Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài "Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa" nhằm đưa ra hệ thống các kiến thức, các dạng bài tập được sắp xếp theo từng nội dung, từng chủ đề, từng dạng bài.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa

UBND QUẬN THANH XUÂN TRƯỜNG THCS THANH XUÂN NAM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 6 ÔN LUYỆN CÁC BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA Lĩnh vực/ Môn: Toán Cấp học: Trung học cơ sở Tên tác giả: Phạm Thị Nhung Đơn vị công tác: Trường THCS Thanh Xuân Nam Chức vụ: Giáo viên
2 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” NĂM HỌC 2020 – 2021 MỤC LỤC STT Nội dung Trang I PHẦN MỞ ĐẦU 2 1 Lý do chọn đề tài 2 2 Mục đích nghiên cứu 3 3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3 4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3 5 Phương pháp nghiên cứu 3 II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3 1 Cơ sở lí luận 3 2 Cơ sở thực tiễn 4 3 Các biện pháp nghiên cứu 5 IV KẾT QUẢ VÀ ỨNG DỤNG 32 V KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 33
3 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học.Vì thế môn toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trường. Học sinh nắm vững các kiến thức toán học, sẽ dễ dàng học tập các môn khác. Thông qua việc học môn toán các em được rèn luyện các phương pháp suy nghĩ, suy luận, cách tính toán khoa học, cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề. Từ đó giúp các em phát triển trí thông minh, óc sáng tạo. Đồng thời việc học toán còn góp phần hình thành cho các em các phẩm chất đạo đức tốt như: cần cù, chịu khó, kiên trì, cẩn thận, làm việc có kế hoạch, khoa học. Đó là những yếu tố thiết yếu mà học sinh cần có để từ đó làm chìa khóa chiếm lĩnh và khám phá những kiến thức ở các môn học khác . Để giúp học sinh học tốt môn toán đòi hỏi người thầy phải có sự lao động sáng tạo nghiêm túc, là một giáo viên giảng dạy môn toán, bản thân tôi luôn trăn trở rất nhiều vì trong quá trình học toán, làm toán các em học sinh cũng gặp rất nhiều khó khăn bởi các dạng toán rất phong phú, mà thời gian có hạn. Chính vì thế mà dạy và học như thế nào để học sinh không những nắm vững kiến thức một cách có hệ thống có chiều sâu mà các em còn hứng thú và say mê học toán . Vấn đề đặt ra trong giải toán là phải biết nhận dạng và lựa chọn phương pháp giải thích hợp. Dạng toán về lũy thừa được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu năm lớp 6 là một vấn đề mới khiến các em có nhiều bỡ ngỡ. Để giải được các bài tập nâng cao về toán lũy thừa, ngoài việc nắm bắt kiến thức cơ bản có trong chương trình, học sinh còn phải tìm hiểu một số kiến thức bổ sung mở rộng. Những kiến thức này không được phân phối trong trong các tiết học nên học sinh ít được vận dụng và rèn luyện. Vì vậy khi gặp những bài tập khó học sinh sẽ cảm thấy bế tắc, chán nản từ đó không còn thích thú học môn toán nữa. Là một giáo viên dạy toán, tôi mong các em chinh phục được nó và không chút ngần ngại khi gặp một số dạng toán này. Tôi thấy rằng cần phải giúp các em nắm được các kiến thức cơ bản, các dạng toán, các phương pháp giải. nên trong đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” tôi xin được đưa ra hệ thống các kiến thức, các dạng bài tập được sắp xếp theo từng nội dung, từng chủ đề, từng dạng bài. Cụ thể là: Phần I: Lý thuyết Phần II: Các dạng bài tập kỹ năng: Dạng 1: Tìm số chưa biết. Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa. Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa Dạng 4: Tính toán trên lũy thừa Dạng 5: Toán đố với luỹ thừa Tôi chọn đề tài này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần toán luỹ thừa, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán luỹ thừa hay và
4 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” khó. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp 6 khi học và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dưới dạng các bài tập 1. Mục đích nghiên cứu Tìm ra giải pháp để giúp học sinh giải các bài tập về lũy thừa được dễ dàng hơn. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đáp ứng được các yêu cầu trên, người giáo viên cần: Tổ chức hoạt động nhận thức giúp phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển năng lực của học sinh trong giờ học Toán Tích cực nghiên cứu nội dung sách giáo khoa, sách tham khảo để phân chia các dạng Toán Thực hiện cho các em tự kiểm tra đánh giá bản thân, đánh giá kết quả học tập lẫn nhau đồng thời kết hợp với đánh giá của giáo viên. Từ đó rút ra kiến thức đúng để các em cùng nhau lĩnh hội kiến thức. Thay đổi hình thức đánh giá học sinh phong phú. Kết hợp hài hòa việc kiểm tra kiến thức cũ với việc tiếp cận và hình thành kiến thức mới cho học sinh. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài áp dụng được cho tất cả các đối tượng học sinh lớp 6. Đề tài có thể dùng trong các tiết dạy chính khóa, ôn tập củng cố và nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 6 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp quan sát Phương pháp trắc nghiệm khách quan Nghiên cứu sách giáo khoa và các sách tham khảo Tham khảo ý kiến đồng nghiệp II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. Cơ sở lí luận Nghị quyết số 40/2000/QH X ngày 9/12/2000 của Quốc Hội khóa X về đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đã khẳng định mục tiêu của việc đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là: “ Xây dựng nội dung chương trình, phương pháp giáo dục toàn diện cho thế hệ trẻ, đáp ứng yêu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ cho công nghiệp hóa - hiện đại hóa nước, phù hợp thực tiễn và truyền thống Việt Nam, tiếp cận trình độ giáo dục phổ thông ở các nước phát triển trong khu vực và trên thế giới.” Công văn số 720/GDTrH tháng 08/2004 Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đưa ra các yêu cầu về phương pháp dạy học của bộ môn, cụ thể: Giáo viên cần thể hiện rõ vai trò là người tổ chức, điều khiển cho học sinh hoạt động một cách chủ động, sáng tạo. Giáo viên chú ý định lượng tổ chức hoạt động học tập, giúp học sinh tự lực khám phá những kiến thức mới, tạo điều kiện cho học sinh không những lĩnh hội được nội dung kiến thức mà còn nắm được phương pháp đi đến kiến thức đó. Nghị quyết TW 2 - khoá VIII (12-1996) khẳng định : “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy, sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp
5 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” tiên tiến và phương pháp hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”. Luật Giáo dục 2005, điều 28.2 đã ghi “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Với tình hình tiến độ phát triển của đất nước trong giai đoạn hiện nay thì giáo dục là quốc sách hàng đầu và đào tạo con người luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, nhà nước đã đề ra. 2. Cơ sở thực tiễn Một số học sinh trung bình, yếu chưa mạnh dạn phát biểu, chưa chủ động trong quá trình giải toán cũng như vận dụng kiến thức vào giải toán Tình trạng chung hiện nay là học sinh chưa chủ động trong tìm hiểu kiến thức mới từ sách giáo khoa và sách tham khảo Không biết cách áp dụng lý thuyết sách giáo khoa theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề để rút ra cách giải. Chưa tích cực nghiên cứu bài nên chưa thật sự mang lại hiệu quả cao về chất lượng giáo dục. Vì vậy để hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa, trước hết học sinh phải được cung cấp và nắm vững những kiến thức cơ bản về lũy thừa và công thức tổng quát cũng như các bước thực hiện phép tính, trình bày hoàn chỉnh bài toán như thế nào? Cụ thể những vấn đề được giải quyết. Kiến thức cơ bản Kiến thức bổ sung Các dạng bài tập và phương pháp chung 3.Các biện pháp nghiên cứu Đưa ra từng dạng bài cụ thể, mỗi dạng từ bài dễ đến bài khó, từ đơn giản đến phức tạp. Từ đó học sinh nhận dạng được từng dạng bài và biết cách làm rồi trình bày cụ thể từng dạng bài. Dạng 1:Tìm số chưa biết Loại 1: Tìm cơ số, thành phần trong cơ số của luỹ thừa Loại 2: Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa Loại 3: Một số trường hợp khác Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của giá trị lũy thừa Loại 1: Tìm một chữ số tận cùng Loại 2:Tìm hai chữ số tận cùng Loại 3:Tìm ba chữ số tận cùng trở lên Dạng 3: So sánh hai lũy thừa Dạng 4: Tính toán trên lũy thừa Dạng 5: Toán đố trên lũy thừa a. Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên . + Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau , mỗi thừa số bằng a
6 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” an = a.4.........a (n ∈ N*) 1 a 2 43 n thừa số a + Quy ước : a1 = a a0 = 1 (a ≠ 0) b. Một số tính chất *) Với a, b, m, n ∈ N + Nhân hai lũy thừa cùng cơ số : am. an = am+n, am. an . ap = am+n+p (p ∈ N) + Chia hai lũy thừa cùng cơ số : am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) + Lũy thừa của một tích : (a.b)m = am. bm (m ≠ 0) + Lũy thừa của một thương (a : b)m = am : bm (b ≠ 0 ) + Lũy thừa của lũy thừa (am)n = am.n (m,n ≠ 0) c. Kiến thức bổ sung * Với mọi x,y,z∈ Z x0 thì x b > 0 am > bm (m ≠ 0) + Nếu m > n > 0 , a > 1 am > an + Nếu 0< a < 1, m >n >0 am < an * Lũy thừa tầng : a mn =a (m ) n 2. Các dạng bài tập Dạng 1: Tìm số chưa biết Loại 1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa *Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ Bài 1: Tìm x Z biết rằng: a, x3 = -64 b, (2x - 1)3 = 8 c, (x - 2)2 = 16 d, (2x - 3)2 = 9 Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp.
