Phương trình, bất phương trình Logarit

Chia sẻ: LPT Anh Khoa Nguyễn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

123
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương trình, bất phương trình logarit', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình, bất phương trình Logarit

BAØI 2. ⎧0 < a ≠ 1 ⎪ PHÖÔNG TRÌNH, BAÁT PHÖÔNG TRÌNH loga f(x) ≥ loga g(x) ⇔ ⎨f(x) > 0, g(x) > 0 ⎪(a − 1) f(x) − g(x) ≥ 0 [ ] LOGARIT. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ BAÁT ⎩ PHÖÔNG TRÌNH MUÕ, LOGARIT II. CAÙC VÍ DUÏ: Ví duï 1: I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. ( 2 + x)m + ( 2 − x)m = 2 2 laø heä Tìm taát caû m ñeå phöông trình: A. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT: quaû cuûa phöông trình: ⎧0 < a ≠ 1 log2 (9 − x3 ) Ñaët ñieàu kieän cho log f(x) laø: ⎨ = 3 (1) ⎩f(x) > 0 log2 (3 − x) ⎧0 < a ≠ 1 ⎪ (ÑH Baùch Khoa TPHCM naêm 1994) log f(x) = b ⇔ ⎨ 1. Daïng cô baûn: b Giaûi ⎪f(x) = a ⎩ ⎧9 − x 3 > 0 2. Ñöa veà cuøng cô soá: ⎧x < 3 9 ⎪ ⎪ Bieán ñoåi phöông trình veà daïng: loga f(x) = loga g(x) (*) Ñieàu kieän ⎨3 − x > 0 ⇔ ⎨ ⎩x ≠ 2 ⎪ ⎪x ≠ 2 ⎧0 < a ≠ 1 ⎩ Ta coù: (*) ⇔ ⎨ ⎩f(x) = g(x) > 0 (1) ⇔ 9 − x3 = (3 − x)3 ⇔ 9x 2 − 27x + 18 = 0 ⇔ x = 1 3. Ñaët aån soá phuï: ( 2 + x)m + ( 2 − x)m = 2 2 Theá x = 1 vaøo phöông trình: Ñaët t = log x ñeå ñöa phöông trình logarit veà phöông trình ñaïi soá ñoái vôùi t. ( 2 + x)m + ( 2 − x)m = 2 2 ta ñöôïc: (2) 4. Ñoaùn nhaän nghieäm vaø chöùng minh nghieäm ñoù laø duy nhaát. m (( ) B. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT. Ñaët t = ( 2 + 1) 2 2 + 1)( 2 − 1) = 1 Ta coù theå duøng caùc phöông phaùp bieán ñoåi nhö ñoái vôùi phöông trình ⎡t = 2 + 1 logarit vaø söû duïng caùc coâng thöùc sau: 1 (2) ⇔ t + = 2 2 ⇔ t 2 − 2 2t + 1 = 0 ⇔ ⎢ . Neáu a > 1 thì: loga f(x) > loga g(x) ⇔ f(x) > g(x) > 0 t ⎢t = 2 − 1 ⎣ loga f(x) ≥ loga g(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) > 0 m m . Neáu 0 < a < 1 thì: loga f(x) > loga g(x) ⇔ 0 < f(x) < g(x) t = 2 + 1: ( 2 + 1) 2 = 2 + 1 ⇔ =1⇔ m = 2 2 loga f(x) ≥ loga g(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ g(x) m 1 Toång quaùt ta coù: = ( 2 + 1)−1 t = 2 − 1: ( 2 + 1) 2 = 2 − 1 = 2 +1 ⎧a > 0 m ⎪ = −1 ⇔ m = −2 loga f(x) > loga g(x) ⇔ ⎨ f(x) > 0,g(x) > 0 ⇔ 2 ⎪(a − 1) f(x) − g(x) > 0 [ ] Vaäy m = 2 ∨ m = −2 ⎩ 195 196
Ví duï 4: Ví duï 2: Giaûi heä phöông trình: Giaûi baát phöông trình: log2 (x 2 − 9x + 8) ⎧log1+ x 1 − 2y + y2 ) + log1− y (1 + 2x + x 2 ) = 4 (1) ⎪ < 2 (*) ⎨ log2 (3 − x) ⎪log1+ x (1 + 2y) + log1− y (1 + 2x) = 2 (2) ⎩ (ÑH Toång hôïp TPHCM naêm 1964) (ÑH Quoác Gia TPHCM naêm 1997) Giaûi Giaûi ⎧x 2 − 9x + 8 > 0 ⎧x < 1 ∨ x > 8 ⎪ ⎧0,1 − y ≠ 1 ⎧x > −1 ⇔ x 0 ⎩ ⎩0 < 1 + x ≠ 1 ⎩y < 1 ⇒ 3 − x > 2 > 1 ⇒ log2 (3 − x) > 0 (1) ⇔ log1+ x (1 − y)2 + log1− y (1 + x)2 = 4 2 2 (*) ⇔ log2 (x − 9x + 8) < 2 log2 (3 − x) = log2 (3 − x) ⇔ log1+ x (1 − y) + log1− y (1 + x) = 2 (3) 1 ⇔ x 2 − 9x + 8 < (3 − x)2 ⇔ 3x + 1 > 0 ⇔ x > − 1 1 Ñaët t = log1+ x (1 − y) ,log1− y (1 + x) = = 3 log1+ x (1 − y) t 1 So vôùi ñieàu kieän ⇒ − < x < 1 1 (3) ⇔ t + = 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0 3 t Ví duï 3: 2 ⇔ (t − 1) = 0 ⇔ t = 1 1⎞ ⎛ Giaûi baát phöông trình: log x ⎜ x − ⎟ ≥ 2 ⇔ log1+ x (1 − y) = 1 ⇔ 1 − y = 1 + x ⇔ x = − y(x > −1) 4⎠ ⎝ Thay y = - x vaøo phöông trình (2): (ÑH Hueá naêm 1998) log1+ x (1 − 2x) + log1+ x (1 + 2x) = 2 Giaûi ⇔ log1+ x (1 − 4x 2 ) =⇔ 1 − 4x 2 = (1 + x)2 (x ≠ 0) ⎧0 < x ≠ 1 1 ⎧ ⎪x > ⎪ Ñieàu kieän ⎨ ⇔⎨ 4 1 2 2 ⇔ 5x 2 + 2x = 0 ⇔ 5x + 2 = 0 ⇔ x = − ⇒ y = ⎪x − 4 > 0 ⎪x ≠ 1 5 5 ⎩ ⎩ 2 1⎞ 1⎞ ⎧ ⎛ ⎛ log x ⎜ x − ⎟ ≥ 2 ⇔ log x ⎜ x − ⎟ ≥ log x x 2 ⎪x = − 5 ⎪ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ Vaäy nghieäm cuûa heä: ⎨ ⎪y = 2 1 ⎧ ⎪ x > 4 ,x ≠ 1 1 ⎧ ⎪ 5 ⎩ ⎪x > ,x ≠ 1 ⎪ 4 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪(x − 1) ⎛ x − 1 − x 2 ⎞ ≥ 0 ⎪(x − 1)(4x 2 − 4x + 1) ≤ 0 ⎜ ⎟ ⎩ 4 ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ 1 ⎧ ⎪x > 4 ,x ≠ 1 1 1 ⎧ ⎧ ⎪x > ,x ≠ 1 ⎪x > 1 ⎪ 4 ⇔ < x
HÖÔÙNG DAÃN VAØ GIAÛI TOÙM TAÉT III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. 2.1. Giaûi baát phöông trình: log2 (7.10 x − 5.25x ) > 2x + 1 2.1. log2 (7.10 x − 5.25x ) > 2x + 1 (ÑH Thuûy Saûn 1999). ⇔ log2 (7.10 x − 5.25x ) > log2 22x +1 2.2. Giaûi heä phöông trình: ⇔ 7.10 x − 5.52x > 22x +1 ⎧ x+y ⎪4 y x = 32 ⇔ 5.52x − 7.2 x.5x + 2.22x < 0 ⎨ 2x x ⎪log (x − y) = 1 − log (x + y) ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎩3 3 ⇔ 5. ⎜ ⎟ − 7⎜ ⎟ + 2 < 0 (1) ⎝2⎠ ⎝2⎠ (Hoïc Vieän Coâng ngheä böu chính vieãn thoâng 1999). x ⎛5⎞ Ñaët t = ⎜ ⎟ > 0 2.3. Giaûi heä phöông trình: ⎝2⎠ ⎧x − y = ( log2 y − log2 x) (2 + xy) (1) ⎪ 2 ⎨3 (1) ⇔ 5t 2 − 7t + 2 < 0 ⇔ < t 1 ) loga (5 − x) 2 (ÑH Y DÖÔÏC TPHCM) ⎧ x+y ⎪ y x = 32 2.2. (I) ⎨ 4 ⎪ log (x − y) = 1 − log (x + y) ⎩3 3 ⎧ x+y 5 ⎪4 y x = 4 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪ log3 (x − y) = log3 3 − log3 (x + y) = log3 3 x+y ⎪ ⎩ ⎧x y 5 ⎧x y 5 ⎪y + x = 2 ⎪ y + x = 2 (1) ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨x 2 − y2 = 3 (2) ⇔ ⎨x − y = x+y ⎪ ⎪x > y (3) ⎪x > y ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 199 200
x loga (35 − x3 ) Giaûi (∆): Ñaët t = 2.4. > 3 (*) (0 < a ≠ 1) y loga (5 − x) ⎡1 ⎪35 − x 3 > 0 ⎧ ⎪x < 3 35 ∼ 3,27 ⎧ t= 15 ⇔ x < 3 35 Ñieàu kieän ⎨ (1) ⇔ t + = ⇔ 2t − 5t + 2 = 0 ⇔ ⎢ 2 ⇔⎨ 2 x 0 ⎢ ⎪ ⎪ t2 ⎩ ⎩ ⎢t = 2 ⎣ log5− x (35 − x3 ) ⇒ 5 − x > 1 1 x1 > 3 ⇔ log5− x (35 − x 3 ) > 3 (*) ⇔ t = :⇒ = ⇔ y = 2x log5− x a.loga (5 − x) 2 y2 ⇔ 35 − x3 > (5 − x)3 (2) ⇔ x 2 − 4x 2 = 3 ⇔ −3x 2 = 3 VN ⇔ 35 − x3 > 125 − 75x + 15x 2 − x3 x t = 2 ⇒ = 2 ⇔ x = 2y y ⇔ x 2 − 5x + 6 < 0 ⇔ 2 < x < 3 < 3 35 ⎡y = 1 ⎡x = 2 ⇒2 0 (1) coù ñieàu kieän: ⎨ ⎩y > 0 ⎧ VT > 0 . Neáu x > y: (1) ⇒ ⎨ ⇒ (1) VN ⎩ VP < 0 ⎧VT < 0 . Neáu x < y: (1) ⇒ ⎨ ⇒ (1) VN ⎩VP > 0 Vaäy x = y (töø (1)) Theá vaøo (2): 2x3 = 16 ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2 ⎧x = 2 ⇒ (I) coù nghieäm ⎨ ⎩y = 2 201 202