 0. ⎧ x = 1 + t1 ⎪ Baøi 7: Cho mpα coù phöông trình tham soá : ⎨ y = −2 + t 2 ⎪ z = −5 − 2 t + t ⎩ 1 2 a/ Haõy laäp phöông trình toång quaùt cuûa mp(α’) ñi qua goác toïa ñoä vaø song song vôùi mpα. b/ Tính goùc ϕ taïo bôûi mp(α’) vaø mp(β) coù pt: x + y + 2z –10 = 0. Baøi 8: Tính khoaûng caùch töø ñieåm A(7; 3; 4) ñeán mp(α) coù phöông trình: 6x – 3y + 2z –13 = 0. Baøi 9: Cho mp(α) : 2x – 2y – z – 3 = 0. Laäp phöông trình mp(β) song song vôùi mp(α) vaø caùch mp(α) moät khoaûng d = 5. Baøi 10: Vieát phöông trình maët phaúng trong moãi tröôøng hôïp sau: a/ Ñi qua M(1; 3; –2) vaø vuoâng goùc vôùi truïc Oy. b/ Ñi qua M(1; 3; –2) vaø vuoâng goùc vôùi ñ.thaúng AB vôùi A(0; 2; –3) vaø B(1; –4; 1). c/ Ñi qua M(1; 3; –2) vaø song song vôùi mp: 2x – y + 3z + 4 = 0. Baøi 11: Cho hai ñieåm A(2; 3; –4) vaø B(4; –1; 0). Vieát pt maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB. Baøi 12: Cho ΔABC, vôùi A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3) vaø C(4; 5; 6). Vieát phöông trình mp(ABC). Baøi 13: Vieát ptmp ñi qua 2ñieåm P(3; 1; –1) vaø Q(2; –1; 4) vaø vuoâng goùc vôùi mp: 2x – y + 3z + 1 = 0. Baøi 14: Cho A(2; 3; 4). Haõy vieát p.trình mp(P) ñi qua caùc hình chieáu cuûa A treân caùc truïc toïa ñoä, vaø p.trình mp(Q) ñi qua caùc hình chieáu cuûa A treân caùc maët phaúng toïa ñoä. Baøi 15: Vieát p.trình mp qua ñieåm M(2; –1; 2), ssong vôùi truïc Oy vaø vuoâng goùc vôùi mp: 2x – y + 3z + 4 = 0. Baøi 16: Vieát phöông trình maët phaúng trong moãi tröôøng hôïp sau: a/ Qua I(–1;–2;–5) vaø ñoàng thôøi ⊥ vôùi hai mp (P): x + 2y –3z +1 = 0 vaø (Q): 2x – 3y + z + 1 = 0. b/ Qua M(2; –1; 4) vaø caét chieàu döông caùc truïc toïa ñoä Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi P, Q, R sao cho : OR = 2OP = 2OQ. c/ Qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P): 2x – y –12z – 3 = 0, (Q): 3x + y – 7z – 2 = 0 vaø vuoâng goùc vôùi mp(R): x + 2y + 5z – 1 = 0. d/ Qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, mp(Q): x – y – 2z + 7 = 0 vaø song song vôùi truïc Oy. e/ Laø mp trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB vôùi A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3). f/ mp(X) nhaän M(1; 2; 3) laøm hình chieáu vuoâng goùc cuûa N(2; 0; 4) leân treân mp(X). B/ Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng. Baøi 1: Xaùc ñònh m ñeå hai maët phaúng: Song song vôùi nhau? Truøng nhau? Caét nhau? 3
a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0 b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + 1 = 0; (Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = 0 Baøi 2: Cho 3 maët phaúng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 vaø (R): –2x + 2y+ 3z + 3 = 0. a/ Chöùng minh (P) caét (Q). b/ Vieát p.trình mp(S) qua giao tuyeán cuûa hai mp(P), (Q) vaø qua ñieåm M(1; 2; 1). c/ Vieát p.trình mp(T) qua giao tuyeán cuûa hai mp(P), (Q) vaø song song vôùi mp(R). d/ Vieát p.trình mp(U) qua giao tuyeán cuûa hai mp(P), (Q) vaø vuoâng goùc vôùi mp(R). Baøi 3: Vieát phöông trình maët phaúng trong moãi tröôøng hôïp sau: a/ Ñi qua M(2; 1; –1) vaø qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng coù phöông trình: x – y + z – 4 = 0 ; 3x – y + z – 1 = 0. b/ Qua giao tuyeán cuûa hai m.phaúng: y + 2z – 4 = 0; x + y – z – 3 = 0 ñoàng thôøi song song vôùi mp: x + y + z = 0. c/ Qua giao tuyeán cuûa hai m.phaúng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = 0 ñoàng thôøi vuoâng goùc vôùi mp: 2x – z + 7 = 0. Baøi 4: Tìm ñieåm chung cuûa ba maët phaúng: a/ x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0 b/ 4x + y + 3z – 1 = 0; 8x – y + z – 5 = 0; 2x – y – 2z – 5 = 0 Baøi 5: Cho töù dieän ABCD vôùi A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) vaø D(1; 1; –3). a/ Vieát phöông trình caùc maët phaúng (ABC), (ABD). b/ Tính goùc giöõa (ABC) vaø (ABD). ur c/ Tìm pt mp(P) chöùa CD vaø // vôùi vectô v = (m; 1–m; 1+m). Ñònh m ñeå mp(P) vuoâng goùc vôùi mp(ABC). d/ Ñònh m, n ñeå mp(P) truøng vôùi mp: 4x + ny + 5z + 1 – m = 0. Baøi 6: Vieát p.trình maët phaúng qua M(0; 2; 0), N(2; 0; 0) vaø taïo vôùi mpOyz moät goùc 600. Baøi 7: Tìm ñieåm M’ ñoái xöùng cuûa M qua mp(P) bieát: a/ M(1; 1; 1) vaø mp(P): x + y – 2z – 6 = 0. b/ M(2; –1; 3) vaø mp(P): 2x – y – 2z – 5 = 0. Baøi 8: Cho töù dieän ABCD vôùi A(–1; –5; 1), B(2; –4; 1), C(2; 0; –3) vaø D(0; 2; 2). a/ Laäp phöông trình caùc maët phaúng (ABC), (ABD). b/ Tính cosin cuûa goùc nhò dieän caïnh AB, caïnh BC. c/ Tìm ñieåm ñoái xöùng cuûa ñieåm A qua caùc mp(BCD), (OBC). Baøi 9: Cho ñöôøng thaúng MN bieát M(–6; 6; –5), N(12; –6; 1). a/ Tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng MN vôùi caùc m.phaúng toïa ñoä. b/ Tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng MN vôùi mp(α) coù phöông trình: x– 2y + z–9 = 0 vaø tính sin cuûa goùc ϕ giöõa ñ.thaúng MN vaø mp(α). c/ Vieát p.trình toång quaùt cuûa mp chöùa ñ.thaúng MN vaø // vôùi truïc Oz. C/ Chuøm maët phaúng. Baøi 1: Cho hai maët phaúng caét nhau (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 vaø (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0. a/ Vieát phöông trình mp(R) qua M(1; –2; 1) vaø chöùa giao tuyeán cuûa hai mp(P) vaø (Q). b/ Vieát pt mp(T) vuoâng goùc vôùi mp: x + 2y + z = 0 vaø chöùa giao tuyeán cuûa hai mp(P) vaø (Q). c/ Vieát phöông trình mp(U) chöùa giao tuyeán cuûa hai mp(P) vaø (Q) vaø taïo vôùi mp: x + y – z = 0 moät goùc nhoïn a maø cosa = 3/125. Baøi 2: Ñònh l, m ñeå mp(P):5x + ly + 4z + m = 0 thuoäc chuøm mp: λ(3x – 7y + z – 3) + μ(x – 9y – 2z + 5) = 0 IV/ ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN. A/ Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng. Baøi 1: Laäp phöông trình tham soá vaø toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm M(2; 0;–3) vaø nhaän → a = (2; −3;5) laøm vectô chæ phöông. Baøi 2: Laäp p.trình cuûa ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm M(–2; 6; –3) vaø: 4
⎧ x = 1 + 5t ⎪ a/ Song song vôùi ñöôøng thaúng a: ⎨ y = −2 − 2t ⎪ z = −1 − t ⎩ b/ Laàn löôït song song vôùi caùc truïc Ox, Oy, Oz. Baøi 3: Laäp p.trình tham soá vaø p.trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng d: a/ Ñi qua hai ñieåm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0). ⎧3x − y + 2 z − 7 = 0 b/ Ñi qua ñieåm M(2; 3;–5) vaø // vôùi ñ.thaúng: ⎨ . ⎩ x + 3y − 2z + 3 = 0 Baøi 4: Trong mpOxyz cho 3 ñieåm A(–1; –2; 0) B(2; 1; –1) C(0; 0; 1). a/ Haõy vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng AB. b/ Tính ñöôøng cao CH cuûa ΔABC vaø tính dieän tích ΔABC. c/ Tính theå tích hình töù dieän OABC. Baøi 5: Vieát p.trình tam soá, chính taéc, toång quaùt cuûa ñ.thaúng d bieát: a/ d qua M(2; 0; –1) vaø coù vectô chæ phöông laø (–1; 3; 5). b/ d qua M(–2; 1; 2) vaø coù vectô chæ phöông laø (0; 0; –3). c/ d qua M(2; 3; –1) vaø N(1; 2; 4). Baøi 6: Vieát phöông trình cuûa ñöôøng thaúng d bieát: a/ d qua M(4; 3; 1) vaø // vôùi ñ.thaúng:( x = 1 + 2t; y = –3t; z = 3 + 2t). x − 2 y +1 z + 2 b/ d qua M(–2; 3; 1) vaø song song vôùi ñ.thaúng: = = . 