7 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” a, x3 = -64 b, (2x - 1)3 = 8 x3 = (-4)3 (2x -1)3 = 23 x = -4 2x - 1 = 2 Vậy x = - 4 2x = 2 + 1 2x = 3 3 x= 2 3 Vậy x = 2 c, (2x - 3)2 = 9 2x -3 = 3 hoặc 2x -3 = -3 2x = 6 2x = 0 x=3 x=0 Vậy x = 3 hoặc x = 0 . d, (x - 2)2 = 16 x - 2 = -4 hoặc x-2=4 x = -2 x=6 Vậy x = -2 hoặc x = 6 Bài 2. Tìm x Z biết : x2 = x 5 Nếu ở bài 1 học sinh giải một cách dễ dàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đó cùng cơ số “ chưa biết”, số mũ đã biết nhưng lại khác nhau. Vậy phải làm cách nào đây? Nhiều học sinh sẽ tìm mò tìm được x = 0 hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết đâu cũng còn số x thỏa mãn đề bài thì sao? Giáo viên có thể gợi ý: 2 5 5 2 2 3 x2 0 x 0 x 0 x =x x - x =0 x .(x - 1) = 0 => x3 1 0 x3 1 x 1 Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau : Bài 3 . Tìm y Z biết : (y - 1)10 = (y - 1)20 (*) Hướng dẫn : Đặt y - 1 = x . Khi đó (*) trở thành : x10 = x20 x 0 x 10 0 x 0 Giải tương tự bài 2 ở trên ta được : x 1 x 10 1 0 x 10 1 x 1 Rất có thể học sinh dừng lại ở đây, vì đã tìm được x. Nhưng đề bài yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y. +) Với x = 0 ta có: y -1 = 0 y=1 +) Với x = 1 ta có: y -1 = 1 y=2 +) Với x = -1 ta có: y - 1 = -1 y=0 Vậy y 0;1;2 Bài 4 : Tìm x Z biết : (x - 5)2 = (1 - 3x)2 Bài này ngược với bài trên, hai lũy thừa đó có số mũ đã biết giống nhau nhưng cơ số chưa biết lại khác nhau. Lúc này ta cần sử dụng tính chất: bình phương của hai lũy thừa bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau. Ta có : (x + 5)2 = (1 -3x)2
8 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” x + 5 = 1 -3x hoặc x+ 5 = 3x - 1 4x = - 4 2x = 6 x = -1 x=3 x 1;3 Bài 5 : Tìm x và y biết: (3x - 6)100 + (2y + 8)200 0 (*) Với bài toán này, cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau, lại phải tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu ‘ ’’, thật là khó! Lúc này chỉ cần gợi ý nhỏ của giáo viên là các em có thể giải quyết được vấn đề là hãy so sánh (3x - 6)100 và (2y +8)200 với 0. Ta thấy : (3x - 6)100 0 x Z 200 (2y +8) 0 x Z Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, không thể nhỏ hơn 0 Vậy : (3x - 6)100 + (2y + 8)200 = 0 khi (3x - 6)100 = 0 và (2y + 8)200 = 0 3x - 6 =0 và 2y + 8=0 x=2 và y = -4 Bài 6 :Tìm các số nguyên x và y sao cho : (x + 2)2 + 2(y - 3)2 < 4 Theo bài 3 , học sinh sẽ nhận ra ngay : (x + 2)2 0 x Z (1) 2(y -3)2 0 x Z (2) Nhưng nảy sinh vấn đề ở “ < 4 ”, học sinh không biết làm thế nào. Giáo viên có thể gợi ý : Từ (1) và (2) suy ra: (x + 2) 2 + 2(y -3)2 < 4 thì chỉ có thể xảy ra những trường hợp sau : +) Trường hợp 1 : (x + 2)2 = 0 và (y -3)2 = 0 x = -2 y=3 2 +) Trường hợp 2 : (x + 2) = 0 và (y-3)2 = 1 y 4 x = -2 y 2 +) Trường hợp 3 : (x + 2)2 = 1 và (y - 3)2 = 0 x 2 1 y=3 x 2 1 x 1 x 3 +) Trường hợp 4 : (x + 2)2 = 1 và (y - 3)2 = 1 x 1 y 4 x 3 y 2 Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là : x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 y 3 4 2 3 3 4 2 4 2 Thật là một bài toán phức tạp! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp, bỏ sót những cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài . 1. Tìm x biết : a, (2x - 1)4 = 81 b, (x -2)2 = 1
9 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125 2. Tìm y biết : a, y200 = y b, y2008 = y2010 c, (2y - 1)50 = 2y - 1 d, (y-5 )2000 = (y-5 )2008 3. Tìm a , b ,c biết : a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 0 b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 0 c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 0 d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 0 Loại 2: Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa. Phương pháp: Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số Bài 1: Tìm n N biết : a, 2008n = 1 c, 32-n. 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a, a, 2008n = 1 2008n = 20080 n=0 Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ. Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên b, 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 n=2 Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d, c, 32-n. 16n = 1024 (25)-n. (24)n = 1024 2-5n. 24n = 210 2-n = 210 n = -10 d, 3 .3 + 5.3n-1 = 162 -1 n 3n-1 + 5 . 3n-1 = 162 6 . 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 n-1=3 n=4 Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m, n biết : 2m + 2n = 2m+n Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này, không biết phải làm như thế nào để tìm được hai số mũ m và n. Giáo viên gợi ý: Theo đề bài : 2m + 2n = 2m+n 2m+n - 2m - 2n = 0 2m.2n -2m -2n + 1 = 1 2m(2n - 1) - (2n - 1) = 1 (2m - 1)( 2n - 1) = 1 (*)
10 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” Vì 2m 1, 2n 1 m,n N m m 2 1 1 2 2 m 1 nên từ (*) 2n 1 1 2n 2 n 1 Vậy: m = n = 1 Bài 3: Tìm các số tự nhiên n sao cho : a, 3 < 3n 234 b, 8.16 2n 4 Đây là dạng toán tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số. a, 3 < 3n 234 31 < 3n 35 n 2;3;4;5 n b, 8.16 2 4 3 4 n 2 .2 2 22 27 2n 22 n 2;3;4;5;6;7 Bài 4 : Tìm số tự nhiên n biết rằng : 415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216 Với bài này, giáo viên gợi ý học sinh quan sát, nhận xét về số mũ của các lũy thừa trong một tích thì học sinh sẽ nghĩ ngay ra hướng giải bài toán: 415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216 (4. 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616 630 < 6n < 632 n = 31 Bây giờ, học sinh không những biết làm các bài toán tương tự mà cũng có thể tự ra các bài toán dạng tương tự. 1. Tìm các số nguyên n sao cho a. 9 . 27n = 35 b. (23 : 4) . 2n = 4 c. 3-2. 34. 3n = 37 d. 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho : a. 125.5 5n 5.25 b. (n54)2 = n c. 243 3n 9.27 d. 2n+3 2n =144 3. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y biết rằng a. 2x+1 . 3y = 12x b. 10x : 5y = 20y 4. Tìm số tự nhiên n biết rằng a. 411 . 2511 2n. 5n 2012.512 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b. 5 5 5 . 2n 3 3 3 25 25 Hướng dẫn: 3. a. 2x+1 . 3y = 12x 2x+1 . 3y = 22x.3x 3y 22x 3x 2x 1
11 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” 3y-x = 2x+1 y-x = x-1 = 0 Hay x = y = 1 3. b. 10x : 5y = 20y 10x = 20y . 5y 10x = 100y 10x = 1002y x = 2y 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 4. b. 5 5 5 . 2n 3 3 3 25 25 4.4 5 6.6 5 . 2n 3.35 2.2 5 46 66 . 2n 36 2 6 46 = 2n 212 = 2n n = 12 Loại 3. Một số trường hợp khác Bài 1: Tìm x biết: (x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1) Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm có mặt cả trong số mũ và cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách giải, nhưng chúng ta có thể đưa về bài toán quen thuộc bằng một phép biến đổi sau: Đặt x-1 = y ta có: x+2=y+3 x+4=y+5 Khi đó (1) trở thành : yy+3 = yy+5 yy+5 - yy+3 = 0 yy+3(y2 - 1) = 0 yy+3 = 0 hoặc y2 - 1 = 0. * Nếu: yy+3 = 0 => y = 0 Khi đó : x - 1 = 0 hay x = 1. * Nếu : y2 - 1 = 0 y2 = (-1)2 =12 y = 1 hoặc y = -1 Với y = 1 ta có : x - 1 = 1 hay x = 2 Với y = -1 ta có : x - 1 = -1 hay x = 0 Vậy: x 0;1;2 Bài 2: Tìm x biết : x(6-x)2003 = (6-x)2003 Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngoài (không phải ở trong số mũ như bài trên). Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải, khi đó giáo viên hướng dẫn. x. (6-x)2003 = (6-x)2003 x. (6-x)2003 - (6-x)2003 = 0 (6-x)2003 (x-1) = 0 (6-x)2003 = 0 hoặc (x-1) = 0 * Nếu (6-x)2003 = 0 (6-x) = 0
12 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” x=6 * Nếu (x-1) = 0 x=1 Vậy : x 1;6 Bài 3 : Tìm các số tự nhiên a, b biết : a. 2a + 124 = 5b b. 10a + 168 = b2 Với bài toán này, nếu học sinh sử dụng các cách làm ở trên sẽ đi vào con đường bế tắc không có lời giải. Vậy phải làm bằng cách nào và làm như thế nào? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt của lũy thừa và tính chất chia hết của một tổng để giải bài toán này : a) 2a + 124 = 5b (1) * Xét a = 0, khi đó (1) trở thành 20 + 124 = 5b Hay 5b = 125 5b = 53 Do đó a= 0 và b = 3 * Xét a 1. Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là số lẻ với mọi a 1 , a,b N, điều này vô lý. Kết luận : Vậy : a = 0 và b = 3. b) 10a + 168 = b2 (2) Tương tự câu a * Xét a = 0, khi đó (2) trở thành 100 + 168 = b2 169 = b2 132=(-13)2 = b2 b = 13 (vì b N) Do đó a = 0 và b = 13. * Xét a 1. Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a 1 thì 10a có chữ số tận cùng là 0 nên suy ra 10a + 168 có chữ số tận cùng là 8, theo (2) thì b 2 có chữ số tận cùng là 8. Điều này vô lý. Kết luận: Vậy a = 0 và b = 13. Giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau : Tìm các số tự nhiên a, b để : a. 3a + 9b = 183 b. 5a + 323 = b2 c. 2a + 342 = 7b d. 2a + 80 = 3b Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa : Loại 1 : Tìm một chữ số tận cùng : * Phương pháp: Cần nắm được một số nhận xét sau : +) Tất cả các số có chữ số tận cùng là : 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó .
13 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” +) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó . +) Lưu ý: Những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4 -Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9 +) Chú ý: 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số: 20002008, 11112008, 987654321, 204681012 Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án : 20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0 11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1 987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6. Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau : 20072008, 1358 2008, 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 9 9 , 4 5 ,996, 81975, 20072007, 67 9 10231024. Hướng dẫn : Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 . +) 20072008 = (20074)502 = ( ......1 )502 = ......1 nên 20072008 chữ số tận cùng là 1. +) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = ......1 . 1357 = ......7 13 5725 có chữ số tận cùng là 7 . +) 20072007 = 20072004.20073 = (20074)501. ......3 = ( ......1 )501. ......3 = = ......1 . ......3 20072007 có chữ số tận cùng là 3 . +) 23456 = (24)864 = 16864 = ......6 23456 có chữ số tận cùng là 6 . +) 5235 = 5232. 523 = (524)8. ......8 = ( ......6 )8 . ......8 = ......6 . ......8 = ......8 5235 có chữ số tận cùng là 8 . +) 10231024 = (10234)256 = ( ......1 )256 = ......1 10231024 có chữ số tận cùng là 1 . +) 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( ......1 )501. 2003 = ......1 . 2003 20032005 có chữ số tận cùng là 3 . +) 204208 =( 2042)104 = ( ......6 )104 = ......6 204208 có chữ số tận cùng là 6. 67 +) Ta thấy 5 6 là một số lẻ nên 4 5 có chữ số tận cùng là 4 7 +) 1358 2008 = (13584) 502 = ( ......6 )502 = ......6 1358 2008 có chữ số tận cùng là 6. +) 81975 = 81972. 83 = (84)493. ......2 = ......6 ......2 81975 có chữ số tận cùng là 2 . +) 996 = ( 94)24 =( ......1 )24 = ......1 996 có chữ số tận cùng là 1 . +) Ta thấy 99 là một số lẻ nên 9 9 có chữ số tận cùng là 9 . 9 Bài 3: Cho A = 172008 – 112008 – 32008 . Tìm chữ số hàng đơn vị của A . Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng, ta phải tìm chữ số tận cùng của tổng số hạng, rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại . Hướng dẫn : Tìm chữ số tận cùng của 172008 ; 112008 ; 32008 ta có :
14 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” A = 172008 – 112008 – 32008 = ......1 - ......1 - ......1 = ......0 - ......1 = ......9 Vậy A có chữ số tận cùng là 9 . Bài 4: Cho M = 1725 + 244 - 1321 . Chứng tỏ rằng: M chia hết 10 Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M chia hết 10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0 . Giải: 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ( ......1 )6.17 = ......1 .17 = ......7 244 =(242)2 = 5762 = .....6 1321 = (134)5.13 = ( ......1 )5.13 = ......1 . 13 = ......3 Vậy M = ......7 + .....6 - ......3 = ......0 => M chia hết 10 Đến đây, sau khi làm bài 2, bài 3, giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tổng quát sau : Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng: a. A = 24n - 5 (n N, n 1) 4n + 2 b. B = 2 + 1 (n N) c. C = 74n -1 (n N) Hướng dẫn : a, Có 24n = (24)n = 16 có chữ số tận cùng bằng 6 4n 2 - 5 có chữ số tận cùng bằng 1 4n + 2 b, B = 2 + 1 (n N) Ta cú 24n + 2 = 22 . 24n = 4. 16n có chữ số tận cùng là 4 B = 24n + 2+ 1 có chữ số tận cùng là 5 c, C = 74n - 1 Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận cùng là 1 4n Vậy 7 - 1 có chữ số tận cùng bằng 0 . Bài 6 : Chứng tỏ rằng, các số có dạng: a, A = 2 2 1 chia hết cho 5 (n N, n 2) n b, B = 2 chia hết cho 10 (n N, n 1) n 4 4 c, H = 9 3 chia hết cho 2 (n N, n 1) n 2 Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho cả 2 và 5. Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng như bài 5, nhưng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa 2 2 , n 2 4 , 9 2 , học sinh không biết phải tính như thế nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm: n n 2 2n , 2 4 2 4n , 9 2 9 2n n n n a2 Khi đó giáo viên hướng dẫn như sau: a) Với n N, n 2, ta có : n 2 2 2 2 = 2 2 .2 có chữ số tận cùng là 6 n 2 n 2 n 2 24 16 2 A = 2 2 1 có chữ số tận cùng là 5 n Vậy A  5 b) Với n N, n 1, ta có : n 1 4 2 4 = 2 4 .4 có chữ số tận cùng là 6 n n 1 n 1 24 16 4 B = 2 4 có chữ số tận cùng là 0 n 4 Vậy B  10 c) Với n N, n 1, ta có : n 1 2 9 2 = 9 2 .2 cú chữ số tận cùng là 1 n n 1 n 1 92 812
15 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” H = 9 2 3 có tận cùng là 4 n Vậy H  2 Bài tập luyện tập: 1, Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 22222003; 20082004; 20052005; 20062006 9992003; 20042004; 77772005; 1112006; 20002000; 20032005 2. Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n : a, 34n + 1 + 2 chia hết cho 5 b, 24n + 1 + 3 chia hết cho 5 c, 92n + 1 + 1 chia hết cho 10 3. Chứng tỏ rằng các số có dạng: a, 2 2 +1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n N, n ≥ 2) n b, 2 4 1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n N, n ≥ 1) n c, 3 +4 chia hết cho 5 (n N, n ≥ 2) n 2 d, 3 4 - 1 chia hết cho 10 (n N, n ≥ 1) n 4. Tìm chữ số hàng đơn vị của : a, A = 66661111 + 11111111 - 665555 b, B = 10n + 555n + 666n c, H = 99992n +9992n+1 +10n ( n N*) d, E = 20084n + 20094n + 20074n ( n N*) 5. Trong các số sau số nào chia hết cho 2 , cho 5 , cho 10 ? a, 34n+1 + 1 (n N 4n+1 b, 2 -2 (n N) c, 2 +4 (n N, n ≥ 2) n 2 d, 9 - 6 (n N, n ≥ 1) n 4 6. Tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên a để a2 + 1 chia hết cho 5 7. Tìm số tự nhiên n để n10 + 1 chia hết cho 10 8. Chứng tỏ rằng , với mọi số tự nhiên n thì : a, 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10 (n > 1) n+3 n+3 n+1 n+2 b, 3 + 2 + 3 + 2 chia hết cho 6 Hướng dẫn : 6. a2 + 1  5 a2 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 a2 phải có chữ số tận cùng là 9 hoặc 4 a phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7 hoặc 2 hoặc 8 7. n + 1  10 => n10 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0 10 n10 = (n2)5 phải có chữ số tận cùng là 9 n2 phải có chữ số tận cùng là 9 n phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7 . 8. a, 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n = 3n. (32+1) - 2n-1.( 23 + 2) = 3n. 10 -2n-1. 10 = 10 . (3n - 2n-1) chia hết cho 10 n N n+3 n+3 n+1 n+2 n 3 n+1 2 b, 3 + 2 + 3 + 2 = 3 . (3 +3) + 2 .( 2 + 2) = 3n. 30 + 2n+1. 6 = 6. (5.3n + 2n+1) chia hết cho 6 n N Loại 2: Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa .
16 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” * Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa , ta cần chú ý những số đặc biệt sau : +) Các số có tận cùng là 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng chính nó . +) Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là : 01 ; 25 hoặc 76 . +) các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76 . +) các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01 . +) Số 26n (n N, n >1) Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của : 2100 ; 3100 Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này : 2100 = (220)5 = ( ......76 )5 = ......76 3100 = (320)5= ( ......01 )5 = ......01 Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của : a, 5151 b, 9999 c, 6666 d, 14101. 16101 Hướng dẫn :Đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là : 01 ; 25 hoặc 76 . a, 5151 = (512)25. 51 = ( ......01 )25. 51 = ......01 . 51 = ......51 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51 Tương tự: b, 9999 =(992)49.99 = ( ......01 )49 . 99= ......01 . 99 = ......99 c, 6666 =(65)133.6 = ( ......76 )133 . 6= ......76 . 6 = ......56 d, 14101. 16101 = (14. 16)101 = 224101 = (2242)50. 224 = ( ......76 )50 . 224 = ......76 . 224 = ......24 Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát: Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của: a, 512k; 512k+1 (k N*) b, 992n; 992n+1; 99 99 ; (n N*) 99 c, 65n; 65n+1; 6 66 ; (n N*) 66 Gợi ý: a, 512k = (512)k = ( ......01 )k 512k+1 = 51. (512)k = 51. ( ......01 )k b, 992n = (992)n = ( ......01 )n 992n+1 = 99. (992)n = 99. ( ......01 )n 99 2n+1 99 99 , ta cú 99 là một số lẻ => 99 99 có dạng 99 (Với n N, n > 1) 99 99 => 99 99 = 99.(992)n = 99 . ( ......01 )n (Với n N, n > 1) 99 5n 5 n n c, 6 = ( 6 ) = ( ......76 ) 65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. ( ......76 )n 66 5n+1 6 66 , ta có 66 là một số có tận cùng là 6, => 6 66 có dạng 6 (n 66 66 N, n > 1) n 6 66 = 6 . ( ......76 ) 66 Bài tập luyện tập: 1. Tìm hai chữ số tận cùng của : a, 72003 b, 9 9 c, 742003 9
17 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” d, 182004 e, 682005 f, 742004 2. Tìm hai chữ số tận cùng của : a, 492n ; 492n+1 (n N) 4n 8n b, 2 . 3 (n N) 3n n 3n+3 n+1 c, 2 . 3 ; 2 . 3 (n N) 2n 2n+1 d, 74 ; 74 (n N) 3. Chứng tỏ rằng : a, A = 262n - 26 chia hết cho 5 và chia hết cho 10 ( n N, n > 1) b, B = 242n+1 + 76 chia hết cho 100 (Với n N) c, M = 512000 . 742000 . 992000 cú 2 chữ số tận cùng là 76. Loại 3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên. *Phương pháp : Chú ý một số điểm sau. +) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng chính số đó. +) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625. Bài 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000. Học sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đó có từ các phần trước. 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 Vậy : 52000 có ba chữ số tận cùng là 625. có bốn chữ số tận cùng là 0625. Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của: a, 23n . 47n (n N*) b, 23n+3 . 47n+2 (n N) Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đó là khó với học sinh, bài này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên. a, 23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n 376n có tận cùng là 376 23n . 47n có tận cùng là 376. b, 23n+3 . 47n+2. Dù đó làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng túng ở số mũ. Giáo viên có thể hướng dẫn : 23n+3 . 47n+2 = 23(n+1) . 47n+1 . 47 = (23)(n+1) . 47n+1 . 47 = (8.47)n+1 . 47 = 47 . 376n+1 Ta có 376n+1 có các chữ số tận cùng là 376 47 . 376n+1 có chữ số tận cùng là 672 Bài 3: Chứng tỏ rằng: a. 5 4 + 375 chia hết cho 1000 ( n N, n > 1) n b. 5 2 - 25 chia hết cho 100 ( n N, n > 2) n n 3n n 2n c. 2001 + 2 . 47 + 25 có tận cùng bằng 002 Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ không gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan và kĩ năng biến đổi.
18 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” a. Ta có: 5 4 = 5 4.4 = 625 4 tận cùng là 625 ( n N, n > 1) n n 1 n 1 5 4 + 375 có tận cùng 000. n Vậy: 5 4 + 375 chia hết cho 1000 n n 2 b. Ta cú 5 2 = 5 2 .2 = 5 4 2 = 625 2 ( n N, n > 2) n 2 n 2 n 2 Vậy 5 2 - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00. n Do đó: 5 2 - 25 chia hết cho 100 n c. 2001n + 23n . 47n + 252n Ta thấy: 2001n có tận cùng là 001 23n . 47n = (8 . 47 )n = 376n có tận cùng là 376 252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625 Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002. Dạng 3 : So sánh hai lũy thừa * Phương pháp: Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh) +) Lưu ý một số tính chất sau : Với a, b, m, n N ta có : a > b  an > bn n N* m > n  am > an (a > 1) m n a = 0 hoặc a = 1 thì a = a ( m.n 0) Với A , B là các biểu thức ta có : An > Bn  A > B > 0 Am > An m > n và A > 1 m < n và 0 < A < 1 Bài 1 : So sánh : a, 33317 và 33323 b, 200710 và 200810 c, (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999 Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đó có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ . a, Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323 b, Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810 c, Ta có : (2008-2007)2009 = 12009 = 1 (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1 Vậy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999 Bài 2 : So sánh a, 2300 và 3200 e, 9920 và 999910 b, 3500 và 7300 f, 111979 và 371320 c, 85 và 3.47 g, 1010 và 48.505 d, 202303 và 303202 h, 199010 + 1990 9 và 199110 Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ . Hướng dẫn : a, Ta có: 2300 = 23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100
19 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” Vì 8100 < 9100 2300 < 3200 b, Tương tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100 7300 = (73)100 = 343100 vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 c, Ta có: 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 85 < 3.47 d, Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 e, Ta thấy: 992 < 99.101 = 9999 (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 (1) f, ta có: 11 < 11 = (113)660 = 1331660 1979 1980 (2) 1320 2 660 660 37 = 37 ) = 1369 Từ (1) và (2) suy ra : 111979 < 371320 g, Ta có: 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 (*) 48. 50 = (3. 2 ). (2 . 5 ) = 3. 2 . 510 5 4 5 10 9 (**) 10 5 Từ (*) và (**) 10 < 48. 50 h, Có: 1990 + 1990 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909 10 9 199110 = 1991. 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110 Bài 3. Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Với bài này, học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm, giáo viên có thể gợi ý: Hãy chứng tỏ 263> 527 và 263 < 528 Ta có: 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 263 > 527 (1) 63 9 7 7 Lại có: 2 = (2 ) = 512 528 = (54)7 = 6257 263 < 528 (2) 27 63 2 Từ (1) và (2) 5 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 291 > 3218 > 2518 > 535 Vậy 291 > 535 Bài 5 . So sánh : a, (-32)9 và (-16)13 b, (-5)30 và (-3)50 c, (-32)9 và (-18)13 d, (-16)100 và (-2)500
20 “Hướng dẫn học sinh lớp 6 ôn luyện các bài tập về lũy thừa” Hướng dẫn : Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên a, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52 Vỡ 245 < 252 nên -245 > - 252 Vậy (-32)9 > (-16)13 b, (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 Vỡ 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50 c, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 mà 245 < 252 = 1613 < 1813 - 245 > - 1813 = (-18)13 Vậy (-32)9 > (-18)13 Bài 6 . So sánh A và B biết : 2008 2008 1 2008 2007 1 A= ; B= 2008 2009 1 2008 2008 1 Trước khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính chất sau : * Với mọi số tự nhiên a , b , c khác 0 , ta chứng minh được : a a a c +) Nếu > 1 thì b b b c a a a c +) Nếu < 1 thì b b b c Ap dụng tính chất trên vào bài 6 , ta có : 2008 2008 1 Vì A = < 1 nên 2008 2009 1 2008 2008 1 2008 2008 1 2007 2008 2008 2008.(2008 2007 1) A= < = = 2008 2009 1 2008 2009 1 2007 2008 2009 2008 2008.( 2008 2009 1) 2008 2007 1 = =B 2008 2007 1 Vậy A < B . Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh giảỉ bài toán theo những cách sau : Cách 1: Ta có : (2008 2008 1).2008 2008 2009 1 2007 2007 2008.A = =1+ 2008 2009 1 2008 2009 1 2008 2009 1 2008 2007 1).2008 2008 2008 1 2007 2007 2008.B = =1+ 2008 2008 1 2008 2008 1 2008 2008 1 2007 2007 Vì 20082009+1 >20082008+1 nên < 2008 2009 1 2008 2008 1 2008.A < 2008. B A