zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti

Chia sẻ: Trần Mai | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:2

Báo xấu

1.152
lượt xem 91
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng: (1) (hay ) trong đó p(x), q(x) là những hàm...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti Shortlink: http://wp.me/P8gtr-MY 1. Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng: (1) (hay ) trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước. Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. 2. Cách giải: 2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân: Nhân 2 vế của (1) với thừa số Ta được: (*) ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm c ủa tích s ố . Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau: Lấy tích phân hai vế ta được: . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng: Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1. Ví dụ: Giải phương trình Nhân 2 vế của phương trình với thừa số . Ta đươc: Hay: Lấy tích phân 2 vế ta được: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: 2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích) Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích: Ta có: Thế vào phương trình ta có: Hay: (*) Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không th ể gi ải tìm u, v b ất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết. Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho (**) Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:
Chọn C = 1 ta có: Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có: Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là: 2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số) Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1. Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm đ ược: Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x). Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng s ố C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy: Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1): Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng: Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng : Ta có: Thế vào phương trình ta có: . Từ đó tìm được v(x). Suy ra: Nhận xét: Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nh ớ công th ức nh ư cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình đ ể tìm hàm v(x), ta luôn luôn kh ử được những gì liên quan đến v(x) và chỉ còn lại v’(x). Do đó, n ếu khi th ế vào mà ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta thế sai, ho ặc ở b ước 1 ta đã gi ải sai. Đi ều này s ẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.