2 0 3 ⎧x + y − z + 3 = 0 c/ d qua M(1; 2; –1) vaø song song vôùi ñ.thaúng: ⎨ . ⎩2 x − y + 5 z − 4 = 0 Baøi 7: Vieát p.trình toång quaùt cuûa ñ.thaúng d döôùi daïng giao cuûa hai m.phaúng song song vôùi caùc truïc Ox, Oy bieát p.trình tham soá cuûa d laø: ⎧ x = 2 + 2t ⎧ x = −1 + t ⎪ ⎪ a/ ⎨ y = −1 + 3t b/ ⎨ y = 2 − 4t ⎪ z = −4 + 3t ⎪ z = 3 + 2t ⎩ ⎩ Baøi 8: Vieát p.trình chính taéc cuûa ñ.thaúng d bieát pt toång quaùt cuûa noù laø: ⎧2 x − y + z + 5 = 0 ⎧x + y − z + 3 = 0 a/ ⎨ b/ ⎨ ⎩2 x − z + 3 = 0 ⎩2 x − y + 6 z − 2 = 0 x −1 y + 2 z − 3 Baøi 9: Vieát ptrình hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñt d: = = 2 3 1 a/ Treân mpOxy b/ Treân mpOxz c/ Treân mpOyz ⎧2 x − y + z + 5 = 0 Baøi 10: Vieát ptrình hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñt d: ⎨ treân mp: x + y + z – 7 = 0. ⎩2 x − z + 3 = 0 Baøi 11: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng trong caùc tröôøng hôïp sau: a/ Ñi qua ñieåm (–2; 1; 0) vaø vuoâng goùc vôùi mp: x + 2y – 2z = 0 b/ Ñi qua ñieåm (2; –1; 1) vaø vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng thaèng: ⎧x + y +1 = 0 ⎧2 x + y − 1 = 0 (d1): ⎨ ; (d2): ⎨ ⎩2 x − z = 0 ⎩z = 0 Baøi 12: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) vaø D(–5; –4; 8). Vieát ptts, chính taéc vaø toång quaùt cuûa: a/ Ñöôøng thaúng BM, vôùi M laø troïng taâm cuûa ΔACD. b/ Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD. ⎧6 x + 2 y + 2 z + 3 = 0 Baøi 13: Vieát ptct cuûa ñ.thaúng d ñi qua M(1; 4; –2) vaø ssong vôùi ñ.thaúng: ⎨ . ⎩3 x − 5 y − 2 z − 1 = 0 ⎧x − 2z − 3 = 0 Baøi 14: Vieát ptts cuûa ñt naèm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 vaø vuoâng goùc vôùi ñt d: ⎨ taïi giao ⎩ y − 2z = 0 ñieåm cuûa ñöôøng thaúng d vaø mp(P). 5
x y z +1 Baøi 15: Laäp p.trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm (3; 2; 1), vuoâng goùc vaø caét ñöôøng thaúng: = = . 2 4 3 x +1 y + 3 z − 2 Baøi 16: Laäp p.trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm (–4; –5; 3) vaø caét caû hai ñöôøng thaúng: = = ; 3 −2 −1 x − 2 y + 1 z −1 = = . 2 3 −5 x −1 y + 2 z ⎧x + y − z + 2 = 0 Baøi 17: Laäp ptts cuûa ñt d ñi qua ñieåm (0; 0; 1), v.goùc vôùi ñt: = = vaø caét ñt: ⎨ . 3 4 1 ⎩x +1 = 0 x +1 y −1 z − 2 Baøi 18: Cho ñ.thaúng d: = = vaø mp(P): x – y- z – 1 = 0. 2 1 3 a/ Tìm ptct cuûa ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm M(1; 1; –2), song song vôùi mp(P) vaø vuoâng goùc vôùi d. b/ Goïi N = d ∩ (P). Tìm ñieåm K treân d sao cho KM = KN. B/ VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA CAÙC ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ CAÙC MAËT PHAÚNG. ⎧3 x + 2 y − 2 z + 8 = 0 Baøi 1: Vieát p.trình maët phaúng ñi qua ñieåm (3; –2; 1) vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng: ⎨ . ⎩2 x − y + 3z + 7 = 0 Baøi 2: Laäp p.trình caùc giao tuyeán cuûa mp: 5x – 7y + 2z – 3 = 0 vôùi caùc maët phaúng toïa ñoä. Tìm giao ñieåm cuûa maët phaúng ñaõ cho vôùi caùc truïc toïa ñoä. Baøi 3: Laäp phöông trình tham soá vaø toång quaùt cuûa ñöông thaúng d: a/ Ñi qua ñieåm M(2; –3; –5) vaø ⊥ vôùi mp(α): 6x – 3y – 5z + 2 = 0. b/ Ñi qua ñieåm N(1; 4; –2) vaø // vôùi caùc mp : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 vaø 3x – 5y – 2z – 1 = 0. Baøi 4: Laäp phöông trình tham soá vaø toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng d: a/ Ñi qua hai ñieåm A(1; –2; 1), B(3; 1; –1). b/ Ñi qua ñieåm M(1; –1; –3) vaø ⊥ vôùi mp(α): 2x – 3y + 4z – 5 = 0. ⎧ x − 2 y − 3z − 3 = 0 c/ Ñi qua ñieåm C(2; 3; –1) vaø // vôùi ñt coù p.trình: ⎨ ⎩ 2x + y − z + 5 = 0 ⎧x − 2z − 3 = 0 Baøi 5: Cho ñöôøng thaúng a coù p.trình: ⎨ vaø mp(α) coù phöông trình: z + 3y – z + 4 = 0. ⎩ y − 2z = 0 a/ Tìm giao ñieåm H cuûa a vaø mp(α). b/ Laäp ptñt Δ naèm trong mp(α), ñi qua ñieåm H vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng a. ⎧ x + 2y − z − 6 = 0 Baøi 6: Cho ñt a: ⎨ vaø mp(α): 3x–2y + 3z + 16 = 0. ⎩2 z − y + 3z + 13 = 0 a/ Tìm giao ñieåm M cuûa ñöôøng thaúng a vaø mp(α). b/ Goïi ϕ laø goùc giöõa a vaø mp(α) .Haõy tính sinϕ . c/ Laäp pttq cuûa ñöôøng thaúng a’, vôùi a’ laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñöôøng thaúng a treân mp(α). Baøi 7: Cho mp(α) coù p.trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 vaø mp(β) coù p.trình: 3x – 5y – 2z – 1 = 0. a/ Haõy vieát p.trình tham soá cuûa ñ.thaúng d ñi qua ñieåm M(1; 4; 0) vaø song song vôùi (α) vaø (β). b/ Laäp phöông trình cuûa mp(γ) chöùa ñöôøng thaúng d vaø ñi qua giao tuyeán cuûa hai mp (α) vaø (β). c/ Laäp p.trình cuûa mp(P) ñi qua M vaø vuoâng goùc vôùi (α) vaø (β). Baøi 8: Cho mp(α) coù phöông trình: 2x – 3y + 3z – 17 = 0 vaø hai ñieåm A(3; –4; 7), B(–5; –14; 17). a/ Vieát p.trình tham soá cuûa ñ.thaúng d ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi (α). b/ Haõy tìm treân α moät ñieåm M sao cho toång caùc khoaûng caùch töø M ñeán A vaø B laø beù nhaát. ⎧ 2x − y + z − 6 = 0 Baøi 9: Cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình: ⎨ . ⎩x + 4 y − 2z − 8 = 0 a/ Haõy tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng a vôùi caùc mp toïa ñoä. b/ Haõy tìm vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng d. c/ Goïi M laø giao ñieåm cuûa ñt a vôùi mp(α) coù pt: x + y – z + 12 = 0. Haõy tính toïa ñoä cuûa M. d/ Goïi ϕ laø goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø mpα noùi treân. Haõy tính sinϕ. Baøi 10: Trong mpOxyz cho hai ñöôøng thaúng Δ vaø Δ’ coù p.trình: 6
⎧ x = 3+ t ⎪ ⎧ x − y +5= 0 Δ : ⎨ y = −2 − t ; Δ’ : ⎨ ⎪ z = 2t ⎩ 2x − z − 3 2 − 5 = 0 ⎩ a/ Tìm vectô chi phöông cuûa moãi ñöôøng thaúng vaø tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng ñoù. b/ Vieát phöông trình mp(α) chöùa Δ vaø song song vôùi Δ’. c/ Chöùng minh Δ vaø Δ’ cheùo nhau. Tính khoaûng caùch giöõa chuùng. ⎧ x+ y+ z−4=0 x − 2 y −1 z − 5 Baøi 11: Vieát phöông trình mp chöùa ñöôøng thaúng: ⎨ vaø ssong ñt : = = . ⎩2 x − y + 5 z − 2 = 0 1 2 2 ⎧x = 1− t ⎧ x = 2−t ⎪ ⎪ Baøi 12: Vieát ptñt d naèm trong maët phaúng: y + 2z = 0 vaø caét hai ñöôøng thaúng: ⎨ y = t ; ⎨ y = 4 + 2t . ⎪ z = 4t ⎪z = 1 ⎩ ⎩ ⎧ x = 3t ⎪ Baøi 13: Vieát p.trình ñ.thaúng song song vôùi ñöôøng thaúng: ⎨ y = 1 − t vaø caét hai ñöôøng ⎪z = 5 + t ⎩ ⎧ 2x − y − z + 1 = 0 x −1 y + 2 z − 2 thaúng: ⎨ ; = = . ⎩x − y + 4z − 3 = 0 1 4 3 ⎧x + y + z −1 = 0 x −1 y z − 3 Baøi 14: Vieát ptñt d ñi qua ñieåm (1;–1; 1) vaø caét hai ñöôøng thaúng: ⎨ ; = = . ⎩ y + 2z − 3 = 0 2 1 −1 Baøi 15: Cho hai ñöôøng thaúng: x +1 y −1 z − 2 x−2 y+2 z d: = = ; d’: = = . 2 3 1 1 5 −2 a/ CMR: d vaø d’ cheùo nhau. b/ Vieát p.trình ñöôøng thaúng vuoâng goùc chung cuûa d vaø d’. ⎧2kx + y − z + 1 = 0 Baøi 16: Vôùi giaù trò naøo cuûa k thì ñöôøng thaúng: ⎨ naèm trong mpOyz. ⎩ x − ky + z − 1 = 0 ⎧x = t ⎧ x = 1 − 4h ⎪ ⎪ ⎧ x − 4y − 7 = 0 Baøi 17: Cho 3 ñt d1: ⎨ y = 5 − 2t ; d2: ⎨ y = 2 + h ; d3: ⎨ ⎪ z = 14 − 3t ⎪ z = 1 + 5h ⎩5 x + 4 z − 35 = 0 ⎩ ⎩ a/ CMR: d1 vaø d2 cheùo nhau. b/ CMR: d1 vaø d3 caét nhau. Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa chuùng. c/ Tìm goùc nhoïn giöõa d1 vaø d2. d/ Tìm p.trình hai mp (P) // (P’) vaø laàn löôït ñi qua d1 vaø d2. ⎧5 x − 2 y + 3z − 5 = 0 Baøi 18: Cho ñt d: ⎨ vaø ba mp (P): x + y – z – 7 = 0; (Q): 2x – 3y – z –10 = 0; ⎩ x + 4 y + 5 z + 15 = 0 (R): x + y + 2z – 4 = 0 a/ CMR: d ⊥ (P), d ⊂ (Q), d // (R). x y z b/ Tìm ptñt qua ñieåm chung cuûa (P), (Q), (R) vaø ñoàng thôøi caét d vaø caét ñöôøng thaúng: = = . 1 −1 −1 Baøi 19: Chöùng minh hai ñöôøng thaúng caét nhau; tìm toïa ñoä giao ñieåm; laäp p.trình mp chöùa hai ñ.thaúng ñoù. x −1 y + 1 z − 2 ⎧4 x − 5 y − 9 = 0 a/ d1: = = ; d2: ⎨ . 4 2 3 ⎩ 3x − 5 z + 7 = 0 ⎧x − y − z − 7 = 0 ⎧x + 2 y − z −1 = 0 b/ d1: ⎨ ; d2: ⎨ . ⎩ 3x − 4 y − 11 = 0 ⎩ x + y +1 = 0 7
⎧ x = 2t − 3 ⎧x = 5 + t ⎪ ⎪ c/ d1: ⎨ y = 3t − 2 ; d2: ⎨ y = −1 − 4t . ⎪ z = 4t + 6 ⎪ z = 20 + t ⎩ ⎩ Baøi 20: Chöùng minh hai ñöôøng thaúng d1vaø d2 cheùo nhau. Laäp ptñt d vuoâng goùc vaø caét hai ñöôøng thaúng ñoù. ⎧x + 3y − 5 = 0 ⎧x − 2 y − z = 0 a/ d1: ⎨ ; d2: ⎨ . ⎩ 2 y − z −1 = 0 ⎩ 2x + z = 0 x−7 y −3 z −9 x − 3 y −1 z −1 b/ d1: = = ; d2: = = 1 2 −1 −7 2 3 ⎧ x = 1+ t ⎧x + y − z + 5 = 0 ⎪ c/ d1: ⎨ ; d2: ⎨ y = −2 + t . ⎩ 2x − y +1 = 0 ⎪ z = 3−t ⎩ ⎧ x = 1 + 2t ⎧ x = 2t ⎪ ⎪ d/ d1: ⎨ y = 2 − 2t ; d2: ⎨ y = 5 − 4t . ⎪ z = −t ⎪ z=4 ⎩ ⎩ ⎧ x + 2 y − 4z + 3 = 0 Baøi 21: Cho ñt d: ⎨ vaø mp(P): 2x – y + 4z + 8 = 0. ⎩2 x + 3 y − 2 z + 3 = 0 a/ CMR: d caét (P). Tìm giao ñieåm A cuûa chuùng. b/ Vieát p.trình mp(Q) qua d vaø vuoâng goùc vôùi (P). c/ Vieát p.trình tham soá cuûa giao tuyeán giöõa (P) vaø (Q). d/ Vieát p.trình ñ.thaúng d’ qua A, vuoâng goùc vôùi d vaø naèm trong (P). C/ KHOAÛNG CAÙCH. Baøi 1: Tìm khoaûng caùch: a/ Töø ñieåm A(3; –6; 7) ñeán mp(β): 4x – 3z –1 = 0. b/ Giöõa mp(α): 2x – 2y + z – 1 = 0 vaø mp(β) :2x – 2y + z + 5 = 0. c/ Töø ñieåm M(4; 3; 0) ñeán m.phaúng xaùc ñònh bôûi ba ñieåm A(1; 3; 0), B(4; –1; 2) vaø C(3; 0; 1). → d/ Töø goác toïa ñoä ñeán mp(β) ñi qua P(2; 1; –1) vaø nhaän n = (1; −2;3) laøm phaùp veùc tô. Baøi 2: Tìm khoaûng caùch töø ñieåm P(2,3,-1) ñeán: ⎧ x = 5 + 3t ⎪ a/ Ñöôøng thaúng a coù phöông trình : ⎨ y = 2t . ⎪z = −25 − 2t ⎩ ⎧ 2x − 2 y + z = 3 = 0 b/ Ñöôøng thaúng b coù phöông trình: ⎨ . ⎩3x − 2 y + 2 z + 17 = 0 Baøi 3: Tính khoaûng caùch töø M(1; –1; 2), N(3; 4; 1); P(–1; 4; 3) ñeán mp(Q): x + 2y + 2z – 10 = 0. Baøi 4: Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu hai maët phaúng: (P): 2x – y + 4z + 5 = 0 (Q): 3x + 5y – z – 1 = 0 Baøi 5: Tính khoaûng caùch giöõa hai mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 vaø (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0; trong ñoù A =A’, B = B’, C =C’, D ≠ D’ Baøi 6: Treân truïc Oz tìm ñieåm caùch ñeàu ñieåm (2; 3; 4) vaø maët phaúng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0. Baøi 7: Treân truïc Oy tìm ñieåm caùch ñeàu hai mp (P): x + y – z + 1 = 0 vaø (Q): x – y + z – 5 = 0. x + 2 y −1 z +1 Baøi 8: Tính khoaûng caùnh töø caùc ñieåm M(2; 3; 1) vaø N(1; –1; 1) ñeán ñöôøng thaúng d: = = . 1 2 −2 ⎧x + y − 2z −1 = 0 Baøi 9: Tính k/caùch töø ñieåm M(2; 3; –1) ñeán ñt d: ⎨ . ⎩x + 3y + 2z + 2 = 0 Baøi 10: Tính khoaûng caùch giöõa caùc caëp ñöôøng thaúng sau: x −1 y + 3 z − 4 x + 2 y + 2 z +1 a/ = = ; = = 2 1 −2 −4 −2 4 8
⎧2 x − z − 1 = 0 ⎧3x + y − 2 = 0 b/ ⎨ ; ⎨ ⎩− x − y + 4 = 0 ⎩3 y − 3 z − 6 = 0 ⎧x = 1+ t ⎧ x = 2 − 3t ⎪ ⎪ c/ ⎨ y = −1 − t ; ⎨ y = −2 + 3t . ⎪z = 1 ⎪ z = 3t ⎩ ⎩ Baøi 11: Tính khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song: (P): x + y – z + 5 = 0; (Q): 2x + 2y - 2z + 3 = 0 Baøi 12: Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng song song: ⎧ x = 1 − 2t ⎪ d1: 2 – x = y – 3 = z; d2: ⎨ y = 2 + 2t . ⎪ z = −1 + 2t ⎩ Baøi 13: Tính khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng d song song vôùi mp(P): ⎧2 x + 3 y + 6 z − 10 = 0 d: ⎨ ; (P): y + 4z + 17 = 0 ⎩x + y + z + 5 = 0 Baøi 14: Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau: ⎧x − y − z − 5 = 0 ⎧2 y + z − 5 = 0 d: ⎨ ; d’: ⎨ ⎩x − 3y + 6 = 0 ⎩4 x − 2 y + 5 z − 4 = 0 ⎧2 x − 3 y − 2 = 0 ⎧2 x − 3 y + 9 = 0 Baøi 15: Cho hai ñ.thaúng d: ⎨ vaø d’: ⎨ . ⎩ x + 3z + 2 = 0 ⎩ y + 2z +1 = 0 a/ CMR: d // d’. Tính khoaûng caùch giöõa d vaø d’. b/ Vieát p.trình maët phaúng (P) chöùa d vaø d’. c/ Tính khoaûng caùch töø ñieåm (2; 3; 2) ñeán (P). Baøi 16: Cho ba ñieåm A(1; –2; 1), B(–1; 1; 2) vaø C(2; 1; –2) vaø maët phaúng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0. a/ Tìm ñieåm M thuoäc (P) sao cho MA + MB nhoû nhaát. b/ Tìm ñieåm N thuoäc (P) sao cho NA + NC nhoû nhaát. x +1 y − 2 z − 2 Baøi 17: Cho hai ñieåm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) vaø ñöôøng thaúng d coù phöông trình: = = . 3 −2 2 a/ CMR: hai ñöôøng thaúng AB vaø d cuøng naèm trong moät maët phaúng. b/ Tìm ñieåm I treân d sao cho IA + IB nhoû nhaát. ⎧x + y = 0 ⎧x + 3 y −1 = 0 Baøi 18: Cho hai ñöôøng thaúng d: ⎨ ; d’: ⎨ . ⎩x − y + z + 4 = 0 ⎩y + z − 2 = 0 a/ CMR: d vaø d’ cheùo nhau. b/ Tính khoaûng caùch giöõa d vaø d’. c/ Tìm p.trình cuûa ñ.thaúng qua I(2;3;1) vaø caét caû hai ñ.thaúng d vaø d’. x + 3 y −1 z − 2 Baøi 19: Tìm goùc taïo bôûi ñöôøng thaúng: = = vôùi caùc truïc toïa ñoä. 2 1 1 Baøi 20: Tìm goùc taïo bôûi caùc caëp ñöôøng thaúng sau: ⎧ x = 1 + 2t ⎧x = 2 − t ⎪ ⎪ a/ ⎨ y = −1 + t ; ⎨ y = −1 + 3t ⎪ z = 3 + 4t ⎪ z = 4 + 2t ⎩ ⎩ x −1 y + 2 z + 2 ⎧x + 2 y − z −1 = 0 b/ = = ; ⎨ 3 1 4 ⎩2 x + 3z − 2 = 0 ⎧2 x − y + 3z − 1 = 0 ⎧x − 3y + z − 4 = 0 c/ ⎨ ; ⎨ ⎩x + y + z = 0 ⎩2 x − y + z + 1 = 0 Baøi 21: Tính goùc taïo bôûi caùc caëp caïnh ñoái cuûa töù dieän coù caùc ñænh: A(3; –1; 0), B(0; –7; 3), C(–2; 1; –1) vaø D(3; 2; 6). Baøi 22: Tính goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P) bieát: 9
x + 2 y −1 z − 3 a/ d: = = ; (P): x + y – z + 2 = 0 4 1 −2 ⎧ x = 1 + 2t ⎪ b/ ⎨ y = −1 + 3t ; (P): 2x – y + 2z – 1 = 0 ⎪z = 2 − t ⎩ ⎧2 x − y + 3z − 1 = 0 c/ ⎨ ; (P): 3x – y + z – 1 = 0 ⎩x − y − z + 2 = 0 Baøi 23: Tìm hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm M(1; –1; 2) treân maët phaúng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0. Baøi 24: Tìm ñieåm ñoái xöùng cuûa ñieåm M(2; –3; 1) qua maët phaúng (P): x + 3y – z + 2 = 0. ⎧x = t ⎧ x = 1 − 2t ⎪ ⎪ Baøi 25: Laäp ptñt vuoâng goùc vôùi maët phaúng toïa ñoä Oxz vaø caét hai ñt: ⎨ y = −4 + t vaø ⎨ y = −3 + t . ⎪z = 3 − t ⎪ z = 4 − 5t ⎩ ⎩ ⎧ x = 1 + 2t ⎪ Baøi 26: Tìm ñieåm ñ.xöùng cuûa ñieåm M(2; –1; 1) qua ñt: ⎨ y = −1 − t . ⎪ z = 2t ⎩ x −1 y + 2 z ⎧x + y − z + 2 = 0 Baøi 27: Vieát ptñt ñi qua ñieåm M(0; 1; 1), vuoâng goùc vôùi ñt: = = vaø caét ñt: ⎨ . 3 1 1 ⎩x +1 = 0 E/ HÌNH CHIEÁU. Baøi 1: Cho hai ñieåm M(1;1;1), N(3;–2; 5) vaø mp(P): x + y –2z –6 = 0. a/ Tính khoaûng caùch töø N ñeán mp(P). b/ Tìm hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân mp(P). c/ Tìm p.trình hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñ.thaúng MN treân mp(P). Baøi 2: Tìm p.trình hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñ.thaúng treân m.phaúng: x − 2 y + 2 z −1 a/ d: = = ; (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 3 4 1 ⎧2 x − y − 3 = 0 b/ ⎨ ; (P): x + 2y + z – 5 = 0 ⎩3x − z − 3 = 0 ⎧2 x + y − z + 1 = 0 Baøi 3: Cho ñieåm M(–1; –1; –1) vaø ñ.thaúng d: ⎨ . Goïi H, K laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc ⎩x − y + z −1 = 0 cuûa M treân d vaø treân maët