Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị trong Hình học giải tích lớp 12

Chia sẻ: Thanhbinh225p Thanhbinh225p | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

265
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị trong Hình học giải tích lớp 12 đưa ra những giải pháp giảng dạy giúp cho học sinh hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị trong Hình học giải tích lớp 12

MỤC LỤC Tran g A.Đặt vấnđề .........................................................................................................2 I.Lời nói đầu...............................................................................................................2 II.thực trạng của vấn đề..............................................................................................2 B.Giải quyết vấn đề ........................................................................... 3 ́ ̣ ̣ ́ ̣ I. Nhăc lai môt sô dang toan hay đ ́ ược sử ̣ dung.........................................................3 II. Các dạng bài tập thường gặp.................................................................................3 C.Kêt luận.........................................................................................................20 1
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 A.ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lời nói đầu Trong chương trình Hinh hoc giai tich l ̀ ̣ ̉ ́ ơp 12, bên canh cac dang toan quen ́ ̣ ́ ̣ ́ thuôc nh ̣ ư: viêt ph ́ ương trinh măt phăng, ph ̀ ̣ ̉ ương trinh đ ̀ ường thăng,…. Ta con ̉ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ́ ̉ găp cac bai toan tim vi tri cua điêm, đ ̉ ường thăng hay măt phăng liên quan đên môt ̉ ̣ ̉ ́ ̣ điêu kiên c ̀ ̣ ực tri. Đây la dang Toan kho, chi co trong ch ̣ ̀ ̣ ́ ́ ̉ ́ ương trinh nâng cao va đê ̀ ̀ ̀ ̉ ̣ tuyên sinh Đai hoc cao đăng. ̣ ̉ Trong qua trinh tŕ ̀ ực tiêp giang day va nghiên c ́ ̉ ̣ ̀ ứu tôi thây đây la dang toan ́ ̀ ̣ ́ ̉ không chi kho ma con kha hay, lôi cuôn đ ́ ̀ ̀ ́ ́ ược cac em hoc sinh kha gioi. Nêu ta ́ ̣ ́ ̉ ́ biêt́ sử dung ̣ linh hoaṭ va kheo leo kiên th ̀ ́ ́ ́ ức cuả hinh hoc thuân tuy, vect ̀ ̣ ̀ ́ ́ ơ, phương phap toa đô, giai tich thi co thê đ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ̉ ưa bai toan trên vê môt bai toan quen ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ́ thuôc. ̣ II.Thực trạng vấn đề 2
Trong thưc tế giảng dạy, tôi nhận thấy nhiêù hoc sinh bi mât kiên th ̣ ̣ ́ ́ ưc c ́ ơ ban̉ ̣ trong hinh hoc không gian, không năm v ̀ ́ ưng cac kiên th ̃ ́ ́ ức vê hinh hoc, vec t ̀ ̀ ̣ ơ, phương phap đô trong không gian. Đ ́ ̣ ặc biệt khi nói đến các bài toán về cực trị trong hình học thì các em rất “ Sợ”. Trước khi làm chuyên đề này tôi đã khảo sát ở 2 lớp 12A và 12B với tống số 90 học sinh, kết quả đạt được như sau Không Nhận biết, Nhận biết và Nhận biết và nhận nhưng không biết vận dụng, biết vận dụng, biết biết vận dụng chưa giải giải được bài được được hoàn hoàn chỉnh chỉnh Số lượng 60 20 9 1 Tỉ lệ ( %) 66,7 22,2 9,9 1.1 Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền ̉ ́ ọc sinh tự học, tự nghiên cứu.Tôi đã manh dan vi tang cho cac h ̣ ̣ ết chuyên đề “Hướng dẫn học sinh giải môt sô bai toan c ̣ ́ ̀ ́ ực tri trong hinh hoc giai tich l ̣ ̀ ̣ ̉ ́ ơp ́ 12”. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Nhăc lai môt sô dang toan hay đ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ́ ược sử dung̣ . ́ ̉ ̉ 1 Tim hinh chiêu vuông goc cua điêm M lên măt phăng ( ̀ ̀ ́ ̣ ̉ α) ̣ Goi H la hinh chiêu vuông goc cua M lên ( ̀ ̀ ́ ́ ̉ α). Viêt ph́ ương trinh đ ̀ ường thăng MH(qua M ̉ va vuông goc v ̀ ́ ới (α)) ̉ Tim giao điêm H cua MH va ( ̀ ̉ ̀ α). *Nêu yêu câu tim điêm M’ đôi x ́ ̀ ̀ ̉ ́ ứng với Mqua ̣ măt phăng (̉ α) thi ta vân tim hinh chiêuH cua M ̀ ̃ ̀ ̀ ́ ̉ lên (α), dung công th ̀ ưc trung điêm suy ra toa đô ́ ̉ ̣ ̣ M’. b.Tim hinh chiêu vuông goc cua điêm M lên đ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̉ ường thăng d: ̉ Viêt ph́ ương trinh tham sô cua d ̀ ́ ̉ 3
