intTypePromotion=3

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 9 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Chia sẻ: Kiếp Này Bình Yên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

0
58
lượt xem
7
download

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 9 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 9 tiếp tục trang bị cho người học những kiến thức về phương trình vi phân cấp hai. Trong bài này các bán sẽ tìm hiểu những nội dung sau đây: Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 9 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

  1. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 9 §3. Phương trình vi phân cấp hai (TT) • Đặt vấn đề. Mô hình toán học của hệ cơ học và mạch điện dẫn đến phương trình vi d 2x dx 1 phân cấp hai m 2 +c + kx = 0 ; LI ′′ + RI ′ + I = E ′(t ) dt dt C k là hệ số co dãn của lò xo; c là hệ số giảm xóc; m là khối lượng vật thể 3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai a) Định nghĩa. y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = f ( x ) (1) b) Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = 0 (2) Định lí 1. y1, y 2 là các nghiệm của (2) ⇒ c1y1 + c2 y 2 cũng là nghiệm của (2), ∀ c1, c2 ∈ » y2( x ) • Định nghĩa. Các hàm y1( x ), y 2 ( x ) là độc lập tuyến tính trên [ a ; b ] ⇔ ≠ hằng y1( x ) số trên [ a ; b ] . Trong trường hợp ngược lại ta nói các hàm này phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 1. a) e x , e2 x b) x 2 + 2 x + 1, x + 1 c) tan x, 2 tan x Định nghĩa. Cho các hàm y1( x ), y 2 ( x ) , khi đó định thức Wronsky của các hàm này là y1 y 2 W ( y1, y 2 ) = y1′ y 2′ Định lí 2. Các hàm y1, y 2 phụ thuộc tuyến tính trên [ a ; b ] ⇒ W ( y1, y 2 ) = 0 trên đoạn đó Chú ý. Nếu W ( y1, y 2 ) ≠ 0 tại x0 nào đó thuộc [ a ; b ] ⇒ độc lập tuyến tính Định lí 3. Cho y1, y 2 là các nghiệm của (2), W ( y1, y 2 ) ≠ 0 tại x0 ∈ [ a ; b ] , các hàm p( x ), q( x ) liên tục trên [ a ; b ] ⇒ W ( y1, y 2 ) ≠ 0, ∀ x ∈ [ a ; b ] Định lí 4. Các nghiệm y1, y 2 của (2) độc lập tuyến tính trên [ a ; b ] ⇒ W ( y1, y 2 ) ≠ 0, ∀ x ∈ [ a ; b ] Định lí 5. Cho y1, y 2 là các nghiệm độc lập tuyến tính ⇒ nghiệm tổng quát của (2) là y = c1y1 + c2 y 2 . Ví dụ 2. y ′′ + y = 0 Định lí 6. Biết nghiệm riêng y1 ≠ 0 của (2) ⇒ tìm được nghiệm riêng y 2 của (2) độc lập tuyến tính với y1 và có dạng y 2 ( x ) = y1( x )u( x ) Hệ quả. Với giả thiết của định lí 6, nghiệm y 2 tìm được theo công thức sau 1 − ∫ p( x )dx y 2 = y1 ∫ y12 e dx (Liouville).
  2. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví dụ 3. a) y ′′ − y ′ = 0 ∫e ∫ − ( −1)dx +) Dễ thấy y1 = 1 là nghiệm +) y 2 = dx = e x +) y = C1 + C2e x b) x 2 y ′′ − xy ′ − y = 0 1 1 − ∫ dx 1 1 +) y1 = x là nghiệm +) y 2 = x ∫ x2 e x dx = x x3 dx = −2 x ∫ C2 +) y = C1x + x c) (2 x + 1)y ′′ + 4 xy ′ − 4 y = 0 ( y = C1x + C2e −2 x ) d) xy ′′ − (2 x + 1)y ′ + ( x + 1)y = 0 ( y = C1e x + C2 x 2e x ) e) y ′′ − 2(1 + tan2 x )y = 0 ( y = C1 tan x + C2 (1 + x tan x ) ) c) Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = f ( x ) (1) Định lí 1. Nghiệm tổng quát của (1) có dạng y = y + Y , ở đó y là nghiệm tổng quát của (2), Y là nghiệm riêng của (1). Định lí 2. (Nguyên lí chồng nghiệm) Nếu y1 là nghiệm của phương trình y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = f1( x ). y 2 là nghiệm của phương trình y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = f2 ( x ). Thì có y = y1 + y 2 là nghiệm của phương trình y ′′ + p( x )y ′ + q( x )y = f1( x ) + f2 ( x ). Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange • Biết nghiệm tổng quát của (2) là y = c1y1 + c2 y 2  c1′ y1 + c2′ y 2 = 0 • Giải hệ sau  có c1 = φ1( x ) + k1, c2 = φ2 ( x ) + k2 c ′  1 1 y ′ + c ′ y 2 2 ′ = f ( x ) • Nghiệm tổng quát của (1) là y = y1(φ1( x ) + k1) + y 2 (φ2 ( x ) + k 2 ) 2−x x Ví dụ 4. a 1) y ′′ − y ′ = e x3 ∫ e∫ dx +) y1 = 1 là nghiệm +) y 2 = dx = e x +) y = C1 + C2e x  2−x x  ex 2e x C1′ + C2′ e x = 0  +) Giải hệ  C  1 ⇔  ′ = − x3 e C  1 ⇔  = x 2 dx − x 3 dx ∫ ∫ ′ ′ x = 2 − x ex 2 − x C1 .0 + C 2 e  C2′ = C2 = 1 − 1 + K 2  x3   x3 x x2 ex  1  ex Ta có C1 = ∫ x2 dx + ∫ e x d  2  = 2 + K1 x  x  ex  1 1  ex +) Nghiệm tổng quát y = 1.  2 + K1  + e x  − 2 + K 2  = K1 + K 2e x + x  x x  x
  3. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2) x 2 y ′′ + xy ′ − y = x 2 C2 +) Theo ví dụ 3 có y = C1x + x  1  1  ′ 1  x C1′ x + C2′ x = 0 C1′ + C2′ x 2 = 0 C1 = 2 C1 = 2 + K1 +) Giải hệ  ⇔  ⇔ ⇔  C1′.1 + C2′  − 1  C1′ − C2′ 1 C2′ = − x 2 3 C2 = − x + K 2 =1  = 1   x2  x2  2  6 x  1  x3  K x2 +) Nghiệm tổng quát y = x  + K1  +  − + K 2  = K1x + 2 + 2  x 6  x 3 b 1) x 2 y ′′ − xy ′ = 3 x 3 ( y1 = x 3 ) x2 C 2) x 2 y ′′ + xy ′ − y = x 2 (y = + C1x + 2 ) 3 x 1 c) x 3 ( y ′′ − y ) = x 2 − 2 ( y = − + C1e x + C2e − x ) x 1 d. 1) x 2 ( x + 1)y ′′ = 2y , biết nghiệm riêng y1 = 1 + x  1  1 x +1  ( y = C1  1 +  + C2  x + 1 − − ln( x + 1)2  )  x  x x  2) y ′′ tan x + y ′(tan2 x − 2) + 2y cot x = 0 , biết nghiệm riêng y1 = sin x ( y = C1 sin x + C2 sin2 x ) z 3) x 2 y ′′ + 4 xy ′ + ( x 2 + 2)y = e x bằng cách đổi hàm số y = x2 C1 C2 ex (y = cos x + sin x + ) x2 x2 2x 2 u e. 1) xy ′′ + 2y ′ + xy = x bằng cách đổi hàm số y = x 1 (y = (C1 cos x + C2 sin x + x ) ) x 2) y ′′ + y ′ tan x − y cos2 x = 0 , biết nghiệm riêng y1 = e sin x ( y = C1esin x + C2e − sin x ) 1 3) y ′′ + 3 y ′ + 2y = ( y = C1e − x + C2e −2 x + (e − x + e −2 x ) ln(1 + e x ) ) ex + 1 y′ y f. 1) y ′′ − + 2 = 0 biết nghiệm riêng y1 = x ( y = C1x + C2 x ln x ) x x 2 xy ′ 2y 2) y ′′ − 2 + 2 = 0 biết nghiệm riêng y1 = x ( y = C1x + C2 ( x 2 − 1) x +1 x +1
  4. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn y g. 1) x 2 y ′′ − (6 x 2 + 2 x )y ′ + (9 x 2 + 6 x + 2)y = 4 x 3e3 x bằng cách đặt u = x ( y = e3 x (C1x + C2 x 2 + 2 x 3 ) 2) xy ′′ + 2(1 − x )y ′ + ( x − 2)y = e − x bằng cách đặt u = yx ex 1 −x + C2e x + ( y = C1 e ) x 4x x cos x 1 + sin x h. 1) y ′′ + y = cos x + tan x ( y = K1 cos x + K 2 sin x + sin x − ln ) 2 2 1 − sin x x sin x 1 + cos x 2) y ′′ + y = sin x + cot x ( y = K1 cos x + K 2 sin x − cos x − ln ) 2 2 1 − cos x HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản