Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Giải nhanh bài toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến nhằm trang bị cho học sinh để giải toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit cũng như các kĩ năng giải nhanh câu hỏi TNKQ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Giải nhanh bài toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT TRONG THI TRẮC NGHIỆM MÔN: TOÁN T¸c gi¶: TrÇn BÝch HiÖp Tæ: To¸n - Tin Sè §T: 0986 708 245 1
N¨m häc: 2020 - 2021 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 1 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2 6. NHIỆM VỤ YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI 2 7. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 2 8. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI 2 PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3 I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3 1. Phương trình, bất phương trình mũ – logarit cơ bản 3 2. Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit 3 3. Tư duy về phương trình, bất phương trình có chứa tham số 3 4. Mối quan hệ giữa phương trình và bất phương trình. 4 II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4 1. GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các bài toán cơ bản. 4 2 .GP2: Hướng dẫn học sinh phát hiện nhanh phương pháp . 6 3 .GP3: Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán. 10 4 .GP4: Kĩ thuật “chuyển về phương trình”. 15 5 GP5: Hướng dẫn học sinh xử lí các bài toán chứa tham số . 16 III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN. 25 IV. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 28 1. ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT. 29 PHẦN III. KẾT LUẬN 32 1. KẾT LUẬN 32 2. KIẾN NGHỊ 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 DANH MỤC BẢNG CHỮ CÁI VIẾT TẮT 2
Chữ cái viết tắt Chữ đầy đủ GD & ĐT Giáo dục và đào tạo GV Giáo viên HĐ Hoạt động HS Học sinh KTKNTĐ Kiến thức Kĩ năng Thái độ NB Nhận biết SGK Sách giáo khoa TH Thông hiểu THPT Trung học phổ thông THPTQG Trung học phổ thông quốc gia VD Vận dụng VDC Vận dụng cao GP Giải pháp TNKQ Trắc nghiệm khách quan MTCT Máy tính cầm tay 3
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình, bất phương trình là một vấn đề quan trọng của Toán học phổ thông, nó trải dài và xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT. Đây là một vấn đề hay và khó, xuất hiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ vận dụng trong các đề thi. Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học, làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà đồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh. Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit là một bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT quốc gia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Tuy nhiên các nội dung lí thuyết phần này trong hệ thống SGK phổ thông được trình bày khá đơn giản, và chưa có hướng xử lí nhanh cho thi trắc nghiệm khách quan (TNKQ). Điều này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng toán và phương pháp giải toán cho học sinh. Vì vậy, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “giải nhanh bài toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit” theo hướng TNKQ. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra nội dung phương pháp đã trang bị cho học sinh để giải toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit cũng như các kĩ năng giải nhanh câu hỏi TNKQ. Đó là: “ Hướng dẫn học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong thi trắc nghiệm ”. . Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này mang lại kết quả cao trong kỳ thi THPTQG. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU *Về kiến thức : + Các phương pháp giải bài toán phương trình , bất phương trình mũ và logarit. +Các kĩ thuật giải nhanh phương trình , bất phương trình mũ và logarit. *Về học sinh: là đối tượng học sinh lớp 12 chuẩn bị tham gia thi THPT Quốc gia. 4
