intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Phương trình đường tròn

Chia sẻ: Nguyễn Văn Hùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST
Báo xấu
364
lượt xem 119
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về Phương trình đường tròn

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình đường tròn

  1. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN I- LÝ THUYẾT: 1. Phương trình đường tròn: Dạng 1: Phương trình đường tròn ( C ) có tâm I (a; b) , bán kính R > 0 : I R ( x - a) + ( y - b) = R 2 2 2 Dạng 2: Phương trình tổng quát: x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 (*) có tâm I (a; b) , bán kính R = a 2 + b 2 - c Lưu ý: Điều kiện để (*) là phương trình của một đường tròn là: a 2 + b 2 - c > 0 THUẬT TOÁN Lập phương trình đường tròn Bước 1: Xác định tâm I (a; b) của ( C ) . Bước 2: Xác định bán kính R > 0 . Kết luận: Phương trình đường tròn ( C ) có tâm I (a; b) , bán kính R > 0 : ( x - a) + ( y - b) = R2 2 2 Nhận xét: Phương trình (*) hoàn toàn xác định nếu biết các hệ số a, b, c . Như vậy chúng ta cần 3 giả thiết để xác định a, b, c . 2. Tiếp tuyến của đường tròn: x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 a. Tiếp tuyến của ( C ) tại M 0 ( x0 ; y0 ) ( M 0 : tiếp điểm) I Tiếp tuyến của ( C ) tại M 0 ( x0 ; y0 ) có phương trình: R xx0 + yy0 - a ( x + x0 ) - b( y + y0 ) + c = 0 M0 (CT phân đôi toạ độ)  D Nhận xét: Râ rµng tiÕp tuyÕn  ®i qua M 0 ( x0 ; y0 ) vµ cã 1 vect¬ ph¸p IM 0  ( x0 a; y0 b) : (a  x0 )  x  x0   (b  y0 )( y  y0 )  0 b. Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng D : ax + by + c = 0 là tiếp tuyến của ( C ) Û d ( I ; D ) = R Lưu ý: Để tiện trong việc tìm phương trình tiếp tuyến của ( C ) , chúng ta không nên xét phương trình đường thẳng dạng y = kx + m (tồn tại hệ số góc k ). Vì như thế dẫn đến sót trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng x = C (không có hệ số góc). Nhắc: * §­êng th¼ng y  kx  m cã hÖ sè gãc k . * §­êng th¼ng x  C (vu«ng gãc Ox) kh«ng cã hÖ sè gãc. Do ®ã, trong qu¸ tr×nh viÕt pt tiÕp tuyÕn víi (C) tõ 1 ®iÓm M 0 ( x0 ; y0 ) (ngoµi (C)) ta cã thÓ thùc hiÖn b»ng 2 p.ph¸p: * Ph­¬ng ph¸p 1: Gäi ®­êng th¼ng bÊt k× qua M 0 ( x0 ; y0 ) vµ cã h.s.g k: y  y0  k ( x  x0 ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  2. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 ¸p dông ®k tiÕp xóc, gi¶i ®­îc k. * NÕu kÕt qu¶ 2 hÖ sè gãc k (t­¬ng øng 2 t.tuyÕn), bµi to¸n gi¶i quyÕt xong. * NÕu gi¶i ®­îc 1 h.g.gãc k, th× xÐt ®­êng th¼ng x  x 0 (®©y lµ tiÕp tuyÕn thø hai).    * Ph­¬ng ph¸p 2: Gäi n (a; b) a 2  b 2  0 lµ 1 v.t ph¸p cña ®.th¼ng  ®i qua M 0 ( x0 ; y0 ) a ( x  x0 )  b( y  y0 )  0 ¸p dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, ta ®­îc 1 ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai theo a, b. Nhận xét: Ph­¬ng ph¸p 2 tá ra hiÖu qu¶ vµ khoa häc h¬n. 3. Vị trí tương đối của hai đường tròn-Số tiếp tuyến chung: Cho hai đường tròn ( C1 ) có tâm I1 , bán kính R1 và ( C2 ) có tâm I 2 , bán kính R2 . Trường hợp Kết luận Số tiếp tuyến chung ( C1 ) không cắt ( C2 ) 4 (ngoài nhau) I1 I2 R 1 R 2 R1 + R2 < I1I 2 ( C1 ) tiếp xúc ngoài với 3 I1 I2 ( C2 ) R1 R2 R1 + R2 = I1I 2 ( C1 ) cắt ( C2 ) tại hai điểm 2 phân biệt I1 I2 R1 R2 R1 + R2 > I1I 2 > R1 - R2 ( C1 ) tiếp xúc trong với 1 R I1 I2 ( C2 ) 1 R 2 R1 - R2 = I1I 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  3. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 ( C1 ) không cắt ( C2 ) 0 (lồng vào nhau) R1 I1 R 2 I2 R1 - R2 < I1I 2 VẤN ĐỀ 1: Nhận dạng 1 phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn. Phương pháp: Cách 1: Đưa phương trình về dạng x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 (1) ìïT©m I (a; b) Kiểm tra, nếu biểu thức: a 2 + b 2 - c > 0 thì (1) là phương trình đường tròn í îï R = a + b - c 2 2 Cách 2: Đưa phương trình về dạng: ( x - a)2 + ( y - b)2 = m và kết luận. LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Tìm tâm và bán hính nếu có: a) x 2 + y 2 - 6 x + 8 y + 10 = 0 b) x 2 + y 2 + 4 x - 6 y - 12 = 0 c) x 2 + y 2 + 2 x + 4 y + 5 = 0 d ) 2x 2 + 2 y 2 - 4 x + 8y - 2 = 0 e) x 2 + y 2 - 4 y = 0 f ) x 2 + 2 y 2 - 4 x + 8y + 1 = 0 g ) x 2 + y 2 + 2 xy + 4 y - 5 = 0 Bài tập 2: Cho phương trình x 2 + y 2 - 2 mx + 4 my + 6 m - 1 = 0 (1) a. Với giá trị nào của m thì pt(1) là phương trình của đường tròn? b. Nếu (1) là phương trình đường tròn, hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m . Bài tập 3: Cho phương tr×nh : x 2 + y 2 + 6mx - 2(m - 1) y + 11m 2 + 2m - 4 = 0 . a. T×m điều kiện của m để pt trªn là l ph­¬ng tr×nh đường trßn. b. T×m quỹ tÝch t©m đường trßn. Bài tập 4: Cho phương trình: x 2  y 2 2(cosa  1) x 2(sin a 1) y 2  0 . a. Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph­¬ng tr×nh trªn lµ p.tr×nh cña mét ®­êng trßn. b. T×m gi¸ trÞ a ®Ó ®­êng trßn cã b¸n kÝnh nhá nhÊt, lín nhÊt. c. T×m quü tÝch t©m ®­êng trßn, khi a thay ®æi trªn ®o¹n  0 0 ;1800  .   Bài tập 5: Cho phương tr×nh (Cm ) : x + y + 2(m - 1) x - 2(m - 3) y + 2 = 0 . 2 2 a. T×m m để (Cm ) là phương tr×nh của một đường trßn. b. T×m m để (Cm ) là đường trßn t©m I (1; -3). Viết phương tr×nh đường trßn. c. T×m m để (Cm ) là đường trßn cã b¸n kÝnh R = 5 2. Viết phương tr×nh đường trßn. d. T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn (Cm ) . Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  4. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp: Cách 1: Tìm tâm I (a; b) , bán kính R > 0 . Suy ra (C) : ( x - a ) + ( y - b ) = R 2 2 2 Cách 2: Gọi phương trình đường tròn: x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 - Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số a, b, c . - Giải hệ phương trình tìm a, b, c . LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a. (C) có tâm I (-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng D : x - 2 y + 7 = 0 . b. (C) có đường kính là AB với A(1;1), B(7;5) Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm với A(1;4), B (-7;4), C(2; -5) . Bài tập 3: Cho 3 điểm A(1;2), B (5;2), C(1; -3) . a. Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC. b. Xác định tâm và bán kính của (C). Bài tập 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(1;5), B (4; -1), C(-4; -5) Bài tập 5: Lập phương trình đường tròn (C), có tâm I (2;3) trong các trường hợp sau: a. (C) có bkính là 5 b. (C) qua điểm A(1;5) . c. (C) tiếp xúc với trục Ox d. (C) tiếp xúc với trục Oy e. (C) tiếp xúc với đường thẳng D : 4 x + 3y - 12 = 0 Bài tập 6: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(-1;2), B (-2;3) và có tâm ở trên đường thẳng D : 3 x - y + 10 = 0 . Gợi ý:   Cách 1: Gọi I (a;3a + 10) Î Δ . Do (C) qua A, B nên IA = IB ( = R ) Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB. Bước 2: Tâm I của (C) là giao điểm của d và Δ . Bài tập 7: Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(1;2), B (3;4) và tiếp xúc với đường thẳng D : 3x + y - 3 = 0 . Gợi ý: Cách 1: Gọi I (a; b) là tâm đường tròn. ìï IA = IB Theo giả thiết: í Þ giải ra I. îïd ( I ;Δ ) = IA Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB. Bước 2: Gọi tâm của (C) là I Î d (tọa độ 1 ẩn). Do Δ tiếp xúc với (C) nên d ( I ;Δ ) = IA Þ giải ra I. Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn (C) đi điểm M (4;2) và tiếp xúc với các trục toạ độ. Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  5. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Gọi I (a; b) là tâm của (C). Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên a = b = R . TH 1: a = b Þ I (a; a ), R = a Phương trình (C): ( x - a ) + ( y - a ) = a 2 2 2 éa = 2 Do M (4;2) Î ( C ) Û ( 4 - a ) + ( 2 - a ) = a 2 Û a2 - 12 a + 20 = 0 Û ê 2 2 ë a = 10 Vậy có 2 đường tròn: ( C1 ) : ( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 4 và ( C2 ) : ( x - 10 ) 2 + ( y - 10 ) 2 = 100 . TH 2: a = -b Þ I (a; - a ), R = a Phương trình (C): ( x - a ) + ( y + a ) = a 2 2 2 Do M (4;2) Î ( C ) Û ( 4 - a ) + ( 2 + a ) = a 2 Û a 2 - 4 a + 20 = 0 v« nghiÖm 2 2 Bài tập 9: Cho 3 đường thẳng: D1 : 3 x + 4 y - 1 = 0, D 2 : 4 x + 3 y - 8 = 0, d : 2 x + y - 1 = 0 . Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng d và (C) tiếp xúc với D1 , D 2 . Gợi ý: Cách 1: Gọi I (a;1 - 2a ) Î d là tâm của đường tròn (C). Do D1 , D 2 là các tiếp tuyến của (C) nên suy ra: d ( I ; D1 ) = d ( I ; D 2 ) Þ giải ra I. Cách 2: Bước 1: Lập phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng D1 và D2 . 3x + 4 y - 1 4 x + 3y - 8 = Û 3x + 4 y - 1 = 4 x + 3y - 8 32 + 42 42 + 32 é3 x + 4 y - 1 = 4 x + 3 y - 8 éT : x - y - 7 = 0 Ûê Ûê 1 ë3 x + 4 y - 1 = - ( 4 x + 3 y - 8 ) ë T2 : 7 x - 7 y - 9 = 0 Bước 2: Tâm I của đường tròn tương ứng là giao điểm của d và T1, T2 . Bài tập 10: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(0;1), B(2; 3) và có bán kính R5. Gợi ý: Cách 1: ì IA = IB Gọi I (a; b) là tâm đường tròn (C). Theo giả thiết í î IA = R = 5 Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của AB. Bước 2: Gọi I Î d (tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết IA = 5 Þ giải ra I. Bài tập 11: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I (1;1) , biết đường thẳng : 3 x 4 y  3  0 cắt (C) theo dây cung AB với AB  2. Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  6. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 2 AB 2 Dễ thấy R = éë d ( I ;Δ ) ûù + 4 Bài tập 12: (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có A(0;2), B (-2; -2) và C (4; -2) . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Viết phương trình đường tròn qua các điểm H, M, N. Gợi ý: Bước 1: Xác định tọa độ M, N. Bước 2: Lập phương trình đường trung trực d của MN. Dễ thấy tâm I của (C) thuộc d . Bước 3: Tâm I của (C) là giao điểm của BH và d . Suy ra IM = R . Bài tập 13: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(1;1) và có bán kính R  10 , tâm (C) nằm trên Ox. Gợi ý: Gọi I (a;0) Î Ox là tâm của (C). Theo giả thiết, IA = 10 , từ đây giải ra I. Bài tập 14: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm M (2;3) và tiếp xúc đồng thời với hai đường thẳng 1 : 3 x 4 y  1  0, 2 : 4 x  3 y 7  0. Gợi ý: ìï IM = d ( I ;Δ1 ) ( = R ) Gọi I (a; b) là tâm của (C). Theo giả thiết í Þ giải ra I. ïîd ( I ;Δ1 ) = d ( I ;Δ 2 ) Bài tập 15: Viết phương trình đường tròn đi qua gốc toạ độ, bán kính R  5 và tiếp xúc với đường thẳng : 2x  y  5  0 . Gợi ý: ìïOI = 5 ( = R ) Gọi I (a; b) là tâm của (C). Theo giả thiết í Þ giải ra I. ïîd ( I ;Δ ) = 5 Bài tập 16: Cho đường thẳng d : x  y 3  0 và đường tròn (C ) : x 2  y 2 7 x  y  0. Chứng minh rằng d cắt (C ) . Hãy viết phương trình đường tròn (C ') đi qua M (3;0) và các giao điểm của d và (C ) . Gợi ý:  x  y 3  0  y  x 3  (1) Xét hệ phương trình:   2     x  y 7 x  y  0  2 2 2  x  y 7 x  y  0 (2) é x = 1 Þ y = -2 A(1; -2) Thay (1) vào (2): x 2 - 7 x + 6 = 0 Û ê ë x = 6 Þ y = -3 B (0; -3) Bài toán trở thành, lập phương trình đường tròn qua ba điểm A(1; -2), B(0; -3) và M (3;0) . (Dùng kỹ năng: Gọi phương trình x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 và thay tọa độ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  7. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Bài tập 17: Cho đường thẳng d : x  y 3  0 và đường tròn (C ) : x 2  y 2  x 7 y  0. Chứng minh rằng d cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Hãy viết phương trình đường tròn (C ') đi qua A, B và có bán kính R  3 . Gợi ý: Xác định các giao điểm A, B của d và (C). ì IA = IB Gọi I (a; b) là tâm của (C ') . Theo giả thiết: í . î IA = 3 Bài tập 18: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm P(1; 1), Q(3;1) và tiếp xúc với đường tròn (C ') : x 2  y 2  4 . Gợi ý: (C ') : x 2  y 2  4 có tâm O(0;0), R = 1 . Lập phương trình đường trung trực Δ của PQ. Gọi I Î Δ (tọa độ 1 ẩn) là tâm của (C) Xét 2 trường hợp: TH 1: (C) và (C’) tiếp xúc ngoài, tức là OI = R1 + R2 Û OI = 1 + IA Þ giải ra I. TH 2: (C) và (C’) tiếp xúc trong, tức là OI = R1 - R2 Û OI = 1 - IA Þ giải ra I. Bài tập 19: Viết phương trình đường tròn có bán kính R  2 , đi qua M (2;0) và tiếp xúc với đường tròn (C ') : x 2  y 2  1. Gợi ý: ì IM = R Gọi I (a; b) là tâm của (C ) . Theo giả thiết: í . Từ đây, giải ra I. î IO = R + 1 Bài tập 20: Viết phương trình đường tròn có bán kính R  2 , và tiếp xúc với đường tròn (C ') : x 2  y 2  1 vµ ®­êng th¼ng y  0 . Gợi ý: Gọi I (a; b) là tâm của (C ) . éb = 2 Ta có, (C) tiếp xúc với Ox nên R = b Û b = 2 Û ê ëb = -2 TH 1: b = 2 Þ I (a;2) . Theo giả thiết IO ' = R1 + R2 . Từ đây, giải ra I. TH 2: b = -2 Þ I (a; -2) . Theo giả thiết IO ' = R1 + R2 . Từ đây, giải ra I. Bài tập 21: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d : y 2  0 tại điểm M (4;2) và tiếp xúc với đường tròn (C ') : x 2  ( y  2) 2  4. Gợi ý: Qua M dựng đường thẳng Δ vuông góc với d . Lúc đó, tâm I Î Δ (tọa độ 1 ẩn). Dễ thấy R = IM TH 1: II ' = R + R ' Û II ' = IM + R ' . Từ đây, giải ra I. TH 2: II ' = R - R ' Û II ' = IM - R ' . Từ đây, giải ra I. Bài tập 22: Cho đường tròn (C ') : x 2  y 2  8 . Viết phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng : x 3  0 và đường tròn (C’) tại điểm M (2;2) . Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  8. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Lập phương trình đường thẳng I ' M . Tâm I Î I ' M (tọa độ 1 ẩn). Ta có: II ' = IM + I ' M Û II ' = d ( I , x - 3) + I ' M . Từ đây, giải ra I. Bài tập 23: (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng d : x - 7 y + 10 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D : 2 x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A(4; 2) . Gợi ý: Tâm I Î Δ (tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết IA = d ( I , d ) . Từ đây, giải ra I. VẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Bài tập 1: Cho đường tròn (C): ( x - 2 ) + ( y - 1) = 25 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 2 2 trong các trường hợp sau: a. Tại điểm M (5; -3) b. Biết tiếp tuyến song song D : 5 x - 12 y + 2 = 0 c. Biết tiếp tuyến vuông góc D : 3x + 4 y + 2 = 0 d. Biết tiếp tuyến đi qua A(3;6) . Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): x 2 + y 2 - 4 x - 2 y = 0 tại giao điểm của (C) và đường thẳng D : x + y = 0 . Bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2 + y 2 - 4 x - 2 y = 0 xuất phát từ A(3; -2) . Gợi ý: (C) có tâm I (2;1) và R = 5 .  Cách 1: Gọi n = ( a; b ) ( a2 + b2 > 0 ) là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm: D : a( x - 3) + b( y + 2) = 0 Û ax + by - 3a + 2b = 0 . 2a + b - 3a + 2b D là tiếp tuyến của (C) Û d ( I ; D ) = R Û = 5 Û 3b - a = 5 ( a2 + b2 ) 2 2 a +b éb ê a = 2 Û b = 2a Û 9b - 6ab + a = 5 ( a + b ) Û 2b - 3ab - 2a = 0 Û ê 2 2 2 2 2 2 êb = - 1 Û b = - 1 a êë a 2 2 TH 1: b = 2a . Lúc đó: D : a( x - 3) + 2a( y + 2) = 0 Û x - 3 + 2( y + 2) = 0 Û x + 2 y + 1 = 0 (do a ¹ 0 ) 1 TH 2: b = - a 2 1 1 Lúc đó: D : a( x - 3) - a( y + 2) = 0 Û x - 3 - ( y + 2) = 0 Û 2 x - y - 8 = 0 (do a ¹ 0 ) 2 2 Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A. D1 : x + 2 y + 1 = 0 , D 2 : 2 x - y - 8 = 0 . Cách 2: Xác đ ịnh tọa độ các tiếp điểm. Gọi M0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến xuất phát từ A và đường tròng (C). ì M0 Î (C ) ìï x02 + y02 - 4 x0 - 2 y0 = 0 Suy ra: í Û í   Từ đây, giải ra hai tiếp điểm… M î 0 A ^ M 0 I ïî M0 A.M0 I = 0 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  9. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Bài tập 4: Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 6 x + 2 y + 6 = 0 và điểm A(1;3) . a. Chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn (C). b. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A. Bài tập 5: Cho đường tròn (C): ( x + 1) + ( y - 2 ) = 9 và điểm M (2; -1) . 2 2 a. Chứng tỏ qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến D1 và D 2 với (C). Hãy viết phương trình của D1 và D 2 . b. Gọi M1 và M2 lần lượt là hai tiếp điểm của D1 và D 2 với (C), hãy viết phương trình M1 M2 . Gợi ý: (C) có tâm I (-1;2) và R = 3 .  a. Ta có IM (3; -3) Þ IM = 3 2 > 3 = R nên M nằm ngoài (C). Vậy từ M tồn tại 2 tiếp tuyến với (C).  Cách 1: Gọi n = ( a; b ) ( a2 + b2 > 0 ) là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm (Như câu trên) Cách 2: Gọi M0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Lúc đó, tiếp tuyến của (C) tại M 0 có dạng D : ( x + 1) ( x0 + 1) + ( y - 2 ) ( y0 - 2 ) = 9 . Mặt khác do D qua M (2; -1) nên: ( 2 + 1) ( x0 + 1) + ( -1 - 2 ) ( y0 - 2 ) = 9 Û x0 - y0 = 0 (1) Do M 0 ( x0 ; y0 ) Î (C ) Û ( x0 + 1) + ( y0 - 2 ) = 9 (2) 2 2 ìï x0 - y0 = 0 é x0 = -1, y0 = -1 Từ (1) và (2), giải hệ: í Ûê ïî( x0 + 1) + ( y0 - 2 ) = 9 2 2 ë x0 = -2, y0 = -2 Suy ra hai tiếp điểm M1 (-1; -1), M2 (-2; -2) TH 1: Tiếp tuyến D1 qua M (2; -1) và M1 (-1; -1) có phương trình: y = -1 . TH 2: Tiếp tuyến D 2 qua M (2; -1) và M2 (-2; -2) có phương trình: x -2 y +1 = Û x - 4y - 6 = 0 . -2 - 2 -2 + 1 b) Theo trên, hai tiếp điểm là M1 (-1; -1), M2 (-2; -2) . x+2 y+2 Cách 1: Phương trình M1 M2 : = Û x - y = 0. -1 + 2 -1 + 2 Cách 2: (Không cần xác định tọa độ M1 , M2 ) Gọi M1 ( x1; y1 ) , M2 ( x2 ; y2 ) . Tiếp tuyến của (C) tại M1 : ( x + 1) ( x1 + 1) + ( y - 2 ) ( y1 - 2 ) = 9 . Mặt khác do D qua M (2; -1) nên: ( 2 + 1) ( x1 + 1) + ( -1 - 2 ) ( y1 - 2 ) = 9 Û x1 - y1 = 0 (3) Tương tự, tiếp tuyến của (C) tại M1 : ( x + 1) ( x2 + 1) + ( y - 2 ) ( y2 - 2 ) = 9 . Mặt khác do D qua M (2; -1) nên: ( 2 + 1) ( x2 + 1) + ( -1 - 2 ) ( y2 - 2 ) = 9 Û x2 - y2 = 0 (4) Từ (3), (4) dễ thấy: M1 , M2 Î D : x - y = 0 hay đường thẳng M1 M2 : x - y = 0 . Bài tập 6: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn: a) (C1 ) : x 2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 và (C2 ) : x 2 + y 2 - 12 x - 6 y + 44 = 0 . Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  10. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 b) (C1 ) : x 2 + y 2 - 2 x - 3 = 0 và (C2 ) : x 2 + y 2 - 8 x - 8 y + 28 = 0 c) (C1 ) : x 2 + y 2 + 2 x - 2 y - 3 = 0 và (C2 ) : 4 x 2 + 4 y 2 - 16 x - 20 y + 21 = 0 d) (C1 ) : x 2 + y 2 = 1 và (C2 ) : x 2 + y 2 - 4 y - 5 = 0 Gợi ý: 6b) (C1 ) : x 2 + y 2 - 2 x - 3 = 0 và (C2 ) : x 2 + y 2 - 8 x - 8 y + 28 = 0 ìïT©m I1 (1;0 ) ìïT©m I 2 ( 4;4 ) Ta có ( C1 ) có í và ( C2 ) có í ïîB¸n kÝnh R1 = 2 ïîB¸n kÝnh R2 = 2  Ta có: I1I 2 = (3;4) Þ I1I 2 = 5 > 4 = R1 + R2 . Vậy ( C1 ) và ( C1 ) ngoài nhau nên tồn tại 4 tiếp tuyến chung cần tìm. Gọi D : ax + by + c = 0 ( a2 + b2 > 0 ) là tiếp tuyến chung của ( C1 ) và ( C2 ) . ì a+c ï =2 ì ïìd ( I1; D ) = R1 ïa+c =2 a +b 2 2 ï a2 + b2 (1) Lúc đó, theo giả thiết: í Ûí Ûí ïîd ( I 2 ; D ) = R2 ï 4a + 4b + c = 2 ïî 4a + 4b + c = 2 a2 + b2 (2) ï a2 + b2 î é a + c = 4a + 4b + c é3a + 4b = 0 Từ (1) và (2) suy ra: a + c = 4a + 4b + c Û ê Ûê ë a + c = - ( 4 a + 4 b + c ) êc = -5a - 4b ë 2 4 TH 1: 3a + 4b = 0 Û a = - b . 3 é 14 4 16 2 4 10b c= b Lúc đó, (1) trở thành: c - b = 2 2 b +b Û c- b = Ûê 3 3 9 3 3 ê ëc = -2b 14 4 4 14 * Với c = b, a = - b tiếp tuyến D1 : - bx + by + b = 0 Û -4 x + 3y + 14 = 0 . 3 3 3 3 4 4 * Với c = -2b, a = - b tiếp tuyến D 2 : - bx + by - 2b = 0 Û -4 x + 3y - 6 = 0 . 3 3 -5a - 4b TH 2: c = . 2 Lúc đó, (1) trở thành: -5a - 4b = 2 a2 + b2 Û 3a + 4b = 4 a2 + b2 Û ( 3a + 4b ) = 4 ( a2 + b2 ) 2 a+ 2 é a = 0 Þ c = -2b Û 9a + 24ab + 16b = 16a + 16b Û a ( 7a - 24b ) = 0 Û ê 2 2 2 2 ê a = 24 b Þ c = - 74 b ë 7 7 * Với c = -2b, a = 0 tiếp tuyến D 3 : by - 2b = 0 Û y - 2 = 0 . 74 24 24 74 * Với c = - b, a = b tiếp tuyến D 4 : bx + by + b = 0 Û 24 x + 7 y - 74 = 0 . 7 7 7 7 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  11. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Kết luận: Vậy tồn tại 4 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: D1 : - 4 x + 3y + 14 = 0 , D 2 : - 4 x + 3y - 6 = 0 , D 3 : y - 2 = 0 , D 4 : 24 x + 7 y - 74 = 0 Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : x 2  y 2  25 , biết rằng tiếp tuyến đó hợp với đường thẳng : x  2 y 1  0 mét gãc a mµ cosa = 2 . 5 Gợi ý: (C) có tâm O(0;0) và R = 5 .  Gọi nd = ( a; b ) ( a2 + b2 > 0 ) là một vectơ pháp của đường thẳng d cần tìm.  Đường thẳng D có một vectơ pháp là nD (1;2) . Do góc giữa đường thẳng d và D là a với cosa  2 nên suy ra: 5   nd .nD a + 2b 2 cosa =   Û = Û a + 2b = 2 a2 + b2 nd . nD a +b 5 2 2 5 éa = 0 Û a + 4ab + 4b = 4 ( a + b ) Û a(4b - 3a) = 0 Û ê 2 2 2 2 êb = 3 a ë 4   TH 1: a = 0 Þ nd = (0; b) ( b ¹ 0 ) , chọn nd (0;1) Þ d : y + m = 0 . m ém = 5 Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: d ( O; d ) = R Û =5Û ê 1 ë m = -5 Vậy trường hợp này có 2 tiếp tuyến: d1 : y + 5 = 0, d2 : y - 5 = 0 . 3  æ 3 ö  TH 2: b = a Þ nd = ç a; a ÷ ( a ¹ 0 ) , chọn nd (4;3) Þ d : 4 x + 3y + n = 0 . 4 è 4 ø n é n = 25 Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: d ( O; d ) = R Û = 5 Û ê 5 ë n = -25 Vậy trường hợp này có 2 tiếp tuyến: d3 : 4 x + 3y + 25 = 0, d4 : 4 x + 3y - 25 = 0 . MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1) (ĐH A-2002) Cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là: 3 x - y - 3 = 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Gợi ý: Ta cã BC Ç Ox = B (1;0). §Æt x A = a ta cã: A(a;0) vµ xC = a Þ yC = 3a - 3 ( VËy C a; 3a - 3 . ) ì 1 ïï xG = 3 ( x A + xB + xC ) æ 2a + 1 3(a - 1) ö Tõ c«ng thøc í Ta cã G ç ; ÷ 1 ïy = ( y + y + y ) è 3 3 ø îï G A B C 3 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  12. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Cách 1: Ta cã: AB = a - 1 , AC = 3 a - 1 , BC = 2 a - 1 1 3 ( a - 1) . 2 Do ®ã: SΔABC = AB. AC = 2 2 3 ( a - 1) 2 2S a -1 Ta cã: r = = = = 2. AB + AB + BC 3 a - 1 + 3 a - 1 3 +1 VËy a - 1 = 2 3 + 2 y C æ7+4 3 6+2 3 ö TH 1: a1 = 2 3 + 3 Þ G1 ç ; ÷ è 3 3 ø æ -1 - 4 3 -6 - 2 3 ö TH 1: a2 = -2 3 - 3 Þ G2 ç ; ÷ I x è 3 3 ø O A Cách 2: Gäi I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp ΔABC. V× r = 2 Þ yI = ±2. B x -1 Ph­¬ng tr×nh BI: y = ( tan 300 ) . ( x - 1) = Þ xI = 1 ± 2 3 3 TH 1: NÕu A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi B th× xI = 1 + 2 3. Tõ d ( I ; AC ) = 2 æ7+4 3 6+2 3 ö Þ a = xI + 2 = 3 + 2 3 Þ G1 ç ; ÷ è 3 3 ø TH 2: NÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi B th× xI = 1 - 2 3. Tõ d ( I ; AC ) = 2 æ -1 - 4 3 -6 - 2 3 ö Þ a = xI - 2 = -1 - 2 3 Þ G2 ç ; ÷ è 3 3 ø æ1 ö 2) (ĐH B-2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ç ;0 ÷ , phương trình đường thẳng AB là: è2 ø x - 2 y + 2 = 0 và AB= 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ âm. Gợi ý: 5 5 Kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn ®­êng th¼ng AB b»ng Þ AD = 5 vµ IA = IB = 2 2 5 Do ®ã A, B lµ c¸c giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng AB víi ®­êng trßn t©m I vµ b¸n kÝnh R = . 2 VËy täa ®é A, B lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh: ìx - 2 y + 2 = 0 ï æ 5 ö . Gi¶i hÖ ®­îc A(-2;0), B (2;2) (v× x A < 0) 2 2 íæ 1ö ïç x - ÷ + y = ç ÷ 2 îè 2ø è2ø Þ C (3;0), D(-1; -2). Lưu ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  13. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Hoµn toµn cã thÓ x¸c ®Þnh täa ®é H lµ h×nh chiÕu cña I trªn ®­êng th¼ng AB. Sau ®ã t×m A, B lµ giao ®iÓm cña ®­êng trßn t©m H b¸n kÝnh HA víi ®­êng th¼ng AB. 3) (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: ( C1 ) : x 2 + y 2 - 10 x = 0, ( C2 ) : x 2 + y 2 + 4 x - 2 y - 20 = 0 a. Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của ( C1 ) , ( C2 ) và có tâm nằm trên đường thẳng x + 6 y - 6 = 0 . b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) . 4) (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: ( C1 ) : x 2 + y 2 - 4 y - 5 = 0, ( C2 ) : x 2 + y 2 - 6 x + 8 y + 16 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) . 5) (Đề dự bị 2002) Cho đường thẳng d : x - y + 1 = 0 và đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 2 x - 4 y = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C ) tại A và B sao cho góc AMB bằng 600 . 