Phương pháp toạ độ trong không gian

Chia sẻ: Khai Nguyenvan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17

1
996
lượt xem
464
download

Phương pháp toạ độ trong không gian

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 VẤN ĐỀ 1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: r r 1. Cho a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) . .

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp toạ độ trong không gian

  1. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 1 VẤN ĐỀ 1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: r r 1. Cho a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) . Khi đó ta có: rr a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) rr a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) r ka = ( ka1 ; ka2 ; ka3 )  a1 = b1 rr  a = b ⇔ a2 = b2 a = b 3 3 rr a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 r a = a12 + a2 2 + a32 rr a1b1 + a2b2 + a3b3 () cos a,b = a12 + a2 2 + a32 . b12 + b2 2 + b32 r a1 a2 a3 rr r = ( b1b2b3 ≠ 0 ) a , b cùng phương ⇔ a = kb ⇔ = b1 b2 b3 rr a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 2. Cho A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) , D ( xD ; yD ; z D ) . Khi đó ta có: uuu r AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )  1  xI = 2 ( x A + xB )   1 Nếu I là trung điểm của AB thì  yI = ( y A + yB ) 2   1  zI = 2 ( z A + zB )   1  xG = 3 ( x A + xB + xC )   1 Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì  yG = ( y A + yB + yC ) 3   1  zG = 3 ( z A + z B + zC )   1  xG = 4 ( x A + xB + xC + xD )   1 Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì  yG = ( y A + yB + yC + yD ) 4   1  zG = 4 ( z A + z B + zC + z D )  -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  2. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 2 r r 3.Tích có hướng của hai vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) rr a, b  = ( a 2 b3 − a 3b 2 ;a 3b1 − a1b3 ;a1b 2 − a 2 b1 )  rr rr rr ( ) *  a , b  = a b sin a , b   rr r r r * a và b cùng phương ⇔  a , b  = 0   rr r rrr * a , b , c đồng phẳng ⇔  a , b  .c = 0   uuu uuu rr * Nếu ABCD là hình bình hành thì S ABCD =  AB, AD    1  uuu uuu  rr - Nếu ABC là 1 tam giác thì S ABC =  AB, AC  2 uuu uuu uuur rr * Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì VABCD. A ' B 'C ' D ' =  AB, AD  . AA '   uuu uuu uuu rr r 1 - Nếu ABCD là tứ diện thì VABCD =  BA, BC  .BD 6  B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: r r r Bài 1: Trong không gian cho a = ( 1; 2;3) , b = ( −2;0;5 ) và c = ( 2m + 1;1;3) rr a. Tính toạ độ của a + 3b rrr ( ) b. Tính a. 2a + b rr c. Tính a + b rr ( ) d. Tính a , b r r e. Tìm m để c = 8 a rr f. Tìm m để c ⊥ a Bài 2: Trong không gian cho hình bình hành ABCD. Biết A ( 1;1;1) , B ( −3;0; 2 ) , C ( 4; −2;0 ) Tìm toạ độ đỉnh D Bài 3: Trong không gian cho 3 điểm A ( 2;1;5 ) , B ( 3;0; −2 ) , C ( 4;7;6 ) a. Chứng minh rằng A,B, C lập thành tam giác. Tính tọa độ trọng tâm G b. Tìm toạ độ của K , biết B là trung điểm của AK c. Tìm toạ độ của N , biết C là trọng tâm của tam giác ABN. ( ) Bài 4: Trong không gian cho 3 điểm A ( 1;1;1) , B ( −3; 2;5 ) , C 2m + 3; m − m; 4 2 Tìm m để tam giác ABC vuông tại A Bài 5: Trong không gian cho 3 điểm A ( 1; 2;5 ) , B ( 2;1;3) , C ( m + 1;1; 2m − 1) uuu uuu rr ( ) Tìm m để AB, AC = 60 0 Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A ( 2;0; 2 ) , B ( 4; 2; 4 ) , D ( 2; −2; 2 ) , C ' ( 8;10; −10 ) Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp Bài 7: Cho A ( 3; 4; −1) , B ( 2;0;3) , C ( −3; 4;5 ) . a. Chứng minh rằng ABC là 1 tam giác -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  3. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 3 b. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC c. Tính các góc của tam giác ABC. Bài 8: Cho A ( 2;1; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3 ) và D ∈ Oy . Biết thể tích V của ABCD bằng 5. Tìm toạ độ của điểm D. Bài 9: Cho tam giác ABC với A ( 1; 2; −1) , B ( 2; −1;3) , C ( −4;7;5 ) . Tính độ dài đường phân giác trong của góc B. r rrr r r Bài 10: Cho a = ( 2;3;1) , b = ( 5;7;0 ) , c = ( 3; −2; 4 ) . Chứng minh rằng a, b, c không đồng phẳng. Hãy r rrr biểu diễn d = ( 4;12; −3) theo 3 vectơ a, b, c Bài 11: Cho A ( 1;0;1) , B ( −1;1; 2 ) , C ( −1;1;0 ) , D ( 2; −1; −2 ) . Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D. Tính VABCD , từ đó suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện Bài 12: Cho A ( 1; −2; −1) , B ( −5;10; −1) , C ( 4;1;1) . Chứng minh ABC là 1 tam giác. Tìm toạ độ trực tâm, trọng tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 13: Cho A ( 1; 2; −1) , B ( 4;3;5 ) . Xác định M ∈ Ox sao cho M cách đều A, B Bài 14: Cho A ( −4; −1; 2 ) , B ( 3;5; −1) . Tìm C biết trung điểm của AC thuộc Oy, trung điểm của BC thuộc Oxz. rr r Bài 15: Cho v ≠ 0 . Gọi α, β, γ là 3 góc tạo bởi v với Ox, Oy, Oz . Chứng minh rằng cos 2 α + cos 2β + cos 2 γ = 1 VẤN ĐỀ 2: GÓC (Bổ sung) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Góc giữa hai đường thẳng : r r Đường thẳng d1 có VTCP u = ( x1 ; y1 ; z1 ) và đường thẳng d 2 có VTCP v = ( x2 ; y2 ; z3 ) x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 Gọi β là góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 . Khi đó cosβ = x12 + y12 + z12 x2 2 + y2 2 + z2 2 2. Góc giữa hai mặt phẳng : Cho ( P ) : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 và ( Q ) : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 a1a2 + b1b2 + c1c2 Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) . Khi đó cosα = a12 + b12 + c12 a2 2 + b2 2 + c2 2 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : r Cho đường thẳng d có VTCP u = ( a; b; c ) và mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 Aa + Bb + Cc Gọi β là góc giữa d và ( α ) . Khi đó sin β = A2 + B 2 + C 2 a2 + b2 + c2 B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  4. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 4 Bài 1 : Tính góc giữa hai mặt phẳng ( α ) : 2 x − y + 3z − 1 = 0 và ( β ) : − x + 2 y + z + 3 = 0  x = 2 + 3t  x = 2t   Bài 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng ( d1 ) :  y = −2 + t và ( d 2 ) :  y = 2 − 3t  z = 5 − 4t  z = 4 + 5t    x = 3 − 2t  Bài 3 : Tính góc giữa đường thẳng ( d ) :  y = 3t và mặt phẳng ( α ) : x + y + 3z − 1 = 0 z = 7 + t  VẤN ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng : Trong không gian Oxyz, cho ( α ) : Ax + By + Cz +D = 0 và M ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khi đó ta có: Ax 0 + By0 + Cz0 + D d ( M0,( α ) ) = A2 + B 2 + C 2 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : Cho ( α ) // ( β ) và M ∈ ( α ) . Khi đó d ( ( α ) , ( β ) ) = d ( M , ( β ) ) r 3.Khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua M 0 và có VTCP u : Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn) Chương trình nâng cao uuuuur r u - Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa M và M 0M , u    h= (α) ⊥ ∆ r u - Tìm K = ∆ ∩ ( α ) - Tính MK. Suy ra d ( M , ∆ ) = MK 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : Cho d // d ' và M ∈ d . Khi đó d ( d , d ') = d ( M , d ' ) 5. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  5. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 5 Cho ∆ // ( α ) và M ∈ ∆ . Khi đó d ( ∆, ( α ) ) = d ( M , ( α ) ) r 6. Khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d 2 ; biết d1 đi qua M 1 và có VTCP u1 , r d 2 đi qua M 2 và có VTCP u2 : (Chương trình nâng cao) Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn) Chương trình nâng cao r r uuuuuu r - Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d1 và [ u1 , u2 ] .M1M 2 h= ( α ) // d 2 rr [ u1 , u2 ] - Lấy M ∈ d 2 và tính d ( M , ( α ) ) - Suy ra d ( d1 , d 2 ) = d ( M , ( α ) ) B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: rr - n ≠ 0 được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) nếu giá của nó vuông góc với ( α ) r r - Cho hai vectơ không cùng phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) có giá song song hoặc nằm trong r  a2 a3 a3 a1 a1 a2  r mặt phẳng ( α ) . Khi đó n =   b b , b b , b b ÷ là 1 vectơ pháp tuyến của ( α ) , n được gọi là ÷  2 3 3 1 1 2 rr r rr r tích có hướng của a và b ; kí hiệu là  a , b  hoặc a ∧ b   2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng : r a. Mặt phẳng ( α ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận n = ( A; B; C ) làm VTPT có phương trình: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 b. Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. 3. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng : (Chương trình nâng cao) Nếu A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với abc ≠ 0 thì phương trình mặt phẳng ( ABC ) là xyz + + = 1 ( *) . ( *) được gọi là phương trình đoạn chắn của mặt phẳng abc 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao ( α ) cắt ( β ) ⇔ ( A1; B1 ; C1 ) ≠ k ( A2 ; B2 ; C2 ) ( α ) cắt ( β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  6. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 6 ( A ; B ; C ) = k ( A2 ; B2 ; C2 ) A B C D ( α ) // ( β ) ⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1 ( α ) // ( β ) ⇔  1 1 1  A2 B2 C2 D2  D1 ≠ kD2  ( A ; B ; C ) = k ( A2 ; B2 ; C2 ) A1 B1 C1 D1 (α) ≡ ( β ) ⇔ (α) ≡ ( β ) ⇔  1 1 1 = = =  A2 B2 C2 D2  D1 = kD2  ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 5. Chùm mặt phẳng: (Bổ sung) Cho hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) cắt nhau lần lượt có phương trình: ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0, ( β ) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 . Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) gọi là một chùm mặt phẳng. Mỗi mặt phẳng của chùm đều có phương trình: a ( Ax + By + Cz + D ) + b ( A ' x + B ' y + C ' z + D ' ) = 0 trong đó a 2 + b 2 ≠ 0 6. Vị trí tương đối của điểm và mặt phẳng (bổ sung) Cho mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và 2 điểm M1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , M 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) . Khi đó ta có: - Nếu ( Ax1 + By1 + Cz1 + D ) ( Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D ) > 0 thì M1 , M 2 nằm cùng phía đối với ( α ) - Nếu ( Ax1 + By1 + Cz1 + D ) ( Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D ) < 0 thì M1 , M 2 nằm khác phía đối với ( α ) B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Dạng 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG r Bài 1: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua A ( 1; −2;6 ) và nhận n = ( −2;0;3) làm VTPT Bài 2: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua M ( 2;1; −5 ) và song song với ( Oxy ) Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A ( −2;3;5 ) , B ( 2;3;1) . Lập phương trình tổng quát của mặt phảng trung trực đoạn AB Bài 4: Lập phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và điểm P ( 2; −3;5 ) Bài 5: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A ( 1;1;1) , B ( 4;3; 2 ) , C ( 5; 2;1) a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ABC ) Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) đi qua A và song song với mặt phẳng ( β ) : 2x + 3y − z − 5 = 0 Bài 7: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm A ( 1;1;1) , B ( 3; 2; −1) và vuông góc với mặt phẳng ( α ) : −2 x + 3 y + 5 z + 7 = 0 Bài 8: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua N ( −3; 2;5 ) và vuông góc với trục Ox. Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của M ( 2;3;5 ) trên các trục toạ độ HD: Dùng phương trình đoạn chắn. Bài 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết O ( 1;1;1) , A ( 2;3;5 ) , B ( 3; −2; 2 ) . Viết phương trình của các mặt phẳng ( OAC ) , ( OBC ) Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M ( 0; 2; −1) , song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng x − y + z = 0 -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  7. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 7 Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( −3;0;1) , vuông góc với hai mặt phẳng ( P ) : −2 x + 3 y − z + 2 = 0 và ( Q ) : x + 5 y − 2 z + 1 = 0 Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M ( 1; 2;3) và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz ở 3 điểm cách đều gốc toạ độ. HD: xyz Gọi mặt phẳng cần tìm là ( α ) ⇒ phương trình của mặt phẳng của ( α ) có dạng: + + = 1 abc 123 Vì M ∈ ( α ) nên ta có : + + = 1 ( 1) abc 6 Theo đề ra ta có a = b = c . Khi đó ( 1) ⇔ = 1 ⇔ a = 6 a xyz Phương trình của mặt phẳng ( α ) : + + = 1 666  x − 2z = 0 Bài 14: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng ∆ :  và vuông góc 3x − 2y + z − 3 = 0 với mặt phẳng ( β ) : x − 2y + z + 5 = 0 Bài 15 : Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa Oz và lập với mặt phẳng ( β ) : 2x + y − 5z = 0 một góc 600 HD : ( ) Pt của ( α ) có dạng mx + ny = 0 m + n > 0 2 2 Bài 16 : Viết phương trình của mặt phẳng ( α ) qua M ( 0;0;1) , N ( 3;0;0 ) và