Goi H ̣ d co toa đô theo tham sô t ́ ̣ ̣ ́ r uuuur ̀ ̀ ́ ́ ̉ H la hinh chiêu vuông goc cua điêm M lên d khi ̉ ud MH = 0 ̣ Tim t, suy ra toa đô cua H. ̀ ̣ ̉ II. Các dạng bài tập thường gặp 1.Ca c bai toan c ́ ̀ ́ ực tri liên quan đ ̣ ên ́ tim ̀ môt ̣ điêm ̉ thoa điêu kiên cho tr ̉ ̀ ̣ ươc. ́ Bai toan 1 ̀ ́ : Cho n điêm A ̉ 1, A2, ..An, vơi n sô k ́ ́ 1, k2,.,kn thoa k̉ 1+ k2+ ….+kn = k ≠ 0 va đ ̀ ường thăng d hay măt phăng ( ̉ ̣ ̉ α ). Tim điêm M trên đ ̀ ̉ ường thăng d hay măt ̉ ̣ uuur uuuur uuuur phăng ( ̉ α ) sao cho k1 MA1 + k2 MA2 + ... + kn MAn co gia tri nho nhât ́ ́ ̣ ̉ ́. Lơi giai: ̀ ̉ uur uuur uuur r ̉ Tim điêm I thoa ̀ ̉ k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n = 0 uuuur uuuuur uuuuur uuur uuur ́ ̉ k1 MA1 + k 2 MA 2 +...+ k n MA n = (k 1 + k 2 +...+ k n )MI = k MI Biên đôi : uuur ̀ ̣ ́ ̉ Tim vi tri cua M khi MI đat gia tri nho nhât ̣ ́ ̣ ̉ ́ Vi du 1: ́ ̣ Cho măt phăng ( ̣ ̉ α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm A ( 1;0;1) , Giaỉ B ( -2;1;2) , C ( 1;-7;0) . Tim điêm M trên măt phăng ( ̀ ̉ ̣ ̉ α) sao cho : uuuur uuur uuur : Goị 1) MA + MB + MC co gia tri nh ́ ́ ̣ ỏ nhất. điêm̉ uuuur uuur uuur 2) MA -2MB + 3MC co gia tri nh ́ ́ ̣ ỏ nhất. G thoả uuur uuur uuur r GA + GB ̀ ̀ ̣ ̉ = 0 thi G la trong tâm cua tam giac ABC va G(0;2;1) ́ ̀ uuuur+GC uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur 1) Ta co ́ MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC = 3 MG co gia tri ́ ́ ̣ nhỏ nhất khi M la hinh chiêu vuông goc cua G lên măt phăng ( ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̣ ̉ α) r ̣ n = (2; -2; 1) lam vecto chi ph MG nhân ̀ ̉ ương x = 2t Phương trinh tham sô MG ̀ ́ y = -2-2t z = 1+3t ̣ ̣ ưng v Toa đô M ́ ơi t la nghiêm ph ́ ̀ ̣ ương trinh: ̀ 4t – 2(2 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0 � 17t + 17 = 0 � t = −1 uuuur uuur uuur ̣ ơi M(2; 0; 2) thi Vây v ́ ̀ MA + MB + MC co gia tri nho nhât. ́ ́ ̣ ̉ ́ uur uur uur r 2) Goi I(x; y; z) la điêm thoa ̣ ̀ ̉ ̉ IA -2IB + 3IC = 0 Ta co ́ (1 x; y; 1z) 2(2x; 1y; 2z) + 3(1x; 7y; z) = (0;0;0) 23 3 23 3 x = 4; y = ; z = , vây ̣ I(4; − ; − ) 2 2 2 2 4
uuuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur Ta co:́ MA -2MB + 3MC = MI+IA -2(MI + IB) + 3(MI + IC) = 2 MI có giá trị nhỏ nhất khi M la hinh chiêu vuông goc cua I lên măt phăng ( ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̣ ̉ α) x = 4+2t 23 Phương trinh tham sô MI: ̀ ́ -2t y= − 2 3 z = − +3t 2 ̣ ̣ ưng v Toa đô M ́ ơi t la nghiêm ph ́ ̀ ̣ ương trinh: ̀ 23 3 73 73 2(4 + 2t) − 2( − − 2t) + 3( − + 3t) + 10 = 0 � 17t + =0� t=− 2 2 2 34 5 245 135 uuuur uuur uuur ̣ ơi Vây v ́ M( − ; − ;− ) thi ̀ MA -2MB + 3MC đat gia tri nho nhât. ̣ ́ ̣ ̉ ́ 17 34 17 Bai toan 2: ̀ ́ Cho đa giac A ́ 1 A2 ….An va n sô th ̀ ́ ực k1, k2, …., kn thoa k ̉ 1+ k2+ ….+ kn = k . Tim ̀ điêm M thuôc măt phăng ( hay đ ̉ ̣ ̣ ̉ ường thăng) sao cho tông T = ̉ ̉ k1MA12 + k2 MA22 + ... + kn MAn2 đat gia tri nho nhât hoăc gia tri l ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̣ ́ ̣ ớn nhât́ Lơi giai: ̀ ̉ uur uuur uuur r ̉ Tim điêm I thoa ̀ ̉ k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n = 0 ́ ̉ Biên đôi : T = k1MA12 + k 2MA 22 + ... + k n MA 2n = uuur uur uuur = (k1 +...+ k n )MI 2 + k1IA 12 + k 2IA 22 + .. + k nIA 2n + 2 MI(k1 IA1 +..+ k n IA n ) = kMI2 + k1IA 12 + k 2IA 22 + ... + k nIA 2n Do k1IA 12 + k 2IA 22 + ... + k nIA 2n không đôi, Biêu th ̉ ̉ ưc T nho nhât hoăc l ́ ̉ ́ ̣ ơn nhât khi ́ ́ ̉ ́ ̉ MI nho nhât hay M la hinh chiêu vuông goc cua I lên măt phăng hay đ ́ ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ường thăng. ̉ Chu y: ́́ Nêu k ́ 1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biêu th ̉ ưc T đat gia tri nho nhât MI nho ́ ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̉ nhât́ Nêu k ́ 1+ k2+ ….+ kn = k
uur uur r 3 3 Giải:1) Gọi điêm I(x; y; z) thoa ̉ ̉ IA + IB = 0 thi I la trung điêm AB va ̀ ̀ ̉ ̀ I (2; ; − ) uuur uur 2 uuur uur 2 2 2 2 2 Ta co: MA ́ + MB = (MI + IA) +(MI + IB) uuur uur uur = IA 2 + IB2 +2MI 2 +2MI(IA + IB) = IA 2 + IB2 +2MI 2 ̉ Do IA 2 + IB2 không đôi nên MA 2 ̉ + MB2 nho nhât khi MI ́ 2 ́ ́ ̣ ̉ co gia tri nho nhât, hay ́ ̀ ̀ ́ ́ ̉ M la hinh chiêu vuông goc cua I lên ( α) r Đương thăng IM qua điêm I va co vtcp ̀ ̉ ̉ ̀ ́ n α = (1; 2; 2) x = 2+t 3 Phương trinh tham sô MI: ̀ ́ + 2t y= 2 3 z = − +2t 2 ̣ ̣ ưng v Toa đô M ́ ơi t la nghiêm ph ́ ̀ ̣ ương trinh: ̀ 3 3 2 + t + 2( + 2t) + 2( − + 2t) + 7 = 0 � 9t + 9 = 0 � t = −1 2 2 1 7 � M (1; − ; − ) 2 2 AB 2 Nhân xet: ̣ ́ Vơi I la trung điêm AB thi MA ́ ̀ ̉ ̀ 2 + MB2 = 2MI2 + , do AB2 không 2 đôi nên MA ̉ 2 + MB2 nho nhât khi MI ̉ ́ 2 co gia tri nho nhât, hay M la hinh chiêu ́ ́ ̣ ̉ ́ ̀ ̀ ́ vuông goc cua I lên ( ́ ̉ α ). uur uur uur r ̣ ̀ ̉ 2)Goi J(x; y; z) la điêm thoa ̉ JA - JB -JB = 0 Hay (1 − x; 2 − y; −1 − z) − (3 − x;1 − y; −2 − z) − (1 − x; −2 − y;1 − z) = (0;0;0) −3 + x = 0 � 3 + y = 0 � J(3; −3;0) z=0 uuur uur uuur uur uuur uur Ta co: MA ́ 2 MB2 – MC2 = (MJ + JA) 2 (MJ + JB) 2 − (MJ + JC) 2 uuur uur uur uur = J A − JB − JC − MJ + 2MJ(JA − JB − JC) 2 2 2 2 = JA 2 − JB2 − JC2 − MJ 2 ̉ Do JA 2 − JB2 − JC 2 không đôi nên MA 2 MB2 – MC2 lơn nhât khi MJ nho nhât ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ̣ ̉ hay M la hinh chiêu cua J trên măt phăng ( ̀ ̀ α). r Đương thăng JM qua điêm I va co vtcp ̀ ̉ ̉ ̀ ́ n α = (1; 2; 2) 6
x = 3+t Phương trinh tham sô MJ: ̀ ́ y = -3+ 2t z = 2t ̣ ̣ ưng v Toa đô M ́ ơi t la nghiêm ph ́ ̀ ̣ ương trinh: ̀ 4 3 + t + 2( −3 + 2t) + 2.2t + 7 = 0 � 9t + 4 = 0 � t = − 9 23 35 8 � M( ;− ;− ) 9 9 9 23 35 8 ̣ ơi Vây v ́ M ( ; − ; − ) thi MA ̀ 2 ́ ́ ̣ ơn nhât. MB2 – MC2 co gia tri l ́ ́ 9 9 9 x-1 y-2 z-3 Vi du 2: ́ ̣ Cho đường thăng d co ph ̉ ́ ương trinh: ̀ = = ̉ va cac điêm A(0; ̀ ́ 1 2 1 ̉ 1; 2), B( 2; 1; 2), C(4; 3; 3). Hay tim điêm M trên d sao cho ̃ ̀ 1) MA 2MB co gia tri l 2 2 ́ ́ ̣ ơn nhât ́ ́ 2) MA + MB + MC co gia tri nho nhât. 2 2 2 ́ ́ ̣ ̉ ́ Giai: ̉ uur uur r ̣ ̉ ̀ ̉ ̉ IA -2 IB = 0 1) Goi điêm I(x; y; z) la điêm thoa Hay: (− x;1 − y; −2 − z) − 2(2 − x; −1 − y; 2 − z) = (0; 0;0) −4 + x = 0 � 3 + y = 0 � I(4; −3;6) 6+z = 0 uuur uur uuur uur Ta co MA ́ 2 2MB2 = (MI + IA) 2 − 2(MI + IB) 2 uuur uur uur = IA − 2IB − MI + 2MI(IA − 2 IB) = IA 2 − 2IB2 − MI 2 2 2 2 ̉ Do IA 2 2 IB2 không đôi nên MA 2 2 MB2 lơn nhât khi MI ́ ́ 2 ́ ́ ̣ ̉ co gia tri nho nhât, ́ ̀ ̀ ́ ́ ̉ hay M la hinh chiêu vuông goc cua I lên d. x = 1+t r Đương thăng d co vtcp ̀ ̉ ́ u = (1;2;1) , phương trinh tham sô d: ̀ ́ y = 2+ 2t z = 3+ t uuur M �d � M(1 + t; 2 + 2t; 3 + t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3) khi M là hinh ̀ chiêu ́ uuur r 2 1 2 7 vuông góc của I lên d nên IM .u = 0 � 6t + 4 = 0 � t = − � M ( ; ; ) 3 3 3 3 7
1 2 7 Vây v ́ M ( ; ; ) thi MA ̣ ơi ̀ 2 ́ ́ ̣ ơn nhât 2MB2 co gia tri l ́ ́ 3 3 3 uuur uuur uuur r ̣ ̉ ̀ ̉ 2) Goi điêm G(x; y; z) la điêm thoa ̉ GA + GB +GC = 0 thi G la trong tâm tam giac ̀ ̀ ̣ ́ ABC va G(2; 1; 1). ̀ 2 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur Ta co: MA ́ + MB2 + MC2 = (MG + GA) 2 + (MG + GB) 2 +(MG + GC) 2 uuuur uuur uuur uuur = GA 2 + GB2 + GC 2 +3MG 2 + 2MG(GA + GB + GC) = GA 2 + GB2 + GC 2 +3MG 2 Do GA 2 + GB2 + GC 2 không đôi nên MẢ 2 ̉ + MB2 + MC2 nho nhât khi MG nho ́ ̉ ́ ̉ nhât, hay M la hinh chiêu vuông goc cua G lên đ ́ ̀ ̀ ́ ường thăng d. ̉ uuuur M �d � M(1 + t; 2 + 2t; 3 + t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2) uuuur r Khi M là hinh ́ vuông goć cuả I lên đường thăng ̀ chiêu ̉ d thì GM .u = 0 1 1 5 � 6t + 3 = 0 � t = − � M ( ;1; ) 2 2 2 1 5 Vây v ́ M ( ;1; ) thi MA ̣ ơi ̀ 2 ́ ́ ̣ ̉ + MB2 + MC2 co gia tri nho nhât. ́ 2 2 Bai toan 3: ̀ ́ Cho măt phăng ( ̣ ̉ α ) co ph ́ ương trinh:ax + by + cz + d = 0 va hai ̀ ̀ điêm A,B không thu ̉ ộc (α ) . Tim điêm M trên ( ̀ ̉ α ) sao cho MA + MB co gia tri ́ ́ ̣ nho nhât. ̉ ́ Lơi giai: ̀ ̉ 1.Nêu (ax ́ A+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) 0 thi A, B năm vê môt phia v ́ α). ̉ Khi đo ta tim điêm A’ đôi x ́ ̀ ́ ứng vơi A qua ( ́ α). Do MA + MB = MA’+ MB ma đat ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ̣ gia tri nho nhât khi M thuôc A’B hay M la giao điêm cua ( ́ ̀ ̉ ̉ α) va A’B. ̀ Vi du 1: ́ ̣ Trong không gian vơi hê toa đô Oxyz, cho măt phăng ( ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ̉ ́ ương α) co ph ̀ ̀ ̉ ̀ ̉ trinh:x – 2y – 2z + 4 = 0 va hai điêm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2). Tim điêm M trên ̣ ̉ măt phăng ( ́ ́ ̣ ̉ α) sao cho MA + MB co gia tri nho nhât ́ Giai: ̉ ̣ ̣ ̉ ̀ ương trinh ( Thay toa đô cua A va B vao ph ̀ ̉ ́ ̉ ̀ α) ta thây hai điêm năm vê hai phia cua ́ ̀ ̀ (α). ́ ́ ̣ ̉ ̉ ̉ Ta co MA + MB co gia tri nho nhât khi M la giao điêm cua AB va ( ́ ́ ̀ ̀ α). uuur Đương thăng AB qua điêm B, nhân ̀ ̉ ̉ ̣ AB = (1; −1;0) lam vecto chi ph ̀ ̉ ương 8
x = 2+t Phương trinh tham sô cua AB: ̀ ́ ̉ y = −t z=2 ̣ ̣ ưng v Toa đô M ́ ơi t la nghiêm ph ́ ̀ ̣ ương trinh: 2 + t – 2(t) 2.2 + 4 = 0 ̀ 2 � 3t + 2 = 0 � t = − 3 4 2 ̀ ̉ ần tim. Hay M ( ; ;2) la điêm c ̀ 3 3 Vi du 2: ́ ̣ Cho măt phăng ( ̣ ̉ ́ ương trinh: x – y + 2z = 0 va ba điêm α) co ph ̀ ̀ ̉ ̉ A(1; 2;1), B(3; 1; 2), C(1; 2; 2). Hay tim điêm M trên d sao cho ̃ ̀ ́ ́ ̣ 1) MA + MB co gia tri nho nhât̉ ́ 2) MA - MC co gia tri l ́ ́ ̣ ơn nhât. ́ ́ Giai: ̉ ̣ ̣ ̉ 1) Thay toa đô cua A va B vao ph ̀ ̀ ương trinh ( ̉ ̀ ̣ ̀ α) ta thây hai điêm năm vê môt phia ́ ̀ ́ ̉ α). cua ( ̣ ̀ ̉ Goi A’ la điêm đôi x ́ ưng v ́ ơi A qua ( ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ α), đê MA + MB co gia tri nho nhât khi M la ́ ̀ ̉ ̉ giao điêm cua A’B v ơi ( ́ α). uur Đường thăng AA’ đi qua A va vuông goc v ̉ ̀ ́ ơi ( ̣ nα = (1; −1;2) lam ́ α), AA’ nhân ̀ ̉ ương vecto chi ph x = 1+ t Phương trinh tham sô AA’: ̀ ́ y = 2−t z = −1 + 2t ̣ ̣ ̀ ̉ Toa đô hinh chiêu vuông goc H cua A trên ( ́ ́ α) ứng với t cua ph ̉ ương trinh ̀ 1 3 3 1 + t – (2 – t) + 2(1 + 2t) = 0 6t – 3 = 0 hay t = H( ; ;0) 2 2 2 x A ' = 2x H − x A = 2 ̉ Do H la trung điêm AA’ nên ̀ y A ' =2y H − y A = 1 A '(2; 1; 1) zA ' = 2zH − z A = 1 uuur A’B co vtcp ́ A'B = (1;0; −3) x = 2+t Phương trinh tham sô A’B: ̀ ́ y =1 z = 1 − 3t ̣ ̣ ưng v Toa đô M ́ ơi t la nghiêm ph ́ ̀ ̣ ương trinh: ̀ 9
3 13 4 2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0 � −5t + 3 = 0 � t = hay M ( ;1; − ) 5 5 5 13 4 ̣ ơi Vây v ́ M( ;1; − ) thi MA + MB co gia tri nho nhât. ̀ ́ ́ ̣ ̉ ́ 5 5 ̣ ̣ ̉ 2) Thay toa đô cua A va C vao ph̀ ̀ ương trinh ( ̉ ̀ α) ta thây hai điêm năm vê hai phia ́ ̀ ̀ ́ ̉ α).Vây nên A’ va C năm cung môt phia đôi v cua ( ̣ ̀ ̀ ̀ ̣ ́ ́ ới (α). Ta thây ́ MA - MC = MA' - MC A'C .Nên MA - MC đat gia tri l ̣ ́ ̣ ơn nhât khi M ́ ́ ̣ thuôc A’C nh ưng ở phia ngoai đoan A’C, t ́ ̀ ̣ ưc M la giao điêm cua A’C va ( ́ ̀ ̉ ̉ ̀ α). uuuur Đương thăng A’C co vtcp ̀ ̉ ́ A'C = (−1; −3; −3) x = 2−t Phương trinh tham sô A’C: ̀ ́ y = 1 − 3t z = 1 − 3t ̣ ̣ ưng v Toa đô M ́ ơi t la nghiêm ph ́ ̀ ̣ ương trinh: ̀ 3 5 5 5 2 t (1 – 3t) + 2(1 3t) = 0 � −4t + 3 = 0 � t = hay M ( ; − ; − ) 4 4 4 4 5 5 5 Vây v ́ M ( ; − ; − ) thi ̀ MA - MC co gia tri l ̣ ơi ́ ́ ̣ ơn nhât. ́ ́ 4 4 4 ̀ ́ Cho đường thăng d va hai điêm phân biêt A,B không thu Bai toan 4: ̉ ̀ ̉ ̣ ộc d. Tim̀ điêm M trên đ ̉ ương thăng d sao cho MA + MB co gia tri nho nhât. ̀ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ́ Lơi giai: ̀ ̉ Đưa phương trinh cua d vê dang tham sô, viêt toa đô cua M theo tham sô t ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ́ ̉ Tinh biêu th ưc MA + MB theo t, xet ham sô f(t) = MA + MB ́ ́ ̀ ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ Tinh gia tri nho nhât cua ham sô f(t), t ́ ̀ ́ ừ đo suy ra t ́ ̣ ̣ ̉ ̀ ́ ̣ Tinh toa đô cua M va kêt luân ́ x-1 y + 2 z-3 Vi du 1: ̀ ̉ ( d) : ́ ̣ Cho đương thăng = = ̀ ̉ va hai điêm C(4; 1; 1), D(3; 6; 2 −2 1 ̃ ̀ ̉ ̣ ́ ̣ ̉ 3). Hay tim điêm M trên d sao cho MC + MD đat gia tri nho nhât. ́ Giai: ̉ x = 1 + 2t Đường thăng d co ph ̉ ́ y = −2 − 2t ́ ương trinh tham sô ̀ z = 3+ t r uuur ̉ qua điêm N(1; 2; 3), co vtcp ́ u = (2; −2;1) va ̀ CD = (7;5; −4) r uuur Ta co ́ u . CD = 14 10 – 4 = 0 � d ⊥ CD ́ ̣ ̉ Xet măt phăng (P) qua CD va vuông goc v ̀ ́ ới d r ̉ ̀ ̣ u = (2; −2;1) lam vecto phap tuyên (P) qua điêm C(4; 1; 1) va nhân ̀ ́ ́ 10