6) (ĐH B-2003) Cho tam giác ABC vuông tại A và AB= AC. Biết M (1; -1) là trung điểm cạnh æ2 ö BC và G ç ;0 ÷ là trọng tâm tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. è3 ø 7) (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng d : x - 7 y + 10 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D : 2 x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A(4; 2) . 8) (ĐH D-2003) Cho đường thẳng d : x - y - 1 = 0 và đường tròn ( C ) : ( x - 1) + ( y - 2 ) = 4 . 2 2 Viết phương trình đường tròn ( C / ) đối xứng với đường tròn ( C ) qua đường thẳng d . Tìm toạ độ giao điểm của ( C / ) và ( C ) . Gợi ý: Tõ (C): ( x - 1) + ( y - 2 ) = 4 suy ra (C) cã t©m I (1;2) vµ b¸n kÝnh R = 2. 2 2  §­êng th¼ng d cã vect¬ ph¸p tuyÕn n = (1; -1). Do ®ã ®­êng th¼ng Δ ®i qua x -1 y - 2 I (1;2) vµ vu«ng gãc víi d cã ph­¬ng tr×nh: = Û x + y - 3 = 0. 1 -1 Täa ®é giao ®iÓm H cña d vµ Δ lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh: ìx - y -1 = 0 ìx = 2 í Ûí Þ H (2;1) îx + y - 3 = 0 îy =1 Gäi J lµ ®iÓm ®èi xøng víi I (1;2) qua d . Khi ®ã: ì x J = 2 xH - xI = 3 í Þ J (3;0) y î J = 2 y H - y I = 0 V× (C') ®èi xøng víi (C) qua d nªn (C') cã t©m lµ J (3;0) vµ b¸n kÝnh R = 2. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  14. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 * Täa ®é c¸c giao ®iÓm cña (C) vµ (C') lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh: ìï( x - 1) 2 + ( y - 2 ) 2 = 4 ìï x - y - 1 = 0 ì y = x -1 é x = 1, y = 0 í Û í Û í Û ê x = 3, y = 2 îï( x - 3) + y = 4 2 ïî( x - 3) + y = 4 î2 x - 8 x + 6 = 0 2 2 2 2 ë VËy täa ®é giao ®iÓm cña (C) vµ (C') lµ A(1;0), B (3;2). 9) (ĐH A-2004) Cho hai điểm A(0; 2), B (- 3; -1) . Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. Gợi ý:  + §­êng th¼ng qua O, vu«ng gãc víi BA ( 3;3) cã ph­¬ng tr×nh 3 x + 3 y = 0.  §­êng th¼ng qua B, vu«ng gãc víi OA (0; 2) cã ph­¬ng tr×nh y = -1.  (§­êng th¼ng qua A, vu«ng gãc víi BO( 3;1) cã ph­¬ng tr×nh 3 x + y - 2 = 0 ) Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph­¬ng tr×nh trªn ta ®­îc trùc t©m H( 3; -1). + §­êng trung trùc c¹nh OA cã ph­¬ng tr×nh y = 1. §­êng trung trùc c¹nh OB cã ph­¬ng tr×nh 3 x + y + 2 = 0. (§­êng trung trùc c¹nh AB cã ph­¬ng tr×nh 3x + 3 y = 0 ) Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph­¬ng tr×nh trªn ta ®­îc t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ΔOAB lµ I( - 3;1). 10) (ĐH A-2005) Cho hai đường thẳng d1 : x - y = 0, d 2 : 2 x + y - 1 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d 2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. Gợi ý: V× A Î d1 Þ A ( t ; t ) . V× A vµ C ®èi xøng nhau qua BD vµ B, D Î Ox nªn C (t ; -t ). V× C Î d 2 nªn 2t - t - 1 = 0 Û t = 1. VËy A(1;1), C (1; -1). ì IB = IA = 1 Trung ®iÓm AC lµ I (1;0). V× I lµ t©m cña h×nh vu«ng nªn: í î ID = IA = 1 ì B Î Ox ì B (b;0) ìï b - 1 = 1 ìb = 0, d = 2 MÆt kh¸c: í Ûí Þí Ûí î D Î Ox î D(d ;0) ïî d - 1 = 1 îd = 0, d = 2 Suy ra, B (0;0) vµ D(2;0) hoÆc B (2;0) vµ D(0;0). VËy bèn ®Ønh cña h×nh vu«ng lµ: A(1;1), B (0;0), C (1; -1), D(2;0) hoÆc A(1;1), B (2;0), C (1; -1), D(0;0) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  15. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 11) (ĐH B-2005) Cho hai điểm A(2;0), B (6;4) . Viết phương trình đường tròn ( C ) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của ( C ) đến điểm B bằng 5. Gợi ý: Gäi t©m cña (C) lµ I (a; b) vµ b¸n kÝnh cña (C) lµ R. Ta cã: (C) tiÕp xóc víi Ox t¹i A Þ a=2 vµ b = R. éb = 1 IB = 5 Û ( 6 - 2 ) + ( 4 - b ) = 25 Û b 2 - 8b + 7 = 0 Û ê 2 2 ëb = 7 * Víi a = 2, b = 1 ta cã ®­êng trßn ( C1 ) :( x - 2 ) + ( y - 1) = 1 2 2 * Víi a = 2, b = 7 ta cã ®­êng trßn (C1 ) : (x - 2 ) + ( y - 7 ) = 49 2 2 12) (Đề dự bị 2005) Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 - 12 x - 4 y + 36 = 0 . Viết phương trình đường tròn ( C1 ) tiếp xúc hai trục toạ độ Ox, Oy đồng thời tiếp ngoài với (C). 2 2 Gợi ý: ( C ) Û x 2 + y 2 - 12 x - 4 y + 36 = 0 Û ( x - 6 ) + ( y - 2 ) = 4 Vaäy (C) coù taâm I ( 6,2 ) vaø R=2 Vì ñöôøng troøn ( C1 ) tieáp xuùc vôùi 2 truïc Ox, Oy neân taâm I1 naèm treân 2 ñöôøng thaúng y = ± x vaøvì (C) coù taâm I ( 6,2 ) ,R = 2 neân taâm I1 ( x ; ± x ) vôùi x > 0. TH 1: Taâm I1 Î ñöôøng thaúng y = x Þ I ( x , x ) , baùn kính R1 = x ( C1 ) tieáp xuùc ngoaøi vôùi (C) Û I I1 = R + R1 Û ( x - 6)2 + ( x - 2)2 =2+ x 2 2 Û ( x - 6 ) + ( x - 2 ) = 4 + 4 x + x 2 Û x 2 - 16 x - 4 x + 36 = 0 éx = 2 Û x 2 - 20 x + 36 = 0 Û ê .ÖÙng vôùi R1 = 2 hay R2 = 18 ë x = 18 2 2 Coù 2 ñöôøng troøn laø: ( x - 2 ) + ( y - 2 ) = 4 ; ( x - 18) 2 + ( y - 18) 2 = 18 TH 2: Taâm I1 Î ñöôøng thaúng y = - x Þ I ( x , - x ) ; R1 = x Töông töï nhö treân, ta coù x= 6 2 2 Coù 1 ñöôøng troøn laø ( x - 6 ) + ( y + 6 ) = 36 Kết luận: Toùm laïi ta coù 3 ñöôøng troøn thoûa ycbt laø: ( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 4; ( x - 18) 2 + ( y - 18) 2 = 18; ( x - 6 ) 2 + ( y + 6 ) 2 = 36 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  16. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 13) (Đề dự bị 2005) Cho hai đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 = 9, ( C2 ) : x 2 + y 2 - 2 x - 2 y - 23 = 0 . Viết phương trình trục đẳng phương d của ( C1 ) và ( C2 ) . Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khoảng cách từ K đến tâm của ( C1 ) nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của ( C2 ) . Gợi ý: Ñöôøng troøn ( C1 ) coù taâm O ( 0,0 ) baùn kính R1 = 3 Ñöôøng troøn ( C2 ) coù taâm I (1,1) , baùn kính R 2 = 5 Phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa 2 ñöôøng troøn ( C1 ) , ( C2 ) laø (x 2 ) ( + y 2 - 9 - x 2 + y 2 - 2 x - 2 y - 23 = 0 ) Û x + y + 7 = 0 (d) Goïi K ( xk , yk ) Î ( d ) Û yk = - xk - 7 2 2 2 OK 2 = ( xk - 0 ) + ( yk - 0 ) = xk2 + yk2 = xk2 + ( - xk - 7 ) = 2 xk2 + 14 xk + 49 2 2 2 2 IK 2 = ( xk - 1) + ( yk - 1) = ( xk - 1) + ( - xk - 8) = 2 xk2 + 14 xk + 65 ( ) ( Ta xeùt IK 2 - OK 2 = 2 xk2 + 14 xk + 65 - 2 xk2 + 14 xk + 49 = 16 > 0 ) Vaäy IK 2 > OK 2 Û IK > OK (ñpcm) (Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (C): x2 + y2 -4 x - 6 y - 12 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2 x - y + 3 = 0 sao cho MI = 2R , trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C). Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm I ( 2,3) , R=5 M ( x M ,y M ) Î ( d ) Û 2x M - y M + 3 = 0 Û y M = 2x M + 3 IM = ( x M - 2 ) 2 + ( y M - 3) 2 = 10 Û ( x M - 2 ) 2 + ( 2x M + 3 - 3) 2 = 10 Û 5x2M - 4x M - 96 = 0 é x M = -4 Þ y M = -5 Þ M ( -4, -5) ê Ûê 24 63 æ 24 63 ö xM = Þ yM = Þ Mç , ÷ êë 5 5 è 5 5 ø (Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0;5), B(2; 3) . Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R = 10 . Gợi ý: Gọi I ( a, b ) là tâm của đường tròn (C) 2 2 Pt (C), tâm I, bán kính R = 10 là ( x - a ) + ( y - b ) = 10 2 2 A Î ( C ) Û ( 0 - a ) + ( 5 - b ) = 10 Û a2 + b2 - 10b + 15 = 0 (1) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  17. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 2 2 B Î ( C ) Û ( 2 - a ) + ( 3 - b ) = 10 Û a2 + b2 - 4a - 6b + 3 = 0 (2) (1) và ( 2) ïìa2 + b2 - 10b + 15 = 0 ìa = -1 ìa = 3 Ûí Ûí hay í ïî4a - 4b + 12 = 0 îb = 2 îb = 6 Vậy ta có 2 đường tròn thỏa ycbt là ( x + 1) 2 + ( y - 2 ) 2 = 10 ( x - 3) 2 + ( y - 6 ) 2 = 10 14) (ĐH D-2006) Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 và đường thẳng d : x - y + 3 = 0 . Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn ( C ) , tiếp xúc ngoài với đường tròn ( C ) . Gợi ý: §­êng trßn (C) cã t©m I (1;1) vµ b¸n kÝnh R = 1. V× M Î d nªn M ( x; x + 3). Yªu cÇu cña bµi to¸n t­¬ng ®­¬ng víi: 2 2 éx = 1 MI = R + 2 R Û ( x - 1) + ( x + 2 ) = 9 Û ê ë x = -2 VËy, cã hai ®iÓm M tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: M1 (1;4), M (-2;1). 15) (Đề dự bị 2006) Cho đường thẳng d : x - y + 1 - 2 = 0 và điểm A(-1;1) . Viết phương trình đường tròn ( C ) đi qua A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d . Gợi ý: V× (C) qua O nªn ph­¬ng tr×nh (C): x 2 + y 2 + 2 ax + 2 by = 0 MÆt kh¸c, do A(-1;1) Î (C): 2 - 2 a + 2 b = 0 Û b = a - 1. Lóc ®ã, ph­¬ng tr×nh (C), viÕt l¹i: x 2 + y 2 + 2 ax + 2(a - 1) y = 0 Þ (C) cã t©m I (- a;1 - a) vµ b¸n kÝnh R = 2 a 2 - 2 a + 1 Do (C) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d : x - y + 1 - 2 = 0 nªn R = d (I ; d ) - a - (1 - a) + 1 - 2 2 Û 2a2 - 2a + 1 = = = 1. 2 2 éa = 0 Û 2a2 - 2a = 0 Û ê . ë a = 1 VËy cã hai ®­êng trßn tháa y.c.b.t lµ (C1 ) : x 2 + y 2 - 2 y = 0, (C 2 ) : x 2 + y 2 + 2 x = 0, 16) (ĐH B-2006) Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 - 2 x - 6 y + 6 = 0 và điểm M (-3;1) . Gọi T1 , T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến ( C ) . Viết phương trình đường thẳng T1T2 . Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  18. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 §­êng trßn (C) cã t©m I(1;3) vµ b¸n kÝnh R = 2, MI = 2 5 > R nªn M n»m ngoµi (C). NÕu T ( x0 ; y0 ) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn kÎ tõ M ®Õn (C) th×: ìïT Î (C ) ìïT Î (C ) í   Þ í   îï MT ^ IT îï MT .IT = 0   Ta cã: MT = (x0 + 3; y0 - 1), IT = (x0 - 1; y0 - 3). Do ®ã, ta cã: ìï x02 + y02 - 2 x0 - 6 y0 + 6 = 0 í 2 Þ 2 x0 + y0 - 3 = 0 (1) 2 x ïî 0 + y 0 + 2 x 0 - 4 y 0 = 0 VËy, täa ®é c¸c tiÕp ®iÓm T1 vµ T2 cña c¸c tiÕp tuyÕn kÎ tõ M ®Õn (C) ®Òu tháa m·n ®¼ng thøc (1). Do ®ã, ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng T1T2 : 2 x + y - 3 = 0. 17) (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có A(0;2), B (-2; -2) và C (4; -2) . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Viết phương trình đường tròn qua các điểm H, M, N. Gợi ý:  Ta cã M (-1;0), N (1; -2), AC = (4; -4). Gi¶ sö H ( x; y ), ta cã:   ìï BH ^ AC ì4( x + 2) - 4( y + 2) = 0 ìx = 1 í Ûí Ûí Þ H (1;1) îï H Î AC î4 x + 4( y - 2) = 0 îy = 1 Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn cÇn t×m lµ: x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 (1) Thay täa ®é cña M, N, H vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: ì 1 ï a = - ì2 a - c = 1 2 ï ï ï 1 í2a - 4b + c = -5 Û íb = ï2a + 2b + c = -2 ï 2 î ïc = -2 ï î VËy ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn cÇn t×m lµ: x 2 + y 2 - x + y - 2 = 0. 18) (ĐH D-2007) Cho đường tròn ( C ) : ( x - 1) + ( y + 2 ) = 9 và đường thẳng 2 2 d : 3 x - 4 y + m = 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ P có thể kẻ được hai tiếp tuyên PA, PB (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. Gợi ý: (C) cã t©m I(1; -2) vµ b¸n kÝnh R = 3. Ta cã DPAB ®Òu nªn IP = 2 IA = 2 R = 6 Û P thuéc ®­êng trßn (C') t©m I b¸n kÝnh R ' = 6. Nhận xét: Điểm P là điểm chung của (C’) và d. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  19. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Trªn d cã duy nhÊt mét ®iÓm P tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n khi vµ chØ khi d tiÕp xóc víi (C') t¹i P é m = 19 Û d ( I; d ) = 6 Û ê ë m = -41 19) (Đề dự bị 2007) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x 2 + y 2 = 1 . Đường tròn (C') tâm I (2,2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 2 . Viết phương trình đường thẳng AB. Gợi ý: Cách 1: Đường thẳng OI nối 2 tâm của 2 đường tròn (C), (C') là đường phân giác y = x . Do đó, đường AB ^ đường y = x Þ hệ số góc của đường thẳng AB bằng -1 . Vì AB = 2 Þ A, B phải là giao điểm của (C) với Ox, Oy. é A(0,1); B(1,0) Suy ra ê ë A '(-1,0); B'(0, -1) Suy ra phương trình AB: y = - x + 1 hoặc y = - x - 1 . Cách 2: Phương trình AB có dạng: y = - x + m Pt hoành độ giao điểm của AB là: x 2 + (- x + m)2 = 1 Û 2 x 2 - 2mx + m 2 - 1 = 0 (2) (2) có D / = 2 - m2 , gọi x1 , x2 là nghiệm của (2) ta có : A AB 2 = 2 Û 2( x1 - x2 )2 = 2 Û ( x1 - x2 )2 = 1 R 4D / ém = 1 H = 1 Û 2 - m2 = 1 Û ê O Û 2 a ë m = -1 Vậy phương trình AB : y = - x + 1 hoặc y = - x - 1 . B Cách 3: Phương trình AB có dạng: y = - x + m AB 2 Gọi H là trung điểm AB. Suy ra: OI = d ( O; AB ) = R 2 - AH 2 = R 2 - 4 Từ đó giải phương trình OI = d ( O; AB ) . 20) (Đề dự bị 2007) Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 8 x + 6 y + 21 = 0 và đường thẳng d: x + y - 1 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A Î d. Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2 Tọa độ của I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y - 1 = 0 . Vậy I Î d Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R = 2 , x = 2 và x = 6 là 2 tiếp tuyến của (C) nên - Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2 Þ A(2, –1) - Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6 Þ A(6, –5) - Khi A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1) - Khi A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
  20. www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 21) (Đề dự bị 2007) Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 2 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 3 . Gợi ý: Phương trình đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) R = 3 Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ^ IM tại trung điểm H của đoạn AB 3 AB. Ta có AH = BH = = . Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I. 2 2 Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB. Gọi H' là trung điểm của A'B' 2 æ 3ö 3 Ta có: IH ' = IH = IA - AH = 3 - ç2 ÷ = 2 è 2 ø 2 ( 5 - 1) + (1 + 2 ) = 5 2 2 Ta có: MI = 3 7 và MH = MI - HI = 5 - = 2 2 3 13 MH ' = MI + H ' I = 5 + = 2 2 3 49 52 Ta có: R12 = MA2 = AH 2 + MH 2 = + = = 13 4 4 4 3 169 172 R 22 = MA'2 = A' H'2 + MH'2 = + = = 43 4 4 4 Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: ( x - 5) + ( y - 1) = 13 hay ( x - 5) + ( y - 1) = 43 . 2 2 2 2 22) (ĐH A-2009) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 và đường thẳng Δ : x + my - 2m + 3 = 0 . Gọi I là tâm đường tròn (C), tìm m để Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho IAB có diện tích lớn nhất. Gợi ý: ïìT©m I ( -2; -2 ) Đường tròn ( C ) có í . îïB¸n kÝnh R = 2 * Ta có: x + my - 2m + 3 = 0 Û x = - ( my - 2m + 3) thay vào phương trình ( C ) , ta được: ( my - 2m + 3) + y 2 - 4 ( my - 2m + 3) + 4 y + 6 = 0 (*) 2 và chỉ rõ lúc đó, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Hai giao điểm A ( - my A + 2m - 3; y A ) và B ( - my B + 2m - 3; yB ) , với y A , yB là nghiệm của phương trình (*). 1  = 1 R 2 sin AIB = 2sin AIB  * Để ý rằng, SIAB = IA.IB.sin AIB 2 2 Lập luận SIAB max Û 2sin AIB  ( )  max Û sin AIB   = 1 Û AIB = 900 Û IA ^ IB (**) Ta có: IA = ( -my A + 2m - 1; y A + 2 ) , IB = ( -myB + 2m - 1; yB + 2 ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2