Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti
Shortlink: http://wp.me/P8gtr-MY
1. Đ nh nghĩa:ị
Ph ng trình vi phân tuy n tính c p 1 là ph ng trình có d ng: ươ ế ấ ươ ạ
(1) (hay )
trong đó p(x), q(x) là nh ng hàm s liên t c, cho tr c.ữ ố ụ ướ
N u q(x) ≡ 0, thì (1) đ c g i là ế ượ ọ ph ng trình vi phân tuy n tính c p 1 ươ ế ấ thu n nh tầ ấ .
N u q(x) ≠0, thì (1) đ c g i là ế ượ ọ ph ng trình vi phân tuy n tính c p 1 ươ ế ấ không thu n nh t.ầ ấ
2. Cách gi i:ả
2.1 Cách 1: Ph ng pháp th a s tích phân:ươ ừ ố
Nhân 2 v c a (1) v i th a s ế ủ ớ ừ ố
Ta đ c:ượ
(*)
ta chú ý v trái c a ph ng trình s th y bi u th c v trái chính là đ o hàm c a tích sế ủ ươ ẽ ấ ể ứ ở ế ạ ủ ố
. V y ta vi t l i ph ng trình (*) nh sau: ậ ế ạ ươ ư
L y tích phân hai v ta đ c:ấ ế ượ
.
V y nghi m t ng quát c a ph ng trình (1) có d ng:ậ ệ ổ ủ ươ ạ
L u ý:ư hàm p(x) là h s c a y trong tr ng h p h s c a y’ b ng 1.ệ ố ủ ườ ợ ệ ố ủ ằ
Ví d :ụ Gi i ph ng trình ả ươ
Nhân 2 v c a ph ng trình v i th a s ế ủ ươ ớ ừ ố .
Ta đ c: ươ
Hay:
L y tích phân 2 v ta đ c:ấ ế ượ
V y nghi m t ng quát c a ph ng trình là: ậ ệ ổ ủ ươ
2.2 Cách 2: Ph ng pháp Bernoulliươ (pp tìm nghi m d i d ng tích)ệ ướ ạ
T cách th nh t, ta nh n th y nghi m c a ph ng trình có d ng tích c a hai hàm s . Vì v y,ừ ứ ấ ậ ấ ệ ủ ươ ạ ủ ố ậ
ta s tìm nghi m c a ph ng trình d i d ng tích: ẽ ệ ủ ươ ướ ạ
Ta có:
Th vào ph ng trình ta có: ế ươ
Hay: (*)
Ph ng trình (*) có t i 4 thông s ch a bi t là u, v, u’ , v’ nên không th gi i tìm u, v b t kỳ.ươ ớ ố ư ế ể ả ấ
Đ tìm u, v th a mãn ph ng trình (*), ta c n ch n u, v sao cho tri t tiêu đi 1 hàm ch a bi t. ể ỏ ươ ầ ọ ệ ư ế
Mu n v y, ta ch n u(x) sao cho ố ậ ọ (**)
Ta d dàng tìm đ c hàm u(x) th a (**) vì (**) chính là ph ng trình tách bi n. Khi đó:ễ ượ ỏ ươ ế
Ch n C = 1 ta có: ọ
Nh v y ta tìm đ c hàm u(x) nên t (*) ta s có: ư ậ ượ ừ ẽ
V y, nghi m t ng quát c a ph ng trình (1) là:ậ ệ ổ ủ ươ
2.3 Cách 3: Ph ng pháp Larrangeươ (pp bi n thiên h ng s )ế ằ ố
T cách 2 ta th y nghi m ph ng trình có d ng ừ ấ ệ ươ ạ v i u(x) là nghi m ph ngớ ệ ươ
trình (**) – đây là ph ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t c p 1.ươ ế ầ ấ ấ
Do v y, gi i ph ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t c p 1 ta tìm đ c:ậ ả ươ ế ầ ấ ấ ượ
Mà công th c nghi m t ng quát c a ph ng trình (1) l i là: ứ ệ ổ ủ ươ ạ ch sai khác soỉ
v i u(x) ch th h ng sớ ở ỗ ế ằ ố C b ng hàm c n tìm v(x).ằ ầ
Do v y, ta ch c n tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t, sau đó thay h ng s Cậ ỉ ầ ệ ổ ủ ươ ầ ấ ằ ố
b ng hàm c n tìm v(x) s gi i đ c bài toán. V y:ằ ầ ẽ ả ượ ậ
B c 1: gi i ph ng trình tuy n tính thu n nh t c p 1 liên k t v i ph ng trình (1):ướ ả ươ ế ầ ấ ấ ế ớ ươ
Nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t có d ng:ệ ổ ủ ươ ầ ấ ạ
B c 2: nghi m t ng quát c a ph ng trình tuy n tính không thu n nh t (1) có d ngướ ệ ổ ủ ươ ế ầ ấ ạ :
Ta có:
Th vào ph ng trình ta có:ế ươ
Suy ra: . T đó tìm đ c v(x).ừ ượ
Nh n xét:ậ
Trong 3 cách thì cách th 3 là cách mà ta không ph i nh công th c nh cách 1 và cách 2.ứ ả ớ ứ ư
Ngoài ra cách 3, trong b c 2 khi th vào ph ng trình đ tìm hàm v(x), ta luôn luôn khở ướ ế ươ ể ử
đ c nh ng gì liên quan đ n v(x) và ch còn l i v’(x). Do đó, n u khi th vào mà ta khôngượ ữ ế ỉ ạ ế ế
tri t tiêu đ c v(x) thì nghĩa là ho c ta th sai, ho c b c 1 ta đã gi i sai. Đi u này s giúpệ ượ ặ ế ặ ở ướ ả ề ẽ
các b n d dàng ki m tra các b c gi i c a mình và k p th i phát hi n sai sót.ạ ễ ể ướ ả ủ ị ờ ệ