phaúng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Tính HK. Baøi 4: Cho töù dieän ABCD coù caùc ñænh A(–1; 2;3), B(0; 4;4), C(2; 0; 3) vaø D(5; 5; –4). a/ Tìm toïa ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa D treân mp(ABC). b/ Tính theå tích cuûa töù dieän. Baøi 5: Cho3ñieåm A(–1; 2; 3), B(–2; 1; 1) vaø C(5; 0; 0). Tìm toïa ñoä hchieáu vuoâng goùc C’ cuûa C treân ñt: AB. ⎧x = t ⎧x = h ⎪ ⎪ Baøi 6: Cho hai ñöôøng thaúng d: ⎨ y = 4 + t vaø d’: ⎨ y = −6 + 3h . ⎪ z = 6 + 2t ⎪ z = −1 + h ⎩ ⎩ a/ Tìm phöông trình ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa d vaø d’. b/ Goïi K laø hình chieáu cuûa ñieåm I(1; –1; 1) treân d’. Tìm ptts cuûa ñt qua K, vgoùc vôùi d vaø caét d’. Baøi 7: Mp(P): x + 2y + 3z – 6 = 0 caét caùc truïc toïa ñoä Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi A, B, C. a/ Tìm toïa ñoä tröïc taâm, trong taâm, taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ΔABC. b/ Tìm p.trình chính taéc cuûa truïc ñöôøng troøn (ABC). ⎧ x − 8 z + 23 = 0 ⎧x − 2z − 3 = 0 Baøi 8: Cho hai ñ.thaúng d1: ⎨ vaø d2: ⎨ . ⎩ y − 4 z + 10 = 0 ⎩ y + 2z + 2 = 0 a/ Vieát p.trình caùc mp(P), (Q) // vôùi nhau vaø laàn löôït qua d1, d2. b/ Tính khoaûng caùch giöõa d1 vaø d2. c/ Vieát p.trình ñ.thaúng d song song vôùi truïc Oz vaø caét caû d1, d2. 10
IV/ MAËT CAÀU. A/ Phöông trình cuûa maët caàu. Baøi 1: Tìm taâm vaø baùn kính maët caàu coù phöông trình: a/ x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0 b/ x2 + y2 + z2 +4x + 8y – 2z – 4 = 0 c/ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 3y + 15z – 2 = 0 d/ x2 + y2 + z2 – 2mx – 4y + 2mz + 8 = 0 e/ x2 + y2 + z2 – 2mx + my + 3z – 2 = 0 Baøi 2: Laäp phöông trình maët caàu (S) bieát: a/ Coù taâm I(2; 1; –2) vaø qua A(3; 2; –1). b/ Coù ñöôøng kính AB, vôùi A(6; 2; –5) vaø B(–4; 0; 7). c/ Coù taâm I(–2; 1; 1) vaø tieáp xuùc vôùi mp(P): x + 2y – 2z + 5 = 0. d/ Qua ba ñieåm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) vaø coù taâm naèm treân mpOxy. e/ Qua hai ñieåm A(1; –2; –4), B(0; 3; 0) vaø tieáp xuùc vôùi caùc maët phaúng (P): x = 3; (Q): y = 5. f/ Coù taâm I(6; 3; –4) vaø tieáp xuùc vôùi Oy. g/ Ngoaïi tieáp töù dieän ABCD vôùi A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1). x −1 y z − 2 h/ Coù taâm I(3; –5; –2) vaø tieáp xuùc vôùi ñ.thaúng d: = = . 2 −1 3 ⎧ x = −2 i/ Coù taâm naèm treân ñt d: ⎨ vaø tieáp xuùc vôùi hai mp: (P): x – 2z – 8 = 0; (Q): 2x – z + 5 = 0. ⎩y = 0 j/ Qua ba ñieåm A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) vaø coù taâm naèm treân mpOyz. Baøi 3: Cho S(–3;1;–4), A(–3;1; 0), B(1; 3; 0), C(3;–1; 0), D(–3;–3;0). a/ CMR: ABCD laø hình vuoâng vaø SA laø ñ/cao cuûa h/choùp S.ABCD. b/ Vieát phöông trình maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp S.ABCD. ⎧x = 4 + t ⎧x = 2 ⎪ ⎪ Baøi 4: Cho hai ñ.thaúng d: ⎨ y = 3 − t vaø d’: ⎨ y = 1 + 2h . Laäp p.trình maët caàu nhaän ñoaïn vuoâng goùc chung ⎪z = 4 ⎪z = h ⎩ ⎩ cuûa d vaø d’ laøm ñöôøng kính. Baøi 5: Laäp phöông trình maët caàu (S) ñi qua caùc ñöôøng troøn sau: ⎧ x2 + y 2 = 9 ⎧ x 2 + y 2 = 25 (C1): ⎨ vaø (C2): ⎨ ⎩z = 0 ⎩z = 2 ⎧( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 2) 2 = 49 Baøi 6: Laäp phöông trình maët caàu (S) ñi qua goác toïa ñoä vaø ñöôøng troøn (C): ⎨ ⎩2 x + 2 y − z − 4 = 0 Baøi 7: Laäp p.trình mc (S) ñi qua M(1; 1; 1) vaø qua ñtroøn laø giao tuyeán cuûa hai mc: (S1): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0 vaø (S2): x2 + y2 + z2 + 4x – 2z – 11 = 0 B/ Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu. Baøi 1: Xeùt vò trí töông ñoái giöõa hai maët caàu (S) vaø mp(P): a/ (S): x2 + y2 + z2 –6x –2y + 4z + 5 = 0; (P): x + 2y + z – 1 = 0 2 2 2 b/ (S): x + y + z –6x +2y –2z + 10 = 0; (P): x + 2y –2z + 1 = 0 c/ (S): x2 + y2 + z2 +4x + 8y –2z – 4 = 0; (P): x + y + z – 10 = 0 2 2 2 d/ (S): x + y + z – x – 2z + 5 = 0; (P): 4x + 3y + m = 0 e/ (S): (x – 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 4; (P): 2x + y – z + m = 0 Baøi 2: Cho maët phaúng (P): 2x – 2y – z + 9 = 0 vaø maët caàu (S): (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 a/ Laäp p.trình ñ.thaúng qua taâm maët caàu (S) vaø vuoâng goùc vôùi mp(P). b/ CMR: mp(P) caét maët caàu (S). c/ Vieát p.trình ñöôøng troøn (C) laø giao tuyeán cuûa (S) vaø (P). Tìm taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn ñoù. Baøi 3: Tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn sau: 11
⎧ x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 2 y − 2 z + 10 = 0 a/ ⎨ ⎩x + 2 y − 2z +1 = 0 ⎧ x 2 + y 2 + z 2 − 12 x + 4 y − 6 z + 24 = 0 b/ ⎨ ⎩2 x + 2 y + z + 1 = 0 Baøi 4: Laäp phöông trình tieáp dieän cuûa maët caàu: a/ x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 taïi ñieåm M(4; 3; 0) b/ (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c2)2 = R2 maø tieáp dieän song song vôùi maët phaúng: Ax + By + Cz + D = 0. Baøi 5: Cho mp(P): x + 2y + 2z + 5 = 0 vaø maët caàu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z = 0 Tìm p.trình caùc mp song song vôùi mp(P) vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (S). Baøi 6: Cho hai ñieåm A(–1; –3; 1), B(–3; 1; 5). a/ Vieát phöông trình maët caàu coù ñöôøng kính AB. b/ Vieát phöông trình caùc tieáp dieän cuûa maët caàu maø chöùa truïc Ox. Baøi 7: Laäp p.trình tieáp dieän cuûa (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y –6z +5 = 0: a/ Tieáp dieän ñi qua ñieåm M(1; 1; 1). ⎧2 x − y − 1 = 0 b/ Tieáp dieän ñi qua ñöôøng thaúng d: ⎨ . ⎩ z −1 = 0 x y −1 z c/ Tieáp dieän song song vôùi ñöôøng thaúng d’: = = . 1 −4 3 ⎧x − 2 y − z − 3 = 0 d/ Tieáp dieän vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d”: ⎨ . ⎩2 x − 4 y + z − 1 = 0 C/ Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu. Baøi 1: Xeùt vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu: x y −1 z − 2 a/ (S): x2 + y2 + z2 –2x + 4z + 1 = 0; d: = = 2 1 −1 ⎧ 2x + y − z −1 = 0 b/ (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 16; d: ⎨ ⎩x − 2z − 3 = 0 ⎧ x = −2 − t ⎪ c/ (S): x2 + y2 + z2 –2x –4y + 2z – 2 = 0; d: ⎨ y = t ⎪ ⎩ z = 3 − 3t ⎧ x = −5 + 3t 2 2 2 ⎪ Baøi 2: Cho mc(S): (x+2) + (y–1) + (z +5) = 49 vaø d: ⎨ y = −11 + 5t . ⎪ z = 9 − 4t ⎩ a/ Tìm giao ñieåm cuûa d vaø maët caàu (S). b/ Tìm p.trình caùc m.phaúng tieáp xuùc vôùi (S) taïi caùc giao ñieåm treân. ⎧x = 1 2 2 2 ⎪ Baøi 3: Cho mc(S): (x+2) + (y–1) + z = 26 vaø ñ.thaúng d: ⎨ y = −1 − 3t ⎪ z = −4 + 5t ⎩ a/ Tìm giao ñieåm A, B cuûa d vaø mc(S). Tính khoaûng caùch töø taâm maët caàu ñeán ñöôøng thaúng d. b/ Tìm p.trình caùc maët phaúng tieáp xuùc vôùi (S) taïi A vaø B. Baøi 4: Cho maët caàu (S) coù taâm I(2; 1; 3) vaø baùn kính R = 3. a/ Chöùng minh T(0; 0; 5) thuoäc maët caàu (S). b/ Laäp p.trình tieáp tueán cuûa (S) taïi T bieát tieáp tuyeán ñoù: ur i/ Coù VTCP u = (1; 2; 2). ii/ Vuoâng goùc vôùi mp(P): 3x – 2y + 3z – 2 = 0 ⎧ x − 2 y + 3z − 2 = 0 iii/ Song song vôùi ñöôøng thaúng d: ⎨ ⎩x + y − z = 0 12
Baøi 5: Vieát pttt cuûa m/caàu (S): x2 + y2 +ur 2 –2x –4y + 2z – 3 = 0 thoûa: z a/ Qua A(–4; 3; 0) vaø coù VTCP u = (4; 1; 1). x y −1 z b/ Qua A(–2; 1; 3) vaø vuoâng goùc vôùi ñ.thaúng d: = = 1 2 −2 13