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đề liên quan đến nội dung đề tài Phương pháp thống kê, phân tích số liệu 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Vận dụng lý thuyết sách giáo khoa 12, giải quyết một số dạng toán liên quan đến phương trình ,bất phương trình mũ và logarit dành cho học sinh lớp 12 thi THPTQG. 6. NHIỆM VỤ YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI Nhiệm vụ của đề tài: Đưa ra được nội dung phương pháp giải toán , các dấu hiệu nhận biết và phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) về phương trình, bất phương trình mũ logarit. Nghiên cứu, hệ thống các bài toán minh họa cho các phương thức được đưa ra. Nghiên cứu, đánh giá tính khả thi khi vận dụng vào thực tiễn giảng dạy. Yêu cầu của đề tài:  Học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản của các bài toán được vận dụng như: giải các phương trình ,bất phương trình mũ logarit dạng cơ bản ,  Khi áp dụng các phương thức vào trong quá trình dạy học, giáo viên cần vận dụng đúng quy trình, đưa ra lượng bài tập cũng như thời gian”đủ nhiều” để học sinh có sự thấm nhuần về phương pháp. 7. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nội dung phương trình, bất phương trình được học sinh làm quen từ THCS nên gần gũi với học sinh và đa số học sinh đã biết một số thao tác cơ bản. Phương trình, bất phương trình mũ và logarit xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốc Gia nên học sinh được làm quen với một khối lượng lớn các bài tập đặc sắc, phong phú, đa dạng về nội dung cũng như dạng toán Trong giảng dạy nếu đơn thuần chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản mà “lãng quên” đi hoạt động tìm tòi, sáng tạo, nghiên cứu thì bản thân người giáo viên sẽ bị mai một kiến thức và học sinh cũng bị hạn chế khả năng suy luận, tư duy sáng tạo. Một số học sinh mang khuynh hướng học đối phó đề thi nên không muốn hiểu sâu, hiểu rộng một vấn đề nào đó của toán học. 5
8. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI Do đây là một nội dung khó, có nhiều câu xuất hiện trong các đề thi với tư cách là câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn. Vì vậy gây cho học sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực để vượt qua. Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khối lượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phân biệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bài toán. Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưa thực sự chú trọng đến tư duy phương pháp, tư duy giải nhanh. Do đó hiệu quả học và giải toán chưa cao. Việc thi TNKQ đòi hỏi học sinh tư duy nhanh, giải toán nhanh, kĩ năng nhanh nên nhiều học sinh chưa đáp ứng được, nhất là phần phương trình, bất phương trình có chứa tham số dạng đáp án gián tiếp. Đề tài có nhiều bài tập hay, khó và mới lạ kích thích học sinh tìm tòi,sáng tạo. Đề tài còn có một số bài toán áp dụng thực tế quen thuộc với học sinh giúp các em liên hệ với các môn khoa học khác cũng như trong cuộc sống. PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1. Phương trình, bất phương trình mũ – logarit cơ bản Phương trình mũ cơ bản có dạng a x = b ( a > 0, a 1) . Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit. Phương trình logarit cơ bản có dạng log a x = b ( a > 0, a 1) . Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit. Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a x > b ( hoặc a x < b, a x b, a x b ) với a > 0, a 1 . Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ và logarit. Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log a x > b ( hoặc log a x b,log a x < b,log a x b ) với a > 0, a 1 . Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ và logarit. 2. Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit Phương pháp đưa về cùng cơ số a x = a k � x = k và log a x = log a k � x = k ( k > 0 ) 6
Phương pháp đặt ẩn phụ Ẩn phụ t = a x hoặc t = log a x Phương pháp mũ hóa hoặc logarit hóa Mũ hóa hai vế hoặc logarit hóa hai vế Phương pháp hàm số Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số dạng hàm hoặc hàm đặc trưng. 3. Tư duy về phương trình, bất phương trình có chứa tham số Để giải quyết các bài toán có chứa tham số ta thường sử dụng các phương pháp cơ bản sau: * Phương pháp 1: Dùng tư duy hàm số Giả sử hàm số y = f ( x ) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D lần lượt là M và N. Với hàm phụ thuộc tham số thực m là g ( m ) , ta có: + Phương trình f ( x ) = g ( m ) có nghiệm trên D � N g ( m) M + Bất phương trình f ( x ) g ( m ) có nghiệm trên D g ( m) M + Bất phương trình f ( x ) g ( m ) có nghiệm với mọi x D g ( m) N Chú ý: Các dạng bất phương trình còn lại suy luận tương tự. Trong trường hợp hàm số không có M hoặc N hoặc cả hai, chúng ta cần xem xét cụ thể trên bảng biển thiên hàm số tương ứng để xây dựng các điều kiện cho tham sô. Trong một số trường hợp cần sử dụng inf hoặc sup. *Phương pháp 2: Xây dựng các điều kiện tương ứng cho bài toán. Nội dung này sẽ được đề cập chi tiết trong mục 2 – GP2 4. Mối quan hệ giữa phương trình và bất phương trình. Định lí (*): “Hàm số f(x) liên tục trên ( x1; x2 ) và phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trên ( x1; x2 ) . Khi đó f(x) không đổi dấu trên ( x1; x2 ) ”. Chứng minh: Giả sử f(x) đổi dấu trên ( x1; x2 ) suy ra tồn tại a, b �( x1; x2 ) , a < b mà f ( a) f (b) < 0 . Do f(x) liên tục trên [ a; b ] nên f(x) = 0 có nghiệm trên (a; b): Trái giả thiết. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Nhận xét: Như vậy, nếu biểu thức f(x) liên tục trên khoảng 2 nghiệm liên tiếp x1 < x2 thì f(x) không đổi dấu trên ( x1; x2 ) . Do đó để xét dấu f(x) trên ( x1; x2 ) ta chỉ cần thử 7
một giá trị cụ thể trên ( x1; x2 ) . Khi đó việc xét dấu f(x) trên tập xác định được quy về giải phương trình f(x) = 0 trên tập xác định.Từ đó ta giải được bất phương trình liên quan đến xét dấu của f(x). II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1. GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các bài toán cơ bản. Ví dụ 1 . Tìm số nghiệm nguyên của phương trình 4 2 3 2 x +35 x + 24+ x−2 = 210 x +50 x+ x−2 . A. 4 . B. 3 . C. 2. D.1 . Tư duy: Đây là phương trình mũ quen thuộc : a u( x ) = a v( x ) được mở rộng từ phương trình mũ cơ bản. Việc giải phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của các hàm số u ( x ) , v ( x ) để tránh sai lầm. Lời giải Ta có: Pt � x 4 + 35 x 2 + 24 + x − 2 = 10 x3 + 50 x + x − 2 x 4 − 10 x3 + 35 x 2 − 50 x + 24 = 0 � � x �{ 2;3;4} x−2 0 Do đó chọn đáp án A Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm : Pt � x 4 + 35 x 2 + 24 + x − 2 = 10 x 3 + 50 x + x − 2 � x 4 − 10 x 3 + 35 x 2 − 50 x + 24 = 0 � x �{ 1;2;3;4} Nguyên nhân là không chú ý điều kiện xác định của các hàm số u ( x ) , v ( x ) dẫn đến giải sai bài toán. Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên không nhanh hơn cách giải tự luận. ( ) ( ) x 2 −10200 Ví dụ 2. Trên đoạn [ −150;120] , bất phương trình 110 x 3 −1 > 3 −1 có bao nhiêu nghiệm nguyên. A. 180 . B. 90 . C. 181 . D. 91 . Tư duy: Đây là bất phương trình mũ quen thuộc : a u( x ) > a v( x ) được mở rộng từ phương trình mũ cơ bản. Việc giải bất phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của các hàm số u ( x ) , v ( x ) và cơ số a để tránh sai lầm. Lời giải 8