Phương trinh (P): 2(x +4) – 2(y 1) + 1(z 1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0 ̀ ̉ ̣ ̉ ̣ ́ ̣ ̉ Điêm M thuôc d thoa MC + MD đat gia tri nho nhât khi M la giao điêm cua d va ́ ̀ ̉ ̉ ̀ mp(P). ̣ Toa đô M ̣ ưng v ́ ơi t la nghiêm cua ph ́ ̀ ̣ ̉ ương trinh: ̀ 2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0 � 9t + 18 = 0 � t = −2 ̣ ̣ ́ ̣ Vây M(3; 2; 1) thi MC + MD đat gia tri nho nhât băng: ̀ ̉ ́ ̀ 2 + 2 17 Bai toan 5 ̀ ́ : Cho hai đương thăng d ̀ ̉ 1,d2 cheo nhau ́ . Tim cac điêm M ̀ ́ ̉ d1, N d2 la chân đoan vuông goc chung cua hai đ ̀ ̣ ́ ̉ ường trên. Lơi giai: ̀ ̉ Lây M ́ d1 va N ̀ d2 ( toa đô theo tham sô). ̣ ̣ ́ uuuur r uuuur r r r ̉ ̣ ương trinh Giai hê ph ̀ MN.u1 = 0 và MN.u2 = 0 ( u1 , u2 la cac vect ̀ ́ ́ ơ chỉ phương cua d̉ 1 va d ̀ 2 ). ̀ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ Tim toa đô M, N va kêt luân. Vi du 1 ́ ̣ : Cho hai đương thăng ̀ ̉ x-5 y+1 z -11 x+ 4 y-3 z - 4 d1 : = = , d 2 : = = 1 2 -1 −7 2 3 1) Chưng minh d ́ 1, d2 cheo nhau ́ ̉ 2) Tim điêm M ̀ d1 va N ̀ d 2 sao cho đô dai MN ngăn nhât. ̣ ̀ ́ ́ Giai: ̉ uur 1) d1 qua M1(5; 1; 11), co vtcp ́ u1 = (1;2; −1) uur d2 qua M2(4; 3; 4), co vtcp ́ u2 = (−7;2;3) uur uur uuuuuur Ta co [́ u1, u2 ] M 1M 2 = (8; 4; 16)(9;4; 7) = 72 +16 – 112 = 168 0 Hay d1 va d ̀ 2 cheo nhau. ́ 2). M d1 va Ǹ d 2 sao cho đô dai MN ngăn nhât khi va chi khi MN la đô dai ̣ ̀ ́ ́ ̀ ̉ ̀ ̣ ̀ ̣ đoan vuông goc chung cua d ́ ̉ 1 va d ̀ 2. Phương trinh tham sô cua hai đ ̀ ́ ̉ ường thăng ̉ x = 5+t x = −4 − 7 t d1: y = −1 + 2t , d2: y = 3 + 2t z = 11 − t z = 4 + 3t M d nên M(5 + t; 1 + 2t; 11 t), N d 2 nên N(4 – 7t’;3 +2t’; 4 + 3t’) uuuur 1 MN = ( 7t’ t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7) 11
uuuur r MN.u1 = 0 −6t '− 6t + 6 = 0 � t=2 � Ta co ́ �uuuur r �� MN.u2 = 0 62t '+ 6t + 50 = 0 � t ' = −1 � Do đo M(7; 3;9) va N(3; 1; 1) ́ ̀ ̣ ơi M(7; 3;9) va N(3; 1; 1) thi đô dai MN ngăn nhât băng Vây v ́ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̀ 2 21 . x = 2+t Vi du 2: ́ ̣ Cho đường thăng d: ̉ y = 4 + t va hai điêm A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tim điêm ̀ ̉ ̀ ̉ z = −2 ́ ̣ ́ ̉ M trên d sao cho tam giac MAB co diên tich nho nhât ́ ́ Giai: ̉ ́ ̉ ̣ Lây điêm M trên d, Goi H la hinh chiêu vuông ̀ ̀ ́ ́ ̉ goc cua M lên AB 1 ́ ̣ ́ Tam giac MAB co diên tich S = ́ AB.MH đaṭ giá 2 ̣ ̉ ̉ tri nho nhât khi MH nho nhât, hay MH la đoan ́ ́ ̀ ̣ ́ ̉ vuông goc chung cua AB va d. ̀ r Ta thây d qua M ́ 1(2; 4; 2), co vtcp ́ u = (1;1;0) uuur uur AB qua A(1; 2; 3) va ̀ AB = (0; 2;2) = −2u1 uur ́ u1 = (0;1;1) la vec t vơi ̀ ́ ơ chi ph̉ ương cua AB ̉ x =1 Phương trinh tham sô AB ̀ ́ y = 2+t' z= 3+t' uuuur M(2 + t; 4+ t; 2) d ,H(1; 2+ t’;3+t’) AB , MH = ( t 1; t’ – t 2; t’ +5) uuuur r MH.u = 0 t '− 2t = 3 � t ' = −3 � Ta co ́ �uuuur uur � � � � MH.u1 = 0 2t '− t = −3 � t = −3 � ̣ Vây M(1; 1; 2), H(1; 1; 0) khi đo MH = ́ 2 3 , AB = 2 2 1 ̣ ́ S ∆MAB = Diên tich AB.MH = 6 2 x=0 Vi du 3: ́ ̣ Cho đương thăng d: ̀ ̉ y=t . Trong cac măt câu tiêp xuc ́ ̣ ̀ ́ ́ z= 2−t 12 vơi ca hai đ ́ ̉ ường thăng d va truc Ox, hay viêt ph ̉ ̀ ̣ ̃ ́ ương trinh măt câu ̀ ̣ ̀ ́ ́ ́ ̉ (S) co ban kinh nho nhât. ́
Giai:̉ Gia s̉ ử măt câu (S) co tâm I, ban kinh R tiêp xuc v ̣ ̀ ́ ́ ́ ́ ́ ới d tai M, tiêp xuc v ̣ ́ ́ ới Ox tai Ṇ ́ ̣ ̀ Ta thây 2R = IM + IN ≥ MN, do đo măt câu (S) co đ ́ ́ ường kinh nho nhât la 2R = ́ ̉ ́ ̀ ̀ ̉ ̉ ̀ ̣ MN khi va chi khi MN nho nhât hay MN la đoan vuông goc chung cua d va Ox. ́ ́ ̉ ̀ r Đương thăng d qua M(0; 0; 2), co vtcp ̀ ̉ ́ u = (0;1; −1) r Ox qua O(0; 0; 0), co vtcp ́ i = (1;0;0) r r uuuur [ u, i ] OM = (0; 0; 1)(0; 0; 2) = 2 0 nên d va Ox cheo nhau. ̀ ́ uuuur Với M(0; t; 2 t) d, N(t’; 0; 0) Ox va ̀ MN = ( t’; t; t – 2) uuuur r MN.u = 0 −t − t + 2 = 0 � t =1 � Ta co ́ �uuuur r �� MN.i = 0 t' = 0 � t'=0 � ̣ Vây M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O MN 1 1 2 ̣ ̀ Măt câu (S) co tâm I (0 ́ ; ; ) , ban kinh R = ́ ́ = 2 2 2 2 1 1 1 Phương trinh măt câu (S): ̀ ̣ ̀ x 2 + ( y − )2 + ( z − )2 = 2 2 2 2. Cac bai toan c ́ ̀ ́ ực tri liên quan đên vi tri cua đ ̣ ́ ̣ ́ ̉ ường thăng, măt phăng. ̉ ̣ ̉ Baì toan ́ 1: Cho hai điêm ̉ phân biêṭ A,B. Viêt́ phương trinh măt phăng ( ̀ ̣ ̉ α ) đi qua A va cach B ̀ ́ môt khoang l ̣ ̉ ơn nhât. ́ ́ Lơi giai ̀ ̉: ̣ ́ ̉ Hoi H la hinh chiêu vuông goc cua B lên măt phăng ̀ ̀ ́ ̣ ̉ (α), khi đo tam giac ABH vuông tai H va khoang ́ ́ ̣ ̀ ̉ cach d(B; ( ́ α)) = BH ≤ AB. Vây d(B; ( ̣ α)) lơn nhât ́ ́ băng AB khi A ̀ ≡ H, khi đo ( ̀ ̣ ̉ ́ α) la măt phăng đi qua A va vuông goc v ̀ ́ ới AB. Vi du ́ ̣ 1: Viêt ph ́ ương trinh măt phăng ( ̀ ̣ ̉ ̉ ̉ α) đi qua điêm D(1; 2; 3) va cach điêm ̀ ́ ̣ ̉ I(3; 1; 2) môt khoang l ơn nhât. ́ ́ Giaỉ : 13
̉ ̣ ̉ (α) cach điêm I(3; 1; 2) môt khoang l ́ ơn nhât khi ( ́ ́ ̀ ̣ ̉ α) la măt phăng đi qua D và ́ ới DI. vuông goc v uur ̣ DI = (2; 1; -5) lam vecto phap tuyên (α) nhân ̀ ́ ́ Phương trinh măt phăng( ̀ ̣ ̉ α): 2(x 1) + 1(y +2) – 5(z 3 ) = 0 2x + y – 5z + 15 = Vi du 2: ́ ̣ Cho hai điêm A(2; 1; 3), B(1; 1; 1), goi ( ̉ ̣ α) la măt phăng qua B. ̀ ̣ ̉ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ơi ( Trong cac măt câu tâm A va tiêp xuc v ́ ́ ương trinh măt câu ́ α), hay viêt ph ̃ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ́ ơn nhât. (S) co ban kinh l ́ ́ 0 Giai:̉ ̣ ̀ Măt câu (S) co ban kinh R = d(A; ( ́ ́ ́ α)) lơn nhât khi ( ́ ́ ́ ới AB α) qua B va vuông goc v ̀ uuur BA = (1; 2; 2) la vect ̀ ́ ơ phap tuyên cua ( ́ ́ ̉ α) R = AB=3 Phương trinh măt câu (S): (x 2) ̀ ̣ ̀ 2 + (y 1)2 + (z – 3)2 = 9. Bai toan 2 ̀ ́ : Cho điêm A va đ ̉ ̀ ường thăng ∆ không đi qua A. Viêt ph ̉ ́ ương trinh ̀ măt phăng ( ̣ ̉ α ) chưa ∆ sao cho khoang cach t ́ ̉ ́ ư A đên ( ̀ ́ α ) lớn nhât́ Lơi giai ̀ ̉: ̣ ́ ̉ ̣ Goi H la hinh chiêu vuông goc cua A lên măt phăng ̀ ̀ ́ ̉ (α), ́ ̉ K la hinh chiêu vuông goc cua A lên ̀ ̀ ́ ∆ Ta co d(A; ( ́ α)) = AH ≤ AK lớn nhât thi H ́ ̀ ≡ K, khi đo ( ̀ ̣ ̉ ́ α) la măt phăng đi qua ∆ va vuông goc ̀ ́ vơi AK. Hay ( ́ α) qua ∆ va vuông goc v ̀ ́ ới mp(∆, A). Vi du 1 ́ ̣ : Cho ba điêm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; 2; 1). Viêt ph ̉ ́ ương ̣ ̉ trinh măt phăng ( ̀ ̉ ̣ ̉ α) đi qua hai điêm A, B va cach C môt khoang l ̀ ́ ơń nhât.́ Giaỉ : ̣ ̉ Măt phăng ( ̉ ̣ ̉ α) đi qua hai điêm A, B va cach C môt khoang l ̀ ́ ớn nhât khi ( ́ α) đi qua ̉ hai điêm A, B va vuông goc v ̀ ́ ới mp(ABC). uuur uuur AB = (1; −1; −1) , AC = (−2; −3; −2) r uuur uuur ́ ́ ơ phap tuyên (ABC) co vect ́ ́ n = [AB, AC] = (−1;4; −5) 14
uur r uuur (α)covect ́ ́ ơphaptuyên ́ ́ nα = [n, AB] = (−9 − 6; −3) = −3(3; 2;1) Phương trinh ( ̀ α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0 3x + 2y + z – 11 = 0 Bai toan 3: ̀ ́ Cho măt phăng ( ̣ ̉ α ) va điêm A thuôc ( ̀ ̉ ̣ α ), lây B không thuôc ( ́ ̣ α ). Tim ̀ đường thăng ∆ năm trong ( ̉ ̀ α ) đi qua A va cach B môt khoang l ̀ ́ ̣ ̉ ơn nhât, nho ́ ́ ̉ nhât. ́ Lơi giai: ̀ ̉ ̣ Goi H la hinh chiêu cua B lên ̀ ̀ ́ ̉ ∆ ta thây d(B; ́ ∆) = BH ≤ AB ̣ Vây khoang cach t ̉ ́ ư B đên ̀ ́ ∆ lơn nhât khi ́ ́ A ≡ H hay ∆ la đ ̀ ường thăng năm trong ̉ ̀ (α) va vuông goc v ̀ ́ ới AB. ̣ Goi K la hinh chiêu vuông goc cua ̀ ̀ ́ ́ ̉ B lên (α) khi đo d(B; ( ́ α)) = BH ≥ BK ̣ Vây khoang cach t ̉ ́ ư B đên ̀ ́ ∆ nho nhât khi ̉ ́ K ≡ H hay ∆ la đ ̀ ường thăng đi qua hai ̉ ̉ điêm A, K. Vi du 1 ́ ̣ : Cho măt phăng ( ̣ ̉ ̀ ̉ α): 2x – 2y + z + 15 = 0 va điêm A (3; 3; 3). ́ ương trinh đ Viêt ph ̀ ường thăng ∆ năm trên ( ̉ ̀ ̉ ̉ α), qua điêm A va cach điêm B(2;3; ̀ ́ ̣ ̉ 5) môt khoang : ̉ 1) Nho nhât́. 2) Lơn nhât. ́ ́ Giai: ̉ uur Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến nα = (2; −2;1) ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ 1) Goi H la hinh chiêu vuông goc cua B lên (α) x = 2 + 2t Phương trinh BH: ̀ y = 3 − 2t z= 5+t ̣ ̣ ̉ Toa đô điêm H ưng v ́ ơi t la nghiêm cua ph ́ ̀ ̣ ̉ ương trinh: ̀ 2(2 + 2t) 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0 � t = −2 hay H(2; 7; 3) uuur ̉ ̉ Ta thây d(B; ∆) nho nhât khi ∆ đi qua hai điêm A, H do vây ́ ́ ̣ AH = (1;4;6) la vec t ̀ ́ ơ ̉ ương cua ∆. chi ph ̉ x+3 y-3 z +3 Phương trinh cua ∆: ̀ ̉ = = 1 4 6 2) Ta thây d(B; ∆) l ́ ơn nhât khi ∆ la đ ́ ́ ̀ ường thăng năm trong ̉ ̀ (α), qua A va vuông ̀ ́ ới AB. goc v 15
uur uuur uur ̉ ương u∆ = [AB, nα ] = (16;11; −10) ́ ́ ơ chi ph ∆ co vect x+3 y-3 z +3 Phương trinh cua ∆: ̀ ̉ = = 16 11 −10 x = 1+ t Vi du 2: ́ ̣ Cho hai điêm A(2; 1; 1), B(1; 2; 0) va đ ̉ ̀ ường thăng d: ̉ y=0 z = −t 1) Viêt ph ́ ương trinh măt phăng ( ̀ ̣ ̉ α) đi qua d va B.̀ 2) Viêt́ phương trinh ̀ đường thăng ̉ ∆1 đi qua B căt́ d sao cho ̉ ́ ừ A đên ∆ khoang cach t ́ 1 lơn nhât. ́ ́ 3) Viêt́ phương trinh ̀ đường thăng̉ ∆2 đi qua B căt́ d sao cho ̉ ́ ừ A đên ∆ khoang cach t ̉ ́ 2 nho nhât. ́ Giai: ̉ r uuur 1) Đương thăng d qua điêm M(2; 0; 0) co vtcp ̀ ̉ ̉ ́ ud = (1;0; -1) , MB = (−2;2;0) uur uuur uur [ud , MB] = (2;2;2) = 2(1;1;1) = 2nα uur (α) đi qua B nhân ̣ nα = (1;1;1) lam vect ̀ ́ ơ phap tuyên ́ ́ Phương trinh (̀ α): x + y + z – 1 = 0 ̣ ́ ̉ 2) Goi H la hinh chiêu cua A lên ( ̀ ̀ ̉ α), đê d(A, ∆ ̉ 1) nho nhât khi ∆ ́ ̉ 1 đi qua hai điêm x = 2+t B,H. Phương trinh tham sô AH: ̀ ́ y = 1+ t z = −1 + t ̣ ̣ ưng v Toa đô H ́ ơi t la nghiêm ph ́ ̀ ̣ ương trinh: ̀ 1 5 2 −4 2 + t + 1 + t 1 + t – 1 = 0 � 3t + 1 = 0 � t = − H( ; ; ) 3 3 3 3 uuur 8 −4 −4 4 4 uur uur BH = ( ; ; ) = (2; −1; −1) = u1 ∆1 nhân ̣ u1 lam vec t ̀ ́ ơ chi ph ̉ ương 3 uu3r 3 3 3 r Ta thây ́ u1 va ̀ ud không cung ph ̀ ương nên d va ∆ ̣ ̣ ̀ 1 căt nhau (do cung thuôc măt ́ ̀ ̉ phăng ( α)) x+1 y-2 z ̣ Vây phương trinh ∆ ̀ 1: = = 2 −1 −1 ̣ ̀ ̀ ́ ̉ 3) Goi K la hinh chiêu cua A lên ∆ 2 ta co d(A, ∆ ́ ̉ 2 ) = AK ≤ AB, đê d(A, ∆ 2 ) lơn ́ nhât khi K ́ ≡ B hay ∆2 năm trong ( ̀ ́ ới AB. α)va vuông goc v ̀ uur uuur uur uur Ta co ́ [nα , AB] = (0; −4;4) = −4(0;1; −1) = −4u2 ∆2 nhân ̣ u2 lam vec t ̀ ́ ơ chi ph ̉ ương, uur r ̣ măt khac ́ u2 va ̀ ud không cung ph ̀ ương nên d va ∆ ̣ ̀ 2 căt nhau (do cung thuôc măt ́ ̀ ̣ ̉ phăng ( α)) 16
x = −1 Phương trinh ∆ ̀ 2: y = 2 + t z = −t Bai toan 4 ̀ ́ : Cho măt phăng ( ̣ ̉ α ) va điêm A thuôc ( ̀ ̉ ̣ α ), đường thăng d không song ̉ song hoăc năm trên ( ̣ ̀ α ) va không đi qua A. Tim đ ̀ ̀ ường thăng ∆ năm trên ( ̉ ̀ α ), đi qua A sao cho khoang cach gi ̉ ́ ưa ∆ va d ̃ ̀ là lơn nhât. ́ ́ Lơi giai: ̀ ̉ ̣ 1 la đ Goi d ̀ ường thăng qua A va song ̉ ̀ song vơi d, B la giao điêm cua d v ́ ̀ ̉ ̉ ới (α). ́ ̀ ̣ ̉ Xet (P) la măt phăng (d 1, ∆), H va I la hinh ̀ ̀ ̀ ́ ̉ chiêu vuông goc cua B lên (P) va d ́ ̀ 1. ́ ̉ Ta thây khoang cach gi ́ ữa ∆ va d la BH va ̀ ̀ ̀ uur uur uur BH ≤ BI nên BH lơn nhât khi I ́ ́ ≡ H, khi đo ∆ co vtcp ́ ́ u∆ = [BI , nα ] . x-1 y-2 z -3 Vi du 1 ́ ̣ : Cho đương thăng d: ̀ ̉ = = ̣ ̉ , măt phăng ( α): 2x – y – z + 4 = 0 1 2 −1 ̀ ̉ ́ ương trinh đ va điêm A( 1; 1; 1).Viêt ph ̀ ường thăng ∆ năm trên ( ̉ ̀ α), đi qua A sao ̉ cho khoang cach gi ́ ưa ∆ va d la l ̃ ̀ ̀ ớn nhât. ́ r uur Giai: ̉ Đương thăng d co vtcp ̀ ̉ ́ u = (1; 2; 1), (α) co vtpt ́ nα = (2; 1; 1) x = 1+ t Phương trinh tham sô d: ̀ ́ y = 2 + 2t z = 3− t ̣ ̉ ̉ Goi B la giao điêm cua d va ( ̀ ̣ ̣ ứng vơi t la nghiêm ph ̀ α), toa đô B ́ ̀ ̣ ương trinh: ̀ 2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0 t = 1 B(0; 0; 4) Xet d ̀ ường thăng qua A va song song v ́ 1 la đ ̉ ̀ ới d x = −1 + t Phương trinh tham sô đ ̀ ́ ường thăng d ̉ 1: y = 1 + 2t z = 1− t ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ Goi I la hinh chiêu vuông goc cua B lên d 1 uur I(1 + t; 1 + 2t; 1 – t), BI = (1 + t; 1 + 2t;5– t) uur r Ta co ́ BI .u = 0 1 + t + 2(1 + 2t) –(5– t) = 0 t = 1 I(2; 1; 2) 17
uur uur uur Đương thăng ∆ co vtcp ̀ ̉ ́ u∆ = [BI , nα ] = (5; 10; 4) x+1 y-1 z -1 Phương trinh ∆: ̀ = = −5 −10 4 Vi du 2 ́ ̣ : Cho măt phăng (P): x + y – z + 1= 0, điêm A(1; 1; 2) va đ ̣ ̉ ̉ ̀ ường thăng ∆ ̉ x+1 y z-4 : = = ́ ường thăng đi qua A va song song song v . Trong cac đ ̉ ̀ ơi (P), ́ 2 1 −3 ́ ương trinh đ hay viêt ph ̃ ̀ ường thăng d sao cho khoang cach gi ̉ ̉ ́ ữa d va ∆ l ̀ ớn nhât. ́ Giaỉ : ̣ ̉ Măt phăng ( α) qua A va song song v ̀ ơi (P) co ph ́ ́ ương trinh: x + y – z + 2= 0 ̀ => d năm trên ( ̀ α). r uur Đương thăng ∆ co vtcp ̀ ̉ ́ u= (2;1;3), ( α) co vtpt ́ nα = (1;1;1) x = −1 + 2 t Phương trinh tham sô ∆: ̀ ́ y=t z = 4 − 3t ̣ ̉ ̉ Goi B la giao điêm cua ∆ va ( ̀ ̣ ̣ ứng với t la nghiêm ph ̀ α), toa đô B ̀ ̣ ương trinh: ̀ 1 1 5 1+ 2t + t – (4 3t) + 2 = 0 t = B(0; ; ) 2 2 2 Xet ∆ ̀ ường thăng qua A va song song v ́ 1 la đ ̉ ̀ ới ∆ x = 1 + 2t Phương trinh tham sô đ ̀ ́ ường thăng ∆ ̉ 1: y = −1 + t z = 2 − 3t ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ Goi H la hinh chiêu vuông goc cua B lên ∆ 1 H(1 + 2t; 1 + t; 2 – 3t) uuur 3 uur r 3 1 BH = (1 + 2t; t 2 ; 3t).Ta co ́ BI .u = 0 2 + 4t + t + 9t = 0 t = − 2 28 uuur 13 43 3 1 1 r BH =( 14 ; − 28 ; 28 ) = 28 (26; 43; 3) = 28 u1 uur uur uur Đương thăng d co vtcp ̀ ̉ ́ ud = [u1, nα ] = (40; 29; 69) x-1 y+1 z -2 Phương trinh d : ̀ = = 40 29 69 . ́ 5: Cho măṭ phăng Baì toan ̉ (α ) và điêm ̉ A thuôc̣ (α ), đường thăng ̉ d không song song 18
hoăc năm trên ( ̣ ̀ α ). Tim đ ̀ ường thăng ∆ năm trên ( ̉ ̀ α ), đi qua A va tao v ̀ ̣ ơi d goc ́ ́ lơn nhât, nho nhât. ́ ́ ̉ ́ Lơi giai: ̀ ̉ Ve đ ̃ ường thăng d̉ 1 qua A va song song v ̀ ơi d. Trên d ́ ̉ 1 lây điêm B khac A la ́ ́ ̀ ̉ ́ ̣ ̣ điêm cô đinh, goi K, H la hinh chiêu vuông goc cua B lên ( ̀ ̀ ́ ́ ̉ α) va ∆. ̀ BH BK Ta co sin(d, ∆) = ́ ≥ ̣ ̉ . Do vây goc (d, ∆) nho nhât khi K ́ ́ ≡ H hay ∆ là AB AB đương thăng AK. ̀ ̉ uur uur uur Goc (d, ∆) l ́ ơn nhât băng 90 ́ ́ ̀ 0 khi ∆ ⊥ d va ∆ co vtcp ̀ ́ u∆ = [ud , nα ] Vi du 1: ́ ̣ Cho măt phăng ( ̣ ̉ ̉ ̀ ường thăng α): 2x + 2y – z – 7 = 0, điêm A(1; 2; 2) va đ ̉ x+2 y-1 z -3 d: = = . 1 1 1 1) Viêt ph ́ ương trinh đ ̀ ường thăng ∆ ̉ 1 năm trên ( ̀ ̀ ̣ ơi d môt α), đi qua A va tao v ́ ̣ ́ ớn nhât. goc l ́ 2) Viêt ph ́ ương trinh đ ̀ ường thăng ∆ ̉ 2 năm trên ( ̀ ̀ ̣ ơi d môt α), đi qua A va tao v ́ ̣ ́ ̉ goc nho nhât. ́ Giai: ̉ r r (α) co vect ́ ơ phap tuyên ́ ́ nα = (2;2; -1) , d co vect ́ ơ ud = (1;1;1) qua điêm ̉ r r M(2; 1; 3). Ta thây A ́ ̣ (α) măt khac ́ nα ud 0 nên d không song song hoăc ̣ năm trên ( ̀ α). ̣ ơi d môt goc l 1) ∆1 tao v ́ ̣ ́ ớn nhât khi ∆ ́ ⊥d uur uur 1uur Do đo ∆́ 1 co vect ́ ̉ ương u1 = [ud , nα ] = (3; 3; 0 ) = 3(1; 1; 0) ơ chi ph x = 1+ t ́ ̉ 1: y = 2 − t Phương trinh tham sô cua ∆ ̀ z = −2 ́ ường thăng d 2) Xet đ ̉ 1 qua A va song song v ̀ ơi d ́ x-1 y-2 z +2 Phương trinh d ̀ 1: = = ̉ , lây điêm B(2; 3; 1) ́ d1. 1 1 1 ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ Goi K la hinh chiêu vuông goc cua B lên (α) x = 2 + 2t Phương trinh tham sô cua BK ̀ ́ ̉ y = 3 + 2t , toa đô cua K ̣ ̣ ̉ ưng v ́ ơi t la nghiêm cua ́ ̀ ̣ ̉ z = −1 − t phương trinh : 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) – ( 1 – t) – 7 = 0 ̀ 19
4 10 19 −5 9t + 4 = 0 hay t = − K( ; ; ) 9 9 9 9 uuur 1 1 13 ∆2 tao v ́ ̣ ́ ̉ ́ ́ ̉ ̀ AK = ( ; ; ̣ ơi d môt goc nho nhât khi no đi qua hai điêm A va K, ) uur uuur 9 9 9 ∆2 qua A(1; 2; 2), co vect ́ ̉ ương u2 = 9.AK = (1;1;13) ơ chi ph x-1 y-2 z +2 Phương trinh ∆ ̀ 2 : = = 1 1 13 x-1 y-2 z -3 Vi du 2: ́ ̣ Cho hai điêm A(1; 0; 0) , B( 0; 2; 0) va đ ̉ ̀ ường thăng d: ̉ = = . 2 1 1 ́ ương trinh đ Viêt ph ̀ ường thăng ∆ qua A, vuông goc v ̉ ́ ơi d va tao v ́ ̀ ̣ ơi AB môt goc ́ ̣ ́ ̉ nho nhât. ́ Giai: ̉ r Đường thăng d co vect ̉ ́ ơ ud = (2;1;1) ́ ̣ ̉ Xet măt phăng ( α) qua A va vuông goc v ̀ ́ ới d ∆ năm trên ( ̀ α) r (α) nhâṇ ud = (2;1;1) lam vect ̀ ơ phap tuyên. ́ ́ Phương trinh ( ̀ α): 2x + y + z – 2 = 0. r ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̉ Goi H la hinh chiêu vuông goc cua B lên ( α), BH co vect ́ ơ ud = (2;1;1) x = 2t Phương trinh tham sô cua BH ̀ ́ ̉ y = −2 + t , toa đô cua H ̣ ̣ ̉ ưng v ́ ơi t la nghiêm cua ́ ̀ ̣ ̉ z=t 2 4 −4 2 phương trinh: 4t 2 + t + t – 2 = 0 ̀ 6t – 4 = 0 � t = hay H( ; ; ) 3 3 3 3 uuur 1 −4 2 ∆ tao v ́ ̣ ́ ̉ ́ ́ ̉ ̀ AH = ( ; ̣ ơi AB môt goc nho nhât khi no đi qua hai điêm A va H, ; ) uur uuur 3 3 3 ∆ qua A(1; 0; 0), co vect ́ ̉ ương u∆ = 3.AH = (1; −4;2) ơ chi ph x-1 y z Phương trinh ∆ : ̀ = = 1 −4 2 C. KẾT LUẬN Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biêt v ́ ận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến 20