zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Phương pháp toạ độ trong không gian

Chia sẻ: Khai Nguyenvan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17

Báo xấu

1.070
lượt xem 466
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 VẤN ĐỀ 1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: r r 1. Cho a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) . .

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp toạ độ trong không gian

-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 1 VẤN ĐỀ 1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: r r 1. Cho a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) . Khi đó ta có: rr a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) rr a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) r ka = ( ka1 ; ka2 ; ka3 )  a1 = b1 rr  a = b ⇔ a2 = b2 a = b 3 3 rr a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 r a = a12 + a2 2 + a32 rr a1b1 + a2b2 + a3b3 () cos a,b = a12 + a2 2 + a32 . b12 + b2 2 + b32 r a1 a2 a3 rr r = ( b1b2b3 ≠ 0 ) a , b cùng phương ⇔ a = kb ⇔ = b1 b2 b3 rr a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 2. Cho A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) , D ( xD ; yD ; z D ) . Khi đó ta có: uuu r AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )  1  xI = 2 ( x A + xB )   1 Nếu I là trung điểm của AB thì  yI = ( y A + yB ) 2   1  zI = 2 ( z A + zB )   1  xG = 3 ( x A + xB + xC )   1 Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì  yG = ( y A + yB + yC ) 3   1  zG = 3 ( z A + z B + zC )   1  xG = 4 ( x A + xB + xC + xD )   1 Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì  yG = ( y A + yB + yC + yD ) 4   1  zG = 4 ( z A + z B + zC + z D )  -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 2 r r 3.Tích có hướng của hai vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) rr a, b  = ( a 2 b3 − a 3b 2 ;a 3b1 − a1b3 ;a1b 2 − a 2 b1 )  rr rr rr ( ) *  a , b  = a b sin a , b   rr r r r * a và b cùng phương ⇔  a , b  = 0   rr r rrr * a , b , c đồng phẳng ⇔  a , b  .c = 0   uuu uuu rr * Nếu ABCD là hình bình hành thì S ABCD =  AB, AD    1  uuu uuu  rr - Nếu ABC là 1 tam giác thì S ABC =  AB, AC  2 uuu uuu uuur rr * Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì VABCD. A ' B 'C ' D ' =  AB, AD  . AA '   uuu uuu uuu rr r 1 - Nếu ABCD là tứ diện thì VABCD =  BA, BC  .BD 6  B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: r r r Bài 1: Trong không gian cho a = ( 1; 2;3) , b = ( −2;0;5 ) và c = ( 2m + 1;1;3) rr a. Tính toạ độ của a + 3b rrr ( ) b. Tính a. 2a + b rr c. Tính a + b rr ( ) d. Tính a , b r r e. Tìm m để c = 8 a rr f. Tìm m để c ⊥ a Bài 2: Trong không gian cho hình bình hành ABCD. Biết A ( 1;1;1) , B ( −3;0; 2 ) , C ( 4; −2;0 ) Tìm toạ độ đỉnh D Bài 3: Trong không gian cho 3 điểm A ( 2;1;5 ) , B ( 3;0; −2 ) , C ( 4;7;6 ) a. Chứng minh rằng A,B, C lập thành tam giác. Tính tọa độ trọng tâm G b. Tìm toạ độ của K , biết B là trung điểm của AK c. Tìm toạ độ của N , biết C là trọng tâm của tam giác ABN. ( ) Bài 4: Trong không gian cho 3 điểm A ( 1;1;1) , B ( −3; 2;5 ) , C 2m + 3; m − m; 4 2 Tìm m để tam giác ABC vuông tại A Bài 5: Trong không gian cho 3 điểm A ( 1; 2;5 ) , B ( 2;1;3) , C ( m + 1;1; 2m − 1) uuu uuu rr ( ) Tìm m để AB, AC = 60 0 Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A ( 2;0; 2 ) , B ( 4; 2; 4 ) , D ( 2; −2; 2 ) , C ' ( 8;10; −10 ) Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp Bài 7: Cho A ( 3; 4; −1) , B ( 2;0;3) , C ( −3; 4;5 ) . a. Chứng minh rằng ABC là 1 tam giác -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 3 b. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC c. Tính các góc của tam giác ABC. Bài 8: Cho A ( 2;1; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3 ) và D ∈ Oy . Biết thể tích V của ABCD bằng 5. Tìm toạ độ của điểm D. Bài 9: Cho tam giác ABC với A ( 1; 2; −1) , B ( 2; −1;3) , C ( −4;7;5 ) . Tính độ dài đường phân giác trong của góc B. r rrr r r Bài 10: Cho a = ( 2;3;1) , b = ( 5;7;0 ) , c = ( 3; −2; 4 ) . Chứng minh rằng a, b, c không đồng phẳng. Hãy r rrr biểu diễn d = ( 4;12; −3) theo 3 vectơ a, b, c Bài 11: Cho A ( 1;0;1) , B ( −1;1; 2 ) , C ( −1;1;0 ) , D ( 2; −1; −2 ) . Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D. Tính VABCD , từ đó suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện Bài 12: Cho A ( 1; −2; −1) , B ( −5;10; −1) , C ( 4;1;1) . Chứng minh ABC là 1 tam giác. Tìm toạ độ trực tâm, trọng tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 13: Cho A ( 1; 2; −1) , B ( 4;3;5 ) . Xác định M ∈ Ox sao cho M cách đều A, B Bài 14: Cho A ( −4; −1; 2 ) , B ( 3;5; −1) . Tìm C biết trung điểm của AC thuộc Oy, trung điểm của BC thuộc Oxz. rr r Bài 15: Cho v ≠ 0 . Gọi α, β, γ là 3 góc tạo bởi v với Ox, Oy, Oz . Chứng minh rằng cos 2 α + cos 2β + cos 2 γ = 1 VẤN ĐỀ 2: GÓC (Bổ sung) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Góc giữa hai đường thẳng : r r Đường thẳng d1 có VTCP u = ( x1 ; y1 ; z1 ) và đường thẳng d 2 có VTCP v = ( x2 ; y2 ; z3 ) x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 Gọi β là góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 . Khi đó cosβ = x12 + y12 + z12 x2 2 + y2 2 + z2 2 2. Góc giữa hai mặt phẳng : Cho ( P ) : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 và ( Q ) : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 a1a2 + b1b2 + c1c2 Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) . Khi đó cosα = a12 + b12 + c12 a2 2 + b2 2 + c2 2 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : r Cho đường thẳng d có VTCP u = ( a; b; c ) và mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 Aa + Bb + Cc Gọi β là góc giữa d và ( α ) . Khi đó sin β = A2 + B 2 + C 2 a2 + b2 + c2 B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 4 Bài 1 : Tính góc giữa hai mặt phẳng ( α ) : 2 x − y + 3z − 1 = 0 và ( β ) : − x + 2 y + z + 3 = 0  x = 2 + 3t  x = 2t   Bài 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng ( d1 ) :  y = −2 + t và ( d 2 ) :  y = 2 − 3t  z = 5 − 4t  z = 4 + 5t    x = 3 − 2t  Bài 3 : Tính góc giữa đường thẳng ( d ) :  y = 3t và mặt phẳng ( α ) : x + y + 3z − 1 = 0 z = 7 + t  VẤN ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng : Trong không gian Oxyz, cho ( α ) : Ax + By + Cz +D = 0 và M ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khi đó ta có: Ax 0 + By0 + Cz0 + D d ( M0,( α ) ) = A2 + B 2 + C 2 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : Cho ( α ) // ( β ) và M ∈ ( α ) . Khi đó d ( ( α ) , ( β ) ) = d ( M , ( β ) ) r 3.Khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua M 0 và có VTCP u : Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn) Chương trình nâng cao uuuuur r u - Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa M và M 0M , u    h= (α) ⊥ ∆ r u - Tìm K = ∆ ∩ ( α ) - Tính MK. Suy ra d ( M , ∆ ) = MK 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : Cho d // d ' và M ∈ d . Khi đó d ( d , d ') = d ( M , d ' ) 5. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 5 Cho ∆ // ( α ) và M ∈ ∆ . Khi đó d ( ∆, ( α ) ) = d ( M , ( α ) ) r 6. Khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d 2 ; biết d1 đi qua M 1 và có VTCP u1 , r d 2 đi qua M 2 và có VTCP u2 : (Chương trình nâng cao) Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn) Chương trình nâng cao r r uuuuuu r - Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d1 và [ u1 , u2 ] .M1M 2 h= ( α ) // d 2 rr [ u1 , u2 ] - Lấy M ∈ d 2 và tính d ( M , ( α ) ) - Suy ra d ( d1 , d 2 ) = d ( M , ( α ) ) B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: rr - n ≠ 0 được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) nếu giá của nó vuông góc với ( α ) r r - Cho hai vectơ không cùng phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) có giá song song hoặc nằm trong r  a2 a3 a3 a1 a1 a2  r mặt phẳng ( α ) . Khi đó n =   b b , b b , b b ÷ là 1 vectơ pháp tuyến của ( α ) , n được gọi là ÷  2 3 3 1 1 2 rr r rr r tích có hướng của a và b ; kí hiệu là  a , b  hoặc a ∧ b   2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng : r a. Mặt phẳng ( α ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận n = ( A; B; C ) làm VTPT có phương trình: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 b. Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. 3. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng : (Chương trình nâng cao) Nếu A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với abc ≠ 0 thì phương trình mặt phẳng ( ABC ) là xyz + + = 1 ( *) . ( *) được gọi là phương trình đoạn chắn của mặt phẳng abc 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao ( α ) cắt ( β ) ⇔ ( A1; B1 ; C1 ) ≠ k ( A2 ; B2 ; C2 ) ( α ) cắt ( β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 6 ( A ; B ; C ) = k ( A2 ; B2 ; C2 ) A B C D ( α ) // ( β ) ⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1 ( α ) // ( β ) ⇔  1 1 1  A2 B2 C2 D2  D1 ≠ kD2  ( A ; B ; C ) = k ( A2 ; B2 ; C2 ) A1 B1 C1 D1 (α) ≡ ( β ) ⇔ (α) ≡ ( β ) ⇔  1 1 1 = = =  A2 B2 C2 D2  D1 = kD2  ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 5. Chùm mặt phẳng: (Bổ sung) Cho hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) cắt nhau lần lượt có phương trình: ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0, ( β ) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 . Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) gọi là một chùm mặt phẳng. Mỗi mặt phẳng của chùm đều có phương trình: a ( Ax + By + Cz + D ) + b ( A ' x + B ' y + C ' z + D ' ) = 0 trong đó a 2 + b 2 ≠ 0 6. Vị trí tương đối của điểm và mặt phẳng (bổ sung) Cho mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và 2 điểm M1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , M 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) . Khi đó ta có: - Nếu ( Ax1 + By1 + Cz1 + D ) ( Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D ) > 0 thì M1 , M 2 nằm cùng phía đối với ( α ) - Nếu ( Ax1 + By1 + Cz1 + D ) ( Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D ) < 0 thì M1 , M 2 nằm khác phía đối với ( α ) B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Dạng 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG r Bài 1: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua A ( 1; −2;6 ) và nhận n = ( −2;0;3) làm VTPT Bài 2: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua M ( 2;1; −5 ) và song song với ( Oxy ) Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A ( −2;3;5 ) , B ( 2;3;1) . Lập phương trình tổng quát của mặt phảng trung trực đoạn AB Bài 4: Lập phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và điểm P ( 2; −3;5 ) Bài 5: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A ( 1;1;1) , B ( 4;3; 2 ) , C ( 5; 2;1) a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ABC ) Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) đi qua A và song song với mặt phẳng ( β ) : 2x + 3y − z − 5 = 0 Bài 7: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm A ( 1;1;1) , B ( 3; 2; −1) và vuông góc với mặt phẳng ( α ) : −2 x + 3 y + 5 z + 7 = 0 Bài 8: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua N ( −3; 2;5 ) và vuông góc với trục Ox. Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của M ( 2;3;5 ) trên các trục toạ độ HD: Dùng phương trình đoạn chắn. Bài 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết O ( 1;1;1) , A ( 2;3;5 ) , B ( 3; −2; 2 ) . Viết phương trình của các mặt phẳng ( OAC ) , ( OBC ) Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M ( 0; 2; −1) , song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng x − y + z = 0 -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 7 Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( −3;0;1) , vuông góc với hai mặt phẳng ( P ) : −2 x + 3 y − z + 2 = 0 và ( Q ) : x + 5 y − 2 z + 1 = 0 Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M ( 1; 2;3) và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz ở 3 điểm cách đều gốc toạ độ. HD: xyz Gọi mặt phẳng cần tìm là ( α ) ⇒ phương trình của mặt phẳng của ( α ) có dạng: + + = 1 abc 123 Vì M ∈ ( α ) nên ta có : + + = 1 ( 1) abc 6 Theo đề ra ta có a = b = c . Khi đó ( 1) ⇔ = 1 ⇔ a = 6 a xyz Phương trình của mặt phẳng ( α ) : + + = 1 666  x − 2z = 0 Bài 14: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng ∆ :  và vuông góc 3x − 2y + z − 3 = 0 với mặt phẳng ( β ) : x − 2y + z + 5 = 0 Bài 15 : Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa Oz và lập với mặt phẳng ( β ) : 2x + y − 5z = 0 một góc 600 HD : ( ) Pt của ( α ) có dạng mx + ny = 0 m + n > 0 2 2 Bài 16 : Viết phương trình của mặt phẳng ( α ) qua M ( 0;0;1) , N ( 3;0;0 ) và tạo với Oxy một góc 600 Bài 17 : Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) đi qua M ( 1; 2;1) và chứa giao tuyến của ( P) : x + y + z −1 = 0 và ( Q ) : 2x − y + 3z = 0 x − y + z − 3 = 0 Bài 18 : Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) chứa ∆ :  và vuông góc với mặt 3x + y + 2z − 1 = 0 phẳng ( P ) : x + y + 2z − 3 = 0 Bài 19 : Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) đi qua 2 điểm A ( 2; −1;0 ) , B ( 5;1;1) và khoảng cách từ  1 M  0;0; ÷ đến ( α ) bằng 6 3  2 Bài 20 : Lập phương trình mặt phẳng ( α ) thuộc chùm tạo bởi hai mặt phẳng ( P ) : x − 3y + 7z + 36 = 0 và ( Q ) : 2x + y − z − 15 = 0 , biết rằng khoảng cách từ O đến ( α ) bằng 3. Bài 21 : Cho ( α ) : 2x − y + 3z + 4 = 0 và M ( 2; −1; 2 ) . Viết phương trình của mặt phẳng ( β ) đối xứng với ( α ) qua M. Bài 22: Cho tứ diện ABCD có A ( 5;1;3) , B ( 1;6; 2 ) , C ( 5;0; 4 ) , D ( 4;0;6 ) a. Viết phương trình mặt phẳng ( BCD ) b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với đường thẳng CD c. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song song với mặt phẳng ( ABC ) -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 8 Bài 23 : Cho mặt phẳng ( α ) : x + 2y + z − 3 = 0 và M ( 1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng ( β ) sao cho d ( ( α ) , ( β ) ) = 4 đồng thời M và ( β ) nằm cùng phía đối với ( α ) Bài 24 : Cho mặt phẳng ( α ) : 2x + 2y + z + 1 = 0 và M ( −1; 2;1) . Viết phương trình mặt phẳng ( β ) sao cho d ( ( α ) , ( β ) ) = 2 đồng thời M và ( β ) nằm khác phía đối với ( α ) Dạng 2 : XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Bài 1 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau : a. 2 x − 3 y + 4 z − 5 = 0 và 3 x − y + z − 1 = 0 b. − x + y − z + 4 = 0 và 2 x − 2 y + 2 z − 7 = 0 c. 3 x + 3 y − 6 z − 12 = 0 và 4 x + 4 y − 8 z − 16 = 0 ( ) Bài 2 : Cho hai mặt phẳng m − 5 x − 2 y + mz + m − 5 = 0 và x + 2 y − 3nz + 3 = 0 2 Tìm m và n để hai mặt phẳng : a. Song song với nhau. b. Trùng nhau. c. Cắt nhau. Bài 3 : Cho hai mặt phẳng ( α ) : 3x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0 và ( m + 2 ) x − 2 y + mz − 10 = 10 Tìm m để a. Hai mặt phẳng song song b. Hai mặt phẳng trùng nhau. c. Hai mặt phẳng cắt nhau. Dạng 3 : BÀI TẬP VỀ CHÙM MẶT PHẲNG Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua M ( 1; 2;3) và chứa đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng x − y + z − 3 = 0 và 3 x + y + 2 z − 5 = 0 Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng x − 3 z + 1 = 0 và 2 y + 3z − 5 = 0 và vuông góc với mặt phẳng 2 x − y − 1 = 0 Bài 3 : Xác định m, n để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua 1 đường thẳng 2 x − y + z = 0; x − 3 y − 2 z + 2 = 0; mx − ny + 4 z + 4 = 0 Dạng 4 : HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp giải: Cho điểm M và mặt phẳng ( α ) . Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên ( α ) - Lập phương trình tham số của đường thẳng MH ( đi qua M và nhận VTPT của ( α ) làm VTCP) - Thay ptts của MH vào phương trình của mặt phẳng ( α ) tính được t ⇒ toạ độ của H Bài 1: Cho điểm M ( 1;1;1) và mặt phẳng ( α ) : −2 x + 5 y − z + 1 = 0 . Tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của M trên ( α ) Bài 2: Cho điểm M ( −2;1;1) và mặt phẳng ( α ) : x + 5 y − z + 1 = 0 . Tìm toạ độ điểm M’, biết M’ đối xứng với M qua ( α ) Bài 3: Cho hai điểm A ( 3;1;1) , B ( 7;3;9 ) và mặt phẳng ( α ) : x + y + z + 3 = 0 . Tìm M ∈ ( α ) sao cho uuu uuu r r MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất HD : - Gọi I là trung điểm của AB. uuu uuu r r - Ta có MA + MB = 2 MI - MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên ( α ) -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 9 Bài 4: Cho 3 điểm A ( −2;1;6 ) , B ( −4; −4;7 ) , C ( −3;0; −1) và mặt phẳng ( α ) : 2 x − y − 2 z − 5 = 0 uuu uuu uuur r r u Tìm M ∈ ( α ) để MA + MB + MC nhỏ nhất HD : - Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC uuu uuu uuur r r u - Ta có MA + MB + MC = 3MG - MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( α ) Bài 5: Cho 4 điểm A ( −5; 2;0 ) , B ( −8; −1; −1) , C ( 1;1; −5 ) , D ( −3; −2; 2 ) và mặt phẳng ( α ) : 4 x − y − 2 z − 8 = 0 a. Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện. uuu uuu uuur uuur r r u u b. Tìm M ∈ ( α ) để MA + MB + MC + MD nhỏ nhất HD : Câu a : uuu uuu uuu rrr - Chứng minh AB, AC , AD không đồng phẳng Câu b: - Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD uuu uuu uuur uuur r r u u - Ta có MA + MB + MC + MD = 4MG - MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( α ) Bài 6: Cho mặt phẳng ( α ) : 2 x − y − 3z + 5 = 0 và hai điểm A ( 0; 0; −3) , B ( 9;15;12 ) . Tìm M ∈ ( α ) sao cho a. MA + MB ngắn nhất. b. MA − MB dài nhất. HD : A và B ở khác phía đối với ( α ) Câu a : - Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của AB và ( α ) - Suy ra M ≡ I Câu b : - Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ( α ) - MA − MB = MA '− MB ≤ A ' B - Đẳng thức xảy ra khi M nằm trên đường thẳng A’B (không nằm trên đoạn A’B) - Gọi J = A ' B ∩ ( α ) . Suy ra M ≡ J Bài 7: Cho mặt phẳng ( α ) : x + 3 y − z − 19 = 0 và hai điểm A ( −2;0;1) , B ( −7; −5;3) . Tìm M ∈ ( α ) sao cho a. MA + MB ngắn nhất. b. MA − MB dài nhất. HD : A và B ở cùng phía đối với ( α ) Câu a: - Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ( α ) - Gọi J = A ' B ∩ ( α ) . Suy ra M ≡ J Câu b : - MA − MB ≤ AB -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 10 - Gọi I = AB ∩ ( α ) - Suy ra M ≡ I VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Phương trình tham số của đường thẳng : r Đường thẳng d đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận u = ( a; b; c ) làm VTCP có phương trình tham số là :  x = x0 + at   y = y0 + bt  z = z + ct  0 Chú ý : Một đường thẳng có vô số phương trình tham số 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng :  x = x0 + at  Cho đường thẳng d có phương trình tham số  y = y0 + bt ( *) với abc ≠ 0  z = z + ct  0 x − x0 y − y0 z − z0 ( *) ⇒ = = (phương trình chính tắc) a b c Chú ý : Nếu abc = 0 thì không có phương trình chính tắc 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng :  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ( α )  với ( α ) cắt ( β ) Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ( β )   Chú ý : r r r rr Gọi n1 là VTPT của ( α ) , n2 là VTPT của ( β ) . Khi đó u = [ n1 , n2 ] là VTCP của d 4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng : r Cho đường thẳng d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u = ( a1 ; a2 ; a3 ) , đường thẳng d’ đi qua r M 0 ' ( x0 '; y0 '; z0 ') và có VTCP u ' = ( a1 '; a2 '; a3 ' ) Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao r rr d và d’ cắt nhau ⇔ hệ phương trình ẩn t, t’ sau [ u , u '] ≠ 0  d và d’ cắt nhau ⇔  r r uuuuuuu  x0 + a1t = x0 '+ a1 ' t ' r [ u , u '] .M 0 M 0 ' = 0    y0 + a2t = y0 '+ a2 ' t ' ( I ) có đúng 1 nghiệm  z + a t = z '+ a ' t ' 0 3 0 3 r r r rr [ u , u '] = 0 u = ku '  d // d ' ⇔  d // d ' ⇔  r uuuuuuu rr M 0 ∉ d '  u , M 0 M 0 '  ≠ 0   -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 11 r r r rr [ u , u '] = 0 u = ku '  d ≡d'⇔  d ≡ d ' ⇔  r uuuuuuu rr M0 ∈ d '   u , M 0 M 0 '  = 0   r r uuuuuuu r r r d chéo d’ ⇔ u không cùng phương với u ' và d chéo d’ ⇔ [ u , u '] .M 0 M 0 ' ≠ 0  x0 + a1t = x0 '+ a1 ' t '  hệ phương trình  y0 + a2t = y0 '+ a2 ' t ' vô nghiệm  z + a t = z '+ a ' t ' 0 3 0 3 5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng : Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao r r Hệ gồm phương trình của d và ( α ) M ∈ d , u là VTCP của d, n là VTPT của ( α ) rr d ∩ ( α ) = { M } ⇔ hệ có nghiệm duy nhất d ∩ ( α ) = { M } ⇔ n.u ≠ 0 rr d // ( α ) ⇔ hệ vô nghiệm n.u = 0  d // ( α ) ⇔  M ∉ ( α )  rr d ⊂ ( α ) ⇔ hệ có vô số nghiệm n.u = 0  d ⊂ (α) ⇔  M ∈ ( α )  rr r r r d ⊥ ( α ) ⇔ n cùng phương với u ⇔ [ n , u ] = 0 B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A ( 1;1;1) và B ( 3;0; −2 ) 2 x + y − z + 3 = 0 Bài 2 : Lập phương trình tham số của đường thẳng  x + y + z −1 = 0  x − 2 y + 3z − 4 = 0 Bài 3 : Lập phương trình chính tắc của đường thẳng  3 x + 2 y − 5 z − 4 = 0  x = −5 − 3t  Bài 4 : Cho mặt phẳng ( α ) : 3x − 4 y + z − 3 = 0 và hai đường thẳng ( d1 ) :  y = 1 + t ;  z = −8 − 2t  x +1 y + 4 z +1 . Lập phương trình đường thẳng ∆ nằm trong ( α ) và cắt cả d1 , d 2 ( d2 ) : = = −4 1 2 HD : Tìm toạ độ giao điểm A của d1 và ( α ) . Tìm toạ độ giao điểm B của d 2 và ( α ) ∆ là đường thẳng đi qua A và B. x −1 y z + 2 và mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 2 = 0 . Lập phương trình đường Bài 5: Cho ( ∆ ) : == −3 2 2 thẳng d nằm trong ( α ) , cắt và vuông góc với ∆ HD : - Tìm toạ độ giao điểm A của ∆ và ( α ) r r - Gọi n là VTPT của ( α ) và u là VTCP của ∆ rr - Suy ra [ n , u ] là VTCP của d -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 12  x = −2 + 3t  Bài 6 : Cho mặt phẳng ( P ) : x − 3 y − 4 z − 2 = 0 và đường thẳng ( d ) :  y = 7 − t  z = 3 − 4t  Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M 0 ( −1; 4;0 ) , song song với ( P ) và cắt d. HD : uuuuur u - Giả sử ∆ cắt d tại M ⇒ M ( −2 + 3t ;7 − t;3 − 4t ) ⇒ M 0 M = ( 3t − 1; −t + 3;3 − 4t ) r uuuuur u r uuuuur u - Vì ∆ // ( P ) nên n ⊥ M 0 M ⇔ n.M 0 M = 0 ⇔ t = 1 uuuuur u - Vậy ∆ có VTCP M 0 M = ( 2; 2; −1) và đi qua M 0 ( −1; 4;0 )  x = 2 + 2t  Bài 7: Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng ( d ) :  y = 3 + 3t và  z = −4 − 5t  x +1 y − 4 z − 4 ( d ') : = = −2 −1 3 HD : r r - d có VTCP u = ( 2;3; −5 ) , d’ có VTCP v = ( 3; −2; −1) - Lấy I ( 2 + 2t ;3 + 3t ; −4 − 5t ) ∈ d và J ( −1 + 3t '; 4 − 2t '; 4 − t ' ) ∈ d ' uu r r uu rr  I ( 0;0;1)  IJ ⊥ u  IJ .u = 0  t ' = 1   - IJ là đường vuông góc chung của d và d’ ⇔  uu r ⇔  uu r ⇔ ⇒ r r t = −1  J ( 2; 2;3)  IJ ⊥ v  IJ .v = 0    Bài 8: Lập phương trình đường thẳng đi qua M ( −4; −5;3) và cắt cả hai đường thẳng  x = 2 + 2t x +1 y + 3 z − 2  , ( d 2 ) :  y = −1 + 3t ( d1 ) : = = −2 −1 3  z = 1 − 5t  HD : - Gọi ∆ là đường thẳng cần viết phương trình. - Giả sử ∆ cắt d1 tại A ( −1 + 3t ; −3 − 2t; 2 − t ) và cắt d 2 tại B ( 2 + 2t '; −1 + 3t ';1 − 5t ' ) uuu r uuuur - Ta có AB = ( 2t '− 3t + 3;3t '+ 2t + 2; −5t '+ t − 1) và AM = ( −3 − 3t; −2 + 2t;1 + t ) uuu uuuu r r uuu r uuuu r - Yêu cầu bài toán ⇒ AB cùng phương với AM ⇔  AB, AM  = 0 ⇔ t = t ' = 0   Bài 9: Cho ba điểm A ( −2; 2;1) , B ( 1; 2; −2 ) , C ( 2;1; 2 ) . Viết phương trình tham số của đường thẳng d vuông góc với mp ( ABC ) và đi qua trực tâm H của tam giác ABC. Bài 10 : Dạng 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG  x = 1 − 3t x y−7 z +4  và ( d 2 ) :  y = 2t Bài 1: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : = = . −3 2 5  z = −2 + t  Chứng minh rằng d1 và d 2 cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng chứa d1 và d 2  x = −1 + 5t x + 3 y + 4 z −1  Bài 2: Cho hai đường thẳng ( d ) :  y = −5 + 7t và ( d ') : = = −2 1 4  z = 3 + 3t  a. Chứng minh d và d’ chéo nhau b. Lập phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d và d’ HD : Câu b : -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 13 r r - d đi qua A ( −1; −5;3) và có VTCP u = ( 5;7;3) , d ' đi qua B ( −3; −4;1) và có VTCP v = ( 1; −2; 4 ) - Gọi ( α ) là mặt phẳng cần viết phương trình. Suy ra ( α ) đi qua trung điểm I của AB và nhận rr [ u , v ] làm VTPT. ( )  x = −1 + a 2 + 1 t  x + 3 y −1 z  Bài 3: Cho hai đường thẳng ( d ) :  y = 4 − at và ( d ') : = = −1 3 2  z = −5 + 2 a + 1 t ( )   a. Tìm a để d cắt d’ b. Tìm a để d ⊥ d '  x = m 2 − 7 + 2t  x +1 y − 3 z − 2 và ( d ') :  y = m − 1 − 3t . Tìm m để d cắt d’ Bài 4: Cho hai đường thẳng ( d ) : = = −3 −2 2 z = m − t   x = 1 − 2m − mt x = 2 − t   ( ) Bài 5: Cho hai đường thẳng ( d ) :  y = −3 + 3t và ( d ') :  y = −6 − m + 2 t 2  z = −1 + 2t   z = −3 + 2mt  Tìm m để d // d ' . Khi đó hãy viết phương trình của mặt phẳng ( d , d ') Dạng 3: HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN 1 ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải: r Cho điểm M và đường thẳng ∆ có VTCP u . Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ - Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên ∆ - Lấy H ( ?;?;? ) ∈ ∆ (toạ độ của H chính là phương trình tham số của ∆ uuuu r - Tìm toạ độ của MH theo t uuuu r r - Ta có MH .u = 0 ⇒ t ⇒ toạ độ của H Chú ý : d ( M , ∆ ) = MH Bài 1: Cho ba điểm A ( −1;3; 2 ) , B ( 4;0; −3 ) , C ( 5; −1; 4 ) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC. HD: x = 4 + t uuur  - BC = ( 1; −1;7 ) . Phương trình đường thẳng BC là  y = −t  z = −3 + 7t  uuur - Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC ⇒ H ( 4 + t ; −t ; −3 + 7t ) ⇒ AH = ( t + 5; −t − 3;7t − 5 ) uuur uuu r uuur uuu r  231 −27 36  27 - AH ⊥ BC ⇔ AH .BC = 0 ⇔ t = ⇒H ; ;÷  51 51 51  51 x − 2 y + 3 z +1 Bài 2: Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M ( 2; −1; −5 ) qua đường thẳng ( ∆ ) : = = −1 2 1 HD: Suy ra từ bài 1  x = 3t  Bài 3: Cho 2 điểm A ( 1;1;1) , B ( −2;3;0 ) và đường thẳng ( d ) :  y = 1 − 2t  z = −5 + 3t  uuu uuu r r Tìm M ∈ d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. HD: - Gọi I là trung điểm của AB. -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 14 uuu uuu r r - Ta có MA + MB = 2 MI - MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên d.  x = 9 + 2t  Bài 4: Cho 3 điểm A ( 4;1; −28 ) , B ( 4; −9; 2 ) , C ( 10; 2; −10 ) và đường thẳng ( d ) :  y = −t  z = −4 + 3t  uuu uuu uuur r r u Tìm M ∈ d sao cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. HD: - Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC uuu uuu uuur r r u - Ta có MA + MB + MC = 3MG - MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên d Dạng 4: HÌNH CHIẾU CỦA 1 ĐƯỜNG THẲNG TRÊN MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp giải: Cách 1:Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) . Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (α) - Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d và ( β ) ⊥ ( α ) - Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên ( α ) . Suy ra d ' = ( β ) ∩ ( α ) Cách 2:Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) . Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (α) - Tìm giao điểm A của d và ( α ) - Lấy B ∈ d rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của B trên ( α ) - Viết phương trình của đường thẳng AH đi qua A và H. Chú ý : Nếu d // ( α ) thì làm như sau : - Lấy A ∈ d rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của A trên ( α ) - Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên d. Suy ra d’ song song với d và d’ đi qua H x − 2 y + 2 z −1 Bài 1: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) : = = lên mặt phẳng 3 4 1 ( α ) : x + 2 y + 3z + 4 = 0 x − y + z − 5 = 0 Bài 2: Xác định hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng 2 x + 3 y + z − 4 = 0 ( α ) : 3x − 2 y − z + 15 = 0  x = 1 + 2t  Bài 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) :  y = −2 + 3t trên mỗi mặt z = 3 + t  phẳng toạ độ  7  x = 2 + 3t  Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) :  y = −2t trên mặt phẳng  z = −2t   ( α ) : x + 2 y − 2z − 2 = 0 -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 15 x+4 z −3 Bài 5: Cho mặt phẳng ( α ) : x − 3 y − 3 z + 2 = 0 và hai đường thẳng ( d1 ) : =y= và −2 2  x = −1 + 5t ( d 2 ) :  y = 2 + t . Viết phương trình hình chiếu theo phương d 2 của đường thẳng d1 trên   z = −3t  mặt phẳng ( α ) VẤN ĐỀ 6: MẶT CẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Phương trình mặt cầu: a. Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) và bán kính r có phương trình ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r 2 2 2 2 b. Nếu A2 + B 2 + C 2 − D > 0 thì x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax +2By + 2Cz +D = 0 là phương trình của mặt cầu tâm I ( − A; − B; −C ) bán kính r = A2 + B 2 + C 2 − D c. Nếu mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S) tại M thì ( α ) được gọi là tiếp diện của mặt cầu ( S) và M được gọi là tiếp điểm d. Nếu đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu ( S) tại M thì ∆ được gọi là tiếp tuyến của ( S) và M được gọi là tiếp điểm. B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Dạng 1 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU- XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH Bài 1: Lập phương trình của mặt cầu, biết rằng mặt cầu đó đi qua A ( 5;3; 2 ) và có tâm I ( 1;1;1) Bài 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB, biết A ( 2; −1;5 ) , B ( 3;5;7 ) Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 4 y − 6 z + 3 = 0 b. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 8 y + 2 z − 1 = 0 Bài 4: Cho 4 điểm A ( 1; −1; 2 ) , B ( 1;3; 2 ) , C ( 4;3; 2 ) , D ( 4; −1; 2 ) a. Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 điểm đồng phẳng b. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua 4 điểm A’, B, C, D. c. Viết phương trình tiếp diện của ( S) tại A’ Bài 5: Cho 3 điểm A ( 1;0; −1) , B ( 1; 2;1) , C ( 0; 2;0 ) . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC a. Viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua 4 điểm O, A, B, C b. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với mặt cầu ( S) -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 16 Bài 6 : Lập phương trình mặt cầu ( S) có tâm I ( 1; 4; −7 ) và tiếp xúc với ( α ) : 6x + 6y − 7z + 42 = 0  x = 2t  và hai mặt phẳng ( P ) : x + y − 2z + 5 = 0 ; ( Q ) : 2x − y + z + 2 = 0 Bài 7 : Cho d :  y = 1 + t  z = −1 + 2t  Viết phương trình mặt cầu ( S) có tâm thuộc d và tiếp xúc với ( P ) , ( Q ) HD : Vì I ∈ d nên ta có I ( 2t;1 + t; −1 + 2t ) 4 t= d ( I, ( P ) ) = d ( I, ( Q ) ) ⇔ − t + 8 = 5t ⇔  3   t = −2  x = 1 + 3t  Bài 8 : Cho d :  y = −2 + t và mặt phẳng ( P ) : 2x + y − 2z = 0 z = t  a. Lập phương trình mặt cầu ( S) có tâm nằm trên đường thẳng d ; tiếp xúc với ( P ) và có bán kính bằng 1 b. Gọi M = d ∩ ( P ) , T là tiếp điểm . Tính MT. HD : Vì I ∈ d nên ta có I ( 1 + 3t; −2 + t; t ) 1 t= d ( I, ( P ) ) = 1 ⇔ 5t + 2 = 3 ⇔  5   t = −1 Dạng 2 : QUAN HỆ GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp giải : Cho mặt cầu S ( I , r ) và mặt phẳng ( α ) - Nếu d ( I , ( α ) ) > r thì S ( I , r ) và ( α ) không có điểm chung. - Nếu d ( I , ( α ) ) = r thì S ( I , r ) tiếp xúc với ( α ) - Nếu d ( I , ( α ) ) < r thì S ( I , r ) ∩ ( α ) = ( O, R ) với R = r − d ( I , ( α ) ) 2 2 Bài tập áp dụng : Bài 1: Tuỳ theo m hãy biện luận vị trí tương đối của mặt cầu ( S ) : x + y + z + 4 x − 2 y − 1 = 0 và 2 2 2 mặt phẳng ( α ) : 2 x − y − z − m = 0 Bài 2: Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − 3z + 4 = 0 và mặt cầu ( S ) : x + y + z + 6 x − 2 y − 2 z − 3 = 0 2 2 2 Lập phương trình mặt phẳng ( α ) song song với ( P ) và tiếp xúc với ( S ) Bài 3: Chứng minh rằng mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 y − 4 z − 20 = 0 cắt mặt phẳng 2 2 2 ( α ) : x + 2 y − z + 8 = 0 theo 1 đường tròn ( C ) . Xác định tâm và bán kính của ( C ) Bài 4: Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 5 y − 4 z − 1 = 0 2 2 2 a. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) . b. Tìm m để họ mặt phẳng ( α m ) : x + 2 y − z + m = 0 là tiếp diện của ( S ) 8 x − 11 y + 8 z − 30 = 0 Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng ( d ) :  tiếp xúc với x − 2 y − 2z = 0 mặt cầu ( S ) : x + y + z + 2 x − 6 y + 4 z − 15 = 0 2 2 2 -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
-Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 17 Bài 6: Cho mặt phẳng ( α ) : 3x + 4 z − 1 = 0 và I ( 1; 2;3) a. Lập phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với ( α ) b. Tìm toạ độ tiếp điểm A. Bài 7: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu  x = −5 + 2t ( S) : x + y + z − 10x + 2y + 26z − 113 = 0 và song song với hai đường thẳng d1 :  y = 1 − 3t 2 2 2  z = −2 + 2t   x = −7 + 3t  và d 2 :  y = −1 − 2t z = 8  HD: rr [ u1 , u 2 ] = ( 4;6;5 ) là VTPT của ( α ) ⇒ ( α ) : 4x + 6y + 5z + D = 0 Sử dụng d ( I, ( α ) ) = R tìm D Dạng 3 : QUAN HỆ GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải : Cho mặt cầu S ( I , r ) và đường thẳng ∆ - Nếu d ( I , ∆ ) > r thì ∆ ∩ ( S ) = ∅ - Nếu d ( I , ∆ ) = r thì ∆ ∩ ( S ) = { M } (tiếp xúc) - Nếu d ( I , ∆ ) < r thì ∆ ∩ ( S ) = { M , N } (mặt cầu cắt đường thẳng tại hai điểm) Bài tập áp dụng Bài 1: Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x − 6 z − 35 = 0 2 2 2 a. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) . b. Tìm giao điểm của mặt cầu ( S ) với đường thẳng đi qua hai điểm A ( 2; −4;8 ) và B ( 0; −2;10 ) Bài 2: Lập phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3; −1) và cắt đường thẳng 5 x − 4 y + 3 z + 20 = 0 ( d) : tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 3x − 4 y + z − 8 = 0 2 x + 4 y − z − 7 = 0 Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng ( d ) :  và tiếp xúc 4 x + 5 y + z − 14 = 0 với hai mặt phẳng ( α ) : x + 2 y − 2 z − 2 = 0 và ( β ) : x + 2 y − 2 z + 4 = 0 -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.