Ta có: Bpt � 110 x < x 2 − 10200 � − x 2 + 110 x − 10200 < 0 � x �( −�; −60 ) �( 170; +�) Kết hợp yêu cầu bài toán, bpt có 90 nghiệm nguyên. Do đó chọn đáp án B Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm : Bpt � 110 x < x 2 − 10200 � − x 2 + 110 x − 10200 < 0 � x �( −60;170 ) Nguyên nhân là không chú ý cơ số a = 3 − 1 ( 0;1) dẫn đến giải sai bài toán. Ví dụ 3.Tìm tổng bình phương các nghiệm của phương trình: ln( x 2 − 6 x + 7) = ln( x − 3) A. 7 . B. 25. C. 29. D. 49 . Tư duy: Đây là phương trình logarit quen thuộc : log a u ( x ) = log a v ( x ) được mở rộng từ phương trình logarit cơ bản. Việc giải phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của logarit để tránh sai lầm. Lời giải x −3> 0 Ta có: ln( x − 6 x + 7) = ln( x − 3) �� 2 x =5 2 x − 6x + 7 = x − 3 Do đó chọn đáp án B Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi không chú ý điều kiện xác định của logarit dẫn đến không loại nghiệm và chọn phương án sai C, hoặc xử lí không tốt dẫn đến chọn phương án sai A, D. Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên cũng không nhanh hơn cách giải tự luận. Ví dụ 4. Tìm nghiệm của bất phương trình log 1 ( 3 x − 1) 3 . 2 3 3 1 3� � �1 3 � A. x . B. x . C. x � ; �. D. x ; ￺ . 8 8 3 � �8 � 8� 3 Tư duy: Đây là bất phương trình logarit cơ bản : log a u ( x ) b được mở rộng từ bất phương trình logarit cơ bản. Việc giải bất phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của logarit và cơ số để tránh sai lầm. 9
Lời giải 3x − 1 > 0 �1 3 � Ta có: log 1 ( 3x − 1) �� 3 3 �1 � x ; ￺ 2 3x − 1 � � �3 8 � �2 � Do đó chọn đáp án D Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi không chú ý điều kiện xác định của logarit và cơ số logarit dẫn đến chọn phương án sai. Bài toán giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) bằng cách thử nghiệm và loại trừ đáp án, tuy nhiên cũng không nhanh hơn cách giải tự luận. Nhiệm vụ giải pháp: Tổng hợp giải toán các dạng cơ bản tương tự như các ví dụ trên và chỉ ra các sai lầm thường gặp. 2 .GP2: Hướng dẫn học sinh phát hiện nhanh phương pháp . Ví dụ 5. Tính tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 2 log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x = . 3 82 80 A. . B. . C. 9 . D. 0 . 9 9 Tư duy: Việc xuất hiện log 3 x;log 9 x;log 27 x;log 81 x giúp học sinh liên hệ tới phương pháp đặt ẩn phụ logarit t = log a x, a { 3;9;27;81} . Tùy kinh nghiệm học sinh mà việc chọn cơ số thuận lợi cho biến đổi giải toán. Lời giải Đặt: t = log81 x � x = 81t 2 t = 0,5 Pt trở thành: ( log 3 81 .log 9 81 .log 27 81 ) t = � 16t 4 = 1 � t t t 3 t = −0,5 Khi đó : x = 9 và x = 1 . Do đó chọn đáp án A 9 Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ t = log81 x lại cho thêm điều kiện t > 0 nên chọn C là phương án sai. 10
Nguyên nhân là chưa nắm vững thao tác đặt ẩn phụ cho biểu thức mũ và logarit. Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên không nhanh hơn cách giải tự luận. Phương trình ( 3 + 5 ) + ( 3 − 5 ) = 3.2 x có hai nghiệm x1 ; x2 . Giá trị biểu x x Ví dụ 6. thức A = x12 + x22 bằng bao nhiêu? A. 9. B. 13. C. 1. D. 2. Tư duy: Việc xuất hiện (3 5 ) x , (3 5 ) x , 2 x , ta nghĩ ngay đến −1 3 − 5 �3 + 5 � =� � 2 � � 2 � � x �3 + 5 � Chia 2 vế cho 2 đưa về phương trình bậc hai ẩn là � x � 2 � �. � � −1 3+ 5 3− 5 3 − 5 �3 + 5 � ( Lời giải. Nhận xét 3 + 5 3 − 5 = 4 � 2 )( . 2 =1� ) 2 =� � 2 � �. � � x x 2x x �3 + 5 � �3 − 5 � �3 + 5 � �3 + 5 � Do đó: � � 2 � �+ � � 2 � �= 3 � � � 2 � � − 3. � � 2 � �+ 1 = 0 � � � � � � � � x �3 + 5 � 3 + 5 � � 2 � �= 2 x =1 � � � � . x �3 + 5 � 3 − 5 x = −1 � � 2 � �= 2 � � Vậy A = 2. Chọn D. . Cho hàm số f ( x ) = 2 x.7 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?. 2 Ví dụ 7 A. f ( x ) < 1 � x + x log 2 7 < 0. B. f ( x ) < 1 � x ln 2 + x ln 7 < 0. 2 2 C. f ( x ) < 1 � x log 7 2 + x 2 < 0. D. f ( x ) < 1 � 1 + x log 2 7 < 0. [3] Tư duy: Đây là bài toán dạng biến đổi bất phương trình bằng phương pháp logarit hóa .Từ đó kiểm tra cẩn thận các đáp án để chỉ ra khẳng định sai. Lời giải Khi logarit hóa hai vế cần chú ý tới cơ số a ( 0;1) hay a > 1 để biến đổi đúng. Đáp án A đúng , vì logarit hai vế với cơ số a = 2 > 1 nên không đổi chiều BPT, và các biến đổi sau đó là đúng. Đáp án B đúng, vì logarit hai vế với cơ số a = e > 1 nên không đổi chiều BPT, và các biến đổi sau đó là đúng. 11
Đáp án C đúng, vì logarit hai vế với cơ số a = 7 > 1 nên không đổi chiều BPT, và các biến đổi sau đó là đúng. Đáp án D sai, vì logarit hai vế với cơ số a = 2 > 1 nên không đổi chiều BPT, nhưng biến đổi sai lầm khi rút gọn x . Nhận xét Đây là một câu hỏi khá hay của đề BGD, một số học sinh rất lúng túng không tìm được cách giải thích. Một số học sinh dùng MTCT thử giá trị để tìm phương án sai nhưng lại gặp bất lợi khi thói quen chọn x > 0 . Ví dụ 8. Bất phương trình 4 x2 − 2( x+1) 2 x + 1 − x 2 có tập nghiệm là đoạn [ a; b ] . 2 Tính a 2 + b 2 . A. 6 B. 1 C. 2 D. 5 Tư duy: Việc xuất hiện hàm mũ có tính chất tương tự và hàm đa thức giúp học sinh liên hệ tới phương pháp hàm số. Đây là câu hỏi tương đối rõ ràng về phương pháp giải toán. Lời giải 2( x +1) (x 1) f ( 2x2 ) (( x 1) ) với hàm đặc trưng 2 2 2 2 Bpt �+22=x + +2+x 2 f f ( t ) = 2t + t đồng biến trên R. ( x 1) [ a; b ] , a = 1 − 2 Bpt + � 2 −− x 2�� x2 2x 1 0 x 2, b = 1 + 2 Khi đó a 2 + b 2 = 6 . Do đó chọn đáp án A Nhận xét Bài toán này tương đối rõ ràng về phương pháp giải toán, trong thực tế học sinh nắm vững cách nhận diện phương pháp sẽ làm rất nhanh. Ví dụ 9. Tổng T tất cả các nghiệm của phương trình log 3 (5 3 x ) x 0 (1) là : A. 2. B. 0. C. 4 . D. 1. Tư duy. Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai l ầm khi không chú ý điều kiện xác định của logarit và cơ số logarit dẫn đến chọn phương án sai. Chú ý đến yêu cầu của bài toán là tính tổng các ngiệm . Lời giải. Đk . 5 3 x 0 x log 3 5 5 21 3x 1 2 Ta có (1) log 3 (5 3 x ) x 5 3x 32 x 5.3 x 1 0 3x 5 21 3x 2 3 x1 x2 3 x1 .3 x2 1 x1 x2 log 3 1 0 12
Ví dụ 10. T ập hợp các giá trị của tham số m để phương trình 6 (3 m).2 m 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). x x A. 3;4 ; B. 2;4 ; C. 2;4 ; D. 3;4 . Tư duy: Việc xuất hiện hàm mũ có tính chất tương tự ,không đưa được về cùng cơ số nên giúp học sinh liên hệ tới phương pháp hàm số bằng cách cô lập tham số .Đây là câu hỏi tương đối rõ ràng về phương pháp giải toán. 6 x 3.2 x B. Lời giải .Ta có 6 x (3 m).2 x m 0 m 2x 1 6 x 3.2 x Xét f (x) xác định trên R , có f ' ( x) 0, x R , nên hàm số f(x) đồng 2x 1 biến trên R . 0 x 1 f (0) f ( x) f (1) 2 f ( x) 4 Chọn C . Cho a là số thực dương thỏa mãn a 1 và bất phương trình Ví dụ 11 15 2log a ( 23 x − 23) > log a ( x 2 + 2 x + 15 ) nhận x = làm một nghiệm. Tìm tập 2 nghiệm của bất phương trình. � 17 � � 19 � A. S = ( 2;8 ) B. S = � 1; � C. S = �− ; � D. S = ( 2;19 ) . � 2� � 2� Tư duy: Nhận thấy bất phương trình giải được bằng phương pháp biến đổi đưa về cùng cơ số. Vấn đề cần giải quyết là cơ số như thế nào ?. Lời giải 15 Vì bpt nhận x = làm một nghiệm nên: 2 299 345 299 345 2log a > log a � log a > log a � a >1 2 4 2 4 Khi đó: Bpt � log a ( 23 x − 23) > log a ( x + 2 x + 15 ) � 23 x − 23 > x + 2 x + 15 . 2 2 � x 2 − 21x + 38 < 0 � x �( 2;19 ) Do đó chọn đáp án D Nhận xét 15 Bài toán này một số học sinh gặp khó khăn khi xử lí nghiệm x = của bất 2 phương trình để thu được a > 1 . Một số học sinh sử dụng MTCT cũng cho kết quả nhanh. 3 .GP3: Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán. 13
Kĩ năng MTCT 1: Thử giá trị để chọn đáp án trả lời. Ví dụ 12. Tìm tập nghiệm S của phương trình log 2 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) = 1 2 �3 + 13 � A. S = { 2 + 5} B. S = { 2 − 5; 2 + 5} C. S = { 3} D. S = � � � � 2 � Tư duy: Đây là một câu hỏi cơ bản trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng MTCT là rất khả thi. Hướng dẫn dùng MTCT Bước 1: Nhập hàm số vế trái vào MTCT Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC), thử từng đáp án để chọn phương án trả lời. Phương án đúng là A Nhận xét Trong thực tế dạy học, thời gian để học sinh giải bằng MTCT và tự luận là tương đương nhau. Nhưng sử dụng MTCT có ưu điểm hơn cho các học sinh trung bình trở xuống, vì nếu làm tự luận các em vẫn gặp sai lầm khi không xét điều kiện xác định cho phương trình và biến đổi sai. Ví dụ 13. Đề HSG tỉnh Nghệ AN năm 20192020. Giải phương trình 2009 x ( x 2 1 x) 1 . Tư duy: Đây là câu hỏi tự luận trong đề thi HSG tỉnh ,nên vấn đề tìm ra phương pháp tư duy cho bài toán này bằng cách thử nghiệm bằng MTCT rất hiệu quả ,để tìm ra hướng giải phù hợp cho bài tự luận . Hướng dẫn dùng MTCT Bước 1: Chuyển về vế trái rồi nhập hàm số vế trái vào MTCT Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC) cho nghiệm x = 0 là nghiệm duy nhất Lời giải. Xét x f ( x) 2009 x ( x 2 1 x) 1 f ' ( x) 2009 x . ln 2009.( x 2 1 x) 2009 x .( 1) 2 x 1 1 2009 x ( x 2 1 x)(ln 2009 ) x2 1 2 1 Vì x 1 x 0 x2 1 1 ln 2009 f ' ( x) 0, x R f ( x ) đồng biến trên R. Và f(0) = 0 . Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 14
Nhận xét. Dùng MTCT để thử nghiệm ta có thể giúp HS tư duy cách giải nhanh hơn bằng phương pháp hàm số . Ví dụ 14 .Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức 3x + a x 6x + 9x đúng với mọi số thực x .Mệnh đề nào sau đây đúng ?. A. a ( 10;12] B. a ( 16;18] C. a ( 14;16] D. a ( 12;14] Tư duy: Đây là một câu tương đối lạ và khó, việc thử giá trị bằng MTCT là cách giải dễ nhận thấy khi làm TNKQ cho bài toán này. Hướng dẫn dùng MTCT Ta có: a x �6+x −۳9 x 3x ax f ( x ) với f ( x ) = 6 x + 9 x − 3x ( vì có a > 1 ) Bước 1: Nhập hàm số f ( x ) = 6 x + 9 x − 3x vào MTCT Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC): Thay x = 1 ta được f ( 1) = 12 nên a 12 1 �1 � Thay x = ta được : f � � 1,029247799 nên 100 100 � � 1 ( 1,029247799 ) 100 a 100 �1,029247799 � a 17,8646578 Do đó chọn đáp án B Nhận xét Trong thực tế dạy học, học sinh không có hướng giải tự luận cho câu vận dụng cao này. Tuy nhiên, khi sử dụng MTCT để khảo sát giá trị thì rất nhiều học sinh đi đến được đáp án cần chọn. Việc sử dụng MTCT chọn giá trị cũng cho học sinh trải nghiệm rất tốt, khi học sinh dùng chức năng TABLE để khảo sát giá trị f ( x ) trên các khoảng đặc trưng khác nhau và tìm giá trị x hợp lí. Trên cơ sở sử dụng MTCT, học sinh có lời giải tự luận như sau: Từ thực hành MTCT dự đoán a = 18 , và tiến hành chứng minh bđt: 3x + 18 x 6 x + 9 x đúng với mọi số thực x . x x x 0 3x ( 3x − 1) ( 2 x − 1) �0 (10) Chứng minh: 3 − 6 + 18 − 9 �� x Do (a) đúng với x = 0 và 3x − 1,2 x − 1 cùng dấu với mọi x khác 0 nên (10) đúng với mọi số thực x . Ví dụ 15. Tập hợp các giá trị m để phương trình ln(3x mx 1) ln( x 2 4 x 3) Có nghiệm là nửa khoảng a; b . Tổng a + b bằng . 15
10 22 A. . B. 4. C. . D. 7 . 3 3 Tư duy: Đây là một câu hỏi về tìm giá trị tham số ,để ứng dụng được MTCT ta đưa về bài toán cô lập tham số . Lời giải :Ta có : 1 x 3 2 x2 4x 3 0 ln(3 x mx 1) ln( x 4 x 3) x2 x 4 3x mx 1 x2 4x 3 m x x2 x 4 Xét hàm số g ( x) trên khoảng ( 1; 3) bằng MTCT tìm Min ,Max của x g(x) trên khoảng (1;3) Phương trình có nghiệm khi min g ( x) m max g ( x) trên khoảng (1;3) 3 m 4 a b 7 . Chọn D. Ví dụ 1 6. Số nghiệm của phương trình 2 x 2 x 7 là: A.0; B. 3; C. 2 ; D. 1. Tư duy: Đây là một câu hỏi cơ bản trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng MTCT là rất khả thi. Hướng dẫn dùng MTCT Bước 1: Nhập hàm số vế trái vào MTCT Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC), thử từng đáp án để chọn phương án trả lời. Phương án đúng là C. 1 1 1 1 7600 Ví dụ 17. Số nghiệm của phương trình log x log 2 x log 4 x log 8 x 2 2 2 2 9009 ( 1) bằng: A.4 ; B. 3 . C. 2 . D.1 . Tư duy: Việc xuất hiện log 2 x, log 2 2 x, log 2 4 x, log 2 8 x, giúp học sinh liên hệ tới phương pháp đặt ẩn phụ logarit t = log 2 x, với điều kiện là x > 0. Tùy kinh nghiệm học sinh mà việc chọn cơ số thuận lợi cho biến đổi giải toán. Lời giải 1 1 1 1 7600 Đặt: t log 2 x . Phương trình trở thành (2) t t 1 t 2 t 3 9009 Sử dụng chức năng SHIFT CALC của MTCT ta tìm được nghiệm của phương trình ( 2) như sau : 16
t 3,5 t 0,474112585 t 1,591971642 Từ đây dễ dàng ta suy ra các nghiệm x t 2,692336843 Khi đó : x 0,154712659; x 0,33717809; x 0,719909476; x 11,3137085 . Do đó chọn đáp án A Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ t = log 2 x, lại cho thêm điều kiện t > 0 nên chọn D là phương án sai. Nguyên nhân là chưa nắm vững thao tác đặt ẩn phụ cho biểu thức mũ và logarit. Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) nhanh hơn nhiều so với cách giải tự luận . Như vậy MTCT không chỉ hỗ trợ tích cực trong giải toán TNKQ mà trong một số tình huống còn định hướng giải toán tự luận. Kĩ năng MTCT 2: Loại trừ đáp án bằng phép chọn. Ví dụ 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 22 x − 2log 2 x + 3m − 2 < 0 có nghiệm thực. 2 A. m < 1 B. m < C. m < 0 D. m 1 3 Tư duy: Đây là một câu hỏi trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng MTCT là có hiệu quả cho học sinh. Hướng dẫn dùng MTCT 2 Bước 1: Chọn giá trị m = ta có bpt: log 22 x − 2log 2 x < 0 � 0 < log 2 x < 2 (1) 3 2 Thử MTCT thấy x = 2 là nghiệm nên m = là một giá trị cần tìm. 3 Khi đó: Đáp án B và C bị loại Bước 2: Chọn giá trị m = 1 ta có bpt: log 22 x − 2log 2 x + 1 < 0 � ( log 2 x − 1) < 0 2 Bpt thu được vô nghiệm nên m = 1 không là giá trị cần tìm. 17
Khi đó: Đáp án D bị loại. Bước 2: Đáp án chọn là A Nhận xét Trong thực tế dạy học, đây là câu hỏi mà việc giải bằng MTCT có ưu điểm rõ rệt so với cách làm tự luận. Học sinh có nhiều cách chọn cho tham số m và hình thành kĩ năng thử ngược để loại trừ đáp án. Ví dụ 19.Tìm các giá trị thực m để phương trình log 32 x m log 3 x 2m 7 0 có 2 nghiệm thực x1 , x 2 thỏa mãn x1 .x 2 81 . A. m 4 B. m 44 . C. m 81 . D. m 4 Tư duy: Đâycũng là một câu hỏi trong đề thi của BGD năm 2017 , việc thử nghiệm bằng MTCT là có hiệu quả cho học sinh. Lời giải: Từ x1 .x 2 81 lấy log cơ số 3 cả 2 vế log 3 x1 x 2 log 3 81 log 3 x1 log 3 x 2 4 m 4 Lấy m = 4 thay vào pt dùng MTCT tìm nghiệm . Kĩ năng MTCT 3: Khảo sát miền giá trị. Ví dụ 20.. Cho phương trình 4 x +1+ 3− x − 14.2 x +1+ 3− x + 8 − m = 0 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm. 13 A. −41 m 32. B. −12 m . 9 C. −41 m −32. D. −12 m 1. Tư duy: Đây là một câu hỏi mức độ Vận dụng trong đề thi của trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2018 . Việc sử dụng MTCT để giải toán có hiệu quả hơn giải tự luận, sau khi học sinh biết cô lập tham số. Hướng dẫn dùng MTCT Cô lập tham số ta được: m = f ( x ) Bước 1: Mở chức năng TABLE trong MTCT và nhập hàm f ( X) =4 X +1+ 3− X − 14.2 X +1+ 3− X +8 4 Chọn: Start: X = −1 , End : X = 3 , Step: 29 Bước 2: Căn cứ bảng giá trị trên MTCT ta thu được: a m b. 18
a −40,99999983 , b = −32 . Do đó chọn phương án C Nhận xét Trong thực tế dạy học, đây là câu hỏi mà việc giải bằng MTCT có ưu điểm rõ rệt so với cách làm tự luận. Một số học sinh thực hiện hai lần quy trình trên khi thêm bước ẩn phụ t = x + 1 + 3 − x để đơn giản khi dùng MTCT. Ví dụ 21 . Cho phương trình 2 x m log 2 ( x m) ,m là tham số . Có bao nhiêu giá trị nguyên m 18;18 để phương trình đã cho có nghiệm . A.17. B. 18. C. 9 . D. 19. Tư duy: Đây là một câu hỏi mức độ Vận dụng trong đề thi THPTQG năm 2018 . Việc khảo sát miền giá trị để giải toán có hiệu quả hơn sau khi học sinh biết cô lập tham số. Lời giải .Đk x m 2x m t Đặt t log 2 ( x m) t 2x x 2t t (1) 2 m x Do hàm số f (u ) 2 u u đồng biến trên R, nên t x m x 2x Khảo sát miền giá trị của hàm số g ( x) x 2 x bằng MTCT thấy g ( x) 0,914 Do m nguyên thuộc khoảng ( 18; 18 ) nên m 17, 16,..... 1 có 17 giá trị thỏa mãn. 4 .GP4: Kĩ thuật “chuyển về phương trình”. Giải bất phương trình bằng kĩ thuật “chuyển về phương trình” được thực hiện theo thuật toán sau: Bước 1: Tìm tập xác định D của bpt. Chuyển bpt về dạng: f ( x) 0 (hoặc dạng tương ứng) Bước 2: Giải phương trình f ( x) = 0 Bước 3: Xét dấu của f ( x) trên tập xác định D dựa vào định lí (*). Kết luận nghiệm cho bài toán. Ví dụ 22.Giải bất phương trình: log x + log x + 35 − x > log 3 3 3 ( ) 30 35 − x3 ta được tập nghiệm là khoảng ( a; b ) . Tính S = a 3 + 2b 2 A. S = 8 . B. S = 26 . C. S = 10 . D. S = 28 . Tư duy: Bài toán này nếu giải trực tiếp bpt thì phải xét điều kiện và việc giải 3 3 3 ( 3 ) bpt thu được: x. 35 − x x + 35 − x > 30 cũng gặp nhiều khó khăn và tốn thời 19
gian nhiều. Dùng kĩ thuật “chuyển về phương trình”, việc giải toán nhẹ nhàng và thích hợp với thi TNKQ. Lời giải Bước1: Tập xác định bpt: D = ( 0; + ) bpt � log � ( x x + 3 35 − x 3 �> log � � 3 30 ) 35 − x 3 � x 3 35 − x 3 x + 3 35 − x 3 − 30 > 0 ( ) ( ) � f ( x ) > 0 , với f ( x ) = x 3 35 − x 3 x + 3 35 − x3 − 30 trên D = ( 0; + ) Bước 2: Giải phương trình: x. 35 − x x + 35 − x − 30 = 0 . 3 3 3 3 ( ) Đặt : y = 3 35 − x 3 . xy ( x + y ) = 30 xy ( x + y ) = 30 xy = 6 Ta có hệ pt: �3 � � � � ( x + y ) − 3xy ( x + y) = 35 3 x + y 3 = 35 x+ y=5 x=2 x=3 Khi đó: hoặc y=3 y=2 Giải và kiểm tra, ta được nghiệm phương trình f ( x) = 0 là: x = 3 và x = 2 Bước 3: Lập bảng xét dấu của f ( x) trên D = ( 0; + ) x 0 2 3 + f(x) − 0 + 0 − Căn cứ bảng xét dấu, Tập nghiệm của bpt là: ( 2;3) Do đó chọn đáp án B Nhận xét Đây là một kĩ thuật giải toán nhanh bpt, rất phù hợp với thi TNKQ. Qua kĩ thuật này, thực sự học sinh thấy được mối quan hệ biện chứng giữa pt và bpt. Từ bài giải, học sinh có thể đọc được tập nghệm của bpt còn lại một cách nhanh chóng và nhận thấy việc giải bpt thực chất là xét dấu của biểu thức tương ứng trên tập xác định. 5 GP5: Hướng dẫn học sinh xử lí các bài toán chứa tham số . Hướng xử lí 1: Các bài toán xử lí bằng MTCT. 20