tạo với Oxy một góc 600 Bài 17 : Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) đi qua M ( 1; 2;1) và chứa giao tuyến của ( P) : x + y + z −1 = 0 và ( Q ) : 2x − y + 3z = 0 x − y + z − 3 = 0 Bài 18 : Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) chứa ∆ :  và vuông góc với mặt 3x + y + 2z − 1 = 0 phẳng ( P ) : x + y + 2z − 3 = 0 Bài 19 : Lập phương trình của mặt phẳng ( α ) đi qua 2 điểm A ( 2; −1;0 ) , B ( 5;1;1) và khoảng cách từ  1 M  0;0; ÷ đến ( α ) bằng 6 3  2 Bài 20 : Lập phương trình mặt phẳng ( α ) thuộc chùm tạo bởi hai mặt phẳng ( P ) : x − 3y + 7z + 36 = 0 và ( Q ) : 2x + y − z − 15 = 0 , biết rằng khoảng cách từ O đến ( α ) bằng 3. Bài 21 : Cho ( α ) : 2x − y + 3z + 4 = 0 và M ( 2; −1; 2 ) . Viết phương trình của mặt phẳng ( β ) đối xứng với ( α ) qua M. Bài 22: Cho tứ diện ABCD có A ( 5;1;3) , B ( 1;6; 2 ) , C ( 5;0; 4 ) , D ( 4;0;6 ) a. Viết phương trình mặt phẳng ( BCD ) b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với đường thẳng CD c. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song song với mặt phẳng ( ABC ) -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  8. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 8 Bài 23 : Cho mặt phẳng ( α ) : x + 2y + z − 3 = 0 và M ( 1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng ( β ) sao cho d ( ( α ) , ( β ) ) = 4 đồng thời M và ( β ) nằm cùng phía đối với ( α ) Bài 24 : Cho mặt phẳng ( α ) : 2x + 2y + z + 1 = 0 và M ( −1; 2;1) . Viết phương trình mặt phẳng ( β ) sao cho d ( ( α ) , ( β ) ) = 2 đồng thời M và ( β ) nằm khác phía đối với ( α ) Dạng 2 : XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Bài 1 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau : a. 2 x − 3 y + 4 z − 5 = 0 và 3 x − y + z − 1 = 0 b. − x + y − z + 4 = 0 và 2 x − 2 y + 2 z − 7 = 0 c. 3 x + 3 y − 6 z − 12 = 0 và 4 x + 4 y − 8 z − 16 = 0 ( ) Bài 2 : Cho hai mặt phẳng m − 5 x − 2 y + mz + m − 5 = 0 và x + 2 y − 3nz + 3 = 0 2 Tìm m và n để hai mặt phẳng : a. Song song với nhau. b. Trùng nhau. c. Cắt nhau. Bài 3 : Cho hai mặt phẳng ( α ) : 3x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0 và ( m + 2 ) x − 2 y + mz − 10 = 10 Tìm m để a. Hai mặt phẳng song song b. Hai mặt phẳng trùng nhau. c. Hai mặt phẳng cắt nhau. Dạng 3 : BÀI TẬP VỀ CHÙM MẶT PHẲNG Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua M ( 1; 2;3) và chứa đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng x − y + z − 3 = 0 và 3 x + y + 2 z − 5 = 0 Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng x − 3 z + 1 = 0 và 2 y + 3z − 5 = 0 và vuông góc với mặt phẳng 2 x − y − 1 = 0 Bài 3 : Xác định m, n để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua 1 đường thẳng 2 x − y + z = 0; x − 3 y − 2 z + 2 = 0; mx − ny + 4 z + 4 = 0 Dạng 4 : HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp giải: Cho điểm M và mặt phẳng ( α ) . Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên ( α ) - Lập phương trình tham số của đường thẳng MH ( đi qua M và nhận VTPT của ( α ) làm VTCP) - Thay ptts của MH vào phương trình của mặt phẳng ( α ) tính được t ⇒ toạ độ của H Bài 1: Cho điểm M ( 1;1;1) và mặt phẳng ( α ) : −2 x + 5 y − z + 1 = 0 . Tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của M trên ( α ) Bài 2: Cho điểm M ( −2;1;1) và mặt phẳng ( α ) : x + 5 y − z + 1 = 0 . Tìm toạ độ điểm M’, biết M’ đối xứng với M qua ( α ) Bài 3: Cho hai điểm A ( 3;1;1) , B ( 7;3;9 ) và mặt phẳng ( α ) : x + y + z + 3 = 0 . Tìm M ∈ ( α ) sao cho uuu uuu r r MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất HD : - Gọi I là trung điểm của AB. uuu uuu r r - Ta có MA + MB = 2 MI - MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên ( α ) -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  9. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 9 Bài 4: Cho 3 điểm A ( −2;1;6 ) , B ( −4; −4;7 ) , C ( −3;0; −1) và mặt phẳng ( α ) : 2 x − y − 2 z − 5 = 0 uuu uuu uuur r r u Tìm M ∈ ( α ) để MA + MB + MC nhỏ nhất HD : - Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC uuu uuu uuur r r u - Ta có MA + MB + MC = 3MG - MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( α ) Bài 5: Cho 4 điểm A ( −5; 2;0 ) , B ( −8; −1; −1) , C ( 1;1; −5 ) , D ( −3; −2; 2 ) và mặt phẳng ( α ) : 4 x − y − 2 z − 8 = 0 a. Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện. uuu uuu uuur uuur r r u u b. Tìm M ∈ ( α ) để MA + MB + MC + MD nhỏ nhất HD : Câu a : uuu uuu uuu rrr - Chứng minh AB, AC , AD không đồng phẳng Câu b: - Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD uuu uuu uuur uuur r r u u - Ta có MA + MB + MC + MD = 4MG - MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( α ) Bài 6: Cho mặt phẳng ( α ) : 2 x − y − 3z + 5 = 0 và hai điểm A ( 0; 0; −3) , B ( 9;15;12 ) . Tìm M ∈ ( α ) sao cho a. MA + MB ngắn nhất. b. MA − MB dài nhất. HD : A và B ở khác phía đối với ( α ) Câu a : - Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của AB và ( α ) - Suy ra M ≡ I Câu b : - Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ( α ) - MA − MB = MA '− MB ≤ A ' B - Đẳng thức xảy ra khi M nằm trên đường thẳng A’B (không nằm trên đoạn A’B) - Gọi J = A ' B ∩ ( α ) . Suy ra M ≡ J Bài 7: Cho mặt phẳng ( α ) : x + 3 y − z − 19 = 0 và hai điểm A ( −2;0;1) , B ( −7; −5;3) . Tìm M ∈ ( α ) sao cho a. MA + MB ngắn nhất. b. MA − MB dài nhất. HD : A và B ở cùng phía đối với ( α ) Câu a: - Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ( α ) - Gọi J = A ' B ∩ ( α ) . Suy ra M ≡ J Câu b : - MA − MB ≤ AB -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  10. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 10 - Gọi I = AB ∩ ( α ) - Suy ra M ≡ I VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Phương trình tham số của đường thẳng : r Đường thẳng d đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận u = ( a; b; c ) làm VTCP có phương trình tham số là :  x = x0 + at   y = y0 + bt  z = z + ct  0 Chú ý : Một đường thẳng có vô số phương trình tham số 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng :  x = x0 + at  Cho đường thẳng d có phương trình tham số  y = y0 + bt ( *) với abc ≠ 0  z = z + ct  0 x − x0 y − y0 z − z0 ( *) ⇒ = = (phương trình chính tắc) a b c Chú ý : Nếu abc = 0 thì không có phương trình chính tắc 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng :  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ( α )  với ( α ) cắt ( β ) Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ( β )   Chú ý : r r r rr Gọi n1 là VTPT của ( α ) , n2 là VTPT của ( β ) . Khi đó u = [ n1 , n2 ] là VTCP của d 4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng : r Cho đường thẳng d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u = ( a1 ; a2 ; a3 ) , đường thẳng d’ đi qua r M 0 ' ( x0 '; y0 '; z0 ') và có VTCP u ' = ( a1 '; a2 '; a3 ' ) Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao r rr d và d’ cắt nhau ⇔ hệ phương trình ẩn t, t’ sau [ u , u '] ≠ 0  d và d’ cắt nhau ⇔  r r uuuuuuu  x0 + a1t = x0 '+ a1 ' t ' r [ u , u '] .M 0 M 0 ' = 0    y0 + a2t = y0 '+ a2 ' t ' ( I ) có đúng 1 nghiệm  z + a t = z '+ a ' t ' 0 3 0 3 r r r rr [ u , u '] = 0 u = ku '  d // d ' ⇔  d // d ' ⇔  r uuuuuuu rr M 0 ∉ d '  u , M 0 M 0 '  ≠ 0   -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  11. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 11 r r r rr [ u , u '] = 0 u = ku '  d ≡d'⇔  d ≡ d ' ⇔  r uuuuuuu rr M0 ∈ d '   u , M 0 M 0 '  = 0   r r uuuuuuu r r r d chéo d’ ⇔ u không cùng phương với u ' và d chéo d’ ⇔ [ u , u '] .M 0 M 0 ' ≠ 0  x0 + a1t = x0 '+ a1 ' t '  hệ phương trình  y0 + a2t = y0 '+ a2 ' t ' vô nghiệm  z + a t = z '+ a ' t ' 0 3 0 3 5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng : Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao r r Hệ gồm phương trình của d và ( α ) M ∈ d , u là VTCP của d, n là VTPT của ( α ) rr d ∩ ( α ) = { M } ⇔ hệ có nghiệm duy nhất d ∩ ( α ) = { M } ⇔ n.u ≠ 0 rr d // ( α ) ⇔ hệ vô nghiệm n.u = 0  d // ( α ) ⇔  M ∉ ( α )  rr d ⊂ ( α ) ⇔ hệ có vô số nghiệm n.u = 0  d ⊂ (α) ⇔  M ∈ ( α )  rr r r r d ⊥ ( α ) ⇔ n cùng phương với u ⇔ [ n , u ] = 0 B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A ( 1;1;1) và B ( 3;0; −2 ) 2 x + y − z + 3 = 0 Bài 2 : Lập phương trình tham số của đường thẳng  x + y + z −1 = 0  x − 2 y + 3z − 4 = 0 Bài 3 : Lập phương trình chính tắc của đường thẳng  3 x + 2 y − 5 z − 4 = 0  x = −5 − 3t  Bài 4 : Cho mặt phẳng ( α ) : 3x − 4 y + z − 3 = 0 và hai đường thẳng ( d1 ) :  y = 1 + t ;  z = −8 − 2t  x +1 y + 4 z +1 . Lập phương trình đường thẳng ∆ nằm trong ( α ) và cắt cả d1 , d 2 ( d2 ) : = = −4 1 2 HD : Tìm toạ độ giao điểm A của d1 và ( α ) . Tìm toạ độ giao điểm B của d 2 và ( α ) ∆ là đường thẳng đi qua A và B. x −1 y z + 2 và mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 2 = 0 . Lập phương trình đường Bài 5: Cho ( ∆ ) : == −3 2 2 thẳng d nằm trong ( α ) , cắt và vuông góc với ∆ HD : - Tìm toạ độ giao điểm A của ∆ và ( α ) r r - Gọi n là VTPT của ( α ) và u là VTCP của ∆ rr - Suy ra [ n , u ] là VTCP của d -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  12. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 12  x = −2 + 3t  Bài 6 : Cho mặt phẳng ( P ) : x − 3 y − 4 z − 2 = 0 và đường thẳng ( d ) :  y = 7 − t  z = 3 − 4t  Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M 0 ( −1; 4;0 ) , song song với ( P ) và cắt d. HD : uuuuur u - Giả sử ∆ cắt d tại M ⇒ M ( −2 + 3t ;7 − t;3 − 4t ) ⇒ M 0 M = ( 3t − 1; −t + 3;3 − 4t ) r uuuuur u r uuuuur u - Vì ∆ // ( P ) nên n ⊥ M 0 M ⇔ n.M 0 M = 0 ⇔ t = 1 uuuuur u - Vậy ∆ có VTCP M 0 M = ( 2; 2; −1) và đi qua M 0 ( −1; 4;0 )  x = 2 + 2t  Bài 7: Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng ( d ) :  y = 3 + 3t và  z = −4 − 5t  x +1 y − 4 z − 4 ( d ') : = = −2 −1 3 HD : r r - d có VTCP u = ( 2;3; −5 ) , d’ có VTCP v = ( 3; −2; −1) - Lấy I ( 2 + 2t ;3 + 3t ; −4 − 5t ) ∈ d và J ( −1 + 3t '; 4 − 2t '; 4 − t ' ) ∈ d ' uu r r uu rr  I ( 0;0;1)  IJ ⊥ u  IJ .u = 0  t ' = 1   - IJ là đường vuông góc chung của d và d’ ⇔  uu r ⇔  uu r ⇔ ⇒ r r t = −1  J ( 2; 2;3)  IJ ⊥ v  IJ .v = 0    Bài 8: Lập phương trình đường thẳng đi qua M ( −4; −5;3) và cắt cả hai đường thẳng  x = 2 + 2t x +1 y + 3 z − 2  , ( d 2 ) :  y = −1 + 3t ( d1 ) : = = −2 −1 3  z = 1 − 5t  HD : - Gọi ∆ là đường thẳng cần viết phương trình. - Giả sử ∆ cắt d1 tại A ( −1 + 3t ; −3 − 2t; 2 − t ) và cắt d 2 tại B ( 2 + 2t '; −1 + 3t ';1 − 5t ' ) uuu r uuuur - Ta có AB = ( 2t '− 3t + 3;3t '+ 2t + 2; −5t '+ t − 1) và AM = ( −3 − 3t; −2 + 2t;1 + t ) uuu uuuu r r uuu r uuuu r - Yêu cầu bài toán ⇒ AB cùng phương với AM ⇔  AB, AM  = 0 ⇔ t = t ' = 0   Bài 9: Cho ba điểm A ( −2; 2;1) , B ( 1; 2; −2 ) , C ( 2;1; 2 ) . Viết phương trình tham số của đường thẳng d vuông góc với mp ( ABC ) và đi qua trực tâm H của tam giác ABC. Bài 10 : Dạng 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG  x = 1 − 3t x y−7 z +4  và ( d 2 ) :  y = 2t Bài 1: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : = = . −3 2 5  z = −2 + t  Chứng minh rằng d1 và d 2 cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng chứa d1 và d 2  x = −1 + 5t x + 3 y + 4 z −1  Bài 2: Cho hai đường thẳng ( d ) :  y = −5 + 7t và ( d ') : = = −2 1 4  z = 3 + 3t  a. Chứng minh d và d’ chéo nhau b. Lập phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d và d’ HD : Câu b : -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  13. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 13 r r - d đi qua A ( −1; −5;3) và có VTCP u = ( 5;7;3) , d ' đi qua B ( −3; −4;1) và có VTCP v = ( 1; −2; 4 ) - Gọi ( α ) là mặt phẳng cần viết phương trình. Suy ra ( α ) đi qua trung điểm I của AB và nhận rr [ u , v ] làm VTPT. ( )  x = −1 + a 2 + 1 t  x + 3 y −1 z  Bài 3: Cho hai đường thẳng ( d ) :  y = 4 − at và ( d ') : = = −1 3 2  z = −5 + 2 a + 1 t ( )   a. Tìm a để d cắt d’ b. Tìm a để d ⊥ d '  x = m 2 − 7 + 2t  x +1 y − 3 z − 2 và ( d ') :  y = m − 1 − 3t . Tìm m để d cắt d’ Bài 4: Cho hai đường thẳng ( d ) : = = −3 −2 2 z = m − t   x = 1 − 2m − mt x = 2 − t   ( ) Bài 5: Cho hai đường thẳng ( d ) :  y = −3 + 3t và ( d ') :  y = −6 − m + 2 t 2  z = −1 + 2t   z = −3 + 2mt  Tìm m để d // d ' . Khi đó hãy viết phương trình của mặt phẳng ( d , d ') Dạng 3: HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN 1 ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải: r Cho điểm M và đường thẳng ∆ có VTCP u . Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ - Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên ∆ - Lấy H ( ?;?;? ) ∈ ∆ (toạ độ của H chính là phương trình tham số của ∆ uuuu r - Tìm toạ độ của MH theo t uuuu r r - Ta có MH .u = 0 ⇒ t ⇒ toạ độ của H Chú ý : d ( M , ∆ ) = MH Bài 1: Cho ba điểm A ( −1;3; 2 ) , B ( 4;0; −3 ) , C ( 5; −1; 4 ) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC. HD: x = 4 + t uuur  - BC = ( 1; −1;7 ) . Phương trình đường thẳng BC là  y = −t  z = −3 + 7t  uuur - Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC ⇒ H ( 4 + t ; −t ; −3 + 7t ) ⇒ AH = ( t + 5; −t − 3;7t − 5 ) uuur uuu r uuur uuu r  231 −27 36  27 - AH ⊥ BC ⇔ AH .BC = 0 ⇔ t = ⇒H ; ;÷  51 51 51  51 x − 2 y + 3 z +1 Bài 2: Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M ( 2; −1; −5 ) qua đường thẳng ( ∆ ) : = = −1 2 1 HD: Suy ra từ bài 1  x = 3t  Bài 3: Cho 2 điểm A ( 1;1;1) , B ( −2;3;0 ) và đường thẳng ( d ) :  y = 1 − 2t  z = −5 + 3t  uuu uuu r r Tìm M ∈ d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. HD: - Gọi I là trung điểm của AB. -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  14. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 14 uuu uuu r r - Ta có MA + MB = 2 MI - MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên d.  x = 9 + 2t  Bài 4: Cho 3 điểm A ( 4;1; −28 ) , B ( 4; −9; 2 ) , C ( 10; 2; −10 ) và đường thẳng ( d ) :  y = −t  z = −4 + 3t  uuu uuu uuur r r u Tìm M ∈ d sao cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. HD: - Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC uuu uuu uuur r r u - Ta có MA + MB + MC = 3MG - MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên d Dạng 4: HÌNH CHIẾU CỦA 1 ĐƯỜNG THẲNG TRÊN MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp giải: Cách 1:Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) . Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (α) - Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d và ( β ) ⊥ ( α ) - Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên ( α ) . Suy ra d ' = ( β ) ∩ ( α ) Cách 2:Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) . Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (α) - Tìm giao điểm A của d và ( α ) - Lấy B ∈ d rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của B trên ( α ) - Viết phương trình của đường thẳng AH đi qua A và H. Chú ý : Nếu d // ( α ) thì làm như sau : - Lấy A ∈ d rồi tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của A trên ( α ) - Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên d. Suy ra d’ song song với d và d’ đi qua H x − 2 y + 2 z −1 Bài 1: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) : = = lên mặt phẳng 3 4 1 ( α ) : x + 2 y + 3z + 4 = 0 x − y + z − 5 = 0 Bài 2: Xác định hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng 2 x + 3 y + z − 4 = 0 ( α ) : 3x − 2 y − z + 15 = 0  x = 1 + 2t  Bài 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) :  y = −2 + 3t trên mỗi mặt z = 3 + t  phẳng toạ độ  7  x = 2 + 3t  Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) :  y = −2t trên mặt phẳng  z = −2t   ( α ) : x + 2 y − 2z − 2 = 0 -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  15. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 15 x+4 z −3 Bài 5: Cho mặt phẳng ( α ) : x − 3 y − 3 z + 2 = 0 và hai đường thẳng ( d1 ) : =y= và −2 2  x = −1 + 5t ( d 2 ) :  y = 2 + t . Viết phương trình hình chiếu theo phương d 2 của đường thẳng d1 trên   z = −3t  mặt phẳng ( α ) VẤN ĐỀ 6: MẶT CẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Phương trình mặt cầu: a. Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) và bán kính r có phương trình ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r 2 2 2 2 b. Nếu A2 + B 2 + C 2 − D > 0 thì x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax +2By + 2Cz +D = 0 là phương trình của mặt cầu tâm I ( − A; − B; −C ) bán kính r = A2 + B 2 + C 2 − D c. Nếu mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S) tại M thì ( α ) được gọi là tiếp diện của mặt cầu ( S) và M được gọi là tiếp điểm d. Nếu đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu ( S) tại M thì ∆ được gọi là tiếp tuyến của ( S) và M được gọi là tiếp điểm. B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Dạng 1 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU- XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH Bài 1: Lập phương trình của mặt cầu, biết rằng mặt cầu đó đi qua A ( 5;3; 2 ) và có tâm I ( 1;1;1) Bài 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB, biết A ( 2; −1;5 ) , B ( 3;5;7 ) Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 4 y − 6 z + 3 = 0 b. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 8 y + 2 z − 1 = 0 Bài 4: Cho 4 điểm A ( 1; −1; 2 ) , B ( 1;3; 2 ) , C ( 4;3; 2 ) , D ( 4; −1; 2 ) a. Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 điểm đồng phẳng b. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua 4 điểm A’, B, C, D. c. Viết phương trình tiếp diện của ( S) tại A’ Bài 5: Cho 3 điểm A ( 1;0; −1) , B ( 1; 2;1) , C ( 0; 2;0 ) . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC a. Viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua 4 điểm O, A, B, C b. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với mặt cầu ( S) -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  16. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 16 Bài 6 : Lập phương trình mặt cầu ( S) có tâm I ( 1; 4; −7 ) và tiếp xúc với ( α ) : 6x + 6y − 7z + 42 = 0  x = 2t  và hai mặt phẳng ( P ) : x + y − 2z + 5 = 0 ; ( Q ) : 2x − y + z + 2 = 0 Bài 7 : Cho d :  y = 1 + t  z = −1 + 2t  Viết phương trình mặt cầu ( S) có tâm thuộc d và tiếp xúc với ( P ) , ( Q ) HD : Vì I ∈ d nên ta có I ( 2t;1 + t; −1 + 2t ) 4 t= d ( I, ( P ) ) = d ( I, ( Q ) ) ⇔ − t + 8 = 5t ⇔  3   t = −2  x = 1 + 3t  Bài 8 : Cho d :  y = −2 + t và mặt phẳng ( P ) : 2x + y − 2z = 0 z = t  a. Lập phương trình mặt cầu ( S) có tâm nằm trên đường thẳng d ; tiếp xúc với ( P ) và có bán kính bằng 1 b. Gọi M = d ∩ ( P ) , T là tiếp điểm . Tính MT. HD : Vì I ∈ d nên ta có I ( 1 + 3t; −2 + t; t ) 1 t= d ( I, ( P ) ) = 1 ⇔ 5t + 2 = 3 ⇔  5   t = −1 Dạng 2 : QUAN HỆ GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp giải : Cho mặt cầu S ( I , r ) và mặt phẳng ( α ) - Nếu d ( I , ( α ) ) > r thì S ( I , r ) và ( α ) không có điểm chung. - Nếu d ( I , ( α ) ) = r thì S ( I , r ) tiếp xúc với ( α ) - Nếu d ( I , ( α ) ) < r thì S ( I , r ) ∩ ( α ) = ( O, R ) với R = r − d ( I , ( α ) ) 2 2 Bài tập áp dụng : Bài 1: Tuỳ theo m hãy biện luận vị trí tương đối của mặt cầu ( S ) : x + y + z + 4 x − 2 y − 1 = 0 và 2 2 2 mặt phẳng ( α ) : 2 x − y − z − m = 0 Bài 2: Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − 3z + 4 = 0 và mặt cầu ( S ) : x + y + z + 6 x − 2 y − 2 z − 3 = 0 2 2 2 Lập phương trình mặt phẳng ( α ) song song với ( P ) và tiếp xúc với ( S ) Bài 3: Chứng minh rằng mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 y − 4 z − 20 = 0 cắt mặt phẳng 2 2 2 ( α ) : x + 2 y − z + 8 = 0 theo 1 đường tròn ( C ) . Xác định tâm và bán kính của ( C ) Bài 4: Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 5 y − 4 z − 1 = 0 2 2 2 a. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) . b. Tìm m để họ mặt phẳng ( α m ) : x + 2 y − z + m = 0 là tiếp diện của ( S ) 8 x − 11 y + 8 z − 30 = 0 Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng ( d ) :  tiếp xúc với x − 2 y − 2z = 0 mặt cầu ( S ) : x + y + z + 2 x − 6 y + 4 z − 15 = 0 2 2 2 -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin
  17. -Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 12 : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN -trang 17 Bài 6: Cho mặt phẳng ( α ) : 3x + 4 z − 1 = 0 và I ( 1; 2;3) a. Lập phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với ( α ) b. Tìm toạ độ tiếp điểm A. Bài 7: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu  x = −5 + 2t ( S) : x + y + z − 10x + 2y + 26z − 113 = 0 và song song với hai đường thẳng d1 :  y = 1 − 3t 2 2 2  z = −2 + 2t   x = −7 + 3t  và d 2 :  y = −1 − 2t z = 8  HD: rr [ u1 , u 2 ] = ( 4;6;5 ) là VTPT của ( α ) ⇒ ( α ) : 4x + 6y + 5z + D = 0 Sử dụng d ( I, ( α ) ) = R tìm D Dạng 3 : QUAN HỆ GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải : Cho mặt cầu S ( I , r ) và đường thẳng ∆ - Nếu d ( I , ∆ ) > r thì ∆ ∩ ( S ) = ∅ - Nếu d ( I , ∆ ) = r thì ∆ ∩ ( S ) = { M } (tiếp xúc) - Nếu d ( I , ∆ ) < r thì ∆ ∩ ( S ) = { M , N } (mặt cầu cắt đường thẳng tại hai điểm) Bài tập áp dụng Bài 1: Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x − 6 z − 35 = 0 2 2 2 a. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) . b. Tìm giao điểm của mặt cầu ( S ) với đường thẳng đi qua hai điểm A ( 2; −4;8 ) và B ( 0; −2;10 ) Bài 2: Lập phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3; −1) và cắt đường thẳng 5 x − 4 y + 3 z + 20 = 0 ( d) : tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 3x − 4 y + z − 8 = 0 2 x + 4 y − z − 7 = 0 Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng ( d ) :  và tiếp xúc 4 x + 5 y + z − 14 = 0 với hai mặt phẳng ( α ) : x + 2 y − 2 z − 2 = 0 và ( β ) : x + 2 y − 2 z + 4 = 0 -Trường THPT số 2 Tuy Phước- Tổ: Toán- Tin

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản