intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm: Phát triển tư duy tích cực, sáng tạo của học sinh khá, giỏi thông qua việc xây dựng, khái quát và mở rộng các bài toán số học

Chia sẻ: Trần Đình Hoàng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:26

Thêm vào BST
Báo xấu
77
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu là dạy cho học sinh biết khám phá, tìm tòi, khai thác bài toán theo những hướng tiếp cận khác nhau, không chỉ dừng lại ở một kết quả, một cách giải, mà còn phải biết đề xuất cách giải khác, một hướng phát triển bài toán mới- đó chính là mục tiêu hướng đến của đề tài này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Phát triển tư duy tích cực, sáng tạo của học sinh khá, giỏi thông qua việc xây dựng, khái quát và mở rộng các bài toán số học

  1. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU...........................................................................................................2 I. ĐẶT VẤN ĐỀ:..................................................................................................2 1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu....................................................... 2 2. Ý nghĩa và tác dụng của đề tài ...........................................................3 3. Phạm vi nghiên cứu..............................................................................3 II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH .......................................................................... 3 1. Cơ sở lí luận và thực tiển.......................................................................3 2. Các biện pháp tiến hành ......................................................................4 B. NỘI DUNG........................................................................................................6 I. MỤC TIÊU.......................................................................................................6 II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI........................................................................6 1. Thuyết minh tính mới...................................................................................6 2. Khả năng áp dụng.......................................................................................22 3. Lợi ích kinh tế xã hội .................................................................................22 C. KẾT LUẬN.......................................................................................................23 1. Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp....................23 2. Những triển vọng trong việc vận dụng và phát triển giải pháp..............23 3. Đề xuất, kiến nghị...................................................................................23 NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG.............................26 Saùng kieán kinh nghieäm 1
  2. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 A. MỞ ĐẦU I. ĐẶT VẤN ĐỀ: 1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Trong nhà trường trung học cơ sở hiện nay, mỗi thầy cô giáo không ngừng đổi mới  phương pháp dạy học nhưng việc tìm ra  phương pháp hợp lí, phát huy tính tích cực, sáng   tạo của học sinh, thu hút được học sinh không phải là chuyện đơn giản! Phương pháp   dạy học của giáo viên vẫn còn nặng tính thuyết trình, giải thích sách giáo khoa, còn bị  động bởi sách giáo khoa, chưa có sự  gia công đáng kể  để  đề  xuất những phương pháp  mới, dẫn đến học sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ động và không có cơ hội phát huy   sự sáng tạo của bản thân. Đối với học sinh: về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học toán của học sinh   còn rất nhiều thiếu xót đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và   thực tiễn. Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao. Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm toán   là không chịu nghiên cứu kĩ bài toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm   toán. Trong quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ  hoặc luẩn quẩn. Trình bày cẩu thả,  tuỳ tiện … Vì vậy yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học theo   hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo   viên. Học sinh tự giác, chủ  động tìm tòi, phát hiện, giải quyết vấn đề  và có ý thức vận   dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn. Trong đó có đổi  mới dạy, học môn Toán. Trong  quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán  ở  trường THCS, cần phải chú trọng đến việc khai thác và phát triển cho một bài toán, nó   không chỉ cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán, mà cơ bản hơn là nâng   cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá một bài toán để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính   sáng tạo cho các em học sinh. Hơn nữa, việc liên kết các bài toán khác nhau, tìm mối liên   hệ chung giữa chúng sẽ  giúp cho học sinh có hứng thú khoa học hơn khi học Toán. Một  trong những điều kiện có thể phát triển tư duy tích cực ­ độc lập ­ sáng tạo của học sinh   là phát hiện và giải quyết vấn đề mới từ vấn đề quen thuộc.  Trong quá trình công tác, bản thân tôi không ngừng học tập, nghiên cứu và vận  dụng lý luận đổi mới vào thực tế giảng dạy của mình. Qua quá trình tập huấn, được sự  cộng tác của đồng nghiệp và sự  chỉ  đạo của ban giám hiệu nhà trường tôi đã tiến hành   nghiên cứu và vận dụng quan điểm trên vào công tác giảng dạy của mình và thấy rất có   hiệu quả. Saùng kieán kinh nghieäm 2
  3. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài  “Phát triển tư duy tích cực, sáng   tạo của học sinh khá, giỏi thông qua việc xây dựng, khái quát và mở rộng các bài toán   số  học   ”.Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán theo tinh   thần đổi mới. 2. Ý nghĩa và tác dụng của đề tài   Hình thành cho học sinh phương pháp suy luận khoa học, rèn luyện các thao tác tư  duy quan trọng của toán học như: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá,   tương tự  hoá, lật ngược vấn đề, quy lạ  về  quen, … có thói quen dự  đoán, tìm tòi, nhìn   nhận một vấn đề  dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có năng lực phát hiện vấn đề, giải  quyết vấn đề, đánh giá cách giải quyết vấn đề  đó, diễn đạt một vấn đề  có sức thuyết   phục. Ngoài mục đích trên, đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong   quá trình đọc và nghiên cứu tài liệu, cũng như giảng dạy bồi dưỡng môn toán.      3. Phạm vi nghiên cứu Khảo sát, đề  xuất và mở  rộng các bài toán số  học dạng tính tổng trong chương   trình toán THCS và trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khá, giỏi lớp 6, 7, 8 và 9 II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH  1. Cơ sở lí luận và thực tiển        a. Cơ sở lí luận: – Đặc điểm của lứa tuổi THCS là: muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự  mình  khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động  học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng   dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ  thuật của thầy cô giáo. Hoạt động dạy học   toán, giải các bài toán khó càng có điều kiện thuận lợi giúp cho việc hình thành và phát   triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh một cách tốt nhất – Tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh được thể hiện một số mặt sau:      + Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư  tưởng   rập khuôn, máy móc.      + Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề  ở nhiều khía cạnh. Saùng kieán kinh nghieäm 3
  4. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017      + Phải có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi tại sao? Do đâu? Như thế nào? Liệu   có trường hợp nào nữa  không ?  Các trường hợp khác thì kết luận trên có đúng nữa   không ?      + Tính độc lập còn thể hiện ở chổ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề.      + Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã biết.      b. Cơ sở thực tiễn:     Qua nhiều năm giảng dạy, tôi thấy:     – Học sinh yếu toán là do kiến thức còn hổng, chưa thực sự nắm vững kiến thức,   lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập.     – Học sinh còn thụ  động, làm việc rập khuôn, máy móc để  từ  đó làm mất đi tính  tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.     – Học không đi đôi với hành làm cho các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức,   rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không  được phát huy hết.     – Không ít học sinh thực sự  chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù   hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.     – Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác, không   khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết tính  tích cực, độc   lập, sáng tạo của bản thân.     – Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo   bài toán trong các các giờ luyện tập, tự chọn...     – Việc chuyên sâu một vấn đề  nào đó, liên hệ  được các bài toán với nhau, phát  triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn là nâng   cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học toán.    Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học   sao cho phù hợp. 2. Các biện pháp tiến hành  Để hoàn thành đề tài tôi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp cụ thể là: + Phương pháp đọc sách, nghiên cứu tài liệu. + Phương pháp thực nghiệm. + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. + Phương pháp trò chuyện. Saùng kieán kinh nghieäm 4
  5. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 + Phương pháp điều tra, trắc nghiệm.  Ngoài ra, tôi còn sử dụng một số phương pháp khác. Saùng kieán kinh nghieäm 5
  6. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 B. NỘI DUNG I. MỤC TIÊU Dạy cho học sinh biết khám phá, tìm tòi, khai thác bài toán theo những hướng tiếp   cận khác nhau, không chỉ  dừng lại  ở  một kết quả, một cách giải, mà còn phải biết đề  xuất cách giải khác, một hướng phát triển bài toán mới­ đó chính là mục tiêu hướng đến  của đề tài này. II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1. Thuyết minh  tính mới      ­ Qua những bài toán mà học sinh đã giải được, tôi định hướng cho học sinh tư duy   theo các phương pháp như: Tương tự, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá để  phát triển   thêm những vấn đề mới, bài toán mới.     ­ Trong phần này tôi xin được phép phát triển từ  một bài toán quen thuộc để  xây   dựng một số  bài toán khác có liên quan. Nhằm làm cho học sinh thấy được, tầm quan   trọng trong việc thay đổi các giả  thiết, tương tự  hoá bài toán, liên hệ  giữa bài toán này  với bài toán khác có liên quan. Bài toán mở đầu: Tính tổng:  S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 Việc tính tổng S ở bài toán trên là hoàn toàn quen thuộc, bằng cách dựa vào cách tính của   nhà toán học Gauss ở sách giáo khoa toán 6 tập 1 Ta có:   S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100       S = 100 + 99 + 98+ 97 + ... + 2 + 1                            2S = 101+ 101+ 101+ 101+ ... + 101 + 101(coù100 soáhaïng) 100.101          � S = = 5050 2 Từ bài toán trên ta có một nhận xét: 2S = (100 + 1) + (100 + 1) + (100 + 1) + ... + (100 + 1) + (100 + 1) (coù100 soáhaïng) 100.(100+ 1) �S = 2 100.(100 + 1) Như vậy:  S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 =    2 Nếu mở rộng tổng trên với n số hạng ta có bài toán sau: Bài toán 1a. Tính tổng:   S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n − 1 + n (n ﾥ ) Dựa vào cách tính tổng như bài toán mở đầu ta dễ dàng có được: Saùng kieán kinh nghieäm 6
  7. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 n(n + 1)    S = 1+ 2 + 3+ 4 + ... + n − 1+ n = 2 Vấn đề  tiếp theo là ngoài cách tính trên ta còn có cách tính nào khác nữa hay  không? Ta thử phân tích khác như sau: 1.2 1 =1 = 2 2.3 1+ 2 =3 = 2 3.4 1+ 2 + 3 =6= 2 4.5 1+ 2 + 3+ 4 = 10 = 2 n(n + 1) Phải chăng   S = 1+ 2 + 3+ 4 + ... + n − 1+ n =   2 Ta có thể chứng minh kết quả trên bằng phương pháp quy nạp: Kiểm tra với n = 1 ta có:  S(1) = 1 (đúng) n(n + 1) k(k+ 1) Giả sử   S(n) =  đúng với n = k, (k > 1) nghĩa là:  S(k) = 2 2 Ta cần chứng minh mệnh đề này đúng với n = k + 1 tức:  (k+ 1)(k+ 2) S(k + 1) = 1+ 2 + 3+ 4 + ... + k + k + 1= 2 Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có: k(k+ 1) S = 1+ 2 + 3+ 4 + ... + k = 2 k(k + 1) (k+ 1)(k+ 2) Suy ra:  S(k + 1) = 1+ 2 + 3+ 4 + ... + k + (k + 1) = + (k + 1) =  (đpcm) 2 2 Ở bài toán trên khoảng cách giữa các số hạng là 1 đơn vị. Liệu có thể tính tổng của một   dãy số với khoảng cách giữa các số hạng cho trước tùy ý hay không? Ta thử làm bài toán   sau: Bài toán 1b. Tính tổng:     A =  2 + 4 + 6 + 8 +… +  2n Saùng kieán kinh nghieäm 7
  8. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017   B =  1 + 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1)            Nhận xét:  * Tổng A có thể tính được một cách dễ dàng nhờ cách phân tích: n (n + 1)    A =  2 + 4 + 6 + 8 + + 2n =  2(1+ 2 + 3+ 4 + + n) = 2 = n(n + 1) 2 2n(2n + 1)    A + B =  1+ 2 + 3+ 4 + + 2(n − 1) +  2n = = n(2n + 1) 2 Do đó:      B =  n(2n + 1) − n(n + 1) =  n2 * Tổng B có thể tính được bằng cách khác dựa vào cách phân tích sau: 2 1+ 3� � 1 + 3                      =    4    =    2 = � � 2 �2 � 2 1+ 5 � � 1 + 3 + 5              =   9  =    3 = � �  2 �2 �                           2 1+ 7 � � 1 + 3 + 5 + 7  = 16 =   42 = � � �2 � 2 1+ (2n − 1) � � 1 + 3 + + (2n − 1)  =  � �= n 2 � 2 �  Tương tự như vậy ta có bài toán: Bài toán 1c. Tính tổng:    S = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3n − 2)   Có thể phát triển bài toán 1 ở dạng tổng quát sau đây: Bài toán 1d. Tính tổng: S = a1 + a 2 + a 3 + ... + a n Với ( a1 0, an = an −1 + d , n ﾥ 2, d nguyên dương tùy ý).   Theo đề bài ta có: a1 =  a1  a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d ………………………… an = an­1 + d = a1 + (n – 1)d  Suy ra:         S = a1 + a2 + a3 + ... + an = na1 + d + 2d + 3d + 4d +…+ (n – 1)d  Saùng kieán kinh nghieäm 8
  9. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 (n − 1)n n(a1 + an )                        = na1 + [1+ 2 + 3+ 4 + ... + (n − 1)]d = na1 + d= 2 2 * Tới đây lại xuất hiện vấn đề  tiếp theo là liệu có thể  tính tổng của một dãy số   với khoảng cách  d  thay đổi giữa các số hạng hay không ? Xuất phát từ việc phân tích  của bài toán 1a, ta có: n(n+ 1) 1.2 2.3 3.4 n(n+ 1) 1+ 3+ 6 + 10 + ... + = + + + ..... + 2 2 2 2 2            Từ suy nghĩ trên, ta có thể đề xuất bài toán sau: Bài toán 1e: Tính tổng:  E  =  1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n+1)          Ta cố gắng tìm cách phân tích để đưa bài toán về gần với bài toán 1 bằng cách sau   đây:  E  =  1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n+1)                 =  1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + 4.( 1+ 4) + ……+ n.(1 + n)                  = (1  + 2 + 3 + 4 + 5 + …. + n) + ( 12 + 22 + 32 + ... + n 2 ) Như vậy để tính được tổng E ta cần tính tổng:  F  =  12 + 22 + 32 + ... + n2 Việc nghiên cứu bài toán  1e  cho ta nhiều kết quả  rất lí thú ta dành lại  ở  mục   riêng, còn bây giờ ta xét bài toán sau: Bài toán 2:  Tính tổng:   P(n) = 12+  22 +32 + .... + n2   Dựa vào cách phân tích và kết quả của bài toán 1để tính tổng này ta lập bảng sau  đây (Theo một gợi ý của nhà toán học Polya) n 1 2 3 4 5 6 A(n) 1 2 3 4 5 6 2 A(n) 1 4 9 16 25 36 P(n) 1 5 14 30 55 91 S(n) 1 3 6 10 15 21 P (n) 3 5 7 9 11 13 s(n) 3 3 3 3 3 3 Dựa vào bảng trên ta có: P ( n) 2.n + 1 n(n + 1)  =   ;  với  S(n) =  ( kết quả bài toán 1), suy ra:  S ( n) 3 2 2.n + 1 n( n + 1) 2.n + 1 n(n + 1)(2n + 1) P(n) = .S(n)  hay P(n) =  . = 3 2 3 6 Saùng kieán kinh nghieäm 9
  10. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 Có được kết quả này ta đã dựa vào bài toán số 1a, sử dụng kết quả của nó và mối   quan hệ  giữa S(n) và P(n) để  tính P(n). Cũng từ  đây ta phát triển và mở  rộng để  được   các bài toán mới sau đây : Bài toán 2a. Tính tổng :          A  =  22  +  42  + 62 + .............+  (2n)2           B  =  12  +  32  +  52  ……….. +  (2n – 1)2 Bằng cách làm tương tự như bài toán 1b, ta thu được các kết quả sau đây : 2n(n + 1)(2n + 1)         A  =   3 Mặt khác ta có: 2n(2n + 1)(4n + 1) n(2n + 1)(4n + 1) A + B = 12 + 22 + 33 + ... + ( 2n) = 2 =   6 3 n(2n + 1)(4n + 1) n(2n + 1)(4n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) 4n3 − n     Và:  B = −A = − = 3 3 3 3 Có thể phát triển bài toán 2a ở dạng tổng quát sau đây: Bài toán 2b. Tính tổng:    C = a1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2  Với  an = an −1 + d    (  a1 0, d nguyên dương tùy ý) Ta có thể dựa vào quy luật sau: a12 = a12 a22 = ( a1 + d) 2 a32 = ( a2 + d) = ( a1 + 2d) 2 2 ......................................... an2 = ( an−1 + d) = � 2 2 a1 + (n − 1)d� � � Suy ra: C = a12 + a22 + a32 + ... + an2 = na12 + 2da1[1+ 2 + 3+ ... + (n − 1)] +d2[12 + 22 + 32 + ... + (n − 1)2 ] (n − 1)n 2 (n− 1)n(2n− 1) =na12 + 2a1.d. +d . 2 6 Áp dụng kết quả này ta có thể tính các tổng sau nhanh chóng: Bài toán 2c. Tính tổng: Saùng kieán kinh nghieäm 10
  11. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 n(6n2 − 3n − 1) D = 1 + 4 + 7 + ... + (3n − 1) = 2 2 2 2 2 E = 2 + 4 + 8+ ... + 2n = 2 −2 n+1 F = 3+ 6 + 12 + ... + 3.2n−1 = 3(2n − 1) (vôù i an = an−1.2 ; nﾥ 1) Bài toán 3: Tính tổng sau: K(n) =13  +  23  +  43  +..........+  n3 Ta có thể dự đoán kết quả bài toán dựa vào cách phân tích sau đây: 13 + 23 = 9 = (1+ 2)2 13 + 23 + 33 = 36 = (1+ 2 + 3)2 13 + 23 + 33 + 43 = 100 = (1+ 2 + 3+ 4)2 ........................................................ 2 �n(n + 1) � 1 + 2 + 3 + ... + n = (1+ 2 + 3+ ... + n) = � 3 3 3 3 � 2 � 2 � Qua việc khảo sát 3 bài toán trên, một nhu cầu tất yếu đặt ra là có thể tính được   tổng trong trường hợp tổng quát hay không ? Ta hãy xuất phát từ bài toán sau đây : Bài toán  4 : Tính tổng :     S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n(n + 1) Cách thứ 1: Như đã trình bày ở bài toán 1e, ta có:            S(n)    =  1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n + 1)                       =  1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + 4.( 1+ 4) + ……+ n.(1 + n)                        =  (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. + n) + (12 + 22 + 32 + .... + n2) n(n + 1) n(n + 1)(2n+ 1) n(n + 1)(n+ 2)            =                                +           =       2 6 3 Cách thứ 2: Để tính A ta biến đổi A để xuất hiện các hạng tử đối nhau. Muốn vậy ta cần tách   một thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu : a = b – c  Với S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n +1)  Nhân hai vế đẳng thức trên với 3 ta được:             3.S(n) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 + 5.6.3 + …… ..+ n.(n +1).3                        = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4(5 – 2) + 4.5(6 – 3) + …+ n.(n +1)[ (n +2) – (n – 1)] n(n + 1)(n+ 2) Suy ra: 3.S(n) = n(n + 1)(n + 2)    S(n) = 3 Nhận xét : Đặt :           S2(n)  = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. +  n(n +1) Saùng kieán kinh nghieäm 11
  12. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017                    S1(n)  =    1 + 2 +  3 + ............... +  n   Ta có thể liên hệ nó với bài toán 1bằng cách nhân  S1(n) với 2, thu được:  2. S1(n)  =    1.2 + 2.2 +  3.2 + ............... +  n.2  Do đó:   S2(n)  – 2.S1(n)  = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n – 1)  Vế phải của đẳng thức này chính là :  S2(n)  –  n(n+1) Vì vậy  : S2(n)  – 2.S1(n)  = S2(n)  –  n(n+1) n(n + 1) Suy ra :    S1(n) =   2 Nhận xét:  Trong cách làm trên mặc dù ta chưa tính được   S2(n)    nhưng lại tính   được tổng S1(n). Điều quan trọng là nó gợi cho ta ý nghĩ rằng muốn tính  S 2(n)  lại phải   liên hệ với một tổng tương tự khác nữa. Xét tổng  S3(n) =   1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +  ….. +  n(n +1)(n +2) Nhân  S2(n) với 3, ta có: 3.S2(n) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 + 5.6.3 + …… ..+ n.(n +1).3 S3(n) – 3.S2(n)  = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+ ……………… +  (n –1)n(n +1) =  S3(n) –   n(n +1)(n + 2) n(n + 1)(n+ 2) Do đó:    :  S2(n) =   3 Bài toán 5: Tính tổng:    S3(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ….. + n.(n + 1).(n + 2) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Bằng cách tương tự ta tính được: S3 (n) = 4 Có thể phát triển bài toán ở dạng tổng quát như sau: Bài toán 6: Tính tổng:  Sk(n) = 1.2.…k +  2.3….(k + 1) + ……+ n (n + 1)……(n + k – 1) Bằng cách tương tự ta xét tổng: Sk+1(n) = 1.2.…(k + 1) +  2.3….(k + 2) + ……+ n (n + 1)……(n + k) Nhân Sk(n) với (k + 1) ta có: Sk+1(n) – (k+1) Sk(n) = Sk+1(n) – n (n +1)……(n + k) n(n + 1)....(n + k) Vì vậy:    Sk (n)  = k +1 Một vấn đề đáng lưu ý là áp dụng cách tính tưởng như rất đơn giản trên lại cho ta   kết quả quan trọng sau đây: Saùng kieán kinh nghieäm 12
  13. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 Bài toán 7: Tính tổng :    Tk(n) =  1k +  2k  +  3k +……………+   nk Để tính tổng trên, ta lần theo lối suy luận quy nạp sau đây: Do :  n( n + 1) =  n2  +  n , và  theo bài toán 1e  ta có :  S2(n)    =   1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n(n + 1) =   (12 + 22 + 33 + ... + n 2 )  +  (1  + 2 + 3 + 4 + 5 + …. + n) =                T2(n)             +                   S1(n) n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) Suy ra :  T2 (n) = S2 (n)   −  S1(n) = − 3 2 n(n + 1)(2n + 1) Hay :    12 + 22 + 33 + ... + n2 = 6 Tương tự để tính T3(n) =13 +  23 + 33 + .......... + n3  , ta xét S2(n) với chú ý rằng: (n – 1)n(n + 1) =  n3 – n,  Ta  thấy:        S3(n – 1) =  1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+ ……………… +  (n – 1)n(n +1)                  =  (13 +  23 + 33 + .......... + n3) – (  1 + 2 +  3 + ............... +  n )  (n − 1)n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) Suy ra:   T3(n) = S3(n− 1) +    S1(n) = + 4 2 2 n(n + 1) � Vậy :  1 +  2 + 3 +  ..........  +  n  = � 3 3 3 � 3 � 2 Bằng cách tương tự như vậy ta tính sẽ được Tk(n) nếu biết T1(n), T2(n)…  Tk­1(n) và  Sk(n). Bài toán 8: Tính tổng :  R(n)  = 1.2 2 + 2.32 + 3.42 + ... + n(n + 1) 2        Ta có:         R(n)   = 1.2.(3 – 1) + 2.3.(4 – 1)  +  3.4.(5­1) + …+ n.(n+1)[(n+2) – 1]                  = [1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …+ n.(n+1).(n+2)] – [1.2 + 2.3 + 3.4 + ….+ n.(n+1)] n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2)(3n + 5)                  =                  –         =     4 3 12 Bài toán 9: Tính tổng sau:     F(n)  = 12.2 + 2 2.3 + 3 2.4 + ... + n 2 (n + 1) Ta có: F(n)  = 1.1.2 + (1+1).2.3 + (1+2).3.4 +…+ [1+(n – 1)].n.(n+1)          = [1.2 + 2.3 + 3.4 +…. + n.(n+1) ] + [ 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ (n – 1).n(n+1)] n(n + 1)(n + 2) (n − 1) n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2)(3n + 1)          =              +          =  3 4 12 1 1 1 1 Bài toán 10: Tính tổng của dãy số sau: B(n) =   + + + ... +       1.2 2.3 3.4 n(n + 1) Saùng kieán kinh nghieäm 13
  14. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 Ta có thể phân tích như sau: 1 1 = 1− 1.2 2 1 1 1 = − 2.3 2 3 1 1 1 = − 3.4 3 4 ...................... ...................... 1 1 1 = − n.(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 1 n          Vậy:   B(n) =   + + + ... + = 1− =   1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n +1 n +1 Có thể mở rộng dần bài toán như sau :   1 1 1 1 Bài toán 11: Tính tổng sau :   C(n) = + + + ... + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + 1)(n + 2) Nhận xét:  1 1 �1 1 � = � − � 1.2.3 2� 1.2 2.3 � 1 1 �1 1 � = � − � 2.3.4 2 �2.3 3.4 � 1 1 �1 1 � = � − � 3.4.5 2 �3.4 4.5 � .................................................................. .................................................................. 1 1� 1 1 � = � − � n(n + 1)(n + 2) 2 �n(n + 1) (n + 1)(n + 2) � 1 1 1 1 1 �1 1 � n(n + 3)       C(n) = + + + ... + = �− �= 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + 1)(n + 2) 2 �2 (n + 1)(n + 2) � 4(n + 1)(n + 2) 1 1 1 1 Bài toán 12: Tính tổng sau:  D(n) = + + + ... + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n(n + 1)(n + 2).(n + 3) Tương tự như cách phân tích ở bài toán 11, ta có: Saùng kieán kinh nghieäm 14
  15. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 1 1� 1 1 � = � − � 1.2.3.4 3 � 1.2.3 2.3.4 � 1 1� 1 1 � = � − � 2.3.4.5 3 �2.3.4 3.4.5 � 1 1� 1 1 � = � − � 3.4.5.6 3 �3.4.5 4.5.6 � .................................................................. .................................................................. 1 1� 1 1 � = � − � n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3 �n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) � 1 1 1 1 D(n) = + + + ... + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)       1� 1 1 � n(n 2 + 6n + 11) = � − �= 1.2.3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) � 18(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3� Trên cơ sở đó ta có thể mở rộng đến bài toán sau 1 1 1 1 Bài toán 13: Tính tổng sau:    L(n) = + + + ... +   1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) Nhận xét: 1 1� 1� = 1− � � 1.3 2� 3� 1 1 �1 1 � = �− � 3.5 2 �3 5 � 1 1 �1 1 � = �− � 5.7 2 �5 7 � ................................... ................................... 1 1� 1 1 � = � − � (2n − 1)(2 n + 1) 2 �2n − 1 2n + 1 � Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được kết quả: 1 1 1 1 n L(n) = + + + ... + = 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) 2n + 1 1 1 1 1 Bài toán 14: Tính tổng sau:   M(n) = + + + ... + 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) Saùng kieán kinh nghieäm 15
  16. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 Tương tự bài toán số 11 ta phân tích cũng có quy luật sau: Nhận xét: 1 1� 1� = � 1− � 1.5 4� 5� 1 1 �1 1 � = �− � 5.9 4 �5 9 � 1 1 �1 1 � = �− � 9.13 4 �9 13 � ....................................... ....................................... 1 1� 1 1 � = � − � (4n − 3)(4n + 1) 4 �4n − 3 4n + 1 � Cộng vế theo các đẳng thức trên ta được: 1 1 1 1 n M(n) = + + + ... + = 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) 4n + 1 Từ kết quả của bài toán 13 và 14 ta có thể tổng quát lên bài toán sau: 1 1 1 1 Bài toán 15: Tính tổng:   Q(n) = + + + ... +   a1a 2 a 2a 3 a 3a 4 anan +1 Với:    a1 = 1, a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ... = a n +1 − a n = b (b là số  tự  nhiên bất kỳ, b   0).  Khi đó ta có kết quả sau: 1 1 1 1 n Q(n) = + + + ... + =      a1a 2 a 2a 3 a 3a 4 a n a n +1 a n +1 Cũng có thể chứng minh kết quả này theo Phương pháp quy nạp: 1 1 1   Với n = 1 ta có:  Q(n) = = =  (đúng) a1a 2 1.a 2 a 2 Giả sử  mệnh đề đúng với n = k,  (k > 1)  tức là:  1 1 1 1 k Q(n) = + + + ... + =  (đúng)  a1a 2 a 2a 3 a 3a 4 a k a k +1 a k +1 1 1 1 1 1 k 1 ka + 1 Ta có:  Q(n) = + + + ... + + = + = k+2   (1) a1a 2 a 2a 3 a 3a 4 a k a k +1 a k +1a k +2 a k +1 a k +1a k + 2 a k +1a k + 2 Mặt khác ta có:  a1 = 1 Saùng kieán kinh nghieäm 16
  17. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 a 2 − a1 = b a3 − a 2 = b a4 − a3 = b ................ a k +1 − a k = b Cộng  các đẳng thức trên vế theo vế ta được : a k + 2 − a1 = a k + 2 − 1 = (k + 1)b � a k + 2 − 1 = (k + 1)(a k + 2 − a k +1 ) � ka k + 2 + 1 = ka k +1 + a k +1 = a k +1 (k + 1) Vì a1 = 1 và   b = a k + 2 − a k +1 ) Thay  ka k + 2 + 1 = a k +1 (k + 1)   vào (1) ta được: 1 1 1 1 1 ka + 1 k + 1 Q(n) = + + + ... + + = k+2 = a1a 2 a 2a 3 a 3a 4 a k a k +1 a k +1a k + 2 a k +1a k + 2 a k+2 Hay mệnh đề đúng n = k + 1 1 1 1 1 n Vậy theo quy nạp ta có: Q(n) = + + + ... + = (đpcm) a1a 2 a 2a 3 a 3a 4 a n a n +1 a n +1 Một số ví dụ ứng dụng phương pháp tính tổng trong giải toán tìm x Bài toán 1a:    Tìm số tự nhiên x biết:                 1 + 2 + 3 + 4 +  ... + x = 500500 Áp dụng bài toán Gau – xơ  ta có biểu thức nào?  Trả lời  ;   x( x+ 1) : 2 = 500500  Giải:          1 + 2 + 3 + 4 +  ... + x = 500500                                       x( x+ 1) : 2 = 500500           Suy ra : x(x+1) = 500500 . 2 = 1001000 = 1000 . 1001   Vì   x   và   x + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên x = 1000 Bài toán 1b:   Tìm số tự nhiên x biết:    ( x + 1)   + ( x + 2) + ... + ( x + 100) = 7450 Giải:    ( x + 1)   + ( x + 2) + ... + ( x + 100) = 7450             100x + ( 1 + 2 + 3+ ... + 100) = 7450              100 x + (100 + 1) .100 : 2 = 7450              100 x + 5050   = 7450  ( Đưa bài toán về dạng cơ bản) Saùng kieán kinh nghieäm 17
  18. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017              100 x  = 7450 – 5050              100 x = 2400                      x = 24    Bài toán 2:  Tìm  x,  biết: 1 1 1 1 1 1 1 x =  + + + + + +  Từ bài toán tổng quát trên giáo viên yêu cầu học   12 20 30 42 56 72 90 sinh phân tích các mẫu thành tích của hai số tự nhiên bất kì. 1 1 1 1 1 1 1 x =  + + + + + + 12 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 1 1 1 x= + + + + + + 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x= − + − + − + − + − + − + − 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 x= − 3 10 10 3 7 x= − = 30 30 30 Bài toán 2a:  Tìm số nguyên  x,  biết: 6 6 6 318 + + ... + + x− =1 5.7 7.9 109.111 555 Khi gặp bài toán này học sinh thường lung túng với tử  số  bằng 6  ở  các phân số  đầu và   318 phân số  . 555 Giáo viên gởi ý: Phân tích số 6 = 2.3 sau đó nhóm các số hạng   6 6 6 �2 2 2 � + + ... + = 3� + + ... + 5.7 7.9 109.111 �5.7 7.9 109.111 � � Giải: 6 6 6 318 + + ... + + x− =1 5.7 7.9 109.111 555 Saùng kieán kinh nghieäm 18
  19. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 �2 2 2 � 318 3� + + ... + �− x− = 1 (Đến bài   toán   được   quy   về   bài   toán   quen  �5.7 7.9 109.111 � 555 thuộc) �1 1 1 1 1 1 � 318 3� − + − + ... + − �− x− =1 �5 7 7 9 109 111 � 555 �1 1 � 318 3� − �− x− =1 �5 111 � 555 106 318 3. − x− =1 555 555 x = – 1 Giáo viên lại tiếp tục mở rộng bài toán : 1 1 1 1 2011 Bài toán 2b:  Tìm số nguyên  x,  biết:  + + + .... + =   2 6 12 x( x + 1) 2012 1 1 1 1 2011 + + + .... + = 2 6 12 x( x + 1) 2012 1 1 1 1 1 2011 + + + ... + + = 1.2 2.3 3.4 x x + 1 2012 1 1 1 1 1 1 1 1 2011 − + − + − + ... + − = 1 2 2 3 3 4 x x + 1 2012 1 2011 1− = x + 1 2012 1 2011 1 = 1− = x +1 2012 2012 � x + 1 = 2012 � x = 2011 Từ bài toán trên giáo viên lại tiếp tục mở rộng bài toán: 1 1 1 1 2001 Bài toán 2c: Tìm số nguyên  x,  biết:    + + + .... + = 3 6 10 x( x + 1) : 2 2003 x( x + 1) Giáo viên hướng dẫn cách giải : Biến đổi mẫu số x(x+1) : 2 =  2 1 1 1 1 2001 + + + .... + = 3 6 10 x( x + 1) 2003 2 Saùng kieán kinh nghieäm 19
  20. Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 2016­2017 �1 1 1 1 � 2001 2 � + + + .... + = Đến đây bài toán đã được đưa về dạng bài tập 6b �3 6 10 x( x + 1) � � 2003 �1 1 1 1 1 1 1 1 � 2001 2 � − + − + − + .... + − = �2 3 3 4 4 5 x x + 1� � 2003 �1 1 � 2001 2� − �= �2 x + 1 � 2003 2 2001 1− = x + 1 2003 2 2001 2 = 1− = x +1 2003 2003 x + 1 = 2003 x = 2003 – 1 x = 2002 1 1 1 1 100 Bài toán 2d:  Tìm số nguyên  x,  biết:    + + + .... + = 3.5 5.7 7.9 (2x + 1)(2 x + 3) 609 Từ bài toán trên học sinh tìm cách giải bài toán dễ dàng hơn. 1 1 1 1 100 Giải:  + + + .... + = 3.5 5.7 7.9 (2 x + 1)(2 x + 3) 609 1 �1 1 1 1 1 1 1 1 � 100 � − + − + − + .... + − = 2 �3 5 5 7 7 9 (2x + 1) 2x + 3 � � 609 1 �1 1 � 100 − = 2 �3 2x + 3 � � � 609 �1 1 � 100 1 �3 − 2x + 3 �= 609 : 2 � � 1 1 = 2x + 3 203 2x + 3 = 203 x = 100 Sau khi học sinh  vững tất cả các dạng bài tập trên , giáo viên đưa ra một bài   tập vận dụng  các cách giải của  các bài tập trên. Saùng kieán kinh nghieäm 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2